ANTOLOGIA DE CALCULO DIFERENCIAL COBACH

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CONTENIDO

PRESENTACIÓN………. INTRODUCCIÓN... RECOMENDACIONES... PROPÓSITOS GENERALES...

UNIDAD I LIMITES... TEMA 1.1. LIMITES... SUBTEMA 1.1.1. NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE Y LIMITES LATERALES... SUBTEMA 1.1.2. TEOREMAS (PROPIEDADES DE LOS LÍMITES)... SUBTEMA 1.1.3. LÍMITES DE FUNCIONES………... SUBTEMA 1.1.4. LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES EN EL INFINITO………..………... TEMA 1.2. TEOREMA DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN...

SUBTEMA 1.2.1. CONDICIONES DE CONTINUIDAD... SUBTEMA 1.2.2. TEOREMAS DE VALOR INTERMEDIO Y DE VALORES EXTREMOS……... AUTO EVALUACIÓN...

UNIDAD II LAS RAZONES DE CAMBIO Y LA DERIVADA….... TEMA 2.1. LA DERIVADA………... SUBTEMA 2.1.1. RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO E INSTANTÁNEA…... SUBTEMA 2.1.2. LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA... SUBTEMA 2.1.3. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA…... SUBTEMA 2.1.4. DIFERENCIABILIDAD EN UN INTERVALO………... TEMA 2.2. REGLAS DE DERIVACIÓN………... SUBTEMA 2.2.1. REGLAS DE DERIVACIÓN DE FUNCIONES ALGEBRAICAS... SUBTEMA 2.2.2. DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

INVERSAS……… SUBTEMA 2.2.3. REGLA DE LA CADENA………... TEMA 2.3. DERIVACIÓN IMPLÍCITA………...

SUBTEMA 2.3.1. DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLÍCITAS... TEMA 2.4. ECUACIONES Y; LONGITUDES DE RECTAS RELACIONADAS CON LA DERIVADA... SUBTEMA 2.4.1. ECUACIÓN DE LA TANGENTE Y LA NORMAL…………... SUBTEMA 2.4.2. LONGITUDES DE LA SUBTANGENTE Y LA SUBNORMAL…... AUTO EVALUACIÓN...

UNIDAD III VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS….... TEMA 3.1. APLICACIONES DE LA DERIVADA…...

SUBTEMA 3.1.1. CÁLCULO DE VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS CON LA PRIMERA DERIVADA... SUBTEMA 3.1.2. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR……... SUBTEMA 3.1.3. CÁLCULO DE VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS CON LA SEGUNDA DERIVADA…... SUBTEMA 3.1.4. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES…... SUBTEMA 3.1.5 CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN ………. AUTO EVALUACIÓN... RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS... RESPUESTAS DE LAS AUTOEVALUACIONES... BIBLIOGRAFÍA...

2 3 4 5

6 7 7 9 14 24 28 28 32 33

36 37 37 41 41 41 42 42

59 79 84 84 89 89 93 95

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PRESENTACIÓN

EL COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE CAMPECHE, CON LA FINALIDAD DE MEJORAR EL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE, HA DECIDIDO TRABAJAR CON ANTOLOGÍAS COMO ELEMENTO FUNDAMENTAL DE APOYO.

PARA VENCER LOS RETOS QUE PRESENTA EL ENTRAR A UN NUEVO MILENIO, LAS ANTOLOGÍAS SON UNA HERRAMIENTA MAS PARA LOS DOCENTES Y LOS ALUMNOS EN EL AULA POR MEDIO DEL CUAL SE PUEDE TENER UNA BIBLIOGRAFÍA BASE PARA NO TENER QUE USAR VARIOS LIBROS EN UNA MISMA ASIGNATURA, LOGRANDO ASÍ UNA UNIFORMIDAD EN LAS ASIGNATURAS QUE COMPRENDEN LOS PLANES DE ESTUDIO DE LOS DIFERENTES PLANTELES DE LA ENTIDAD.

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INTRODUCCIÓN

LA PRESENTE ANTOLOGÍA DE LA ASIGNATURA DE CALCULO DIFERENCIAL ESTA ENCAMINADO A LA UTILIZACIÓN DE LOS PROCESOS DE DERIVACIÓN Y APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS.

LOS CONTENIDOS DE LA ANTOLOGÍA SE ENCUENTRAN RESUMIDOS EN TRES UNIDADES QUE CONTEMPLAN: FUNCIONES, LIMITES, CONTINUIDAD, DERIVADAS Y APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. EN LA FORMA DE TRATAR ESTOS TEMAS, SE TOMO ENCUENTA LOS LIBROS SEÑALADOS EN LA DOSIFICACIÓN, TRATANDO DE QUE LOS CONCEPTOS SE EXPLIQUEN DE MANERA CLARA Y OBJETIVA, EVITANDO CAER EN LA AMBIGÜEDAD Y QUE LOS EJERCICIOS SE EXPLIQUEN Y RESUELVAN DE MANERA DETALLADA DE TAL MANERA QUE EL ALUMNO PUEDA ESTUDIAR ESTE TEXTO SIN TENER TANTA DEPENDENCIA POR PARTE DEL PROFESOR.

ESTA ANTOLOGÍA TRATA DE BAJAR UN POCO EL NIVEL QUE MANEJAN LOS TEXTOS DE CÁLCULO, LOS CUALES SON MUY POCO EXPLÍCITOS EN LA RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS, YA QUE MUCHAS VECES AL ALUMNO LE CUESTA TRABAJO ENTENDER QUE PROCEDIMIENTOS ALGEBRAICOS SE SIGUEN PARA OBTENER LAS RESPUESTAS DE LOS DIFERENTES EJERCICIOS.

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RECOMENDACIONES

¾ EMPLEA LA ANTOLOGÍA COMO UN TEXTO BASE INFORMATIVA ACERCA DE LOS CONTENIDOS MÍNIMOS SOBRE LA ASIGNATURA.

¾ MANEJA LA ANTOLOGÍA COMO TEXTO ORIENTADOR DE LOS CONTENIDOS TEMÁTICOS A REVISAR EN LAS SESIONES DE CLASE.

¾ UTILIZA LA ANTOLOGÍA COMO UN TEXTO DE ESTUDIO PREVIO A LAS SESIONES DE CLASE.

¾ RESUELVE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS BASÁNDOTE EN LOS EJEMPLOS RESUELTOS EN LA ANTOLOGÍA Y EN LAS EXPLICACIONES DADAS POR TU PROFESOR DE LA ASIGNATURA, EN CASO DE QUE NO TE DE LA RESPUESTA QUE APARECE AL FINAL DE LA ANTOLOGÍA, CONSULTA CON TU PROFESOR PARA QUE TE ACLARE LAS DUDAS Y TE ORIENTE SOBRE EL PROCEDIMIENTO A SEGUIR PARA LA RESOLUCIÓN DE ESOS EJERCICIOS.

¾ RESUELVE LAS AUTOEVALUACIONES QUE SE DAN AL FINAL DE CADA UNIDAD. ESTAS AUTOEVALUACIONES NO SON CUESTIONARIOS QUE DEBAS RESOLVER CONSULTANDO TUS TEXTOS, SI NO QUE DEBES DE RESOLVERLAS SIN TENER MAS APOYO QUE EL DE TU FORMULARIO Y TU CALCULADORA. SI NO LOGRAS TENER AL MENOS EL 90% DE LAS RESPUESTAS CORRECTAS, REPASA LOS CONCEPTOS Y RESUELVE MAS EJERCICIOS PARA REAFIRMAR TUS CONOCIMIENTOS Y PRESENTA DE NUEVO ESTAS AUTOEVALUACIONES.

