ADQUISICION Y PROCESAMIENTO DE SEÑALES OBJETIVO Y TEMARIO

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO DE SEÑALES

JUSTIFICACIÓN: En esta asignatura se desarrollan las capacidades para aplicar los principios y algoritmos de programación para la adquisición y procesamiento de señales en tiempo real, en el manejo de fuentes de energía, control de motores, monitoreo y control de señales de voz e imágenes, comunicación de datos, entre otras, teniendo como base a las matemáticas discretas.

OBJETIVO: Desarrollar la capacidad en el alumno para analizar los conceptos teóricos y prácticos del área de Adquisición y Procesamiento de Señales, así como utilizar herramientas matemáticas para el análisis de señales y sistemas discretos.

PRERREQUISITOS: Modelado y Simulación de Sistemas Electrónica Analógica

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

BIBLIOGRAFIA.

1. John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis, Digital Signal Processing, 4a. edición, PEARSON PRENTICE HALL.

2. Vinay K. Ingle, John G. Proakis, Digital Signal Processing using MATLAB

V.4, 1997, PWS Publishing Compañy.

3. Cory L. Clark, LabVIEW Digital Signal Processing and Digital

Communications, 2005, McGraw-Hill.

4. Oppenheim Alan, Schafer Ronald, Tratamiento de señales en tiempo

discreto, Segunda Ed., Prentice Hall., Madrid, 2000.

5. Albardar Ashok, Procesamiento de señales analógicas y digitales,

Segunda Ed., Thomson Learning., Mexico, 2003.

6. Ogata Katsuhiko, Sistemas de control en tiempo discreto, Prentice Hall.

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

Hall., EUA. Third Edition.

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

EVALUACION DEL CURSO:

Dos recuperaciones y un global.

Haber cumplido con el 90% de asistencia en todo el curso. No Celulares ni radios durante la clase.

CRITERIOS DE CALIFICACIÓN:

Examen parcial => Presentaciones => Asistencia => Ejercicios => Tareas oportunas =>

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

FORMATO DE LA TAREA, PRACTICA O EXPOSICION

PRIMERA HOJA: Universidad Politécnica de Baja California Carrera: Ingeniería Mecatrónica

Clase: ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

Maestro: Carlos Morales Carbajal Tarea #1

Nombre del alumno y grupo. Fecha de entrega

SEGUNDA HOJA: 1. Problema

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

UNIDAD I. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE ADQUISICIÓN DE SEÑALES.

CLASIFICACION DE LAS SEÑALES

Una señal es una función que representa una cantidad física. Matemáticamente una señal se representa como una función de una variable independiente (tiempo) como pueden ser: la señal del sonido, las imágenes y las señales de video.

En este curso trataremos con 4 clases de señales:

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

Ejemplo de una señal sinusoidal analógica.

Señales Muestreadas o Señal Discreta en el tiempo, xs[n] : Una señal es

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

Señal Cuantizada, xQ(t) : Una señal es discreta en el amplitud pero la

variable independiente (tiempo) es continuo.

Señal Digital, xQ[n] : solo puede tomar un número finito de valores en el

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

Señales Periódica y no periódica.

Una señal es periódica si hay un número positivo “To_{” tal que:} X(t + n*To) = x(t)

Donde To _{es el periodo}

n _{es un numero entero positivo y nos dice cuantas veces se}

repite la señal

Frecuencia fundamental es 1/To

Señal periódica con periodo To

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

Señal aperiódica

Ejemplos de señales sinusoidales continúas en el tiempo

Ω θ, ∞ ∞_, Ω 2

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

FRECUENCIA EN SEÑALES EN TIEMPO CONTINUO

Una simple oscilación armónica se describe matemáticamente mediante la siguiente señal en tiempo continuo:

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

La señal senoidal análoga posee las siguientes características:

1.En cada valor de la frecuencia, la señal senoidal análoga es periódica.

donde es el período fundamental de la señal.

2.Las señales senoidales continuas en el tiempo con diferentes frecuencias son únicas.

