Estrategia de enseñanza y aprendizaje ABP aplicada a Circuitos II

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(1)Se puede acceder al aula virtual del presente trabajo de grado en el siguiente enlace: http://gemini.udistrital.edu.co/comunidad/grupos/gispud/Circuitos-II/Capitulo2/index.html. Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(2) ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE ABP APLICADA A CIRCUITOS II – POTENCIA MONOFÁSICA EN ESTADO ESTABLE.. JHON ANDERSON SUA DURÁN JORGE ALEXIS RODRÍGUEZ GARCIA. UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD TECNOLÓGICA TECNOLOGÍA EN ELECTRICIDAD BOGOTÁ D.C. 2016. Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(3) ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE ABP APLICADA A CIRCUITOS II – POTENCIA MONOFÁSICA EN ESTADO ESTABLE.. JHON ANDERSON SUA DURÁN JORGE ALEXIS RODRÍGUEZ GARCIA. PROYECTO DE GRADO PARA OPTAR AL TÍTULO DE TECNÓLOGO EN ELECTRICIDAD. DIRECTORA ALEXANDRA SASHENKA PÉREZ SANTOS INGENIERA ELECTRICISTA. UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD TECNOLÓGICA TECNOLOGÍA EN ELECTRICIDAD BOGOTÁ D.C. 2016. Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(4) Nota de aceptación:. ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________. ________________________________________ Directora: Alexandra Sashenka Pérez Santos. ________________________________________ Jurado. ________________________________________ Jurado. Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(5) AGRADECIMIENTOS. Los autores expresan sus agradecimientos a: Ingeniera Alexandra Sashenka Pérez Santos, directora del proyecto, quien nos dio la oportunidad de trabajar con ella, y nos guio durante todo el proceso de construcción del proyecto, sin ella nada de esto hubiera sido posible. A nuestras familias, que nos acompañaron y nos brindaron todo el apoyo posible. A nuestros compañeros y amigos, que nos animaron a continuar y a crear el mejor producto posible.. Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(6) TABLA DE CONTENIDO. 1. Introducción ...................................................................................................... 1. 2. Justificación ...................................................................................................... 2. 3. Objetivos ........................................................................................................... 3 3.1. Objetivo general ......................................................................................... 3. 3.2. Objetivos específicos ................................................................................. 3. 4. Marco teórico .................................................................................................... 4. 5. Potencia monofásica en estado estable ........................................................... 7 5.1. Potencia instantánea 𝒑𝒕 ............................................................................. 7. 5.1.1. Elementos puramente resistivos ........................................................ 10. 5.1.2. Elementos puramente inductivos ....................................................... 11. 5.1.3. Elementos puramente capacitivos ..................................................... 12. 5.1.4. Redes ligeramente inductivas ............................................................ 13. 5.1.5. Redes ligeramente capacitivas .......................................................... 14. 5.2. Potencia media P. .................................................................................... 15. 5.3. Valores eficaces. ...................................................................................... 18. 5.4. Potencia aparente y factor de potencia. ................................................... 21. 5.5. Potencia compleja y triángulo de potencias (Norma IEEE 1459-2010). ... 23. 5.5.1 5.6. Balance de potencia compleja ........................................................... 32. Máxima transferencia de potencia media ................................................. 34. 5.7 Voltaje, corriente y potencia en circuitos alimentados con señales periódicas continuas no sinusoidales. ................................................................ 38 5.7.1. Serie de Fourier ................................................................................. 38. 5.7.2. Aplicación en circuitos. ...................................................................... 43. Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(7) 5.7.3. Valor eficaz de tensión y valor eficaz de corriente ............................. 45. 5.7.4. Potencia activa .................................................................................. 47. 5.7.5. Potencia aparente y factor de potencia ............................................. 50. 5.8. Energía reactiva ....................................................................................... 52. 5.8.1 Documento Creg 099, 23 de diciembre de 2014 (CREG Documento CREG 099, 2014, págs. 494-495) .................................................................. 52 5.8.2 Resolución Creg No. 179, 23 de diciembre de 2014 (CREG Resolución CREG 179, 2014)......................................................................... 53 5.8.3 Resolución Creg No. 097, 26 de septiembre 2008 (CREG Resolución CREG 097, 2008) ........................................................................................... 54 5.8.4 Documento Creg-018 Marzo 8 de 2005 (CREG Resolución CREG 018, 2005, págs. 157-158) .............................................................................. 55 5.8.5 Resolución Creg 047, 01 de junio de 2004 (CREG Resolución CREG 047, 2004)....................................................................................................... 57 5.8.6 Resolución Creg 082, 17 de diciembre de 2002 (CREG Resolución CREG 082, 2002) ........................................................................................... 58 5.8.7 Resolución Creg 108, 03 de julio de 1997 (CREG Resolución CREG 108, 1997)....................................................................................................... 59 5.8.8 Resolución Creg 099, 17 de junio de 1997 (CREG Resolución CREG 099, 1997)....................................................................................................... 59 5.8.9 Resolución Creg 009, 30 de enero de 1996 (CREG Resolución CREG 009, 1996)....................................................................................................... 60 5.9. Corrección del factor de potencia. ............................................................ 62. 5.10. Ejercicio Situado 1: Valor eficaz ............................................................ 67. 5.11. Ejercicio Situado 2: Triangulo de potencias .......................................... 79. 5.12 Ejercicio Situado 3: Potencia instantánea para los diferentes tipos de cargas eléctricas .............................................................................................. 121 5.13. Ejercicio Situado 4: Series de Fourier ................................................. 156. 5.14. Ejercicio Situado 5: Corrección del factor de potencia ........................ 164. 5.15. Rúbrica de evaluación ........................................................................ 187. 5.16. Conclusiones ...................................................................................... 191. 5.17. Lista de figuras.................................................................................... 192. Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(8) 5.18. Lista de tablas ..................................................................................... 195. 5.19. Lista de simulaciones .......................................................................... 197. 5.20. Referencias ........................................................................................ 197. Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(9) 1 Introducción Circuitos II es asignatura teórico-práctica de cuarto semestre del pensum 222 de Tecnología en Electricidad, la cual cuenta con 4 créditos académicos. Se realizó un estudio que buscó determinar un porcentaje de reprobación de la asignatura en los periodos académicos correspondientes desde 2012 – 3 hasta 2014 – 3, en donde se encontró un alto nivel de no aprobación, como se evidencia en la Tabla 3.1.1 (OAS UDFJC, 2012 - 2014)., esta tendencia se le puede atribuir a la falta de estrategias de enseñanza y aprendizaje que respondan a las necesidades que demanda el campo laboral, que despierten el interés en los estudiantes al asociar las teorías de la clase magistral a situaciones prácticas dentro de un contexto real. Participación absoluta y porcentual de aprobación en el espacio académico Circuitos II Periodo No. de Estudiantes No. de Estudiantes No. de Estudiantes Porcentaje de NO académico que Reprobaron que Aprobaron Evaluados Aprobación (%) 2012-3 28 11 39 71.8 2013-1 12 17 29 41.4 2013-3 1 24 25 4 2014-1 9 21 30 30.7 2014-3 16 26 42 38.1 Promedio 37.2 Tabla 3.1.1 Resultado de notas de estudiantes que cursaron Circuitos II. Debido al alto porcentaje de no aprobación de la asignatura Circuitos II surge la necesidad de buscar nuevas herramientas o métodos de enseñanza y aprendizaje que ayuden tanto a estudiantes como a docentes en su labor. El trabajo de grado titulado Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP aplicada a Circuitos II – Potencia monofásica en estado estable. Parte de la premisa de que la escuela debe vincularse con la vida y de que el conocimiento es situado, es decir está anclado a un contexto. La estructura del entorno virtual es la siguiente: . Contenido teórico correspondiente al capítulo 2, vinculado también con normatividad que se debe tener en cuenta para el desarrollo de dicho capitulo.. 