3 Escribe los valores que puede tomar x para que sean válidas las siguientes expresiones: a) | 2x – 3 | = 5

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(1)

A

utoevaluación

Página 104

1 Explica si es verdadera o falsa cada una de estas frases: a) Todo número decimal se puede expresar como fracción. b) La suma de dos números irracionales es siempre irracional.

c) El producto de dos números irracionales puede ser un número racional. d) El cociente de dos números decimales exactos es siempre un decimal exacto.

a) Falsa. Los números decimales no periódicos no se pueden poner como fracción. b) Falsa: π + (–π) = 0 ∈

c) Verdadera: ·2 2 2= ∈ ⊂

d) Falsa. Por ejemplo 0 30 1,, = , que es periódico puro.31

2 Expresa como un único intervalo:

a) [1, 6) « (–2, 5] b) [1, 6) » (–2, 5]

a) (–2, 6) b) [1, 5]

3 Escribe los valores que puede tomar x para que sean válidas las siguientes expresiones: a) | 2x – 3 | = 5 b) | x – 5 | < 2

a) |2x – 3| = 5 8 *22xx3 53==588xx==42

Soluciones : x1 = 4, x2 = –2

b) | x – 5| < 2 8 –2 < x – 5 < 2 8 –2 + 5 < x < 2 + 5 8 3 < x < 7 Solución: x é (3, 7)

4 Efectúa las siguientes operaciones y simplifica:

a) a3–2a a4 2+3a a6 3–8a12 b)

96

98– 18 30 3·

c) ( 2+ 3 6 1)( ) d)

6 5

6 3 22 3 4 2 +

+

a) a a–2a a+3a a a a a a– =

b) · ·

4 6

7 2 3 2 30 3 4 6 4 2 30 3

6 30 6 30

= = =

c) 12– 2+ 18– 3 2 3= – 2 3 2+ – 3= 3 2 2+

d) (

(

) ( )

) 6

5 6 2 6

3 4 2

6 5 6

12 2 6

3 4 6 3 2

3 2 3 6 2

– –

2 2

+ = =

6 5 6

6 6

3 4 6

6 5 6

6 3 2

3 2 6 3 2 8 6 4 6

– – – – – –

(2)

5 Si log k = –1,3 calcula el valor de estas expresiones: a) log k 3 b) log

k

1 c) log k100

a) logk3=3logk=3 1 3( , )– =–3 9,

b) log k1 =log1–logk=0– –( , ) ,1 3 1 3=

c) log 100k =logklog100=–1 3 2, – =–3 3,

6 Calcula x aplicando la definición de logaritmo:

a) log2 x = –1 b) ln

x

3 = 2

a) log x2 –1 8 2 1 x 8 x 21 41

2 –

= = =c m =

b) ln x 8 e x 8 x

e

3 2 2 3 3

2

= = =

7 Expresa el resultado de la siguiente operación con tres cifras significativas y da una cota del error absoluto y otra del error relativo cometido:

(5 · 10–18)(3,52 · 1015) : (–2,18 · 10–7)2

3,70 · 1011

|Error absoluto| < 0,005 · 1011 = 5 · 108

|Error relativo| <

, ·· , ·

3 70 105 10 11 1 35 10

8 3

=

8 El precio de la leche subió un 15 % en enero y un 18 % en febrero, y bajó un 20 % en marzo. ¿Cuál ha sido la subida total en esos tres meses?

Calculamos el producto de los índices de variación: 1,15 · 1,18 · 0,8 = 1,0856

Ha habido una subida de un 8,56 %.

