ALCULO II Grados en Ingenier´ıa

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(1)

Grados en Ingenier´ıa

Domingo Pestana Galv´an Jos´e Manuel Rodr´ıguez Garc´ıa

—————

(2)

Cap´ıtulo 4. Integrales de l´ınea y de superficie

4.1 Integrales sobre curvas y campos conservativos 4.2 Integrales de superficie

(3)

Definiciones

Una curva (o trayectoria) σ: [a,b]−→Rn se dice regularsi es diferenciable yσ0(t) = (x10(t), . . . ,xn0(t))6= 0 para todo t ∈[a,b]. En este caso se define la recta tangenter aσ en el punto σ(t0), con t0∈[a,b], (en forma param´etrica) como r(λ) =σ(t0) +λσ0(t0).

(4)

Curvas en el espacio

Definiciones

Una curva (o trayectoria) σ: [a,b]−→Rn se dice regularsi es diferenciable yσ0(t) = (x10(t), . . . ,xn0(t))6= 0 para todo t ∈[a,b]. En este caso se define la recta tangenter aσ en el punto σ(t0), con t0∈[a,b], (en forma param´etrica) como r(λ) =σ(t0) +λσ0(t0).

(5)
(6)

Curvas en el espacio

Reparametrizaciones

Sea σ: [a,b]−→Rn una curva simple. Decimos que

ρ: [α, β]−→Rn es unareparametrizaci´ondeσ (o queσ yρ

son parametrizaciones de la misma curva) si existe una funci´on continua e inyectiva h: [α, β]−→[a,b] tal queρ=σ◦h. Decimos tambi´en queσ yρ tienen la misma orientaci´on si h es creciente y tienen distinta orientaci´on sih es decreciente.

Si σ yρ son parametrizaciones de la misma curva simple y no cerrada, σ yρtienen la misma orientaci´on si y s´olo si

(7)

Reparametrizaciones

Sea σ: [a,b]−→Rn una curva simple. Decimos que

ρ: [α, β]−→Rn es unareparametrizaci´ondeσ (o queσ yρ

son parametrizaciones de la misma curva) si existe una funci´on continua e inyectiva h: [α, β]−→[a,b] tal queρ=σ◦h. Decimos tambi´en queσ yρ tienen la misma orientaci´on si h es creciente y tienen distinta orientaci´on sih es decreciente.

Si σ yρ son parametrizaciones de la misma curva simple y no cerrada, σ yρtienen la misma orientaci´on si y s´olo si

(8)

Curvas en el espacio

(9)

Definiciones

Una funci´onf : [a,b]−→Rn escontinua a trozossi existen

t0 =a<t1<· · ·<tM−1 <tM =b, tales quef es continua

en cada (ti,ti+1) y existen los l´ımites laterales de f(t) en cada

ti, aunque no tienen por qu´e coincidir. (Ent0 s´olo se pide que

exista el l´ımite por la derecha y en tM que exista el l´ımite por

la izquierda).

Una curvaσ : [a,b]−→Rn es de claseC1 a trozos siσ0 es continua a trozos en [a,b].

Sea Ω un abierto deRn. Decimos que una funci´on definida en Ω es una funci´on escalar si toma valores reales, y que es un

(10)

Curvas en el espacio

Definiciones

Una funci´onf : [a,b]−→Rn escontinua a trozossi existen

t0 =a<t1<· · ·<tM−1 <tM =b, tales quef es continua

en cada (ti,ti+1) y existen los l´ımites laterales de f(t) en cada

ti, aunque no tienen por qu´e coincidir. (Ent0 s´olo se pide que

exista el l´ımite por la derecha y en tM que exista el l´ımite por

la izquierda).

Una curvaσ : [a,b]−→Rn es de claseC1 a trozos siσ0 es

continua a trozos en [a,b].