1 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(10) . . Ejercicios situados, los cuales buscan motivar al estudiante a interesarse aún más por su proceso de aprendizaje y darle una visión del mundo laboral al que se enfrentará en un futuro. Rúbrica de evaluación, al final del capítulo 2, se propone una evaluación cualitativa para el estudiante en una matriz (rúbrica), donde él mismo puede realizar una autoevaluación y conocer los indicadores en los que debe mejorar, o en los que tiene fortalezas.. Los ejercicios situados se basan en la estrategia de Aprendizaje Basado en Problemas o ABP, la cual consiste en el planteamiento de una situación problema pertinente y relevante dentro de un contexto real, que permite la conexión entre la teoría y la práctica, donde el estudiante toma el rol de solucionador de problemas y el docente como guía, supervisor y facilitador del conocimiento (Laguna Garzón & Castelblanco Chávez, 2015). En cuanto a la rúbrica de evaluación, se manejan seis criterios o indicadores y cuatro niveles de calidad de desempeño (novato, aprendiz, avanzado y experto), su objetivo es medir el trabajo de los alumnos de acuerdo a “criterios de la vida real”, que además invitan a la reflexión y autoevaluación (Díaz Barriga, 2006).. 2 Justificación Hasta el momento, el método de enseñanza y aprendizaje impartido en la asignatura Circuitos II ha sido el tradicional, centrado en la transmisión de conocimientos, lo cual ya no es apropiado para los estudiantes de las nuevas generaciones, quienes necesitan que se construyan nuevas estrategias para la enseñanza y el aprendizaje, que tengan como objetivo dar un nuevo enfoque a la educación que llene sus expectativas y necesidades (Díaz Barriga, 2006). Además, una forma de lograr que esta nueva estrategia tenga un mayor impacto en la comunidad educativa, es aprovechando las ventajas de las Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC), estableciendo un entorno virtual para la enseñanza y aprendizaje de Circuitos II. La iniciativa de una estrategia alternativa de enseñanza y aprendizaje, se implementará con el desarrollo del Capítulo 2: Potencia monofásica en estado estable del contenido programático de Circuitos II código 1632 versión 1 elaborado en 2015-1, teniendo como base al ABP. 2 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(11) La decisión de iniciar esta estrategia de enseñanza y aprendizaje, con el desarrollo del Capítulo 2, corresponde a tres principales motivos: . . . La experiencia en construcción de espacios virtuales del grupo de investigación GISPUD, indica que el desarrollo de un capítulo es un objetivo razonable para 768 horas de trabajo, para dos estudiantes de Tecnología en Electricidad como proyecto de grado. Lo anterior se basa en la construcción de los espacios virtuales para Análisis de Circuitos I, Análisis de Circuitos II y Redes Eléctricas (GISPUD, AV C. D.C., 2013), (GISPUD, AV C. A.C., 2013), (GISPUD, AV R.E., 2006). El capítulo reúne los conocimientos indispensables para identificar el comportamiento de la potencia en los elementos de circuito y conceptos básicos como el factor de potencia que son de los temas más importantes en el campo de acción laboral del Tecnólogo en Electricidad, para lo cual se requiere presentar situaciones prácticas y coherentes al contexto profesional. El capítulo es relevante en el contenido programático pues corresponde a 13 sesiones y 3 prácticas de laboratorio desarrolladas en 6 de las 16 semanas del semestre (UDFJC, 2015).. El entorno virtual complementará los anteriores trabajos de grado y los que están en desarrollo, a cargo del grupo de investigación GISPUD, que se realizaron con una dinámica similar.. 3 Objetivos 3.1 Objetivo general Desarrollar una herramienta que complemente el aprendizaje de estudiantes que cursen la asignatura Circuitos II aplicando la estrategia Aprendizaje Basado el Problemas (ABP).. 3.2 Objetivos específicos 1. Vincular los conocimientos de la escuela con los conocimientos de la vida, a través de actividades encaminadas a la solución de varios ejercicios situados, en los que los estudiantes serán los protagonistas con el fin de: 3 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(12)  Despertar el interés de ampliar sus conocimientos para aplicarlos a su realidad cotidiana.  Motivar el trabajo en equipo en donde se apliquen sus experiencias previas para proponer ideas que conlleven a la resolución de dicho ejercicio.  Estimular la habilidad de investigación libre y enfrentamiento a problemas.  Impulsar un pensamiento complejo y reflexivo para la resolución de problemas. 2. Establecer un ambiente virtual de aprendizaje aprovechando las ventajas del uso de las TIC para democratizar el conocimiento en el área de Circuitos II. 3. Buscar una evaluación cualitativa en los estudiantes, dándole más importancia a valorar la responsabilidad del alumno frente al estudio, sus actitudes y la forma como aplica el resultado de sus investigaciones.. 4 Marco teórico El desarrollo del presente trabajo de grado, tiene como base los siguientes conceptos y enfoques: Estrategias de enseñanza y aprendizaje Para darle una definición a las estrategias de enseñanza: “se conciben como los procedimientos utilizados por el docente para promover aprendizajes significativos, implican actividades conscientes y orientadas a un fin” (Parra Pineda, 2003). Entre las características de las estrategias de enseñanza sobresalen las siguientes:   . Los estudiantes deben creer que las estrategias son útiles y necesarias. Debe haber una conexión entre la estrategia enseñada y las percepciones del estudiante sobre el contexto de la tarea. Deben llevar a incrementar el rendimiento de las tareas previstas con una cantidad razonable de tiempo y esfuerzo.. Mientras que, las estrategias de aprendizaje corresponden al conjunto de acciones, procedimientos, o pasos que están encaminados a objetivo: el aprendizaje y la solución de problemas académicos. Se considera importante mencionar que las 4 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(13) estrategias de aprendizaje nunca deben tender a ser mecanizadas o seguir un orden preestablecido, por el contrario, debe intervenir la toma de decisiones, es decir, el estudiante debe tener claro y justificar cada acción que realiza dentro del proceso de solución del problema.. Constructivismo Según las ideas constructivistas, el alumno construye su propio conocimiento con base a experiencias pasadas, de esta forma su nuevo conocimiento será duradero y significativo. Algunas de las ideas constructivistas son (Díaz Barriga, 2002): 1. El estudiante relaciona la información suministrada de diversas fuentes con sus conocimientos previos, así, aprender un contenido quiere decir que el alumno le atribuye un significado. 2. El docente debe orientar y guiar al estudiante en el proceso del constructivismo, estimular sus experiencias previas y transformar la información para que sea comprensible. 3. El proceso de enseñanza tiene que ser relevante dentro de la cultura del estudiante, apoyado en procesos de interacción social. El presente trabajo, se trabaja teniendo en cuenta las anteriores ideas para darle un enfoque constructivista al proceso de enseñanza y aprendizaje de Circuitos II. Aprendizaje basado en problemas La metodología del aprendizaje basado en problemas ABP, requiere construir una situación problema dentro un contexto real y relevante para el estudiante, quien debe analizarla y recopilar información para llegar a una posible solución, que no debe ser única. La situación exigirá al estudiante visualizar el problema desde varias perspectivas, activar su pensamiento crítico y su creatividad, indagar y poner en práctica nociones, datos, técnicas y habilidades para imaginar soluciones diversas y construirlas colaborativamente, usando el material disponible (Guerrero Ortiz & Terrones Álvarez, 2003). A continuación se mencionan los principios básicos del aprendizaje basado en problemas: 5 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(14)     . La situación problema o problema abierto, es el punto focal de la experiencia de aprendizaje Los estudiantes asumen el rol de solucionadores de problemas, mientras que el docente se desempeña como tutor y entrenador. La situación problema permite vincular el conocimiento académico o contenido curricular a situaciones de la vida real El aprendizaje se centra en el estudiante y no en el profesor o en los contenidos Da importancia al conocimiento previo y su aplicación en situaciones que generan la construcción de nuevo conocimiento. Evaluación autentica Un inconveniente encontrado dentro del método de educación es que con regularidad se critica un aspecto: lo que se enseña no está ligado con lo que se evalúa. Es por esto que al haber una enseñanza situada, donde la enseñanza se organiza en torno a actividad auténticas, debe también haber una evaluación autentica. Esta evaluación se centra en valorar el desempeño y aptitudes que el estudiante desarrolla en determinadas situaciones, para Frida Díaz “la evaluación autentica va un paso más allá en el sentido de que destaca la importancia de la aplicación de la habilidad en el contexto de una situación de la vida real” (Díaz Barriga, 2002), y aclara que una “situación de la vida real” se refiere no solo a hacer algo fuera de la escuela, sino al hecho de aplicar las destrezas y conocimientos adquiridos por los estudiantes para que sean significativos social e individualmente.. 