USO DE REPRESENTACIONES SEMIÓTICAS EN EL APRENDIZAJE DE LAS OPERACIONES DE SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS EN UNA AULA CON INTEGRACIÓN DE POBLACIÓN CIEGA

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(1)1. USO DE REPRESENTACIONES SEMIÓTICAS EN EL APRENDIZAJE DE LAS OPERACIONES DE SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS EN UNA AULA CON INTEGRACIÓN DE POBLACIÓN CIEGA.. JOSE ELIAS OJEDA JIMÉNEZ JOSE JACOBO BOLAÑOS LINARES. UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN PROGRAMA DE LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN MATEMÁTICAS BOGOTÁ D.C. 2015.

(2) 2. USO DE REPRESENTACIONES SEMIÓTICAS EN EL APRENDIZAJE DE LAS OPERACIONES DE SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS EN UNA AULA CON INTEGRACIÓN DE POBLACIÓN CIEGA.. JOSE ELIAS OJEDA JIMENEZ JOSE JACOBO BOLAÑOS LINARES. Tesis Presentada Para Obtener El Título De Licenciado En Educación Básica Con Énfasis En Matemáticas. ASESORA OLGA LUCÍA LEÓN CORREDOR DOCTORA UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN PROGRAMA DE LICENCIATURA EN EDUCACION BÁSICA CON ÉNFASIS EN MATEMÁTICAS BOGOTÁ D.C. 2015.

(3) 3 Dedicatorias. José Ojeda A mi familia y seres queridos que siempre han estado apoyándome para alcanzar esta meta.. José Bolaños A Dios y a mi familia..

(4) 4 Agradecimientos Le damos las gracias a la profesora Olga Lucia León por habernos permitido trabajar con ella, su paciencia, orientaciones, su tiempo fueron muy valiosos para nosotros y sin ellos no se hubiera podido llevar a cabo este trabajo. A los estudiantes y tiflóloga del IED José Félix Restrepo por regalarnos de su tiempo para poder poner en práctica las actividades de la Trayectoria Hipotética de Aprendizaje 1 (T.H.A). A nuestras familias por el apoyo incondicional hasta el último momento.. 1. Rutas de aprendizaje que establece el profesor para la comprensión de un concepto matemático específico por parte de un estudiante o grupo de estudiantes, enfrentando tareas para las cuales se crean una serie de metas que son identificadas a partir de niveles, lo cual puede ser evidenciado con el desarrollo de las actividades propuestas (Clements & Sarama, 2009)..

(5) 5. Contenido ABSTRACT ............................................................................................................ 10 INTRODUCCIÓN.................................................................................................... 11 Puntos de partida: .................................................................................... 11 JUSTIFICACIÓN. ................................................................................................... 12 PREGUNTA ORIENTADORA ................................................................................ 14 OBJETIVOS ........................................................................................................... 14 GENERALES ........................................................................................... 14 ESPECÍFICOS ......................................................................................... 14 REFERENTE DIDÁCTICO PARA LA FORMULACIÓN DE HIPOTESIS DE LA ENSEÑANZA DE LOS NÚMEROS ENTEROS ...................................................... 15 LOS COMPONENTES DIDÁCTICOS .................................................................... 17 COMPONENTE MATEMÁTICO. .............................................................. 17 Números naturales y números relativos .......................................................... 17 Números enteros y números decimales .......................................................... 18 Vías de acceso a los números enteros .................................................... 18 Caracterización de la vía aritmética ................................................................ 19 La génesis algebraica de los números negativos ............................................ 26 Entrada geométrica a los números enteros ..................................................... 30 Hipótesis matemáticas .................................................................................... 33 COMPONENTE COGNITIVO .................................................................. 33 Representaciones semióticas.......................................................................... 34 Las relaciones de orientación espacial ............................................................ 42 Las relaciones de localización espacial ........................................................... 43 Interpretaciones de los números según González et al. (1990) .............. 46 POBLACIÓN CIEGA ....................................................................................... 49 HIPOTESIS DESDE EL COMPONENTE COGNITIVO ................................... 51.

(6) 6 COMPONENTE GESTION EN EL AULA. ................................................ 51 Trayectorias hipotéticas de aprendizaje como teoría didáctica de referencia. 54 Las metas matemáticas .................................................................................. 54 Niveles ............................................................................................................ 54 Actividades ...................................................................................................... 55 Trayectorias Hipotéticas de Aprendizaje para los enteros .............................. 56 METODOLOGÍA DE EXPERIMENTOS DE ENSEÑANZA.............................. 57 HIPOTESIS DESDE LA GESTION EN EL AULA. ........................................... 67 MODELO DE TALLER SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS CON POBLACIÓN CIEGA .............................................................................................. 67 Actividades sugeridas .............................................................................. 69 GUIAS DEL ESTUDIANTE ..................................................................................... 74 Sumando con Excel................................................................................................ 75 ANALISIS DE ACTIVIDADES ................................................................................ 77 Actividad 1.1 Ordene su vida ................................................................... 77 Actividad 1.2 Ordene su vida ................................................................... 77 ACTIVIDAD 2.1 CIRCUITO CERRADO ................................................... 84 ACTIVIDAD 2.2 MODELO MOFIP ........................................................... 87 ACTIVIDAD 3.1 SUMANDO CON EXCEL ..............................................111 RESULTADOS ..................................................................................................... 114 CONCLUSIONES ................................................................................................. 118 ANEXOS .............................................................................................................. 120.

(7) 7 TABLA DE FIGURAS Figura 1. Clases de equivalencias representadas en las rectas paralelas a la diagonal. (Muñoz, 2012) ................................................................................................................... 22 Figura 2. Suma de segmentos. .......................................................................................... 31 Figura 3. Resta de segmentos. ........................................................................................... 31 Figura 4. Marcando un recorrido. .................................................................................... 79 Figura 5. Marcando un recorrido con punto de referencia fijo. .......................................80 Figura 6. Comparando recorridos con punto de referencia (1)......................................... 81 Figura 7. Comparando recorridos con puntos de referencia (2). ...................................... 82 Figura 8. Circuito cerrado con cuatro fichas. ................................................................... 84 Figura 9. Circuito cerrado con tres fichas. .......................................................................85 Figura 10. Circuito cerrado con cinco fichas. ................................................................... 85 Figura 11. Comparación de cantidades (1). ...................................................................... 88 Figura 12. Comparación de cantidades (2). ...................................................................... 88 Figura 13. Comparación de cantidades (3). ...................................................................... 89 Figura 14. Comparación de cantidades (4). ...................................................................... 90 Figura 15. Comparación de cantidades(5). .......................................................................91 Figura 16. Clases de equivalencia (1). ..............................................................................91 Figura 17. Clases de equivalencia (2). ..............................................................................91 Figura 18. Clases de equivalencia (3). ..............................................................................92 Figura 19. Clases de equivalencia (4). ..............................................................................92 Figura 20. Clases de equivalencia (5). ..............................................................................92 Figura 21. Clases de equivalencia (6). ..............................................................................93 Figura 22. Clases de equivalencia (7). ..............................................................................94 Figura 23. Clases de equivalencia (8). ..............................................................................94 Figura 24. Comparación por extracción (1). ..................................................................... 95 Figura 25. Comparación por extracción (2). ..................................................................... 95.

