EXAMEN DE MATEMATICAS II 1ª EVALUACIÓN
Apellidos: __________________________Nombre: _______________ Curso y Grupo: B2ºC Día: 4-XI-2016 CURSO 2016-17
Opción A
1.- [2,5 puntos] Determinar una matriz cuadrada X que verifique: A · X + X · A = (2 −2
3 3 ) , siendo A = ( 1 0 1 1) Luego analizar si la matriz X es inversible, y en el caso de serlo, calcular su matriz inversa.
2.- a) [1 punto] El determinante |
2 𝑎 5
4 𝑎2 13 8 𝑎3 35
| es nulo para un cierto valor de a. Halla dicho valor y comprueba
esta afirmación sin desarrollarlo e indicando las propiedades de los determinantes que apliques.
b) [1,5 puntos] Determina todos los valores de a para los que las tres columnas del determinante anterior representan vectores linealmente dependientes.
3.- Sea el sistema homogéneo de ecuaciones: {
x + y − 2z = 0 ax − y + z = 0 x + 2ay − z = 0
a) [1 punto] Determinar el valor o valores del parámetro a para que el sistema tenga soluciones distintas de la nula.
b) [1,5 puntos] Resolver el sistema para el valor o valores de a hallados en el apartado anterior.
4.- [2,5 puntos] Eva, Marta y Susana son tres jóvenes amigas que se comprometen a leer el Quijote este verano. Cada una por separado y en función del tiempo del que dispone, decide leer un mismo número de páginas cada día hasta terminar la obra. Eva leerá́ diariamente 5 páginas más que Marta y ésta 6 páginas más que Susana. Por ello Eva terminará la obra dos semanas antes que Marta y ésta 30 días antes que Susana. Se pregunta cuál es el total de páginas que tiene la versión de la inmortal obra cervantina que leen estas amigas.
Opción B
1.- [2,5 puntos] Buscar una matriz cuadrada X (pueden existir varias) cuyo primer elemento a11 valga 2 y tal que la suma (2 −2
6 0 )· X + X. (
−1 −1
11 −1) sea la matriz nula.
2.- Considera la matriz
A = (
𝑎 𝑏 𝑐
2𝑎 −𝑏 3𝑐
3𝑎 0 4𝑐
)
donde a, b y c son no nulos.
a) [1 punto] Determina el número de columnas de A que son linealmente independientes. b) [1,5 puntos] Calcula el rango de A y razona si dicha matriz tiene inversa.
3.- [2,5 puntos] Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales, {
x + 3y + z = 5 ax + 2z = 0
ay + z = 0
Se pide clasificarlo según los valores del parámetro a y resolverlo si en algún caso es compatible indeterminado.
SOLUCIÓN DEL EXAMEN Opción A
1.- [2,5 puntos] Determinar una matriz cuadrada X que verifique: A · X + X · A = (𝟐 −𝟐
𝟑 𝟑) , siendo A = ( 𝟏 𝟎 𝟏 𝟏)
Luego analizar si la matriz X es inversible, y en el caso de serlo, calcular su matriz inversa. Solución:
Sea X = (𝑎 𝑏
𝑐 𝑑) la matriz que buscamos.
Obligamos a que cumpla la ecuación: A · X + X · A = (1 0
1 1).( 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑) + (
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑). (
1 0 1 1) = (
2 −2 3 3 )
( 𝑎 𝑏
𝑎 + 𝑐 𝑏 + 𝑑) + (
𝑎 + 𝑏 𝑏 𝑐 + 𝑑 𝑑) = (
2 −2 3 3 ) (
2𝑎 + 𝑏 2𝑏 𝑎 + 2𝑐 + 𝑑 𝑏 + 2𝑑) = (
2 −2 3 3 )
Igualando términos equivalentes queda: 2a + b = 2
2b = -2 a+2c+d = 3 b+2d = 3
Despejando en la segunda ecuación: b = -1
Sustituyendo el valor de b en la primera ecuación: 2a -1 = 2 2a = 3 a = 3
2
Sustituyendo el valor de b en la cuarta ecuación: -1+2d = 3 2d = 3+1 d = 2
Sustituyendo los valores de a y d en la tercera ecuación: 3
2+2c+2 = 3 2c = 3-2- 3
2=
-1 2 c =
-1 4
La matriz cuadrada pedida es: X = (
3
2 −1
−1
4 2
)
Como es una matriz cuadrad será inversible si su determinante es no nulo: |X| =|
3
2 −1
−1
4 2
| = 3 - 1 4
=
11
4
0
X es inversible
Vamos a calcular su inversa aplicando el método de Gauss-Jordan. Para simplificar el proceso multiplicamos la primera fila por 2 y la segunda por 4. A continuación Permutamos las dos filas:
( 3
2 −1
−1
4 2
|1 0 0 1) (
3 −2 −1 8 |
2 0 0 4) (
−1 8 3 −2|
0 4 2 0)
Multiplicamos la 1ª fila por -1 y restamos a la 2ª fila la 1ª multiplicada por 3: (1 −8
3 −2| 0 −4 2 0 ) (
1 −8 0 22|
0 −4 2 12)
(1 −8 0 1 |
0 −4 1 11
6 11
) (1 0 0 1|
8 11
4 11 1 11
6 11
)
la matriz inversa es: X-1 = 𝟏
𝟏𝟏( 𝟖 𝟒 𝟏 𝟔)
2.- a) [1 punto] El determinante |
𝟐 𝒂 𝟓
𝟒 𝒂𝟐 𝟏𝟑 𝟖 𝒂𝟑 𝟑𝟓
| es nulo para un cierto valor de a. Halla dicho valor y comprueba
esta afirmación sin desarrollarlo e indicando las propiedades de los determinantes que apliques.
