MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Actividad N°1

Prof: Aníbal Lepratte –Andrea Pérez Página 1

MATEMATICA

REPARTIDO Nº5

MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Actividad N°1

Emplea el concepto de promedio que tu tienes y calcúlalo en cada caso:

Calificaciones de las evaluaciones escritas de dos alumnos durante el año 2015 en matemática: Lucas 4 , 6 , 8 , 10 , 7 , 8 , 8 , 10

Milena 8 , 5 , 7 , 10 , 8 , 9 , 8 , 9 , 9

Actividad N°2

Los siguientes cuadros de datos muestran el número de caries detectadas en pacientes de dos centros de salud bucal.

Centro 1 Centro 2 N° caries 0 1 2 3 4

N° personas 5 7 9 4 1

a) indica el número de personas registradas en cada centro.

b) realiza un diagrama de barras comparativas empleando frecuencias relativas. c) ¿cuál fue el promedio de caries registradas en cada centro?

Llamaremos promedio o media (x) al cociente entre la suma de todos los datos estadísticos y el número

total de observaciones.

N

f x f

x f x

x 1. 1 2. 2 .... n. n

Si los datos están ordenados en tablas con intervalos se toma como representante del intervalo a la marca de clase por lo que en la fórmula de media aritmética se sustituye x_i por 𝑚𝑖.

Actividad N°3

En un reconocimiento médico que se ha realizado en un grupo de 30 niños, uno de los datos que se han tomado ha sido el peso, en kilogramos, de cada uno, obteniendo los siguientes resultados:

26 , 27 , 40 , 35 , 26 , 36 , 34 , 37 , 26 , 39 , 25 , 25 , 27 , 33 , 34 , 30 , 28 , 24 , 35 , 27 , 30 , 33 , 27 , 40 , 24 , 27 , 29 , 28 , 27 , 34

a) Haz una tabla de frecuencias, agrupando los datos en intervalos de longitud 3, empezando en 24. b) Calcula el promedio de los pesos de los niños del grupo.

Actividad N°4

Para las actividades 1 y 2 indica cuál ha sido el valor de la variable que tiene la mayor frecuencia.

Llamaremos moda (Mo) al dato estadístico de mayor frecuencia. Si existe una sola se dice que la

distribución es unimodal, pero puede ser bimodal o multimodal.

Cuando se tienen los datos organizados en una tabla con intervalos, hablaremos de intervalo modal y éste es el que tiene el mayor valor de frecuencia absoluta.

Calcula la moda para los datos dados en la actividad N°3

Prof: Aníbal Lepratte –Andrea Pérez Página 2 Actividad N°5

Considera los datos de la actividad 1, ordena los datos en forma creciente (o decreciente) y busca el valor central de la variable, en caso que haya dos valores centrales haz su promedio.

Si ordenamos en forma creciente o decreciente los datos estadísticos, llamaremos mediana (Me) al valor

central de la serie, si el número de datos estadísticos es impar (lugar de la mediana 𝑁+1₂ ), de lo contrario

realizamos el promedio de los valores centrales.(lugar de los datos centrales𝑁

2 𝑦 𝑁 2 + 1)

Cuando se tienen los datos organizados en una tabla con intervalos la mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada relativa llega al 0,5. Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre 𝑁

2

Para la actividad 3 calcula el intervalo que contiene la mediana.

El promedio, la moda y la mediana son llamadas medidas de centralización. ¿Estas medidas pueden calcularse trabajando con cualquier tipo de variable?

¿Es la media, la moda, y la mediana un dato estadístico siempre? Explica tu respuesta.

Observaciones

 Cuando los valores están agrupados en torno de la media aritmética, ésta es representativa del conjunto de datos.

 Cuando se tiene una distribución con datos que están bastante alejados de la media aritmética, es conveniente para representar al conjunto de datos, emplear alguna de las otras medidas de centralización.

EJERCICIO N°1

Calcula la media aritmética, la mediana y la moda.

Se analizó el IVA que se aplica, en diversos países europeos, a la compra de obras de arte. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

España 16% Italia 20% Bélgica 6% Holanda 6% Alemania 7% Portugal 17% Luxemburgo 6% Finlandia 22 %

EJERCICIO N°2

La licenciada Hortencia Flores es dueña de una moderna oficina de equipamiento. Los pedidos promedio (en miles de U$S) correspondientes a 28 clientes son:

25 30 35 40 30 32 56 64 20 24 27 20 50 33 34 32 43 44 24 26 56 69 22 23 31 28 52 33

a- Determina la población y la variable.

b- Agrupa en intervalos de amplitud 10 comenzando con el valor 20 c- ¿qué porcentaje de clientes hacen pedidos menores que U$S 50000

Prof: Aníbal Lepratte –Andrea Pérez Página 3 EJERCICIO Nº 3-

La siguiente tabla refleja el número de aciertos en los blancos(1,2,3,4,5,6), al lanzar un dardo 200 veces.

Determina los valores de a y b sabiendo que la media de los blancos acertados fue 3,51.

EJERCICIO N°4

Las siguientes distribuciones corresponden a las notas obtenidas por los alumnos de dos clases en un examen final donde las calificaciones son del 1 al 10. Calcula la media aritmética en ambas distribuciones. ¿Qué observas?

Clase A Clase B

i

x f xi f

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9 9

10 10

33 33

Para obtener una idea más completa de la distribución de frecuencias, además de las medidas de centralización es necesario conocer la forma de dispersión de los datos, es decir la desviación con respecto a los datos centrales. Como el dato más usado es el promedio los desvíos se miden con respecto a él.