Sea Ω un abierto deRn. Decimos que una funci´on definida en Ω es una funci´on escalar si toma valores reales, y que es un

(11)

Definiciones

Una funci´onf : [a,b]−→Rn escontinua a trozossi existen

t0 =a<t1<· · ·<tM−1 <tM =b, tales quef es continua

en cada (ti,ti+1) y existen los l´ımites laterales de f(t) en cada

ti, aunque no tienen por qu´e coincidir. (Ent0 s´olo se pide que

exista el l´ımite por la derecha y en tM que exista el l´ımite por

la izquierda).

Una curvaσ : [a,b]−→Rn es de claseC1 a trozos siσ0 es

continua a trozos en [a,b].

Sea Ω un abierto deRn. Decimos que una funci´on definida en Ω es una funci´on escalar si toma valores reales, y que es un

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Integral de trayectoria

Definiciones

Definici´on (Integral de una funci´on escalar sobre una curva)

Siσ: [a,b]−→Rn esC1 a trozos y f :σ([a,b])−→Res continua a trozos, se definela integral def a lo largo deσ, tambi´en llamadaintegral de trayectoria, como

Z

σ f =

Z b

a

f(σ(t))kσ0(t)kdt

= Z b

a

f(x1(t), . . . ,xn(t))

q

(x10(t))2+· · ·+ (x0

n(t))2dt.

La integral curvil´ınea de la funci´on escalar f tambi´en suele denotarse porR

σf ds ´o R

(13)

Definiciones

En particular, se define la longitud de σ como la integral de la funci´on 1 a lo largo deσ, es decir,

`(σ) = Z

σ 1 =

Z b

a

kσ0(t)kdt.

Elvalor promedio def a lo largo de σ como

1 `(σ)

Z

σ

f = 1 `(σ)

Z b

a

(14)

Integral de trayectoria

Definiciones

En particular, se define la longitud de σ como la integral de la funci´on 1 a lo largo deσ, es decir,

`(σ) = Z

σ 1 =

Z b

a

kσ0(t)kdt.

Elvalor promedio def a lo largo de σ como

1 `(σ)

Z

σ

f = 1 `(σ)

Z b

a

(15)

Definiciones

Definici´on (Integral de un campo vectorial sobre una curva)

Siσ: [a,b]−→RnesC1 a trozos yF~ :σ([a,b])−→Rn es continua a trozos, se definela integral deF~ a lo largo deσ, tambi´en llamadaintegral de l´ınea, como

Z σ ~ F = Z b a ~

F(σ(t))·σ0(t)dt = Z b

a

~

F(x1(t), . . . ,xn(t))·σ0(t)dt

donde·denota el producto escalar usual. La integral curvil´ınea del campo vectorialF~ tambi´en suele denotarse por RσF~ ·ds ´o

R

σF~(x1, . . . ,xn)·ds o tambi´en R

σF1dx1+· · ·+Fndxn, si ~

(16)

Integral de l´ınea

Definiciones

Observaci´on

La integral del campo vectorialF~ a lo largo de σ es igual a la integral de una funci´on escalar, la componente tangente aσ de F~ a lo largo deσ, es decir, FT =F~·s, dondes es el vector tangente

unitarios(t) =σ0(t)/kσ0(t)k a la curva σ

Z

σ ~ F ·ds =

Z

(17)

Reparametrizaciones

Teorema

La integral de un campo escalar a lo largo de una curva simple es independiente de la parametrizaci´on, es decir, siσ, ρ son

parametrizacionesC1 a trozos de la misma curva simple en Rn y f :Rn−→R es continua, entonces

Z

σ f =

Z

(18)

Integral curvil´ınea

Reparametrizaciones

Teorema

Seanσ, ρparametrizaciones C1 a trozos de la misma curva simple enRnyF~ :Rn−→Rn un campo vectorial continuo. Entonces:

Si σ yρ tienen la misma orientaci´on

Z

σ ~ F ·ds=

Z

ρ ~ F ·ds.

Si σ yρ tienen distinta orientaci´on

Z

σ ~

F ·ds=−

Z

(19)

Reparametrizaciones

Teorema

Seanσ, ρparametrizaciones C1 a trozos de la misma curva simple enRnyF~ :Rn−→Rn un campo vectorial continuo. Entonces:

Si σ yρ tienen la misma orientaci´on

Z

σ ~ F ·ds=

Z

ρ ~ F ·ds.

