Opción B 1.- [2,5 puntos] Buscar una matriz cuadrada X (pueden existir varias) cuyo primer elemento a 11 valga 2 y tal que

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EXAMEN DE MATEMATICAS II 1ª EVALUACIÓN

Apellidos: __________________________Nombre: _______________ Curso y Grupo: B2ºC Día: 4-XI-2016 CURSO 2016-17

Opción A

1.- [2,5 puntos] Determinar una matriz cuadrada X que verifique: A · X + X · A = (2 −2

3 3 ) , siendo A = ( 1 0 1 1) Luego analizar si la matriz X es inversible, y en el caso de serlo, calcular su matriz inversa.

2.- a) [1 punto] El determinante |

2 𝑎 5

4 𝑎2 13 8 𝑎3 35

| es nulo para un cierto valor de a. Halla dicho valor y comprueba

esta afirmación sin desarrollarlo e indicando las propiedades de los determinantes que apliques.

b) [1,5 puntos] Determina todos los valores de a para los que las tres columnas del determinante anterior representan vectores linealmente dependientes.

3.- Sea el sistema homogéneo de ecuaciones: {

x + y − 2z = 0 ax − y + z = 0 x + 2ay − z = 0

a) [1 punto] Determinar el valor o valores del parámetro a para que el sistema tenga soluciones distintas de la nula.

b) [1,5 puntos] Resolver el sistema para el valor o valores de a hallados en el apartado anterior.

4.- [2,5 puntos] Eva, Marta y Susana son tres jóvenes amigas que se comprometen a leer el Quijote este verano. Cada una por separado y en función del tiempo del que dispone, decide leer un mismo número de páginas cada día hasta terminar la obra. Eva leerá́ diariamente 5 páginas más que Marta y ésta 6 páginas más que Susana. Por ello Eva terminará la obra dos semanas antes que Marta y ésta 30 días antes que Susana. Se pregunta cuál es el total de páginas que tiene la versión de la inmortal obra cervantina que leen estas amigas.

Opción B

1.- [2,5 puntos] Buscar una matriz cuadrada X (pueden existir varias) cuyo primer elemento a11 valga 2 y tal que la suma (2 −2

6 0 )· X + X. (

−1 −1

11 −1) sea la matriz nula.

2.- Considera la matriz

A = (

𝑎 𝑏 𝑐

2𝑎 −𝑏 3𝑐

3𝑎 0 4𝑐

)

donde a, b y c son no nulos.

a) [1 punto] Determina el número de columnas de A que son linealmente independientes. b) [1,5 puntos] Calcula el rango de A y razona si dicha matriz tiene inversa.

3.- [2,5 puntos] Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales, {

x + 3y + z = 5 ax + 2z = 0

ay + z = 0

Se pide clasificarlo según los valores del parámetro a y resolverlo si en algún caso es compatible indeterminado.

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SOLUCIÓN DEL EXAMEN Opción A

1.- [2,5 puntos] Determinar una matriz cuadrada X que verifique: A · X + X · A = (𝟐 −𝟐

𝟑 𝟑) , siendo A = ( 𝟏 𝟎 𝟏 𝟏)

Luego analizar si la matriz X es inversible, y en el caso de serlo, calcular su matriz inversa. Solución:

Sea X = (𝑎 𝑏

𝑐 𝑑) la matriz que buscamos.