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PROPÓSITOS GENERALES

EN LA ASIGNATURA DE CALCULO DIFERENCIAL SE PRETENDE QUE EL ALUMNO:

¾ ABORDE LOS CONTENIDOS CON UN ENFOQUE ALGEBRAICO, LÓGICO Y GEOMÉTRICO, CONJUNTANDO UNA FORMACIÓN INTEGRAL.

¾ DESARROLLE LAS HABILIDADES QUE LE PERMITAN RESOLVER CUALQUIER PROBLEMA SOBRE FUNCIONES Y LIMITES Y TENGA LA CAPACIDAD DE RESOLVER CUALQUIER DERIVADA MEDIANTE EL USO CORRECTO DE LAS FORMULAS DE DERIVACIÓN, LOGRANDO CON ESTO APLICAR EL CÁLCULO DIFERENCIAL EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN NUESTRA VIDA COTIDIANA.

¾ INTERPRETE CORRECTAMENTE LA UTILIZACIÓN DE LOS SÍMBOLOS USADOS EN EL CÁLCULO DIFERENCIAL.

¾ AGRUPE Y RETOME LOS CONOCIMIENTOS ADQUIRIDOS EN LAS ASIGNATURAS ANTECEDENTES DE MATEMÁTICAS E INTEGRARLOS PARA DOMINAR EL CALCULO DIFERENCIAL Y ADQUIRIR LAS BASES NECESARIAS PARA PODER ESTUDIAR POSTERIORMENTE, SIN NINGÚN PROBLEMA, EL CÁLCULO INTEGRAL.

¾ UTILICE ESTOS CONOCIMIENTOS NO SOLO EN EL ÁREA DE MATEMÁTICAS, SI NO TAMBIÉN EN OTRAS MATERIAS, CON LO CUAL LE DAMOS MAYOR UTILIDAD AL ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS.

(6)

(7)

LIMITES

PROPÓSITOS DE LA UNIDAD

EL ALUMNO:

RESOLVERÁ PROBLEMAS DE LÍMITES EN LAS CIENCIAS NATURALES, ECONÓMICO ADMINISTRATIVAS Y SOCIALES; MEDIANTE LA APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE LÍMITES Y EL EMPLEO DE SUS TEOREMAS MEDIANTE EL ANÁLISIS DE SU COMPORTAMIENTO GRÁFICO, CON UNA ACTITUD ANALÍTICA Y PARTICIPATIVA.

1.1 LIMITES

1.1.1. NOCIÓN INTUITIVA DE LIMITE Y LIMITES LATERALES

OBJETIVOS DEL SUBTEMA: EL ESTUDIANTE:

1. IDENTIFICARA EL LIMITE A PARTIR DE SU NOCIÓN INTUITIVA. (DC, EA)

2. DEFINIRÁ EL CONCEPTO DE LIMITE DE UNA FUNCIÓN Y LA FORMA EN QUE SE DENOTA. (DF, EA)

3. IDENTIFICARA A PARTIR DE EJEMPLOS DADOS LA FORMA COMO SE REPRESENTAN LOS LIMITES LATERALES. (DC, EA)

ANTECEDENTES HISTÓRICOS DE LOS LIMITES:

LOS INICIADORES DEL CALCULO FUERON GUILLERMO LEIBNITZ E ISAAC NEWTON EN EL SIGLO XVI A PARTIR DE LA NECESIDAD DE RESOLVER CIERTOS TIPOS DE PROBLEMAS, AUNQUE HUBO TRABAJOS PREVIOS QUE LE FUNDAMENTAN COMO LO FUE LA OBTENCIÓN DEL VOLUMEN DEL CONO POR DEMOCRITO DE TRACIA Y LA DETERMINACIÓN POR PRIMERA VEZ DEL ÁREA DEL CIRCULO POR HIPÓCRATES (NADA QUE VER CON EL PADRE DE LA MEDICINA).

EL CONCEPTO COMPARTIDO EN AMBOS CASOS (TANTO EN EL CIRCULO COMO EN EL CONO) FUE EL DE LAS APROXIMACIONES, DE LAS CUALES NACE LA PRIMERA IDEA DE LIMITE, CONCEPTO BÁSICO QUE FUNDAMENTE AL CALCULO.

EN EL CASO DEL CIRCULO HIPÓCRATES REALIZO LA INSCRIPCIÓN DE POLÍGONOS DENTRO DE UNA CIRCUNFERENCIA, VIENDO QUE A MEDIDA QUE AUMENTABA EL NUMERO DE LADOS EL ÁREA DEL POLÍGONO AUMENTABA, ACERCÁNDOSE CADA VEZ AL VALOR DEL ÁREA DEL CIRCULO, MOTIVO POR EL CUAL POR MEDIO DE APROXIMACIONES DETERMINO QUE LLEGARÍA EL MOMENTO EN QUE EL VALOR DEL ÁREA DEL POLÍGONO INSCRITO SERIA IGUAL AL ÁREA DEL CIRCULO, ES DECIR QUE EL LIMITE DEL POLÍGONO INSCRITO ERA EL ÁREA DEL CIRCULO.

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SI f ES UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN [a, b] CON LA POSIBLE EXCEPCIÓN DE c ∈[a, b], DECIMOS QUE L ES EL

LIMITE DE f CUANDO x TIENDE A c, SI DADO UN ARGUMENTO x MUY CERCANO A c (TAN PRÓXIMO COMO SE DESEE) HALLAMOS QUE SU IMAGEN ESTA TAMBIÉN MUY CERCA DE L.

NOTACIÓN DEL LIMITE DE UNA FUNCIÓN:

EL LIMITE DE UNA FUNCIÓN SE PUEDE DENOTAR DE 2 FORMAS:

1. Limf(x)=L QUE SE LEE: “EL LIMITE DE UNA FUNCIÓN f, CUANDO x TIEND

c

x→ E A c, ES L”

. QUE SE LEE: “LA FUNCIÓN f EN x TIENDE A L, CUANDO x TIENDE A c”

IMITES LATERALES:

ON UNA HERRAMIENTA DESARROLLADA PARA DAR LUGAR A PRECISIONES.

EFINICIÓN DE LÍMITES LATERALES: ECIMOS QUE:

) L1 ES EL LIMITE DE f POR LA IZQUIERDA CUANDO x TIENDE A c, Y LO REPRESENTAMOS POR:

I CONFORME SE TO RGUMENTOS CERCANOS A c, CON x < c (A SU IZQUIERDA), SE OBSERVA QUE TAM

B) L2 ES EL LIMITE DE f POR LA DERECHA CUANDO x TIENDE A Y LO REPRESENTAMOS POR:

I CONFORME x SE APROXIMA A c CON x > c (A SU DERECHA), SE OBSERVA QUE TAMBIÉN f(x) SE APROXIMA

A L

L LIMITE DE LA FUNCIÓN f EN x = c EXISTE, SI EXISTEN SUS LIMITES LATERALES Y ESTOS SON IGUALES. ASÍ, SI TENEMOS:

NTONCES:

c x c

x c

x→ → →

N EJEMPLOS DE LIM TES EJEMPLOS:

im 1 x −+

ECHA

. LATERAL POR LA IZQUIERDA

. LATERAL POR AMBOS LADOS

2 f(x)→L, six →c L

S

D D A

1 c

xLim→ −f(x)=L

S MAN A

BIÉN f(x) SE APROXIMA A L1.

c, 2 c

xLim→ +f(x)=L

S

2.

