PROBABILIDAD
1.- EXPERIMENTOS ALEATORIOS
De forma general podemos distinguir entre experimentos deterministas y experimentos aleatorios.
Las leyes de la física, de la química y de otras ciencias nos proveen de ecuaciones que nos permiten predecir el resultado de una experiencia conociendo las condiciones en que se realiza. En este caso decimos que el experimento y sus leyes son deterministas.
Un experimento decimos que es aleatorio cuando no podemos predecir su resultado a pesar de conocer las condiciones en que se realiza.
Por ejemplo, no podemos predecir cuál será la cara superior que mostrará un dado después de haberlo lanzado.
1.1.- ESPACIO MUESTRAL
El espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los resultados posibles que pueden producirse.
Se representa por la letra
W
.En el experimento del lanzamiento del dado:
W =
{
1, 2,3, 4,5,6
}
En la extracción de una carta de una baraja y observar su palo:
W =
{
Oros, Copas, Bastos, Espadas
}
2.- SUCESOS
Llamamos suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral, es decir, un suceso es cualquier conjunto de resultados del espacio muestral.
Representamos los sucesos mediante letras mayúsculas.
es un suceso si
A
A
Ì W
Decimos que un suceso se verifica u ocurre al realizar un experimento aleatorio si el resultado obtenido forma parte de dicho suceso.
2.1.- TIPOS DE SUCESOS
- Suceso elemental: suceso formado un único resultado del espacio muestral.
- Suceso compuesto: suceso formado por dos o más elementos del espacio muestral.
- Suceso seguro: suceso formado por todos los resultados del espacio muestral, se representa por tanto como
W
. Su nombre se debe a que se verifica siempre.W Ì W
.- Suceso imposible: suceso que no contiene ningún resultado posible del experimento, es por tanto un conjunto vacío y lo representamos por
Æ
. Es un suceso que no se verifica nunca. El conjunto vacío es siempre un subconjunto de cualquier conjunto:Æ Ì W
.- Sucesos compatibles: son aquellos que pueden verificarse simultáneamente, es decir tienen resultados comunes.
- Sucesos incompatibles: son aquellos que no se pueden verificar simultáneamente, por tanto no tienen ningún resultado común. Son conjuntos disjuntos.
Ejemplo: experimento del lanzamiento del dado y observar la cara superior: A = ”Sacar un nº menor que 2” =
{ }
1
; B = ”Sacar nº par” ={
2, 4,6
}
C = “Sacar un nº mayor que 6” =
{ }
; D = “Sacar nº mayor que 0 y menor que 7” ={
1, 2,3, 4,5,6
}
E = “Sacar un nº mayor que 3” =
{
4,5,6
}
; F = “Sacar nº divisible por 3 “ ={ }
3,6
2.2- OPERACIONES CON SUCESOS
Al ser los sucesos subconjuntos del espacio muestral podemos definir sobre ellos operaciones propias de los conjuntos:
• UNIÓN
La unión de dos sucesos A y B es otro suceso formado por todos los resultados que están en A o en B:
{
/
o
}
A B
È =
x
ÎW
x A
Î
x B
Î
Ejemplos:
{
}
{
}
"Sacar un nº menor que dos o sacar nº par"
1, 2, 4,6
"Sacar nº par o sacar nº mayor que 3"
2, 4,5,6
A B
B
E
È =
=
È =
=
• INTERSECCIÓN
La intersección de dos sucesos A y B es otro suceso formado por los resultados que pertenecen a A y al mismo tiempo a B, es decir, los resultados comunes de ambos sucesos.
