ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO DE SEÑALES
JUSTIFICACIÓN: En esta asignatura se desarrollan las capacidades para aplicar los principios y algoritmos de programación para la adquisición y procesamiento de señales en tiempo real, en el manejo de fuentes de energía, control de motores, monitoreo y control de señales de voz e imágenes, comunicación de datos, entre otras, teniendo como base a las matemáticas discretas.
OBJETIVO: Desarrollar la capacidad en el alumno para analizar los conceptos teóricos y prácticos del área de Adquisición y Procesamiento de Señales, así como utilizar herramientas matemáticas para el análisis de señales y sistemas discretos.
PRERREQUISITOS: Modelado y Simulación de Sistemas Electrónica Analógica
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
BIBLIOGRAFIA.
1. John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis, Digital Signal Processing, 4a. edición, PEARSON PRENTICE HALL.
2. Vinay K. Ingle, John G. Proakis, Digital Signal Processing using MATLAB
V.4, 1997, PWS Publishing Compañy.
3. Cory L. Clark, LabVIEW Digital Signal Processing and Digital
Communications, 2005, McGraw-Hill.
4. Oppenheim Alan, Schafer Ronald, Tratamiento de señales en tiempo
discreto, Segunda Ed., Prentice Hall., Madrid, 2000.
5. Albardar Ashok, Procesamiento de señales analógicas y digitales,
Segunda Ed., Thomson Learning., Mexico, 2003.
6. Ogata Katsuhiko, Sistemas de control en tiempo discreto, Prentice Hall.
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
Hall., EUA. Third Edition.
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
EVALUACION DEL CURSO:
Dos recuperaciones y un global.
Haber cumplido con el 90% de asistencia en todo el curso. No Celulares ni radios durante la clase.
CRITERIOS DE CALIFICACIÓN:
Examen parcial => Presentaciones => Asistencia => Ejercicios => Tareas oportunas =>
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
FORMATO DE LA TAREA, PRACTICA O EXPOSICION
PRIMERA HOJA: Universidad Politécnica de Baja California Carrera: Ingeniería Mecatrónica
Clase: ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
Maestro: Carlos Morales Carbajal Tarea #1
Nombre del alumno y grupo. Fecha de entrega
SEGUNDA HOJA: 1. Problema
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
UNIDAD I. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE ADQUISICIÓN DE SEÑALES.
CLASIFICACION DE LAS SEÑALES
Una señal es una función que representa una cantidad física. Matemáticamente una señal se representa como una función de una variable independiente (tiempo) como pueden ser: la señal del sonido, las imágenes y las señales de video.
En este curso trataremos con 4 clases de señales:
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
Ejemplo de una señal sinusoidal analógica.
Señales Muestreadas o Señal Discreta en el tiempo, xs[n] : Una señal es
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
Señal Cuantizada, xQ(t) : Una señal es discreta en el amplitud pero la
variable independiente (tiempo) es continuo.
Señal Digital, xQ[n] : solo puede tomar un número finito de valores en el
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
Señales Periódica y no periódica.
Una señal es periódica si hay un número positivo “To” tal que: X(t + n*To) = x(t)
Donde To es el periodo
n es un numero entero positivo y nos dice cuantas veces se
repite la señal
Frecuencia fundamental es 1/To
Señal periódica con periodo To
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
Señal aperiódica
Ejemplos de señales sinusoidales continúas en el tiempo
Ω θ, ∞ ∞, Ω 2
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
FRECUENCIA EN SEÑALES EN TIEMPO CONTINUO
Una simple oscilación armónica se describe matemáticamente mediante la siguiente señal en tiempo continuo:
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
La señal senoidal análoga posee las siguientes características:
1.En cada valor de la frecuencia, la señal senoidal análoga es periódica.
donde es el período fundamental de la señal.
2.Las señales senoidales continuas en el tiempo con diferentes frecuencias son únicas.
3.Incremento de la frecuencia en una señal senoidal resulta un incremento en la taza (velocidad) de oscilación de la señal y presenta más oscilaciones en cierto intervalo de tiempo.