PROPIEDAD DE LOS LIMITES LATERALES: E

) x ( f Lim ) x ( f Lim

c x c

x→ − = → +

E

f Lim ) x ( f Lim ) x ( f

Lim = =

+

− (x)

SO ITES LATERALES LOS SIGUIEN

1. L x−2

→

LATERAL POR LA DER 3

4 x 5 Lim

8 x

− − →

2

3 Lim 9x 1 10

(9)

EMAS (PROPIEDADES) DE LOS LIMITES

BJETIVOS DEL SUBTEMA:

1. IDENTIFICARA LAS FORMAS COMO SE DENOTAN LAS PROPIEDADES O TEOREMAS DE LOS LIMITES DE

CONTENIDO:

MOS QUE EXISTEN Y EL , ENTONCES

TEN E

I. LIMITE DE LA SUMA DE FUNCIONES:

1.1.2 TEOR

O

EL ESTUDIANTE:

FUNCIONES. (DC, EA)

SEAN f Y g DOS FUNCIONES Y VERIFICA Limf(x)

c

x→ Limx→cg(x)

DR MOS:

[ ( ) ( )]

g x Limf

( )

x Limg

( )

x

c x x

c

x→ = → + → NCIONES:

x f

Lim +

c

II. LIMITE DE LA DIFERENCIA DE FU

( ) ( )

[

f x g x

]

Limf

( )

x Limg

( )

x Lim

c x c x c

x→ − = → − → III. LIMITE DEL PRODUCTO DE FUNCIONES:

( ) ( )

[

f x g x

]

Limf

( )

x Limg

( )

x Lim

c x c x c

x→ • = → • → IV. LIMITE DEL COCIENTE DE FUNCIONES:

( )

x , siLimg

( )

x 0 g

Lim x g

x f Lim

c x c

x c

x ⎢_⎣ ⎥_⎦= → ≠ →

→

x f Lim ⎤ ⎡

= =

EL LIMITE DE UNA CONSTANTE ES IGUAL A LA MISMA CONSTANTE. VI. LIMITE DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN:

c x→ V. LIMITE DE UNA CONSTANTE

te tan cons k si k k Lim

c x→

SI Limf(x) EXISTE, ENTONCES: c

x→

( )

x k Limf

( )

x f

k Lim

c x c

x→ = • →

ES DECIR, LAS CONSTANTES QUE MULTIPLICAN A UNA FUNCIÓN “ENTRAN “ O “SALEN” DEL LIMITE, SIN QUE ESTO LO ALTERE.

VII. LIMITE DE UNA FUNCIÓN ELEVADA A UNA POTENCIA:

(

n N

)

c x Lim n n

c

x→ =

∈

VIII. LIMITE DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL:

( )

x p

( )

c p

Lim

c x→ = IX. LIMITE PARA FUNCIONES CON RADICALES:

( )

x Limf

( )

x si f

( )

x 0 f

Lim

c x c

x→ = → ≥

PARA OBTENER EL VALOR DE UN LIMITE, DEBEMOS DE SUSTITUIR EL VALOR AL QUE TIENDE LA VARIABLE INDEPENDIENTE, EL RESULTADO QUE DEBEMOS DE OBTENER DEBE DE SER UN VALOR REAL, ES DECIR QUE NO PODEMOS ACEPTAR QUE EL RESULTADO DE UN LIMITE SEA INFINITO.

CUANDO LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR AL QUE TIENDE LA VARIABLE INDEPENDIENTE SEA INFINITO, PODEMOS RECURRIR A LA FACTORIZACION PARA ROMPER LAS INDETERMINACIONES, EN CASO DE QUE NI CON LA FACTORIZACION PODAMOS ROMPER LAS INDETERMINACIONES, DIREMOS QUE EL RESULTADO DEL LIMITE NO EXISTE O QUE SU VALOR ES INFINITO.

LAS FACTORIZACIONES QUE MAS SE UTILIZAN EN LA RESOLUCIÓN DE LOS LIMITES SON LAS SIGUIENTES: FAC

POR UN LIMITE FACTORIZAC

MAYORMEN ROS TIPOS DE FACTORIZACION, ES DECIR,

QUE DESPU TIENEN QUE APLICAR LOS OTROS TIPOS DE

FACTORIZAC AL EJERCIC DESPUÉS D TRINOMIO D

TOR COMÚN MONOMIO

LO GENERAL ESTA DEBE DE SER EL PRIMER TIPO DE FACTORIZACION QUE DEBEMOS DE APLICAR EN QUE NOS HA DADO COMO RESULTADO UNA INDETERMINACIÓN (∞). A VECES CON ESTA

ION SE LOGRA ROMPER LA INDETERMINACIÓN, PERO A DECIR VERDAD, ESTA FACTORIZACION TE SOLO SIRVE PARA DEJAR AL DESCUBIERTO A LO OTS

ÉS DE APLICAR EL FACTOR COMÚN MONOMIO SE

(10)

EL PROC

¾ ¾

ICIENTES DE TODOS LOS TÉRMINOS, ES DECIR EL NUMERO MAS GRANDE QUE PUEDA DOS LOS COEFICIENTES DE TAL MANERA QUE LOS RESULTADOS DE TODAS LAS DIVISIONES SEAN NÚMEROS ENTEROS, POR EJEMPLO:

SI TUVIÉRAMOS LA EXPRESIÓN: 24x4y2 + 36x3y + 72x2

LOS NÚMEROS QUE PUEDEN DIVIDIR AL 24, AL 36 Y AL 72 DANDO COMO RESULTADOS NÚMEROS S SON EL 2, 4, 6 Y EL 12. TODOS LOS NÚMEROS A ORES SON DIVISORES COMUNES ERO EL MÁXIMO, O MAS GRANDE DE ELLOS ES EL DOCE, ESE ES EL QUE NOS INTERESA YA QUE

HAY UE CUMPLIR ES QUE SI SE EDIMIENTO PARA FACTORIZAR POR FACTOR COMÚN MONOMIO ES EL SIGUIENTE.

EL FACTOR COMÚN ESTA FORMADO DE DOS PARTES, UNA PARTE NUMÉRICA Y UNA PARTE LITERAL, CADA UNA DE ELLAS SE OBTIENE DE LA SIGUIENTE FORMA:

PARTE NUMÉRICA: SE OBTIENE SACANDO EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) DE LOS COEF

DIVIDIR A TO

ENTERO P

NTERI

ES EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR. ASÍ QUE LA PARTE NUMÉRICA DE SU FACTOR COMÚN ES 12. OTRA FORMA DE OBTENERLO ES CON LA FORMA CLÁSICA DE IR DIVIDIENDO LOS NÚMEROS ENTRE SUS FACTORES PRIMOS (2, 3, 5, 7, 11….ETC.) LO QUE CONOCEMOS COMO MITADES, TERCERAS, QUINTAS, SÉPTIMAS, ETC, LA ÚNICA CONDICIÓN QUE Q

SACA MITAD HAY QUE SACARLA A TODAS LOS NÚMEROS, SI A UNO NO SE LE PUEDE SACAR MITAD ENTONCES NO SE LE SACA MITAD A NINGUNO, PARA LOS NÚMEROS DEL EJEMPLO NOS QUEDARÍA ASÍ:

PARTE LITERAL: ESTA SE FORMA CON LAS VARIABLES DE LOS TÉRMINOS QUE APARECEN EN LA

¾

LITERAL ES x

¾ XPRESIÓN ES 12x.

