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FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA

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Academic year: 2018

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(1)

Física del S. XIX. Crisis.

La Física del siglo XIX se sustentaba sobre tres grandes pilares que parecían poder abarcar todos los fenómenos naturales:

 La Mecánica de Newton, la cual explicaba el movimiento de los cuerpos y las fuerzas que actuaban entre ellos.

 La Electrodinámica de Maxwell, la cual se ocupaba de explicar todos los fenómenos electromagnéticos.

 la Termodinámica de Clausius y Boltzmann, que se ocupaba de los intercambios energéticos y del calor.

Estos eran los pilares de la denominada Física Clásica.

Sin embargo había una serie de experimentos que no podían ser explicados por la Física clásica. Los intentos por explicar el espectro de emisión de algunos gases (hidrógeno), la naturaleza del átomo y las partículas subatómicas descubiertas (protón, electrón), las contradicciones que aparecen cuando se intentan explicar fenómenos que impliquen a partículas que se mueven a velocidades cercanas a la de la luz hacen que la denominada Física Clásica entre en una crisis a finales del S. XIX.

Antecedentes a la Mecánica cuántica.

Los desafíos más importantes planteados en la física a comienzos del siglo XX eran tres: o El problema de la radiación del cuerpo negro.

o El efecto fotoeléctrico observado en los circuitos oscilantes de Hertz. o Las líneas en el espectro atómico.

Radiación del cuerpo negro e hipótesis de Planck.

La experiencia demuestra que a medida que un cuerpo se calienta emite radiación en forma de calor (infrarroja), si se calienta más, la radiación pasa a ser visible (roja) y por último pasa al amarillento-blanco. Parece claro que la frecuencia de la radiación que emite un cuerpo aumenta con la temperatura.

La potencia irradiada (energía/superficie·tiempo) depende de las características del material.

(2)

Radiación del cuerpo negro e hipótesis de Planck.

El cuerpo negro es un ente ideal. Es considerado el emisor perfecto y por tanto el absorbente perfecto de energía.

Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887)

El concepto de cuerpo negro es un concepto ideal. Una buena aproximación es un caja esférica con el interior ahumado a la que se le ha abierto un pequeño orificio. La radiación emitida por el cuerpo al ser calentado se puede estudiar y se observa que dicha radiación solo depende de la temperatura y no de las características de la sustancia. Dicha radiación obedecía a dos leyes físicas:

Ley de Stefan-Boltzmann:

I: intensidad de la radiación de un cuerpo negro.

σ: Constante de Stefan: 5,67·10-8W/m2K4

T: temperatura absoluta.

 Ley de Wien: 4 ·T I 

K cm T 0,2897 · ·

max  

(3)

Radiación del cuerpo negro e hipótesis de Planck.

La Física clásica, a partir de los estudios de John W. S. Rayleigh y James H. Jeans, conduce a que la intensidad de radiación es proporcional a la temperatura e inversamente proporcional a la cuarta potencia de la longitud de onda:

Esta ecuación se ajusta bien al caso de valores altos de longitud de onda, pero conduce a una conclusión inconsistente: La potencia irradiada tendería a infinito para longitudes de onda pequeñas (del orden del ultravioleta). A este resultado se le conoce como CATÁSTROFE DEL ULTRAVIOLETA.

4

)

,

(

T

T

I

Max Planck aborda el problema del siguiente modo: Formula una ecuación matemática que se ajuste a los resultados experimentales y una vez establecida la ecuación busca su interpretación física.

Max Planck

La única explicación física que se ajustaba esa ecuación obligaba necesariamente a admitir las siguientes hipótesis:

 La energía emitida por los osciladores atómicos no puede tener cualquier valor , sino que debe ser un múltiplo entero de una constante (h) multiplicada por la frecuencia del oscilador

 El número de osciladores de baja frecuencia es muy superior al de osciladores de alta frecuencia.

(4)

n: es un número entero.

h: es la constante de Planck: 6,63·10-34J·s

: frecuencia del oscilador

Resumiendo, Planck propone que al igual la materia está cuantizada en forma de átomos, la energía lo está en forma de (quanta) “cuantos” . Del mismo modo que los átomos de distintos elementos tienen tamaños variables, los cuantos de distintas frecuencias tiene diferentes tamaños energéticos. El tamaño de un “cuanto” elemental (quantum) viene dado por la expresión:

·

h

E

Efecto fotoeléctrico y la explicación de Einstein.