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Se llama Varianza al promedio de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con

respecto a la media

N f x

x _i



 ( ) . 2 2



Blanco Repeticiones

1 35

2 36

3 35

4 a

5 b

6 30

Rango: Es la diferencia entre el valor mínimo y máximo de la variable

Se llama desvío de un valor de la variable a la diferencia entre el dato estadístico y el promedio.

_ x xi 

La desviación típica (desviación estándar) es la raíz cuadrada de la varianza

La desviación típica expresa lo que, por término medio, se desvían los datos del promedio.

La desviación típica o estándar de una población se calcula:

N f x

x i



 ( ) . 2

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Se utiliza para relativizar la desviación típica al valor de la media, para poder compararlas con otras desviaciones típicas

El CV suele darse en porcentaje: 𝐶𝑉 =𝜎

𝑥 . 100. Tomaremos que un CV mayor del 30% indica que la media es

poco representativa.

EJERCICIO N°5

Halla la dispersión en relación a la media aritmética (desviación típica) del peso en Kg de un conjunto de Leones y de Perros. Para dicha investigación se brindan los siguientes valores:

X  “Peso de los Leones” X= 200, 250, 190, 290, 270 Y  “Peso de los Perros” Y 





-EJERCICIO

Ordena de mayor a menor las desviaciones típicas de las siguientes gráficas de frecuencia con respecto a 𝑥 .Ten en cuenta que a mayor desviación típica más alejado del promedio están los valores de x

EJERCICIO N°7

Los sueldos mensuales (en miles de pesos) de los 11 empleados de un almacén son los siguientes: 10 10 20 8 8 8 45 34 50 8 8

a) Calcula las medidas de tendencia central con los datos desagrupados.

b) Suponiendo que al empleado mejor pago, se le aumenta el sueldo a 105 mil pesos, ¿Cuáles son los nuevos valores de la media, mediana y moda?

c) ¿Cuál de las medidas media o mediana te parece que representa mejor al conjunto de datos?. Justifica

EJERCICIO N°8

a) Una persona dispone de 75.000 dólares para comprar una casa y sabe que la media del precio de 5 casas es 110.000 dólares. ¿Podrá tomar una decisión para comprar?. ¿Porqué?

b) Si además sabe que la mediana es 70.000 dólares ¿Podrá tomar una decisión para comprar?. ¿Porqué? Coeficiente de variación: es la desviación típica sobre la media

Prof: Aníbal Lepratte –Andrea Pérez Página 5 EJERCICIO N°9

Se realizó un estudio para determinar los niveles de hemoglobina (Hb) en sangre de lactantes de 3 meses de edad, alimentados exclusivamente a pecho materno. Se obtuvieron los siguientes valores en porcentajes(gr/dl)

10,2 ; 12,3 ; 12,3 ; 10,4 ; 10,6 ; 10,6 ; 11,1 ; 11,7 ; 11,6 ; 11,3 ; 11,3 ; 11,4 ; 8,9 ; 10,6 ; 11,3

a- Indica la variable y clasifícala.

b- Calcula la moda, la media y la mediana.

c- Calcula la desviación estándar y decide si la media es representativa del conjunto de datos d- Calcula el porcentaje de valores que están por debajo de la media

EJERCICIO N°10

Se han registrado las ventas de un comercio, durante 30 días siendo los resultados en miles de pesos:

a) Ordena los datos en una tabla de distribución de frecuencias con 5 intervalos de igual amplitu comenzando por el menor valor .

b) Calcula la Media y el coeficiente de variación.

c) Realiza un histograma y el polígono de frecuencias absolutas.

POLIGONO DE FRCUENCIAS

Polígono de frecuencia es el nombre que recibe una clase de gráfico que se crea a partir de un histograma de

frecuencia. El polígono de frecuencia es realizado usando la marca de clase que tiene coincidencia con el punto medio de las distintas columnas del histograma y se unen los puntos medios de mayor altura de estas columnas.

La poligonal es usada habitualmente cuando se desea comparar varias distribuciones distintas.

En el polígono de frecuencia del ejemplo, se observa el número de días en los que se registraron las temperaturas promedio de una ciudad en un mes. En el eje X (horizontal), deben indicarse los intervalos correspondientes a las

temperaturas y en el eje Y (vertical), en cambio, se registran el número de los días del mes en los que se midieron dichas temperaturas.

11,3 15,3 12,4 15,8 9,6 10,4 13,2 7,8 8,3 9,8 12,3 10,4 10,3 14,2 8,5

Prof: Aníbal Lepratte –Andrea Pérez Página 6 EJERCICIO N°11

Al preguntar a un grupo de familias sobre el número de personas que forman el hogar familiar hemos obtenido la información que se muestra en el siguiente gráfico :

EJERCICIO N°12

En el siguiente histograma se representa la distribución de dinero, en dólares, que en el último mes se han gastado los trabajadores de una empresa en su alimentación.

a- Indica la variable y clasifícala.

b- Sabiendo que hay 200 trabajadores, realiza una tabla de distribución de frecuencias en intervalos de clase que muestre: marca de clase, frecuencias absolutas, frecuencias porcentuales y frecuencias acumuladas. c- Calcula, a partir de la tabla realizada, la cantidad media que han gastado.

d- Calcula el porcentaje de empleados que tienen un gasto superior a U$S190. e- Indica el intervalo que contiene el gasto más frecuente.

f- Calcula la desviación típica de los gastos en la alimentación, el coeficiente de variación y decide si la media de los gastos es representativa del conjunto de datos.

g- A partir del histograma dado, realiza el polígono de frecuencias.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

1 2 3 4 5 6_{Nº de personas}

a- Elabora una tabla de distribución de frecuencias

b- Calcula la media y la desviación típica

c- ¿Qué porcentaje de la familias hay entre 𝑥 − 𝜎 𝑦 𝑥 + 𝜎? d- ¿Qué porcentaje de las familias