CAPITULO 2 MODELAJE DE LOS DISPOSITIVOS PASIVOS

CAPITULO 2

MODELAJE DE LOS DISPOSITIVOS PASIVOS

2.1.

Introducción

En este capítulo se analizan los modelos de alta frecuencia de los dispositivos pasivos (R, L,

C) en cuanto al comportamiento en frecuencia de la impedancia o admitancia, el factor de calidad (o disipación) y se dan algunas bases para la escogencia adecuada de cada uno de

ellos; se describe además el comportamiento de la resistencia con respecto al ruido.

Se incluye la simulación del comportamiento en frecuencia mediante el uso de software

de simulación (Spice y Mathcad), con modelos cuyos elementos tienen valores estimados y

que realmente deben ser medidos en el laboratorio para lograr resultados acordes con el

comportamiento real.

Se plantean modelos equivalentes en serie y en paralelo de la bobina y el condensador,

los cuales son útiles en el análisis de los circuitos de acoples de impedancias y al final del

capítulo se presentan algunas fórmulas para el cálculo aproximado de bobinas con núcleo de

aire.

2.2.

Modelaje de dispositivos pasivos

Los dispositivos pasivos reales tienen un comportamiento que se aleja del ideal usado en el

análisis de circuitos, principalmente en alta frecuencia, donde el desempeño de estos se aparta

de lo esperado. Kielkowski1 describe detalladamente la construcción de los modelos

aproximados en alta frecuencia de los elementos pasivos. A continuación se analiza el

modelo de cada elemento por separado.

2.2.1.

Resistencia

Es un dispositivo de dos terminales que genera una diferencia de potencial entre ellos

proporcional a la corriente que lo atraviesa. 𝑉 = 𝑅 ∗ 𝐼.

La constante de proporcionalidad R se llama resistencia y se da en Ohm,

 

La figura 2.1 muestra un resistor cilíndrico, el cual tiene una resistencia dada por:

𝑅 = 𝜌𝐿 𝐴⁄ con , A: uniformes.

𝑅 = ∫₀𝐿𝜌(𝑥)_𝐴(𝑥)𝑑𝑥, con , A: variables.

Donde:

R: Resistencia,

 

: Resistividad,





L: Longitud de la resistencia,

 

A: Area transversal,

 

Figura 2.1. Resistencia cilíndrica.

L



A

2.2.1.1.

Modelo en alta frecuencia

Al incrementar la frecuencia desde 0 Hz se observa que el dispositivo deja de ser un elemento

resistivo y pasa a ser una impedancia compleja. La figura 2.2 muestra el modelo de la

resistencia en alta frecuencia.

Figura 2.2. Modelo del resistor en alta frecuencia y circuito equivalente serie.

 

 

 

Z  

Donde:

 

Z : Impedancia compleja a la frecuencia .

 

R : Parte resistiva de Z

 

 

X : Parte reactiva de Z

 

 

_

_

_

_

_





_

_



_



1

C

1

1

C R C

L

R C

L L

j C

R C

L R Z

 

 

 



 

 

 

 

 El capacitor C modela la capacitancia distribuida que hay entre las distintas espiras de alambre en resistencias de alambre devanado y al cuerpo del resistor en sí.

 También se da una capacitancia por efecto “Boella”, por capacitancia intergranular en las

resistencias de carbón.

 La bobina L modela la inductancia que aparece por tener un conductor enrollado por el que circula una corriente variable. Es relativamente grande en resistencias de alambre

R

L C

 

devanado y puede llegar a predominar al subir la frecuencia, por esta razón en alta

frecuencia se prefieren resistores de carbón.

El comportamiento de la impedancia del resistor desde el punto de vista de la frecuencia en

rangos bajos y medios se observa en la figura 2.3 y, como se puede ver allí las resistencias

altas decaen en su valor más rápidamente que las de bajo valor, por lo tanto es aconsejable

utilizar resistencias pequeñas.

Figura 2.3. Variación de la resistencia con la frecuencia sin considerar el efecto skin.