3.Incremento de la frecuencia en una señal senoidal resulta un incremento en la taza (velocidad) de oscilación de la señal y presenta más oscilaciones en cierto intervalo de tiempo.

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

También en señales exponenciales complejas,

Otra representación aplicando la identidad de Euler.

Relacionando la señal sinusoidal,

El rango de frecuencia es -∝ < F < +∝

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

FRECUENCIA EN SEÑALES EN TIEMPO DISCRETO

Una señal sinusoidal discreta en el tiempo puede expresarse como sigue

F es la frecuencia en ciclos por segundo de una señal analógica y,

f es la frecuencia en ciclos por muestra de la sinusoide discreta en el tiempo.

Señal con frecuencia en radianes por muestra ω= π/6 y fase

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

La señal senoidal muestreada posee las siguientes características:

• Una señal senoidal discreta en el tiempo es periódica solamente si su frecuencia es un número racional.

si y solo si, para todo n

Demostración:

para N es el periodo fundamental

• Una señal senoidal discreta en el tiempo cuyas frecuencias están separadas por múltiplo entero de 2π son idénticos.

Esto nos da,

El rango en frecuencia es para que las señales sean idénticas.

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

• La alta tasa de oscilación en una señal senoidal discreta en el tiempo es limitada cuando ω = π (o ω = - π) o f = ½ (o f = - ½).

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

Ejemplos:

0 50 100 150 200 250

-1 0 1 X= 0 Y= 1 x n 1 (x

) X= 200Y= 1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -1 0 1 X= 0 Y= 1 x n 2 (x

) X= 2Y= 1 X= 1 Y= -1

0 10 20 30 40 50 60

-1 0 1 X= 22 Y= -0.026551 X= 0 Y= 0 X= 44 Y= 0.053084 x n 3 (x )

n, tiempo discreto

xn1(n)=

xn2(n)=

xn3(n)=

SCRIPT DE MATLAB n=0:1:240; subplot(3,1,1) xn1=sin(0.01*pi*n); stem(n,xn1) grid on ylabel('xn1(x)') n=0:1:20; subplot(3,1,2) xn2=cos(3*pi*n); stem(n,xn2) grid on ylabel('xn2(x)') n=0:1:60; subplot(3,1,3) xn3=sin(3*n); stem(n,xn3) grid on ylabel('xn3(x)')

xlabel('n, tiempo discreto')

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

TIPO DE PROCESAMIENTOS

Procesamiento analógico de señales

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

Ventajas de PDS sobre PAS

• Eficiencia de desempeño comparada con otros tipos de procesadores, debido a su condición de uso particular.

• Minimización de costo y riesgo, para el desarrollo de aplicaciones, consecuencia de una tecnología con extensa experiencia en sus bases de diseño.

• Soporte para ejecutar aplicaciones, con gran cantidad de operaciones de multiplicación y acumulación con estabilidad.

• Posibilidad para ejecutar manipulación de aritmética compleja y de punto flotante.

Desventaja

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

Muestreo de señales analógicas

Señal discreta en el tiempo es obtenida por el muestreo en la señal analógica.

T es el período de muestreo o intervalo de muestreo y

Fs es la tasa de muestreo o frecuencia de muestreo (hercios).

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

Las frecuencias F y f están relacionadas linealmente como sigue,

, o su equivalente Ω

Donde f es la frecuencia relativa o normalizada.

La frecuencia más alta de una señal discreta en el tiempo es:

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

Relaciones entre las variables de frecuencia

Rangos de las frecuencias:

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

Teorema del Muestreo y el Efecto ALIASING

Una señal de banda limitada xa(t) con un ancho de banda Fo puede ser

reconstruida de sus valores de muestra x(n) = xa(nTs) si la frecuencia de

muestreo Fs = 1/Ts es más que el doble del ancho de banda Fo de xa(t).

Fs > 2Fo

De lo contrario el efecto de Aliasing podría producirse en x(n). La taza de muestreo de 2Fo para una señal análoga de banda limitada es llamada la taza de Nyquist.