6 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(15) 5 Potencia monofásica en estado estable 5.1 Potencia instantánea 𝒑(𝒕) La potencia instantánea absorbida por un elemento es el producto de la tensión instantánea 𝑣(𝑡) en los terminales del elemento y la corriente instantánea 𝑖(𝑡) que circula a través de él, siguiendo la convención pasiva de los signos para una carga como la de la Figura 5.1.1: 𝑝(𝑡) = 𝑣(𝑡) ∗ 𝑖(𝑡)[W]. 5.1.1. Figura 5.1.1 Convención pasiva de los signos. La potencia instantánea 𝑝(𝑡) es la tasa a la cual un elemento absorbe energía. Al analizar el caso general de la potencia instantánea absorbida por una red pasiva lineal de elementos R, L, C, cuando se les aplica una fuente de tensión senoidal, como se muestra en la Figura 5.1.2, y sean la tensión y la corriente en las terminales del circuito, la 𝑝(𝑡) responde al siguiente modelo: 𝑣(𝑡) = 𝑉𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 )[V]. 5.1.2. 𝑖(𝑡) = 𝐼𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖 )[A]. 5.1.3. 7 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(16) Figura 5.1.2 Fuente senoidal y Red pasiva R, L, C. Donde 𝑉𝑚 e 𝐼𝑚 son las amplitudes (o valores pico), 𝜃𝑣 y 𝜃𝑖 son los ángulos de fase de la tensión y la corriente, respectivamente. Entonces, al reemplazar la tensión y corriente en la ecuación 5.1.1, la potencia instantánea absorbida por el circuito es: 𝑝(𝑡) = 𝑣(𝑡)𝑖(𝑡) = 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 ) cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖 ) Se utiliza la siguiente identidad trigonométrica con el fin de identificar el componente constante y el componente senoidal en la expresión de potencia instantánea: cos(𝐴) cos(𝐵) = cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 ) cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖 ) =. 1 [cos(𝐴 − 𝐵) + cos(𝐴 + 𝐵)] 2. 1 [ cos((𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 ) − (𝜔𝑡 + 𝜃𝑖 )) + cos((𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 ) + (𝜔𝑡 + 𝜃𝑖 )) ] 2. La potencia instantánea se puede expresar como: 𝑝(𝑡) = 𝑣(𝑡)𝑖(𝑡) = 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 ) cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖 ) 𝑝(𝑡) =. 1 𝑉 𝐼 [cos((𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 ) − (𝜔𝑡 + 𝜃𝑖 )) + cos((𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 ) + (𝜔𝑡 + 𝜃𝑖 ))] 2 𝑚𝑚. 1 1 𝑝(𝑡) = 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 ) + 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 + 𝜃𝑖 ) [W] 2 2. 5.1.4. Esto indica que la potencia instantánea tiene dos partes. La primera es constante y no depende del tiempo; su valor depende del coseno de la diferencia entre los ángulos de la tensión y la corriente, así como también de las magnitudes de la tensión y la corriente pico. La segunda parte es una función cosenoidal cuya frecuencia es el doble de la frecuencia angular de la fuente de alimentación del circuito, y su magnitud es directamente proporcional a las magnitudes de la tensión y la corriente pico, y directamente proporcional también al componente cosenoidal 8 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(17) Una gráﬁca general de 𝑝(𝑡) asociada a la ecuación 5.1.4 se presenta en la Figura 5.1.3, donde 𝑇 = 2𝜋/𝜔 es el periodo de las señales de tensión y corriente. Se observa que 𝑝(𝑡) es periódica (𝑝(𝑡) = 𝑝(𝑡 + 𝑇0 )) y que tiene un periodo de 𝑇0 = 𝑇/2, es decir la mitad del período de la fuente de alimentación, ya que la frecuencia de la señal de potencia es el doble de la frecuencia de la señal de alimentación. Se observa que 𝑝(𝑡) presenta intervalos de tiempo de comportamiento positivo e intervalos de comportamiento negativo. Cuando 𝑝(𝑡) es positiva, el elemento o elementos del circuito que se estén estudiando, absorben potencia de la fuente de alimentación, es decir se comportan de forma pasiva, mientras que, cuando 𝑝(𝑡) es negativa, este elemento o elementos del circuito entregan potencia al resto del circuito, es decir se comportan de forma activa. Esto es posible debido a la presencia de elementos almacenadores de energía como condensadores e inductores en el circuito.. Figura 5.1.3 Potencia instantánea 𝑝(𝑡) en un circuito El elemento o elementos objeto de estudio, muestra un comportamiento pasivo desde 𝑡0 hasta 𝑡1 , y de 𝑡2 hasta 𝑡3 , y un comportamiento activo desde 𝑡1 hasta 𝑡2 y de desde 𝑡3 hasta 𝑡4 . La potencia instantánea cambia con el tiempo, y por lo tanto es difícil de medir. La potencia promedio es más fácil de medir. De hecho, el vatímetro, el instrumento para medir la potencia, responde a la potencia promedio. 9 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(18) 5.1.1 Elementos puramente resistivos Analicemos la forma que adquiere la ecuación 5.1.4 cuando se trata de la potencia instantánea para elementos puramente resistivos: 𝑝(𝑡) =. 1 1 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 ) + 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 + 𝜃𝑖 ) [W] 2 2. En un elemento puramente resistivo, la tensión en sus terminales y la corriente que fluye a través de él están en fase, es decir 𝜃𝑣 = 𝜃𝑖 , entonces la ecuación 5.1.4 se convierte en: 𝑝𝑅 (𝑡) =. 1 1 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(0) + 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 + 𝜃𝑣 ) [W] 2 2. Simplificando: 1 1 𝑝𝑅 (𝑡) = 𝑉𝑚 𝐼𝑚 + 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(2𝜔𝑡 + 2𝜃𝑣 ) [W] 2 2. 5.1.5. Para elementos resistivos puros, su componente constante y la amplitud de la componente cosenoidal es la misma, lo que produce que solo tenga valores positivos a lo largo del eje del tiempo como lo muestra la Figura 5.1.4, comportándose siempre como un elemento pasivo. Se realiza un estudio más profundo para este tipo de cargas en el Ejercicio Situado 3: Potencia instantánea para los diferentes tipos de cargas eléctricas.. Figura 5.1.4 Potencia instantánea para elementos puramente resistivos. 10 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(19) 5.1.2 Elementos puramente inductivos Analicemos la forma que adquiere la ecuación 5.1.4 cuando se trata de la potencia instantánea para elementos puramente inductivos: 𝑝(𝑡) =. 1 1 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 ) + 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 + 𝜃𝑖 ) [W] 2 2. En un elemento puramente inductivo, la tensión en sus terminales y la corriente que fluye a través de él están desfasadas 90°, y además la corriente está en atraso con respecto a la tensión, es decir 𝜃𝑖 = 𝜃𝑣 − 90°, entonces la ecuación 5.1.4 se convierte en: 1 1 𝑝𝐿 (𝑡) = 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(𝜃𝑣 − (𝜃𝑣 − 90°)) + 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 + (𝜃𝑣 − 90°)) [W] 2 2 1 1 𝑝𝐿 (𝑡) = 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(90°) + 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(2𝜔𝑡 + 2𝜃𝑣 − 90°) [W] 2 2 1 𝑝𝐿 (𝑡) = 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(2𝜔𝑡 + 2𝜃𝑣 − 90°) [W] 2 Se utiliza la siguiente identidad trigonométrica con el fin de eliminar el desfase constante de -90° dentro de la función coseno: cos(𝐴 − 90°) = sin(𝐴) cos(2𝜔𝑡 + 2𝜃𝑣 − 90°) = sin(2𝜔𝑡 + 2𝜃𝑣 ) Simplificando: 𝑝𝐿 (𝑡) =. 1 𝑉 𝐼 sin(2𝜔𝑡 + 2𝜃𝑣 ) [W] 2 𝑚𝑚. 5.1.6. En la potencia instantánea para elementos inductivos puros, su componente constante es cero, por lo que solo tiene componente cosenoidal, lo que produce que la mitad de sus valores sean positivos, comportándose como elemento pasivo, y la mitad de sus valores negativos, comportándose como elemento activo, como se muestra en la Figura 5.1.5. Se realiza un estudio más profundo para este tipo de cargas en el Ejercicio Situado 3: Potencia instantánea para los diferentes tipos de cargas eléctricas.. 11 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(20) Figura 5.1.5 Potencia instantánea para elementos puramente inductivos.. 5.1.3 Elementos puramente capacitivos Analicemos la forma que adquiere la ecuación 5.1.4 cuando se trata de la potencia instantánea para elementos puramente capacitivos: 𝑝(𝑡) =. 1 1 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 ) + 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 + 𝜃𝑖 ) [W] 2 2. En un elemento puramente capacitivo, la tensión en sus terminales y la corriente que fluye a través de él están desfasadas 90°, y además la corriente está en adelanto con respecto a la tensión, es decir 𝜃𝑖 = 𝜃𝑣 + 90°, entonces la ecuación 5.1.4 se convierte en: 𝑝𝐶 (𝑡) =. 