A frecuencias altas la resistencia se incrementa por el efecto piel (Skin) ya que se reduce el área de conducción:

 





  

 2

1

2 DC 1

R r

R  

Donde:

o m

k 

 

: Permeabilidad del material que rodea al conductor,





1 105 1 106 1 107 1 108 1 109

0 0.5 1

Rdc = 300 Ohm C = 5 pF L = 20 nH Rdc = 1 KOhm

Rdc = 10 KOhm

Frecuencia (Hz)

R

es

is

te

nc

ia

nor

m

al

iz

ada

Re Z 1(2..f) 300 Re Z 2(2..f)

1000 Re Z 3(2..f)

10000

m

k : Permeabilidad relativa.

o

 : Permeabilidad en el vacío,





 : Conductividad del material,

 

r: Radio del conductor,

 

: Frecuencia,





DC

R : Resistencia de frecuencia cero,

 

En la curva que muestra la variación de la resistencia por efecto skin de la figura 2.4 se emplearon los siguientes datos:



 1K

DC R

m H 10 256637 .

1

   6

o  

cm 2 . 0 

r

cm 1 L 

Figura 2.4. Variación de la resistencia con la frecuencia por efecto skin.

Además:

0 2 108 4 108 6 108 8 108 1 109

1000 1500 2000 2500 3000

Rdc = 1 KOhm

Frecuencia (Hz)

R

es

is

te

nc

ia

R(2..f)

1

  

L  RDC A



2

r A   Con:

A: Area de la sección transversal,

 

m .

L: Longitud del resistor,

 

 

 

L

ext

DC A t

R t 



 

 

1

t t

  







 



  



 _{  }



 2

1 2 DC 1

, t R t t

R

Donde t es el espesor del cilindro conductor en

 

En la figura 2.6 se observa la variación de la resistencia para distintas razones t d, y se puede concluir que la resistencia varía menos con la frecuencia para razones t d bajas y por tanto se justifica usar resistores huecos.

t

d

r

ext

A

int A

Figura 2.5. Cálculo del efecto skin en un resistor cilíndrico.

De la figura 2.5:





int r t

A   

int ext r2 A

A   





r  r  t







t 2

 







Figura 2.6. Variación de la resistencia por efecto skin para distintas relaciones t d.

2.2.1.2.

Simulación en Spice

En la figura 2.7 se presenta el circuito usado en Spice para observar el comportamiento de

un resistor ideal con la frecuencia, la figura 2.8 muestra este comportamiento.

Figura 2.7. Circuito con resistor ideal para simulación en Spice.

0 2 1 08 4 1 08 6 1 08 8 1 08 1 1 09 1 00 0

1 50 0 2 00 0 2 50 0 3 00 0

t / d = 0.5 t / d = 0.25 t / d = 0.125 t / d = 0.005

Frecu en cia (Hz)

R

es

is

te

n

ci

a

R(2..f,1 r.) R(2..f,0 .5 r.) R(2..f,0 .2 5 r.) R(2..f,0 .0 1 r.)

f

in

V

.



K 1

0 1



K 1

1

Figura 2.8. Impedancia vs frecuencia de un resistor ideal.

Las figuras 2.9 a 2.14 enseñan un modelo más realista para varios valores de resistencia

y su respectivo comportamiento en frecuencia.

Figura 2.9. Circuito para simulación en Spice de un modelo de alta frecuencia de la resistencia con

 300

DC

R .

in

V

1

1

R 300

1

L 20nH

1

C 5pF

2

Figura 2.10. Impedancia de un resistor real vs frecuencia sin incluir el efecto skin, para R_DC  300.

Figura 2.11. Circuito para simulación en Spice de un modelo de alta frecuencia de la resistencia con 

 1K

DC

R .

in

V

1

1

R 1K

1

L 20nH

1

C 5pF

2

Figura 2.12. Impedancia de un resistor real vs frecuencia sin incluir el efecto skin, para R_DC  1K.

