4 Funciones elementales colección de ejercicios

(1)

Funciones elementales.

Ejercicio nº 1.-

Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:





2

3 2 a)   x x y 2 1 b)   x y Solución:



3



0 3 Dominio

 

3

a) x 2   x  R







    

2 0 2 Dominio 2,

b) x x

A partir de la gráfica de estas funciones, indica cuál es su dominio de definición:

a) b)

Solución:

 

1 Dominio

a) R 







 0, Dominio

b)

De un cuadrado de lado 10 cm se recorta una tira de x cm en la base y otra de la misma

: ) (10 lado de cuadrado nuevo un se obteniéndo altura, la en

(2)

El área de este nuevo cuadrado será:





2

10 x A 

¿Cuál es el dominio de definición de esta función?

Solución:



,



. x puedetenervaloresentre0 y 10cm.Portanto, Dominio 0 10

Asocia cada una de estas gráficas con su correspondiente ecuación:

x y

3 2 a) 

3 2 b) y  x2

0,75 3,5

c) y  x

4 d) y x2

(3)

III) IV)

Solución:

a) III

b) I

c) II

d) IV

Asocia a cada una de las gráficas una de las siguientes expresiones analíticas:

4 1 a)

 

x y

2 b) y  x

4 1 c)  

x y

x y  2 d)

I) II)

(4)

Solución:

a) III

b) II

c) I

d) IV

Asocia a cada una de las siguientes gráficas su correspondiente ecuación:

1

2 a) y  x

1 2 b) y  x 



1



c) ylog2 x

x log

y 1 2

d)  

I) II)

(5)

Solución:

a IV

b II

c III

d I

Halla el valor de las siguientes expresiones en grados:

       

2 1 a) y arcsen

1 b) y arccos

Solución:

 30 a) y 

 0 b) y 

(6)

1 5 3 _   x y Solución:



 



. 3, 4 y 2,3 puntos los por pasa que recta la de ecuación la

Escribe  

Solución:

La pendiente de la recta es:

 

5 7 5 7 3 2 4

3 __

       m

La ecuación será:





5 1 5 7 5 1 5 7 4 5 21 5 7 4 3 5 7               x y x x x y

Representa gráficamente la siguiente función:

 

x x x f 2 2 4

(7)

 El vértice de la parábola es:

 

1,2 Punto 2

1 4 4

2     

    y a b x

 Puntos de corte con los ejes:

Con el eje X  y = 0  –2x2 + 4x = 0  x(–2x + 4) = 0









            0 , 2 Punto 2 0 4 2 0 , 0 Punto 0 x x x

Con el eje Y  x = 0  y = 0  Punto (0,0)

 Hallamos algún otro punto:

 La gráfica es:

1 2 1 te gráficamen Representa         x y . Solución:

(8)

Dibuja la gráfica de la función:





   

  

  

 

1 si

/2 1

2 _x

x

x x

y

Solución: La gráfica es:

recta. de trozo un es , 1 Six

parábola. de

trozo un es , 1 Six

Con 200 metros de valla queremos acotar un recinto rectangular aprovechando una pared:

a Llama x a uno de los lados de la valla. ¿Cuánto valen los otros dos lados?

b Construye la función que nos da el área del recinto.

x

(9)

Solución:

a)

x x

2002x



₂₀₀ ₂



₂₀₀ ₂ 2 Área

b) x  x  x x

La siguiente gráfica es la de y = f(x).

Representa, a partir de ella, las funciones:

 

1

a) y f x  b) yf



x1



(10)

a) b)

(La gráfica de f(x) no es necesario incluirla. La añadimos para que se aprecie más claramente la transformación).

 

.

y



f

x

es ladelaizquierda, representa lagráficade

y



f

x

de gráfica la

que Sabiendo

Solución:

.



 3 1

a) Obtén la expresión analítica, en intervalos, de la función

(11)

Solución:               3 1 si 2 1 3 3 1 si 2 1 3 x x x x y

b) Representa a función y = |x – 5| e comproba que a súa expresión analíticaen intervalos é:

Ejercicio nº 17

La cantidad Q(t) que queda de una sustancia radiactiva al cabo de t días viene expresada por la ley:

t 1 , 0 0

e

Q

)

t

(

Q







siendo Q0 la cantidad inicial de sustancia y t el tiempo transcurrido en días desde el principio. Se pide:

a) ¿Al cabo de cuánto tiempo, la masa inicial se ha reducido a la mitad?

b) Si la masa inicial Q0 es de 27 mg ¿cuánta sustancia quedará al cabo de 10 días?

c) Representa en este caso de forma aproximada la función Q(t).

Solución

a) Se trata de resolver la ecuación:

2

1 e

e

Q

2 Q

)

t

(

Q

0 0,1t 0,1t

0











 

Tomando logaritmos neperianos, se tiene:

días

7 ...

93 ,

6

1 ,

0 )

2 (

Ln

t

)

2 /

1 (

Ln

t

1 ,

0 









b) Se trata de calcular

Q

(

10 )

sabiendo

Q

0



27

_{por tanto:}

Q

(

10 )

27 e

9 ,

93 ...