(8) 8 Figura 26. Comparación por extracción (3). .................................................................... 96 Figura 27. Comparación por extracción (4). ..................................................................... 96 Figura 28. Comparación por extracción (5). ..................................................................... 96 Figura 29. Comparación por extracción (6). .................................................................... 97 Figura 30. Construcción del cero (1). ...............................................................................97 Figura 30. Construcción del cero (2). ...............................................................................98 Figura 31. Comparación por extracción (7). ..................................................................... 98 Figura 32. Comparación por extracción (8). ..................................................................... 99 Figura 33. Comparación por extracción (9). ..................................................................... 99 Figura 34. Construcción del cero (3). ............................................................................. 100 Figura 35. Comparación por extracción (10). ................................................................. 100 Figura 36. Comparación suma y resta (1). ...................................................................... 100 Figura 37. Comparación suma y resta (2). ...................................................................... 101 Figura 38. Comparación suma y resta (3). ...................................................................... 101 Figura 39. Comparación suma y resta (4). ...................................................................... 102 Figura 40. Comparación suma y resta (5). ...................................................................... 102 Figura 41. Comparación suma y resta (6). ...................................................................... 102 Figura 42. Resultado de una operación con modelo MOFIP.......................................... 103 Figura 43. Comparación suma y resta (7). ...................................................................... 103 Figura 44. Sumando enteros negativos. .......................................................................... 104 Figura 45. Sumando enteros con diferente signo. ........................................................... 104 Figura 46. Operando con números enteros teniendo en cuenta su signo a partir de la ubicación en el tablero (1). .............................................................................................. 105 Figura 47. Operando con números enteros teniendo en cuenta su signo a partir de la ubicación en el tablero (2). .............................................................................................. 105 Figura 48. Operando y ubicando números enteros teniendo en cuenta su signo. .......... 106 Figura 49. Sumando y reconociendo dos números enteros negativos dados (1) ............. 106.

(9) 9 Figura 50. Sumando y reconociendo dos números enteros negativos dados (1) ............. 106 Figura 51. Operando y reconociendo números enteros negativos dados a partir de su ubicación (1) ................................................................................................................... 107 Figura 52. Operando y reconociendo números enteros negativos dados a partir de su ubicación (2) ................................................................................................................... 107 Figura 53. Operando y reconociendo números enteros negativos dados a partir de su ubicación (3) ................................................................................................................... 108 Figura 54. Operando y reconociendo números enteros negativos dados a partir de su ubicación (4) ................................................................................................................... 108 Figura 55. Asociación de números del mismo signo. ...................................................... 109 Figura 56. Comparación de dos cantidades con Excel (1). ............................................. 111 Figura 57. Comparación de dos cantidades con Excel (2). ............................................. 111 Figura 58. Clases de equivalencia con Excel teniendo en cuenta dos cantidades. .......... 112.

(10) 10 ABSTRACT This work was made with the purpose to identify the privileged semiotic representation by blind students in the understanding and the meaning structure of integers applying the addition and subtraction operation, applying the ICT as well as a tool to allow the integration of diverge populations. To develop the activities it used five blind people who familiarized with the material representing daily situations which had to do treatments and conversion, taking as math stuff the integers. The Arithmetic way allow to establish relationships within amounts which applies Arith treatments and the communicative moments of ideas or results applies frequently the natural language. The application of variety situations and didactical materials can built clearly the meaning of integers improving the cognitive process, treatment and conversion of the semiotic structure in the property communication’s actions..

(11) 11 INTRODUCCIÓN En este trabajo se estudia el uso de representaciones semióticas por estudiantes ciegos en procesos de desarrollo de algoritmos y/o estrategias operativas en situaciones relacionadas con la suma y resta de números enteros. Para la elaboración y el desarrollo del presente trabajo de grado se han tenido en cuenta: Referentes Curriculares con incorporación de tecnologías para la formación de profesores de matemáticas en contextos de diversidad. Orientaciones para la incorporación de tecnologías en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Proyecto ALTERNATIVA (2013). Lineamientos curriculares de matemáticas (1998). Estándares básicos de calidad (2006). Ley estatutaria 1618, del 27 de febrero de 2013: por medio de la cual se establecen las disposiciones para garantizar el pleno ejercicio de los derechos de las personas con discapacidad. INCI. Realizando el trabajo bajo la metodología de investigación experimental. Puntos de partida: El número entero sólo existe en un contexto relativo, tomando valor únicamente en contextos matemáticos, no representa a algo que sea tangible cuando hablamos de cantidades menores que cero. Su uso surge por necesidad matemática. Los objetos matemáticos son inventados o creados por los seres humanos (a diferencia de los objetos materiales encontrados en el mundo físico a partir de los cuales se pueden observar algunas cualidades), y por tanto, su existencia es ficticia o convencional. Dicha creación es peculiar e irreductible” como lo plantea González, Ortiz, Sanz y Ortiz (1990, p. 60)..

(12) 12 Se espera obtener y brindar información sobre relaciones entre estrategias de cálculo y representaciones usadas por estudiantes ciegos para resolver sumas y restas con números enteros y el reconocimiento de algunos materiales a partir de los cuales se puede abordar el objeto matemático número entero. JUSTIFICACIÓN. En los procesos de enseñanza y aprendizaje desarrollados en un aula de clase puede verse que a diario se presentan retos: no todos los niños tienen el mismo tipo de conocimiento previo y de experiencias para desarrollar un concepto matemático como es el caso del número entero, esto no significa que todos los estudiantes no lo puedan abordar. En el ámbito de las matemáticas se accede a los objetos matemáticos por sus representaciones; con el tratamiento adecuado dentro de varios sistemas de representación, se puede dar mayor o menor relevancia a algún aspecto del objeto sobre otro u otros; un registro puede permitir efectuar un tratamiento de manera más económica y más potente que otro (Duval R, 1999, p. 59). De acuerdo con lo planteado por González et al. (1990) cuando el objeto matemático número entero se trabaja sin tener en cuenta la realidad del niño, junto con sus gustos, el número es tomado como un objeto aislado de lo real que toma su significación en contextos escolares como parte de un contenido que se debe desarrollar por instrucción escolar. En el caso de estudiantes con la ceguera como condición de diversidad para los cuales la información debe llegar principalmente por medio de la vías auditiva y táctil, el niño tiene que hacer sus interpretaciones a partir de lo que estas dos vías inicialmente le permiten aprehender (Andrade, P. (s.f)). A partir de lo anteriormente mencionado el docente debe.

(13) 13 reconocer qué tipo de actividades y de materiales favorecen el aprendizaje del concepto matemático en poblaciones videntes y no videntes En algunas oportunidades se encontrarán estudiantes en condición de diversidad, para los cuales el sistema educativo ha ideado formas para que estos puedan estar y desarrollar las actividades con sus pares mediante la integración, (Abella et al. 2013), La Tecnología de la Información y la Comunicación (TIC) ha traído consigo el hecho de responder a las necesidades de las poblaciones en condiciones de diversidad, pues el tener mejores elementos de enseñanza produce llegar a mayor cantidad de población. Como lo propone la ley 1618 del Congreso de Colombia 2013. Los estudiantes con deficiencia visual en un aula inclusiva, requieren que se tengan en cuenta aspectos como, el desplazamiento en escenarios y el manejo de sistemas de representación alternativos en procesos de escritura, esto significa que el objeto matemático número entero puede ser abordado con estos estudiantes. Al momento de desarrollar un concepto matemático las representaciones favorecen la comprensión de éste, un sistema de representación es más potente que otro para tratar un concepto, porque permite la construcción con mayor facilidad lo del objeto matemático que se esté trabajando, en nuestro caso particular el número entero, esto no significa que sólo se deba emplear éste porque se estaría favoreciendo el tratamiento de esta representación y no se está dando la relevancia que se merece la conversión, dado que cuando se usan diferentes sistemas de representación para un objeto es más posible que se conceptualice. Fue conveniente la realización de este trabajo en razón de que permite ver que: debido a la diversidad de los sistemas semióticos, existe una variedad de representaciones para un mismo objeto; esta variedad se revela como decisiva a la vez desde el punto de vista de la.

