GUÍA DE EJERCICIOS III
1. Verifique, en cada caso, si el conjunto dado es un espacio vectorial. Si no lo es, indique que axioma no se cumple:
a) El conjunto de matrices diagonales de orden n con la suma de matrices y multiplicación por un escalar usuales.
b) El conjunto que consiste en el vector nulo bajo las operaciones usuales de vectores en
ℜ
2. c)ℜ
2 con la suma definida por
+
+
+
+
=
+
1
1
2 1
2 1 2
2 1 1
y
y
x
x
y
x
y
x
y la multiplicación por un escalar usual. d) El conjunto C[a,b] de las funciones continuas en el intervalo cerrado [a,b] con la suma definida por
) x )( g f ( ) x ( g ) x (
f + = + y la multiplicación por un escalar definida por αf(x)=(αf)(x).
e) El conjunto de las funciones continuas en el intervalo cerrado [a, b] con f(a)=0 y f(b)=0, bajo las
operaciones definidas en el inciso d).
f)
ℜ
2 con la multiplicación por un escalar definida por
−
+
+
+
=
1
1
y
x
y
x
α
α
α
α
α
y la suma usual.g) H=
ℜ
∈
≥
y
x
y
y
x
,
;
0
:
con la suma de vectores y multiplicación por un escalar usuales.h) El conjunto de las matrices de la forma
1 b
a 1
donde a y b son números reales con las operaciones de matrices de suma y producto por un escalar usuales.
2. Sea P2 el conjunto de los polinomios de grado menor o igual a dos, en el que se definen las operaciones:
(a1x2 + b1x + c1) + (a2x2 + b2x + c2) = (a1+a2)x2 + (b1+b2)x + (c1+c2)
α·(ax2 + bx + c) = (αa)x2 + bx + (αc)
donde α es un escalar real. ¿Es (P2,+,·) un espacio vectorial real? Justifique.
3. Sea M22 el conjunto de las matrices de dimensión 2x2. Definiendo “+” como la suma usual de matrices en
M22 y “·” como el producto por escalar dado por:
α
α
=
α
d
c
b
a
d
c
b
a
; donde α es un escalar real. ¿Es
(M22,+,·) un espacio vectorial real? Justifique su respuesta.
4. Verifique, en cada caso, si el conjunto S dado del espacio vectorial V es un subespacio vectorial de V: a)
V
=
ℜ
2;
=
=
x
y
y
x
S
:
b)V
=
ℜ
2;
≤
+
=
:
x
2y
21
y
x
S
c)
V
=
M
23;
+
=
=
:
a
2
c
1
f
e
d
c
b
a
S
d)V
=
M
23;
=
+
=
+
=
:
a
c
0
,
d
e
0
f
e
d
c
b
a
S
e)
V
=
P
4 ; S={Polinomios de grado 4} f)V
=
ℜ
3 ; S: planos que pasan por el origen g) V=Pn; S: polinomios p tales que p(0)=0. h) V=Mnn; S: matrices con determinante nulo.5. Verifique, en cada caso, si el conjunto de vectores dado genera al espacio vectorial que se indica. En caso contrario encuentre el subespacio generado por dichos vectores.
a) En
ℜ
2;
4
3
;
2
1
.b) En
ℜ
3;
5
3
7
;
1
1
1
;
2
1
3
;
1
0
2
c) En
ℜ
3;
−
3
2
5
;
3
2
1
;
3
2
1
d) En
ℜ
3;
−
1
0
0
;
2
1
1
;
2
1
1
e) En
P
2;{
1
−
x
,
3
−
x
2}
f) EnP
2;{
1
−
x
,
3
−
x
2,
x
}
g) EnM
22; − 1 3 0 0 ; 0 0 1 3 ; 1 2 0 0 ; 0 0 1 2
h) En
M
22; − − 0 6 5 2 ; 0 3 1 4 ; 0 0 2 1 ; 0 1 0 1
6. Verifique, en cada caso, si el conjunto de vectores en
ℜ
2 oℜ
3 son o no linealmente independientes: a)(
2
,
1
,
7
)
t;(
2
,
−
1
,
3
)
t;(
5
,
1
,
2
)
t b)(
1
,
2
,
3
)
t; (3
,
6
,
10
)
tc)
(
0
,
1
,
−
2
)
t;(
−
6
,
−
5
,
−
8
)
t;(
3
,
4
,
−
7
)
t d)(
1
,
0
,
0
)
t;(
0
,
1
,
0
)
t; (0
,
0
,
1
)
te)
(
0
,
4
,
−
8
)
t;(
2
,
−
1
,
2
)
t;(
2
,
1
,
3
)
t;(
2
,
−
1
,
4
)
t f)(
2
,
3
)
t;(
4
,
5
)
tg)
(
1
,
2
)
t;(
3
,
4
)
t;(
5
,
6
)
t h)(
−
3
,
−
4
)
t;(
6
,
8
)
t7. Explique por qué un conjunto de más de dos vectores en
ℜ
2 es linealmente dependiente. ¿Cuál es el resultado análogo enℜ
3?. ¿Puede generalizar este resultado enℜ
n?8. Verifique si el conjunto de los vectores, en el espacio vectorial dado, es linealmente independiente o dependiente.