Ejemplo: Dos funciones x₁(t) = cos

[

]

[

]

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 -1

-0.5 0 0.5 1

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 -1

-0.5 0 0.5 1

[

]

t

x₁( ) = cos 2π(10)

[

]

t

x₂( ) = cos 2π(50)

Tiempo (segundos)

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 -1

-0.5 0 0.5 1

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 -1 -0.5 0 0.5 1     =            

= n n

n x 2 cos 40 10 2 cos ) ( 1 π π     =            

= n n

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

Implementación en MATLAB del muestreo, antes y después

%señal de entrada x(t)

t=0:0.00001:0.2; xt=cos(2*pi*10*t);

figure(1),plot(t,xt,'b','LineWidth',3), grid on

xlabel('Tiempo en segundos, t','fontsize',12,'fontweight','b') ylabel('Amplitud','fontsize',12,'fontweight','b')

title('Señal analogica x(t)','fontsize',12,'fontweight','b')

%señal muestreada x(n)

n=0:8;

xn=cos(pi*n/2);

figure(2),stem(n,xn,'r','LineWidth',3), grid on

xlabel('Tiempo discreto en muestras, n','fontsize',12,'fontweight','b') ylabel('Amplitud','fontsize',12,'fontweight','b')

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

Con la taza de muestreo 40 muestras por segundo, existen varios alias de

F1 con frecuencias diferentes. F3 = 90 Hz, F4 = 130 Hz, F5 = 170, todas

las senoidales cos[2

π

Así, la señal senoidal continua en el tiempo

Xa(t) = Acos[2

π

Se muestrea con una taza de Fs = 1/Ts y produce como resultado una señal discreta en el tiempo.

X(n) = Acos[2

π

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

Por el contrario, si las sinusoides

Donde

,

La frecuencia Fk no pertenece al rango de la frecuencia fundamental

Entonces, la señal muestreada es

. Donde vemos que las frecuencias son indistinguibles de la frecuencia F0

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

Cuantificación de las señales de Amplitud Continua

La cuantificación es el proceso de convertir una señal continua en amplitud pero discreto en el tiempo a una señal digital y expresa cada valor muestreada como un número finito digital. Se representa de la forma:

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

Ejemplo:

Se considera la señal analógica exponencial

Si se utiliza una frecuencia de muestreo , nuestra señal discreta en el tiempo es:

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

Grafica después de la etapa de cuantificación.

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

Si xmin y xmax representan los valores mínimo y máximo de x(n) y L es la cantidad de niveles de cuantificación, entonces

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

La calidad de la salida del convertidor A/D es usualmente medida por la relación de señal – ruido de cuantificación (siglas en ingles SQNR), en cual proporciona la relación de la potencia de la señal a la potencia de ruido.

Expresado en decibeles,

Donde cada bit tiene un incremento de 6.02 dB por la palabra.

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

CODIFICACIÓN DE LAS MUESTRAS CUANTIFICADAS.

El proceso de codificación en un convertidor A/D asigna un único número binario a cada nivel de cuantificación. Si son L niveles entonces se necesitará al menos L números diferentes binarios posibles. Con una longitud de la palabra de b bits, podemos crear 2b números diferentes binarios.

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

CONVERTIDOR DIGITAL / ANALÓGICO

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS EN EL TIEMPO

Sistema con entrada y salida

Diagrama de bloques

Invariantes y Variantes en el tiempo

Estáticos y Dinámicos Clasificación: Lineales y No lineales

Causales y No causales Estables e Inestables Clasificación

Operaciones entre señales

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

SEÑALES DISCRETOS EN EL TIEMPO

Clasificación de las Secuencias:

1)Muestra unitaria: [x,n] = impseq(n0,n1,n2) 2)Escalón unitario: [x,n] = stepseq(n0,n1,n2) 3)Rampa unitaria

4)Exponencial unitario

Operaciones en las secuencias

1) Suma de señales: [y,n] = sigadd(x1,n1,x2,n2)

2) Multiplicación de señales: [y,n] = sigmult(x1,n1,x2,n2)