Si σ yρ tienen distinta orientaci´on

Z

σ ~

F ·ds=−

Z

(20)

Integral de l´ınea

Campos gradiente

Teorema

Seanσ: [a,b]−→Rn una curva C1 a trozos yf :Rn−→Run campo escalar de claseC1 en un entorno de σ([a,b]). Entonces

Z

σ

∇f ·ds =f(σ(b))−f(σ(a)).

Corolario

Seanσ: [a,b]−→Rn una curva cerrada C1 a trozos y f :Rn−→R un campo escalar de claseC1 en un entorno de σ([a,b]). Entonces

Z

(21)

Campos gradiente

Teorema

Seanσ: [a,b]−→Rn una curva C1 a trozos yf :Rn−→Run campo escalar de claseC1 en un entorno de σ([a,b]). Entonces

Z

σ

∇f ·ds =f(σ(b))−f(σ(a)).

Corolario

Seanσ: [a,b]−→Rn una curva cerrada C1 a trozos y f :Rn−→R un campo escalar de claseC1 en un entorno de σ([a,b]). Entonces

Z

σ

(22)

Integral de l´ınea

Campos conservativos

Sea Ω un abierto deRn. Se dice que el campo vectorial ~

F : Ω−→Rn es una forma diferencial exacta (oun campo

conservativo) en Ω si existe un campo escalarf : Ω−→R que verifica ∇f =F~ en Ω. El campof se denomina

potencialde F~.

Por tanto, si F~ es conservativo yC1 en un entorno de σ([a,b]) conσ una curva cerrada, entonces

Z

(23)

Campos conservativos

Sea Ω un abierto deRn. Se dice que el campo vectorial ~

F : Ω−→Rn es una forma diferencial exacta (oun campo

conservativo) en Ω si existe un campo escalarf : Ω−→R que verifica ∇f =F~ en Ω. El campof se denomina

potencialde F~.

Por tanto, si F~ es conservativo yC1 en un entorno de σ([a,b]) conσ una curva cerrada, entonces

Z

(24)

Integral de l´ınea

Campos conservativos

Sea Ω un abierto conexo de Rn. Decimos que Ω es

simplemente conexo si toda curva cerrada contenida en Ω puede deformarse continuamente dentro de Ω en un punto.

Si Ω es convexo, entonces es simplemente conexo.

Si n= 2, Ω es simplemente conexo si y s´olo si no tiene “agujeros”.

(25)

Campos conservativos

Sea Ω un abierto conexo de Rn. Decimos que Ω es

simplemente conexo si toda curva cerrada contenida en Ω puede deformarse continuamente dentro de Ω en un punto.

Si Ω es convexo, entonces es simplemente conexo.

Si n= 2, Ω es simplemente conexo si y s´olo si no tiene “agujeros”.

(26)

Integral de l´ınea

Campos conservativos

Sea Ω un abierto conexo de Rn. Decimos que Ω es

simplemente conexo si toda curva cerrada contenida en Ω puede deformarse continuamente dentro de Ω en un punto.

Si Ω es convexo, entonces es simplemente conexo.

Si n= 2, Ω es simplemente conexo si y s´olo si no tiene “agujeros”.

(27)

Campos conservativos

Sea Ω un abierto conexo de Rn. Decimos que Ω es

simplemente conexo si toda curva cerrada contenida en Ω puede deformarse continuamente dentro de Ω en un punto.

Si Ω es convexo, entonces es simplemente conexo.

Si n= 2, Ω es simplemente conexo si y s´olo si no tiene “agujeros”.

(28)

Integral de l´ınea

Campos conservativos

Teorema

SeanD un abierto simplemente conexo de Rn yF~ un campo vectorial de claseC1(D). Son equivalentes:

~

F es un campo conservativo en D.

Si σ contenida en D es cerrada =⇒ R

σF~·ds = 0.

Para todo par de curvas σ1, σ2 contenidas en D y con los mismos extremos se tiene

Z

σ1

~ F ·ds=

Z

σ2

~ F ·ds.