¾ Y QUE TENER EN CUENTA QUE NO SIEMPRE LAS EXPRESIONES TENDRÁN LAS DOS PARTES, NUMÉRICA O PARTE LITERAL E INCLUSO ALGUNAS NO

ODRÁN FACTORIZAR POR FACTOR COMÚN.

¾ DE LOS TÉRMINOS DE LA EXPRESIÓN

ULTADOS DE ESTAS DIVISIONES SE EL FACTOR COMÚN, ES

OS, EN EL MA QUE LA DE LA EXPRESIÓN INICIAL.

NO DE LOS TÉRMINOS DE LA EXPRESIÓN EXPRESIÓN ALGEBRAICA, LA CONDICIÓN QUE TENEMOS QUE CUMPLIR ES QUE LAS VARIABLES SELECCIONADAS APAREZCAN EN TODOS LOS TÉRMINOS, UNA VEZ SELECCIONADAS LAS VARIABLES QUE APARECEN EN TODOS LOS TÉRMINOS, A CADA UNA DE ELLAS SE LE ASIGNARA EL MENOR EXPONENTE CON QUE APARECE EN DICHOS TÉRMINOS.

AHORA SI TOMAMOS ESTOS MISMOS TÉRMINOS 24x4y2 + 36x3y + 72x2 Y OBTENEMOS SU PARTE LITERAL, VEREMOS QUE LA ÚNICA VARIABLE QUE APARECE EN LOS 3 TÉRMINOS ES LA x, YA QUE LA y NO APARECE EN EL TERCER TERMINO. EL EXPONENTE QUE LE ASIGNAREMOS A LA x SERÁ EL DOS, YA QUE ESTE ES EL MENOR EXPONENTE CON QUE APARECE, POR LO QUE LA PARTE

2_.

ASÍ QUE EL FACTOR COMÚN DE TODA LA E 2 HA

HAY ALGUNAS QUE SOLO TENDRÁN PARTE TENDRÁN NINGUNA, ES DECIR QUE NO SE P

UNA VEZ ENCONTRADO EL FACTOR COMÚN, CADA UNO INICIAL SE DIVIDE ENTRE EL FACTOR COMÚN, LOS RES

COLOCAN EN UN PARÉNTESIS EL CUAL SE MULTIPLICARA POR

IMPORTANTE TENER EN CUENTA QUE SI INICIALMENTE LA EXPRESIÓN TENIA 3 TÉRMIN

PARÉNTESIS DEBEN DE HABER TAMBIÉN 3 TÉRMINOS, ES DECIR, LA CANTIDAD DE TERMINES EN EL PARÉNTESIS DEBERÁ SER LA MIS

TERMINANDO LA FACTORIZACION SE DIVIDE CADA U INICIAL ENTRE EL FACTOR COMÚN:

6 x 12

x 72 xy

3 x 12

y x 36 y

x 2 x 12

2 2 2 =

y x 24

2 2 2

3

= =

EMOS EN UN PARÉNTESIS EL CUAL ESTARÁ

ACTORIZACION DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS:

NA DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS PRESENTA LAS SIGUIENTES CARACTERÍSTICAS: ) ESTA COMPUESTO DE DOS TÉRMINOS

C) UNO

LA FORMA EN QUE SE FACTORIZA ES LA SIGUIENTE:

¾

¾ OS DE ESTAS RAÍCES SE COLOCAN EN PAREJAS EN DOS PARÉNTESIS Y EN EL PRIMER PARÉNTESIS SE SEPARAN LAS RAÍCES CON UN SIGNO POSITIVO, MIENTRAS QUE EN EL SEGUNDO PARÉNTESIS LAS RAÍCES SE SEPARARAN CON UN SIGNO NEGATIVO. LAS RAÍCES DEL

2 4

LOS RESULTADOS DE LAS DIVISIONES LOS COLOCAR MULTIPLICADO POR EL FACTOR COMÚN.

EL RESULTADO DE LA FACTORIZACION ES: 24x4y2 + 36x3y + 72x2 = 12x2(2x2y2 + 3xy + 6) F

U A

B) AMBOS TÉRMINOS TIENEN RAÍCES CUADRADAS EXACTAS DE ESTOS TÉRMINOS ES NEGATIVO

(11)

TERMINO QUE ERA NEGATIVO EN LA DIFERENCIA DE CUADRADOS SON LAS QUE QUEDAN CON SIGNOS CONTRARIOS EN LOS PARÉNTESIS.

2

¾ SACANDO AÍCES CUADRADAS DE LOS DOS TÉRMINOS DEL BINOMIO: EJEMPLOS:

1.- x – 16 =

LAS R x

x2 = Y 16 =4

COLOCANDO LAS RAÍCES EN LOS PARÉNTESIS, LA RAÍZ QUE QUEDARA CON DIFERENTE SIGNO EN LOS PARÉNTE

¾

SIS SERÁ EL 4 YA QUE EL 16 ERA EL TERMINO NEGATIVO EN LA DIFERENCIA DE CUADRADOS:

A O DE LA FACTORIZACION ES:

– 16 =

)

.- 4x – 9y =

¾

(

x+4

) (

x−4

)

EL RESULT D

2

₍

_{) (}

4 x 4 x+ −

x

2 4

2

SACANDO LAS RAÍCES CUADRADAS DE LOS DOS TÉRMINOS DEL BINOMIO: x

2 x

4 2 = Y 9y4 =3y2

¾

− ⎠ 3y2

DO DE LA FACTORIZACION ES:

+3y2 2x 3y2

TRINOMI

¾

¾ UN PAR DE NÚMEROS QUE MULTIPLICADOS DEN EL VALOR DE c Y QUE AL MISMO

¾

EJEMPLO 1.- x2 + 5

ÉNTESIS Y ASIGNAMOS EL SIGNO DE LOS PARÉNTESIS. DE INOMIO EL SIGNO DE L SEGUNDO TERMINO ES POSITIVO, POR LO QUE EN EL PRIMER PARÉNTESIS DESPUÉS DE LA x COLOCAREMOS UN SIGNO POSITIVO. EL SIGNO QUE TENDRÁ EL SEGUNDO PARÉNTESIS SERÁ TAMBIÉN POSITIVO YA QUE EL SIGNO DEL SEGUNDO TERMINO COMO DIJIMOS ANTES ES POSITIVO Y EL SIGNO DEL TERCER TERMINO ES TAMBIÉN POSITIVO, ASÍ QUE SI MULTIPLICAMOS ESTOS SIGNOS, COMO TENEMOS SIGNOS IGUALES EL

RESULTANTE ES POSITIVO, ESTO QUEDARÍA ASÍ: x + )

¾

EL R x2 + 5x +

TESIS, LA RAÍZ QUE QUEDARA CON DIFERENTE SIGNO EN LOS PARÉNTESIS SERÁ EL 4 YA QUE EL 16 ERA EL TERMINO NEGATIVO EN LA DIFERENCIA DE CUADRADOS:

⎛ ⎟⎞ ⎜⎛2x+3y2 2x

COLOCANDO LAS RAÍCES EN LOS PARÉN

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎝

L RESULTA E

4x2 – 9y4 = ⎜_⎝⎛2x ⎟_⎠⎞⎜_⎝⎛ − ⎞_⎠⎟

O DE LA FORMA x2 + bx + c.