1 1 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(𝜃𝑣 − (𝜃𝑣 + 90°)) + 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 + (𝜃𝑣 + 90°)) [W] 2 2 𝑝𝐶 (𝑡) =. 1 1 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(−90°) + 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(2𝜔𝑡 + 2𝜃𝑣 + 90°) [W] 2 2 𝑝𝐶 (𝑡) =. 1 𝑉 𝐼 cos(2𝜔𝑡 + 2𝜃𝑣 + 90°) [W] 2 𝑚𝑚. Se utiliza la siguiente identidad trigonométrica con el fin de eliminar el desfase constante de 90° dentro de la función coseno: 12 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(21) cos(𝐴 + 90°) = − sin(𝐴) cos(2𝜔𝑡 + 2𝜃𝑣 + 90°) = − sin(2𝜔𝑡 + 2𝜃𝑣 ) Simplificando: 1 𝑝𝐶 (𝑡) = − 𝑉𝑚 𝐼𝑚 sin(2𝜔𝑡 + 2𝜃𝑣 ) [W] 2. 5.1.7. En la potencia instantánea para elementos capacitivos puros, al igual que para elementos inductivos puros, su componente constante es cero, por lo que solo tiene componente cosenoidal, lo que produce que la mitad de sus valores sean positivos, comportándose como elemento pasivo, y la mitad de sus valores negativos, comportándose como elemento activo, como se muestra en la Figura 5.1.6 Se realiza un estudio más profundo para este tipo de cargas en el Ejercicio Situado 3: Potencia instantánea para los diferentes tipos de cargas eléctricas.. Figura 5.1.6 Potencia instantánea para elementos puramente capacitivos.. 5.1.4 Redes ligeramente inductivas Analicemos la forma que adquiere la ecuación 5.1.4 cuando se trata de redes ligeramente inductivas: 𝑝(𝑡) =. 1 1 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 ) + 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 + 𝜃𝑖 ) [W] 2 2 13 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(22) En una red ligeramente inductiva, la tensión en sus terminales y la corriente que fluye a través de ella están desfasadas entre 0° y 90°, y además la corriente está en atraso con respecto a la tensión, es decir 90° > 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 > 0, por lo que, el mucho o poco grado de influencia de la parte resistiva o inductiva, será propio de cada red, entonces se recomienda ecuación 5.1.4. Este tipo de redes tienen un comportamiento similar al mostrado en la Figura 5.1.3. Se realiza un estudio más profundo para este tipo de cargas en el Ejercicio Situado 3: Potencia instantánea para los diferentes tipos de cargas eléctricas.. 5.1.5 Redes ligeramente capacitivas Analicemos la forma que adquiere la ecuación 5.1.4 cuando se trata de redes ligeramente capacitivas: 𝑝(𝑡) =. 1 1 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 ) + 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 + 𝜃𝑖 ) [W] 2 2. En una red ligeramente capacitiva, la tensión en sus terminales y la corriente que fluye a través de ella están desfasadas entre 0° y 90°, y además la corriente está en adelanto con respecto a la tensión, es decir −90° < 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 < 0, por lo que, el mucho o poco grado de influencia de la parte resistiva o capacitiva, será propio de cada red, entonces se recomienda usar la ecuación 5.1.4. Este tipo de redes tienen un comportamiento similar al mostrado en la Figura 5.1.3. Se realiza un estudio más profundo para este tipo de cargas en el Ejercicio Situado 3: Potencia instantánea para los diferentes tipos de cargas eléctricas.. 14 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(23) 5.2 Potencia media P. La potencia media, es el valor promedio de la potencia instantánea a lo largo de un periodo de tiempo. Así, la potencia media o promedio está dada por: 1 𝑡0 +𝑇 𝑃= ∫ 𝑝(𝑡)𝑑𝑡 [W] 𝑇 𝑡0. 5.2.1. Al sustituir la ecuación 5.1.4 en la ecuación de potencia media se llega a una expresión que cuenta con dos integrales, una asociada al componente constante de la potencia y la otra asociada al componente cosenoidal: 𝑃=. 1 𝑇1 1 𝑇1 ∫ 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 ) 𝑑𝑡 + ∫ 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 ) 𝑑𝑡 𝑇 0 2 𝑇 0 2. 𝑇 1 1 𝑇 1 1 𝑃 = 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 ) ∗ ∫ 𝑑𝑡 + 𝑉𝑚 𝐼𝑚 ∗ ∫ cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 ) 𝑑𝑡 2 𝑇 0 2 𝑇 0. La primera integral arroja un resultado constante, que equivale al componente constante de la potencia instantánea. La segunda integral, la cual corresponde a la integral de una función senoidal evaluada en un intervalo de tiempo múltiplo de su propio periodo da como resultado cero, puesto que el área bajo la senoide durante el intervalo de comportamiento positivo es cancelada por el área bajo ella durante el intervalo de tiempo de comportamiento negativo. Así, el segundo término de la integral se anula y la potencia promedio equivale a: 𝑃=. 1 𝑉 𝐼 cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 ) [W] 2 𝑚𝑚. 5.2.2. Cabe señalar que la potencia instantánea 𝑝(𝑡) es variable en el tiempo, mientras que la potencia media o promedio P no depende del tiempo. Para determinar el comportamiento de la potencia instantánea, necesariamente se debe conocer el comportamiento de la tensión 𝑣(𝑡) en el dominio del tiempo y la corriente 𝑖(𝑡) en el dominio del tiempo, para el elemento o circuito objeto de estudio. En cambio, como se verá más adelante, la potencia promedio puede determinarse a partir de los valores de tensión y corriente expresados en el dominio de la frecuencia. 15 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(24) Ahora se analizará la forma que toma la ecuación 5.2.2, cuando se trata específicamente los diferentes tipos de redes o elementos:. Potencia media para elementos puramente resistivos En un elemento puramente resistivo, la tensión en sus terminales y la corriente que fluye a través de él están en fase, es decir 𝜃𝑣 = 𝜃𝑖 , entonces la ecuación 5.2.2 se convierte en: 𝑃=. 1 𝑉 𝐼 cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑣 ) [W] 2 𝑚𝑚. 𝑃𝑅 =. 1 𝑉 𝐼 cos(0) [W] 2 𝑚𝑚. 1 𝑃𝑅 = 𝑉𝑚 𝐼𝑚 [W] 2. Potencia media para elementos puramente inductivos En un elemento puramente inductivo, la tensión en sus terminales y la corriente que fluye a través de él están desfasadas 90°, y además la corriente está en atraso con respecto a la tensión, es decir 𝜃𝑖 = 𝜃𝑣 − 90°, entonces la ecuación 5.2.2 se convierte en: 1 𝑃 = 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(𝜃𝑣 − (𝜃𝑣 − 90°)) [W] 2 𝑃𝐿 =. 1 𝑉 𝐼 cos(90) [W] 2 𝑚𝑚 𝑃𝐿 = 0 [W]. Potencia media para elementos puramente capacitivos En un elemento puramente capacitivo, la tensión en sus terminales y la corriente que fluye a través de él están desfasadas 90°, y además la corriente está en adelanto con respecto a la tensión, es decir 𝜃𝑖 = 𝜃𝑣 + 90°, entonces la ecuación 5.1.4 se convierte en: 1 𝑃 = 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(𝜃𝑣 − (𝜃𝑣 + 90°)) [W] 2 16 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(25) 1 𝑃𝐶 = 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(−90) [W] 2 𝑃𝐶 = 0 [W]. Potencia media para redes ligeramente inductivas En una red ligeramente inductiva, la tensión en sus terminales y la corriente que fluye a través de ella están desfasadas entre 0° y 90°, y además la corriente está en atraso con respecto a la tensión, es decir 90° > 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 > 0, por lo que, el mucho o poco grado de influencia de la parte resistiva o inductiva, será propio de cada red, entonces simplemente se usa la ecuación 5.2.2: 𝑃=. 1 𝑉 𝐼 cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 ) [W] 2 𝑚𝑚. Potencia media para redes ligeramente capacitivas En una red ligeramente capacitiva, la tensión en sus terminales y la corriente que fluye a través de ella están desfasadas entre 0° y 90°, y además la corriente está en adelanto con respecto a la tensión, es decir −90° < 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 < 0, por lo que, el mucho o poco grado de influencia de la parte resistiva o capacitiva, será propio de cada red, entonces simplemente se usa la ecuación 5.2.2: 𝑃=. 1 𝑉 𝐼 cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 ) [W] 2 𝑚𝑚. 17 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(26) 5.3 Valores eficaces. El valor eficaz corresponde a la equivalencia entre dos variables eléctricas 𝑖(𝑡) (Corriente en función del tiempo) y 𝐼𝑒𝑓 (Corriente eficaz) ó entre 𝑣(𝑡) (Tensión en función del tiempo) y 𝑉𝑒𝑓 (Tensión eficaz), la cual se fundamenta en la equivalencia en términos de potencia disipada (en forma de calor) que se presenta en dos circuitos resistivos que alimentan una carga eléctrica de las mismas características, cuando uno es alimentado por una fuente de señal alterna y el otro es alimentado por una fuente de señal directa.. Figura 5.3.1 a) Circuito alimentado con corriente alterna. b) Circuito alimentado con corriente constante. En la Figura 5.3.1, el circuito en a) es de corriente alterna, mientras que el de b) es de corriente directa. Se quiere hallar el valor de 𝐼𝑒𝑓 , para una señal de corriente alterna que hará disipar a la resistencia R la misma potencia que se disiparía si por ella circulara corriente directa. Entonces, usando la ecuación 5.2.1, la potencia promedio absorbida por el resistor en el circuito de corriente alterna es: 1 𝑡0 +𝑇 P= ∫ 𝑝(𝑡)𝑑𝑡 [W] 𝑇 𝑡0 1 𝑇 𝑅 𝑇 2 P = ∫ 𝑖(𝑡) 𝑅 𝑑𝑡 = ∫ 𝑖(𝑡)2 𝑑𝑡 𝑇 0 𝑇 0. 5.3.1. Mientras que la potencia absorbida por el resistor en el circuito de corriente directa es: P = 𝐼𝑒𝑓 2 𝑅 18 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/. 5.3.2.

