Si la matriz se designa porA su determinante se representa porAo A

(1)

(2)

G. Ríos

Determinante de orden dos

1. Definición

Dada la matriz _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

22 21

12 11

a a

se denomina determinante de dicha matriz al número real

21 12 22 11 22 21

12

11 _a _a _a _a

a a

− =

Si la matriz se designa por A su determinante se representa por A o detA.

2. Propiedades del determinante de segundo orden

• Para cualquier matriz cuadrada se verifica _A ₌ _AT _.

T T

T

A A c b d a b c d a A d b

c a A

c b d a A d c

b a A

= ⇒ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫

− = − = ⇒ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

− = ⇒ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

Como consecuencia de esta propiedad toda propiedad que se formule sobre las filas de una matriz también se verifica para las columnas.

• Si se intercambian dos filas (o columnas) el determinante cambia por su opuesto.

(

)

d c

b a c b d a a d b c b a

d c

c b d a d c

b a

− = − − = − =

− =

• Si todos los elementos de una fila (o columna) son cero, el determinante vale cero.

0 0 0 0 0

= −

= d c

d c

• Si dos filas (o columnas) son iguales, el determinante vale cero

0

= −

=ab ba

b a

• Si dos filas o columnas son proporcionales, el determinante vale cero

( ) ( )

λ − λ =λ −λ =0

= λ

λa b a b b a ab ab

b a

• Si una fila o columna se multiplica por una constante, el determinante queda multiplicado por dicha constante

( ) ( ) (

)

d c

b a c b d a c b d a d c

b a

λ = − λ = λ − λ = λ λ

2

(3)

• Si una fila (o columna) está expresada como suma de dos cantidades, el determinante puede expresarse como la suma de dos determinantes

(

)

(

)

(

) (

)

d c b a d c b a c b d a c b d a c b c b d a d a c b b d a a d c b b a a 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 + = − + − = − − + = + − + = + +

• Si a una fila se le suma otra fila multiplicada por un escalar, el determinante no cambia

(

)

(

)

(

) (

)

d c b a d c b a c d d c c b d a c d c b d c d a c d b d c a d c d b c a = × λ + = − λ + − = λ − − λ + = λ + − λ + = λ + λ + 0

Todas las propiedades se han enunciado sin mencionar que se trata de determinantes de segundo orden, esto se ha hecho porque las mismas valen para determinantes de cualquier orden, inmediatamente se extenderá la teoría a los de orden tres y luego a los de ordenn .

3. Teorema

Si A y B son matrices cuadradas de igual dimensión entonces: AB = A B .

Aquí se demostrará para matrices de orden dos.

Sean _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = d c b a

A y _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = q p n m

B . Se deduce que _⎟⎟

(4)

G. Ríos 4. Interpretación geométrica del determinante de segundo orden

Dado el determinante

2 1

b b

a a

, considérense los vectoresOA=

(

a1,a2

)

yOB=

(

b1,b2

)

dispuestos en un sistema ortogonal de coordenadas XOY. Sea OAPB el paralelogramo que determinan los vectores OA yOB. Se demostrará que el área de este paralelogramo es igual al valor absoluto del determinante

2 1

b b

a a

.

En la demostración se considera la figura adjunta

El paralelogramoOAPB puede inscribirse en un rectánguloOP′PP′′ cuyos ladosOP′ y OP′′ estén sobre los ejes OXy OY respectivamente.

El rectángulo puede descomponerse como se muestra en la figura en cuatro triángulos, dos rectángulos y el paralelogramo. El área del paralelogramo se obtiene por sustracción de áreas.

Se tiene: área

(

OP′PP′′

)

=

(

a1+b1

) (

a2+b2

)

. Los triángulosOA′A y PB′B son iguales y juntos

forman un rectángulo de áreaa1a2. Los triángulosOBB′′ y PAA′′ también son iguales entre sí, y

forman en conjunto un rectángulo de áreab1b2. Los rectángulos AA′P′A′′ y BB′P′′B′′ son iguales

y el área de cada uno es a₂b₁. Entonces:

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

2 1

1 2 2 1

1 2 1 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1

1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1

1 2 2 1 2 1 2 2 1 1

2 2 2

b b

a a

b a b a

b a b a b

b b b b a a a a a

b a b b a a b b b a b a a a

b a b b a a b a b a OAPB área

= − =

+ − + − + + − =

− − − + + + =

− − − + + =

Para facilitar la compresión se tomó la figura bajo el supuesto que los dos vectores quedan en el primer cuadrante. La relación sigue siendo válida en los demás casos.