(14) 14 función de tratamiento y desde el punto de vista de la conceptualización (Duval. R, 1999, p. 36). La importancia de este trabajo radica en el reconocer qué tipos de representación son privilegiadas (semiosis) al momento de enfrentar y de resolver una situación problema encaminada a la construcción del concepto de número entero con estudiantes con la ceguera como condición de diversidad y con poblaciones mayoritarias, de tal manera que las actividades puedan ser desarrolladas por todos sin exclusión, haciendo empleo de los mismos materiales y acudiendo a los mismos sistemas de representación, pues debido a esto se hace más o menos complejo el proceso de adquisición y tratamiento de un concepto. PREGUNTA ORIENTADORA ¿Cuáles son los sistemas de representación semiótica privilegiados por estudiantes ciegos al enfrentar una situación problema que vincula operaciones aditivas con enteros? OBJETIVOS GENERALES  Reconocer los sistemas de representación semiótica privilegiados y utilizados por estudiantes con la ceguera como condición de diversidad al tratar de comunicar o establecer la solución a una situación problema que vincula operaciones aditivas con enteros. ESPECÍFICOS  Identificar las estrategias utilizadas por los estudiantes en la solución de problemas aditivos de varios tipos, teniendo en cuenta el tipo de representación privilegiada para buscar alternativas de solución..

(15) 15  Identificar la forma en que estudiantes ciegos llevan a cabo los procesos de tratamiento y de conversión de una representación semiótica al momento de abordar un objeto matemático.  Identificar la influencia que tiene en el sujeto el sistema representación empleado al momento de modelar un objeto matemático.. REFERENTE DIDÁCTICO PARA LA FORMULACIÓN DE HIPOTESIS DE LA ENSEÑANZA DE LOS NÚMEROS ENTEROS Para la ejecución de nuestro trabajo se realizó una búsqueda de material bibliográfico. Encontrando lo siguiente: Raymond Duval, en su libro semiosis y pensamiento, publicado en el año 1999 muestra que: Es a partir de las representaciones semióticas que un individuo inicia la construcción del conocimiento, (Duval. R, 1999), los educadores matemáticos requieren reconocer que en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas los niños inician con la utilización de los números naturales al momento de tratar de modelar situaciones reales, pero que para un objeto complejo epistemológicamente como los números enteros son los estudiantes quienes adecuan y crean sistemas conceptuales particulares, que le permiten una comprensión de los contenidos. Los sistemas de representación empleados por el estudiante son tomados a partir del conocimiento que se tiene de estos, los signos empleados anteriormente en representaciones son evocados y utilizados por el niño al momento de enfrentar una situación, los cuales pueden ser asociados a una nueva representación, la.

(16) 16 forma en que son manejados e interpretados depende en gran medida del desarrollo conceptual que tiene cada uno de los individuos que lo enfrentan (Vergnaud G.1994). En el entorno escolar cuando el concepto de número entero es abordado como un tema más, como algo necesario para otros contenidos, como algo ya acabado, se niega la posibilidad de que el niño lo vea como algo útil para dar soluciones a algunos problemas que surgen en su contexto, y se olvida que no todos los estudiantes pueden percibir la información de la misma manera (González et al. 1990). En el caso de los niños con ceguera como condición de diversidad en un aula inclusiva, puede utilizarse las TIC como una herramienta útil en las representaciones; desde luego conociendo su funcionalidad, ventajas y desventajas que estas ofrecen al momento de ser implementadas (Abella et al. 2013) debe privilegiar el uso de diferentes sistemas de representación para llegar a hacer uso de representaciones del objeto matemático número entero. Se ha podido ver a través de la historia que la evolución del objeto matemático número entero en la antigüedad no se presentó de manera continua, más bien se ha dado de acuerdo con las diferentes culturas, a partir de las cuales en la mayoría de las oportunidades se presenta el punto de vista, sin tener en cuenta los hallazgos dados a partir de situaciones concretas e intereses de cada pueblo, hecho por el cual en algunas de las oportunidades no se presentaron avances; por el contrario se dieron retrocesos..

(17) 17 LOS COMPONENTES DIDÁCTICOS. COMPONENTE MATEMÁTICO.. Una perspectiva para el estudio de los procesos de enseñanza y aprendizaje del concepto de número entero, consiste en asumir inicialmente la representación de las cantidades dentro del campo de los números naturales para permitir una contextualización de las mismas. Establecer posteriormente relaciones entre cantidades de objetos aislables, para permitir el surgimiento del número relativo. El cual evoluciona al concepto de número entero, dado que sin un objeto matemático como tal solamente se tendría una representación semiótica aislada, en la formulación de la T.H.A. es necesario este componente puesto que a partir de este se encaminan las metas y las actividades. Números naturales y números relativos La medida de un conjunto de objetos aislable es lo que se conoce en matemáticas como número natural. Los números naturales no son ni negativos, ni positivos, puesto que corresponden a medidas y no a transformaciones 2. Son números sin signo, los cuales representan las medidas de conjuntos de objetos aislables. Los números relativos son números que presentan transformaciones aditivas (adiciones y sustracciones) que se pueden efectuar sobre la medida de un conjunto de objetos aislables, añadiendo o quitando elementos a dicho conjunto. Los números relativos representan las. 2. Es la relación que se puede establecer entre dos o más estados donde los elementos que intervienen en la relación no necesariamente tienen la misma naturaleza (vergnaud G,1991, p. 48).

(18) 18 transformaciones que experimentan estas medidas (números naturales). (Vergnaud, 1991 p. 162). Números enteros y números decimales “Si uno se limita a las medidas de conjuntos de objetos aislables, sólo se obtienen como medidas y transformaciones números enteros. Cuando se consideran la medida de magnitudes continuas (longitudes, áreas, masa, volúmenes…) no se obtienen como medidas números enteros, sino números que se tratan de aproximar a través de números con puntos; es decir en base diez. Números decimales.” (Vergnaud, 1991, p.163) Vías de acceso a los números enteros En las siguientes líneas se detalla la exploración que el Laboratorio de Didáctica de las Matemáticas3, ha realizado de la vía aritmética de los números enteros; con la que, a partir de la caracterización de sus registros semióticos y del establecimiento de las operaciones: suma, resta, multiplicación y división, se busca dar a conocer una de las tres diferentes representaciones y entradas los números enteros. Caracterización de los números enteros (Z) Grupo Abeliano ó Grupo conmutativo En un conjunto A: -.  es conmutativa. Es decir a , b : a, b  A  a  b  b  a. Si G = (A ,  ) es un grupo, se dice que es un grupo finito si el conjunto A es finito y su cardinal se llama orden del grupo. 3. Del Semillero de Investigación Interdisciplinaria en Didáctica del Lenguaje y las Matemáticas SIIDLyM, de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas..

(19) 19 - El par ( Z ,  ) donde Z es el conjunto de los números enteros y  es una operación definida como a  b = a + b + 3 forma un grupo abeliano.  Es una ley de composición interna en Z pues si a y b  Z , a + b + 3  Z. -.  es asociativa pues.  a  b  c = (a + b +3) . c = a + b +3 + c +3 = a + b + c + 6. y a  b  c  = a  (b + c + 3) = a + b + c + 3 + 3 = a + b + c + 6  Tiene elemento neutro e = –3 , pues. a  A , a  e = a entonces a + e +3 = a  e = –3. y. e  a = a entonces e + a + 3 = a  e = –3.  Tiene inverso a. , a. /. a  a  e , en nuestro caso. a  a = –3  a  a  3 = –3 luego a´ = – a – 6 es inverso a. derecha. a  a  3  a  a  3 = –3. luego a´ = – a – 6 es inverso a. izquierda  Es conmutativa pues a  b = a + b + 3 = b + a + 3 = b  a. Caracterización de la vía aritmética Al abordar el conjunto de los números enteros (ℤ), el conjunto más cercano que se tiene es el de los números naturales (ℕ); estos surgen de acciones cotidianas del hombre.