Figura 2.13. Circuito para simulación en Spice de un modelo de alta frecuencia de la resistencia con 

10K

DC

R .

Figura 2.14. Impedancia de un resistor real vs frecuencia sin incluir el efecto skin, para R_DC  10K.

2.2.1.3.

Ruido térmico

Un problema asociado con los resistores es el ruido térmico producido por el movimiento

aleatorio de electrones libres excitados térmicamente en una red cristalina.

in

V

1

1

R 10K

1

L 20nH

1

C 5pF

2

La corriente media que cruza una sección del material es cero debido a que no hay

campo aplicado al resistor pero la corriente instantánea (y por tanto la corriente eficaz) es

diferente de cero.

La densidad espectral de potencia del ruido térmico y su función densidad de

probabilidad se muestran en la figura 2.15.

Figura 2.15. Densidad espectral del ruido térmico y su respectiva función densidad de probabilidad.

La densidad espectral de potencia del ruido térmico S_n

 

 

2

kT S_n  

Donde:

k: Constante de Boltzmann, 1.381023 J K. T : Temperatura en grados Kelvin.

La densidad espectral de potencia es plana hasta unos 4000 GHz.

La función densidad de probabilidad fdp

 

 

2 2

2

1  

  

x

e x

fdp

Con:

B

2

 2B 

 

S fdp

 

2

 : Varianza del ruido,

 

: Valor rms de ruido,

 

La potencia media de ruido:

 

S P

B

B B

B

n

4 2

1

2

2 2

2

 

 

  



 

 

 



4 4

2 2

n

n R i

R v

 

Donde:

R: Resistencia,

 

B: Ancho de banda del medidor de potencia,

 

n

v : Voltaje cuadrático medio de ruido,

 

2

n

i : Corriente cuadrática media de ruido,

 

Por tanto, el modelo desde el punto de vista de ruido del resistor es como se muestra

en las figuras 2.16 y 2.17.

 Como fuente de voltaje en serie con resistor:

Figura 2.16. Circuito equivalente serie de un resistor desde el punto de vista del ruido térmico.

El valor cuadrático medio de ruido está dado por:

T R,

n

V K 0 ,

B TR k v_n2  4

Con:

R: Resistencia,

 

T : Temperatura del resistor en grados Kelvin.

k: Constante de Boltzmann, k  1. 3806  1023 J K.

B: Ancho de banda,

 

 Como fuente de corriente en paralelo con una conductancia:

Figura 2.17. Circuito equivalente paralelo de un resistor desde el punto de vista del ruido térmico.

La corriente cuadrática media:

kTGB i_n2  4

En donde, G es la conductancia en Siemens,

 

Las reactancias ideales (bobinas y condensadores) no generan ruido térmico ya que no

hay electrones libres en un capacitor ideal y no hay red cristalina (resistividad) en una bobina

ideal. En la práctica todos los dispositivos pasivos generan ruido por la presencia de

elementos parásitos.

T

R, In ,0K

1

 Resistencias equivalentes serie y paralelo

Como el ruido es aleatorio y no correlacionado, la contribución de cada elemento resistivo al

ruido total se halla con base en la adición de potencias de ruido individuales.

Si se tienen dos resistencias en serie como muestra la figura 2.18, se pueden calcular la

resistencia serie equivalente y la temperatura equivalente, así:

Figura 2.18. Circuito equivalente serie de dos resistores en serie desde el punto de vista del ruido térmico.

B R T k v_n2₁  4 _{1 1}

B R T k v_n2₂  4 _{2 2}

2₁ 2₂

2

n n

n v v

v  





_{1 1 2 2}

2

B R T k R

T k

v_n  

B R T k

v_n2  4 _{eq eq}

2 1

2 2 1 1

R R

R T R T T_eq

  

2 1

R R

R_eq  

2 2,T

R

eq n V

1 1,T

R

K 0 ,T R_eq

eq eq T

R ,



Figura 2.19. Circuito equivalente serie de dos resistores en paralelo desde el punto de vista del ruido térmico.