(29)

Campos conservativos

Teorema

SeanD un abierto simplemente conexo de Rn yF~ un campo vectorial de claseC1(D). Son equivalentes:

~

F es un campo conservativo en D.

Si σ contenida en D es cerrada =⇒ R

σF~·ds = 0.

Para todo par de curvas σ1, σ2 contenidas en D y con los mismos extremos se tiene

Z

σ1

~ F ·ds=

Z

σ2

~ F ·ds.

∂Q/∂x=∂P/∂y enD, si n= 2 y F~ = (P,Q).

(30)

Integral de l´ınea

Campos conservativos

Teorema

SeanD un abierto simplemente conexo de Rn yF~ un campo vectorial de claseC1(D). Son equivalentes:

~

F es un campo conservativo en D.

Si σ contenida en D es cerrada =⇒ R

σF~·ds = 0. Para todo par de curvas σ1, σ2 contenidas en D y con los mismos extremos se tiene

Z

σ1 ~ F ·ds=

Z

σ2 ~ F ·ds.

(31)

Campos conservativos

Teorema

SeanD un abierto simplemente conexo de Rn yF~ un campo vectorial de claseC1(D). Son equivalentes:

~

F es un campo conservativo en D.

Si σ contenida en D es cerrada =⇒ R

σF~·ds = 0. Para todo par de curvas σ1, σ2 contenidas en D y con los mismos extremos se tiene

Z

σ1 ~ F ·ds=

Z

σ2 ~ F ·ds.

(32)

Integral de l´ınea

Campos conservativos

Teorema

SeanD un abierto simplemente conexo de Rn yF~ un campo vectorial de claseC1(D). Son equivalentes:

~

F es un campo conservativo en D.

Si σ contenida en D es cerrada =⇒ R

σF~·ds = 0. Para todo par de curvas σ1, σ2 contenidas en D y con los mismos extremos se tiene

Z

σ1 ~ F ·ds=

Z

σ2 ~ F ·ds.

(33)

Definiciones

Unasuperficie parametrizadao simplemente superficie es una aplicaci´on continua Φ :D −→R3, dondeD es un abierto de

R2. Esta aplicaci´on puede escribirse como

Φ(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)).

(34)

Superficies en el espacio

Definiciones

Dada una superficie Φ, se definen losvectores tangentes coordenadoscomo

Tu=

∂x ∂u, ∂y ∂u , ∂z ∂u

, Tv =

∂x ∂v , ∂y ∂v , ∂z ∂v .

Como estos vectores son tangentes a las im´agenes mediante Φ de las curvasv =cte.yu =cte.respectivamente, y estas im´agenes son curvas contenidas en la superficie, se tiene queTu yTv son

vectores tangentes a la superficie, y por tanto,Tu×Tv es un

(35)
(36)

Superficies en el espacio

Definiciones

Se dice que una superficie Φ :D −→R3 esregularsi es diferenciable yTu×Tv 6= 0 en todo punto de D.

Si Φ es regular se define el vector normal unitario a Φ como

~

n= Tu×Tv kTu×Tvk

.

Tambi´en se define el plano tangente a Φ en el punto Φ(u0,v0) = (x0,y0,z0), con (u0,v0)∈D, como

(37)

Definiciones

Se dice que una superficie Φ :D −→R3 esregularsi es diferenciable yTu×Tv 6= 0 en todo punto de D.

Si Φ es regular se define el vector normal unitario a Φ como

~

n= Tu×Tv

kTu×Tvk

.

Tambi´en se define el plano tangente a Φ en el punto Φ(u0,v0) = (x0,y0,z0), con (u0,v0)∈D, como

(38)

Superficies en el espacio

Definiciones

Se dice que una superficie Φ :D −→R3 esregularsi es diferenciable yTu×Tv 6= 0 en todo punto de D.

Si Φ es regular se define el vector normal unitario a Φ como

~

n= Tu×Tv

kTu×Tvk

.