(20) 20 como: contar, ordenar, clasificar y medir y es así como primeramente, este conjunto aparece de manera natural, establecido simbólicamente de la siguiente forma: ℕ = {1,2,3,4, … , 𝑛} Así, partiendo de ℕ en la vía aritmética un número entero 𝐜 se determina a partir de la comparación entre dos números naturales a y b; esta comparación establece la diferencia entre los dos números naturales. La pareja (a,b) representa la comparación de izquierda a derecha entre los números naturales, como es una comparación se pueden dar las siguientes situaciones:  (𝑎, 𝑏), indica que “𝑎 es 𝑐 unidades más que 𝑏” y en este caso esta comparación coincide con la resta en los naturales.  (𝑎, 𝑏), indica que “a es c unidades menos que b” y en este caso esta comparación ya no coincide con la resta en los naturales. En el conjunto formado por las parejas de números naturales 𝑎 𝑦 𝑏 se define la siguiente relación de equivalencia, Muñoz (2012). (𝑎, 𝑏) ≈ (𝑐, 𝑑) si y solo si 𝑎 + 𝑑 = 𝑏 + 𝑐. En este nuevo conjunto las parejas y la relación establecida toman como objetos de partida a los números naturales y a la operación suma definida en ellos. Se retoma de Muñoz (2012) la verificación de la relación de equivalencia. Reflexividad: por la conmutatividad de la adición enℕ, 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 lo cual significa que (𝑎, 𝑏) ≈ (𝑎, 𝑏).

(21) 21 Simetría: si (𝒂, 𝒃) ≈ (𝒄, 𝒅), entonces 𝒂 + 𝒅 = 𝒃 + 𝒄 y por la simetría de la igualdad y la conmutatividad de la suma de los números naturales, 𝒄 + 𝒃 = 𝒅 + 𝒂 o sea (𝒄, 𝒅) ≈ (𝒂, 𝒃). Transitividad: si (𝒂, 𝒃) ≈ (𝒄, 𝒅) y (𝒄, 𝒅) ≈ (𝒆, 𝒇) se tiene que 𝒂 + 𝒅 = 𝒃 + 𝒄, y 𝒄 + 𝒇 = 𝒅 + 𝒆 y aplicando las propiedades de + en Z: 𝒂 + 𝒅 + 𝒄 + 𝒇 = 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 + 𝒆, cancelando 𝒄 + 𝒅, se obtiene 𝒂 + 𝒇 = 𝒃 + 𝒆, es decir (𝒂, 𝒃) ≈ (𝒆, 𝒇). En otros autores se pueden encontrar apreciaciones como que “en el marco de la aritmética lo que prevalece es la aparición de los números negativos por la necesidad de ampliar la operación de restar en ℕ. Los números negativos por tanto, serán los resultados de operaciones de restar.” (González et al., 1990, p.84). No obstante, se hace énfasis en la idea de que en la vía aritmética los números enteros son clases de equivalencia definidas en los números naturales. Como se observa a continuación. Naturaleza de los objetos en ℤ. Clases de números naturales (𝐚, 𝐛) representadas por la comparación entre los mismos. (2,1) = 2 − 1; (3,2) = 3 − 2; (100,99) = 100 − 99 (3,1) = 3 − 1; (5, 3) = 5 − 3; (100,98) = 100 − 98 (4,1) = 4 − 1; (7,4) = 7 = 4; (100,97) = 100 − 97 … (1201,1) = 1201 − 1; (2400,1200) = 2400 − 1200 (a, b) = a − b. Número representante de la clase. 1 2. 3 … 1200 C.

(22) 22 En conclusión, la naturaleza de los números enteros en la vía aritmética es de restas de parejas de números naturales, que están representadas por un número entero que pertenece a una clase de equivalencia. De este modo Muñoz (2012) lo expresa, las clases de equivalencia determinadas por la relación de equivalencia pueden visualizarse al representar ℕ × ℕ gráficamente:. Figura 1. Clases de equivalencias representadas en las rectas paralelas a la diagonal. (Muñoz, 2012). En conclusión, estos elementos se han caracterizado dentro del proceso de comprensión de la aparición del conjunto numérico de los enteros tras el cambio de la naturaleza de los números en el conjunto de los naturales..

(23) 23 Operaciones con los objetos de la vía aritmética y propiedades de las mismas. Dada la estructura de la vía aritmética es necesario mostrar las posibilidades operatorias que ésta ofrece, ya que el conjunto numérico por sí mismo no tiene funcionabilidad sin las operaciones; de esta manera, se detallan a continuación las operaciones: suma, resta, multiplicación.  Se define la suma como:  De tal manera, de forma general se tiene que:  (a, b) + (c, d) = ((a + c), (b + d)) = (𝐚 + 𝐜, 𝐛 + 𝐝) Así para la suma de parejas se procede: Suma de las parejas (1,3) y (4,2): (1,3) + (4,2) = ((1 + 4), (3 + 2)). (2,4). (2,0). (3,5). (3,1). (4,6). (5,3). .. .. .. .. .. .. −𝟐. +𝟐.

(24) 24  Suma de las parejas (3,6) y (2,1): (3,6) + (2,1) = ((3 + 2), (6 + 1)) Igualmente, la estructura en la vía aritmética cumple con la propiedad conmutativa para la suma, de la siguiente forma: (a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b) ((a + c), (b + d)) = ((a + c), (b + d)).  Resta: Similarmente se define la resta como:  De tal manera, de forma general se tiene que:  (a, b) − (c, d) = (𝐚 + 𝐝, 𝐛 + 𝐜) Así para restar parejas se procede:  Resta de las parejas (3,2) y (6,4): (3,2) − (6,4) = (3 + 4, 2 + 6) = (7,8) (a, b) − (c, d) = (𝐚 + 𝐝, 𝐛 + 𝐜). Finalmente, se considera a la resta como la operación inversa de la suma, a partir de lo siguiente: [(a, b) + (c, d)] − (c, d) = (a, b) (a + c, b + d) − (c, d) = (a, b).

(25) 25 (a + c + d, b + d + c) = (a, b) (a + (c + d), b(c + d) = (a, b)  Multiplicación LA CLASE (A,B) X (C,D) SE DEFINE A PARTIR DE LA SIGUIENTE OPERACIÓN ENTRE LOS REPRESENTANTES De tal manera, de forma general se tiene que: (a, b) × (c, d) = a × (c, d) + b × (d, c) = (ac, ad) + (bd, bc) = (ac + bd, ad + bc) Al igual que en el caso de la suma, para la multiplicación la vía aritmética cumple la propiedad conmutatividad, como se muestra a continuación:. (a, b) × (c, d) = (c, d) × (a, b) a × (c, d) + b × (d, c) = c × (a, b) + d × (b, a) (ac, ad) + (bd, bc) = (ca, cb) + (db, da) (ac + bd, ad + bc) = (ac + bd, bc + da). Multiplicación de las parejas (3,4) y (5,2): (3,4) × (5,2) = 3(5,2) + 4(𝟐, 𝟓) (3,4) × (5,2) = (3 × 5,3 × 2) + (4 × 2,4 × 5) (3,4) × (5,2) = (15,6) + (8,20).