{
/
}
A B
Ç =
x
ÎW
x A y x B
Î
Î
Ejemplos:
{ }
"Sacar un nº mayor que tres y sacar nº par"
4,6
"Sacar un nº menor que 2 y sacar par"
E
B
A B
Ç =
=
Ç =
= Æ
• COMPLEMENTARIO
Se llama complementario de un suceso
A
y se designaA
al suceso formado por todos los resultados del experimento que no pertenecen a A. Obviamente un suceso y su complementario son sucesos incompatibles ya que su intersección es vacía. Se dice queA
yA
son sucesos contrarios.{
/
}
A
=
x
ÎW
x A
Ï
Ejemplos:
{
}
{
}
{
}
{ }
"NO sacar un nº menor que dos"
2,3, 4,5,6
"NO sacar un nº par"
1,3,5
"NO sacar un nº mayor que seis"
1, 2,3, 4,5,6
"NO sacar un nº mayor que cero ni menor que 7"
A
B
C
D
=
=
=
=
= Æ =
=
= W
• DIFERENCIA
Se llama diferencia entre el suceso A y el suceso B al suceso formado por los resultados que pertenecen a A pero no a B
{
/
y
}
A B
- =
x
ÎW
x A
Î
x B
Ï
Se puede apreciar fácilmente que se verifica:
(
)
A B A
- = -
A B
Ç
y
A B A B
- = Ç
Ejemplos:
{ }
{ }
{
}
{ }
2
;
5
4,5,6
;
2, 4
B E
E B
E A
E
B F
- =
- =
- =
=
- =
Propiedades de las operaciones con sucesos
unión intersección
CONMUTATIVA
A B B
È = È
A
A B B
Ç = Ç
A
ASOCIATIVA
(
A B
È
)
È = È
C
A
(
B C
È
)
(
A B
Ç
)
Ç = Ç
C
A
(
B C
Ç
)
DISTRIBUTIVA
A
È
(
B C
Ç
) (
=
A B
È
) (
Ç
A C
È
)
A
Ç
(
B C
È
) (
=
A B
Ç
) (
È
A C
Ç
)
IDEMPOTENTE
A
È =
A A
A
Ç =
A A
SIMPLIFICATIVA
A
È
(
B
Ç
A
)
=
A
A
Ç
(
B
È
A
)
=
A
INVOLUCIÓN
A A
=
ELEMENTO NEUTRO
A
È Æ =
A
A
Ç W =
A
ABSORCIÓN
A
È W = W
A
Ç Æ = Æ
LEYES DE MORGAN
(
A B
È
)
= Ç
A B
(
A B
Ç
)
= È
A B
2.3.- SISTEMA COMPLETO DE SUCESOS
Un conjunto de sucesos
A A
1,
2, ... ,
A
n decimos que constituye un sistema completo de sucesos si cumple las dos condiciones siguientes:–
A
1È
A
2È
...
È
A
n= W
es decir, la unión de todos los sucesos cubre todos los posibles resultados, puesto que constituye el espacio muestral.
–
A
iÇ
A
j= Æ
"
i j
,
=
1,...,
n
con
i
¹
j
Ejemplo: En el experimento del lanzamiento de un dado:
{
}
{ }
{ }
1
1, 2,3 ;
24 ;
35,6
A
=
A
=
A
=
estos sucesos constituyen un sistema completo de sucesos. Un sucesoA
y su complementarioA
constituyen siempre un sistema completo de sucesos.3.- PROBABILIDAD
Tal como dijimos al principio del tema en los experimentos aleatorios no podemos determinar de ante mano cuál va a ser el resultado cuando lo llevamos a cabo. Sin embargo, queremos otorgar a cada resultado un valor numérico que exprese y cuantifique la mayor o menor frecuencia con que esperamos que ocurran cada uno de esos resultados. A este valor numérico le llamaremos probabilidad.
3.1.- DEFINICIÓN FRECUENTISTA
Una forma de definir la probabilidad nos la brinda la estadística a través del parámetro frecuencia relativa. Tras realizar un número grande de repeticiones de un experimento anotamos el número de veces que se repite un determinado resultado A, es decir, su frecuencia absoluta, nA. Si el experimento se repitió N veces
decimos que su frecuencia relativa es:
A A
n
f
N
=
A medida que aumenta el número de repeticiones N del experimento aleatorio, la frecuencia relativa de un suceso tiende hacia un cierto valor constante. Esto nos permite hacer una definición experimental de la probabilidad de un suceso como:
( )
lim
lim
A AN N
n
P A
f
N
®¥ ®¥
=
=
Es decir la probabilidad de un suceso A asociado a un experimento aleatorio es el número al que tiende su frecuencia relativa cuando el número de repeticiones del experimento tiende a infinito.
3.2.-DEFINICIÓN AXIOMÁTICA
La definición experimental que acabamos de hacer es intuitiva pero presenta el inconveniente obvio de que no podemos repetir infinitas veces el experimento y de que ni tan siquiera podemos estar seguros de la regularidad de las frecuencias relativas para un gran número de repeticiones.