Obligamos a que cumpla la ecuación: A · X + X · A = (1 0

1 1).( 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑) + (

𝑎 𝑏 𝑐 𝑑). (

1 0 1 1) = (

2 −2 3 3 )

( 𝑎 𝑏

𝑎 + 𝑐 𝑏 + 𝑑) + (

𝑎 + 𝑏 𝑏 𝑐 + 𝑑 𝑑) = (

2 −2 3 3 )  (

2𝑎 + 𝑏 2𝑏 𝑎 + 2𝑐 + 𝑑 𝑏 + 2𝑑) = (

2 −2 3 3 )

Igualando términos equivalentes queda: 2a + b = 2

2b = -2 a+2c+d = 3 b+2d = 3

Despejando en la segunda ecuación: b = -1

Sustituyendo el valor de b en la primera ecuación: 2a -1 = 2  2a = 3  a = 3

2

Sustituyendo el valor de b en la cuarta ecuación: -1+2d = 3  2d = 3+1  d = 2

Sustituyendo los valores de a y d en la tercera ecuación: 3

2+2c+2 = 3  2c = 3-2- 3

2=

-1 2 c =

-1 4

La matriz cuadrada pedida es: X = (

3

2 −1

−1

4 2

)

Como es una matriz cuadrad será inversible si su determinante es no nulo: |X| =|

3

2 −1

−1

4 2

| = 3 - 1 4

=

11

4

 0

X es inversible

Vamos a calcular su inversa aplicando el método de Gauss-Jordan. Para simplificar el proceso multiplicamos la primera fila por 2 y la segunda por 4. A continuación Permutamos las dos filas:

( 3

2 −1

−1

4 2

|1 0 0 1)  (

3 −2 −1 8 |

2 0 0 4)  (

−1 8 3 −2|

0 4 2 0)

Multiplicamos la 1ª fila por -1 y restamos a la 2ª fila la 1ª multiplicada por 3: (1 −8

3 −2| 0 −4 2 0 )  (

1 −8 0 22|

0 −4 2 12)

(3)

(1 −8 0 1 |

0 −4 1 11

6 11

)  (1 0 0 1|

8 11

4 11 1 11

6 11

)

la matriz inversa es: X-1 = 𝟏

𝟏𝟏( 𝟖 𝟒 𝟏 𝟔)

2.- a) [1 punto] El determinante |

𝟐 𝒂 𝟓

𝟒 𝒂𝟐 𝟏𝟑 𝟖 𝒂𝟑 𝟑𝟓

| es nulo para un cierto valor de a. Halla dicho valor y comprueba

esta afirmación sin desarrollarlo e indicando las propiedades de los determinantes que apliques.

b) [1,5 puntos] Determina todos los valores de a para los que las tres columnas del determinante anterior representan vectores linealmente dependientes.

Solución:

a) Es nulo el determinante si 2+a = 5  a = 3. Lo mismo para las otras dos valores. Si sustituimos a por 3 el determinante queda como

|

2 3 5

4 9 13

8 27 35 |

Como la 3ª columna es combinación lineal de la 1ª y 2ª (suma de ambas) el determinante es nulo.

b) Las tres columnas del determinante anterior representan vectores linealmente dependientes si su valor es nulo. Hallemos el valor del determinante sacando a factor común 2 en la 1ª columna y a en la 2ª columna: |A|= |

2 𝑎 5

4 𝑎2 13 8 𝑎3 35

| = 2a.|

1 1 5

2 𝑎 13 4 𝑎2 35 |

Restamos a la 2ª fila la 1ª multiplicada por 2 y a la 3ª fila la 1ª multiplicada por 4 y desarrollando a continuación por los elementos de la 1ª columna.

= 2a. |

1 1 5

0 𝑎 − 2 3 0 𝑎2− 4 15

| = 2a.|𝑎 − 2 3

𝑎2− 4 15| = 2a[(15a-30)-(3a2-12)] = 2ª.(-3a2+15a-18)

Obliguemos a que sea nulo:

2a(-3a2+15a-18) = 0 -6a(a-3)(a-2) = 0 con soluciones a = 0, a = 2 y a = 3.