a) En
ℜ
4:
−
−
−
−
−
1
3
0
5
;
1
1
4
0
;
2
2
0
3
;
1
1
2
1
.b) En
ℜ
4;
−
−
−
−
1
3
0
5
;
1
1
4
0
;
2
2
0
3
;
1
1
2
1
.c) En
M
22; − − − 5 7 1 4 ; 5 1 3 0 ; 0 4 1 2 .
9. Verifique si el conjunto de vectores es una base para el espacio vectorial dado, en caso de no serlo encuentre una base para el subespacio generado por dichos vectores y su dimensión:
a) En
P
2;{
1
−
x
2,
x
}
. b) EnM
22; − − − 0 0 1 0 ; 0 1 2 7 ; 8 5 1 6 ; 4 1 1 2 ; 1 3 0 1 .
c) En
M
22; − − 7 0 1 0 ; 6 0 1 5 ; 0 0 2 3 ; 0 0 1 3
d) En
P
3;{
1
,
1
+
x
,
1
+
x
2,
1
+
x
3}
. e) EnP
4;{
2
,
3
+
x
,
5
+
x
,
x
2,
2
+
x
2,
x
4}
.10. Encuentre una base en
ℜ
3 para el conjunto de vectores en el plano de ecuación2
x
−
y
−
z
=
0
11. Encuentre una base en
ℜ
3 para el conjunto de vectores en la recta de ecuación/
2
/
3
/
4
z
y
x
=
=
12. Encuentre una base para el espacio solución del sistema homogéneo
=
−
+
−
=
−
+
−
=
+
−
0
6
9
3
0
2
3
0
4
6
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
.13. En
M
22, escriba la matriz
−
6
4
1
2
en términos de la base
−
−
−
0
4
2
0
;
0
1
1
0
;
1
3
0
2
;
0
1
1
1
14. En
P
3, exprese el polinomio2
3−
3
2+
5
−
6
x
x
x
en términos de la base polinomial formada por los vectores 1,1
+
x
,x
+
x
2,x
2+
x
3.15. En el siguiente problema se dan: un espacio vectorial V, dos bases S y T y un vector
v
v
del espacio. Encuentre en cada caso:(i) Las coordenadas de
v
v
con respecto a la base T.(ii) Las coordenadas de vv con respecto a la base S en forma directa.
a)
V
=
ℜ
2;
=
1
0
;
2
1
S
,
=
3
2
;
1
1
T
;
=
5
1
v
r
b)
V
=
ℜ
3;
−
=
2
1
0
;
0
0
1
;
1
0
1
S
,
−
−
=
0
1
0
;
1
2
1
;
0
1
1
T
,
=
8
3
1
v
r
c)
V
=
P
2;{
1
2,
2
,
3
}
x
x
x
S
=
+
−
+
+
,{
2
2,
3
2,
}
x
x
x
x
T
=
+
+
;v
r
=
6
−
4
x
+
8
x
2. d)V
=
M
22;16. Sea
{(
)
2:
,
}
R
b
a
bx
ax
b
a
S
=
+
+
+
∈
un subconjunto del espacioP
2 de los polinomios de grado menor o igual a 2.a) Demuestre que S es un subespacio de
P
2.b) Encuentre una base
B
1 para S y la dimensión de S.c) Muestre que
B
2=
{
1
+
2
x
−
x
2,
2
+
x
+
x
2}
es también una base de S.17. Sea
M
22 el espacio vectorial de las matrices de orden 2x2.a) ¿Es
∈
=
∈
=
A
M
A
a
b
con
a
b
R
S
,
,
1
0
:
22
1 un subespacio vectorial de
M
22?. En caso afirmativo encuentre una base paraS
1 y su dimensión.b) Hacer lo mismo que en el inciso a) para
∈
−
=
∈
=
con
a
b
R
a
b
b
a
B
M
B
S
2 22:
,
,
.c) Verifique si el conjunto
2
0
0
0
;
0
1
0
0
;
0
0
3
1
es linealmente independiente en
M
22.d) Encuentre una base para
M
22 que no sea la base estándar (canónica).e) Escriba el vector
4
3
2
1
en términos de la base encontrada en el inciso d).