Además en la figura el sentido de rotación deOA a OB es antihorario, si hubiera sido horario se hubiera llegado a

(

)

2 1

b b

a a OAPB

área =− .

Para tener una relación que no dependa del sentido de rotación del primer vector al segundo se toma como área del paralelogramo, el valor absoluto del determinante.

(

a1a2

)

A= ,

(

b1b2

)

B= ,

(

a1 b1a2 b2

)

P= + , +

O P′

(

a1+b1,0

)

B′′

B′

A′′

A′

(5)

Desarrollando los determinantes de segundo orden

En el determinante de segundo orden se aplica la propiedad ya probada

Determinante de tercer orden

5. Definición

Dada una matriz cuadrada de orden3,

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a

se denomina determinante de dicha

matriz al número real

32 31 22 21 13 33 31 23 21 12 33 32 23 22 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a + − =

Nótese como se define el determinante de tercer orden refiriéndolo a una combinación lineal de determinantes de ordendos, esta forma de reducir un determinante a una combinación lineal de determinantes de orden inferior se denomina definición por recurrencia. La misma idea se aplicará luego para definir determinantes de ordenn .

6. Teorema

Valen, para el determinante de orden tres, propiedades análogas a las establecidas para el determinante de segundo orden.

A modo de ejemplo se establece la propiedad AT ₌ A

Sea ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 3 2 1 3 2 1 3 2 1 c c c b b b a a a

A , así que

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 3 3 3 2 2 2 1 1 1 c b a c b a c b a

AT _.

Aplicando la definición de determinante de tercer orden a la matriz _AT_{se tiene}

3 3 2 2 1 3 3 2 2 1 3 3 2 2

1 _a _b

b a c c a c a b c b c b a

AT ₌ ₋ ₊

(

)

(

)

(

)

(

)

A c c c b b b a a a c c b b a c c b b a c c b b a c b c b a c b c b a c c b b a c b a c b a c b a c b a c c b b a a b b a c a c c a b c b c b a AT = = + − = − + − − = − + + − = − + − − = 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2 1 2 1 3 3 1 3 1 2 3 2 2 2 1 1 2 2 1 3 1 3 3 1 2 3 2 2 2 1 1 2 3 1 3 2 2 1 3 3 1 2 3 2 2 2 1 3 2 3 2 1 3 2 3 2 1 3 3 2 2 1

7. Otras Propiedades.

(6)

G. Ríos

Menor complementario y adjunto de un elemento

Supóngase definido el determinante para cualquier matriz cuadrada de orden n.

8. Definición. Menor complementario de un elemento

Dada una matriz cuadrada de ordenn,

( )

aij_n_×_n seaars un elemento de dicha matriz.

Si se suprime de dicha matriz la filar y la columna s (la fila y la columna que contiene al elementoars) se obtiene una matriz cuadrada de orden

(

n−1

)

que se representa por Mrs.

El determinante Mrs de la matriz Mrs se denomina menor complementario del elementoars.

9. Ejemplos

Sea

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− − − =

2 4 1

3 1 2

2 3 1

A .

7 3 4 2 1

3 2 2

1 3 2

2 1 2

1 ⎟⎟ ∧ = ₋ =− − =−

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

−

= _,

, M

M

5 6 1 1 2

3 1 1

2 3 1

3 3 3

3 ₋ =− + =

− = →

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

− −

= ,

, M

M

Es decir, el menor complementario del elemento

( )

1,2 de la matriz A es −7, y el del elemento

( )

3,3 es5.

10. Definición. Adjunto de un elemento

Dada una matriz cuadrada

( )

aij de dimensiónn×n, seaars un elemento de dicha matriz

y Mrs su menor complementario.

Se denomina adjunto del elemento ars de la matriz

( )

aij , y se anota αrs a lo siguiente:

( )

r s rs

s

r = − + M

α 1

11. Ejemplo

Retomando los ejemplos de (9) se tiene

( ) ( )

1 5 5

7 7 1

3 3 3 3

2 1 2 1

= −

= α

= − − = α

+ +

, ,

12. Observación

La definición del determinante de tercer orden se puede reformular del siguiente modo:

3 1 13 12 12 11 11 33 32 31

23 22 21

13 12 11

α + α + α

=a a a

a a a

(7)

13. Teorema (Desarrollo de Laplace)

Sea

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛ =

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

A . Entonces:

j j j j j j i i i i i

i a a a a a

a

A _, _, _, _, _, _, _, _, _, _, _, _,

det = ₁α ₁+ ₂α ₂+ ₃α ₃= ₁ α₁ + ₂ α₂ + ₃ α₃

Es decir, el determinante se obtiene como la suma de los elementos de una fila o columna cualquiera multiplicados por sus respectivos adjuntos.