3) Escalado temporal o submuestreo: α {x(n)} = {αx(n)}

4) Retardo o adelanto: [y,n] = sigshift(x,m,k)

5) Solapamiento o reflexión: [y,n] = sigfold(x,n)

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

7) Producto de muestras: prod(x(n1:n2))

8) Energía de la señal

Script en Matlab

>> Ex = sum(x .* conj(x)); % one approach >> Ex = sum(abs(x) .^ 2); % another approach

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

10) Sintetizar la Señal en par e impar: [xe, xo, m] = evenodd(x,n)

11) Periodicidad en frecuencia:

Acos[(ω0 + k2π)n + θ0] = Acos(ω0n + kn2π + θ0)

= Acos(ω0n + θ0)

12) Sintetizar la señal en muestras unitaria:

!" !

#

$%&#

13) Correlación de secuencias: >> xcorr(x,y)

'_(,)* + *

#

,%&#

14) Autocorrelación de secuencias: >> xcorr(x)

'_(,(* *

#

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

CLASIFICACIÓN DE SEÑALES BASADAS EN SIMETRÍAS:

Simetría Par: x(t) = x(-t)

Simetría Impar: x(t) = -x(-t)

Una señal no simétrica puede siempre expresarse como la suma de

una función par xe(t) y una función impar xo(t) :

Función par

₂

)

(

)

(

)

(

t

x

t

x

t

Xe

=

+

−

Función impar

₂

)

(

)

(

)

(

t

x

t

x

t

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

Ejercicio:

Esta señal será descompuesta usando la descomposición Par-Impar

Tarea:

-2 0 2 2

f(t)

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

Ejercicios:

Generar y trazar cada una de las siguientes secuencias tomando en cuenta el intervalo.

a. x(n) = 2δ(n + 2) − δ(n − 4), −5 ≤ n ≤ 5.

b.x(n) = n[u(n)−u(n−10)]+10e−0.3(n−10)[u(n−10)−u(n−20)], 0 ≤ n ≤ 20

c. x(n) = cos(0.04πn) + 0.2w(n), 0 ≤ n ≤ 50, donde w(n) es una secuencia aleatoria Gaussian con promedio cero y varianza unitaria.

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

Ejemplo:

Determine y grafique las siguientes secuencias considerando x(n),

Solución: La secuencia de x(n) es -2 ≤ n ≤ 10,

Código del inciso “a”,

n = -2:10; x = [1:7,6:-1:1];

[x11,n11] = sigshift(x,n,5); [x12,n12] = sigshift(x,n,-4); [x1,n1] = sigadd(2*x11,n11,-3*x12,n12);

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

Código del inciso ”b”,

[x21,n21] = sigfold(x,n); [x21,n21] = sigshift(x21,n21,3); [x22,n22] = sigshift(x,n,2); [x22,n22] = sigmult(x,n,x22,n22); [x2,n2] = sigadd(x21,n21,x22,n22);

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

Ejemplo:

Generar la señal compleja x(n), tal manera que grafique su magnitud, fase, la parte real y la parte imaginaria en cuatros graficas subplot en MATLAB

Solución: Su código de MATLAB es,

n = [-10:1:10]; alpha = -0.1+0.3j; x = exp(alpha*n);

subplot(2,2,1); stem(n,real(x));title(’Parte real’);xlabel(’n’)

subplot(2,2,2); stem(n,imag(x));title(’Parte Imaginaria’);xlabel(’n’) subplot(2,2,3); stem(n,abs(x));title(’Magnitud’);xlabel(’n’)

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

Ejemplo:

Descomponer la señal x(n) en funciones par e impar con el programa

evenodd de MATLAB dentro de un intervalo -10 ≤ n ≤ 10,

Solución: Su código en MATLAB,

n = [0:10]; x = stepseq(0,0,10)-stepseq(10,0,10); [xe,xo,m] = evenodd(x,n);

subplot(2,2,1); stem(n,x); title(’Pulso Rectangular’) xlabel(’n’); ylabel(’x(n)’); axis([-10,10,0,1.2])

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

SISTEMAS DISCRETOS EN EL TIEMPO

Relación de la entrada y salida en un sistema discreto en el tiempo.