3.- Sea el sistema homogéneo de ecuaciones: {

𝐱 + 𝐲 − 𝟐𝐳 = 𝟎 𝐚𝐱 − 𝐲 + 𝐳 = 𝟎 𝐱 + 𝟐𝐚𝐲 − 𝐳 = 𝟎

a) [1,5 puntos] Determinar el valor o valores del parámetro a para que el sistema tenga soluciones distintas de la nula.

b) [1 punto] Resolver el sistema para el valor o valores de a hallados en el apartado anterior. Solución:

Como se trata de un sistema homogéneo, las matrices de coeficiente y ampliada tiene el mismo rango. A = (

1 1 −2

a −1 1 1 2𝑎 −1

) y A* = (

1 1 −2

a −1 1 1 2𝑎 −1

| 0 0 0

)

a) Los valores del parámetro a para que el sistema tenga soluciones distintas de la nula son aquellos que anulan el determinante |A|.

|A| =

|

1 1 −2

a −1 1 1 2𝑎 −1

|

=

1−4a2+1−2−2a+a = −4a2−a = -a(4a+1)

(4)

Luego para:

a = 0 y a = - 1

4. rg(A) = rg(A*) = 2 < nº de incógnitas, luego aplicando el Teorema de Rouché-Frobenius el sistema es compatible indeterminado y tiene soluciones distintas de la nula.

a  0 y a  - 1

4, rg(A) = rg(A*) = 3 = nº de incógnitas, luego aplicando el Teorema de Rouché-Frobenius el sistema es compatible determinado y sólo tiene la solución trivial x= y = z = 0.

b) Resolvemos el sistema para los valores de a hallados en el apartado anterior.

Si a = 0 queda el sistema:

{

x + y − 2z = 0 −y + z = 0

x − z = 0

Como una de las ecuaciones es combinación lineal de las otras dos, despreciamos la primera y tomamos como parámetro z =  en las otras dos:

{−y + z = 0 x − z = 0  {

y = λ x = λ

Luego la solución es: (x, y , z) = (, , )

Si a = - 1

4. queda el sistema: {

x + y − 2z = 0 − 1

4x − y + z = 0 x − 1

2y − z = 0

{

x + y − 2z = 0 −x − 4y + 4z = 0

2x − y − 2z = 0

Despreciamos la segunda ecuación y tomamos como parámetro z =  en las otras dos: {2x − y = 2λx + y = 2λ

Sumando ambas ecuaciones obtenemos: 3x = 4 x = 4

Sustituyendo de nuevo en la primera ecuación: y = 2-x = 2-4

3λ =

2 3λ

Luego la solución es: (x, y , z) = (4

3λ,

2

3λ, ) o cualquiera proporcional a ésta en particular: (x, y , z) = (4, 2, 3)

4. Eva, Marta y Susana son tres jóvenes amigas que se comprometen a leer el Quijote este verano. Cada una por separado y en función del tiempo del que dispone, decide leer un mismo número de páginas cada día hasta terminar la obra. Eva leerá́ diariamente 5 páginas más que Marta y ésta 6 páginas más que Susana. Por ello Eva terminará la obra dos semanas antes que Marta y ésta 30 días antes que Susana. Se pregunta cuál es el total de páginas que tiene la versión de la inmortal obra cervantina que leen estas amigas.

Solución: Sean:

 x el número de páginas que lee diariamente Eva.

 y el número de días que utiliza Eva para leer el Quijote

 N el total de páginas del Quijote (N = x.y).

Con los datos del problema obtenemos la siguiente tabla: Nª pág./día Nº días

EVA x y

MARTA x-5 y + 14

(5)

Si comparamos Eva y Marta las páginas leídas son:

N = x·y = (x−5)(y+14)  x·y = x·y + 1 4 x − 5 y − 7 0  14 x − 5 y = 7 0 Si comparamos Eva y Susana las páginas leídas son:

N = x·y = (x−11)(y+44)  x·y = x·y + 44x − 11y − 484  44x−11y = 484 Obteniendo un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas:

{ 14x − 5y = 70 44x − 11y = 484

Resolvemos por reducción el sistema anterior, multiplicando la primera ecuación por -11 y la segunda por 5: {−154x + 55y = −770

220x − 55y = 2420 Sumando ambas ecuaciones 66x = 1650  x = 1650

66 = 25

Sustituyendo el valor anterior en la primera ecuación: y = 14𝑥−70

5 =

350−70

5 =

280 5 = 56 El número total de páginas serán: N = 25 · 56 = 1400.