(26) 26 (3,4) × (5,2) = (15 + 8,6 + 20) (3,4) × (5,2) = (23,26). NOTA: como se observa en la multiplicación, se cambia el segundo término en este caso (𝟐, 𝟓) para que se conserve la conmutatividad en la operación. De esta manera se ha establecido la estructura de la vía aritmética, teniendo en cuenta las propiedades de las operaciones La génesis algebraica de los números negativos Desde el año 400 a.c los chinos realizaban sus cálculos por medio de varillas, con las que se operaba sobre un tablero de cálculo, dando así paso a los numerales posicionales decimales, del número en palabras poco a poco se pasó al empleo de representación simbólica, pudiendo verse el paso de la representación verbal a una representación generalizada haciendo uso de símbolos, para lo cual se hacia el empleo del número barra; para este sistema se tenían en cuenta 9 símbolos, para los cuales se tenían unas reglas operacionales, una de las peculiaridades de este sistema de representación semiótica es que no contaba con un símbolo para la representación del “cero”, hecho por el que se tomaba o se respetaba un espacio vacío que lo representaba, mostrando que dentro de su sistema se tenía en cuenta el valor posicional, de igual manera se hacía el empleo de varillas de color rojo para la representación de las cantidades positivas y de color negro para las negativas, aunque inicialmente se hacia el empleo de objetos para la representación de los números se da continuidad al empleo de una representación simbólica. Los números también son asociados a mediciones, en particular las relacionadas con longitudes y áreas; surgiendo así.

(27) 27 reglas que relacionaban los lados de figuras geométricas, dándose de esta manera origen al álgebra geométrica, ahora los números barra no solamente eran aplicables a problemas particulares, sino que se pueden generalizar y aplicar a diversas situaciones; en el ámbito algebraico se da cabida a los números negativos en la solución de ecuaciones. En los métodos de solución empleados para las ecuaciones no se le da la importancia suficiente a los símbolos empleados para la representación de las variables; mientras que para los coeficientes de estas si se da relevancia, su interés se encuentra centrado en esta (Gallardo & Hernández, 2014). Los números negativos aparecen por primera vez al resolver ecuaciones aunque sus soluciones no fueran consideradas como válidas: x+a=b; dentro del conjunto de los números naturales se puede dar solución a este tipo de ecuación siempre que a≤b, pero con el aparecimiento de ecuaciones como: x+1= 0; la solución no se encuentra en los naturales “-1”. Para la ecuación X+a=0, con a número natural ha de notarse que al buscarse la solución se llama a la constitución de un nuevo sistema numérico donde la solución “-a” sea objeto de ese sistema y se defina (-a)+a=0;  a denominándose “+a” y “-a ”números opuestos. Ahora con la aparición de los nuevos números deben asimilarse las operaciones suma, producto y relación de orden que deben ser coherentes con las propiedades heredadas de los números naturales. Con respecto a la suma de dos números positivos no se presenta dificultad dado que se encuentra definida desde. por lo que se hace necesaria la. consideración de un positivo con un negativo y la de dos negativos;.

(28) 28 Tomando las ecuaciones del tipo x±a=0; sea “a” número positivo “-a” número negativo los números “a” y “-a” son la solución a las ecuaciones: x-a=0 y x+a=0 respectivamente. En el conjunto de los. todo elemento posee simétrico respecto de la suma es decir. para a+(-a)= 0 donde los números que intervienen son tomados como opuestos. Esto dota de significado al signo “-”, convirtiendo en opuesto de la suma un número. Ahora como x  a  0  x   a ecu 1 y  b  0  y  b ecu 2 como ecu 1  ecu 2 ( x  a )  ( y  b)  0 ( x  y )  (a  b)  0  ( x  y )  (a  b) por inversos aplicando ecu 1 y ecu 2. (-a)  (-b)  (a  b)  0 ( x  y )  ( a  b) ahora con x  (-a)  0  x  a. y  (-b)  0  y   b x  (-a)  ( y  (b)  0. ( x  y )  ( a )  (b)  0 ( x  y )   (a  b) ( x  y )   ( a  b). La suma de un negativo con un positivo se puede tomar dentro de los números enteros y partiendo del tratamiento anteriormente dado de la siguiente manera:.

(29) 29. (  a )  ( b )  0 ( x  a )  ( y  b)  0 ( x  y )  ( a  b)  0 ( x  y )  ( a  b) Tomando puntualmente un caso con números enteros.  8  (5)  (3)  (5)  (5) . (3)  (5)  (5)  (3)  0  3 general a  ( b )  c  (b)  (b); donde c es lo que le falta al opuesto del segundo número pra ser igual " a"  a  ( b)  c Teniendo en cuenta que dentro del sistema de los números enteros a  0 tiene su opuesto; dados dos números enteros a,b habrá uno que es mayor o igual a opuesto del otro. El número de mayor valor absoluto se puede expresar como la suma del opuesto del otro número con un entero c, de tal manera que los opuestos se cancelan y el resultado es este número c.. general a  ( b )  c  (b)  (b); donde c es lo que le falta al opuesto del segundo número pra ser igual " a"  a  ( b)  c. Teniendo en cuenta que dentro del sistema de los números enteros a  0 tiene su opuesto; dados dos números enteros a,b habrá uno que es mayor o igual al opuesto del otro..

(30) 30 El número de mayor valor absoluto se puede expresar como la suma del opuesto del otro número con un entero c, de tal manera que los opuestos se cancelan y el resultado es este número c. Entrada geométrica a los números enteros Geométricamente podemos representar el conjunto de los números enteros mediante la generación de símbolos básicos que al unir algunos de ellos nos indican un segmento que tiene dirección y a partir de varios segmentos poder realizar las operaciones de suma y resta. El segmento que generamos está formado por un punto (.) que nos indica el lugar de partida, una línea horizontal. (. ) que nos indica la unidad de medida y dos posibles puntas de. flecha que nos indican si estamos representando un entero negativo (<) o un entero positivo (>). Símbolos básicos: < . Símbolos compuestos:  Suma de segmentos. > entero positivo ( →. ),. entero negativo ( ← )..

(31) 31 Figura 2. Suma de segmentos.. Enunciado Hallar el segmento suma de dos segmentos dados como datos. Datos 1. Un segmento ---> positivo formado por 3 unidades. 2. Un segmento ------> positivo formado por 6 unidades. Solución 1. Seleccionamos un punto. 2. Ubicamos un segmento a partir del punto anterior. 3. Ubicamos el otro segmento desde la punta de flecha del anterior segmento. 4. El segmento que resulta es la suma de los dos originales.  Resta de segmentos.. Figura 3. Resta de segmentos..

(32) 32 Enunciado Hallar el segmento resta de dos segmentos dados como datos. Datos 1. Un segmento ------> positivo. 2. Un segmento <------- negativo. Solución 1.. Seleccionamos un punto.. 2.. Ubicamos un segmento a partir del punto anterior.. 3.. Ubicamos el otro segmento desde la punta de flecha del anterior segmento,. pero perdiendo su sentido. 4.. El segmento que resulta es la resta de los dos originales.. Como estas entradas resuelven problemas epistemológicos del sistema de numeración. El cero (<>)= se establece como la unión de las puntas de flecha sin la aparición de alguna línea y careciendo de dirección. En las operaciones de suma o resta cumple que:  --> + <> = -->  --> - <> = -->. A partir de cada planteamiento matemático anteriormente mencionado con respecto a la conformación y las reglas operaciones con las cuales se establecen las relaciones entre números enteros planteamos las hipótesis, para reconocer las fases por las que pasa el objeto matemático número entero cada vez que hace empleo de una vía de acceso..