9 Depositamos un capital de 5 000 € al 6 % anual durante 3 años y 3 meses. Calcula en cuánto se transforma si el periodo de capitalización es:

a) Trimestral b) Mensual Di, en cada caso, cuál es la T.A.E.

a) i = 1006 8 it=4006 = 0,015 8 Índice de variación trimestral = 1,015 Como 3 años y 3 meses son 13 trimestres:

Cfinal = 5 000 · 1,01513 = 6 067,76 € T.A.E. = 1,0154 – 1 = 0,06136 8 6,136 %

b) i = 1006 8 im= 12600 = 0,005 8 Índice de variación mensual = 1,005 Como 3 años y 3 meses son 39 meses:

Cfinal = 5 000 · 1,00539 = 6 073,60

(3)

10 Un trabajador inicia un plan de pensiones a los 40 años, ingresando cada año 4 000 € al 2 % anual. ¿De qué cantidad dispondrá a los 65 años?

El primer ingreso se convierte en a1 = 4 000 · 1,0225 = 6 562,42

El segundo ingreso se convierte en a2 = 4 000 · 1,0224 = 6 433,75 € …

El último ingreso solo generará intereses durante un año. Por tanto:

a25 = 4 000 · 1,02 = 4 080 €

Para calcular el dinero del que dispondrá, tenemos que sumar 25 términos de una progresión geomé-trica de razón r = 1 02,1 . Así:

S25 = · ·4000 1 02 4000 1 02· , – · , ,

,

r

a r a

1

1 021 1 1 021

– –

25 1

25

= = 130 683,62 €

11 Recibimos un préstamo de 10 000 al 13 % anual, que debíamos devolver en un solo pago. ¿Cuánto tiempo ha transcurrido si al liquidarlo pagamos 16 304,7 €?

Si lo pagáramos en 1 año, se pagaría:

10 000 · 1c +10013 m = 10 000 · 1,13

Si fuera en dos años: 10 000 · 1,132

Por tanto, para saber cuántos años hemos tardado en liquidar la deuda, tenemos que resolver la ecua-ción:

10 000 · 1,13a = 16 304,7 8 1,13a = ,

10000

16304 7 = 1,63047 8 a = loglog1 63047,1 13, = 4

Así, hemos tardado 4 años en devolver el crédito de 10 000 € al banco.

12 Un banco nos presta 30 000 € al 10 % anual, que hemos de devolver en 3 años mediante pagos mensuales. ¿Cuánto tendremos que pagar cada mes?

Debemos pagar 30 000 € en 36 meses, a un 10 % anual.

10 % anual 8 1210 = 0,83 % mensual

30 000 en 36 mesesal 0,83 % 30 000 · 1,008336 = 40 397,35

Ahora:

m (1 + 1,0083 + 1,00832 + … + 1,008335) = m · , ,

1 0083 1

1 0083 1

–– 36

= 41,7564m

Así:

41,7564m = 40 397,35 8 m = 40397 35 = 967,4541 7564, ,

(4)

13 Factoriza los siguientes polinomios:

a) x 3 – 9x b) 3x 5 – 4x 4 – 5x 3 + 2x 2

a) x 3 – 9x = x (x 2 – 9) = x (x + 3)(x – 3)

b) 3x 5 – 4x 4 – 5x 3 + 2x 2 = x 2(3x 3 – 4x 2 – 5x + 2) = x 2(x + 1)(x – 2)(3x – 1)

3 – 4 –5 2

–1 –3 7 –2

3 –7 2 0

2 6 –2

3 –1 0

14 Opera y simplifica:

a)

( )

( )( ) ( )

x

x x x x x x

1

3 4 1 2 1 2

2 2

2 2 3 2

+

+ + + + b) :

x x

x x

x x

14 2

2

3 2

+ +

e o – (x 2 – 3x)

a)

( )

( )( ) ( )

x

x x x x x x

x x

x x x x x x x

x x

x x x

1

3 4 1 2 1 2

2 1

3 3 4 4 2 4 2

2 1

3 2

– – – –

2 2

2 2 3 2

4 2

4 2 3 4 3

4 2

4 2

+

+ + + + =

+ +

+ + + =

+ +

+ +

b) : ( )

( )( )