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
También en señales exponenciales complejas,
Otra representación aplicando la identidad de Euler.
Relacionando la señal sinusoidal,
El rango de frecuencia es -∝ < F < +∝
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
FRECUENCIA EN SEÑALES EN TIEMPO DISCRETO
Una señal sinusoidal discreta en el tiempo puede expresarse como sigue
F es la frecuencia en ciclos por segundo de una señal analógica y,
f es la frecuencia en ciclos por muestra de la sinusoide discreta en el tiempo.
Señal con frecuencia en radianes por muestra ω= π/6 y fase
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
La señal senoidal muestreada posee las siguientes características:
• Una señal senoidal discreta en el tiempo es periódica solamente si su frecuencia es un número racional.
si y solo si, para todo n
Demostración:
para N es el periodo fundamental
• Una señal senoidal discreta en el tiempo cuyas frecuencias están separadas por múltiplo entero de 2π son idénticos.
Esto nos da,
El rango en frecuencia es para que las señales sean idénticas.
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
• La alta tasa de oscilación en una señal senoidal discreta en el tiempo es limitada cuando ω = π (o ω = - π) o f = ½ (o f = - ½).
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
Ejemplos:
0 50 100 150 200 250
-1 0 1 X= 0 Y= 1 x n 1 (x
) X= 200Y= 1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -1 0 1 X= 0 Y= 1 x n 2 (x
) X= 2Y= 1 X= 1 Y= -1
0 10 20 30 40 50 60
-1 0 1 X= 22 Y= -0.026551 X= 0 Y= 0 X= 44 Y= 0.053084 x n 3 (x )
n, tiempo discreto
xn1(n)=
xn2(n)=
xn3(n)=
SCRIPT DE MATLAB n=0:1:240; subplot(3,1,1) xn1=sin(0.01*pi*n); stem(n,xn1) grid on ylabel('xn1(x)') n=0:1:20; subplot(3,1,2) xn2=cos(3*pi*n); stem(n,xn2) grid on ylabel('xn2(x)') n=0:1:60; subplot(3,1,3) xn3=sin(3*n); stem(n,xn3) grid on ylabel('xn3(x)')
xlabel('n, tiempo discreto')
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
TIPO DE PROCESAMIENTOS
Procesamiento analógico de señales
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
Ventajas de PDS sobre PAS
• Eficiencia de desempeño comparada con otros tipos de procesadores, debido a su condición de uso particular.
• Minimización de costo y riesgo, para el desarrollo de aplicaciones, consecuencia de una tecnología con extensa experiencia en sus bases de diseño.
• Soporte para ejecutar aplicaciones, con gran cantidad de operaciones de multiplicación y acumulación con estabilidad.
• Posibilidad para ejecutar manipulación de aritmética compleja y de punto flotante.
Desventaja
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
Muestreo de señales analógicas
Señal discreta en el tiempo es obtenida por el muestreo en la señal analógica.
T es el período de muestreo o intervalo de muestreo y
Fs es la tasa de muestreo o frecuencia de muestreo (hercios).
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
Las frecuencias F y f están relacionadas linealmente como sigue,
, o su equivalente Ω
Donde f es la frecuencia relativa o normalizada.
La frecuencia más alta de una señal discreta en el tiempo es:
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
Relaciones entre las variables de frecuencia
Rangos de las frecuencias:
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
Teorema del Muestreo y el Efecto ALIASING
Una señal de banda limitada xa(t) con un ancho de banda Fo puede ser
reconstruida de sus valores de muestra x(n) = xa(nTs) si la frecuencia de
muestreo Fs = 1/Ts es más que el doble del ancho de banda Fo de xa(t).
Fs > 2Fo
De lo contrario el efecto de Aliasing podría producirse en x(n). La taza de muestreo de 2Fo para una señal análoga de banda limitada es llamada la taza de Nyquist.
