171
Capítulo IV
Transferencia de calor a régimen transitorio
Transferencia de calor a régimen transitorio
172
Para analizar este tipo de operaciones comenzaremos por hacer un balance de energía en un sistema abierto cualquiera tal como el que se presenta.
En este sistema
Energía entrante = energía saliente +energía acumulada
También:
Energía entrante = Energía entrante asociada con la masa+ energía entrante sin masa.
Energía saliente = Energía saliente asociada con la masa +Energía saliente sin masa.
Entre las energías que están asociadas con la masa están:
La energía potencial, que la energía que tiene un cuerpo en virtud de su posición en el espacio. EP
La energía cinética que es la que está asociada a la velocidad que tienen los cuerpos.EC
La energía de presión o aquella que tienen los cuerpos debida a la presión que ejercen. EPe
La energía interna que está asociada a la temperatura U.
La energía que puede entrar o salir sin la masa es el calor Q y el trabajo W.
Por lo tanto para el sistema mostrado:
(1)
173
Como la energía cinética está dada por Lu2/2 , la energía potencia es L zg , la energía de presión está dado por LPV y la energía interna por LU, entonces:
(2)
Pero la entalpia H=U+PV (3)
(4)
Re arreglando:
(5)
La ecuación (5) es la ecuación general de balance de energía.
Si L1 = L2
Entonces:
(6)
Si no hay acumulación
(7)
Si el proceso se hace a temperatura constante, no hay acumulación y no se adiciona calor:
(8)
La ecuación anterior (8) es conocida como la ecuación de Bernoulli.
En la mayoría de los proceso de transferencia de calor ΔZ =0 ; Δu2 =0 y ƩF =0
174
(9)
A régimen permanente
(10)
Si no hay agitación o trabajo:
(11)
DE (9) si no hay entrada de materia (enfriamiento o calentamiento)
(12)
175
Ejemplo 1.Un tanque contiene 2 m3 de leche a 15 ° C. En un momento dado se le agrega leche a razón de 200 l/min y se le quita leche al mismo ritmo. La temperatura inicial de la leche en el tanque era de 15 ° C. La leche que entra al tanque está a 75°C. Un serpentín adiciona 1500 kcal / min y el agitado empleado es de 75 HP. Calcule la temperatura en el tanque al cabo de 10 minutos. La densidad de la leche es de 1030 kg /m3 y la capacidad calorífica es de 0.98 kcal /kg ° C.
1.- Traducción.
2.- Planteamiento.
Ecuación General de transferencia de energía.
En un fluido incompresible:
: dU=CvdT =CpdT
En el caso analizado
176
Pero z1 = z2 , u1=u2 ;; ƩF =0Por lo tanto:
3.- Cálculos.
3.1. Masa en el tanque
Vρ=M=1030 kg/m3* 2m3=2060 kg
L1 =L= 0.2 m3/min x 1030 kg /m3= 206 kg /min
3.2.- Calor transmitido
Q = 1500 kcal /min
3.3.- Trabajo adicionado
W = 5HP= 53.47 kcal /min
3.4.- Balance de energía.
206 (0.98)(75-T)+1500+53.47=2060(.98) dT /dθ
82.695-T =10 dT /dθ
177
4.- Resultado.La temperatura final será de 58 ° C.
Ejemplo 2.
Un tanque contiene 1000 L de agua a 20 ° C. El tanque tiene una chaqueta que adiciona calor. La chaqueta es de 0.5 m2 de área. Por la chaqueta pasa vapor a 130 ° C. El coeficiente de transferencia de calor por convección de la chaqueta es de 1000 kcal /h m2°C. Para mejorar el calentamiento el tanque tiene un agitador provisto de un motor de 1 HP. ¿En cuánto tiempo el agua del tanque llegará a los cincuenta grados centígrados?. El tanque aunque está asilado pierde calor a razón de 500 kcal /h.
1.- Traducción.
2.- Planteamiento.
178
En este caso L1=L2=0 por lo tanto:Tomando ƩF =0 y U = H= CpdT entonces:
3.- Cálculos. 3.1.- Calores
Hay dos calores
Q entrante = h A (Tv-T ) y Q saliente = 500 kcal /h
3.2.- Trabajo
W = 1 Hp = 640 kcal /h ;
3.3.- Balance de energía.
hA (Tv-T)-500+W= ρVCp dT /dθ
1000 (0.5)(130-T)-500+640=1000(1)(1) dT/dθ
65000-500T-500+640=1000 dT /dθ
65140-500 T= 1000 dT/dθ ; 64.14-0.5 T = dT /dθ
179
Θ = 0.635 h = 38 minutos.4.- Resultado.
Se necesitan 38 minutos.
Ejemplo 3.