10 mg

10 1 ,

0









 

c) Se trata de representar la función: 0,1t t 1 , 0

e

27 e

27 )

t

(

Q









(12)

que se corresponde con la de una función exponencial de base menor que 1 y que pasa por el punto (0,27) (punto de arranque).

Un fabricante quiere construir cajas prismáticas de base cuadrada, cuyo volumen debe ser 10 litros. Expresa la altura de la caja en función de su lado básico x, y la función S(x) que permite calcular la superficie total de esas cajas en función de su lado básico.

Solución

Consideremos una de las cajas de altura h y lado básico x en dm.

-. Como el volumen del prisma es 10 dm3_{, se tiene:}

10 x

h

x

h

V





2





2



por tanto la altura viene dada por:

2

x

10 h



-. La superficie total S en dm2 es la suma de las dos caras básicas y las cuatro laterales, por tanto:

x

10

4 x

2 x

h

4 x

2 )

x

(

S



2







2





₂



(13)

x

40 x

2 )

x

(

S

3





Una población de insectos crece con arreglo a la ley:

x

e

2

1 y







donde y es el número de miles de insectos y x el tiempo en meses desde el momento presente. Haz una gráfica de la función de crecimiento. ¿En cuánto tiempo se duplicará la población inicial?

Solución:

-. Se trata de representar la función:

x

e

2

1 y







formamos para ello una tabla de valores aproximados:

que representados dan lugar a la gráfica adjunta.

Se trata de hallar x, cuando y = 6 mil insectos

9 ,

0 )

2

5 (

Ln

x

2

5 e

e

2

1

6 





x



x









La población de una granja avícola crece de forma exponencial de 1 000 a 1 300 individuos en un mes.

(14)

a) Halla la función P(x) que expresa la población en función del tiempo x en meses.

b) Calcula el número de aves que habrá en la granja al cabo de un año.

Solución

a) La función que expresa la población de aves de la granja es de la forma: kx 0

a

P

)

x

(

P





siendo x el tiempo en meses, Po = 1000 la población inicial de aves; a > 0 y kÎR

Sabemos que:

3 ,

1 a

a

1000

1300

)

1 (

P









k



k



por tanto la función de población es:

 

x x x

kx

3 ,

1 1000

a

1000

a

1000

)

x

(

P













es decir: x

3 ,

1 1000

)

x

(

P





b) Al cabo de un año el número de aves de la granja, será:

aves

23298

3 ,

1 1000

)

12 (

P





12



_{b) b)}

Calcula las funciones inversas de las siguientes funciones:

a)

2 x

1 x

y







b)

y



3 

4 

e

x1

Solución

a) Función inversa de:

2 x

1 x

y















1 y

2 x

1 y

2

1 y

x

1 y

2 x

xy

1 x

y

2 xy

1 x

2 x

y

2 x

1 x

y

2 x

1 x

y

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

























































La función inversa es:

(15)

a) Análogamente de.











 

















 



















 

4 y

3 log

1 x

4 y

3 log

1 x

4 y

3 e

e

4

3 y

x 1 x 1

La función inversa es:











 





4 x

3 log

1 y

Actividades:

Exercicio nº

1.-Indaga cál é o dominio de definición das seguintes funcións:

Exercicio nº

2.-Observando a gráfica destas funcións, indica cál é o seu dominio de definición:

a) b)

Exercicio nº

3.-Indica o dominio de definición destas funcións:

2 3 1 a) x x y   1

(16)

Exercicio nº

4.-Asocia cada unha destas gráficas coa súa correspondente ecuación:

I) II) III) IV)

Exercicio nº

5.-Asocia cada ecuación coa súa correspondente gráfica:

I) II)

x y

3 2 a) 

3 2 b) y  x2

0,75 3,5

c) y  x

4 d) y x2

2 1 a)

 

x y

1 b) y x

2 1 c)

 

x y

(17)

III) IV)

Exercicio nº

6.-Asocia cada gráfica coa súa correspondente ecuación:

I) II)

III) IV)

2

3

(18)

Exercicio nº

7.-Representa as seguintes parábolas logo de determinar o vértice, os puntos

de corte cos eixes de coordenadas e mais algún punto próximo ao vértice:

Exercicio nº 8.-

a) Representa graficamente a seguinte función:

b) Escribe a ecuación da recta a gráfica da cal é a seguinte:

Exercicio nº

9.-Representa f (x) = 4 – x2_{e, a partir dela, representa:}

Exercicio nº

10.-Representa as seguintes funcións e defíneas por intervalos:

4 3 2 

 x

(19)

Exercicio nº

11.-Representa graficamente a seguinte función:

Exercicio nº

12.-O perímetro dun rectángulo é de 30 cm. 12.-Obtén a función que nos dea a área do rectángulo en función da lonxitude da base. Representa a gráfica

Exercicio nº

13.-A seguinte gráfica é a de y = f(x).