Ejemplo: Dos funciones x1(t) = cos
[
2π(10)t]
y x2(t) = cos[
2π(50)t]
con
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 -1
-0.5 0 0.5 1
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 -1
-0.5 0 0.5 1
[
t]
t
x1( ) = cos 2π(10)
[
t]
t
x2( ) = cos 2π(50)
Tiempo (segundos)
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 -1
-0.5 0 0.5 1
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 -1 -0.5 0 0.5 1 =
= n n
n x 2 cos 40 10 2 cos ) ( 1 π π =
= n n
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
Implementación en MATLAB del muestreo, antes y después
%señal de entrada x(t)
t=0:0.00001:0.2; xt=cos(2*pi*10*t);
figure(1),plot(t,xt,'b','LineWidth',3), grid on
xlabel('Tiempo en segundos, t','fontsize',12,'fontweight','b') ylabel('Amplitud','fontsize',12,'fontweight','b')
title('Señal analogica x(t)','fontsize',12,'fontweight','b')
%señal muestreada x(n)
n=0:8;
xn=cos(pi*n/2);
figure(2),stem(n,xn,'r','LineWidth',3), grid on
xlabel('Tiempo discreto en muestras, n','fontsize',12,'fontweight','b') ylabel('Amplitud','fontsize',12,'fontweight','b')
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
Con la taza de muestreo 40 muestras por segundo, existen varios alias de
F1 con frecuencias diferentes. F3 = 90 Hz, F4 = 130 Hz, F5 = 170, todas
las senoidales cos[2
π
(F1-40k)t] donde k es número entero y F1 = 10 Hz.Así, la señal senoidal continua en el tiempo
Xa(t) = Acos[2
π
Fot + θ]Se muestrea con una taza de Fs = 1/Ts y produce como resultado una señal discreta en el tiempo.
X(n) = Acos[2
π
fon + θ]
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
Por el contrario, si las sinusoides
Donde
,
La frecuencia Fk no pertenece al rango de la frecuencia fundamental
Entonces, la señal muestreada es
. Donde vemos que las frecuencias son indistinguibles de la frecuencia F0
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
Cuantificación de las señales de Amplitud Continua
La cuantificación es el proceso de convertir una señal continua en amplitud pero discreto en el tiempo a una señal digital y expresa cada valor muestreada como un número finito digital. Se representa de la forma:
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
Ejemplo:
Se considera la señal analógica exponencial
Si se utiliza una frecuencia de muestreo , nuestra señal discreta en el tiempo es:
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
Grafica después de la etapa de cuantificación.
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
Si xmin y xmax representan los valores mínimo y máximo de x(n) y L es la cantidad de niveles de cuantificación, entonces
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
La calidad de la salida del convertidor A/D es usualmente medida por la relación de señal – ruido de cuantificación (siglas en ingles SQNR), en cual proporciona la relación de la potencia de la señal a la potencia de ruido.
Expresado en decibeles,
Donde cada bit tiene un incremento de 6.02 dB por la palabra.
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
CODIFICACIÓN DE LAS MUESTRAS CUANTIFICADAS.
El proceso de codificación en un convertidor A/D asigna un único número binario a cada nivel de cuantificación. Si son L niveles entonces se necesitará al menos L números diferentes binarios posibles. Con una longitud de la palabra de b bits, podemos crear 2b números diferentes binarios.
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
CONVERTIDOR DIGITAL / ANALÓGICO
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS EN EL TIEMPO
Sistema con entrada y salida
Diagrama de bloques
Invariantes y Variantes en el tiempo
Estáticos y Dinámicos Clasificación: Lineales y No lineales
Causales y No causales Estables e Inestables Clasificación
Operaciones entre señales
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
SEÑALES DISCRETOS EN EL TIEMPO
Clasificación de las Secuencias:
1)Muestra unitaria: [x,n] = impseq(n0,n1,n2) 2)Escalón unitario: [x,n] = stepseq(n0,n1,n2) 3)Rampa unitaria
4)Exponencial unitario
Operaciones en las secuencias
1) Suma de señales: [y,n] = sigadd(x1,n1,x2,n2)
2) Multiplicación de señales: [y,n] = sigmult(x1,n1,x2,n2)
3) Escalado temporal o submuestreo: α {x(n)} = {αx(n)}
4) Retardo o adelanto: [y,n] = sigshift(x,m,k)
5) Solapamiento o reflexión: [y,n] = sigfold(x,n)
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
7) Producto de muestras: prod(x(n1:n2))
8) Energía de la señal
Script en Matlab
>> Ex = sum(x .* conj(x)); % one approach >> Ex = sum(abs(x) .^ 2); % another approach
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
10) Sintetizar la Señal en par e impar: [xe, xo, m] = evenodd(x,n)
11) Periodicidad en frecuencia:
Acos[(ω0 + k2π)n + θ0] = Acos(ω0n + kn2π + θ0)
= Acos(ω0n + θ0)
12) Sintetizar la señal en muestras unitaria:
!" !
