PRINCIPIOS ESTADÍSTICOS APLICADOS EN CONTROL DE CALIDAD

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PRINCIPIOS ESTADÍSTICOS APLICADOS

EN CONTROL DE CALIDAD

Por: Prof. Gastón A. Pérez U.

2.2.- FRECUENCIA Y DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA

Como estudiamos en la sección anterior (2.1) las variables de salida de un proceso deben cumplir con ciertas metas y/o especificaciones, a fin de que sea posible considerar que el proceso funciona de manera satisfactoria.

Así mismo, un factor muy importante en el control de calidad es conocer la capacidad o habilidad de un proceso, que consiste en determinar la amplitud de la variación natural (variabilidad) del proceso para una característica de calidad dada; esto permitirá saber en qué medida tal característica de calidad cumple con las especificaciones.

Otro aspecto estudiado fueron las características de los datos que normalmente son de interés: valor central, desviación y la forma de distribución de los datos.

En esta sección aprenderemos a realizar un estudio de la capacidad del proceso partiendo de los datos recolectados; sin embargo, éstos deben ser procesados adecuadamente para poder determinar la capacidad del proceso; es por ello que comenzaremos esta sección estudiando cómo se procesan los datos recolectados.

(2.2.1) PROCESAMIENTO DE LOS DATOS RECOLECTADOS

(2.2.1.1) INTRODUCCIÓN

 Los datos sin agrupar son una lista en bruto de valores observados.  Existen dos tipos de técnicas para procesar datos:

 Técnica analítica  Técnica gráfica A veces se utilizan ambas técnicas.

 La técnica analítica resume los datos al calcular una medida de la tendencia central y de la dispersión (visto en el segmento 2.1).

 La técnica grafica es una imagen de la distribución de frecuencia que es a su vez un resumen de cómo los datos (observaciones) se presentan dentro de cada subdivisión de los valores observados o grupos de valores observados.

Vamos a seguidas a profundizar en el análisis de dicha técnica:

 Imaginar que un conjunto de números tiene cierto tipo de distribución es fundamental para resolver problemas de calidad.

 En el léxico estadístico Frecuencia es la cantidad de veces que los datos observados cumplen con uno o varios parámetros establecidos; ejemplo: cuantas piezas cumplen o no con las medidas especificadas.

 Por otra parte, una Distribución de frecuencia es una tabulación de datos ordenados de acuerdo con su tamaño. La Distribución de frecuencia es un concepto básico en estadística.

 Hay diferentes tipos de Distribución de frecuencia, y el tipo específico puede indicar el método más indicado para resolver un problema de calidad.

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(2.2.1.2) TRATAMIENTO DE DATOS SIN AGRUPAR LOS MISMOS

 Este procedimiento se utiliza cuando lo datos contienen poca diversidad o categorías entre sus valores o cuando la muestra contiene menos de 30 elementos.

 Para comprender mejor este procedimiento utilizaremos un ejemplo.  Ejemplo 1: sea la siguiente información obtenida de un supermercado:

Cantidad de errores de facturación

0 1 3 0 1 0 1 0

1 5 4 1 2 1 2 0

1 0 2 0 0 2 0 1

2 1 1 1 2 1 1

0 4 1 3 1 1 1

1 3 4 0 0 0 0

1 3 0 1 2 2 3

-Los datos anteriores están colocados de una manera que hacen difícil su comprensión; para tener un mejor juicio debemos proceder según la siguiente metodología:

1. Establecer un conjunto: consiste en arreglar los datos numéricos por magnitud ascendente o descendente  0, 1, 2, 3, 4, 5

2. Tabular la frecuencia de cada valor. Los resultados para los datos del ejemplo 1 quedan como sigue:

 Al eliminar la columna „tabulación‟, la tabla que resulta es la „Distribución de Frecuencia‟ donde se muestran la frecuencia de los valores en cada categoría.

 Las distribuciones de frecuencia se presentan en forma gráfica cuando se desea tener mayor claridad visual.