14. Observación

El teorema anterior habilita la elección de la fila o columna más conveniente para calcular un determinante, el criterio es tomar la fila o columna que contenga más ceros. Si el elemento es nulo el producto de dicho elemento por su adjunto es nulo y no hace falta calcular el adjunto.

15. Aplicación

Demuestre que si A es una matriz triangular entonces el determinante de A es el producto de los elementos de la diagonal.

(

22 33 32

)

11 22 33

11 33 32 22 11

11 11 13 12 11 11 33

32 31

22 21 11

0 0

0 0 0

0 0

a a a a a a a a a a a

a a

A a

a a

a a a A

= − =

=

α = α + α + α = ⇒

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

= det

(8)

G. Ríos

Determinante de orden n

16. Definición

Sea A una matriz cuadrada de orden n, supóngase definido el determinante para las matrices cuadradas de orden inferior an, entonces

n n a a

a

A= ₁₁α₁₁+ ₁₂α₁₂+ + ₁ α₁

det

17. Nota

La forma en que se ha definido el determinante de ordenn el del tipo de las definiciones por recurrencia, puesto que el determinante de orden 3 se define a partir del de orden2, el de orden4 a partir del de orden 3, y asís sucesivamente.

18. Ejemplo

Se calculará el determinante de la matriz

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A

Por la definición de determinante se efectúa el siguiente planteo

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − − − + − − − − − − = A

Los determinantes de orden tres se calculan también mediante la definición

( )

4 4 8

4 4 4 0 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 0 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2 1 2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − = − − + − = = + + = + − + − = − − − = + − − = + − + − = − − = − + − − − − = − − = × + − × − × − = − + − − − − − = − − − A

(9)

Los siguientes teoremas se brindan sin demostración, éstos permiten en ocasiones efectuar los cálculos más fácilmente.

19. Teorema

n i n i i

i i

i a a

a

A= ₁α₁+ ₂α₂+ + α

det

Dondeai1,ai2, ,ain son los elementos de una fila de A, y αi1, αi2, ,αin son sus

respectivos adjuntos.

20. Teorema

j n j n j

j j

j a a

a

A= ₁α₁ + ₂α₂ + + α

det

Dondea1j,a2j, ,anj son los elementos de una columna de A, y α1j, α2j, ,αnj son sus

respectivos adjuntos.

21. Teorema

La suma de los elementos de una fila multiplicados por los adjuntos de los elementos de otra fila es igual a cero, i.e.

0

2 2 1

1αj + i αj + + inαjn =

i a a

a

Demostración:

La expresión planteada puede considerarse como el desarrollo del determinante de la matriz que resulta de remplazar la fila j de la matriz A=

( )

aij por la fila i de la misma matriz, en efecto

i j

a a

a

a a

a

a a

a

a a

a

n n n

n

n i i

i

n i i

i

n

fila la por da remplaza fila

←

2 1

1 2

1 11

Desarrollando este determinante por la fila j (desarrollo de Laplace) se tiene:

n j n i j

i j i

n n n

n

n i i

i

n i i

i

n

a a

a

a a

a

a a

a

a a

a

a a

a

α + + α + α

= ₁ ₁ ₂ ₂

2 1

1 2

1 11

Pero 0

2 1

1 2

1 11

=

n n n

n

n i i

i

n i i

i

n

a a

a

a a

a

a a

a

a a

a

(10)

G. Ríos

Formulación general de las propiedades de los determinantes

22. Teorema

Si A es una matriz cuadrada de ordenn , entonces

¡ AT = A

¡ La propiedad citada habilita reformular todas las propiedades que se enuncian a continuación en relación con las filas de una matriz para las columnas

¡ Si A tiene una fila o columna de ceros entonces A =0.

¡ Si A tiene dos filas iguales entonces A =0.

¡ Si A tiene dos filas proporcionales entonces A =0.

¡ Si A es una matriz triangular (superior o inferior), entonces su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal.

¡ Si B se ha obtenido intercambiando dos filas (o columnas) de A, entonces B =− A .

¡ Si B se ha obtenido de A multiplicando los elementos de una fila (o columna) por un escalark, entonces B =k A .

¡ Si la matriz B se ha obtenido de A sumando a una fila una combinación lineal de las restantes filas entonces B = A .