Similarmente, si se tienen dos resistencias en paralelo como muestra la figura 2.19, se

pueden hallar la conductancia paralela equivalente y la temperatura equivalente de la

siguiente forma:

B G T k i_n2₁  4 _{1 1}

B G T k i_n2₂  4 _{2 2}

2₁ 2₂

2

n n

n i i

i  





_{1 1 2 2}

2

B G T k G

T k

i_n  

B G T k i_n2  4 _{eq eq}

2 1

2 2 1 1

G G

G T G T T_eq

  

2 1

G G

G_eq  

Estos resultados pueden generalizarse para arreglos más complejos.

El ruido térmico es más notorio en resistores de alambre devanado y resistencias de

capa metálica.

eq eq T G ,

2 2,T

R I_neq

1 1,T

R

K 0



T G_eq

2.2.2.

Capacitor

Es un dispositivo que consiste en dos electrodos y un dieléctrico de por medio. Almacena

carga eléctrica en los electrodos al aplicar una diferencia de potencial entre ellos. La cantidad

de carga almacenada es proporcional a la diferencia de potencial aplicada, a la constante de

proporcionalidad se le llama capacitancia C.

Cumple con la siguiente relación:



 idt

C v 1

O sea, 𝑄 = 𝑐 ∗ 𝑉, con Q cantidad de carga almacenada en

 

Para un capacitor de placas paralelas, la capacitancia es función del área compartida por

las placas, su separación y el tipo de dieléctrico (caracterizado básicamente por su

permitividad):

𝑐 =𝜀 ∗ 𝐴 𝑑 =

𝑘_𝑒𝜀₀ 𝑑

Donde:

c : Capacitancia,

 

A: Area compartida entre las placas,

 

d: Distancia entre las placas,

 

  



  

36 0 1 m F 10 854188 .

8

9 12

0

e

k : Permitividad relativa.

2.2.2.1.

Modelo en alta frecuencia

En baja frecuencia el capacitor presenta un comportamiento cercano al ideal, pero debido a

de ser pequeños, modifican su comportamiento en alta frecuencia, es necesario tenerlos en

cuenta y para ello se usa un modelo de capacitor como el mostrado en la figura 2.20.

Figura 2.20. Modelo del capacitor en alta frecuencia.

l

R : Resistencia asociada a los electrodos y a los terminales.

l

L : Inductancia asociada a los electrodos y a los terminales.

G: Conductancia de fugas del dieléctrico.

c

C : Capacitancia parásita asociada a las puntas, al soporte de los electrodos y a la caja.

El modelo de la figura 2.20 puede representarse por un circuito equivalente más simple

que cumpla las mismas relaciones voltajecorriente a su entrada como el de la figura 2.21.

 

 

_{ }

     

s s

C j R

Z

Con:

 

R : Resistencia serie equivalente variable con la frecuencia.

 

C : Capacitancia serie equivalente variable con la frecuencia.

c

C 1

l

R

G

1

l

L

2

l

R L_l2

Figura 2.21. Circuito equivalente serie del capacitor.

En la figura 2.20 la impedancia de entrada está dada por:

 





 





 





















c l c c s C C C C G L C C G C C C 1 1 ₂ 2 2 2 2 2                   

La frecuencia en la cual la parte reactiva se hace cero se denomina frecuencia de

autoresonancia y está dada por:









Si se tiene que:





Entonces:

  











s C C L C C

C       para   _r





Para reducir las inductancias parásitas, en altas frecuencias se usan capacitores con

dieléctrico de mica, cerámica, vidrio o aire y no se usan capacitores que tengan sus electrodos

enrollados debido a su alta inductancia, además se trabaja por debajo de la frecuencia de

autoresonancia.

La variación de la capacitancia con la frecuencia,

_

 

_

se muestra en la figura

2.22 y está dada por la siguiente ecuación:

 









2 2 _               r c l c

s _{L C C}

C C

C

Figura 2.22. Variación de capacitancia vs frecuencia para dos capacitores diferentes.