18. Considere el subespacio vectorial S de
M
22 (espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2)generado por las matrices
−
=
0
1
2
1
1M
,
=
1
1
1
0
2M
,
−
−
=
1
3
3
2
3M
y
−
−
=
2
5
4
3
4M
.Encuentre la dimensión de S y dos bases distintas
B
1 yB
2.19. Dado el conjunto de polinomios
{
1
,
2,
3,
2 3}
x
x
x
x
x
x
A
=
+
+
−
+
.a) Encuentre dos bases,
B
1 yB
2, para el subespacio S generado por los vectores de A.b) Calcule
[
p
(
x
)]
B1 y[
p
(
x
)]
B2, si2
)
(
x
x
x
p
=
−
pertenece a S.20. Considere el conjunto S de
M
22 (espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2) definido por
∈
+
+
=
a
b
R
b
b
a
b
a
a
S
:
,
.a) Demuestre que S es un subespacio vectorial de
M
22. b) Encuentre para S una baseB
1 y su dimensión.c) Muestre que
−
−
−
−
−
−
=
1
2
2
3
2
1
1
1
221. Considere el subespacio vectorial S de
M
23 (espacio vectorial de las matrices de orden 2x3) generadopor las matrices
−
−
=
0
3
0
2
1
1
1M
,
−
=
0
2
0
0
1
1
2M
,
−
=
0
0
0
4
5
1
3M
y
−
−
=
0
10
0
8
5
3
4M
.a) Demuestre que S es un subespacio vectorial de dimensión 2 y que
B
1=
{
M
1,
M
2}
es una base de S.b) Escriba cada una de las matrices
M
3 yM
4 como combinación lineal de los vectores de la baseB
1. c) Demuestre queB
2=
{
M
3,
M
4}
es también una base de S.22.
Considere la familia de matrices
−
−
−
−
−
=
,
0
1
1
1
,
3
4
2
1
,
0
2
2
2
,
4
6
2
2
,
1
2
0
1
F
en el espaciovectorial
M
22 de las matrices cuadradas de orden 2.a) Halle la dimensión y una base B del subespacio generado por F.
b) Escriba las coordenadas, con respecto a la base B, de los vectores de F que no forman parte de B.
23.
Dadas las matrices
=
5
3
2
1
1M
,
=
5
2
3
1
2M
y
=
5
0
5
1
3M
enM
22.a) Encuentre las condiciones que deben cumplir los elementos de la matriz
=
d
c
b
a
M
para que la misma pertenezca al subespacioS
=
gen
{
M
1,
M
2,
M
3}
.b) Encuentre una base para el subespacio S y exprese las matrices
M
1,M
2 yM
3 en términos de dicha base.24. a) Demuestre que
{
1
2
2,
3
5
4
2,
2
3
2}
x
x
x
x
x
x
B
=
−
+
−
+
+
, es una base paraP
2. b) Halle la matriz de transición de la baseB
a la base canónica deP
2.c) Encuentre las coordenadas del polinomio
p
(
x
)
=
−
1
+
2
x
respecto a la baseB
.25. Sea
S
=
{
v
r
1,
v
r
2,
v
r
3}
un conjunto linealmente independiente de vectores de un espacio vectorial V. Demuestre que el conjuntoT
{
w
1,
w
2,
w
3}
r
r
r
=
dondew
r
1=
v
r
3; wr2 =vr1+vr2;w
r
3=
v
r
1+
v
r
2+
v
r
3, también es un conjunto linealmente independiente en V.26.