Representa, a partir dela, as funcións:

Exercicio nº

14.-  

 



2 se

3

2 se

1

2

x x x

y

 

1

a) y f x  b) y f



x1



 

.

yf x éadaesquerda, representaagráficade y f x

(20)

Exercicio nº

15.-Expresa como función "a anacos":

Exercicio nº

16.-Exercicio nº

17.-Dadas as funcións:

Explica cómo, a partir delas, se poden obter por composición estas outras:

Exercicio nº

18.-Esta gráfica corresponde á función y = f(x):

2 1



 x

y

 

e

 

1 atopa: 4

2 3 :

funcións seguintes

as

Dadas _f _x _ x _g _x __x2_ _,



fg

 

x a)



gg

 

x b)

 

e

 

1

2

 

 x gx x

x f

 

1

2 2

1 _ 2 _



 x qx x

(21)

A partir dela:

.

Exercicio nº

19.-Atopa a inversa das seguintes funcións e reprenta no mesmo eixo a función e a súa inversa:

4

2 _



 x

y

Considera la siguiente gráfica y responde:

a) ¿Cuál de estas es su expresión analítica?

x sen y

x cos y

x sen

y3 3 3 3

b) ¿Cuál es su dominio de definición?

c) ¿Es una función continua?

d) ¿Es periódica? ¿Cuál es su periodo?

e) ¿Qué valores mínimo y máximo alcanza?

 

2 e

 

0. Calcula

a) 1 1

f f

 

x f 1

función a

eixes, mesmos nos

, Representa

b) 

 

3 7 2 x x

(22)

Solución:

a) y= 3 - cosx

b) Dominio = R

c) Sí, es continua.

d) Es periódica de período 2, pues la gráfica se repite cada 2 unidad.

e) Los valores de la función están entre 2 y 4.

(23)

Consideramos la gráfica:

a) Halla la expresión analítica de la función exponencial correspondiente.

b) ¿Cuál es el dominio de dicha función?

(24)

Solución:

a) Es una función exponencial de base mayor que 1, que pasa por los puntos (0, 1), (1, 4)... Su expresión analítica es y 4x_.

b) Dominio R

c) Es una función continua y creciente.

Dibuja la gráfica de:

y = 1 - log2 x

Solución:

 Dominio  ( 0, )

 La gráfica será:

Colocamos en una cuenta 2 000 euros al 3 anual.

a) ¿Cuánto dinero tendremos en la cuenta al cabo de un año? ¿Y dentro de 4 años?

b) Halla la expresión analítica que nos da la cantidad de dinero que tendremos en la cuenta en función del tiempo transcurrido (en años).

Solución:

a) Dentro de un año tendremos: 2 000 · 1,03  2 060 euros

Dentro de cuatro años tendremos: 2 000 · 1,034_{2 251,02 euros}

b) Dentro de x años tendremos y euros, siendo:

(25)

Ejercicio nº25.-

 

2 1 y

 

,calcula:

funciones las

Dadas 2

x x g x

x

f   



f g

 

x a)



gf

 

x b)

Solución:



 



 



 

2

 

1 2 1

a) f g x f g x f x  x 2   x



 

 

 



2 1



2 1 b) gf x g f x g x2   x2 

Explica cómo se pueden obtener por composición las funciones p(x) y q(x) a partir de

f(x) y g(x), siendo:

 

x 2x3, g

 

x  x2, p

 

x 2 x23 y q

 

x  2x5 f

Solución:

  

x f g

 

x q

  

x g f

 

x

p    

Ejercicio nº27.-

a) ¿Cuál de estas expresiones analíticas le corresponde?

x tg y x cos y x sen y

x sen

y 2 2  2  2

b) ¿Cuál es su dominio de definición?

c) ¿Es una función continua?

d) ¿Cuál es su periodo?

e) ¿Qué valores mínimo y máximo alcanza?

a) Di cuál de estas expresiones analíticas le corresponde:



x



y sen



x



y cos x y sen x

cos

y     2  2

(26)

i) Considera la siguiente gráfica:

Ii ) A la siguiente gráfica le corresponde una de estas expresiones analíticas. ¿Cuál?



x



y cos x y senx

tg y

x tg y x

tg y x

tg y

 

 

        





 2 2

b) Di para qué valores está definida la función anterior, cuál es su periodo y estudia su continuidad.

Considera la siguiente gráfica de una funcion logaritmica:

a) Escribe la expresión analítica de la función correspondiente.

b) Estudia la continuidad y el crecimiento de la función e indica cuál es su dominio de definición.

(27)

cada año.

a) ¿Cuántos individuos habrá dentro de un año? ¿Y dentro de 3 años?

b) Halla la función que nos da el número de individuos según los años transcurridos.

Halla la inversa de las siguientes funciónes :

 

  2 7

 

2x7

3 3x - 5

x

f x f x

Comprobar el resultado haciendo la composición de cada función con su inversa.

(28)

(29)

Representa as seguintes funcións utilizando o procedemento do problema anterior.

(30)