SE ESCRIBEN DOS PARÉNTESIS, EN CADA UNO DE ELLOS SE COLOCA UNA x, EN EL PRIMER PARÉNTESIS SE COLOCA EL SIGNO QUE TENGA EL SEGUNDO TERMINO (bx) MIENTRAS QUE EN EL SEGUNDO PARÉNTESIS SE COLOCA EL SIGNO QUE RESULTA DE LA MULTIPLICACIÓN DE LOS SIGNOS DE L SEGUNDO Y EL TERCER TERMINO.

SE BUSCAN

TIEMPO SUMADOS O RESTADOS DEN b

ESTOS DOS NÚMEROS SE COLOCARAN EN LOS PARÉNTESIS DONDE YA TENEMOS LAS x Y LOS SIGNOS, PROCURANDO QUE EL NUMERO MAS GRANDE SE COLOQUE SIEMPRE EN EL PRIMER PARÉNTESIS

S: x + 6

¾ COLOCAMOS LAS x EN DOS PAR ACUERDO AL TR

SIGNO (x + ) (

¾ BUSCAMOS AHORA LOS NÚMEROS QUE MULTIPLICADOS NOS DEN EL TERCER TERMINO (TERMINO INDEPENDIENTE, c) Y EN ESTE CASO, COMO LOS SIGNOS DE LOS PARÉNTESIS NOS QUEDARON IGUALES, ESTOS MISMOS NÚMEROS NOS DEBEN DE DAR SUMADOS EL COEFICIENTE DEL SEGUNDO TERMINO (TERMINO LINEAL, b). ESTOS NÚMEROS SON EL 3 Y EL 2.

(3) (2) = 6 y 3 + 2 = 5

COLOCAMOS LOS NÚMEROS QUE CUMPLEN LAS CONDICIONES EN LOS PARÉNTESIS, EL 3 POR SER EL MAYOR SE COLOCARA EN EL PRIMER PARÉNTESIS:

(x + 3) (x + 2)

(12)

2.- x2 – 2

ÉNTESIS Y ASIGNAMOS EL SIGNO DE LOS PARÉNTESIS. DE NOMIO EL SIGNO DE L SEGUNDO TERMINO ES NEGATIVO, POR LO QUE EN EL PRIMER PARÉNTESIS DESPUÉS DE LA x COLOCAREMOS UN SIGNO NEGATIVO. EL SIGNO QUE RÁ EL SEGUNDO PARÉNTESIS SERÁ POSITIVO YA QUE EL SIGNO DEL SEGUNDO TERMINO DIJIMOS ANTES ES NEGATIVO Y EL SIGNO DEL TERCER TERMINO ES TAMBIÉN NEGATIVO,

¾

EL RESULTADO DE LA FACTORIZACION ES: x2 –

2.- x2 – 2

ÉNTESIS Y ASIGNAMOS EL SIGNO DE LOS PARÉNTESIS. DE NOMIO EL SIGNO DE L SEGUNDO TERMINO ES NEGATIVO, POR LO QUE EN EL PRIMER PARÉNTESIS DESPUÉS DE LA x COLOCAREMOS UN SIGNO NEGATIVO. EL SIGNO QUE NTESIS SERÁ POSITIVO YA QUE EL SIGNO DEL SEGUNDO TERMINO ATIVO Y EL SIGNO DEL TERCER TERMINO ES TAMBIÉN NEGATIVO, S SIGNOS IGUALES EL SIGNO

DO DE LA FACTORIZACION ES: = (x – 6) (x + 4)

A FORMA ax2 + bx + c

¾

¾ CAN POR PAREJAS UN FACTOR DEL PRIMER TERMINO POR UN FACTOR DEL TERCER TERMINO

¾ LOS RESULTADOS DE LAS MULTIPLICAC MAD RESTADOS DEBEN DE DARNOS EL SEGUNDO TERMINO ( bx ) DEL TRINOMIO, TENEMOS EL TERMINO LINEAL, ENTONCES HAY

TERMINO, LOS FACTORES SE AGRUPAN EN DOS PARÉNTESIS, R EN PARÉNTESIS DIFERENTES LOS FACTORES QUE SE RON ENTRE SI PARA OBTENER EL SEGUNDO TERMINO

EJEMPLO: 1.- 2x2 + 5x + 2

¾ R DE CANTIDADES O

PRIMER Y EL TERCER TERMINO). 2x

x – 24

¾ COLOCAMOS LAS x EN DOS PAR ACUERDO AL TRI

TEND COMO

ASÍ QUE SI MULTIPLICAMOS ESTOS SIGNOS, COMO TENEMOS SIGNOS IGUALES EL SIGNO RESULTANTE ES POSITIVO, ESTO QUEDARÍA ASÍ:

(x – ) (x + )

BUSCAMOS AHORA LOS NÚMEROS QUE MULTIPLICADOS NOS DEN EL TERCER TERMINO (TERMINO INDEPENDIENTE, c) Y EN ESTE CASO, COMO LOS SIGNOS DE LOS PARÉNTESIS NOS QUEDARON DIFERENTES, ESTOS MISMOS NÚMEROS NOS DEBEN DE DAR RESTADOS EL COEFICIENTE DEL SEGUNDO TERMINO (TERMINO LINEAL, b). ESTOS NÚMEROS SON EL 6 Y EL 4.

y 6 – 4 = 2 (6) (4) = 24

¾ COLOCAMOS LOS NÚMEROS QUE CUMPLEN LAS CONDICIONES EN LOS PARÉNTESIS, EL 6 POR SER EL MAYOR SE COLOCARA EN EL PRIMER PARÉNTESIS:

(x – 6) (x + 4)

2x – 24 = (x – 6) (x + 4) x – 24

¾ COLOCAMOS LAS x EN DOS PAR ACUERDO AL TRI

TENDRÁ EL SEGUNDO PARÉ COMO DIJIMOS ANTES ES NEG

ASÍ QUE SI MULTIPLICAMOS ESTOS SIGNOS, COMO TENEMO RESULTANTE ES POSITIVO, ESTO QUEDARÍA ASÍ:

(x – ) (x + )

¾ BUSCAMOS AHORA LOS NÚMEROS QUE MULTIPLICADOS NOS DEN EL TERCER TERMINO (TERMINO INDEPENDIENTE, c) Y EN ESTE CASO, COMO LOS SIGNOS DE LOS PARÉNTESIS NOS QUEDARON DIFERENTES, ESTOS MISMOS NÚMEROS NOS DEBEN DE DAR RESTADOS EL COEFICIENTE DEL SEGUNDO TERMINO (TERMINO LINEAL, b). ESTOS NÚMEROS SON EL 6 Y EL 4.