Un tanque cilíndrico horizontal de acero, de 1.5 m de diámetro, 3.5 m de longitud y 2 cm de espesor, está recubierto por una capa de aislante de 5 cm de espesor y se utiliza como un tanque de maduración para un proceso químico.
El tanque se llena con un líquido de Cp = 0.6 kcal /kg °C y densidad igual a 1000 kg / m3 a 90 ° C y se le deja madurar por cinco días. ¿Cuál será la temperatura final del líquido?
Datos:
Coeficiente de transferencia de calor del lado del líquido h1= 122 kcal /h m2° C.
Conductividad térmica del acero 37 Kcal/ h m ° C. Conductividad térmica del aislante 0.15.
Coeficiente de calor superficial por convección y radiación h2 = 8.8 kcal /h m2°C.
Temperatura media atmosférica 20 ° C.
180
3.5 mTaire =20 °C líquido
Tlíquido= 90 ° C 1.5 m
2.- Planteamiento.
2.1.- Discusión.
Este es un proceso a régimen transitorio, por lo que debe tomarse en cuenta la variación de
la temperatura con respecto al tiempo.
2.2.- Pérdidas de calor.
Entradas – salidas = Acumulación.
Entradas = 0
Salidas =
R T Q Acumulación =
d dT MCpPor lo tanto:
R Ta T d dT MCp R T
0 ( )
181
RMCp
Ta
T
Ta
T
0ln
aire aislante aceroaire R R R R
R
externa líquido aislante aislante acero acero
A
h
Am
k
x
Am
k
x
hiAi
R
1
1
3.- Cálculos. 3.1.- Áreas
Área interna del acero
Ai=
(
1
.
5
)
220
.
0259
24
2
5
.
3
5
.
1
m
Área externa del acero = área interna del aislante.
2 2
6566
.
20
)
54
.
1
(
4
2
)
5
.
3
54
.
1
(
m
A
Área externa del aislante = área externa superficial.
2 27706
.
22
64
.
1
4
2
)
6
.
3
64
.
1
(
m
A
ex
Área media de transferencia para el acero
2 34125 . 20 2 6566 . 20 0259 . 20 m
Área media de transferencia del aislante
2 7136 . 21 2 7706 . 22 6566 . 20 m
182
0207776 . 0 7136 . 21 8 . 8 1 7136 . 21 15 . 0 05 . 0 34125 . 20 37 02 . 0 02599 . 20 122 1 R 3.3.- Masa.M=
3
.
5
1000
6181
.
875
kg
4
)
5
.
1
(
2
3.4.- Temperatura final.
C
kg
kcal
kg
kcal
C
h
h
T
6
.
0
875
.
6181
0207776
.
0
20
20
90
20
ln
T = 34.752°C
4.- Resultado.
La temperatura será de alrededor de 35 ° C
Enfriamiento y congelación de agua en las tuberías
A pesar del aislamiento el agua en las tuberías se puede congelar provocando la ruptura de los ductos. El cálculo del tiempo requerido puede efectuarse mediante el balance general de energía.
183
Si ƩF =0 , W =0 y si L= 0 (no hay flujo de agua en la tubería), entonces:
Si la densidad y el volumen y el Cp son constantes entonces:
Ahora bien, el calor que pierde el agua desde la tubería está dado por las pérdidas por conducción, convección y radiación:
En donde k es la conductividad térmica del aislante que recubre la tubería o la conductividad térmica del metal de que está hecha la tubería., L es la longitud de la tubería r1 y r2 son los radios,
hT es el coeficiente de transferencia de calor total (por conducción y radiación) y As es el área
superficial de la tubería.
Por lo tanto:
Separando variables
dT
184
Y por lo tanto:Ejemplo 4.
Una tubería de 1.5 pulgadas cédula 40 está recubierta con dos pulgadas de lana de vidrio aislante. Si la temperatura del aire circundante es de -23 ° C, ¿en cuánto tiempo se empezará a congelar el agua contenida en la tubería, si esta mide 100 metros de longitud y si el agua contenida en ella está inicialmente a 10 ° C?
1.- Traducción
2.- Planteamiento.
2.1.- Tiempo de congelación.
3.- Cálculos. 3.1.- Datos.
185
3.1.- Masa de agua contenida en la tubería.V=π/4 (D)2L = 0.785 (0.04064)2(100) =0.12965 m3
Masa = M= V x ρ=0.12965 m3 x1000kg /m3 = 129.65 kg
3.2.- Radios y áreas.
Radio externo r2= 0.04825/2+0.0508=0.07493 m
Radio interno r1= 0.02413 m
ln r2/r1 = ln 0.07493/0.02413=1,1337
Área de la superficie = πDsL=π(0.07492 x2)(100)=47.05 m2
Coeficiente total por convección y radiación hT = 12 kcal /h m2°C
3.3.- Tiempo
Θ=129.65(0.05085+0.00177)(0.361)
Θ= 2.4929 horas.