 Hay varias formas de presentar una gráfica de distribución partiendo de la tabla de frecuencia, entre ellas y para los objetivos de nuestro programa vamos a estudiar y concentrarnos en el histograma:

HISTOGRAMA

Definición: Consiste en un conjunto de rectángulos que representan la frecuencia en cada categoría. Conteo de la cantidad de errores diarios de facturación

Cantidad de no conformes Tabulación Frecuencia 0 IIIII IIIII IIIII 15 1 IIIII IIIII IIIII IIIII 20

2 IIIII III 8

3 IIIII 5

4 III 3

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El histograma hace posible que con sólo echarle un vistazo se pueda tener una idea objetiva sobre la calidad de un producto.

Se utiliza para:

1. Resolver problemas.

2. Determinar la capacidad del proceso. 3. Comparar con las especificaciones. 4. Sugerir la forma de la población.

5. Indicar discrepancias en datos, como por ejemplo: discontinuidades.

El histograma obtenido para los datos de frecuencia del ejemplo 1 es el siguiente:

NOTA: Para graficar un histograma se suele utilizar rectángulos en lugar de una línea vertical.

OTROS TIPOS DE REPRESENTACIÓN GRAFICA

FRECUENCIA ACUMULADA - FRECUENCIA RELATIVA - FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA Frecuencia acumulada:

 Se calcula sumando la frecuencia del valor de cada dato a la suma de las frecuencias de los valores anteriores.

Frecuencia Relativa:

 Relativa quiere decir proporción o fracción del total.

 Se calcula dividiendo la frecuencia del valor de cada dato entre el total (suma de todas las frecuencias)

 Al graficar en un histograma las diferentes frecuencias relativas estamos obteniendo lo que se conoce como „Distribución de Probabilidad’.

Frecuencia relativa acumulada:

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Distintas distribuciones de frecuencia para los datos anteriores Cantidad de no

conformes Frecuencia

Frecuencia Acumulada

Frecuencia Relativa

Frecuencia Relativa Acumulada

0 15 15 15/52 = 0.29 15/52=0.29

1 20 15+20=35 20/52 = 038 35/52=0.67

2 8 35+8=43 8/52 = 0.15 43/52=0.83

3 5 43+5=48 5/52 = 0.10 48/52=0.92

4 3 48+3=51 3/52 = 0.06 51/52=0.98

5 1 51+1=52 1/52 = 0.02 52/52=1.00

Total 52 1.00

Interpretación:

 Frecuencia relativa para 0 unidades no conformes = 0.29 (29%)

 Frecuencia acumulada para 2 unidades o menos no conformes = 43

 Frecuencia relativa acumulada para 2 unidades o menos no conformes = 0.83 (83%)

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(2.2.1.3) TRATAMIENTO DE DATOS AGRUPANDO LOS MISMOS

 Cuando en una muestra hay más de 30 elementos, los estadísticos que vamos obteniendo revelarán con más exactitud el patrón o tendencia de los datos, pero también habrá mayor diversidad o categorías a la hora de una agrupación.

 Con un ejemplo, indicaremos el procedimiento que se sigue para agrupar los datos cuando la diversidad es grande, y así poder elaborar el histograma que nos revelará la forma de la distribución que tiene la muestra analizada.

EJEMPLO 2:

1.- Recolección y conteo:

 Total de valores tomados en la muestra: 110 mediciones

 Valor mínimo encontrado = 2.531Kg.

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 El conteo de los datos indica que existen 45 categorías

 Como son muchas, deben reducirse agrupándolas en clases.

2.- Rango:

R = 2.575 – 2.531 = 0.044

3.- Intervalo de clase (Amplitud)

Intervalo de clase es la distancia entre los puntos medios de clases adyacentes.

 Siempre que sea posible, se recomienda usar un intervalo impar.

Clases o celdas: es un agrupamiento dentro de límites específicos, de valores observados a lo largo de la abscisa (eje horizontal) del histograma.

Cuando hay muchas clases, la imagen real de la distribución queda distorsionada.

Cuando hay pocas clases también se distorsiona la distribución.

La cantidad de clases o celdas dependen del juicio del analista.

Pueden utilizarse unas reglas que son las siguientes:

# observaciones # clases

100 ↓ 5-9

100-500 8-17

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 Para determinar el intervalo, el método más fácil es aplicar la Regla de Sturgis:

Dónde:

i = Intervalo de clase. n = Tamaño de la muestra.