(6) (4) = 24 y 6 – 4 = 2

¾ COLOCAMOS LOS NÚMEROS QUE CUMPLEN LAS CONDICIONES EN LOS PARÉNTESIS, EL 6 POR SER EL MAYOR SE COLOCARA EN EL PRIMER PARÉNTESIS:

(x – 6) (x + 4) EL RESULTA

2

x – 2x – 24 RINOMIO DE L T

SE FACTORIZA EL PRIMER Y TERCER TERMINO (ax2 Y c ) SE MULTIPLI

IONES SU OS O O B

SI N O

QUE CAMBIAR DE ORDEN LOS FACTORES O LOS SIGNOS, SI NI ASÍ LO OBTENEMOS HAY QUE PROBAR CON FACTORIZAR AL PRIMERO Y TERCER TERMINO CON OTRAS CANTIDADES

TES. DIFEREN

¾ UNA VEZ OBTENIDO EL SEGUNDO LO QUE DEBEN DE QUEDA SO

MULTIPLICA

FACTORIZANDO EL PRIMER Y TERCER TERMINO (SE BUSCAN UN PA NÚMEROS QUE MULTIPLICADOS NOS DEN EN CADA CASO EL

2

2x 2

(13)

El 2x2 SE FACTORIZA EN 2x Y x YA QUE (2x) (x) = 2x2, MIENTRAS QUE EL 2 SE DESCOMPONE O FACTORIZA EN 2 Y 1 YA QUE (2) (1) = 2

=

S LOS FACTORES EN FORMA LINEAL (2x) (2) = 4x y (x) (1) = x NES

¾ MULTIPLICANDO LOS FACTORES

x 4 2 POR x 2

2 x

2 2

= x 1 POR x

ULTIPLICAMO M

LTADO DE LAS MULTIPLICACIO

¾ SUMANDO EL RESU

x 5

x 1 POR

x =

x 4 2 POR x 2

2 x

2 2

=

SUMAMOS EL RESULTADO DE LA MULTI x = 5x. EN ESTA OCASIÓN SI TENEMOS COMO RESULTADO DE TODO EL PROCESO EL VALOR ERMINO LINEAL bx (5x) DEL TRINOMIO

¾

ACTOR DEL 2, EN ESTE CASO EL 1, DE IGUAL MANERA N EL FACTOR 1, ENTONCES SE DEBE AGRUPAR CON EL FACTOR 2, POR LO QUE LA AGRUPACIÓN DE LOS FACTORES EN S PARÉNTESIS NOS QUEDA:

(2x + 1) (x + 2)

EL RESULTADO DE LA FACTORIZACION ES: 2x2 + 5x + 2 = (2x + 1) (x + 2)

1.- 6x2 –

FACTORIZANDO EL PRIMER Y TERCER TERMINO (SE BUSCAN UN PAR DE CANTIDADES O NÚMEROS QUE MULTIPLICADOS NOS DEN E CADA CASO EL PRIMER Y EL TERCER TERMINO).

PLICACIONES 4x + DEL T

QUE QUEREMOS FACTORIZAR, POR LO QUE YA ESTAMOS LISTOS PARA EL ULTIMO PASO QUE ES EL DE FORMAR LOS PARÉNTESIS.

AGRUPANDO LOS FACTORES EN PARÉNTESIS EN PARÉNTESIS. COMO EL FACTOR 2x SE MULTIPLICO CON EL FACTOR 2 PARA HALLAR EL COEFICIENTE DEL TERMINO LINEAL, ENTONCES DEBE DE AGRUPARSE CON EL OTRO F

MO EL FACTOR x SE MULTIPLICO CO CO

OTRO FACTOR, EN ESTE CASO EL LO

x – 12

¾

N

6x2 –12

3x 3

2x 4

El 6x2_{SE FACTORIZA EN 3x Y 2x YA QUE (3x) (2x) = 6x}2_{, MIENTRAS QUE EL –12 SE DESCOMPONE O}

FACTORIZA EN 3 Y 4 YA QUE (3) (4) = 12, ES IMPORTANTE TENER EN CUENTA QUE COMO NUESTRO TERCER TERMINO ES –12 UNO DE LOS FACTORES EN QUE SE DESCOMPONGA DEBERÁ DE SER NEGATIVO PARA QUE PODAMOS OBTENER EL –12, PERO DE ESE SIGNO NOS OCUPAREMOS MAS ADELANTE, CUANDO HAGAMOS LAS MULTIPLICACIONES YA VEREMOS QUIEN NOS CONVENDRÁ QUE SEA NEGATIVO YA SEA EL 3 O EL 4.

¾ NDO LOS FACTORES

CIONES MULTIPLICA

x 8 4 POR x 2

x 9 3 POR x 3

12 x

6 2

= − = − −

MULTIPLICAMOS LOS FACTORES EN FORMA LINEAL (2x) (2) = 4x y (x) (1) = x

¾ SUMANDO EL RESULTADO DE LAS MULTIPLICA 12 x

6 2 −

x SUMAMOS EL RESULTADO DE LA MULTIPLICACIONES

x 8 4 POR x 2

x 9 3 POR x 3

− =

− = −

(14)

QUE QUEREMOS FACTORIZAR, POR LO QUE YA ESTAMOS LISTOS PARA EL ULTIMO PASO QUE ES EL DE FORMAR LOS PARÉNTESIS.

¾ AGRUPANDO LOS FACTORES EN PARÉNTESIS EN PARÉNTESIS. COMO EL FACTOR 3x SE AR EL COEFICIENTE DEL TERMINO LINEAL, ENTONCES DEBE DE AGRUPARSE CON EL OTRO FACTOR DEL –

MULTIPLICO CON EL FACTOR –3 PARA HALL

12, EN ESTE CASO EL 4, DE IGUAL MANERA CON EL FACTOR 4, ENTONCES SE DEBE AGRUPAR CON EL OTRO FACTOR, EN ESTE CASO EL FACTOR –3, POR LO QUE LA AGRUPACIÓN DE LOS FACTORES EN LOS PARÉNTESIS NOS QUEDA:

(3x + 4) (2x – 3)

EL RESULTADO DE LA FACTORIZACION ES:

2

TRIGONOMETRICAS Y EXPONENCIALES.

OB S DEL SUBTEMA: EL ESTUDIANTE:

RESOLVERÁ EJERCICIOS DE LIMITES DE FUNCIONES POLINOMIALES, RACIONALES, TRIGONOMETRICAS Y EXPONENCIALES (FACTORIZACIONES: SOLO DE FACTOR COMÚN MONOMIO,

ITES. (PO, EC)

S DE LIMITES DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS, LOGARÍTMICAS Y )

PLICACIÓN DE LOS TEOREMAS DE LIMITES. ENCIÓN ESPECIAL AL TEOREMA V. SOLVER L S SIGUIENTES LIMITES:

− → 6.

2. 3.

EJERCICIOS RESUELTOS:

COMO EL FACTOR 2x SE MULTIPLICO

6x – x – 12 = (3x + 4) (2x – 3)

1.1.3. RESOLUCIÓN DE LIMITES DE FUNCIONES: POLINOMIALES, RACIONALES,

JETIVO 1.

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS Y TRINOMIOS DE LA FORMA (x2+bx+c Y ax2+bx+c). (PO, EA)

2. RESOLVERÁ EJERCICIOS DE OPERACIONES CON LIM 3. RESOLVERÁ EJERCICIO

EXPONENCIALES. (PO, EC A

HAREMOS UNA M

RE O

4.

4 x

3 Lim

→ = 5. Lim10=

7 x

c x

2500 Lim

→ =

EN TODOS LOS CASOS ESTAMOS CALCULANDO EL LÍMITE DE UNA CONSTANTE, DE ACUERDO AL TEOREMA V, EL LIMITE DE UNA CONSTANTE ES IGUAL A LA MISMA CONSTANTE, ASÍ QUE LOS RESULTADOS DE LOS LIMITES SON LOS SIGUIENTES:

1. 3

4 x

3 Lim

→ = 10

7 x

10 Lim

− → =

2500

c x

2500 Lim

→ =

ASÍ QUE DE MANERA GENERAL PODEMOS DECIR QUE CUALQUIER CANTIDAD QUE NO TENGA VARIABLE (CONSTANTE) NO SERÁ AFECTADA POR EL VALOR AL QUE TIENDE LA VARIABLE (x) Y CUANDO SE LE CALCULE SU LIMITE EL RESULTADO SERÁ EL VALOR DE LA CONSTANTE.