El matemático ruso Andrei N. Kolmogorov presentó en 1933 un trabajo en el que introducía una definición axiomática de la probabilidad que propició un gran avance en este campo.
Dado un espacio muestral
W
asociado a un experimento aleatorio, llamamosà W
( )
al conjunto de todos los posibles sucesos.Definimos una probabilidad como una función definida en el conjunto
à W
( )
que asigna a cada suceso A, un número real P(A), es decir:: ( )
( )
P
A
P A
à W ®
®
¡
Esta función debe satisfacer los siguientes axiomas:
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
1 2
1 2 1 2
1)
0
2)
1
3)Si ,
,...,
son sucesos incompatibles dos a dos se verifica:
...
...
n
n n
P A
A
A
P
A A
A
P A
A
A
P A
P A
P A
³
" ÎÃ
W =
A partir de estos tres axiomas se pueden demostrar las siguientes propiedades:
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
)
0
)
)
Si
)
1
)
1
a
P
b
P A B
P A
P B
P A B
c
A
B
P A
P B
d
P A
A
e
P A
P A
Æ =
È
=
+
-
Ç
Ì Þ
£
£
"
+
=
3.3.- CÁLCULO DE PROBABILIDADES: REGLA DE LAPLACE
Independientemente del modo en que hayamos definido la probabilidad desde un punto de vista teórico, en la práctica, asignamos probabilidad a los suceso mediante:
a) Estimación estadística, es decir, realizamos la experiencia un número de veces que creemos conveniente y hallamos la frecuencia relativa de los sucesos elementales. Establecemos como probabilidad de cada suceso elemental su frecuencia relativa. La probabilidad de un suceso cualquiera se calcula como la suma de las probabilidades de los sucesos elementales que lo constituyen ya que todo suceso es la unión de sucesos elementales y estos son incompatibles entre sí.
b) Regla de Laplace: este método es aplicable cuando el experimento que estudiamos tiene un número finito de sucesos elementales, n, y podemos suponer que los n sucesos elementales son equiprobables. Con estas premisas asignamos a cada uno de ellos la probabilidad 1/n. De esta manera la probabilidad de un suceso será el número de sucesos elementales que lo constituyen multiplicado por 1/n, resultando la fórmula clásica que se conoce como fórmula o regla de Laplace:
( )
nº de resultados favorables a la realización de A
nº de resultados posibles
P A
=
Ejemplo:
Extracción de una carta al azar de una baraja española:
A = ”La carta es de Oros” ; hay 10 naipes de este palo y un total de 40 cartas en la baraja:
( )
10
1
40
4
P A
=
=
B = “La carta es una figura” ; hay 12 cartas que son figuras, por tanto:
( )
12
3
40 10
P B
=
=
En determinados experimentos la determinación de los casos favorables y los casos posibles exige herramientas matemáticas de recuento como son las que proporciona la Combinatoria.
4.- PROBABILIDAD CONDICIONADA
Con frecuencia ocurre, en teoría de probabilidades, que el conocimiento de una información complementaria hace variar la probabilidad de un determinado suceso.
Pensemos en el experimento de la extracción al azar de una carta de una baraja española. Consideremos los sucesos:
A = “La carta es un Rey” ; B = “La carta es una figura” Sabemos que la probabilidad P(A) = 4/40 =1/10.
Esta situación se describe como la probabilidad del suceso A condicionada al suceso B, que escribimos P(A/B), y que significa la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha ocurrido B.
Probabilidad del suceso A condicionada al suceso B
( / )
Probabilidad del suceso A sabiendo que ha ocurrido B
P A B
ì
í
î
Siguiendo con el ejemplo tenemos que:
(
)
( )
(
( )
)
4
"La carta es Rey y figura"
40
12
3
4 / 40
4
1
;
( / )
40 10
12 / 40 12
3
A B
P A B
P A B
P B
P A B
P B
Ç =
Þ
Ç
=
Ç
=
=
=
=
=
=
Generalizando:
Dados dos sucesos A y B, tales que P(B) ≠ 0 , se llama probabilidad de A condicionada a B que escribimos P(A/B) al cociente:
(
)
( )
( / )
P A B
P A B
P B
Ç
=
Esta expresión nos será útil para calcular la probabilidad de la intersección de sucesos despejándola:
(
)
( )
( / )
P A B
Ç
=
P B P A B
×
4.1 SUCESOS INDEPENDIENTES
Dos sucesos A y B decimos que son independientes si se verifica que:
(
/
)
( )
P A B
=
P A
con P(B) ≠ 0.