R = Rango

Y en donde la expresión:  Aplicando la regla para nuestro ejemplo tenemos:

 Puede observarse que el denominador es el # Clases  8

 En el Anexo I se presenta la elaboración del histograma considerando un intervalo par (0.006)  Otra forma de calcular el # de clases es:

√  √

<< Para efectos de nuestro programa recomendamos utilizar la Regla de Sturgis >>

 Cuando nos den el # de clases, el intervalo de clase se calcularía así:

 Volviendo al ejemplo que nos ocupa, hemos elegido un valor impar (0.005); esto implica que debemos ahora determinar el # de clases para este valor:

# Clase = 0.044 / 0.005 = 8.8  9 clases  Si tanteamos para otros intervalos, obtendríamos:

0.003  15 clases // 0.007  6 clases

 Según el criterio establecido para el número de clases adecuado, en nuestro ejemplo: 110 mediciones se recomiendan: 8-17 clases, sin embargo, 15 se aprecia como mucho y 6 cae fuera de la

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 Un número de clases de 9 permitirá obtener la mejor representación de los datos.

4- Puntos medios de las clases:

Es el valor central que contiene cada clase.

MPl = Xl + (el resultado no debe ser redondeado)

 Para la clase menor, debe incluirse el valor mínimo de datos en esa clase; para nuestro ejemplo: 2.531Kg.

MPl = 2.531 + (no debe ser redondeado)

 La selección del punto medio es cosa de apreciación, en este caso específico se selecciona como punto medio a 2.533.

 La selección de distintos valores de punto medio producirá por supuesto diferentes distribuciones de frecuencia.

 El valor del punto medio es el valor más representativo dentro de una clase siempre que la cantidad de observaciones en la clase sea grande, y que la diferencia entre los límites no sea muy grande.

 Los siguientes puntos medios son determinados de la siguiente forma:

2.533 + 0.005 = 2.538 (punto medio de la 2da clase)

2.538+0.005= 2.543 (punto medio de la 3ra clase) y así sucesivamente…

5. Límites de clase:

Los límites de clase son los valores extremos y se denominan límite inferior y superior.

 Todas las observaciones que caen dentro de los límites superior e inferior se clasifican dentro de esa clase en particular.

 Los límites se establecen para que no haya duda sobre la ubicación de una observación.

 En consecuencia, tienen una cifra decimal de más exactitud que los valores observados.

 Como tenemos un intervalo impar (0.005) habrá una cantidad igual de valores de datos a cada lado del punto medio.

 Para la primera clase estos valores serían: 2.531 - 2.532 - 2.533 - 2.534 y 2.535.

 Los límites para la primera clase serían:

LI = 2.531 LS = 2.535

 Para evitar que haya discontinuidades, se amplían los límites reales más o menos a la mitad del número siguiente, en el ejemplo:

2.5305(LI)…2.531…2.532…2.533…2.534…2.535…2.5355(LS)

 Algunos analistas prefieren dejar los límites con la misma cantidad de cifras decimales que los datos.

 No hay problema con esta práctica mientras el intervalo de clase sea impar, y se sobreentienda que los límites reales se extienden hasta la mitad con respecto al siguiente número.

 En esta asignatura seguiremos este criterio.

 Como ya obtuvimos los límites de la primera clase, calculamos los límites de las siguientes clases: Li = 2.531  prox. Límite inf. = 2.531+0.005= 2.536 (2da clase)

Dónde:

MPl = punto medio de la clase menor.

Xl = valor mínimo de la clase.

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Ls = 2.535  prox. Límite sup. = 2.535+0.005= 2.540 (2da clase) y así sucesivamente….

6. Frecuencia de clase:

La frecuencia de cada clase la obtenemos sumando en la hoja de conteo el valor correspondiente asociado a los números que pertenecen a cada límite de clase; así para la 1ra clase tenemos por ejemplo:

2.531  1 2.533  1 2.535  0

2.532  2 2.534  2  ∑= 6 como frecuencia

 De igual manera obtenemos las otras frecuencias de clase.