( )( ) ( )

x x

x x

x x x x

x x x

x x x x x

14 2 3 1 2

4 3

– – –

– –

2

3

2 2

2

2 3

2

+ + = + + =

e o

( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

x x x

x x x x x x x x x x x x x x x

1 2

2 –2 1 –1 23 2 – –1 23 23 2 2 3 2

= + + ++ = = + + =

15 Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) (x + 4)2 – 7 = (2x + 3)2 + 2x b) 2x 4 – 3x 2 – 2 = 0

c) 3x 5 – 4x 4 – 5x 3 + 2x 2 = 0 d)

x27+4–xx+4+xx+2=1 e) x2 + – 2x = x – 6 3 f ) x + x4 + = 79

g) 3x 2 – 2

= 3

1 h) 42x – 2 · 4 x + 1 + 16 = 0

i) 2 log x + log (x + 1) = log (x 2 + 4x) j) ln (x 2 – 1) = 1

a) x2+ +16 8x–7 4= x2+ +9 12x+ 2x 8 3x2+6x=0 8 3x x( + = 2 0) x

x==0–2 Soluciones: x1 = 0, x2 = –2

b) Hacemos el cambio x 2 = z 8 2z 2 – 3z – 2 = 0 8 z = ± 4 3 5

( )

z z

2

2 1

– no vale =

= Si z = 2 xx==22

Soluciones: x1 = 2, x2 = – 2

c) 3x 5 – 4x 4 – 5x 3 + 2x 2 = x 2(3x 3 – 4x 2 – 5x + 2) = x 2(x + 1)(x – 2)(3x – 1)

3 – 4 –5 2

–1 –3 7 –2

3 –7 2 0

2 6 –2

3 –1 0

(5)

d)

( ) ( )

( )

8 8

x x xx x

x x x

2 7

2 1 2

7 2 1

– –

2 2

+ + + = +

+ + = 7x x+ +2 2x x= +2 4x+4 8 3x3 0= 8 x=1

Solución: x = 1

e) 2x+3 2– x x= –6 8 2x+ =3 3x–6 8 2x + 3 = (3x – 6)2 8

8 2x + 3 = 9x 2 – 36x + 36 8 9x 2 – 38x + 33 = 0 8 x = ± 18 38 16 =

( )

x x

3

9

11 no vale =

= Solución: x = 3

f) x+ 4x+ =9 7 8 4x+ =9 7– x 8 4x+ =9 49+x–14 x 8 14 x=40 3– x 8

8 196x = 9x 2 – 240x + 1 600 8 x = 4, x = ± 18

436 364 = xx ( )

9 4

400 no vale =

= Solución: x = 4

g) 3x2–2 31 3–1 8 x2–2 –1 8 x2 1

= = = = x x 1 1 – = =

Soluciones: x1 = 1, x2 = –1

h) ( )4x –2 4 4 16 0· ·x t –8 16 0t 8

t

2

4 2

cambio

x

+ = = + = (t–4)2=0 8 t=4 8 4 4x= 8 x=1

Solución: x = 1

i) 2log x + log (x + 1) = log (x 2 + 4x) 8 log [x 2 · (x + 1)] = log (x 2 + 4x) 8 x 2 · (x + 1) = x 2 + 4x 8 8 x 3 + x 2 = x 2 + 4x 8 x 3 – 4x = 0 8 x = 2, x = 0, x = –2 Comprobamos las soluciones y vemos que x = 0 y x = –2 no son válidas.