(27) Al igualar las expresiones de las ecuaciones 5.3.1 y 5.3.2 y resolver, se obtiene: 𝐼𝑒𝑓 2 𝑅 =. 𝑅 𝑇 ∫ 𝑖(𝑡)2 𝑑𝑡 𝑇 0. 1 𝑇 𝐼𝑒𝑓 = √ ∫ 𝑖(𝑡)2 𝑑𝑡 𝑇 0. 5.3.3. El valor eﬁcaz de la tensión se halla de la misma manera que el de la corriente; es decir: 𝑉𝑒𝑓. 1 𝑇 = √ ∫ 𝑣(𝑡)2 𝑑𝑡 𝑇 0. En el caso de la señal alterna de forma 𝑖(𝑡) = 𝐼𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖 ) 1 𝑇 𝐼𝑒𝑓 = √ ∫ 𝐼𝑚 2 cos 2 (𝜔𝑡 + 𝜃𝑖 ) 𝑑𝑡 𝑇 0 Dado que 𝑇 = 2𝜋/𝜔 y usando la identidad trigonométrica cos2 (𝐴) =. 1 + cos(2𝐴) 2. Se llega a:. 𝐼𝑒𝑓. 𝐼𝑚 2 𝜔 2𝜋/𝜔 1 + cos(2𝜔𝑡 + 2𝜃𝑖 ) √ = ∫ [ ] 𝑑𝑡 2𝜋 0 2. 𝐼𝑒𝑓. 𝐼𝑚 2 𝜔 2𝜋/𝜔 1 cos(2𝜔𝑡 + 2𝜃𝑖 ) √ = ∫ [ + ] 𝑑𝑡 2𝜋 0 2 2. 19 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/. 5.3.4.

(28) Como el valor promedio de una función senoidal a lo largo de su periodo de tiempo es de cero, se tiene: 𝐼𝑚 2 𝜔 2𝜋/𝜔 1 𝐼𝑚 2 𝜔 2𝜋/𝜔 √ ∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 2𝜋 0 2 4𝜋 0. 𝐼𝑒𝑓. =√. 𝐼𝑒𝑓. 𝐼𝑚 2 𝜔 𝐼𝑚 2 𝜔 2𝜋 𝐼𝑚 2 =√ ∗ 𝑡|𝜔 = √ ∗ =√ 4𝜋 4𝜋 𝜔 2 0 2𝜋. 𝐼𝑒𝑓 =. 𝐼𝑚. 5.3.5. √2. De igual forma, para 𝑣(𝑡) = 𝑉𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 ) 𝑉𝑒𝑓 =. 𝑉𝑚 √2. 5.3.6. Cabe anotar que este modelo matemático, sólo se cumple para señales senoidales. Ahora, al reemplazar las ecuaciones 5.3.5 y 5.3.6 la ecuación 5.2.2, la potencia promedio viene dada por: P=. 1 1 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 ) = √2𝑉𝑒𝑓 √2 𝐼𝑒𝑓 cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 ) = 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓 cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 ) 2 2 𝑃 = 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓 cos(𝜑) [W]. Donde: 𝜑 = 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖. 20 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/. 5.3.7.

(29) 5.4 Potencia aparente y factor de potencia. Si en los terminales de un circuito con señal senoidal, la corriente y la tensión vienen dadas por: 𝑖(𝑡) = √2 𝐼𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖 ). 5.4.1. 𝑣(𝑡) = √2𝑉𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 ). 5.4.2. De la ecuación 5.3.7, la potencia media es: P = 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓 cos(𝜑) 𝑃 = S cos(𝜑) Se ha añadido un nuevo término a la ecuación: S = 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓. 5.4.3. La potencia promedio es producto de dos términos: el producto 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓 se conoce como potencia aparente S, el factor cos(𝜑) se llama factor de potencia (FP). La potencia aparente recibe su nombre en que aparenta ser la potencia que se evalúa en un circuito resistivo energizado con una señal directa. La unidad es el Voltamperio o VA (RETIE, 2013, pág. Artículo 5. Sistemas de Unidades). El factor de potencia es adimensional. FP =. P = cos(𝜑) S. 5.4.4. El factor de potencia es un criterio de análisis relevante en los sistemas de distribución de energía eléctrica, es por esto que es muy común que el factor de potencia se defina como la relación entre la potencia activa (kW) usada en un sistema y la potencia aparente (kVA) que es entregada por las líneas de alimentación, y en esencia es la relación que hay entre la potencia activa y la potencia aparente. El cual puede tomar valores entre (0) y (1), incluyendo el indicador de atraso (-) o adelanto (+) según sea el caso.. 21 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(30) En el caso de una carga puramente resistiva, la tensión y la corriente están en fase, de modo que 𝜑 = 0 y FP = 1. Esto implica que la potencia aparente es igual a la potencia promedio. En el caso de una carga puramente reactiva de tipo inductivo, el ángulo asociado al factor de potencia y que además corresponde al ángulo de la impedancia de carga será 𝜑 = +90° y FP = 0(-). En esta circunstancia la potencia promedio es de cero. En el caso de una carga puramente reactiva de tipo capacitivo, el ángulo asociado al factor de potencia y que además corresponde al ángulo de la impedancia de carga será 𝜑 = −90° y FP = 0(+). En esta circunstancia la potencia promedio es de cero. Entre estos dos casos extremos, es posible encontrar cargas con FP con una menor intensidad en el atraso o en el adelanto. Un factor de potencia atrasado expresa que la corriente se atrasa de la tensión, lo que implica una carga inductiva. Un factor de potencia adelantado expresa que la corriente se adelanta a la tensión, lo cual implica una carga capacitiva.. 22 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(31) 5.5 Potencia compleja y triángulo de potencias (Norma IEEE 1459-2010). A continuación con fines estrictamente académicos se procede a proponer una traducción no oficial de la norma IEEE Standard Definitions for the Measurement of Electric Power Quantities Under Sinusoidal, Nonsinusoidal, Balanced, or Unbalanced Conditions, IEEE Std. 1459- 2010, Feb. 2010, comprendida desde la página 2 a la 5. (IEEE Std. 1459 - 2010, 2010, págs. 2 - 5).. Traducción no oficial norma IEE 1459-2010 3. Definiciones Para efectos de este documento, se aplican los siguientes términos y definiciones del Diccionario IEEE. El Diccionario IEEE: Glosario de Términos y Definiciones debe ser referenciado para términos que no estén definidos en esta cláusula.. NOTA - Las expresiones matemáticas que se consideran de interés para el diseño de instrumentación están marcadas con el signo ||. Cuando el signo || aparece al lado derecho, significa que la última expresión es especial. Cada descriptor del tipo de potencia es seguido por su unidad de medida en paréntesis. 3.1 Monofásico 3.1.1 Monofásico sinusoidal Una fuente de tensión sinusoidal 𝑣 = √2 𝑉 sin(𝜔𝑡) El suministro de una carga lineal producirá una corriente sinusoidal (que se supone está retrasada respecto a la tensión) de 𝑖 = √2 𝐼 sin(𝜔𝑡 − 𝜃) Dónde 𝑉. Es el valor eficaz de la tensión (V). 𝐼. Es el valor eficaz de la corriente (I) 23 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(32) 𝜔. Es la frecuencia angular 2𝜋𝑓 (rad/s). 