b) [1,5 puntos] Determina todos los valores de a para los que las tres columnas del determinante anterior representan vectores linealmente dependientes.
Solución:
a) Es nulo el determinante si 2+a = 5 a = 3. Lo mismo para las otras dos valores. Si sustituimos a por 3 el determinante queda como
|
2 3 5
4 9 13
8 27 35 |
Como la 3ª columna es combinación lineal de la 1ª y 2ª (suma de ambas) el determinante es nulo.
b) Las tres columnas del determinante anterior representan vectores linealmente dependientes si su valor es nulo. Hallemos el valor del determinante sacando a factor común 2 en la 1ª columna y a en la 2ª columna: |A|= |
2 𝑎 5
4 𝑎2 13 8 𝑎3 35
| = 2a.|
1 1 5
2 𝑎 13 4 𝑎2 35 |
Restamos a la 2ª fila la 1ª multiplicada por 2 y a la 3ª fila la 1ª multiplicada por 4 y desarrollando a continuación por los elementos de la 1ª columna.
= 2a. |
1 1 5
0 𝑎 − 2 3 0 𝑎2− 4 15
| = 2a.|𝑎 − 2 3
𝑎2− 4 15| = 2a[(15a-30)-(3a2-12)] = 2ª.(-3a2+15a-18)
Obliguemos a que sea nulo:
2a(-3a2+15a-18) = 0 -6a(a-3)(a-2) = 0 con soluciones a = 0, a = 2 y a = 3.
3.- Sea el sistema homogéneo de ecuaciones: {
𝐱 + 𝐲 − 𝟐𝐳 = 𝟎 𝐚𝐱 − 𝐲 + 𝐳 = 𝟎 𝐱 + 𝟐𝐚𝐲 − 𝐳 = 𝟎
a) [1,5 puntos] Determinar el valor o valores del parámetro a para que el sistema tenga soluciones distintas de la nula.
b) [1 punto] Resolver el sistema para el valor o valores de a hallados en el apartado anterior. Solución:
Como se trata de un sistema homogéneo, las matrices de coeficiente y ampliada tiene el mismo rango. A = (
1 1 −2
a −1 1 1 2𝑎 −1
) y A* = (
1 1 −2
a −1 1 1 2𝑎 −1
| 0 0 0
)
a) Los valores del parámetro a para que el sistema tenga soluciones distintas de la nula son aquellos que anulan el determinante |A|.
|A| =
|1 1 −2
a −1 1 1 2𝑎 −1
|
=
1−4a2+1−2−2a+a = −4a2−a = -a(4a+1)Luego para:
a = 0 y a = - 1
4. rg(A) = rg(A*) = 2 < nº de incógnitas, luego aplicando el Teorema de Rouché-Frobenius el sistema es compatible indeterminado y tiene soluciones distintas de la nula.
a 0 y a - 14, rg(A) = rg(A*) = 3 = nº de incógnitas, luego aplicando el Teorema de Rouché-Frobenius el sistema es compatible determinado y sólo tiene la solución trivial x= y = z = 0.
b) Resolvemos el sistema para los valores de a hallados en el apartado anterior.