Paradójicamente el efecto fotoeléctrico se pone de manifiesto en los experimentos de Hertz cuando éste intenta poner de manifiesto la existencia de las ondas electromagnéticas. Es decir, cuando se intenta verificar la naturaleza ondulatoria de la luz surge un efecto que parece requerir una explicación bajo la perspectiva corpuscular de la misma.

Se observa que al iluminar una placa metálica (cátodo) con una luz el amperímetro del circuito marca un valor distinto de cero. Esto es, hay paso de electrones por el circuito. La luz arranca electrones del cátodo y les comunica una energía cinética que hace que alcancen el ánodo. Para determinar esta energía cinética mínima para que los electrones alcancen el ánodo se invierte el potencial eléctrico de las placas hasta que no alcance el ánodo ningún electrón. En este momento:

frenado frenado

Max

electrón

v

e

V

e

V

m

·

·

·

2

1

2

(5)

Efecto fotoeléctrico y la explicación de Einstein.

Fenómenos observados en el efecto fotoeléctrico no explicados por la Física clásica:  Para un potencial nulo, sólo se emiten electrones cuando la frecuencia de la luz incidente es superior a una frecuencia umbral (o) característica de cada metal. Por

debajo de dicha frecuencia umbral no hay emisión de electrones, aunque se aumente la intensidad de la luz incidente. La Física clásica predice una emisión de electrones para cualquier frecuencia siempre que la intensidad fuese lo suficientemente grande.

 Por encima de la frecuencia umbral, un aumento de la intensidad luminosa produce un incremento del número de los electrones emitidos pero no de su energía cinética. Es decir, el número de electrones emitidos es proporcional a la intensidad de la radiación luminosa recibida. La energía cinética de los electrones emitidos, según la Física clásica debería aumentar con la intensidad de la radiación luminosa incidente.

 Se observa que la energía cinética de los electrones emitidos sólo muestra dependencia de la frecuencia de la radiación luminosa incidente.

 Además se observaba que la emisión de los electrones era casi instantánea, incluso para intensidades muy bajas (tiempos del orden de nanosegundos). La F´sica clásica predice tiempos mayores antes de la emisión de electrones. Tiesmpo necesarios para que el electrón absorbiera la radiación antes de alcanzar la energía cinética.

(6)

Efecto fotoeléctrico y la explicación de Einstein.

Einstein adopta la hipótesis cuántica de Planck y la aplica a la radiación luminosa. Planteando la hipótesis de que en un frente de onda la energía no se encuentra uniformemente distribuida en todos los puntos del frente sino concentrada en unos “cuantos de energía” que denominó fotones. De este modo Einstein introduce de nuevo la naturaleza corpuscular de la luz para explicar su propagación y su interacción con la materia.

¿Cómo explica Einstein los fenómenos observados en el efecto fotoeléctrico?

 Un fotón de luz puede tener E suficiente para arrancar un electrón del metal, dicha energía se trasforma en trabajo que se desarrolla contra las fuerzas electrostáticas que lo unen al átomo. Al tratar átomos de diferentes metales la energía necesaria para arrancar electrones de cada uno de ellos también será distinta.El trabajo necesario para arrancar un electrón de una superficie metálica es igual ahmultiplicada por la frecuencia umbral de ese metal:

Si la energía del fotón incidente es superior al trabajo de extracción, la energía restante se transforma en energía cinética que es comunicada al electrón:

Vemos que la Ec depende exclusivamente de la frecuencia de la luz incidente y de la frecuencia umbral, no del número de fotones que llega a la superficie del metal (intensidad luminosa). A mayor intensidad mayor número de electrones arrancados pero no hay un aumento de la Ec de los mismos.

En 1916 Robert Millikan experimentando con el efecto fotoeléctrico determina el valor de la constante de Planck. El valor obtenido concordaba con el valor usado por Planck para explicar el cuerpo negro. A partir de esta comprobación el fotón de Eisntein adquiría carta de naturaleza.

o extracción

umbral

W

h

E

·

Ec

W

E

fotón

extracción

frenado o

máx e

o

m

v

h

q

V

h

h

·

·

·

2

1

·

·

2

(7)

Efecto fotoeléctrico y la explicación de Einstein.