(33) 33 Hipótesis matemáticas  Los números relativos representan transformaciones de los números naturales como medida.  la relación entre cantidades permite establecer el número entero a partir de clases de equivalencia por medio de la entrada aritmética.  Una entrada algebraica está dada a partir de planteamiento y solución de ecuaciones.  El empleo de ecuaciones algebraicas igualadas a cero permite reconocer y utilizar los inversos aditivos.. COMPONENTE COGNITIVO Tomando como referente principal la teoría de las representaciones semióticas planteada por Duval (1999), se puede evidenciar que durante los procesos de enseñanza y aprendizaje de cualquier concepto matemático es necesario el uso de las representaciones en los procesos de comunicación y elaboración de un registro de representación, para lo cual se toman las reglas operacionales heredadas de los componentes matemáticos, permitiendo que haya formación, tratamiento y conversión dentro de los registros de representación semióticos. Dentro de nuestra T.H.A las representaciones semióticas permiten ver la forma en que es interpretado el objeto matemático número entero y el tratamiento operacional; como un objeto puede ser representado por medio de varias representaciones y a la diferenciación que debe existir entre el objeto y la representación de este..

(34) 34 Representaciones semióticas. A partir de lo planteado por (Duval,1999) donde se hace énfasis en la importancia del empleo y reconocimiento de varias representaciones para un mismo objeto, en tal caso se reconoce que cuando se emplean varios sistemas de representación es más óptima la construcción del concepto en la medida que se pueden establecer diferencias entre los objetos representados de sus representaciones, un sistema de representación semiótico puede ser más potente cuando los signos empleados pueden ser reacomodados permitiendo realizar transformaciones de las representaciones iniciales, haciendo uso adecuado de las reglas propias al sistema. En la medida que un niño enfrenta una situación matemática se hace uso de los registros de representación los cuales han sido desarrollados anteriormente en la ejecución de tratamientos matemáticos, la construcción de un objeto matemático implica el uso y la construcción de representaciones semióticas, las solas representaciones mentales se muestran como insuficientes, dejando ver que cuando más representaciones se emplean es más fácil realizar la diferencia entre el objeto y la representación a partir de lo cual Duval plantea dos interrogantes: ¿cómo aprender a cambiar de registro? y ¿cómo aprender a no confundir un objeto con la representación que se hace de él? En los procesos matemáticos generalmente se hace empleo de los tratamientos y conversiones entre los registros de representación utilizados al momento de representar unos objetos matemáticos, lo que hace necesario el reconocimiento y empleo adecuado de las reglas operatorias de cada registro semiótico junto con la coordinación y empleo de varios registros para un mismo objeto, pasando fácilmente de un registro de representación a otro sin desconocer las características del objeto representado..

(35) 35 A partir de las representaciones semióticas se puede acceder a los objetos matemáticos en cuestión, de esta manera se ve que éstas juegan un papel fundamental en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, puesto que los objetos matemáticos no pueden ser encontrados de forma natural, por tanto se hace necesario emplear las representaciones para acceder a los constructos matemáticos. La accesibilidad al concepto es permitida a través de sus representaciones, las cuales se deben diferenciar del objeto matemático por parte del estudiante, lo cual permite reconocer que se ha hecho una conceptualización; tal como lo platea textualmente Duval (1999) “no confundir jamás los objetos matemáticos, es decir, los números, las funciones, las rectas, etc; con sus representaciones” A partir de los planteamientos hechos por Duval (1999). No hay un conocimiento que un sujeto pueda movilizar sin una actividad de representación, caracterizada por permitir comunicar y transformar la información por su carácter de objetivación, además las representaciones semióticas sirven como un soporte para las representaciones mentales. El contenido representado no es separable de la forma que lo representa; la noesis no es independiente de la semiosis ya que nos permite hacer una diferenciación entre representante y representado. Según Duval (1999) las tres actividades inherentes a toda representación son: • Constituir una marca o un conjunto de marcas que sean identificables como la representación de una cosa. • Transformar las representaciones de acuerdo con las reglas propias a cada sistema de tal manera que se obtenga una ganancia partiendo de la representación inicial..

(36) 36 • Convertir las representaciones producidas en un sistema en otro sistema de tal manera que con las últimas representaciones se pueda dar una explicación del objeto representado. Hay que tener en cuenta que no todos los sistemas de representación permiten estas tres actividades como por ejemplo el lenguaje morse. Duval (1999) cita a Piaget (1937) quien habla de la representación como la evocación de un objeto en su ausencia, posteriormente se puede ver que la forma en que puede describirse una información es una forma de codificación de la información, llegando a que una misma información puede entrar de varias maneras. Las representaciones semióticas son relativas a un sistema particular de signos: lenguaje, escritura algebraica o los gráficos cartesianos, es importante la elección de una buena representación al momento de representar un contenido, dentro de los sistemas de representación empleados tiende a elegirse o privilegiarse uno, ya sea por razones de economía o por razones de potencia ante los otros con respecto a lo que se quiere mostrar, sin dejar de lado que pueden tomar significaciones diferentes para el sujeto que las utiliza (Duval, 1999) El cambio de representación para algunos o para la mayoría de los estudiantes es algo muy difícil, dejando ver que para ellos la forma en que se presenta el contenido queda limitada por la primera representación, dejando ver que la operación de conversión no es trivial para los alumnos. Partiendo de los planteamientos hechos por Duval (1999) los obstáculos encontrados en la adquisición y tratamiento son:.

(37) 37 • Diversificación de registros de representación semiótica. • La diferenciación entre representante y representado: forma y contenido • La coordinación entre los diferentes registros de representación: Generalmente no se hace una diferenciación entre las actividades de tratamiento y de conversión en las representaciones semióticas. Un tratamiento es una transformación que se realiza en el interior de un mismo registro; teniendo en cuenta las reglas de funcionamiento propias al sistema de representación, mientras que la conversión en un proceso de transformación mediante el cual se pasa de un registro de representación a otro.. Para Duval (1999) la clasificación de los diferentes tipos de representación se da a partir de: • La oposición entre consciente/no consciente: lo que se le aparece a un sujeto y el observa y lo que se le escapa y no puede observar; al observar conscientemente una cosa esta toma rápidamente la posición de objeto para quien la mira. En una representación consciente el individuo es capaz de reconocer por sí mismo. • La oposición interno/externo: aquello que es directamente observable y lo que no lo es; una representación es accesible para un sujeto en la medida que conoce el funcionamiento del sistema de representación. Los registros de representación se caracterizan no solo por la naturaleza de sus significantes sino por las reglas que permiten trabajar sobre ellos..

(38) 38 Las representaciones semióticas son a la vez conscientes y externas, permitiendo una mirada del objeto a través de significantes La representación semiótica es una forma de expresar una representación mental siendo las primeras una representación fiable de las segundas donde lo que se puede mostrar es una idea, porque simplemente al tratar de comunicar o expresar un sujeto puede utilizar varios sistemas de representación. La evolución de las representaciones mentales depende de la adquisición y la interiorización de sistemas semióticos.. Para Duval (1999) las actividades son cognitivas de la representación semiótica: • La formación de la representación: elección de un conjunto de caracteres que permiten mostrar lo que se quiere. • El tratamiento es la transformación que se hace dentro del mismo registro, haciendo una expansión informacional, produciendo una nueva representación dentro del mismo registro • La conversión cuando la transformación produce una representación en un registro diferente al inicial. A partir de las conversiones se debe diferenciar un contenido de su representación, el representante de lo representado, un significante puede tener una significación operatoria diferente pero sin embargo representa el mismo objeto. Una representación hecha en un sistema se hace teniendo en cuenta las reglas de conformidad de este, lo que permite hacer un tratamiento adecuado y una mejor.