Sean
=
2 1
x
x
x
r
y
=
2 1
y
y
y
r
vectores arbitrarios enℜ
2. Verifique cuál de los siguientes define unproducto interno en
ℜ
2.a)
〈
x
r
,
y
r
〉
=
x
1y
1 b)〈
x
,
y
〉
=
2
(
x
1y
1+
x
2y
2)
r
r
c)
〈
x
,
y
〉
=
−
2
(
x
1y
1+
x
2y
2)
r
r
d)
〈
x
r
,
y
r
〉
=
(
x
1y
1)
2+
(
x
2y
2)
2 e)〈
x
,
y
〉
=
x
1y
2+
x
2y
2r
r
27. Si
A
=
(
a
ij)
es una matriz real cuadrada de orden n, la traza de A, que se denota por tr(A), es la suma de los elementos de la diagonal de A, esto es,tr
(
A
)
=
a
11+
a
22+
L
+
a
nn. Para matrices A y B enM
nn se define el producto interno usual por〈
A
,
B
〉
=
tr
(
A
tB
)
:a) Verifique
A
⋅
B
es un producto interno enM
nn.b) Sean
−
=
1
2
2
,
1
A
;
−
=
0
3
1
0
28. ¿Cuáles de los siguientes son conjuntos ortogonales de vectores?: a)
−
−
−
1
1
1
;
1
2
0
;
2
1
1
b)
−
−
−
−
1
0
0
1
;
0
2
1
0
;
1
1
2
1
c)
−
−
−
2
1
1
1
;
1
1
0
1
;
1
0
1
0
29. ¿Cuáles de los siguientes son conjuntos ortonormales de vectores?
a)
−
−
3
1
3
2
3
2
;
3
2
3
1
3
2
;
3
2
3
2
3
1
b)
−
0
1
0
;
3
1
3
1
3
1
;
2
1
0
2
1
c)
−
−
2
1
2
0
;
2
2
1
1
;
1
2
2
0
30. Utilice el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt para construir una base ortonormal para el
subespacio S de
ℜ
4 que tiene por base a los vectores
−
−
0
1
0
0
;
1
0
0
2
;
1
0
1
1
.31. a) Utilice el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt para construir una base ortonormal a partir
de la base
3
2
1
;
1
1
0
;
1
1
1
de
ℜ
3.b) Escriba el vector
1
3
2
como combinación lineal de los vectores de la base obtenida.
32. Utilice el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt para construir una base ortonormal para el
subespacio S generado por los vectores
3
2
1
;
1
0
0
;
2
2
2
;
1
1
1
. 33.Sea H =
ℜ
∈
−
−
+
−
−
+
=
∈
a
b
c
b
a
c
a
c
a
b
b
a
A
M
A
;
,
,
2
2
2
:
22 a) Halle una base para H. ¿Cuál es la dimensión de H?
b) Encuentre una base ortonormal para H, usando <A,B>=traza(A⋅Bt), donde la traza de una matriz
34. Sea S el subespacio de
ℜ
5 generado por los vectores:
−
−
−
−
−
−
1
1
2
1
3
;
2
1
0
2
1
;
3
2
2
1
2
;
4
5
1
3
4
;
0
3
1
1
2
Construya una base para ⊥
S
.35.
Sea S el subespacio de
ℜ
4 con base
−
1
0
0
1
;
0
1
1
0
;
1
0
1
1
. Encuentre
proy
Sv
r
donde
=
3
0
2
0
v
r
.