El significado de esta independencia es que la probabilidad del suceso A no se modifica por el conocimiento de que se haya verificado previamente B.
Ejemplo:
En la extracción de una carta al azar de una baraja consideremos los sucesos:
( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
4
1
"La carta es un Rey"
40 10
10
1
"La carta es de oros"
;
40
40
1/ 40
1
( / )
10 / 40 10
A
P A
B
P B
P A B
P A B
P A B
P A
P B
=
Þ
=
=
=
Þ
=
Ç
=
Ç
=
=
=
=
Es decir, el conocimiento de que la carta extraída es de oros no modifica la probabilidad del suceso A. Se demuestra fácilmente que:
Si A es independiente de B, entonces B es independiente de A:
(
/
)
P B
(
( )
A
)
P A B
(
( )
)
P A B P B
(
/
( )
) ( )
·
P A P B
( ) ( )
( )
·
( )
P B A
P B
P A
P A
P A
P A
Ç
Ç
En nuestro ejemplo la probabilidad de B, es decir, de extraer una carta de oros no se modifica por el conocimiento de A, que la carta sea un rey, sigue siendo 1/4.
De manera análoga se demuestra que:
es independiente de
Si es independiente de
es independiente de
es independiente de
A
B
A
B
A
B
A
B
ì
ï
Þ í
ï
î
Cuando A y B son sucesos independientes se puede obtener una expresión muy útil que se conoce como regla del producto. En general la probabilidad de un suceso A condicionado al suceso B es:
(
/
)
P A B
(
( )
)
(
)
(
/
) ( )
P A B
P A B
P A B P B
P B
Ç
=
Þ
Ç
=
×
Pero si A y B son independientes:
P A B
(
/
)
=
P A
( )
por tanto:(
)
( ) ( )
Si y son independientes
A B
Þ
P A B
Ç
=
P A P B
·
que se conoce como regla del producto
5.- TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL
En experimentos compuestos el cálculo de la probabilidad de que ocurra un suceso que está condicionado a varios otros sucesos hay que hacerlo teniendo en cuenta todos los casos en los que éste se verifica. Veamos un ejemplo que ilustra el llamado Teorema de la probabilidad total:
Supongamos un centro que consta de tres aulas A1, A2 y A3 con 25, 40 y 35 alumnos respectivamente. El
número de becarios en las distintas aulas es de 5, 12 y 10 también respectivamente.
Elegido un alumno al azar nos preguntamos cuál es la probabilidad de que sea becario. El suceso ser becario se puede escribir como
(
1) (
2) (
3)
B
=
A
Ç
B
È
A
Ç
B
È
A
Ç
B
Como los conjuntos
(
A
iÇ
B
)
son incompatibles dos a dos, es decir no tienen elementos comunes, podremos escribir:( )
(
1)
(
2)
(
3)
P B
=
P A
Ç
B
+
P A
Ç
B
+
P A
Ç
B
Teniendo en cuenta la expresión de la probabilidad condicionada podremos escribir:
( )
( ) (
1/
1)
( ) (
2/
2)
( ) (
3/
3)
P B
=
P A
×
P B A
+
P A
×
P B A
+
P A
×
P B A
Expresión que se corresponde con el Teorema de la probabilidad total.
Generalizando: Sea A1, A2,..., An un sistema completo de sucesos y B un suceso cualquiera, todos ellos
asociados al mismo experimento aleatorio. Se verifica entonces que:
( )
( ) (
)
( ) (
)
( ) (
)
( ) (
)
1 1 2 2
1
/
/
...
/
/
n n
n
i i
i
P B
P A
P B A
P A
P B A
P A
P B A
P A P B A
=
=
×
+
×
+ +
×
=
=
å
×
resultado que se conoce como teorema de la probabilidad total.
A
1A
2A
3En el ejemplo que introdujo este teorema podemos utilizar un diagrama en árbol que resulta práctico y visual para experimentos compuestos:
Un diagrama en árbol es un esquema que nos permite representar todos los resultados de un experimento compuesto. Observamos:
- La suma de las probabilidades de todas las ramas que salen de un mismo punto es 1.
- La probabilidad de un camino es igual al producto de las probabilidades de las ramas que lo forman - La probabilidad de un suceso es la suma de las probabilidades de cada uno de los caminos que verifican dicho suceso.