Para determinar la constante de Planck con el método de Millikan se representa el valor del potencial de frenado para un metal en función de la frecuencia de la radiación incidente. Del valor de la pendiente se extrae el valor de la constante de Planck. La función representada es la ecuación del efecto fotoeléctrico ordenada de otra forma:

Vo:es el potencial de frenado. e:es la carga del electrón.

:es el trabajo de extracción (W) también llamado FUNCIÓN TRABAJO.

e

h

e

V

o

Que usando los símbolos de la página

anterior queda:

q

h

q

h

V

o

frenado

Los espectros atómicos y el átomo de Bohr.

(8)

Los espectros atómicos y el átomo de Bohr.

 Está formado por una serie de líneas de distintos colores sobre un fondo oscuro.

 El espectro es característico de cada elemento, de forma que no hay dos elementos que presenten un mismo espectro.

El espectro de los elementos pasó a ser un instrumento de análisis de sustancias pero su naturaleza era desconocida. Los físicos pensaban que debería estar relacionado con la naturaleza de los átomos que constituyen el elemento.

El hidrógeno presentaba el siguiente espectro de emisión:

A partir de una ecuación experimental propuesta por el físico y matemático suizo Johann Balmer, los físicos Johannes Rydberg y Walter Ritzpropusieron una más general que se ajustaba al espectro de emisión del hidrógeno:





2

2 2

1

1

1

~

1

n

n

R

R es una constante (constante deRydberg) = 109677,6cm-1

es la frecuencia reducida. n1y n2son números enteros.

~

(9)

A cada línea del espectro se le denominó serie espectral debido a que a medida que los espectroscopios fueron ganando resolución iban apareciendo distintas rayas y series en el espectro.

Los espectros atómicos y el átomo de Bohr.

La pregunta fundamental seguía sin respuesta: ¿A QUÉ SE DEBEN LAS LÍNEAS QUE APARECEN EN LOS ESPECTROS?

El átomo de Bohr.

(10)

El átomo de Bohr.

Niels Henrik David Bohr (1885-1962)

Bohr adopta la teoría cuántica de Planck y en 1913 publica un artículo titulado “Sobre la constitución de átomos y moléculas” donde comienza a plasmar su idea del átomo. Las hipótesis principales de du modelo son:

 Primer postulado: El electrón solo se mueve en unas

determinadas órbitas permitidas, en las cuales NO EMITE ningún tipo de radiación. Estas órbitas constituyen estados estacion arios del átomo.

 Segundo postulado: Las órbitas permitidas (estacionarias) son aquellas que cumplen la condición de cuantización:

n es un número entero denominado número cuántico principal y v

es la velocidad del electrón.

 Tercer postulado: El electrón solo puede pasar de una órbita permitida a otra absorbiendo o emitiendo energía en forma de “cuantos”, es decir, fotones. De esta forma si E es la energía de una órbita inferior y E’ es la energía de una órbita superior, se puede escribir:

2

h

n

vr

m

e

h

E

E

E

'

(11)

El átomo de Bohr. Radio de la primera órbita del átomo de hidrógeno

La fuerza que mantiene unido al electrón al núcleo es de tipo electrostático:

r

v

m

r

e

F

elec

2

2 2

0

.

·

4

1



Donde e es la carga del electrón e igual a la del núcleo, mes la masa del electrón yvsu velocidad. Despejandor:

En las ecuaciones rn=ry vn=v

mr

nh

v

2

Despejandovdel segundo postulado:

2 2

0

·

4

1

mv

e

r



Sustituyendo en la segunda ecuación:

2 2 0 2

me

h

n

r

Sustituyendo los valores de las variables en elsistema internacional y pasando a angstrom,

queda: o

2

A

n

·

53

,

0

r

(12)

El átomo de Bohr. Energía de las órbitas .

La energía de un electrón en su órbita será:





 

r

e

mv

Ep

Ec

E

total 0 2 2

4

2

1



Sustituyendo las siguientes ecuaciones anteriores en la Ec y Ep:

2 2 0 2

me

h

n

r

mr

nh

v

2

2 2 2 0 4

·

8

1

h

n

me

Ec

2 2 2 0 4

·

4

1

h

n

me

Ep

Quedando la Energía total:

2 2 2 0 4

·

8

1

h

n

me

E

total

Sustituyendo las constantes queda y pasando a electrón-voltio:

eV

n

E

total

13

,

2

6

O sea, que la diferencia de energías entre órbitas tiendea disminuir conforme aumenta n. Por eso las series

(13)

El átomo de Bohr. Energía emitida por un electrón al pasar de una órbita de energía superior a otra inferior .