𝑓. Es la frecuencia del sistema eléctrico (Hz). 𝜃. Es el ángulo de fase entre la corriente y la tensión (rad). 𝑡. Es el tiempo (s). Para obtener más información sobre los símbolos y unidades, ver IEEE Std 280 TM1985 [B13] IEC 80000-6 y: 2008.. 3.1.1.1 Potencia instantánea (W) La potencia instantánea p está dada por || 𝑝 = 𝑣𝑖 𝑝 = 𝑝𝑎 + 𝑝𝑞 Donde 𝑝𝑎 = 𝑉𝐼 cos 𝜃[1 − cos(2𝜔𝑡)] = 𝑃[1 − cos(2𝜔𝑡)] 𝑃 = 𝑉𝐼 cos 𝜃 𝑝𝑞 = −𝑉𝐼 sin 𝜃 sin(2𝜔𝑡) = −𝑄sin(2𝜔𝑡) 𝑄 = 𝑉𝐼 sin 𝜃 NOTA 1- La componente 𝑃𝑎 es la potencia activa instantánea. Es producido por el componente activo de la corriente (Es decir, por el componente que está en fase con la tensión). La potencia activa instantánea 𝑃𝑎 es la velocidad de flujo de la energía 𝑡. 𝑤𝑎 = ∫ 𝑃𝑎 𝑑𝑡 = 𝑃(𝑡 − 𝑡0 ) − 𝑡0. 𝑃 [sin(2𝜔𝑡) − sin(2𝜔𝑡0 )] 2𝜔. Esta energía fluye unidireccional desde la fuente a la carga. Su tasa de estado estacionario de flujo no es negativo, 𝑃𝑎 ≥ 0. Nota 2. La potencia activa instantánea tiene dos términos: la potencia activa o real 𝑃 y la potencia intrínseca −𝑃𝑐𝑜𝑠(2𝜔𝑡). La potencia intrínseca está siempre presente 24 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(33) cuando la energía neta se transfiere a la carga; sin embargo, esta componente oscilante no causa pérdida de potencia en las líneas que suministran. Nota 3. La componente 𝑃𝑞 es la potencia reactiva instantánea. Es producido por el componente reactivo de la corriente (es decir, el componente que está en cuadratura con la tensión). La potencia reactiva instantánea 𝑃𝑞 es la tasa de flujo de la energía 𝑡. 𝑤𝑞 = ∫ 𝑃𝑞 𝑑𝑡 = − 𝑡0. 𝑄 [cos(2𝜔𝑡) − cos(2𝜔𝑡0 )] 2𝜔. Este componente de energía oscila entre las fuentes y la energía electromagnética almacenados dentro del campo magnético de los inductores y de campo eléctrico de los condensadores de aparatos eléctricos, así como la energía mecánica almacenada en mover masas relativas a los sistemas electromecánicos (motores y generadores rotores, émbolos, y armaduras). El valor medio de esta tasa de flujo es cero, y la transferencia neta de energía a la carga es nula; Sin embargo, estas oscilaciones de fuente causan pérdida de potencia (Joule y corrientes de Foucault) en los conductores.. 3.1.1.2 Potencia activa (W) La potencia activa 𝑃, que también se llama potencia real, es el valor medio de la potencia instantánea durante el intervalo de tiempo de medición de 𝜏 hasta 𝜏 + 𝑘𝑇. 1 𝜏+𝑘𝑇 1 𝜏+𝑘𝑇 || 𝑝 = ∫ 𝑝𝑑𝑡 = ∫ 𝑃𝑎 𝑑𝑡 𝑘𝑇 𝜏 𝑘𝑇 𝜏. Donde 𝑇 = 1⁄𝑓. Es el tiempo del ciclo (s). 𝑘. Es un número entero positivo. 𝜏. Es el momento cuando se inicia la medición 𝑃 = 𝑉𝐼 cos 𝜃. 25 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(34) NOTA- 𝑃 es también igual a la media de 𝑃𝑎 durante un período, o un número entero de períodos, debido a que el promedio de 𝑃𝑎 es cero.. 3.1.1.3 Potencia reactiva (VAr) La magnitud de la potencia reactiva 𝑄 es igual a la amplitud de la potencia reactiva oscilación instantánea 𝑃𝑞 . 𝑄 = 𝑉𝐼 sin 𝜃. 𝜏+𝑘𝑇 1 −1 1 𝑑𝑖 −1 𝜏+𝑘𝑇 𝑑𝑣 𝑄= ∮ 𝑣𝑑𝑖 = ∮ 𝑖𝑑𝑣 = ∫ 𝑣 𝑑𝑡 = ∫ 𝑖 𝑑𝑡 2𝜋 2𝜋 𝑘𝑇𝜔 𝜏 𝑑𝑡 𝑘𝑇𝜔 𝜏 𝑑𝑡 −𝜔 𝜏+𝑘𝑇 = ∫ 𝑣 [∫ 𝑖𝑑𝑡] 𝑑𝑡 𝑘𝑇 𝜏. || 𝑄 =. 𝜔 𝜏+𝑘𝑇 ∫ 𝑖 [∫ 𝑣𝑑𝑡] 𝑑𝑡 𝑘𝑇 𝜏. NOTA 1- Si la carga es inductiva, entonces 𝑄> 0. Si la carga es capacitiva, entonces 𝑄<0. Esto significa que cuando la corriente se retrasa a la tensión 𝜃> 0 y viceversa. NOTA 2: La aplicación de las definiciones anteriores para no sinusoidal condiciones se presenta en A.2.. 3.1.1.4 Potencia aparente (VA) La potencia aparente 𝑆 es el producto de la raíz cuadrada media de la tensión (RMS) y la corriente RMS (véase el IEEE Diccionario Normas: Glosario de Términos y Definiciones). ||𝑆 = 𝑉𝐼 𝑆 = √𝑃2 + 𝑄 2 26 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(35) NOTA 1-La potencia aparente de una carga de una sola fase se puede interpretar como la potencia activa máxima que puede ser transmitida a través de la misma línea, manteniendo la carga constante tensión RMS𝑉 y la pérdida de energía de la línea de suministro constante (es decir, el valor eficaz de la corriente constante 𝐼). Esta es una condición ideal, para el cual el proceso de conversión de energía en el carga permanece sin cambios, pero se mejora la utilización de la línea de suministro (es decir, la tensión térmica de la línea o cable sigue siendo la misma mientras que se aumenta la cantidad de energía transmitida a través de la línea de suministro). Este concepto implica que una carga adicional con factor de potencia unidad se puede conectar en paralelo con la carga original de compensado por medio de una capacidad en paralelo o un compensador activo. Nota 2. La potencia instantánea 𝑃 sigue una oscilación sinusoidal con una frecuencia 2𝑓 = 2𝜔/2𝜋 sesgada por la potencia activa P. La amplitud de la oscilación sinusoidal es la potencia aparente 𝑆.. 3.1.1.5 Factor de potencia ||𝑃𝐹 =. 𝑃 𝑆. NOTA 1-El factor de potencia se puede interpretar como la relación entre la energía transmitida a la carga sobre la energía máxima que podría transmitirse siempre que las pérdidas de la línea se mantiene el mismo. Nota 2. Para una 𝑆 y 𝑉 dado, se obtiene la máxima utilización de la línea cuando 𝑃 = 𝑆; por lo tanto, la relación 𝑃/𝑆 es un indicador de factor de utilización. NOTA 3-Cuando una carga, o un grupo de cargas, es compensado con un factor de potencia más alto, la tensión de carga se incrementará en un cierto incremento. Si el nuevo voltaje es mayor que el valor recomendado, la tensión de carga se puede reducir y trajo dentro del rango recomendado por medio de reguladores de voltaje, transformadores de cambiadores de tomas, u otros métodos de control de tensión.. 