El factor de disipación, D_

 

1 105 1 106 1 107 1 108 1 109

1 10 7 1 10 6 1 10 5 1 10 4 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1 103 1 104

C = 100 pF, Cc = 1 pF, Ll = 20 nH C = 1000 pF, Cc = 5 pF, Ll = 40 nH

Frecuencia (Hz) % de V ar ia ci ón de l a C apa ci ta nc ia

_{C s1(}2..f) C 1 C c1

_{C s2(}2..f) C 2 C c2

 









c c

l

C C

G C

C R D

   

  



A medida que D_

 

A muy altas frecuencias las pérdidas crecen con la frecuencia por el efecto skin:

 

R_l  

y por tanto el factor de disipación crece con la frecuencia, como se muestra en la figura 2.23,

así:

 

D_  

Figura 2.23. Factor de disipación en función de la frecuencia para dos capacitores diferentes.

2.2.2.2.

Simulación en Spice

En la figura 2.24 se presenta el circuito usado para modelar un condensador de 1nF (Con

valores de los elementos parásitos supuestos). En la figura 2.25 se aprecian los valores de la

impedancia con la frecuencia de este modelo.

1 1 05 1 1 06 1 1 07 1 1 08 1 1 09

1 1 04 0 .0 01

0 .0 1 0 .1 1 1 0

C = 100 pF, Cc = 1 pF, Ll = 20 nH, Rl = 0.1 Ohm, G = 1 uS C = 1000 pF, Cc = 5 pF, Ll = 40 nH, Rl = 1 Ohm, G = 10 uS

Frecu en cia (Hz)

F

ac

tor

de

D

is

ipa

c

ión

D_1(2..f) D_2(2..f)

Figura 2.24. Circuito para simulación en Spice de un capacitor real con C 1nF.

Figura 2.25. Impedancia vs frecuencia de un capacitor real con C 1nF.

De manera similar, en las figuras 2.26 y 2.27 se analiza el modelo de un capacitor de 1F.

Figura 2.26. Circuito para simulación en Spice de un capacitor real con C  1F.

in

V

1 R1



M 10

1

L

nH 50

1

C

nF 1

2

0 3



1 . 0

2

R

in

V

1 R1

 M 10 1

L

nH 50

1

C

F 1

2

0 3

 1 . 0

2

Figura 2.27. Impedancia vs frecuencia de un capacitor real con C  1F.

2.2.2.3.

Modelos serie y paralelo equivalentes

En el análisis de circuitos en algunas ocasiones es conveniente transformar un circuito en

otro equivalente para simplificar dicho análisis. Un circuito es equivalente a otro si cumple

las mismas relaciones voltajecorriente a su entrada en todo el rango de frecuencias de interés. En las figuras 2.28 y 2.29 se presentan los modelos serie y paralelo equivalentes de

un condensador con pérdidas.

 Modelo Serie:

Figura 2.28. Modelo equivalente serie de un capacitor y su respectivo diagrama fasorial.

 

s

C

 

I

 

R

 

r V

 

Z

 

V

 

r V

 

V

 

I

 

La impedancia de entrada de este circuito:

 

 

 

 Modelo Paralelo:

Figura 2.29. Modelo equivalente paralelo de un capacitor y su respectivo diagrama fasorial.

La admitancia de entrada de este circuito:

 

 

 

Y

Con:

 

p

G : Conductancia paralela equivalente.

 

p

C : Capacitancia paralela equivalente.

Ambos modelos son equivalentes, es decir,

 

 

 

   

 

 

 _{p p}

s s

s _{G j C}

C R j C j Z Y 1 1

 



 



 

   





 

 

   





 

 

 

 

 

 

 

 

I I

 

 

También:

 

 

 

 

 

 

p j C

R C j G Y Z O sea:

 

 

 



 



2 _{   }

   p p s C G G R p

 

 

 

_{ }

Las ecuaciones anteriores se pueden expresar en términos del factor de calidad del

capacitor definido como:

𝑄 = 2𝜋 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑎𝑙𝑚𝑎𝑐𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜

Este factor indica qué tan bueno es el capacitor, ya que compara la energía que almacena

con la energía que él disipa. Idealmente el capacitor no disiparía energía y por tanto su factor

de calidad sería infinito pero en la realidad este factor es finito.