El número de páginas de la versión del Quijote que leen las amigas es de 1.400.

Opción B

1.- [2,5 puntos] Buscar una matriz cuadrada X (pueden existir varias) cuyo primer elemento a11 valga 2 y tal

que la siguiente suma (𝟐 −𝟐

𝟔 𝟎)· X + X. (

−𝟏 −𝟏

𝟏𝟏 −𝟏) sea la matriz nula.

Solución:

Sea la matriz pedida X = (2 𝑎

b 𝑐), entonces: Obligamos a que cumpla la ecuación: (2 −2

6 0 ).( 2 𝑎 b 𝑐)+ (

2 𝑎 b 𝑐). (

−1 −1 11 −1) = (

0 0 0 0) (4 − 2𝑏 2𝑎 − 2𝑐

12 + 0 6𝑎 + 0) + (

−2 + 11𝑎 −2 − 𝑎 −𝑏 + 11𝑐 −𝑏 − 𝑐) = (

0 0 0 0)  (

2 + 11𝑎 − 2𝑏 −2 + 𝑎 − 2𝑐 12 − 𝑏 + 11𝑐 6𝑎 − 𝑏 − 𝑐 ) = (

0 0 0 0)

Igualando términos equivalentes queda: 2+11a-2b = 0  11a-2b = -2

12-b+11c = 0  b-11c = 12 -2+a-2c = 0  a-2c = 2 6a-b-c = 0

Que es un sistema de 4 ecuaciones con tres incógnitas. Para resolverlo, despreciamos una de las ecuaciones (por ejemplo la 4ª) y resolvemos el sistema formado por las otras tres.

En la 2ª ecuación despejamos b y sustituimos en las otras dos: b = 12+11c

{11a − 2(12 + 11c) = −2 a − 2c = 2  {

11a − 22c = 22 a − 2c = 2  {

a − 2c = 2

a − 2c = 2  a = 2c+2 Sustituyendo los valores obtenidos en la ecuación despreciada, la cuarta y resulta: 6(2c+2)−(12+11c)−c = 0  12c+12−12−11c−c = 0  0 = 0

(6)

Una solución se puede obtener tomando c = 0, por ejemplo: X = (2 2

12 0),

2.- Considera la matriz

A = (

𝒂 𝒃 𝒄

𝟐𝒂 −𝒃 𝟑𝒄

𝟑𝒂 𝟎 𝟒𝒄

)

donde a, b y c son no nulos.

a) [1 punto] Determina el número de columnas de A que son linealmente independientes. b) [1,5 puntos] Calcula el rango de A y razona si dicha matriz tiene inversa.

Solución:

Para calcular el número de columnas que son independientes calculamos el rango de A, ya que ambos valores coinciden. Para calcular el determinante sumamos a la 2ª fila la 1ª:

A =|

a b c

2a −b 3c

3a 0 4c

| = |

a b c

3a 0 4c 3a 0 4c

| = 0

que es nulo por tener la 2ª y 3ª filas iguales. El rango de la matriz no puede ser 3. No puede haber 3 columnas linealmente independientes.

Por otro lado si consideramos los cuatro elementos de la esquina superior izquierda tenemos un menor de orden 2 no nulo puesto que:

|𝑞 𝑏

2𝑎 −𝑏| = -3ab  0

ya que tanto a como b son no nulos según el enunciado del problema. Luego rg(A) = 2 y hay dos columnas linealmente independientes.

(2) En el apartado anterior hemos calculado el rango de A, que era 2 y como el determinante de la matriz es nulo el rango de la matriz es menor que el orden y por lo tanto A no tiene inversa.