En su forma de ecuación:

ó

Señal de respuesta

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DISCRETOS EN EL TIEMPO:

Sistemas invariantes y variantes en el tiempo.

Un sistema en reposo T es invariante en el tiempo o invariante a desplazamientos si y solo si cumple con ambas señales de respuesta

Dicho de otra manera,

Donde, L[⋅] es el sistema en reposo o T.

x(n) L[⋅] y(n) Desplazamiento

en k muestras y(n-k)

x(n) Desplazamiento

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

Determine los siguientes sistemas lineales son invariantes en el tiempo o de lo contrario, (verifíquelo con el apoyo del programa MatLab)

1. y(n) = T[x(n)] = 10 sin(0.1πn)x(n)

2. y(n) = T[x(n)] = x(n + 1) − x(1 − n)

3. y(n) = T[x(n)] = (¼)x(n) + (½)x(n − 1) + (¼)x(n − 2)

4. y(n) = 5*x(n)

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

Sistemas lineales y no lineales

Un sistema es lineal si y solo si

Para cualesquiera secuencias arbitrarias de entrada x1(n) y x2(n), y

cualesquiera constantes arbitrarias a1 y a2.

Determine los siguientes sistemas son lineales o lo contrario, (verifíquelo con el apoyo del programa MatLab)

1. y(n) = T[x(n)] = 3x2_(n) 2. y(n) = 2x(n − 2) + 5

3. y(n) = x(n + 1) − x(n − 1)

4. y(n) = 5*x(n)

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

Sistemas estáticos y dinámicos.

Un sistema en tiempo discreto se denomina estático o sin memoria si su salida en cualquier instante “n” depende a lo sumo de la muestra de entrada en ese mismo instante, pero no de las muestras pasadas o futuras de la entrada. En cualquier otro caso, se dice que el sistema es dinámico o con memoria. Si la salida de un sistema en el instante “n” está determinada completamente por las muestras de entrada en el intervalo de n – N a n (N ≥

0), se dice que el sistema tiene memoria de duración N. Si N = 0, el sistema es estático. Si 0 < N < ∞, se dice que el sistema tiene memoria finita, mientras que si N = ∞, se dice que el sistema tiene memoria infinita.

Por ejemplo: a) Sistema sin memoria: y(n) = ax(n)

b) Sistema con memoria finita: y(n) = x(n) + 3x(n – 1) c) Sistema con memoria infinita: + ∑∞_$%. !

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

Sistemas causales y no causales

Un sistema es causal si la salida del sistema en cualquier instante n (es decir, y(n)) depende solo de las entradas presentes y pasadas (es decir, x(n),

x(n – 1), x(n – 2),...) pero no de las futuras (es decir, x(n + 1), x(n + 2),...). En términos matemáticos, la salida de un sistema causal verifica una ecuación de la forma

y(n) = F[x(n), x(n – 1), x(n – 2),...]

donde F[×] es una función arbitraria.

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

Causales: Son ceros en su amplitud para t < 0. Se definen sólo para el eje positivo de t.

Anticausales: Son ceros en su amplitud para t > 0. Se definen sólo para el eje negativo de t.

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

Sistemas estables e inestables

La estabilidad es una propiedad muy importante que debe ser considerar en cualquier aplicación práctica de un sistema. Sistemas inestables presentan un comportamiento errático y extremo que es causa de desbordamiento del sistema en aplicaciones prácticas. Un sistema arbitrario en reposo se dice de entrada acotada-salida acotada (BIBO, bounded input-bounded output), si y solo si toda entrada acotada produce una salida acotada.

Matemáticamente el acotamiento de las secuencias de entrada y salida,

x(n) e y(n), se traduce en la existencia de un par de números finitos, digamos

Mx y My, tales que

|x(n)| ≤ Mx < ∞ y |y(n)| ≤ My < ∞,

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

CONVOLUCIÓN

La convolución o convolución lineal es un proceso matemáticamente complejo que se realiza en sistemas LIT (Lineal e invariante en el tiempo) y se le asigna con el operador “∗”.