 Modelo Paralelo:

 

 

 

R V V C Q p p p 2 1 2 1 2 2 2 máx máx         _   

   

 C_p R_p

 Modelo Serie:

 

 

 

R V C Q s s s 2 1 2 1 2 2 2 máx máx c         _   

 

c  _{ }

s C j I V

 

 

 

 

 

 

R I R C I C Q s s s s s 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 máx máx                 

   

 

 

Reemplazando en las fórmulas de equivalencia, se tiene:

 

 

 

R_s p

 

 

 

 1 1

2 Q C

C_{s p}

 

 



 



R_{p s}

 

 

 

2.2.3.

Inductor

Conductor que genera un flujo magnético al atravesarlo una corriente o viceversa, genera una

diferencia de potencial entre sus extremos al atravesar un flujo magnético variable con el

tiempo. La relación entre el potencial en sus extremos y la corriente está dada por:

𝑣 = 𝐿𝑑𝑖 𝑑𝑡

L: Auto inductancia,

 

2.2.3.1.

Modelo en alta frecuencia

En baja frecuencia el inductor presenta un comportamiento similar al ideal, pero debido a

que tiene elementos parásitos (inductancias, capacitancias y resistencias) en alta frecuencia

su comportamiento cambia, lo cual se modela con un circuito como el de la figura 2.30.

Figura 2.30. Modelo de alta frecuencia de un inductor.

0

L : Inductancia de frecuencia cero,

 

e

G : Representa las pérdidas en los materiales dieléctrico y magnético,

 

0

C : Capacitancia distribuida,

 

c

R : Resistencia del conductor,

 

 









DC 1

R r

R_c    

c

R

0 L

e

Donde:

o m

k 





: Permeabilidad del material que rodea al conductor,





m

k : Permeabilidad relativa.

o

 : Permeabilidad en el vacío,





: Conductividad del material conductor,

 

 

: Frecuencia,





DC

R : Resistencia de frecuencia cero,

 

El efecto skin se reduce aumentando la conductividad del material (plateado del conductor), construyendo la bobina con varios hilos aislados entre sí (hilos de Litz), lo que

aumenta el área efectiva o usando conductores planos.

La capacitancia se reduce haciendo que los devanados entre capas sean ortogonales

(trefilado) como se muestra en la figura 2.31 y separando las capas con aislante de papel.

Figura 2.31. Bobina con devanado trefilado.

Se puede reducir el modelo de la figura 2.30 a un modelo serie equivalente simple como

el de la figura 2.32, con:

 

 

 

Donde X_s

 

 

Figura 2.32. Modelo equivalente serie del inductor.

 









2 0 2 0 0 2 2 0 2 e e c s G L C L G L R R        

 













1 2 0 2 2 0 0 2 0 e o o s G L C L C L L L        

Igual que con el capacitor, existe una frecuencia llamada frecuencia de autoresonancia

 

el inductor es un capacitor en serie con una resistencia.

Si se cumple que:





Entonces la variación relativa de la inductancia está dada por:

 

         r o s f f L L

Con la misma suposición, la frecuencia de autoresonancia es:

El factor de disipación magnética, D_m

 

medida que D_m

 

Teniendo en cuenta nuevamente que





 









1

1

0 2

2

0 2

C G f

f f f L

R f

f

D e

r r c

m

r  

      

  

          

El factor de calidad es el inverso del factor de disipación, su comportamiento se muestra

en la figura 2.33.

 

 

 



m m

D Q

Figura 2.33. Factor de calidad vs frecuencia de un inductor.