#
$%&#
13) Correlación de secuencias: >> xcorr(x,y)
'(,)* + *
#
,%&#
14) Autocorrelación de secuencias: >> xcorr(x)
'(,(* *
#
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
CLASIFICACIÓN DE SEÑALES BASADAS EN SIMETRÍAS:
Simetría Par: x(t) = x(-t)
Simetría Impar: x(t) = -x(-t)
Una señal no simétrica puede siempre expresarse como la suma de
una función par xe(t) y una función impar xo(t) :
Función par
2
)
(
)
(
)
(
t
x
t
x
t
Xe
=
+
−
Función impar
2
)
(
)
(
)
(
t
x
t
x
t
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
Ejercicio:
Esta señal será descompuesta usando la descomposición Par-Impar
Tarea:
-2 0 2 2
f(t)
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
Ejercicios:
Generar y trazar cada una de las siguientes secuencias tomando en cuenta el intervalo.
a. x(n) = 2δ(n + 2) − δ(n − 4), −5 ≤ n ≤ 5.
b.x(n) = n[u(n)−u(n−10)]+10e−0.3(n−10)[u(n−10)−u(n−20)], 0 ≤ n ≤ 20
c. x(n) = cos(0.04πn) + 0.2w(n), 0 ≤ n ≤ 50, donde w(n) es una secuencia aleatoria Gaussian con promedio cero y varianza unitaria.
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
Ejemplo:
Determine y grafique las siguientes secuencias considerando x(n),
Solución: La secuencia de x(n) es -2 ≤ n ≤ 10,
Código del inciso “a”,
n = -2:10; x = [1:7,6:-1:1];
[x11,n11] = sigshift(x,n,5); [x12,n12] = sigshift(x,n,-4); [x1,n1] = sigadd(2*x11,n11,-3*x12,n12);
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
Código del inciso ”b”,
[x21,n21] = sigfold(x,n); [x21,n21] = sigshift(x21,n21,3); [x22,n22] = sigshift(x,n,2); [x22,n22] = sigmult(x,n,x22,n22); [x2,n2] = sigadd(x21,n21,x22,n22);
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
Ejemplo:
Generar la señal compleja x(n), tal manera que grafique su magnitud, fase, la parte real y la parte imaginaria en cuatros graficas subplot en MATLAB
Solución: Su código de MATLAB es,
n = [-10:1:10]; alpha = -0.1+0.3j; x = exp(alpha*n);
subplot(2,2,1); stem(n,real(x));title(’Parte real’);xlabel(’n’)
subplot(2,2,2); stem(n,imag(x));title(’Parte Imaginaria’);xlabel(’n’) subplot(2,2,3); stem(n,abs(x));title(’Magnitud’);xlabel(’n’)
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
Ejemplo:
Descomponer la señal x(n) en funciones par e impar con el programa
evenodd de MATLAB dentro de un intervalo -10 ≤ n ≤ 10,
Solución: Su código en MATLAB,
n = [0:10]; x = stepseq(0,0,10)-stepseq(10,0,10); [xe,xo,m] = evenodd(x,n);
subplot(2,2,1); stem(n,x); title(’Pulso Rectangular’) xlabel(’n’); ylabel(’x(n)’); axis([-10,10,0,1.2])
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
SISTEMAS DISCRETOS EN EL TIEMPO
Relación de la entrada y salida en un sistema discreto en el tiempo.