Tal manera, la entrada x(n) como fuente de excitación y por medio del sistema LIT h(n) se obtiene la salida de respuesta y(n) debido a la respuesta al impulso de un sistema LIT es dado por h(n) que matemáticamente es:

+ 0123 !4 ! # !4!

$%&# #

$%&#

Por ejemplo, un sistema definido como la respuesta al impulso h(n) que se le aplica un pulso rectangular definido x(n) = u(n)-u(n-10)

h(n) = (0.9)n u(n)

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

Solución:

Por la serie geométrica se puede evaluar la convolución de la siguiente manera,

+ ∗ 4 # !4 !

$%&#

Se considera tres casos

Caso n <0 : Cuando la salida tiene el valor de cero por

5 ! 0, 0 ≤ ! ≤ 9

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

La señal de respuesta es

Ejercicios: Determine la respuesta del sistema a las señales de entrada y a la respuesta al impulso de los sistemas lineal e invariante en el tiempo:

1)h(n) = {1,2,1,-1}, x(n) = {1,2,3,1} ↑ ↑

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

SISTEMAS CON RESPUESTAS AL IMPULSO DE DURACIÓN FINITA E INFINITA

Dentro de los sistemas lineales e invariantes en el tiempo se pueden subdividir en dos tipos:

a)Los sistemas que presentan una respuesta al impulso de duración finita (FIR,

finite-duration impulse response), es decir, un sistema FIR tiene una respuesta al impulso que es cero fuera de un determinado intervalo finito. De modo que la fórmula de la convolución para un sistema así se reduce a

+ 4! !

9&:

$%.

b)Por el contrario, los sistemas que presentan una respuesta al impulso de duración infinita (IIR, infinite-duration impulse response)

+ 4! !

#

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

SISTEMAS DISCRETOS EN EL TIEMPO RECURSIVO Y NO RECURSIVO

Si el sistema es recursivo,

para calcular y(n0), primero

tenemos que calcular todos

los valores anteriores y(0),

y(1), …, y(n0 – 1). El efecto

de la retroalimentación crea este tipo de sistema.

En cambio, un sistema es no recursivo, si su salida “y(n)” no depende de las anteriores salidas y está puede calcularse en cualquier orden, es decir,

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

SISTEMAS LINEALES INVARIANTE EN EL TIEMPO CARACTERIZADOS POR ECUACIONES EN DIFERENCIAS DE COEFICIENTES

CONSTANTES.

Dentro de la familia de sistemas lineales e invariantes en el tiempo se describe su relación entrada – salida denominada ecuación en diferencias con coeficientes constantes. Uno de los ejemplos más usuales es el siguiente sistema recursivo

;< =;< > ?<

Donde la a es una constante.

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINEALES DE COEFICIENTE CONSTANTE

(MÉTODO DIRECTO)

1.Encontrar la Solución homogénea, yh(n)

Solución propuesta evaluar a la ecuación: yh(n) = λλλλn

Raíces del Polinomio característico, λλλλ1, λλλλ2, λλλλ3,…, λλλλN.

Solución: y(n) = C1λλλλ1n + C2λλλλ2n + ………… + CNλλλλNn

2.Solución particular y evaluar a la ecuación, yp(n)

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

REPRESENTACIÓN POR DIAGRAMA A BLOQUES

a)Sumador:

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

d)Multiplicación

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

La señal de entrada x(n) = {x(0), x(1), x(2), x(3)} es también v0(n). La salida

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO

DE SEÑALES

Denotando las salidas de las tres sumatorias

y

y

y

obtener

De tal manera, el modelo del sistema discreto en el tiempo lo podemos representar en su forma general de relación entrada – salida:

Donde a(0), a(1), a(2), … , a(k) son valores constantes

b(0), b(1), b(2), … , b(k) son valores constantes

y(n), y(n-1), y(n-2), …, y(n-k) son los retardos de la señal de salida