 La Tabla siguiente muestra los límites de clase para nuestro ejemplo:

Li Ls

Punto Medio de

Clase

Frecuencia Frecuencia Acumulada

Frecuencia Relativa

Frecuencia Relativa Acumulada

2,531 2,535 2,533 6 6 0,055 0,055

2,536 2,540 2,538 8 14 0,073 0,127

2,541 2,545 2,543 12 26 0,109 0,236

2,546 2,550 2,548 13 39 0,118 0,355

2,551 2,555 2,553 20 59 0,182 0,536

2,556 2,560 2,558 19 78 0,173 0,709

2,561 2,565 2,563 13 91 0,118 0,827

2,566 2,570 2,568 11 102 0,100 0,927

2,571 2,575 2,573 8 110 0,073 1,000

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7.- Construcción del Histograma:

 A partir de los datos de la tabla construimos el histograma y la distribución de Probabilidad:

Otros tipos de gráficas para Distribución de Frecuencia:

 Grafica de Barras: se utiliza para cuando los datos son discretos: 0,055

0,073

0,109 0,118 0,182

0,173

0,118 0,100

0,073

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200

2,533 2,538 2,543 2,548 2,553 2,558 2,563 2,568 2,573

Distribución de Probabilidad

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 Polígono o polígono de frecuencia:

o La curva resultante se prolonga para que la figura sea cerrada.

o Como el histograma muestra el área en cada celda, se considera que presenta mejor imagen gráfica que el polígono.

ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE LOS HISTOGRAMAS:

Consideraciones previas:

 Cuando un histograma se construye de manera correcta y es resultado de un número suficiente de datos (> 40 mediciones para que revele el patrón básico de variación) que sean representativos de la población, proceso o problema, entonces lo que arroja el mismo como tendencia central, variabilidad y comportamientos especiales, será una información valiosa.

 Efectuar pocas mediciones pueden llevar a conclusiones erróneas debido a que su forma puede estar incompleta sin que el observador se dé cuenta.

 Los histogramas tienen sus limitaciones: Cuando se toman muestras al azar en lugar del orden de manufactura, se desconocerá la tendencia del proceso en el tiempo durante la producción, por lo tanto, la aparente tendencia central de un histograma puede ser ilusoria.

 Pese a estos inconvenientes, el histograma es una herramienta analítica efectiva ya que su clave radica en su simplicidad.

 Ahora bien, como muchos procesos siguen razonablemente una distribución normal, podemos combinar este concepto con el de histograma, lo cual hace que se produzca una herramienta práctica para analizarlos.

Interpretación de un Histograma: (Ver figura 1)

 Siempre que se analice un histograma se recomienda considerar los siguientes puntos:

1. OBSERVAR LA TENDENCIA CENTRAL DE LOS DATOS:

¿Cuáles son las mediciones más comunes? Hay que observar la barra o grupo de barras más altas o con mayores frecuencias. (Fig. a)

2. ESTUDIAR EL CENTRADO DEL PROCESO:

¿Está centrado el proceso? Aun cuando se cumplan con las especificaciones, si un proceso no está centrado, la calidad que se produce no es adecuada, ya que entre más se aleje de lo óptimo, más mala calidad se tendrá. (Comparar Fig. e-f)

3. EXAMINAR LA VARIABILIDAD DEL PROCESO:

¿Cómo es la dispersión? Debe compararse la amplitud de las especificaciones con el ancho del histograma. Para considerar que la dispersión no es demasiada, el ancho del histograma debe caber de forma holgada en las especificaciones.

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22 4. ANALIZAR LA FORMA DEL HISTOGRAMA:

La forma de distribución de campana es la que más se da en salidas de proceso y tiene características similares a la distribución normal. Cuando la distribución no sea de este tipo es señal de un hecho que está ocurriendo y que tiene un efecto negativo en la calidad.

Algunas de las formas típicas que no coinciden con una distribución de campana son las siguientes:

(a) DISTRIBUCIÓN SESGADA: forma asimétrica de la distribución de unos datos o una variable, donde la cola de un lado de la distribución es más larga que la del otro lado (Fig. f).

¿Hay sesgo? ¿Hacia qué lado? Debe investigarse si existe alguna situación anormal que esté generando tal comportamiento (considere que hay variables que por su naturaleza, son asimétricas)

(b) DISTRIBUCIÓN MULTIMODAL: forma de la distribución de unos datos en la que se aprecian claramente dos o más modas (picos). Por lo general, cada moda refleja una condición o realidad diferente (Fig. c)

¿Cuántos picos hay? Lo primero que hay que hacer es verificar si la construcción se hizo correctamente. En caso contrario, cuando se presentan puede deberse a que el material procede de distintas cadenas de producción, de diferentes proveedores, han intervenido varios operadores o se han utilizado distintos instrumentos de medición sin sincronizarlos. (Fig. c)

(c) DISTRIBUCIÓN MUY PLANA: tienen forma muy chata o plana y en donde las diferencias entre las barras son menos fuertes.