Tambi´en se define el plano tangente a Φ en el punto Φ(u0,v0) = (x0,y0,z0), con (u0,v0)∈D, como

(39)

Definiciones

(40)

Superficies

Orientaci´on

Una curva simple cerrada en el plano est´aorientada en sentido positivo si se recorre en contra del movimiento de las agujas del reloj (sentido antihorario).

(41)

Orientaci´on

Una curva simple cerrada en el plano est´aorientada en sentido positivo si se recorre en contra del movimiento de las agujas del reloj (sentido antihorario).

(42)

Superficies

Orientaci´on

(43)

Orientaci´on

Se dice que una superficie esorientable si “tiene dos caras”, es decir, si existe una determinaci´on de vector normal unitario que sea continua en toda la superficie.

(44)

Superficies

Orientaci´on

Se dice que una superficie esorientable si “tiene dos caras”, es decir, si existe una determinaci´on de vector normal unitario que sea continua en toda la superficie.

(45)

Orientaci´on

(46)

Integral de superficie

Definiciones

Definici´on (Integral de superficie de una funci´on escalar)

Si Φ :D −→R3 es una superficie diferenciable y

f : Φ(D)−→R es una funci´on escalar continua, se define la

integral de f en(o sobre) Φ como

Z

Φ f =

Z

Φ

f dS = Z

D

f Φ(u,v)

(Tu×Tv)(u,v)

du dv.

En particular, el´area de Φ es

A(Φ) =

Z

Φ 1 =

Z

D

kTu×Tvk.

y el valor promedio def en Φ como 1

Z

(47)

Definiciones

Definici´on (Integral de superficie de una funci´on escalar)

Si Φ :D −→R3 es una superficie diferenciable y

f : Φ(D)−→R es una funci´on escalar continua, se define la

integral de f en(o sobre) Φ como

Z

Φ f =

Z

Φ

f dS = Z

D

f Φ(u,v)

(Tu×Tv)(u,v)

du dv.

En particular, el´area de Φ es

A(Φ) = Z Φ 1 = Z D

kTu×Tvk.

y el valor promedio def en Φ como 1 A(Φ)

(48)

Integral de superficie

Definiciones

Definici´on (Integral de superficie de un campo vectorial)

Si Φ :D −→R3 es una superficie diferenciable y F~ : Φ(D)−→ R3 es continua, se define laintegral de F~ en(o a trav´es de) Φ como

Z Φ ~ F = Z Φ ~ F ·dS =

Z

D

~

F Φ(u,v)· Tu×Tv

(u,v)du dv.

Observaci´on

La integral del campo vectorialF~ en Φ es igual a la integral en Φ de la componente normal a Φ deF~, es decir,Fn=F~·~n, donde~n es el vector normal unitario a Φ. Por tanto,

Z

~ F ·dS=

Z

F =

Z

~

(49)

Definiciones

Definici´on (Integral de superficie de un campo vectorial)

Si Φ :D −→R3 es una superficie diferenciable y F~ : Φ(D)−→ R3 es continua, se define laintegral de F~ en(o a trav´es de) Φ como

Z Φ ~ F = Z Φ ~ F ·dS =

Z

D

~

F Φ(u,v)· Tu×Tv

(u,v)du dv.

Observaci´on

La integral del campo vectorialF~ en Φ es igual a la integral en Φ de la componente normal a Φ deF~, es decir,Fn=F~·~n, donde~n

es el vector normal unitario a Φ. Por tanto,

Z ~ F ·dS=

Z Fn=

Z ~

(50)

Integral de superficie

Reparametrizaciones

La integral de una funci´on escalar en una superficie diferenciable es independiente de la parametrizaci´on, es decir, si Φ1,Φ2 son

parametrizaciones de la misma superficie yf :R3 −→Res una funci´on continua, entonces

Z

Φ1 f =

Z

(51)

Reparametrizaciones

En cambio el signo de la integral de un campo vectorial sobre una superficie s´ı que depende de la parametrizaci´on: si Φ1,Φ2

parametrizaciones diferenciables de la misma superficie orientable y ~

F :R3 −→R3 es un campo vectorial continuo, entonces Si Φ1 y Φ2 tienen la misma orientaci´on

Z

Φ1 ~ F ·dS=

Z

Φ2 ~ F ·dS.