36. Se dan un subespacio S y un vector
v
r
. En cada caso: (i) Calculeproy
Sv
r
.(ii) Encuentre una base ortonormal para ⊥
S
. (iii) Escribav
r
=
u
r
+
w
r
, dondeu
r
∈
S
y∈
⊥S
w
r
.a)
=
+
−
ℜ
∈
=
3:
3
x
2
y
6
z
0
z
y
x
S
;
−
=
4
1
3
v
r
b)
=
=
ℜ
∈
=
3:
x
/
2
y
/
3
z
/
4
z
y
x
S
;
=
1
1
1
v
r
c)
=
=
ℜ
∈
=
x
y
t
y
t
z
y
x
S
4:
;
3
;
−
=
1
3
2
1
v
r
37. Sea
M
mn el espacio vectorial de las matrices reales de orden mxn. Para A y B enM
mn se define el producto interno usual〈
A
,
B
〉
=
tr
(
A
tB
)
(para una matriz cuadrada C la traza de C (tr
(
C
)
), es igual a la suma de los elementos de su diagonal principal de C.a) Calcule
〈
A
,
B
〉
para: i)
−
=
3
1
2
1
A
;
−
=
1
2
0
1
B
; ii)
=
3
2
1
0
A
;
−
=
1
2
1
1
B
.b) Calcule la norma de la matriz
=
4
3
2
1
A
.c) Sea
=
4
3
2
1
d) Verifique que el conjunto
−
−
−
=
1
1
1
1
2
1
;
1
1
1
1
2
1
;
1
0
0
1
2
1
;
0
1
1
0
2
1
1B
es una baseortonormal de
M
22.e) Escriba la matriz
=
1
1
1
1
A
en términos de la baseB
1.f) Verifique que el conjunto
=
1
0
1
4
;
3
1
1
0
;
1
1
0
2
;
0
1
1
1
2B
es una base deM
22.g) Construya a partir de
B
2 una base ortonormalB
3 deM
22.38. Sea S el subespacio de
ℜ
4 definido por:}
,
,
,
;
0
2
5
3
2
,
0
3
4
3
,
0
3
2
:
)
,
,
,
{(
+
+
+
=
+
−
+
=
+
−
−
=
∈
ℜ
=
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t
S
t .Encuentre una base para S y una base para
S
⊥.
39. Considere el subconjunto
S
=
{(
x
,
y
,
z
,
u
)
t:
x
+
y
+
z
=
0
,
z
+
u
=
0
;
x
,
y
,
z
,
u
∈
ℜ
}
deℜ
4. a) Demuestre que S es un subespacio vectorial deℜ
4.b) Encuentre la dimensión de S y una base para S. c) Encuentre una base para el complemento ortogonal ⊥
S
de S.d) Construya a partir de la base hallada en b), una base ortonormal para S.
40.
Considere el subespacio S de
ℜ
4 generado por los vectores
=
1
1
1
1
1
v
r
y
=
0
1
0
1
2
v
r
. Encuentre:a) Una base ortogonal para S.
b) La proyección del vector
−
=
0
1
1
2
v
r
sobre el subespacio S.c) Una base para ⊥
S
.
41.
Dado el sistema de ecuaciones lineales homogéneo
=
−
+
+
=
−
+
=
−
+
+
0
4
5
3
0
3
0
2
w
z
y
x
z
y
x
w
z
y
x
. Halle:
a) Una base ortonormal para el espacio S, solución del sistema.
b) El espacio ⊥
S
, complemento ortogonal de S.c) La proyección ortogonal de
−
=
0
1
5
3
v
r
sobre el espacio S.42.
Considere el subespacio S generado por los vectores
=
0
0
0
1
1
x
r
,
=
0
0
1
1
2
x
r
,
=
0
0
1
0
3
x
r
y
=
1
1
1
0
4
x
r
de4
ℜ
.a) Extraiga de este conjunto una base para S.
b) Construya a partir de la base encontrada, una base ortonormal para S.
43.
Considere el subespacio vectorial S de
ℜ
4generado por los vectores
=
0
1
0
1
1
v
r
y
=
1
1
1
1
2
v
r
.a) Encuentre la dimensión de S.
b) Halle una base de S.
c) A partir de esta última base, construya bases ortogonales para S y
S
⊥.
44.
Considere los vectores
=
3
1
5
3
w
r
,
−
=
0
1
0
1
1
v
r
y
−
=
1
0
2
2
2
v
r
del espacio vectorialℜ
4. Encuentre:a) El vector proyección ortogonal del vector
w
r
sobre el subespacio vectorial S generado por losvectores
v
r
1 yv
r
2.b) Una base ortonormal para el complemento ortogonal S⊥ de S.
45. Suponga que
{
e
1,
e
2,...,
e
n}
es una base ortonormal de un espacio euclidiano E. Seax
r
un vector de E. Demuestre:a)
x
r
=
〈
x
r
,
e
r
1〉
e
r
1+
〈
x
r
,
e
r
2〉
e
r
2+
...