3.1.1.6 Potencia compleja (VA) La potencia compleja es una cantidad compleja en la que la potencia activa es la parte real y la potencia reactiva es la parte imaginaria 𝑺 = 𝑃 + 𝑗𝑄 = 𝑽𝑰∗ 27 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(36) Donde según 3.1.1 𝑽 = 𝑉 /0° Es el fasor de tensión 𝑰 = 𝐼/−𝜃 ° Es el fasor de corriente 𝑰∗ = 𝐼/𝜃 ° Es el complejo conjugado de la fasor de corriente. Esta expresión se deriva del triángulo de potencia, S, P y Q, y es útil en estudios del flujo de energía. La Figura 1 resume las direcciones de flujo de potencia convencionales, según se interpretan en la literatura (ver Stevens [B19]). En ángulo 𝜃 es el ángulo de fase de la impedancia compleja equivalente 𝑍 /𝜃 = 𝑉/𝐼.. Figura 1. Direcciones de flujo de potencia para los cuatro cuadrantes. 28 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(37) Fin de traducción no oficial norma IEEE 1459-2010, págs. 2 – 5.. Partiendo de la ecuación 5.3.7, siguiendo la convención pasiva de los signos de la Figura 5.5.1: P = 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓 cos(𝜑). Figura 5.5.1 Convención pasiva de los signos. Usando la identidad de Euler: P = Re[ 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓 𝑒 𝑗(𝜃𝑣 −𝜃𝑖 ) ] P = Re[ 𝑉𝑒𝑓 𝑒 𝑗(𝜃𝑣 ) 𝐼𝑒𝑓 𝑒 −𝑗(𝜃𝑖 ) ] P = Re[ 𝐕 𝐈∗ ] 𝐒 = 𝐕 𝐈∗. 5.5.1. La potencia compleja S recibida por la carga de corriente alterna es el producto de la tensión en sus terminales por la corriente compleja conjugada que circula a través de ella, las diferentes formas de expresar la potencia compleja son: 𝐒= S∠𝜑. 5.5.2. 𝐒 = 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓 cos(𝜑) + j𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓 sen(𝜑). 5.5.3. 𝐒 = P + jQ. 5.5.4. Donde P es la potencia activa medida en Vatio [W] y Q es la potencia reactiva medida en voltamperio reactivo [VAR] (RETIE, 2013, pág. 80. Artículo 5. Sistemas de Unidades) 29 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(38) Ahora, usando la ecuación 5.5.1 y reemplazando: 𝐒 = 𝐕 𝐈∗ = (𝐈 𝐙 )𝐈∗ = 𝐼𝑒𝑓 𝟐 𝐙 𝐕 ∗ 𝑉𝑒𝑓 𝟐 𝐒 = 𝐕 𝐈∗ = 𝐕 [ ] = ∗ 𝐙 𝐙 Entonces, la potencia compleja guarda una estrecha relación con la impedancia, y se puede representar mediante un triángulo llamado triángulo de potencia, el cual aparece en la Figura 5.5.2 y Figura 5.5.3. Este triángulo también es similar al triángulo de impedancias, pues si se multiplica el triángulo de impedancias por 𝐼𝑒𝑓 2 se obtiene el triángulo de potencias. En el triángulo de potencias se relacionan 4 variables: la potencia aparente S, la potencia activa P, la potencia reactiva Q y el ángulo del factor de potencia, cuando la potencia reactiva es positiva, se tiene una carga inductiva y cuando la potencia reactiva es negativa, se tiene una carga capacitiva. Expresado de forma matemática: 𝐒 = 𝐼𝑒𝑓 𝟐 𝐙 𝐒 = 𝐼𝑒𝑓 𝟐 (R + jX) 𝐒 = 𝐼𝑒𝑓 𝟐 R + j𝐼𝑒𝑓 𝟐 X. 5.5.5. Igualando la ecuación 5.5.4 y 5.5.7: 𝐒 = P + jQ = 𝐼𝑒𝑓 𝟐 R + j𝐼𝑒𝑓 𝟐 X Ahora separando su parte real y su parte compleja se llega a: P = 𝐼𝑒𝑓 𝟐 R. 5.5.6. jQ = j𝐼𝑒𝑓 𝟐 X. 5.5.7. Esto quiere decir que la potencia activa o promedio depende exclusivamente de la parte resistiva de la impedancia, mientras que, la potencia reactiva depende únicamente de la parte reactiva de la impedancia.. 30 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(39) Figura 5.5.2 Triángulo de potencias y su relación con el triángulo de impedancias para cargas con componente resistivo e inductivo.. Figura 5.5.3 Triángulo de potencias y su relación con el triángulo de impedancias para cargas con componente resistivo y capacitivo. Además, usando el teorema de Pitágoras al triangulo de potencias, se llega a otra expresión útil que relaciona la potencia aparente con la potencia activa y reactiva: 𝑆 = √𝑃2 + 𝑄 2. 31 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/. 5.5.8.

(40) 5.5.1 Balance de potencia compleja El balance de potencias medias en un circuito, se asocia con el principio de conservación de la energía, en este caso la conservación de la potencia, esto puede ser aplicado a circuitos DC como circuitos AC. Para explicar lo anterior, se establece dos circuitos ejemplo: . Circuito en serie y en paralelo.. Figura 5.5.4 Circuito de estudio para desarrollar balance de potencia compleja. El circuito en paralelo con cargas 𝑍𝑛 y una fuente de CA, la corriente en este circuito es: . Por LCK 𝐈𝐟 = 𝐈𝟏 + 𝐈𝟐 + ⋯ + 𝐈𝐧. La potencia compleja entregada por la fuente es: 𝐒𝐟 = 𝐕𝐟 (𝐈𝐟 )∗ Usando la siguiente propiedad de los números complejos: (𝐍𝟏 + 𝐍𝟐 + ⋯ + 𝐍𝐧 )∗ = 𝐍𝟏 ∗ +𝐍𝟐 ∗ + ⋯ + 𝐍𝐧 ∗ Esta propiedad expresa que el conjugado de una suma de números complejos es igual a la suma de sus conjugados, aplicando esto a la ecuación de potencia compleja: 𝐒𝐟 = 𝐕𝐟 (𝐈𝟏 ∗ + 𝐈𝟐 ∗ + ⋯ + 𝐈𝐧 ∗ ). 5.5.9. 𝐒𝐟 = 𝐒𝟏 + 𝐒𝟐 + ⋯ + 𝐒𝐧 Donde los fasores de tensión y corrientes tienen su amplitud expresada en valores eficaces. 32 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(41) Para el circuito en serie con cargas 𝑍𝑛 y una fuente de CA, la tensión en este circuito es: . Por LVK 𝐕𝐟 = 𝐕𝟏 + 𝐕𝟐 + ⋯ + 𝐕𝐧. La potencia compleja entregada por la fuente es: 𝐒𝐟 = 𝐕𝐟 (𝐈𝐟 )∗ = 𝐈𝐟 ∗ (𝐕𝟏 + 𝐕𝟐 + ⋯ + 𝐕𝐧 ). 5.5.10. 𝐒𝐟 = 𝐒𝟏 + 𝐒𝟐 + ⋯ + 𝐒𝐧 Donde los fasores de tensión y corrientes tienen su amplitud expresada en valores eficaces. De las ecuaciones 5.5.9 y 5.5.10 se llega a la conclusión que si las cargas están conectadas en serie, en paralelo o en conexión mixta, la suma de las potencias complejas consumidas por las cargas, es igual, a la potencia suministrada por la fuente. Esto significa que la potencia suministrada por una red es la suma de las potencias complejas consumidas por las cargas, como la potencia compleja es la suma rectangular de la potencia activa y la potencia reactiva, este balance de potencias también se cumple para las potencias activas y las potencias reactivas, con la diferencia de la potencia aparente en la cual esta definición no aplica.. 33 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(42) 5.6 Máxima transferencia de potencia media Dado un circuito eléctrico se busca identificar la carga que debe conectarse a un par de nodos específicos, para que se transfiera la máxima potencia media a esta carga. Para analizar este problema, se debe identificar el equivalente de Thevenin del circuito eléctrico, visto desde los terminales donde se pretende conectar la carga, como el que se muestra en la Figura 5.6.1. El objetivo es encontrar la impedancia de carga que al conectarse en los terminales a y b, disipe la máxima potencia media como se muestra en la Figura 5.6.2.. Figura 5.6.1 Equivalente de Thevenin.. 