HORA SI TRABAJAREMOS CON LIMITES EN LOS CUALES NO ES NECESARIO APLICAR LAS FACTORIZACIONES.

x 5 Lim

N ESTE CASO PARA HALLAR EL VALOR DEL LIMITE LO QUE TENEMOS QUE HACER ES SUSTITUIR LA VARIABLE (x) POR EL VALOR AL QUE ESTA TENDIENDO, ES DECIR SOLO SUSTITUIMOS LA x POR 2 Y

ALIZAMOS LA MULTIPLICACIÓN CON LO CUAL OBTENEMOS EL VALOR DEL LIMITE. x

5 Lim 2

5 x 5

2 x 2

A

1. →2 x =

E RE

( )

=10 ⇒ =10

=

→ →

Lim

(15)

2.

STE LIMITE ES MUY PARECIDO AL ANTERIOR LA DIFERENCIA ES QUE TENEMOS DOS TÉRMINOS Y UNO DE ELLO CONSTANTE (3) LA CUAL COMO DIJIMOS AL PRINCIPIO NO SERÁ AFECTADA POR EL VALOR AL QU IENDE LA VARIABLE, ASÍ QUE PARA RESOLVER EL LIMITE LO QUE HAY QUE HACER ES SUSTITUIR LA VAR

(

+

)

= → 2x 3 Lim

5 x

E

S ES UNA E T

IABLE (x) POR 5, REALIZAR LA MULTIPLICACIÓN Y DESPUÉS SUMARLE 3, CON LO CUAL YA TENDREMOS EL RESULTADO DEL LIMITE.

(

+

)

=

( )

+ = + =13 ⇒

(

+

)

=13 →

→ 2x 3 2 5 3 10 3 Lim 2x 3 Lim 5 x 5 x

(

− +

)

= → x 4x 1 Lim 2

2 x

3.

DESPUÉS DE RESOLVER LOS DOS PRIMEROS EJERCICIOS, DEBEMOS DE DARNOS CUENTA QUE PARA RESOLVER EL LIMITE, LO ÚNICO QUE TENEMOS QUE HACER ES SUSTITUIR LAS VARIABLES INDEPENDIENTES (VARIABLE QUE TIENDE A UN NUMERO) QUE APARECEN EN LA FUNCIÓN POR EL NUMERO AL QUE TIENDEN, SOLO LAS CONSTANTES NO SERÁN AFECTADAS POR EL VALOR DE ESTA VARIABLE.

(

− +

)

=

( )

−

( )

+ = − + =−3 ⇒

(

− +

)

=−3 →

→ x 4x 1 2 4 2 1 4 8 1 Lim x 4x 1

Lim 2 2 x 2 2 2 x = + − → x 2

2 x Lim 3 x 4.

SE SUSTITUYEN LAS “x” POR 3 Y SE HACEN LAS OPERACIONES INDICADAS.

5 1 1 = − ⇒ = − =

− x 2

Lim 2 3 2 x Lim 5 + + + →

→3 x 2 3 2 x 3x 2

.

x

4 x2−

5 4 x Lim 2 2 x→ ₊

E SUSTITUYEN LAS “x” POR 2 Y SE HACEN LAS OPERACIONES INDICADAS. S

( )

0 + =0

− ⇒ = = + − = + − = + − →

→ _x ₄

4 x Lim 8 0 4 4 4 4 4 2 4 2 4 x 4 x Lim 2 2 2 x 2 2 2 2 2 x

6. Lim

(

at2 a2t

)

4 t→ +

SUSTITUYEN LAS “t” POR 4, YA QUE LA VARIABLE INDEPENDIENTE ES LA t, YA QUE ES LA QUE TIENDE A 4 Y SE HACEN LAS OPERACIONES INDICADAS.

(

)

SE

( )

₋

( ) ( )

₌ ₋ ₌_16a₋_4a2 _⇒

(

₋

)

₌₁₆

=

−a t a 4 a 4 a16 4a Lim at a t at

Lim 2 2 2 2 2 2 2 a−4a2

→

→4 t 4

t

2

7.

4 x 25 x

Lim −

→

SE SUSTITUYEN LAS “x” POR 4, EL 4 SE ELEVA AL CUADRADO, AL RESULTADO SE LE RESTA AL 25 Y A LO QUE QUEDE SE LA SACARA RAÍZ CUADRADA.

( )

= − = =3 ⇒ − =3

− = − → → 2 4 t 2 2 4

t 25 x 25 4 25 16 9 Lim 25 x

Lim

EN ALGUNAS OCASIONES (LOS MAS FRECUENTES EN EXAMEN) AL REEMPLAZAR A x POR UN NUMERO DETERMINADO a, LA FUNCIÓN f(x) ADOPTA ALGUNAS VECES LAS FORMAS

0 0

O DE

∞

∞_{; EXPRESIONES QUE}

CO O NO REPRESENTAN NINGÚN VALOR DETERMINADO SE LE LLAMA A CADA UNA INDETERMINADA.

UNOS CASOS CON LA SUSTITUCIÓN DIRECTA SE OBTIENE COMO RESULTADO M

EN ALG

0 0

, QUE ES UNA

IND C

S TENDREMOS EJERCICIOS EN DONDE SE APLICARAN FACTORIZACIONES PAR

ETERMINACIÓN; PARA EVITARLA Y SEGÚN PROCEDA, PODEMOS FACTORIZAR, RA IONALIZAR EL NUMERADOR Y EL DENOMINADOR, O SUSTITUIR LA RELACIÓN TRIGONOMETRICA POR OTRA EQUIVALENTE.

N LOS SIGUIENTES EJEMPLO E

(16)

8. 3 x 9 x Lim 2 3 x − − →

SI HACEMOS LA SUSTITUCIÓN DIRECTA DE x POR 3, VEREMOS UE EL RESULTADO DEL LIMITE SERÁ Q

∞, PERO

= 0 0

NO PODEMOS DECIR QUE EL RESULTADO DE UN LIMITE ES INFINITO, POR LO QUE ESTOS RESULTADOS SERÁN EL INDICADOR DE QUE TENEMOS QUE FACTORIZAR LAS EXPRESIONES DEL LIMITE PARA ROMPER LA INDETERMINACIÓN Y OBTENER COMO RESULTADO UN NUMERO REAL, ENTONCES POR LO PRONTO LA SUSTITUCIÓN DE LAS x POR 3 NOS QUEDA DE LA SIGUIENTE FORMA:

( )

₌ − ₌ ₌_∞ − = − − → 0 0 0 9 9 3 3 9 3 x 9 x Lim 2 3 x − 3 2

OMO DIJIMOS VAMOS A TENER QUE RECURRIR A LA FACTORIZACION PARA VER SI ROMPEMOS LA ENTA QUE EN EL NUMERADOR TENEMOS UNA RIZAR EN PAGINA 4) EL CUAL PODEMOS

S QUE SON IGUALES Y QUE SE SOLVEMOS EL LIMITE, ES DECIR SE CAMBIAN LAS x PO N LO QUE CON ESO YA TENDREMOS EL RESULTADO DEL LIMITE, EL PROCEDIMIENTO ES EL SIG

9. C

INDETERMINACIÓN, SI VEMOS EL LIMITE NOS DAREMOS CU DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS (FORMA DE FACTO FACTORIZAR. UNA VEZ FACTORIZADO SE ELIMINAN LOS PARÉNTESI ENCUENTRAN ARRIBA Y ABAJO Y CON LO QUE QUEDA RE

R 3, CO UIENTE: 3 x 4 x 2 x 3 x Lim 2 2 1

x ₊ ₊

+ + − →

I HACEMOS LA SUSTITUCIÓN DE LAS x POR –1, TENDREMOS QUE EL RESULTADO SERÁ

S =∞

0

S CONCENTRAREMOS EN LA FACTORIZACION Y NO PONDRE S EL PROCEDIMIENTO DE SUSTITUIR DIRECTAMENTE LAS x POR –1.