+
〈
x
r
,
e
r
n〉
e
r
n b)x
r
2=
〈
x
r
,
e
r
1〉
2+
〈
x
r
,
e
r
2〉
2+
...
+
〈
x
r
,
e
r
n〉
246. Sean
a
r
yb
r
dos vectores de un espacio vectorial euclidiano E. Demuestre que: a)
a
b
a
b
r
r
r
r
≤
〉
〈
,
.b)
a
,
b
0
a
b
2a
2b
2r
r
r
r
r
r
+
=
+
⇔
=
〉
〈
c)
a
b
2a
b
22
a
22
b
2r
r
r
r
r
r
+
=
−
+
+
.d) Si
a
r
yb
r
son linealmente dependientes, entonces
a
b
a
b
r
r
r
r
=
〉
〈
,
.
47. Sean
a
r
yb
r
dos vectores de ℜ3 demuestre que:
a)
a
r
×
b
r
=
0
r
si y sólo sia
r
yb
r
son paralelos.
b)
+
−
−
=
⋅
2 2 22
1
b
a
b
a
b
a
r
r
r
r
r
r
48. Sean
a
r
,b
r
y
c
r
vectores de un espacio vectorial euclidiano E. Demuestre que: a) Sic
a
b
o
r
r
r
r
=
−
−
, entoncesb
,
c
c
,
a
2
a
,
b
a
2b
2r
r
r
r
r
r
r
r
+
=
〉
〈
−
〉
〈
+
〉
〈
.b) Si
c
r
es ortogonal a cada uno de los vectoresa
r
yb
r
entonces
c
r
es ortogonal a cualquier combinación lineal dea
r
yb
r
.49. Sean
a
r
,v
r
1,v
r
2 yv
r
3 cuatro vectores de un espacio vectorial euclidiano E. Demuestre que siv
r
1 yv
r
2son ortogonales y 2
2 2
2 1
1 1
1
3
,
,
,
,
v
v
v
v
a
v
v
v
v
a
a
v
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
〉
〈
〉
〈
−
〉
〈
〉
〈
−
=
, entoncesv
r
3 pertenece al complemento ortogonal del subespacio generado porv
r
1 yv
r
2.
50. Sean
a
r
yb
r
dos vectores no nulos de un espacio vectorial euclidiano E. Demuestre que: a) El vector
a
b
r
r
λ
−
es ortogonal al subespacio generado porb
r
si
,
2b
b
a
r
r
r
〉
〈
=
λ
.b) Si
c
b
a
a
b
r
r
r
r
r
+
=
, entonces el ángulo que formana
r
yc
r
tiene la misma medida que el ángulo que formanb
r
yc
r
.51. Sea S el conjunto de todos los polinomios
p
(
x
)
deP
4 tales quep
(
1
)
=
p
′
(
1
)
=
0
. a) Demuestre que S es un subespacio deP
4.b) Encuentre una base para el subespacio S.
52. Considere sistema lineal homogéneo
AX
=
O
, donde A es una matriz enM
mn y X (matriz incógnita) en 1n
M
.a) Demuestre que el conjunto solución S del sistema es un subespacio vectorial de
ℜ
n. b) Demuestre que las filas de la matriz A conforman un conjunto generador deS
⊥.53. Sean
x
r
yy
r
vectores arbitrarios en un espacio con producto interior (espacio euclidiano), y suponga quey
x
r
=
r
. Demuestre quex
r
+
y
r
yx
r
−
y
r
son ortogonales.54. Sea S un subconjunto cualquiera de vectores en un espacio vectorial V con producto interno. Demuestre
que: a) ⊥
S
es un subespacio vectorial de V. b) Si S = {0
r
} entonces
S
⊥=
V
y siS
=
V
entoncesS
⊥=
{
0
r
}
. c) Si S es un subespacio de V entoncesV
=
S
+
S
⊥.
No. de pieza
compradas Precio unitario en BsF
1 3/4
2 1/2
3 1/3
5 1/4
55. El precio de una pieza de automóvil disminuye al aumentar el número de piezas que se compran, según la tabla mostrada a la derecha. Estime, usando el método de los mínimos cuadrados, la recta que mejor representa el precio unitario como función del número de piezas compradas.
10 1/8