(39) 39 comunicación. Además dependiendo de las reglas se puede identificar la representación de algo en un sistema semiótico como por ejemplo reconocer que un enunciado esta en español, que es una figura geométrica, que es… Habitualmente en los procesos de enseñanza y aprendizaje se privilegian los procesos de tratamiento y de formación de las representaciones semióticas, esto se da en la mayoría de las oportunidades porque simplemente no existen unas reglas de conversión que muestres como pasar de un registro a otro, esto es algo que el niño adquiere gradualmente esta actividad permite que se pongan en juego los diferentes registros de representación.. Tomando como referencia lo planteado por Vergnaud (1991) en los procesos de enseñanza y de aprendizaje de la adición se pueden establecer categorías en el planteamiento y resolución de problemas, por medio de los cuales se pueden establecer relaciones entre cantidades y estados. Con estas categorías se quiere mostrar que existen varios tipos de relaciones aditivas, y en consecuencia varios tipos de adiciones y sustracciones. Estas distinciones no son habituales en la enseñanza elemental, ni en la enseñanza secundaria. Pero son importantes por la dificultad que presentan cada uno de los casos. “las relaciones aditivas, son relaciones ternarias que pueden encadenarse de diversas maneras y ofrecen una gran variedad de estructuras aditivas” (Vergnaud, 1991 p. 164), un buen camino es el planteamiento o representación por medio de ecuaciones numéricas de un enunciado, haciendo empleo de signos y de símbolos por medio de un esquema en el que se puede ver que se siguen las indicaciones de las situaciones. A menudo es en la educación secundaria donde se hace el tratamiento de las ecuaciones, por las dificultades que estas pueden.

(40) 40 representar para algunos estudiantes. Sin embargo estas pueden ser vistas como la representación matemática por excelencia puesto que es a partir de estas que se puede dotar de significado al número, estableciendo y aplicando las reglas operativas con los signos y símbolos que se emplean para las representaciones.  Primera categoría: Se compone dos medidas para dar lugar a una medida. En el salón hay 18 niños y 25 niñas, ¿cuántos alumnos hay en total? Ecuación correspondiente: 18+25=43; hay 43 alumnos en total. Si en el salón hay 10 niños, en total hay 25 alumnos, ¿cuántas niñas hay en el salón? Ecuación correspondiente: 25-10 =15; en el salón hay 15 niñas. Con respecto a las cantidades dadas, lo importante radica en la forma y el contenido de la información dada, es importante que las mismas indicaciones muestren por si solas lo que se debe hacer.  Segunda categoría: Una transformación opera sobre una medida para dar lugar a una medida. Tengo 12 canicas. Jugué y ahora tengo 21. ¿Cuántas gané? Ecuación correspondiente: 12 +(x)=21 Pablo tenía 7 canicas antes de empezar a jugar. Ganó 4 canicas. Ahora tiene 11. Pablo acaba de jugar a las canicas, si tenía 41 canicas antes de jugar, ahora tiene 29. ¿Cuántas canicas perdió? 41+(x)=29.

(41) 41 Para estos casos debemos tener en cuenta que las transformaciones pueden ser positivas o negativas, en el segundo caso el valor de la transformación no debe ser mayor al de la medida conocida, porque de lo contrario el resultado no será otra medida. Además el significado de la transformación depende de los términos empleados cuando se plantea la situación. Ecuación correspondiente: 7+ (+4)= 11  Tercera categoría: Una relación une dos medidas. Pablo tiene 8 canicas. Jaime tiene 5 menos ¿Cuántas canicas tiene Jaime? Ecuación correspondiente: 8+ (-5)=3 La información debe ser clara permitiendo establecer relaciones de comparación entre dos medidas.  Cuarta categoría: Dos transformaciones se componen para dar lugar a una transformación. Pablo ganó 6 canicas ayer y hoy perdió 9 ¿Qué se puede decir de lo ocurrido? (+6)+(-9)=-3; perdió tres. He jugado dos juegos de lotería, en el primero gané $19 y en el segundo Gane $7. ¿Cuánto tengo ahora? (+19)+(+7)=+26 En este campo puede verse que los números que se emplean no tienen naturaleza en las cantidades (cardinales) sino que se encuentran anticipados o cargados por un signo, el cual es identificado a partir de la claridad del lenguaje empleado en la situación..

(42) 42  Quinta categoría: Una transformación opera sobre un estado relativo (una relación) para dar lugar a un estado relativo Pablo le debe 6 canicas a enrique. Le devuelve 4. ¿Cuántas canicas debe pablo? (-6) + (+4) = (-2), debe dos canicas. José le debía $6 a Ricardo. Le paga $4, ¿Cuánto le debe? (-6) + (+4) = -2, debe dos Un estado relativo puede ser transformado con facilidad a partir de la información dada..  Sexta categoría: Dos estados relativos (relaciones) se componen para dar lugar a un estado relativo. Pablo le debe 6 canicas a Enrique, pero Enrique le debe 4 canicas ¿Cuántas canicas debe pablo? (-6) + (+4) = -2 Para esta categoría puede verse que un estado relativo es el resultado de múltiples relaciones. Las relaciones de orientación espacial  Relaciones de Orientación: Derecha-izquierda, Arriba-abajo, Delante-detrás. Al niño nada más al nacer, se le observan movimientos inconscientes y reflejos. Esto no implica que éste se oriente y tenga conciencia de su propio cuerpo en el espacio..

(43) 43 Cuando el niño tiene conciencia de su propio cuerpo e imagen, según Linares (1989), coordina movimientos organizando su propio espacio, teniendo en cuenta posibles adaptaciones espaciales (obstáculos que obligan al niño reorganizarse constantemente). Por ello, no se puede comprender la adquisición de un espacio coordinado sin referirnos a la evolución de la percepción del propio cuerpo. Según las posibilidades y necesidades espaciales, el niño se organizará su propio espacio personal y social. Espacio personal: El que ocupa nuestro propio cuerpo; y los espacios internos de éste. Espacio social: Es el espacio que compartimos con otros. También denominado, por algunos autores (Stokoe y Harf, 1984) citados por (Fernández, Mercado, & Sanchez, 2003), como espacio relacional por ser el habitáculo de las intercomunicaciones. Fernández et al. (2003) cita a Bara (1975), quien dice que el niño entiende el espacio en referencia a su propio cuerpo, de tal forma que cuando ubica su cuerpo en una superficie donde hay más personas u objetos, el niño desde su perspectiva de punto central, va organizando el espacio personal y el social y lo va haciendo en la medida que va conociendo sus posibilidades corporales. Las relaciones de localización espacial Localización Espacial: Allí, Aquí, Allá, Acá, Ahí, Entre, Centro (en el), Cerca-lejos, Próximo-lejano. Según Alomar (1994) citado por Fernández et al. (2003) concluyó que una mala orientación en el espacio supondrá la difícil localización del propio cuerpo, y por tanto, se apreciará una irregular organización. La orientación espacial es la aptitud para mantener.