¡ Si las matrices A, B yC son iguales salvo la fila i, y dicha fila de la matrizC es la suma de las filasi de A y B, es decir

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

+ +

+ =

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

=

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

=

nn n

n

in i i

i i i

n

nn n

n

in i

i

n

nn n

n

in i

i

n

a a

a

b a b

a b a

a a

a

C

a a

a

b b

b

a a

a

B

a a

a

a a

a

a a

a

A

2 1

2 2

2 1 1

1 12

11

2 1

1 12

11

2 1

1 12

11

Entonces: C = A + B

(11)

El determinante y la matriz inversa

En esta sección se aborda la relación entre determinante de una matriz y la existencia de matriz inversa.

Recuérdese la definición: An×n es invertible si existe una matriz B tal que AB=In y BA=In.

En tal caso la matriz B se denomina inversa de A, y por el teorema de unicidad de la matriz inversa se puede adoptar la notación _A−1_{para denotar a la inversa de} _A_.

23. Teorema. Condición necesaria para la existencia de la matriz inversa

Si A es invertible, entonces A ≠0.

Demostración.

A es invertible ⇒ ∃ A−1 t.q. AA−1=In

De la relación anterior se deduce −1 ₌ ₌1 n I A

A , y por la propiedad del determinante de un producto se tiene _A_A1 ₌ _A _A1 _{, con esto se elabora el siguiente razonamiento:}

0 1

1

1 1

≠ ⇒ = ⇒

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫

= = =

− −

A A

A A A

I A

A n

Al final de la demostración anterior se utilizó una propiedad acerca del producto de números reales, si un factor fuera cero el producto sería cero.

La proposición recíproca de este teorema es un teorema válido pero la demostración requiere un desarrollo previo.

24. Definición. Matriz adjunta de una matriz dada

Dada una matriz A=

( )

ai j ∈Mn n× sea αij el adjunto del elementos aij de la matriz A.

Se denomina adjunta de A, y se anota adjA, a la matriz

( )

T j i A= α

adj

Es decir, la matriz transpuesta de la que se forma sustituyendo en A cada elemento por su adjunto.

25. Teorema.

Para una matriz cuadrada A cualquiera se verifica:

(

)

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

=

A A

A

A A

0 0

(12)

G. Ríos Demostración.

Considérese que A∈Mn n× .

Para calcular el elemento de la fila i y columna j de la matriz A

(

adjA

)

debe efectuarse el producto escalar j

i A A,adj

Si i=j,

(

a a a

)

a a a A A

A A

A i i i i in in

n i i i

n i i i i i j

i = α + α + + α =

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

α α α

=

= ,adj , , , , , , , , ,

adj

, … 2 ₁ ₁ ₂ ₂

1 2

1

Donde al final se utilizó la definición de determinante.

Si i≠j,

(

)

2 ₁ ₁ ₂ ₂ 0

1 2

1 = α + α + + α =

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

α α α

= i j i j in jn

n j j j

n i i i j

i A a a a a a a

A,adj , ,…, ,

Véase que la última expresión del renglón anterior es la suma de los elementos de una fila multiplicados por los adjuntos de los elementos de otra fila, y esto vale cero por el teorema (21)

26. Fórmula explícita para la matriz inversa

Si A ≠0, del teorema (25) se deduce la relación: A _A A_⎟⎟=In

⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

adj

1 _.

Por el teorema de unicidad de la matriz inversa resulta que

A A A−1₌ 1 adj

(13)

27. Ejemplo Sea ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 5 1 1 2 4 0 4 3 2

A . Entonces

⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ α α α α α α α α α = 3 3 3 2 3 1 2 3 2 2 2 1 31 1 2 1 1 , , , , , , , ,

adjA . El cálculo de los adjuntos se realiza a

continuación:

( )

8

4 0 3 2 1 4 2 0 4 2 1 10 2 4 4 3 1 5 1 1 3 2 1 14 5 1 4 2 1 11 5 1 4 3 1 4 1 1 4 0 1 2 5 1 2 0 1 18 5 1 23 4 1 3 3 3 3 2 3 2 3 1 3 1 3 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 1 − = − − = α − = − − = α − = − − − = α = − − = α = − − = α − = − − − = α = − − − = α = − = α − = − − − = α + + + + + + + + + , , , , , , , , ,

Desarrollando el determinante de A por la segunda fila se tiene

(

11

) ( )

4 14 2 5 56 10 46

0× − + − × + × =− + =−

(14)

G. Ríos

Polinomio característico y Teorema de Cayley-Hamilton

28. Definición

Dada una matriz cuadrada A de dimensiónn×n el determinante A−xIn es un polinomio de

grado n en x que se denomina polinomio característico de la matriz A.

Este polinomio se representa por el símbolo χA

( )

x .