4.- Resultado.
La tubería comenzará a congelarse en 2.5 horas.
Cantidad mínima de agua para prevenir la congelación.
Para prevenir la congelación se debe dejar que cierta cantidad de agua fluya por la tubería. La cantidad mínima para prevenir la congelación está dada por:
186
Sea ΔZ=0 , W =0 , ΔU =0 , ƩF =0 y a régimen permanente.Entonces LΔH = Q
De aquí se despeja la cantidad de agua M.
Ejemplo 5.
Se desea proteger una tubería de 1.5 pulgadas , Cd. 40 con lana mineral. El agua entra en la tubería a 10 ° C y el aire está a –23 ° C. Calcule el grueso del aislante requerido para evitar la congelación si el agua fluye a razón de 30 kg /h. La conductividad del aislante es de 0.022 kcal / h m ° C. La tubería mide 100 m de longitud.
1.- Traducción.
L = 100m
M1=30 kh /h T2=0°C
1 2
T1=10 ° C
Ta= - 23 ° C
2.- Planteamiento. 2.1.- Discusión.
187
2.2.- Grueso del aislante.kL r r T T T T MCp
Q agua agua aire
2 ln ) ( 1 2 0 El grueso del aislante requerido se obtiene con r2 – r1, en donde r2 se obtiene a partir de:
MCp T T L k T T r r agua aire agua ) ( 2 ) ( ln 0 1 2
en donde:r1 = radio interno del aislante.
r2 = radio externo del aislante.
Tagua = temperatura del agua circulante.
Taire= Temperatura del aire.
L = Longitud del tubo.
T0= Temperatura de congelación.
M = kg / h de agua
Cp = capacidad calorífica del agua.
3.- Cálculos.
3.1.- Grueso del aislante.
)
1
)(
30
)(
0
10
(
100
)
022
.
0
(
2
)
23
(
10
02413
.
0
ln
2
r
r2=0.1103m
4.- Resultado.
188
Calentamiento con serpentines y chaquetas a régimen transitorio (con flujo de calor variable)
En la transmisión con flujo variable la temperatura no permanece constante en cada punto
con el tiempo. Vamos a considerar las ecuaciones más importantes aplicables al
calentamiento o enfriamiento de fluidos. Las ecuaciones indicadas a continuación se
refieren al tiempo de calentamiento de los fluidos contenidos en un equipo suponiendo que
hay agitación suficiente para lograr la homogenización de toda la masa del fluido y que el
coeficiente total de transferencia de calor no varía con el tiempo.
a)
Medio de calefacción isotérmico.
Para este caso el tiempo de calentamiento viene dado por:
A régimen transitorio
E –S = A
En donde E = entradas de energía, S = salidas de energía y A= acumulación de energía.
Las entradas de energía están dadas por: U A (Ts- T)
Las salidas están dadas por la energía que sale del tanque, si este está aislado S=0
La acumulación de energía es entonces
En este caso la ecuación queda como:
Pero ρV=m
En donde m = masa del fluido a calentar.
189
U= Coeficiente total de transferencia de calor.Ts = temperatura de condensación del medio calentante.
T1 y T2 temperatura inicial y final del fluido a calentar
Régimen transitorio en tanques calentados y agitados si el medio calentante (generalmente vapor de agua) está a temperatura constante.
190
En donde: ΔT= (Tv-t)Entonces:
Integrando
Ejemplo 6.
En un reactor están contenidos 2000 kg de etanol a 25 ° C. Antes de hacerlo reaccionar se ha de calentar el etanol hasta 80 ° C mediante vapor de agua que está a 2.4 atm y que se condensa en el serpentín introducido en el reactor. El área de contacto entre el serpentín y el etanol es de 2m 2 y el coeficiente total de transferencia de calor estimado es de 900 kcal / h m2° C. Determine el
tiempo de calentamiento requerido. ¿Cuál sería la temperatura en el tanque al cabo de 15 minutos?
191
2.- Planteamiento.2.1.- Tiempo de calentamiento.
3.- Cálculos. 3.1.- Datos
Temperatura del vapor 125 ° C
Densidad del etanol 935 kg /m3
Capacidad calorífica del etanol = 0.97 kcal /kg °C.
3.2.- Tiempo requerido para el calentamiento.
3.3.- ¿Cuál sería la temperatura a los 15 minutos?
192
4.- Resultados.La temperatura final sería de 45.5 ° C a los 15 minutos.
Calentamiento de tanques con medio calefactor no isotérmico
El balance de calor daría:
193
En donde W= masa del medio calentante; T1= temperatura de entrada del medio calefactor;
Cp’=capacidad calorífica del medio calefactor; Cp =Capacidad calorífica del medio que se calienta., m= masa del fluido que se va a calentar.
Despejando
Sea
Entonces:
Ejemplo 7.
194
1.- Traducción.2.- Planteamiento. 2.1.- Tiempo
3.- Cálculos.
3.1.- Tiempo de calentamiento.
4.-Resultado.
195
Calentamiento o enfriamiento de un cuerpo con alta conductividad térmica.
Si la conductividad térmica es alta, la resistencia interna a la transferencia de calor es
despreciable Esta situación límite es más fácilmente obtenible si el cuerpo tiene una gran
área superficial comparada con su volumen. Un proceso en el cual la resistencia interna se
ignora y el proceso de transferencia de calor se expresa en términos de la resistencia
controlante superficial se conoce como proceso de calentamiento newtoniano.
La solución para este caso suele ser del tipo:
V Cp
t A h onencial T
Ts T Ts
exp
0
Esto se cumple si Biot < 0.1
En donde Ts es la temperatura en la superficie, que en este caso es igual a la del medio
ambiente, T
0es la temperatura inicial y T la final.
Ejemplo 8.
Una esfera de cobre de 10 cm de diámetro que tiene una temperatura de 150 ° C se sumerge en aceite a 25 ° C de temperatura. Después de 20 minutos de estar sumergida en el fluido. ¿Cuál será la temperatura de la esfera si el coeficiente superficial es de 25 kcal /h m2 ° C?
1.- Traducción.
Taceite=25°C
T0=150
T = ¿
2.- Planteamiento. 2.1.- Discusión.
196
2.2.- Ecuaciones de diseño.El objeto que tiene una temperatura inicial T0 se sumerge en el fluido TS, en donde TS<T0.
La energía perdida para el tiempo θ>0 es:
)
(
T
T
shA
Q
En donde T es la temperatura del objeto al tiempo θ. Como no hay resistencia interna , esta temperatura será uniforme en todo el cuerpo. La acumulación de la energía dentro del cuerpo de densidad ρ, calor especifico Cp y volumen V es :
d dT V Cp Q IgualandoV
Cp
T
T
A
h
d
dT
S
)
(
Esta ecuación puede resolverse usando la condición inicial
T=T0 a θ = 0
Dando la siguiente expresión:
V Cp A h S S e T T T T 0
Esta solución indica que la temperatura del cuerpo disminuye exponencialmente con el
tiempo y que el tiempo necesario para que el cuerpo alcance una temperatura dada es
directamente proporcional a la resistencia superficial y a las propiedades ρ, Cp y A /V.
Recordando que
k
x
h
Bi
1Y que
2 1
197
V Ax Fo Bi S S i e T T T T 0En donde
G
V
Ax
i
es el factor geométrico.
3.- Cálculos.
3.1.- Propiedades.
h = 25 kcal / h m
2°C; k = 327 kcal / h m ° C; ρ= 8900 kg / m
30038 . 0 327 ) 05 . 0 ( 25 Bi
Cp=0.092 kcal /kg °C
m A V 0166 . 0
3.2 .- Temperatura.
54166
.
0
25
150
25
0.0166(0.09260)(8900)20 25
e
T
4.- Resultado.
La temperatura de la esfera será de 92.708°C.
Para otros casos las soluciones son más complicadas y quedan fuera del alcance de
este libro.
EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN
Ejemplo 1.
Un tanque contiene 800L de agua a 40 ° C la cual se debe llevar hasta 80 ° C. El tanque se calienta por medio de vapor de agua saturado y a 4 atmósferas absolutas. El serpentín es de cobre de 10 mm de diámetro interno y 1.5 mm de espesor y de 12 m de longitud. Si el coeficiente de condensación del vapor es de 5000 Kcal / h m2°C y el del convección del agua es de 500 kcal/ h m2°C, calcule el tiempo de calentamiento requerido.
198
Un tubo de cobre de 4 mm de diámetro interno y 0.5 mm de espesor contiene agua a 10 ° C. El tubo está expuesto al aire que está a -10 ° C. Calcule el tiempo que se requiere para que el agua comience a condensarse, si el tubo tiene 15 metros de largo.
Ejemplo 3.
Un cilindro de acero de 20 cm de diámetro y 30 de longitud se encuentra a 20 °c. El cilindro se mete a un horno que está a 300 ° C. Determine el tiempo necesario para que el cilindro alcance una temperatura de 100 ° C.
Ejemplo 4.
En un tanque cerrado y agitado se tienen 7500 litros de benceno a 25 °C los cuales se deben calentar hasta 70 ° C. Para calentar se tiene una chaqueta con 2 metros cuadrados de superficie. La chaqueta tiene un coeficiente total de calor de 500 kcal / h m2°C. ¿Cuánto tiempo se requiere para lograr el calentamiento?
Ejemplo 5.