3.- [2,5 puntos] Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales, {

𝐱 + 𝟑𝐲 + 𝐳 = 𝟓 𝐚𝐱 + 𝟐𝐳 = 0

a𝐲 + 𝐳 = 𝟎

Se pide clasificarlo según los valores del parámetro a y resolverlo si en algún caso es compatible indeterminado.

Solución:

Consideramos las matrices de coeficiente y ampliada del sistema. A = (

1 3 1 a 0 2 0 𝑎 1

) y A* = (

1 3 1 a 0 2 0 𝑎 1 |

5 a 0

)

a) Para clasificar el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Frobenius. Hallamos los valores del parámetro a que anulan el determinante |A|.

|A| =

|

1 3 1 a 0 2 0 𝑎 1

|

= a

2−2a−5a = 0 a2−5a = 0

a(a-5) = 0  {a = 0 a = 5

Luego para:

Si a  0 y a  5, rg(A) = rg(A*) = 3 = nº de incógnitas, luego aplicando el Teorema de Rouché-Frobenius el sistema es compatible determinado y tiene solución única.

(7)

A = (

1 3 1 0 0 2 0 0 1

) y A* = (

1 3 1 0 0 2 0 0 1 |

5 0 0 )

Como existe un menor |1 1

0 1| = 1-0  0 obtenemos que rg(A) = rg(A*) = 2 < nº de incógnitas, ya que c1, c2 y c4 son proporcionales, luego aplicando el Teorema de Rouché-Frobenius el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones.

Si a = 5, las matrices de coeficiente y ampliada del sistema son: A = (

1 3 1 5 0 2 0 5 1

) y A* = (

1 3 1 0 0 2 0 5 1 |

5 0 5 )

Como existe un menor |1 3

5 0| = 0-15  0 obtenemos que rg(A) = 2. Si consideramos el determinante de la matriz:

[c1, c2, c4] = |

1 3 5 5 0 0 0 5 5

| = 125−75 = 50  0

Como rg(A) = 2 < rg(A*) = 3, aplicando el Teorema de Rouché-Frobenius el sistema es incompatible y no tiene solución.

b) Resolvemos en el caso que es compatible indeterminado, es decir cuando a = 0, tal como hemos hallado en el apartado anterior. Resulta el sistema:

{

x + 3y + z = 5 2z = 0

z = 0

Como la segunda y tercera ecuaciones son iguales, despreciamos la segunda y sustituimos en la primera y =  como parámetro:

{x + 3y + z = 5 z = 0  {

x = 5 − 3λ z = 0 Luego la solución es:

(x, y , z) = (5-3, , 0)

4.- [2,5 puntos] A, B y C son tres ciudades que forman un triangulo de manera que entre cada dos de ellas hay una carretera recta que las une. Se sabe que si se va de A a B dando la vuelta por C se hace un recorrido tres veces mayor que si se va directamente de A a B. Asimismo si para ir de A a C se da la vuelta por B el recorrido es el doble que si se va directamente de A a C. Calcular las distancias entre las tres ciudades sabiendo que la suma de las tres distancias es igual a 120 kilómetros.

Solución: Sean:

x = la distancia entre A y B y = la distancia entre A y C z = la distancia entre B y C

Según el enunciado del problema obtenemos el sistema:

{

x + y = 3z x + z = 2y x + y + z = 120

Que reordenando da lugar a: {

x + y − 3z = 0 x − 2y + z = 0 x + y + z = 120

[1]

(8)

Despejando en la segunda ecuación de [2]: 3y = 120 = 0  y = 40

Que sustituyendo valores en la primera del mismo sistema: 120 – 4z = 0  z = 30

Sustituyendo los valores de z e y en la primera ecuación de [1]: x+ y+ z = 120  x+40+30 = 120  x+70 = 120  x = 120−70 = 50

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