0 1 107 2 107 3 107 4 107 5 107 6 107

0 2000 4000 6000

Co = 10 pF, Lo = 1 uH, Rc = 0.1 Ohm, Ge = 0.1 uS

Frecuencia (Hz)

F

ac

tor

de

c

al

ida

d

Q m( )f

2.2.3.2.

Simulación en Spice

La figura 2.34 presenta el circuito usado en Spice para modelar un inductor de 10H con

elementos parásitos (de valores supuestos). Las figuras 2.35 y 2.36 muestran el

comportamiento en frecuencia de su impedancia.

Figura 2.34. Simulación de un inductor real en Spice.

in

V



1 . 0

0

R



M

10 G_{e 5pF}

0

C 10 H

0 2 1

0

Figura 2.35. Impedancia de un inductor vs frecuencia.

Figura 2.36. Impedancia de un inductor vs frecuencia (Expandida).

2.2.3.3.

Modelos equivalentes

Similarmente al caso del capacitor, en las figuras 2.37 y 2.38 se plantean dos modelos

equivalentes de la bobina con pérdidas.

 Modelo Serie:

Figura 2.37. Modelo equivalente serie de un inductor.

En donde:

 

 

 

Z

 

s

R

 

I

 

r

V

 

l

V L_s 

 

V

 

 Modelo Paralelo:

Figura 2.38. Modelo equivalente paralelo de un inductor.

En donde:

 

 

 

Ambos modelos son equivalentes, o sea:

 

_{ }

 

 



 R_s j L_s

Y

Z 1

 

 

_{ }

 



 



 

   





 

 

   





 

 

 

 

 

 

s j L

R

 

 

 



 



   s s s p L R R G

 

 

 

 

 

 

Ambos modelos se pueden relacionar usando el factor de calidad, así:

 Modelo Serie:

 

 

 

 

 

 Modelo Paralelo:

 

máx máx

2 1

L I_L

E  _p 

 

_{ }

 

E L

2 1 2 2 máx máx

 

 

 

 

 

 

 

Reemplazando, se tiene:

 

 

 

 

 

 

2 _

  



Q L

L_s p

2.2.3.4.

Diseño de bobinas

Normalmente las bobinas usadas en radiofrecuencia son de núcleo de aire o de ferrita ya que

otros tipos de núcleos no responden adecuadamente a dichas frecuencias. El diseño de

bobinas se hace con fórmulas desarrolladas empíricamente:

 Bobinas de núcleo de aire de capa simple:

L 10 9 394 . 0

2 2

 

r N r L

Con:

L: Inductancia,

 

N: Número de espiras.

r: Radio medio de la bobina,

 

 

Esta fórmula da resultados precisos hasta el 1% para bobinas largas. _

  

 

 r

3 2

L .

 Bobinas cortas con núcleo de aire:

L 10 L 5 9

394 . 0

2 2

    



 _



r r

N r L

Con:

L: Inductancia,

 

N: Número de espiras.

L: Longitud de la bobina,

 

Esta fórmula proporciona resultados precisos hasta el 2%. _

  

 



 r

r

3 2 L 10

.

 Bobinas de capas múltiples:

10 L 9 6

315 . 0

2 2

d r

N r L

  

Figura 2.39. Bobina de capas múltiples.

Con:





2

2

1 r

r

r  

r: radio,

 

L: Inductancia,

 

0 d n

d  ,

 

n: Número de capas.

0

d : Calibre del alambre,

 

N: Número de espiras.

L: Longitud de la bobina,

 

 Inductancia de un alambre recto no magnético:

L

d

2

r

1

r

d d

L 0.002L 2.3log 4L 0.75 _, L 

  

 

   

 

 

Con:

L: Inductancia,

 

d: Calibre del alambre,

 

 

Ejemplo:

Si se tiene un alambre #22 𝐴𝑊𝐺 de 1.25cm, entonces:





4 05 . 0

 

d

cm 25 . 1 L

Luego:

H 011 . 0

 

BIBLIOGRAFIA

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