Si Φ1 y Φ2 tienen distinta orientaci´on

Z

Φ1

~

F ·dS =− Z

Φ2

~

(52)

Integral de superficie

Reparametrizaciones

En cambio el signo de la integral de un campo vectorial sobre una superficie s´ı que depende de la parametrizaci´on: si Φ1,Φ2

parametrizaciones diferenciables de la misma superficie orientable y ~

F :R3 −→R3 es un campo vectorial continuo, entonces Si Φ1 y Φ2 tienen la misma orientaci´on

Z

Φ1 ~ F ·dS=

Z

Φ2 ~ F ·dS.

Si Φ1 y Φ2 tienen distinta orientaci´on

Z

Φ1 ~

F ·dS =−

Z

(53)

Teorema de Green

Teorema de Green (Primera versi´on)

SeanD⊂R2 un abierto acotado tal que ∂D es una curva simple cerrada de claseC1 a trozos, orientada en sentido positivo, y sean P,Q funciones escalares de clase C1 enD. Entonces

Z

∂D

P dx+Q dy = Z

D

∂Q ∂x −

∂P ∂y

(54)

Teoremas del C´

alculo vectorial

Teorema de Green

Teorema de Green (Segunda versi´on)

SeanD⊂R2 un abierto conexo acotado tal que∂D es una uni´on finita de curvas simples cerradas de claseC1 a trozos, orientada en sentido positivo, y seanP,Q funciones escalares de clase C1 enD. Entonces

Z

∂D

P dx+Q dy = Z

D

∂Q ∂x −

∂P ∂y

(55)

Teorema de Stokes

Teorema de Stokes

SeanS ⊂R3 una superficie diferenciable a trozos y orientable tal que∂S es una uni´on finita de curvas simples cerradasC1 a trozos, yF~ un campo vectorial de clase C1 en un entorno de S. Si la orientaci´on de ∂S es compatible con la de S, entonces

Z

∂S

~ F ·ds=

Z

S

(56)

Teoremas del C´

alculo vectorial

Teorema de Stokes

Corolario 1

SeanS ⊂R3 una superficie cerrada (es decir, la frontera de una regi´on acotada de R3 “sin agujeros”) diferenciable a trozos y F~ un campo vectorial de claseC1 en un entorno de S. Entonces

R

SrotF~ = 0.

Corolario 2

SeanS1,S2 ⊂R3 dos superficie diferenciables a trozos y orientables tales que∂S1=∂S2 es una uni´on finita de curvas simples cerradasC1 a trozos, yF~ un campo vectorial de clase C1 en un entorno deS1∪S2. Si las orientaciones deS1 yS2 inducen la misma orientaci´on en∂S1 y en ∂S2, entonces

R

S1rot

~ F =R

S2rot

(57)

Teorema de Stokes

Corolario 1

SeanS ⊂R3 una superficie cerrada (es decir, la frontera de una regi´on acotada de R3 “sin agujeros”) diferenciable a trozos y F~ un campo vectorial de claseC1 en un entorno de S. Entonces

R

SrotF~ = 0.

Corolario 2

SeanS1,S2 ⊂R3 dos superficie diferenciables a trozos y orientables tales que∂S1=∂S2 es una uni´on finita de curvas simples cerradasC1 a trozos, yF~ un campo vectorial de clase C1 en un entorno deS1∪S2. Si las orientaciones deS1 yS2 inducen la misma orientaci´on en∂S1 y en ∂S2, entonces

R

S1rot ~ F =R

(58)

Teoremas del C´

alculo vectorial

Teorema de Gauss

Teorema de Gauss o de la divergencia

Sean Ω⊂R3 un abierto acotado tal que ∂Ω es una uni´on finita de superficies cerradas y diferenciables a trozos, yF~ un campo vectorial de claseC1 en Ω. Si∂Ω est´a orientada con el vector normal exterior, entonces

Z

∂Ω ~ F ·dS =

Z

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Referencias