(χ es la antepenúltima letra del alfabeto griego y se denomina ji)

29. Polinomio característico de matrices de segundo y tercer orden

¡ A∈M_{2 2}_× ⇒ χ_A( )x =x2−trA x+detA

¡ A∈M_{3 3}_× ⇒ χ_A( )x = −x3+trA x2− α + α + α( ₁₁ ₂₂ ₃₃)x+detA 30. Teorema de Cayley-Hamilton

Toda matriz satisface su polinomio característico, i.e. χA

( )

A =O.

Se admite la validez de este teorema.

31. Ejemplo

Sea _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

7 3

3 1

A .

( )

(

1

) (

7

)

9 8 2

7 3

3

1 ₂

− − = − − − = − − =

χ x x x x

x x x A

El teorema de Cayley-Hamilton establece que

2 2 2 ₈_A ₂_I _O

A − − =

Lo cual se constata efectuando las operaciones indicadas

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

0 0

0 0 2 0

0 2 56 24

24 8 58 24

24 10 1 0

0 1 2 7 3

3 1 8 7 3

3

1 2

32. Nota.

El teorema de Cayley Hamilton asegura la existencia para toda matriz cuadrada de un polinomio que es anulado por dicha matriz. Es decir, se justifica con este teorema que el conjunto

[ ]

( )

{

p∈IR X :pA =0

}

formado por los polinomios que se anulan para una matriz A es no vacío. Se prueba que dicho conjunto es un ideal del anillo IR

[ ]

X . Como todos los ideales de dicho anillo admiten un generador mónico único y éste es el polinomio mónico de grado mínimo que anula la matriz A se denomina polinomio minimal de la matriz A.

(15)

33. Teorema

Si una matriz A es invertible entonces existe un polinomio p tal que A−1=p

( )

A

34. Ejemplo

Considérese la matriz del ejemplo 31. Ésta es invertible pues su determinante es diferente de cero, pues el término independiente del polinomio característico que coincide con el determinante es diferente de cero. Por el teorema de Cayley-Hamilton se tiene

(

)

(

)

(

)

⎟_⎠⎞

⎜ ⎝

⎛ ₋

= ⇒

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₋

⇒ = − ⇒

= − ⇒ = − −

−

2 1

2 2 2

2 2

8 2 1

8 2 1 2

8 2

8

I A A

I I A A I

I A A I

A A O

I A A

En este caso el polinomio que permite hallar _A−1_es

( )

2−8

= x

x

p .

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

−

2 1 2 3

2 3 2 7 1 3

3 7 2 1 1 0

0 1 8 7 3

3 1 2 1

1

A

(16)

G. Ríos

Regla de Cramer

36. Regla de Cramer, resolución de un sistema compatible determinado

Un sistema de ecuaciones

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= + +

3 33 32 31

2 23 22 21

1 13 12 11

b z a y a x a

Se puede plantear como una ecuación matricial MX =B tomando dichas matrices del siguiente modo:

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

3 2 1 33

32 31

23 21 21

13 12 11

b b b

z y x

a a a

Si M es invertible se puede despejar la matriz X ,

B M X ₌ −1

Remplazando _M−1_por

₍

_M

₎

M adj

1 _{(según la fórmula explícita de la matriz inversa) queda:}

(

M

)

B

M X = 1 adj

Escribiendo las matrices con sus elementos queda

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

α α α

α α α = ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

3 2 1 33 23 13

32 22 12

31 21 11

1

b b b

M z y x

De aquí se deduce

M b b b z M

b b b y M

b b b

x₌ 1α11+ 2α21+ 3α31 ₌ 1α12+ 2α22+ 3α32 ₌ 1α13+ 2α23+ 3α33

La expresión de los numeradores puede verse como el desarrollo de un determinante, por ejemplo, el numerador de la expresión que determina x es

33 32 2

23 21 2

13 11 1 31 3 21 2 11 1

a a b

a a b b

b

bα + α + α =

El determinante corresponde a la matriz que resulta de remplazar en la matriz M la columna formada por los coeficientes de x por la columna de los términos independientes. Dicha matriz se representa simbólicamente por Mx, de modo que la solución del sistema es:

Del mismo modo se observa

M M z M M y M M

x = x = y = z

(17)

37. Notas complementarias

Se advierte que si M =0 el planteo expuesto pierde validez, en este casos el sistema podría ser compatible indeterminado o incompatible.

Para saber si es incompatible se conoce el siguiente criterio

(

M M M

)

Elsistemaesincompatible

M =0 ∧ x ≠0 ∨ y ≠0 ∨ z ≠0 ⇒