Solución: x = 2

j) ln (x 2 – 1) = 1 8 ln (x 2 – 1) = ln e 8 x 2 – 1 = e 8 x 2 = e + 1 8 x = ± e 1+ Soluciones : x1 = e 1+ , x2 = – e 1+

16 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) x y

xy x

3 0 + =

+ =

* b) x 4y 5

2 2 16

· x–6 =y=

) c) x x x y y y z z z 2 3 4 2 2 2 3 4 0 + + = = =

*

d)

x x x y y y z z z 2 3 2 3 1 5 10 + + + + = = =

*

a)

( ) 8 8

x y xy x

y x

x x x x x x x x

3 0

3

3 0 3 0 4 0

– – 2 – 2

+ = + = = + = + = + =

4

8 8 x y x y 0 3

4 –1

1 1

2 2

= =

= =

Soluciones: x1 = 0, y1 = 3; x2 = 4, y2 = –1

b)

8 8 8 8

x y

x y x y

4 5

2 2 16 2 2 2 2 2 6 4 10

· · –

x–6 =y= 4 x–6 y= 4 x–6+y= 4 + = + = Por tanto, tenemos:

x y

x y

4 5 10

– =

+ =

4

(1.ª) –(2.ª) x y x y 4 5 10 – – – – = =

*

–5y = –5 8 y = 1

(6)

c) x y z

x y z

x y z

2 2 3

3 2 4

4 2 0

– – –

– –

+ =

=

+ =

_

`

a bb bb

(1.ª) (2.ª) – (1.ª) (3.ª) + 2 · (1.ª)

x y z

x y

y

y x z

2 2 3

4 7

3 6

2 1 3 –

– –

+ =

= =

= = =

_

`

a bb bb

Solución: x = 1, y = 2, z = 3

d) x y z

x y z

x y z

2 1

2 5

3 3 10

– – –

+ + =

+ =

+ =

_

`

a bb bb

(1.ª) (2.ª) + 2 · (1.ª) (3.ª) – 3 · (1.ª)

x y z

y z y

x z y

2 1

5 3

7 7

1 2 1 –

– –

+ + = + =

=

= = =

_

`

a bb bb

Solución: x = 1, y = –1, z = 2

17 Resuelve: a) x 2 – x – 6 > 0

b) x 3 – 2x 2 – x + 2 ≤ 0

c) x

x

1 3 2 – ≤1 9

> +

)

d) x y

x y

2 3 6

1 – ≤

> +

*

a) x 2 – x – 6 > 0 8 (x + 2)(x – 3) > 0

–4

2

–2 2 4

–2

–6

Y

X

–4

Como la parábola está abierta hacia arriba y corta al eje OX en x = –2 y x = 3, la solución es (–∞, –2) « (3, +∞).

b) x3–2x2–x+2 ≤0 8 (x1)(x2)(x+1 0)≤

(–@, –1) (–1, 1) (1, 2) (2, +@)

(x – 1) – – + +

(x – 2) – – – +

(x + 1) – + + +

(x – 1)(x – 2)(x + 1)++

Solución: (– @, –1) ∪ [1, 2] c)

≤ ≤ ≤

8

8 8

x x

x

x x

1 3

2 1 9

2

2 10 15

> >

+

4

2

5

(7)

d) x y x y

2 3 6

1 – ≤

> +

*

Resolvemos cada una de las inecuaciones. El recinto solución es la intersección de los dos semipla-nos.

–2

1

–1 1 2 3 4 5

3 4

–1

Y

X

2x + 3y > 6

x – y ≤ 1

2

18 Un grifo A tarda en llenar un depósito el doble de tiempo que otro B. Abiertos simultáneamente, llenan el depósito en dos horas. ¿Cuánto tarda cada grifo por separado?

x = tiempo que tarda B en llenar el depósito 8

x x x xx

1

21 21 2 12 2

+ = + = 8 x = 3 horas

B tarda 3 horas y A tarda 6 horas.

19 Una pastelería vendió 27 tartas. El número de las de chocolate duplicó al de tartas de nata y entre ambas excedieron en 3 a las ventas de tartas de queso. ¿Cuántas se vendieron de cada tipo? x = n.º de tartas de chocolate

y = n.º de tartas de nata z = n.º de tartas de queso

Expresamos las condiciones mediante las siguientes ecuaciones:

, ,

8 x y z

x y

x y z

x y z

27 2

3

10 5 12

+ + = = + = +

= = =

Z

[

\ ]] ]]

Figure

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