En su forma de ecuación:
ó
Señal de respuesta
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DISCRETOS EN EL TIEMPO:
Sistemas invariantes y variantes en el tiempo.
Un sistema en reposo T es invariante en el tiempo o invariante a desplazamientos si y solo si cumple con ambas señales de respuesta
Dicho de otra manera,
Donde, L[⋅] es el sistema en reposo o T.
x(n) L[⋅] y(n) Desplazamiento
en k muestras y(n-k)
x(n) Desplazamiento
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
Determine los siguientes sistemas lineales son invariantes en el tiempo o de lo contrario, (verifíquelo con el apoyo del programa MatLab)
1. y(n) = T[x(n)] = 10 sin(0.1πn)x(n)
2. y(n) = T[x(n)] = x(n + 1) − x(1 − n)
3. y(n) = T[x(n)] = (¼)x(n) + (½)x(n − 1) + (¼)x(n − 2)
4. y(n) = 5*x(n)
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
Sistemas lineales y no lineales
Un sistema es lineal si y solo si
Para cualesquiera secuencias arbitrarias de entrada x1(n) y x2(n), y
cualesquiera constantes arbitrarias a1 y a2.
Determine los siguientes sistemas son lineales o lo contrario, (verifíquelo con el apoyo del programa MatLab)
1. y(n) = T[x(n)] = 3x2(n) 2. y(n) = 2x(n − 2) + 5
3. y(n) = x(n + 1) − x(n − 1)
4. y(n) = 5*x(n)
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
Sistemas estáticos y dinámicos.
Un sistema en tiempo discreto se denomina estático o sin memoria si su salida en cualquier instante “n” depende a lo sumo de la muestra de entrada en ese mismo instante, pero no de las muestras pasadas o futuras de la entrada. En cualquier otro caso, se dice que el sistema es dinámico o con memoria. Si la salida de un sistema en el instante “n” está determinada completamente por las muestras de entrada en el intervalo de n – N a n (N ≥
0), se dice que el sistema tiene memoria de duración N. Si N = 0, el sistema es estático. Si 0 < N < ∞, se dice que el sistema tiene memoria finita, mientras que si N = ∞, se dice que el sistema tiene memoria infinita.
Por ejemplo: a) Sistema sin memoria: y(n) = ax(n)
b) Sistema con memoria finita: y(n) = x(n) + 3x(n – 1) c) Sistema con memoria infinita: + ∑∞$%. !
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
Sistemas causales y no causales
Un sistema es causal si la salida del sistema en cualquier instante n (es decir, y(n)) depende solo de las entradas presentes y pasadas (es decir, x(n),
x(n – 1), x(n – 2),...) pero no de las futuras (es decir, x(n + 1), x(n + 2),...). En términos matemáticos, la salida de un sistema causal verifica una ecuación de la forma
y(n) = F[x(n), x(n – 1), x(n – 2),...]
donde F[×] es una función arbitraria.
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
Causales: Son ceros en su amplitud para t < 0. Se definen sólo para el eje positivo de t.
Anticausales: Son ceros en su amplitud para t > 0. Se definen sólo para el eje negativo de t.
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
Sistemas estables e inestables
La estabilidad es una propiedad muy importante que debe ser considerar en cualquier aplicación práctica de un sistema. Sistemas inestables presentan un comportamiento errático y extremo que es causa de desbordamiento del sistema en aplicaciones prácticas. Un sistema arbitrario en reposo se dice de entrada acotada-salida acotada (BIBO, bounded input-bounded output), si y solo si toda entrada acotada produce una salida acotada.
Matemáticamente el acotamiento de las secuencias de entrada y salida,
x(n) e y(n), se traduce en la existencia de un par de números finitos, digamos
Mx y My, tales que
|x(n)| ≤ Mx < ∞ y |y(n)| ≤ My < ∞,
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
CONVOLUCIÓN
La convolución o convolución lineal es un proceso matemáticamente complejo que se realiza en sistemas LIT (Lineal e invariante en el tiempo) y se le asigna con el operador “∗”.