6.- TEOREMA DE BAYES
En ocasiones interesa calcular la probabilidad de las causas de un suceso compuesto, una vez que este ya se ha producido. Para calcular este tipo de probabilidades se utiliza el teorema de Bayes.
En el ejemplo del apartado anterior podríamos preguntarnos por la probabilidad de que el alumno elegido sea del aula 1 sabiendo que es becario, es decir, P(A1/B):
(
)
(
1( )
)
( ) (
)
( ) (
( ) (
1 1)
)
( ) (
)
11 1 2 2 3 3
/
/
/
/
/
P A
B
P A
P B A
P A B
P B
P A
P B A
P A
P B A
P A
P B A
Ç
×
=
=
×
+
×
+
×
Observamos que el numerador es la probabilidad que expresa la primera rama del diagrama en árbol y el denominador es la suma de todas las ramas, es decir, la expresión del teorema de la probabilidad total. Teorema de Bayes:
Sea A1, A2,..., An un sistema completo de sucesos y B un suceso cualquiera, todos ellos asociados al mismo
experimento aleatorio. Si P(Ai) ≠ 0, i = 1,...,n, se verifica:
(
)
( ) (
)
( ) (
( ) (
)
)
( ) (
)
1 1 2 2 3 3
/
/
/
/
/
i i
i
P A P B A
P A B
P A
P B A
P A
P B A
P A
P B A
×
=
×
+
×
+
×
A
1A
2A
3B
B
–
B
B
–
B
B
–
P(A1 )=25
/100
P(A2)=40/100
P(A
3)=3
5/100
P(B/A1)=5/
25
P(B/A2)=12
/40
P(B/A3)=10
/35
(
1)
( ) (
1/
1)
P A
B
P A P B A
®
Ç
=
×
(
2)
( ) (
2/
2)
P A
B
P A
P B A
®
Ç
=
×
(
3)
( ) (
3/
3)
P A
B
P A
P B A
®
Ç
=
×
+
=
P B
( )
7.- TABLAS DE CONTINGENCIA
Además de los diagramas en árbol en el estudio de probabilidades en experimentos compuestos puede ser de gran ayuda la utilización de las llamadas tablas de contingencia. Veamos un ejemplo:
En cierta localidad con una población activa de 1000 personas el trabajo se reparte entre los sectores de agricultura, industria y servicios de la siguiente manera:
Agricultura (A) Industria (I) Servicios (S) Total Mayores de 45 (M) 300 40 150 490
M
250 160 100 510Total 550 200 250 1000
Escogida una persona al azar:
- Probabilidad de que trabaje en agricultura:
( )
550
0,55
1000
P A
=
=
- Probabilidad de que no sea mayor de 45 años:
( )
510
0,51
1000
P M
=
=
- Probabilidad de que no trabaje en la Industria:
( )
(
)
( )
( )
(
)
550
250
0 0,80
1000 1000
P I
=
P A S
È
=
P A
+
P S
-
P A S
Ç
=
+
+ =
también:
( )
1
( )
1
200
1 0, 20 0,80
1000
P I
= -
P I
= -
= -
=
- Probabilidad de que trabaje en agricultura y sea mayor de 45 años:
(
)
300
0,30
1000
P A M
Ç
=
=
- Probabilidad de que trabaje en agricultura sabiendo que es mayor de 45 años:
(
/
)
300
0, 61
490
P A M
=
=
también:
(
)
(
)
( )
300 /1000
300
/
0, 61
490 /1000
490
P A M
P A M
P M
Ç
=
=
=
=
-Probabilidad de que sea mayor de 45 años sabiendo que trabaja en agricultura:
(
/
)
300
0,55
550
P M A
=
=
también:
(
)
(
)
( )
300 /1000
/
0,55
550 /1000
P M
A
P M A
P A
Ç
=
=
=
-Probabilidad de que no trabaje en industria y sea mayor de 45 años:
(
)
300 150
0, 45
1000
P I
Ç
M
=
+
=
- Probabilidad de que trabaje en servicios o sea mayor de 45 años:
(
)
( )
( )
(
)
250
490
150
0,59
1000 1000 1000
P S
È
M
=
P S
+
P M
-
P S
Ç
M
=
+
-
=
- Probabilidad de que ni trabaje en servicios ni sea mayor de 45 años: