Números complejos Introducción
Números complejos
2
2.1
Introducción
Los algebristas de los siglos XV y XVI, al resolver ecuaciones de segundo grado, por ejemplox2−
4x+13=0, y obtener la expresiónx=4±
√ −36
2 ,decían que no era posible extraer la raíz cuadrada
de un número negativo y por tanto la ecuación no tenía solución. Pero en algún momento los algebristas se decidieron a operar con estas expresiones como si se tratara de números reales:
4±√−36 2 =
4±√36√−1
2 =2±3
√ −1,
y seguían operando con√−1 como si se tratara de un número real. Fué en 1777 cuando Euler le dio a√−1 el nombre dei(por imaginario) y a partir de entonces se ha desarrollado toda la teoría de los números complejos. En estas notas vamos a dar solamente unos breves conceptos de distintas formas de expresar los números complejos y como se trabaja con ellos. Pero antes de empezar una advertencia: aunque históricamente (y vulgarmente) se llamaia la raíz cuadrada de−1 esta expresión no es totalmente cierta. Si así fuera obtendríamos la siguiente cadena de igualdades que no es posible,... ¿verdad?
1=√1=q(−1)(−1)=√−1√−1=ii=i2= −1.
2.2
El cuerpo de los números complejos.
A la vista de la paradoja anterior es evidente que no vamos a definiri =√−1 para comenzar a trabajar con complejos. Nuestra definición va a ser más académica y, puede que más abstracta, pero enseguida veremos que es mejor.
Para nosotros los números complejos van a consistir en pares de números reales dotados de una suma y un producto que van a convertir aR×Ren un cuerpo conmutativo.
2.2.1
Suma de complejos
Recordemos que para dotar a un conjunto, en este casoR×R, de estructura de cuerpo se necesita
una suma y un producto que verifiquen ciertas propiedades. La suma no es nada nuevo, es la suma deR2como espacio vectorial, es decir, si(a, b),(c, d)son dos elementos deR2, definimos su suma
como
(a, b)+(c, d)=(a+c, b+d).
Es evidente (por otra parte nosotros ya lo sabíamos del estudio de espacios vectoriales) que esta suma cumple las propiedades que tiene que cumplir:
1) Asociativa. 2) Conmutativa.
3) Existencia de neutro ((0,0)).
El cuerpo de los números complejos. Números complejos
z
a w
c
z+w
a+c
Ilustración 2.1 Suma de números complejos
La representación gráfica de la suma es conocida. Dos números complejosz=a+ibyw =c+id determinan un paralelogramo cuya diagonal (verfigura 2.1) esz+w.
2.2.2
Producto de complejos
El producto sí es nuevo. Dados(a, b), (c, d)∈R2, definimos su producto como
(a, b)(c, d)=(ac−bd, ad+bc).
Tampoco es difícil comprobar que este producto es adecuado, en el sentido de que verifica las propiedades
5) Asociativa, 6) Conmutativa,
7) Existencia de elemento neutro ( el neutro para el producto es(1,0), comprúebese). 8) Si(a, b)≠(0,0)entonces su inverso es
(a, b)−1=a2a+b2,
−b a2+b2
.
Comprueba también que(a, b)(a, b)−1=(1,0).
9) Distributiva ((a, b)((c, d)+(e, f ))=(a, b)(c, d)+(a, b)(e, f )).
Así, por ejemplo, ((23,,34)) =(2,3)253,−254=1825,251. Pues bien, los números complejos son justa-mente el cuerpo(R2,+,·). Es decir cada número complejo es una pareja(a, b)dondeaybson
números reales, y la suma y el producto de complejos son los que hemos descrito antes. A esta forma de representar los números complejos se la suele llamar forma cartesiana. Esta forma es Forma cartesiana
muy cómoda para trabajar con sumas de números complejos pero no lo es tanto para trabajar con el producto: prueba a calcular(1,−1)4.
No hay un orden en
C
compatible con la estructura algebraica
Al ampliar Ra C ganamos mucho pero también perdemos algo. Te recuerdo que R tiene dos
estructuras: la algebraica y la de orden. Ambas estructuras están armoniosamente relacionadas. Pues bien, enC no hay nada parecido. Podemos definir relaciones de orden enC, pero no hay
ninguna de ellas que sea compatible con la estructura algebraica. En efecto, si suponemos que≤
Números complejos Forma binómica de los complejos.
0< i2= −1 (esto todavía no es contradictorio porque pudiera ocurrir que la relación≤no respetara el orden deR). Pero también 0<12=1, luego 0<1+(−1)=0 y eso sí que es contradictorio. Por tanto, es imposible definir un concepto de número complejo positivo de forma que la suma y el producto de complejos positivos sea positivo. Por ello no se define enCningún orden. Así que ya sabes: ¡mucho cuidado con no escribir desigualdades entre números complejos! Naturalmente, puedes escribir desigualdades entre las partes reales o imaginarias de números complejos, porque tanto la parte real como la parte imaginaria de un número complejo son números reales.
2.3
Forma binómica de los complejos.
Dentro deR2podemos distinguir el subconjunto formado por los elementos que tienen la segunda
componente 0,{(a,0), a∈R}. Restringidos la suma y el producto a este subconjunto tenemos una propiedad curiosa y es que nos seguimos quedando en el subconjunto. Es inmediato observar que
(a1,0)+(a2,0)=(a1+a2,0), ∀a1, a2∈R,
(a1,0)(a2,0)=(a1a2,0), ∀a1, a2∈R.
Esto hace que el conjunto{(a,0), a∈R}, con la suma y el producto definidos antes sea también un cuerpo, pero este cuerpo se puede identificar con los números reales mediante la identificación
R←→ {(a,0), a∈R}
a←→(a,0)
Usaremos esta identificación; es decir para nosotros van a ser indistinguibles el complejo(a,0)y el número reala. Entonces tenemos que cualquier número complejo(a, b)se puede poner como
(a, b)=(a,0)+(0, b)=(a,0)+(b,0)(0,1)=a+b(0,1).
Si ahora llamamos (0,1) =i, obtenemos que el número complejoz =(a, b)(se le suele llamar a los números complejos con letras comoz,u,v,...) se puede poner comoz=a+ib. Esto es lo
que se llama la forma binómica de un número complejo. Al número reala se le llama la parte Parte real realdel complejo y al númerobse le llama la parte imaginaria.Aitambién se le llama launidad Parte imaginaria imaginaria.Es claro queino es ningún número real (no es un par con la segunda componente 0) y
cumple una propiedad que nos será útil, y es que
i2=ii=(0,1)(0,1)=(−1,0)= −1,
es decir, el cuadrado de ies−1. Esto nos permite que las fórmulas para la suma y el producto de números complejos, cuando están puestos en forma binómica, sean fáciles de recordar, ya que, formalmente, los vamos a sumar y multiplicar como si fueran números reales y simplemente tendremos en cuenta quei2= −1. Nos referimos a lo siguiente: antes hemos definido la suma de
dos números complejos (puestos como pares) de la forma (a, b)+(c, d) = (a+c, b+d).Esta misma operación, puesta en forma binómica, quedaríaa+ib+c+id=a+c+i(b+d), que es la suma formal de las parejasa+ibyc+id, sacando al final factor común eli.
Para el producto sucede igual. Si multiplicamos dos complejos en forma de pares(a, b)(c, d)=
(ac−bd, ad+bc).Esto puesto en forma binómica sería(a+ib)(c+id)=ac−bd+i(ad+bc). Pero este resultado es lo que se obtiene multiplicando formalmentea+ibporc+idy tenemos en cuenta quei2= −1.
Representación gráfica. Conjugado y módulo de un número complejo Números complejos
2.4
Representación gráfica. Conjugado y módulo de un número
com-plejo
Es usual interpretar el número complejox+iycomo el vector del plano(x, y)y, en ese sentido, se habla delplano complejo.El eje horizontal recibe el nombre deeje real,y el eje vertical recibe el nombre deeje imaginario.
z=a+bi
a b
z=a−bi
|z|
Ilustración 2.2 Representación de un número complejo
Definición 2.1. Siz=x+iyes un número complejo (conxeyreales), entonces elconjugado Conjugado
dezse define como:z=x−iyy elmódulo ovalor absoluto dez, se define como:|z| =qx2+y2.
Módulo
Observa queqx2+y2está definido sin ambigüedad; es la raíz cuadrada del número real no
nega-tivox2+y2.
Geométricamentezes sencillamente la reflexión dezrespecto al eje real, mientras que|z|es la distancia euclídea del punto(x, y) a(0,0) o, también, la longitud o norma euclídea del vector (x, y)(verfigura 2.2). Ladistancia entre dos números complejoszywse define como|z−w|. La representación gráfica de la suma es conocida. Dos números complejosz=a+ibyw =c+id determinan un paralelogramo cuya diagonal (verfigura 2.1) esz+w.
Proposición 2.2. Seanz,w∈C. Entonces a) z=z,
b) z+w=z+w, c) zw=z w. d) |z|2=zz,
e) max{|Re(z)|,|Im(z)|} ≤ |z| ≤ |Re(z)| + |Im(z)|, f) |zw| = |z| |w|,
g) |z+w| ≤ |z| + |w|.
Demostración.La comprobación de estas afirmaciones es inmediata. Por ejemplo, para comprobar que la propiedad f) se verifica, basta observar que |zw|y |z| |w| son números positivos cuyos cuadrados coinciden, pues
|zw|2=zwzw=zwzw=zzww= |z|2|w|2=(|z| |w|)2.
Números complejos Forma polar de los complejos.
|z+w|2=(z+w)(z+w)=(z+w)(z+w)=zz+ww+zw+zw
= |z|2+ |w|2+2 Re(zw)≤ |z|2+ |w|2+2|Re(zw)|
≤ |z|2+ |w|2+2|zw| = |z|2+ |w|2+2|z| |w| = |z|2+ |w|2+2|z| |w|
=(|z| + |w|)2.
Observación 2.3. De la demostración de la última afirmación se deduce que|z+w| = |z| + |w|
si, y sólo si, Rezw= |zw|, esto es, sizw∈R+0, o lo que es lo mismozw=ρdondeρ∈R+0. Esta igualdad, puede escribirse de forma equivalente multiplicando porw comoz|w|2=ρw, esto es, z=λw para algúnλ∈R+0 lo que quiere decir quezywestán en una misma semirrecta a partir del origen.
Ejemplo 2.4. La división de números complejos es fácil teniendo en cuenta que el producto de un complejo y su conjugado da como resultado el módulo al cuadrado de dicho número complejo.
1+i
2−i =
1+i
2−i
2+i
2+i =
1+3i
5 .
La división o el producto de dos números complejos no es difícil pero sí que puede ser aburrido calcular(1+i)10. ¿Existe algo como el binomio de Newton para números reales? Compruébalo
tú mismo. Lo que sí es muy fácil es saber su módulo:
(1+i)
10
= |1+i|
10=√210=25.
2.5
Forma polar de los complejos.
Hay otras formas de representar los números complejos. Una de ellas es la forma polar.
z
|z|
ángulo deϑradianes
Ilustración 2.3 Argumento Supongamos que tenemos un número complejoz=a+ib≠0.
Este complejo se corresponde con la pareja de números reales (a, b)que podemos representar en el plano. A los dos ejes del plano (en este caso se suele llamar el plano complejo) se les denota por el eje real (donde se representa la primera compo-nente) y el eje imaginario (donde se representa la segunda). A la vista del dibujo está claro que el el númeroz(o el par(a, b), al fin y al cabo para nosotros son la misma cosa) queda total-mente determinado por dos magnitudes como son la distancia al origen, a la que llamaremos el módulo del complejo, y usual-mente lo denotaremos porρy el ángulo que forma el vector de
posición del complejo con el eje real. A esta magnitud le llamaremos el argumento del complejo, θ. Antes de continuar hay que darse cuenta de que el módulo de un complejo queda unívocamente determinado pero el argumento no del todo, ya que si tenemos queθes el argumento de un núme-ro complejo, entoncesθ+2kπ, dondekes un número entero, es también argumento del complejo (si estamos midiendo en radianes, claro). Es por ello que lo que vamos a hacer es quedarnos con un intervalo de longitud 2π (el intervalo]−π , π ]y al único ángulo (para complejos distintos de cero) que esté en ese intervalo es lo que llamaremos el argumento principal dez. Unos cálculos sencillos (el teorema de Pitágoras) nos da la fórmula para calcular el módulo del complejoz
Forma polar de los complejos. Números complejos
En el caso en que el complejo sea un número real su módulo coincide con su valor absoluto lo que nos permite utilizar el mismo símbolo para ambos conceptos: el módulo de un complejo es una generalización del valor absoluto.
Para calcular el argumento principal de un complejo hay varias fórmulas pero la más intuitiva es la siguiente: siz=a+ib≠0 su argumento principalθserá
θ=
arctanba, sia >0,
π
2 , sia=0 yb >0 ,
−π2 , sia=0 yb <0
arctanba+π sia <0 yb >0,
arctanba−π sia <0 yb <0.
Al número complejo de módulo ρy argumentoθ se le suele representarρθ y las fórmulas que
Forma polar
hemos visto son la forma de pasar de la forma binómica a la forma polar de un complejo.
Ejemplo 2.5. Si tenemos el complejoz= −2+2√3i, entonces su módulo será|z| =√4+12= √
16 = 4, mientras que el argumento se calcula de la siguiente forma. Como la parte real es negativa y la parte imaginaria es positiva, el argumento será
θ=arctan2
√
3
−2
+π =arctan− √
3+π = −π3 +π=23π.
Así−2+2√3i=42π
3 .
Para pasar de la forma polar de un complejo a la forma binómica es aún más fácil. Utilizando las fórmulas de la trigonometría se tiene que siz =ρθ su forma binómica será z =ρcos(θ)+
iρsen(θ). Realmente la fórmulaρ(cos(θ)+isen(θ))se llama la forma o expresión trigonométrica Forma
trigo-nométrica del complejoz.
Ejemplo 2.6. El complejoz=5−3π
4
=5 cos−34π+i5 sen−34π= −5
√
2 2 −i5
√
2 2 .
También se puede calcular el argumento de un número complejo mediante la fórmula
arg(z)= (
2 arctanReIm(z)(z)+|z|, siz /∈R−,
π , siz∈R−.
2.5.1
Interpretación geométrica del producto.
Si tenemos dos complejosz1=ρ1θ1yz2=ρ2θ2y los multiplicamos obtendremos
z1z2=(ρ1θ1)(ρ2θ2)=(ρ1(cos(θ1)+isen(θ1)))(ρ2(cos(θ2)+isen(θ2)))
=ρ1ρ2(cos(θ1)cos(θ2−sen(θ1)sen(θ2)+i(sen(θ1)cos(θ2)+sen(θ2)cos(θ1)))
=ρ1ρ2(cos(θ1+θ2)+isen(θ1+θ2))=(ρ1ρ2)θ1+θ2.
Números complejos Forma polar de los complejos.
z1
z2
z1·z2
θ1
θ2
θ1+θ2
Ilustración 2.4 Interpretación geométrica del producto
2.5.2
Fórmula de De Moivre
Si en la fórmula que hemos obtenido para la multiplicación de complejos lo que nos tomamos es un mismo complejo multiplicado por sí mismo y repetimos la operación varias veces obtendremos que siz=ρ(cos(θ)+isen(θ))ynes un natural entonces
zn=(r (cos(θ)+isen(θ)))n=ρn(cos(nθ)+isen(nθ)), (2.1)
que se conoce como la fórmula de De Moivre. Paran=2 ya la hemos visto pero paranmayor que dos también es interesante, entre otras cosas porque nos da fórmulas explícitas para cos(nθ)y para sen(θ)en función de sen(θ)y de cos(θ). Dedúzcanse las fórmulas paran=3 yn=4 por ejemplo.
2.5.3
Raíces de un número complejo.
Aplicando la fórmula de De Moivre vamos a obtener las raíces n-ésimas de un número complejo. Para empezar por el caso más fácil vamos a suponer como complejo el número real 1. Vamos a llamar raíces n-ésimas de la unidad a aquellos números complejosz que verifiquen quezn =1.
Trabajando con la forma trigonométrica dez=r (cos(θ)+isen(θ)y teniendo en cuenta que el módulo de 1 es 1 y su argumento principal es 0, obtenemos que
zn=ρn(cos(nθ)+isen(nθ))=1=1(cos(0)+isen(0)),
de dondeρn=1 y por tantoρ=1. Por otra parte igualando los argumentos tenemos quenθ=0. Se podría pensar que de aquí se puede obtener únicamente queθ=0 pero eso sería si consideraramos solamente argumentos principales. Realmente cualquier múltiplo entero de 2π es un argumento de 1 y entonces lo que obtenemos es quenθ =2kπ parak∈Zy entoncesθ= 2kπn , parak ∈Z. Dándole valores a k y numerando las correspondientes soluciones, obtenemos para los enteros comprendidos entrek=0 yk=n−1
θ0=0, θ1=2nπ, θ2=4nπ, . . . θn−1= 2(n−n1)π.
Obviamente hay más números enteros pero una leve observación nos haría ver que cualquier otro entero nos da un ángulo que difiere de uno de los que hemos obtenido en un múltiplo entero de 2π y produce el mismo argumento. Concluyendo, las raíces n-ésimas de 1 sonnnúmeros complejos distintos,z0, z1, . . . , zn−1todos con módulo 1 y el argumento (no necesariamente el principal) de
Funciones elementales Números complejos
Ilustración 2.5 Raíces quintas dei
Ejemplo. Las raíces cúbicas de la unidad serían los números complejosz0=10,z1=12π
3
yz2=14π
3 .
Es decirz0=1,z1= −12+i
√
3
2 , yz2= − 1 2−i
√
3
2 . Si las representamos en el plano complejo quedan
las tres en la circunferencia unidad pero es que además forman un triángulo equilátero uno de cuyos vértices está en el 1.
De igual forma las raíces cuartas de la unidad seránz0=10,z1=12π
4,z2 =14π
4 yz3 =16π
4, es decir z0=1,z1=i,z2= −1 yz3= −i. En este caso, al igual que antes, todas las raíces se distribuyen
en la circunferencia unidad (todas tienen módulo 1) pero ahora serán los vértices de un cuadrado, siendo uno de ellos (el que corresponde az0) el número 1.
Esta propiedad puede generalizarse a cualquier natural: dado n ∈ N las raíces n-ésimas de la unidad son los vértices de un polígono regular den lados inscrito en la circunferencia unidad, estando uno de dichos vértices en el punto 1.
Finalmente si lo que queremos es hacer las raíces n-ésimasz =ρθ para un naturaln, haciendo
pequeñas modificaciones en el proceso anterior, obtendremos que las raíces son
z0=
√
ρθ n
, z1=
√
ρθ+2π n
, z2=
√
ρθ+4π n
, . . . zn−1=
√
ρθ+2(n−1)π n
.
Esto también tiene una interpretación geométrica clara. Lasnraíces n-ésimas de un número com-plejoz=ρθse distribuyen todas en la circunferencia de centro 0 y radio
√
ρformando los vértices de un polígono regular denlados, uno de los cuales está en el complejo√ρcos(nθ)+isen(nθ).
2.6
Funciones elementales
2.6.1
La función exponencial
Definimos la exponencial compleja como
ez=exp(z)= lim
n→∞
1+znn=eRe(z)(cos(Im(z))+isen(Im(z))) .
Observa que|ez| =eRe(z), Im(z)∈Arg(ez). En particular, obtenemos lafórmula de Euler Fórmula de Euler
eit=cos(t)+isen(t) (t∈R)
Números complejos Funciones elementales
eiπ+1=0
en la que intervienen los números más importantes de las matemáticas. De la fórmula de Euler se
deducen fácilmente las llamadasecuaciones de Euler: Ecuaciones de Euler
cos(t)=eit+2e−it, sen(t)=eit−2ei−it (t∈R).
Se prueba fácilmente queez+w=ezewpara todosz, w∈
C. Se deduce que para todoz∈Cy todo k∈Zesez =ez+2kπ i. Lo que nos dice que la exponencial compleja es una funciónperiódicacon
período 2π i. Naturalmente, esto supone una gran diferencia con la exponencial real que es una función inyectiva. Observa que la exponencial no se anula nunca pues|ez| =eRe(z)>0.
2.6.2
Logaritmos complejos
El comportamiento periódico de la exponencial compleja se va a traducir, como vamos a ver en-seguida, en que la ecuaciónew =z, dondezes un número complejo no cero, va a tener infinitas solucionesw ∈C. Como
ew=eRe(w)(cos(Im(w))+isen(Im(w)))
Para queew=zes necesario y suficiente que:
• |ew| = |z|, esto es,eRe(w) = |z|, es decir, Re(w)=log|z|(logaritmo natural del número real
positivo|z|).
• Arg(ew)=Arg(z), esto es, Im(w)∈Arg(z)y esto se cumple si, y sólo si Im(w)=arg(w)+2kπ,
conk∈Z.
Hemos probado que{w ∈ C :ew = z} = {log|z| +i(arg(z)+2kπ ), k ∈
Z}. Por tanto, existen
infinitos números complejoswque satisfacen la ecuaciónew=z. Cualquiera de ellos se llamaun
logaritmo dez. El conjunto de todos ellos lo representaremos por Log(z). De entre todos ellos Logaritmo elegimos uno, llamadologaritmo principal, definido por Logaritmo principal
log(z)=log|z| +iarg(z), para todoz∈C∗.
Observa que cualquier otro logaritmo de z es de la forma log(z)+i2kπ para algún entero k. Es importante que observes que la igualdad log(zw) = log(z)+log(w)que es válida para los logaritmos de los números reales positivos, no es siempre cierta cierta para números complejos. Por ejemplo:
log(−1+i√3)=log| −1+i√3| +iarg(−1+i√3)
=log(2)+i(arctan(−√3)+π )=log(2)+i23π
log(−√3+i)=log| −√3+i| +iarg(−√3+i)
=log(2)+i(arctan(−1/√3)+π )=log(2)+i56π
log((−1+i√3)(−√3+i))=log(−4i)=log(4)−iπ2
≠log(−1+i √
3)+log(−√3+i)=log(4)+i32π.
Lo que está claro es que el número log(z)+log(w)∈ Log(zw), es decir, log(z)+log(w)esun logaritmo dezwpero no tiene por qué ser el logaritmo principal dezw.
Como la funciónz,arg(z)es continua enC\R−0 y discontinua enR−0, se deduce que el logaritmo
Ejercicios Números complejos
2.6.3
Potencias complejas
Recuerda que dados dos números realesa >0 y b∈R, la potencia de basea y exponentebse define comoab=eblog(a). Ahora, dadosa, b∈C, cona≠0, sabemos que hay infinitos logaritmos dea, todos ellos son de la forma log(a)+i2kπ, conk∈Z. Por ello, cualquier número complejo de la formaeb(log(a)+i2kπ )dondek∈
Z, esunapotencia de baseay exponenteb. De todas ellas se destaca una:
ab=eblog(a)
y dicho número se llamavalor principal de la potencia de baseay exponenteb. Observa que si b=1/ndonden∈N, el número
a1/n=expn1log(a)
=explogn(a)+iargn(a)
= |z|1/ncosargn(a)+isenargn(a)
es el valor principal de la raíz n-ésima deaque antes hemos notado por n√a. Esta definición da lugar
a las funciones exponenciales complejas de basea,z,az, definidas poraz=exp(zlog(a)).
Tam-bién permite definir la función potencia compleja de exponenteb,z,zbcomozb=exp(blog(z)).
Las funciones exponenciales cumplen evidentemente la igualdadaz+w =az+aw pero las
fun-ciones potencias no cumplen, en general como vimos al estudiar las raíces, la propiedad(zw)b=
zbwb. Esta igualdad se da en el caso de que
exp(blog(zw))=exp(blog(z)+blog(w))
o, puesto que la función exponencial es periódica de periodo 2π i, cuando se verifique que
blog(zw)=blog(z)+blog(w)+2kπ i, para algúnk∈Z.
Como caso particular, cuandozywpertenecen al primer cuadrante la igualdad log(zw)=log(z)+
log(w)es cierta con lo cual lo anterior se cumple parak=0. Por los mismos motivos la igualdad (zb)c=zbcno es cierta en general.
2.7
Ejercicios
2.7.1
Números complejos
Ejercicio 2.1
Efectuar las operaciones indicadas:
a) 24−−3ii
b) (2+i)((31−−2i)i)(21+2i) c) (2i−1)214−i+21−+ii
d) 2−ii45++i9i+10i−16i15
Números complejos Ejercicios
a) 24−−3ii = 11
17− 10 17i
b) (2+i)((31−−2i)i)(21+2i) = −
15 2 +5i
c) (2i−1)214−i+12−+ii= −3−29i
d) 2−i4i5++i9i10+i−16i15 =2+i
Ejercicio 2.2
Siz1=1−i,z2= −2+4i, yz3=
√
3−2i, calcular las siguientes expresiones:
a) z21+2z1−3
b) |2z2−3z1|2
c) (z3−z3)5
d) |z1z2+z2z1|
e)
z1+z2+1
z1−z2+i
f) |z21+z22|2+ |z32−z22|2
Solución 2.2
a) z21+2z1−3= −1−4i
b) |2z2−3z1|2=170
c) (z3−z3)5= −1024i
d) |z1z2+z2z1| =12
e)
z1+z2+1
z1−z2+i
=
3 5
f) |z21+z22|2+ |z32−z22|2=461+(16+4
√
3)2
Ejercicio 2.3
Calcular el módulo y el argumento de los números complejos:
a) 1 b) i c) −1
d) −i
e)
√
2 2 +i
√
2 2
Solución 2.3 falta
Ejercicio 2.4
Expresar en forma polar los números complejos:
a) 3+3i b) −1+√3i
c) -1 d) −2−√3i
Ejercicios Números complejos
Ejercicio 2.5
Calcular
a)
√
3−i
√
3+i
41+i
1−i
5
b) p2√3−2i c) (−4+4i)1/5
d) (−16i)1/4 e) i2/3
Solución 2.5 falta
Ejercicio 2.6
Encontrar todas las soluciones de las ecuaciones:
a) x4−1=0 b) 2x4−3x3−7x2−8x+6=0
Solución 2.6 falta
Ejercicio 2.7
Resolver las ecuaciones;
a) z4+81=0 b) z6+1=√3i
Solución 2.7 falta
Ejercicio 2.8
Representar gráficamente el subconjunto deR2definido por la desigualdad(z∈C)
|z| + <(z)≤1
Solución 2.8 falta
Ejercicio 2.9
Resolver la ecuación(1+i)z3−2i=0.
Solución 2.9 falta
Ejercicio 2.10
Resolver la ecuaciónz5=z¯