Si a = 0 queda el sistema:{
x + y − 2z = 0 −y + z = 0
x − z = 0
Como una de las ecuaciones es combinación lineal de las otras dos, despreciamos la primera y tomamos como parámetro z = en las otras dos:
{−y + z = 0 x − z = 0 {
y = λ x = λ
Luego la solución es: (x, y , z) = (, , )
Si a = - 14. queda el sistema: {
x + y − 2z = 0 − 1
4x − y + z = 0 x − 1
2y − z = 0
{
x + y − 2z = 0 −x − 4y + 4z = 0
2x − y − 2z = 0
Despreciamos la segunda ecuación y tomamos como parámetro z = en las otras dos: {2x − y = 2λx + y = 2λ
Sumando ambas ecuaciones obtenemos: 3x = 4 x = 4
3λ
Sustituyendo de nuevo en la primera ecuación: y = 2-x = 2-4
3λ =
2 3λ
Luego la solución es: (x, y , z) = (4
3λ,
2
3λ, ) o cualquiera proporcional a ésta en particular: (x, y , z) = (4, 2, 3)
4. Eva, Marta y Susana son tres jóvenes amigas que se comprometen a leer el Quijote este verano. Cada una por separado y en función del tiempo del que dispone, decide leer un mismo número de páginas cada día hasta terminar la obra. Eva leerá́ diariamente 5 páginas más que Marta y ésta 6 páginas más que Susana. Por ello Eva terminará la obra dos semanas antes que Marta y ésta 30 días antes que Susana. Se pregunta cuál es el total de páginas que tiene la versión de la inmortal obra cervantina que leen estas amigas.
Solución: Sean:
x el número de páginas que lee diariamente Eva.
y el número de días que utiliza Eva para leer el Quijote
N el total de páginas del Quijote (N = x.y).
Con los datos del problema obtenemos la siguiente tabla: Nª pág./día Nº días
EVA x y
MARTA x-5 y + 14
Si comparamos Eva y Marta las páginas leídas son:
N = x·y = (x−5)(y+14) x·y = x·y + 1 4 x − 5 y − 7 0 14 x − 5 y = 7 0 Si comparamos Eva y Susana las páginas leídas son:
N = x·y = (x−11)(y+44) x·y = x·y + 44x − 11y − 484 44x−11y = 484 Obteniendo un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas:
{ 14x − 5y = 70 44x − 11y = 484
Resolvemos por reducción el sistema anterior, multiplicando la primera ecuación por -11 y la segunda por 5: {−154x + 55y = −770
220x − 55y = 2420 Sumando ambas ecuaciones 66x = 1650 x = 1650
66 = 25
Sustituyendo el valor anterior en la primera ecuación: y = 14𝑥−70
5 =
350−70
5 =
280 5 = 56 El número total de páginas serán: N = 25 · 56 = 1400.
El número de páginas de la versión del Quijote que leen las amigas es de 1.400.
Opción B
1.- [2,5 puntos] Buscar una matriz cuadrada X (pueden existir varias) cuyo primer elemento a11 valga 2 y tal
que la siguiente suma (𝟐 −𝟐
𝟔 𝟎)· X + X. (
−𝟏 −𝟏
𝟏𝟏 −𝟏) sea la matriz nula.
Solución:
Sea la matriz pedida X = (2 𝑎
b 𝑐), entonces: Obligamos a que cumpla la ecuación: (2 −2
6 0 ).( 2 𝑎 b 𝑐)+ (
2 𝑎 b 𝑐). (
−1 −1 11 −1) = (
0 0 0 0) (4 − 2𝑏 2𝑎 − 2𝑐
12 + 0 6𝑎 + 0) + (
−2 + 11𝑎 −2 − 𝑎 −𝑏 + 11𝑐 −𝑏 − 𝑐) = (
0 0 0 0) (
2 + 11𝑎 − 2𝑏 −2 + 𝑎 − 2𝑐 12 − 𝑏 + 11𝑐 6𝑎 − 𝑏 − 𝑐 ) = (
0 0 0 0)
Igualando términos equivalentes queda: 2+11a-2b = 0 11a-2b = -2
12-b+11c = 0 b-11c = 12 -2+a-2c = 0 a-2c = 2 6a-b-c = 0
Que es un sistema de 4 ecuaciones con tres incógnitas. Para resolverlo, despreciamos una de las ecuaciones (por ejemplo la 4ª) y resolvemos el sistema formado por las otras tres.
En la 2ª ecuación despejamos b y sustituimos en las otras dos: b = 12+11c
{11a − 2(12 + 11c) = −2 a − 2c = 2 {
11a − 22c = 22 a − 2c = 2 {
a − 2c = 2
a − 2c = 2 a = 2c+2 Sustituyendo los valores obtenidos en la ecuación despreciada, la cuarta y resulta: 6(2c+2)−(12+11c)−c = 0 12c+12−12−11c−c = 0 0 = 0
Una solución se puede obtener tomando c = 0, por ejemplo: X = (2 2
12 0),
2.- Considera la matriz
A = (
𝒂 𝒃 𝒄
𝟐𝒂 −𝒃 𝟑𝒄
𝟑𝒂 𝟎 𝟒𝒄
)
donde a, b y c son no nulos.
a) [1 punto] Determina el número de columnas de A que son linealmente independientes. b) [1,5 puntos] Calcula el rango de A y razona si dicha matriz tiene inversa.