(44) 44 constante la localización del propio cuerpo tanto en función de la posición de los objetos en el espacio como para posicionar esos objetos en función de la propia posición. Esto podemos comprobarlo al realizar una rondada. La dirección es aprobada según Linares (1989) en el niño entre los 3 y 7 años, edad en la que éste es consciente ya de las nociones de orientación; derecha-izquierda, arriba-abajo, delante-detrás. Entre los 3 y 7 años, el niño accede a las nociones de orientación (derechaizquierda, arriba-abajo, delante-detrás). A modo de conclusión se sugieren a tal percepción de la dirección en relación al espacio externo, conceptos tales como los siguientes, en cuanto al tema de la localización espacial: Allí: en aquel lugar, a aquel lugar. Establece el lugar en lejanía de forma precisa. Aquí: en este lugar, a este lugar. Se refiere al lugar exacto. Allá: indica lugar menos determinado que el que denota allí. Advierte, en lejanía, estar junto a. Acá: lugar cercano, aunque no denota precisión como el del adverbio aquí. Determina la proximidad o cercanía a un objeto o persona de forma imprecisa. Ahí: en ese lugar, a ese lugar. Fija lugar exacto. Entre: denota la situación o estado en medio de dos o más cosas. Centro (en el): lugar de donde parten o a donde convergen acciones particulares. Cerca: próxima o inmediatamente a un lugar o a un móvil. Lejos: a gran distancia, en lugar distante o remoto en referencia a algo o alguien..

(45) 45 Próximo: cercano, que dista poco en el espacio o en el tiempo respecto a un móvil o lugar establecido. Lejano: que está lejos en el espacio o en el tiempo en alusión a otro móvil o lugar. Tomando las matemáticas para describir y explorar regularidades y patrones del mundo real, específicamente el número es tomado para expresar una cantidad, desde este punto de vista puede verse que la misma forma en que han sido introducidos los números y las operaciones con los niños en los grados iniciales, se convierten en un obstáculo, muchas veces se plantea una situación o una serie de ejercicios que solamente buscan potenciar el tratamiento aritmético, acudiendo a las representaciones a partir de símbolos para lo cual se hace necesario conocer y aplicar las reglas de ese sistema, sin dar la relevancia que se merece el sistema de representación verbal, puesto que es a partir de esta representación que se han extraído los números y es en estas mismas que se debe dar el significado, empleando un vocabulario acorde al que se emplea en la situación que se ha planteado, para no encontrar con respuestas como la siguiente: tengo -28 cm que Pedro, sino encontrarse con un análisis como el siguiente; me faltan 28 cm para ser igual que Pedro. (Vergnaud, 1991). Las TIC han traído consigo el hecho de intentar responder a las necesidades de las poblaciones en condiciones de diversidad, al tener mejores elementos para la enseñanza se puede integrar la población. No se puede continuar con la idea de principio de homogeneidad, donde muchos estudiantes quedan lejos de lograr procesos efectivos y significativos de aprendizaje, por su misma condición de diversidad, se debe dar paso a la heterogeneidad y la desaparición de discapacidades que puede presentar un sujeto para la comprensión de un concepto. Se espera que todos puedan encontrar el sentido didáctico que.

(46) 46 tiene la incorporación de las TIC en las aulas, y los cambios que estas traen, además de las múltiples posibilidades que estas herramientas poseen para apoyar los procesos de enseñanza y aprendizaje (Abella et al., 2013) Interpretaciones de los números según González et al. (1990) . El número relativo como relación-útil en contextos concretos (fase 1).. Estructura conceptual comparativa. Si se identifican los conceptos clasificatorios con lo cualitativo, y los conceptos métricos con lo cuantitativo, los conceptos comparativos marcan una frontera entre ambos, ya que, permiten diferenciar de forma más precisa que los clasificatorios y constituyen un primer paso en la introducción de los métricos o numéricos. Los conceptos comparativos permitirán relacionar los objetos y las colecciones en relación de determinadas cualidades clasificatorias. Esta relación está constituida por términos duales como (mas - menos), (mayor - menor), etc., que acompañaran a la cualidad comparada, y en la que uno de los objetos, servirá de referencia para el otro.  El número relativo como “medida” o cuantificación de comparaciones y transformaciones. La relación útil. La cuantificación será en un principio binario (relación entre dos). Comparación estática: No hay transformación, se comparan dos cantidades de la misma naturaleza. Comparación dinámica: Conocidos los estados, determinar la transformación..

(47) 47 Conocidos un estado y la transformación, determinar el otro estado.  De la relación-útil a la relación-objeto (fase 2). La transición del contexto “absoluto” de cuantificación, al contexto “relativo”; pasar del número relativo en su acepción de la relación-útil, al número relativo en su acepción de relación-objeto. Las situaciones son las mismas para ambas interpretaciones..  El número relativo como objeto contextualizado (fase 3). El planteamiento didáctico de estas nuevas situaciones, en el que lógicamente se simplifican los trabajos preliminares de fases anteriores, tiene una doble justificación: por un lado, sirven para construir ideas numéricas relativas y fundamentar el trabajo matemático posterior, por otro, son intrínsecamente interesantes desde el punto de vista sociocultural y, por tanto, necesarios desde un enfoque más general (preparación para la vida, formación integral, etc.)  Temperaturas.  Cronologías.  Observaciones de la naturaleza.  Planos y mapas. Planisferio.  Aritmética relativa. El número relativo como objeto, presenta una gran variedad de significados tanto por sí mismo, como ante su funcionamiento operacional.  Estructura aditiva..

(48) 48 Es imprescindible desarrollar procedimientos y técnicas algorítmicas que permitan una manipulación rápida, sencilla y eficaz de las situaciones relativas. Las regularidades y características de dichos procedimientos y técnicas constituirán la base de la estructura aditiva de los números enteros. Se componen dos relaciones de la misma naturaleza, para dar lugar a una relación de igual naturaleza que las compuestas (en lo que se refiere al aspecto cualitativo), en lo que concierne al aspecto cuantitativo se usa la suma natural para llegar al resultado correcto. Lo que no parece tan evidente, es la simbolización del proceso. El resumen se obtendrá en estos casos por medio de procesos de anulación-compensación. Para pasar progresivamente a través de la toma de conciencia de las propiedades típicas de la estructura aditiva, a considerarlas como dos aspectos complementarios de la misma operación, las situaciones aditivas iniciadas con la suma como operación general, se deberán seguir trabajando al mismo tiempo que se introducen situaciones de restas. En este caso, se trata de actividades menos frecuentes, más rebuscadas, pero no por ello, menos significativas y “normales” que las correspondientes a la suma.  Del número relativo al número entero. Segunda descontextualización. Se han de detectar y explicitar aún, las regularidades que van a permitir la comunicación de los conceptos, la validación formal posterior de los mismos y su consiguiente institucionalización.  El número entero como útil matemático. Recta numérica: movimientos, vectores, resolución gráfica de ecuaciones lineales, etc..

(49) 49 Resolución algebraica de ecuaciones. Representaciones graficas de funciones.  El número entero como objeto matemático. Múltiples conexiones y relaciones del tema, con otros conocimientos matemáticos ya construidos, con la intención de situar esta construcción teórica, en el lugar adecuado dentro del “edificio matemático”. POBLACIÓN CIEGA De acuerdo con lo planteado por León et al. (2013), aunque Colombia ha avanzado con los procesos de inclusión para las poblaciones con limitación visual, actualmente no se cuenta con la cobertura suficiente, además la forma en que son estigmatizadas las personas que presentan este tipo de limitación de forma intelectual y social. No obstante la falta de oportunidad para un acceso oportuno en la educación gradual básica, en gran medida por la no capacitación adecuada de los profesores; no consiste solamente en garantizar el acceso a una persona con limitación visual a la educación sino también la permanencia de éste en el sistema como lo manifiesta (Calderón et al. 2010) citado por León et al. (2013) favoreciendo el fortalecimiento del lenguaje en la actividad comunicativa. A partir de lo planteado por la ley general de educación de Colombia (1994), la educación es asumida como una función social en la que se deben tener en cuenta las necesidades y los intereses de las personas en una sociedad, fundamentada desde la constitución política en la cual se debe garantizar el derecho a la educación. De acuerdo con el artículo 67 de la constitución política de Colombia en la que se define la prestación.