A partir de la ecuación de la energía, para una órbita (n=n1) y para otra (n=n2), siendo el estado (1) el de menor energía:

2 2 1 2 0 4 1

·

8

1

h

n

me

E

2 2 2 2 0 4 2

·

8

1

h

n

me

E

La energía emitida al pasar desde el nivel (2) al (1) será:









2 2 2 1 2 2 0 4 2 2 1 2 0 4 2 2 2 2 0 4 1 2

1

1

8

·

8

1

·

8

1

n

n

h

me

h

n

me

h

n

me

E

E

E

emitida

Y teniendo en cuenta el tercer postulado:





2 2 2 1 2 2 0 4 1 2

1

1

8

h

n

n

me

c

h

h

E

E

E

E

emitida

De donde despejando 1/:





2 2 2 1 3 2 0 4

1

1

8

1

n

n

c

h

me

SUSTITUYENDO EL VALOR DE LA CONSTANTES QUE APARECEN FUERA DEL PARÉNTESIS, ¡¡SE OBTIENE LA CONSTANTE DE RYDBERG (R)!!:





2 2 2 1

1

1

1

n

n

R

(14)

Nacimiento y principios de la Mecánica cuántica.

(15)

Nacimiento y principios de la Mecánica cuántica.

En 1914 comienza la 1ª Guerra Mundial y el pintor Paul Klee escribía en su diario: “Cuanto más espantoso es el mundo tanto más abstracto es el arte”. Algo parecido ocurre en la física. A partir de los años 20 surge una física abstracta. La mecánica cuántica es abstracta y difícil de entender por tanto, como el arte abstracto provoca rechazo y alejamiento.

A principios de los años 20 del siglo pasado la física se enfrentaba a un gran dilema:

 En fenómenos de difracción, interferencia y polarización, la luz muestra una naturaleza ondulatoria.

 En fenómenos como la emisión de un cuerpo negro, efecto fotoeléctrico, espectros, la luz muestra un comportamiento corpuscular.

En esa década surgen ideas aparentemente contradictorias que van a sentar las bases de la nueva mecánica cuántica:

 Hipótesis de De Broglie.

 Principio de indeterminación (incertidumbre) de Heisenberg.

 La función de onda de Schrödinger.

Dualidad onda-corpúsculo. Hipótesis de De Broglie.

Louis Victorde Broglie (1892-1987)

De su tesis doctoral (1924):“del mismo modo que los fotones se comportan como partículas o como ondas, también los electrones se comportan como partículas o como ondas”

Si se iguala la expresión para la energía relativista de un fotón:

Con la correspondiente según la teoría de Planck:

2

mc

E

(16)

Nacimiento y principios de la Mecánica cuántica.

2

mc

E

h

E

fotón

p

h

c

h

mc

h

mc

2

Siendo pfotón,la cantidad de movimiento o momento lineal del fotón. Esta expresión relaciona una propiedad corpuscular con una propiedad ondulatoria.

fotón

p

h

De Broglie, asumiendo una simetría, postuló que si una onda (luz) tenía

propiedades de partícula, un corpúsculo (electrón) debía tener propiedades de ondas. Extiende la expresión anterior a las partículas materiales que se mueven a velocidad v. Así toda partícula material que viaje a velocidad v lleva

asociada longitud de onda (longitud de onda de materia) que se puede determinar por la siguiente expresión:

mv

h

¡¡DE BROGLIE POSTULA QUE TANTO LOS ELECTRONES, PROTONES, NEUTRONES,.. DEBEN DE TENER PROPIEDADES ONDULATORIAS Y SUFRIR

FENÓMENOS ONDULATORIOS COMO LA DIFRACCIÓN Y LAS

INTERFERENCIAS!!

(17)

Nacimiento y principios de la Mecánica cuántica.

La proposición de De Broglie permite afrontar el segundo postulado de Bohr desde una óptica distinta a la del propio Bohr. Para De Broglie, una órbita estacionaria es aquella que permite en su seno una onda estacionaria asociada a un electrón.