(d) DISTRIBUCIÓN CON ACANTILADOS: es una suspensión o corte muy brusco en la caída de la distribución (Fig. d)

¿Hay acantilados? Son anormales y debe buscarse siempre la causa del mismo. Pueden deberse a:

1. Lote de artículos previamente inspeccionados al 100% donde se excluyó a los artículos que no cumplen con alguna medida mínima o que exceden una medida máxima

2. Problemas con el equipo de medición 3. Errores en la inspección, etc.

5. DATOS RAROS O ATÍPICOS:

Son una o más barras pequeñas bastante separadas o aisladas del resto.

¿Hay datos aislados o raros? Son fáciles de detectar ya que aparecerían como aisladas del resto. Debe investigarse a que se debe. Entre las posibles causas tenemos:

(a) Datos incorrectos.

(b) Medición sobre un artículo que no forma parte del proceso.

(c) Algún evento raro o especial si no ocurrió alguna de las anteriores. 6. ESTRATIFICAR:

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Fig. 1 Diferentes clases de histogramas

Conclusión:

 En general siempre que se analice un histograma se debe asegurar que se construyó de manera correcta.

 Los aspectos más críticos a vigilar son:

o Número de clases

o Elección del inicio y final del histograma (pasos 2, 3 y 4).

 Limitaciones:

o No considera el tiempo en el que se obtuvieron los datos por lo que se hace difícil detectar tendencias.

o No es la técnica más apropiada para comparar de manera práctica varios procesos o grupos de datos.

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(2.2.2) TÉCNICAS DE ANÁLISIS DE PROBLEMAS DE CALIDAD

En la sección anterior cuando estudiábamos como se interpretan los histogramas, veíamos que una de las técnicas que se utilizan cuando existe mucha variabilidad y no se observa ninguna forma particular de las ya conocidas es la Estratificación; con ella, podemos analizar el problema que existe de calidad en la variable de salida del proceso. Por otra parte, debemos señalar que otro tipo de distribución, parecida al histograma, es el diagrama de Pareto; un análisis de Pareto es una técnica muy efectiva para determinar el lugar de los principales problemas con la calidad. En esta sección vamos a concentrarnos en estas dos técnicas que se utilizan para analizar y resolver los problemas de calidad existentes en una organización.

ESTRATIFICACIÓN

Definición: Es una estrategia de clasificación de datos, de tal forma que en una situación dada se facilite la identificación de las fuentes de la variabilidad (origen de los problemas).

 Se aplica cuando tenemos un Histograma que refleja problemas.

 Los problemas de calidad lo podemos estratificar de acuerdo a factores tales como:  Departamentos, áreas, secciones o cadenas de producción.

 Operarios, y éstos a su vez por experiencia, edad, sexo, turno.  Maquinarias o equipos; ej. Por máquina, modelo, tipo, vida útil, etc.  Tiempo de producción: turno, día, semana, noche, mes, etc.  Proceso: procedimiento, temperatura.

 Materiales y proveedores.

Ejemplo.- Consideremos una empresa del ramo metal-mecánico que tiene problemas de piezas metálicas rechazadas por inspección.

Los problemas más visibles en este caso son: Tipo: llenado

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 Habría que pensar en estratificar el problema de “Llenado” en el departamento de “piezas medianas” por turnos, productos, maquinas, etc. para de esta forma poder encontrar el factor que ocasiona la falla.

DIAGRAMA DE PARETO (LEY 80-20. POCOS VITALES, MUCHOS TRIVIALES)

El nombre viene en honor del economista italiano Wilfredo Pareto (1843-1923) quien lo pronuncio por primera vez. Pareto enunció el principio basándose en el denominado conocimiento empírico. Observó que la gente en su sociedad se dividía naturalmente entre los «pocos de mucho» y los «muchos de poco»; se establecían así dos grupos de proporciones 80-20 tales que el grupo minoritario, formado por un 20% de población, ostentaba el 80% de algo y el grupo mayoritario, formado por un 80% de población, el 20% de ese mismo algo.