Solución:
Para calcular el número de columnas que son independientes calculamos el rango de A, ya que ambos valores coinciden. Para calcular el determinante sumamos a la 2ª fila la 1ª:
A =|
a b c
2a −b 3c
3a 0 4c
| = |
a b c
3a 0 4c 3a 0 4c
| = 0
que es nulo por tener la 2ª y 3ª filas iguales. El rango de la matriz no puede ser 3. No puede haber 3 columnas linealmente independientes.
Por otro lado si consideramos los cuatro elementos de la esquina superior izquierda tenemos un menor de orden 2 no nulo puesto que:
|𝑞 𝑏
2𝑎 −𝑏| = -3ab 0
ya que tanto a como b son no nulos según el enunciado del problema. Luego rg(A) = 2 y hay dos columnas linealmente independientes.
(2) En el apartado anterior hemos calculado el rango de A, que era 2 y como el determinante de la matriz es nulo el rango de la matriz es menor que el orden y por lo tanto A no tiene inversa.
3.- [2,5 puntos] Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales, {
𝐱 + 𝟑𝐲 + 𝐳 = 𝟓 𝐚𝐱 + 𝟐𝐳 = 0
a𝐲 + 𝐳 = 𝟎
Se pide clasificarlo según los valores del parámetro a y resolverlo si en algún caso es compatible indeterminado.
Solución:
Consideramos las matrices de coeficiente y ampliada del sistema. A = (
1 3 1 a 0 2 0 𝑎 1
) y A* = (
1 3 1 a 0 2 0 𝑎 1 |
5 a 0
)
a) Para clasificar el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Frobenius. Hallamos los valores del parámetro a que anulan el determinante |A|.
|A| =
|1 3 1 a 0 2 0 𝑎 1
|
= a
2−2a−5a = 0 a2−5a = 0a(a-5) = 0 {a = 0 a = 5
Luego para:
Si a 0 y a 5, rg(A) = rg(A*) = 3 = nº de incógnitas, luego aplicando el Teorema de Rouché-Frobenius el sistema es compatible determinado y tiene solución única.
A = (
1 3 1 0 0 2 0 0 1
) y A* = (
1 3 1 0 0 2 0 0 1 |
5 0 0 )
Como existe un menor |1 1
0 1| = 1-0 0 obtenemos que rg(A) = rg(A*) = 2 < nº de incógnitas, ya que c1, c2 y c4 son proporcionales, luego aplicando el Teorema de Rouché-Frobenius el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones.
Si a = 5, las matrices de coeficiente y ampliada del sistema son: A = (
1 3 1 5 0 2 0 5 1
) y A* = (
1 3 1 0 0 2 0 5 1 |
5 0 5 )
Como existe un menor |1 3
5 0| = 0-15 0 obtenemos que rg(A) = 2. Si consideramos el determinante de la matriz:
[c1, c2, c4] = |
1 3 5 5 0 0 0 5 5
| = 125−75 = 50 0
Como rg(A) = 2 < rg(A*) = 3, aplicando el Teorema de Rouché-Frobenius el sistema es incompatible y no tiene solución.
b) Resolvemos en el caso que es compatible indeterminado, es decir cuando a = 0, tal como hemos hallado en el apartado anterior. Resulta el sistema:
{
x + 3y + z = 5 2z = 0
z = 0
Como la segunda y tercera ecuaciones son iguales, despreciamos la segunda y sustituimos en la primera y = como parámetro:
{x + 3y + z = 5 z = 0 {
x = 5 − 3λ z = 0 Luego la solución es:
(x, y , z) = (5-3, , 0)
4.- [2,5 puntos] A, B y C son tres ciudades que forman un triangulo de manera que entre cada dos de ellas hay una carretera recta que las une. Se sabe que si se va de A a B dando la vuelta por C se hace un recorrido tres veces mayor que si se va directamente de A a B. Asimismo si para ir de A a C se da la vuelta por B el recorrido es el doble que si se va directamente de A a C. Calcular las distancias entre las tres ciudades sabiendo que la suma de las tres distancias es igual a 120 kilómetros.
Solución: Sean:
x = la distancia entre A y B y = la distancia entre A y C z = la distancia entre B y C
Según el enunciado del problema obtenemos el sistema:
{
x + y = 3z x + z = 2y x + y + z = 120
Que reordenando da lugar a: {
x + y − 3z = 0 x − 2y + z = 0 x + y + z = 120
[1]
Despejando en la segunda ecuación de [2]: 3y = 120 = 0 y = 40
Que sustituyendo valores en la primera del mismo sistema: 120 – 4z = 0 z = 30
Sustituyendo los valores de z e y en la primera ecuación de [1]: x+ y+ z = 120 x+40+30 = 120 x+70 = 120 x = 120−70 = 50