Si suponemos una órbita circular, se establecerá una onda estacionaria cuando se cumpla:

r

n

2

E introduciendo la ecuación de De Broglie, queda:

mv

h

n

r

2

reorganizando:

2

h

n

mvr

Que es la ecuación del segundo postulado de Bohr:

¿Hay evidencias experimentales de la difracción de electrones y protones?

 En 1927 Davisson y Germer detectan la difracción en un haz de electrones:

(18)

Principio de indeterminación de Heisenberg.

En 1927, con sólo 26 años, Werner Karl Heisenberg enuncia un principio que condena para siempre los cálculos deterministas en el mundo subatómico. Su principio afirma que hay pares de propiedades del electrón que no pueden determinarse de forma simultanea con precisión.

El producto de las indeterminaciones en las medidas de la posición (Δx) y del momento lineal (Δp) de un electrón es igual o mayor que el cociente entre la constante de Planck y 2π.

4

h

p

x

Cuanto mayor sea la precisión en la medida de la posición, más incertidumbre se obtendrá en la medida del momento lineal y viceversa.

Una de las consecuencias que se derivan de este principio tiene que ver la energía del cero absoluto. Si una partícula se encuentra confinada en una pequeña región (alta precisión en la posición) debe tener siempre energía cinética, tanto mayor cuanto menor sea la región de confinamiento. Por tanto, si a 0K decimos que una partícula subatómica está quieta estamos violando el principio de indeterminación de Heisenberg ya que sabríamos exactamente su velocidad. Hoy sabemos que a 0K la energía cuántica del helio es suficiente para impedir su congelación (líquido cuántico se denomina). Es decir, a 0K el helio tendría un estado de movimiento no-térmico sino cuántico.

En el caso de partículas con masa (m) que se mueven a velocidad (v), el principio de indeterminación puede escribirse:

Es decir, a medida que aumenta la masa, la indeterminación disminuye. Para masas macroscópicas la indeterminación tiende a cero, lo que posibilita el poder determinar las dos magnitudes con precisión. A esto se le conoce comoprincipio de correlación.

 

m

h

v

x

h

v

m

x

h

mv

x

4

4

4

(19)

La función de probabilidad de Schrödinger.

Erwin Schrödinger (1867-1961)

Schrödinger publica en 1926 un artículo denominado “Cuantización como problema de autovalores” donde siguiendo la linea de las ondas de materia de De Broglie, describe el electrón en el átomo introduciendo un concepto nuevo denominado función de onda del electrón ().

A partir de experimentos de difracción se comprueba que es imposible seguir la trayectoria individual de un electrón. Sólo se puede determinar la probabilidad de que impacte en una determinada zona. Algo similar ocurre con el electrón dentro del átomo. Schrödinger abandona la idea de órbitas deterministas de Bohr como caminos por los que se mueve “la partícula electrón”.

En la física clásica es posible determinar la posición y la velocidad de un oscilador armónico en cualquier instante. Esta idea ya no es válida en el desarrollo de Schrödinger, el electrón pasa a ser descrito, en lugar de por su posición y velocidad, por una función de onda. El verdadero significcado físico de () lo da el físico Max Born quien argumenta que lo que verdaderamente tiene sentido es2.

De esta forma, la probabilidad de encontrar al electrón en una región dV viene dada por:

dV

2

Y la máxima probabilidad de encontrar al electrón en un volumen V vendrá dada por:

1

2

V

dV

Para que una función de onda () sea válida debe cumplir dos condiciones:  Debe cumplir la condición de normalización, es decir, estar normalizada. Esto significa verificar la ecuación anterior.

(20)

La función de probabilidad de Schrödinger.





U

E

z

y

x

m

h

2 2 2 2 2 2 2 2

8

E es la energía total del electrón asociado a la función de onda y U es la energía potencial de dicho electrón.

Esta ecuación es común escribirla de la siguiente manera:





U

x

y

z

t

E

z

y

x

m

,

,

,

2

2 2 2 2 2 2 2

Donde es la constante de Planck  cuantizada: h/2π

El término entre corchetes expresa la suma de la energía total del electrón (Ec y Ep (U)). En Física clásicca a la suma de Ec y U se le conoce como función de Hamilton (H) y en la ecuación de Schrödinger recibe el nombre de HAMILTONIANO (Ĥ). Dicha se puede escribir como:

E

H

ˆ

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