El principio de Pareto refiere que pocos elementos (20%) generan la mayor parte del efecto (80%), y el resto de los elementos propician muy poco efecto total.

Definición.- es un gráfico de barras que ayuda a identificar prioridades y causas, ya que ordenan por orden de importancia a los diferentes problemas que se presentan en un proceso.

 Las clasificaciones pueden ser fallas, problemas, causas, tipos de no conformes, etc.  Las „pocas vitales’ se encuentran a la izquierda y los „muchos triviales’ a la derecha.

 A veces es necesario agrupar algunos ‘muchos triviales’ en una clasificación llamada ‘otros’.  Cuando se utiliza los ‘otros’, siempre se coloca en el extremo derecho.

 La escala horizontal presenta las categorías de la clasificación (no es un valor numérico).  La escala vertical puede estar en frecuencia o dinero (izq.) y porcentaje (der.)

 A veces contienen una línea acumulativa que representa la suma de los datos, al sumarlos de izquierda a derecha.

 La grafica de Pareto tiene la ventaja de proporcionar un impacto visual de las pocas características vitales que requieren atención.

 Su uso no tiene fin ya que va generando otras causas que se convierten en objetivo a corregir.  Por ello, el Diagrama de Pareto es un método poderoso para mejorar la calidad.

CONSTRUCCIÓN DE UN DIAGRAMA DE PARETO: Mediante un ejemplo graficaremos el mismo:

Sea un proceso de manufactura en donde resultan defectuosas muchas piezas por distintas ra zones. Se decide chequear los datos de la inspección final y las posibles fuentes de variabilidad, obteniéndose la siguiente hoja de registro:

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12 2.- Se procede a estratificar por tipo de defecto:

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 Además se deben añadir referencias tales como: títulos, período, área de trabajo, etc.

 En el ejemplo se observa que los rasguños representan la mayor cantidad de piezas defectuosas. 4.- El siguiente paso es realizar un análisis de Pareto de segundo nivel, el cual consiste en estratificar el defecto principal (rasguños) en los factores que quizás influyen en él como podrían ser: maquinas, días y turnos (ya están considerados en la tabla 7.2).

-Construimos una Tabla colocando el defecto por tipo de maquinaria de mayor a menor: ESTRATIFICACIÓN PARA LAS PIEZAS CON RASGUÑOS

MAQUINA # Defecto # Defecto Acumulado % Defecto % Defecto Acumulado

B 50 50 42.0 42.0

A 24 74 20.2 62.2

C 24 98 20.2 82.4

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 Se observa que la maquina B contribuye al defecto principal con 42% del total y representan el doble de lo que se dieron en cada una de las demás.

 Es necesario seguir estratificando; en la maquina B deben estudiarse factores tales como tiempo sin mantenimiento, operadores o trabajos especiales programados en dicha máquina, etc. (ver figura siguiente):

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ANEXO I

 Construcción del Histograma para los ejes de acero utilizando un intervalo par.

i= 0,006 #CLASE= 7,33 →8 CLASES

CLASE Li Ls

Punto Medio de

Clase

Frecuencia Frecuencia Acumulada

Frecuencia Relativa

Frecuencia Relativa Acumulada

1 2,531 2,536 2,5335 8 8 0,073 0,073

2 2,537 2,542 2,5395 9 17 0,082 0,155

3 2,543 2,548 2,5455 16 33 0,145 0,300

4 2,549 2,554 2,5515 25 58 0,227 0,527

5 2,555 2,560 2,5575 20 78 0,182 0,709

6 2,561 2,566 2,5635 14 92 0,127 0,836

7 2,567 2,572 2,5695 14 106 0,127 0,964

8 2,573 2,578 2,5755 4 110 0,036 1,000

Total: 110

8 9

16

25

20

14 14

4

0 5 10 15 20 25 30

2,5335 2,5395 2,5455 2,5515 2,5575 2,5635 2,5695 2,5755

HISTOGRAMA

Figure

Fig. 1 Diferentes clases de histogramas  Conclusión:
Fig. 1 Diferentes clases de histogramas Conclusión: p.13

Referencias

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