Tal manera, la entrada x(n) como fuente de excitación y por medio del sistema LIT h(n) se obtiene la salida de respuesta y(n) debido a la respuesta al impulso de un sistema LIT es dado por h(n) que matemáticamente es:
+ 0123 !4 ! # !4!
$%&# #
$%&#
Por ejemplo, un sistema definido como la respuesta al impulso h(n) que se le aplica un pulso rectangular definido x(n) = u(n)-u(n-10)
h(n) = (0.9)n u(n)
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
Solución:
Por la serie geométrica se puede evaluar la convolución de la siguiente manera,
+ ∗ 4 # !4 !
$%&#
Se considera tres casos
Caso n <0 : Cuando la salida tiene el valor de cero por
5 ! 0, 0 ≤ ! ≤ 9
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
La señal de respuesta es
Ejercicios: Determine la respuesta del sistema a las señales de entrada y a la respuesta al impulso de los sistemas lineal e invariante en el tiempo:
1)h(n) = {1,2,1,-1}, x(n) = {1,2,3,1} ↑ ↑
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
SISTEMAS CON RESPUESTAS AL IMPULSO DE DURACIÓN FINITA E INFINITA
Dentro de los sistemas lineales e invariantes en el tiempo se pueden subdividir en dos tipos:
a)Los sistemas que presentan una respuesta al impulso de duración finita (FIR,
finite-duration impulse response), es decir, un sistema FIR tiene una respuesta al impulso que es cero fuera de un determinado intervalo finito. De modo que la fórmula de la convolución para un sistema así se reduce a
+ 4! !
9&:
$%.
b)Por el contrario, los sistemas que presentan una respuesta al impulso de duración infinita (IIR, infinite-duration impulse response)
+ 4! !
#
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
SISTEMAS DISCRETOS EN EL TIEMPO RECURSIVO Y NO RECURSIVO
Si el sistema es recursivo,
para calcular y(n0), primero
tenemos que calcular todos
los valores anteriores y(0),
y(1), …, y(n0 – 1). El efecto
de la retroalimentación crea este tipo de sistema.
En cambio, un sistema es no recursivo, si su salida “y(n)” no depende de las anteriores salidas y está puede calcularse en cualquier orden, es decir,
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
SISTEMAS LINEALES INVARIANTE EN EL TIEMPO CARACTERIZADOS POR ECUACIONES EN DIFERENCIAS DE COEFICIENTES
CONSTANTES.
Dentro de la familia de sistemas lineales e invariantes en el tiempo se describe su relación entrada – salida denominada ecuación en diferencias con coeficientes constantes. Uno de los ejemplos más usuales es el siguiente sistema recursivo
;< =;< > ?<
Donde la a es una constante.
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINEALES DE COEFICIENTE CONSTANTE
(MÉTODO DIRECTO)
1.Encontrar la Solución homogénea, yh(n)
Solución propuesta evaluar a la ecuación: yh(n) = λλλλn
Raíces del Polinomio característico, λλλλ1, λλλλ2, λλλλ3,…, λλλλN.
Solución: y(n) = C1λλλλ1n + C2λλλλ2n + ………… + CNλλλλNn
2.Solución particular y evaluar a la ecuación, yp(n)
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
REPRESENTACIÓN POR DIAGRAMA A BLOQUES
a)Sumador:
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
d)Multiplicación
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
La señal de entrada x(n) = {x(0), x(1), x(2), x(3)} es también v0(n). La salida
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
Denotando las salidas de las tres sumatorias
y
1(n),y
2(n), yy
3(n), podemosobtener
De tal manera, el modelo del sistema discreto en el tiempo lo podemos representar en su forma general de relación entrada – salida:
Donde a(0), a(1), a(2), … , a(k) son valores constantes
b(0), b(1), b(2), … , b(k) son valores constantes
y(n), y(n-1), y(n-2), …, y(n-k) son los retardos de la señal de salida