34 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(43) Figura 5.6.2 Circuito donde se busca la máxima transferencia de potencia media a la carga. Como nos referimos exclusivamente a la potencia media o activa disipada por la resistencia de carga, se usa la ecuación 5.5.6 que relaciona la potencia activa con la corriente y la resistencia: P = 𝐼𝑐 𝟐 R Ahora, para nuestro circuito de estudio, la magnitud de la corriente está dada por:. |𝐈𝐜 | =. |𝐕𝐓𝐡 | |𝐙𝐞𝐪 |. En donde la impedancia equivalente del circuito viene dada por: 𝐙𝐞𝐪 = R Th ± jXTh + R L ± jXL |𝐙𝐞𝐪 | = √(R Th + R L )2 + (±XTh ± XL )2 Se reescribe la magnitud de la corriente del circuito:. |𝐈𝐜 | =. |𝐕𝐓𝐡 | √(R Th + R L )2 + (±XTh ± XL )2. Al reemplazar la expresión de corriente en la ecuación 5.5.6, y al querer encontrar la potencia disipada por la resistencia de carga R L se llega a: 𝑃 = |𝐈𝐜. |2. |𝐕𝐓𝐡 |𝟐 RL = R (R Th + R L )2 + (±XTh ± XL )2 L. Como se quiere encontrar la impedancia de carga R L ± jX L , que haga máxima la potencia media disipada, se efectúa la derivada de P con respecto a R L y luego con respecto a jXL Derivando 𝑃 con respecto a R L 35 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(44) |𝐕𝐓𝐡 |𝟐 𝜕𝑃 2 R L |𝐕𝐓𝐡 |𝟐 (R Th + R L ) =[ − ] 𝜕R L (R Th + R L )2 + (±XTh ± XL )2 [(R Th + R L )2 + (±XTh ± XL )2 ]2 [(R Th + R L )2 + (±XTh ± XL )2 ]|𝐕𝐓𝐡 |𝟐 − 2 R L |𝐕𝐓𝐡 |𝟐 (R Th + R L ) 𝜕𝑃 =[ ] [(R Th + R L )2 + (±XTh ± XL )2 ]2 𝜕R L Al igualar a cero la derivada y resolver encontramos el valor de R L para el cual 𝑃 es máxima:. [. [(R Th + R L )2 + (±XTh ± XL )2 ]|𝐕𝐓𝐡 |𝟐 − 2 R L |𝐕𝐓𝐡 |𝟐 (R Th + R L ) ]=0 [(R Th + R L )2 + (±XTh ± XL )2 ]2 [(R Th + R L )2 + (±XTh ± XL )2 ]|𝐕𝐓𝐡 |𝟐 − 2 R L |𝐕𝐓𝐡 |𝟐 (R Th + R L ) = 0 [(R Th + R L )2 + (±XTh ± XL )2 ]|𝐕𝐓𝐡 |𝟐 = 2 R L |𝐕𝐓𝐡 |𝟐 (R Th + R L ) (R Th + R L )2 + (±XTh ± XL )2 = 2 R L (R Th + R L ) R Th 2 + 2 R Th R L + R L 2 + (±XTh ± XL )2 = 2R L R Th + 2R L 2 R Th 2 + (±XTh ± XL )2 = 2R L R Th + 2R L 2 − 2 R Th R L − R L 2 R Th 2 + (±XTh ± XL )2 = R L 2 R L = √R Th 2 + (±XTh ± XL )2. 5.6.1. Derivando 𝑃 con respecto a XL 𝜕𝑃 2 |𝐕𝐓𝐡 |𝟐 (±XTh ± XL ) = R L [− ] [(R Th + R L )2 + (±XTh ± XL )2 ]2 𝜕XL Al igualar a cero la derivada y despejar, encontramos el valor de XL para el cual 𝑃 es máxima: 36 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(45) R L [−. 2 |𝐕𝐓𝐡 |𝟐 (±XTh ± XL ) ]=0 [(R Th + R L )2 + (±XTh ± XL )2 ]2 R L |𝐕𝐓𝐡 |𝟐 (±XTh ± XL ) = 0 ±XTh ± XL = 0 ±X L = ∓XTh. 5.6.2. Al reemplazar la ecuación 5.6.2 en la ecuación 5.6.1 R L = √R Th 2 + (±XTh ∓XTh )2. R L = √R Th 2 R L = R Th Entonces, el valor de la impedancia de carga que disipa la máxima potencia media es el conjugado de la impedancia Thevenin: 𝐙𝐋 = R L ± jX L = R Th ∓XTh = 𝐙𝐓𝐡 ∗. 37 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/. 5.6.3.

(46) 5.7 Voltaje, corriente y potencia en circuitos alimentados con señales periódicas continuas no sinusoidales. 5.7.1 Serie de Fourier Las series de Fourier reciben el nombre debido a Jean Baptise Joseph Fourier, quien establece que una función periódica no sinusoidal se puede representar como la suma de 𝑛 funciones sinusoidales puras de diferente amplitud y frecuencia. Entiéndase como una función periódica aquella que se repite cada 𝑇 segundos, escrito matemáticamente: 𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡 + 𝑛𝑇) Según el teorema de Fourier, esta función periódica puede representarse como: 𝑁. 𝑁. 𝑓(𝑡) = 𝑎0 + ∑ 𝑎𝑛 cos(𝑛𝜔0 𝑡) + ∑ 𝑏𝑛 sen(𝑛𝜔0 𝑡) 𝑛=1. Donde 𝜔0 =. 2𝜋 𝑇. 5.7.1. 𝑛=1. recibe el nombre de frecuencia fundamental 𝑎0 , 𝑎𝑛 y 𝑏𝑛 reciben el. nombre de coeficientes de Fourier, que se calculan de la siguiente manera: 𝑎0 =. 1 𝑇 ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑇 0. 2 𝑇 𝑎𝑛 = ∫ 𝑓(𝑡)cos(𝑛𝜔0 𝑡)𝑑𝑡 𝑇 0 2 𝑇 𝑏𝑛 = ∫ 𝑓(𝑡) sen(𝑛𝜔0 𝑡) 𝑑𝑡 𝑇 0 Una representación alternativa de la serie es:. 5.7.2 5.7.3 5.7.4. 5.7.5. 𝑁. 𝑓(𝑡) = 𝑎0 + ∑ 𝐴𝑛 cos(𝑛𝜔0 𝑡 + 𝜃𝑛 ) 𝑛=1. 𝑏. Donde,𝐴𝑛 = √𝑎𝑛 2 + 𝑏𝑛 2 y𝜃𝑛 = −𝑡𝑎𝑛−1 𝑎𝑛. 𝑛. 38 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.

(47) Para que una función pueda representarse mediante la serie trigonométrica de Fourier debe cumplir los siguientes requerimientos (Sadiku & Alexander, 2006, pág. 757): 1. Que 𝑓(𝑡) sea univoca, es decir que contenga una único valor para cada tiempo. 𝑇. 2. ∫0 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 < ∞ para cualquier tiempo. 3. 𝑓(𝑡) tiene un número finito de discontinuidades finitas en cualquier periodo. 4. 𝑓(𝑡) tiene un número finito de máximos y mínimos en cualquier periodo.. Además, si la función que se quiera expresar como serie de Fourier tiene simetría par o impar provoca que se simplifiquen considerablemente los cálculos, como lo veremos inmediatamente.. Simetría de función par: A continuación se examinará que les ocurre a los coeficientes de la serie de Fourier si la función que se quiere tratar es de simetría par, esto quiere decir que 𝑓(𝑡) = 𝑓(−𝑡), los valores que toma la función para valores de 𝑡 positivos, son los mismos que valores de 𝑡 negativos. (Ejemplo: función coseno) Para 𝑎0 : 1 𝑇 𝑎0 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑇 0 Al ser una función periódica se puede reescribir el intervalo de integración: 𝑇. 1 2 𝑎0 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑇 −𝑇 2. Como la función es de simetría par se puede analizar para medio periodo de tiempo y multiplicando por 2 la integral: 𝑇. 1 2 𝑎0 = ∫ 2 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑇 0 Reorganizando:. 39 Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP Aplicada a Análisis de Circuitos II Grupo de Investigación en Sistemas de Potencia de la Universidad Distrital GISPUD http://comunidad.udistrital.edu.co/gispud/.