EN AMBOS CASOS, TANTO EN EL NUMERADOR COMO EN EL DENOMINADOR TENEMOS TRINOMIOS DE LA 2

0

, ASÍ QUE

NO MO

FORMA + + (FORMA EN QUE SE FACTORIZA EN LA PAGINA 5), ASÍ QUE HACEMOS LA FACTORIZACION DE AMBOS TRI

c bx x

NOMIOS, SE ELIMINAN LAS EXPRESIONES QUE SIENDO IGUALES SE ENCUENTRAN TANTO EN EL NUMERADOR COMO EN EL DENOMINADOR, CON LAS EXPRESIONES QUE NOS QUEDEN RESOLVEREMOS EL LIMITE, ES DECIR SUSTITUIREMOS LAS x POR –1, CON LO CUAL HALLAREMOS EL RESULTADO DEL LIMITE, EL PROCEDIMIENTO ES EL SIGUIENTE:

10. 25 x 5 x Lim 2 5 x ₋ − →

EN ESTE LIMITE EN EL DENOMINADOR TENEMOS UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS, FACTORIZÁNDOLA PODREMOS ELIMINAR EL FACTOR (x – 5), SOLO QUE EL FACTOR (x + 5) QUE SOBRA SE ENCUENTRA EN EL DENOMINADOR, ASÍ QUE DESPUÉS DE LA ELIMINAC N DE FACTORES IGUALES LO QUE NO

IÓ S QUEDA ES

5 x

1

EL UNO LO TENEMOS QUE PONER YA QUE EN LA PAR

+ TE DE ARRIBA NO SOBRO NINGÚN

FACTOR, RESOLVEMOS EL LIMITE CON ESTA EXPRESIÓN SUSTITUYENDO LA x POR 5, EL PROCESO QUE SE SIGUE PARA RESOLVER ESTE LIMITE ES EL SIGUIENTE:

11.

2 4

x ₄_x ₆₄_x

x 40 x 10 Lim − − →

PARA EMPEZAR LA RESOLUCIÓN DE ESTE LIMITE, OBSERVAMOS QUE TODOS LOS TÉRMINOS DE AMB0S POLINOMIOS (TANTO EL DE ARRIBA COMO EL DE ABAJO) TIENEN LA VARIABLE x, ASÍ QUE SE LES PUEDE

(

)(

)

₍

₎

6 = + = + = − − + = − − →

→ x 3 Lim x 3 3 3

3 x 3 x 3 x 9 x Lim 3 x 2 3 x

(

)(

)

(

)(

)

(

)

2

1 = + − + − = + + = + + + = + + + + − → −

→ 1 3

2 1 3 x 2 x Lim 1 x 3 x 1 x 2 x 3 x 4 x 2 x 3 x Lim 1 x 2 2 1 x +

(

)

(

) (

)

10

1 = + = + = + − − = − −

→ 5 5

(17)

FACTORIZAR POR TERMINO COMÚN, EL TERMINO COMÚN DEL POLINOMIO DE ARRIBA ES 10x, MIENTRAS QUE EL TERMINO COMÚN DEL POLINOMIO DE ABAJO ES 4x2_{, POR LO QUE LA FACTORIZACION POR TERMINO COMÚN}

HACE QUE EL LIMITE QUEDE DE LA SIGUIENTE FORMA:

(

)

(

x 16

)

x 4 4 x x 10 Lim x 64 x 4 x 40 x 10 Lim 2 2 4 x 2 4 4 x − = − → → AHORA PODEMO 2 − −

S SIMPLIFICAR LA DIVISIÓN

2

x 4

x 10

LA CUAL NOS DA x 2

5

, AL 10 Y AL 4 SE LE SACARON MITADES Y LAS x SE DIVIDIERON, COMO LA DE MAYOR EXPONENTE ESTA ABAJO POR ESO ES QUE LA x SE QU A EN LA PARTE DE ABAJO, SOLO SE RESTAN SUS EXPONENTES. DESPUÉS DE ESTO EL LIMITE TE QUEDA DE

ED

LA SIGUIENTE FORMA:

(

)

(

x 16

)

2x

(

x 16

)

x 4

4 ₋ ₋

→

AHORA REVISANDO LOS PARÉNTESIS VEREMOS QUE EN EL PARÉNTESIS DE LA PARTE DE ABAJO TENEMOS UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS LA CUAL PODEMOS FACTORIZAR, HACIENDO ESTA FACTO 4 x 5 4 x x 10 Lim 2 2 2 − = − x

RIZACION EL LIMITE NOS QUEDA:

(

)

(

)

2x

(

x

(

4

)(

x

)

4

)

4 x 5 4 x 5

2 + −

− = − 16 x x −

AHORA PODEMOS ELIMINAR LOS FACTORES (x – 4) Y CON LO QUE NOS QUEDA RESOLVEMOS EL LIMITE SUSTITUYENDO LAS x POR 4 Y HACIENDO LAS OPERACIONES INDICADAS. LA ULTIMA PARTE DEL PROCEDIMIENTO DE RESOLUCIÓN DEL LIMITE ES:

EL PROCEDIMIENTO COMPLETO DE LA RESOLUCIÓN DE ESTE LIMITE ES:

. 2

(

)

(

)(

)

(

)

( )(

) ( )( )

64

5 = = + = + = − + −

→ 8 8

5 4 4 4 2 5 4 x x 2 5 Lim 4 x 4 x x 2 4 x 5 4 x

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

( )(

) ( )( )

64

5 = = + = + = − + − = − − = − − = → →

→ 8 8

5 4 4 4 2 5 4 x x 2 5 Lim 4 x 4 x x 2 4 x 5 16 x x 2 4 x 5 16 x x 4 4 x x 10 Lim x 64 x 4 x 40 x 10 Lim 4 x 2 2 2 4 x 2 4 2 4 x − − x 24 x 4 x 4 x 18 x 30 x 12 Lim 2 3 2 3 4 3

x ₋ ₋

− − →

12

PARA EMPEZAR LA RESOLUCIÓN DE ESTE LIMITE, OBSERVAMOS QUE TODOS LOS TÉRMINOS DE AMB0S PO MIOS (TANTO EL DE ARRIBA COMO EL DE ABAJO) TIENEN LA VARIABLE x, ASÍ QUE SE LES PUEDE FACTORIZAR POR TERMINO COMÚN, EL TERMINO COMÚN DEL POLINOMIO DE ARRIBA ES 6x2_{, MIENTRAS QUE}

EL TERMINO COMÚN DEL POLINOMIO DE ABAJO ES 4x, POR LO QUE LA FACTORIZACION POR TERMINO COMÚN HACE QUE EL LIMITE QUEDE DE LA SIGUIENTE FORMA:

LINO

(

)

(

x x 6

)

x 4 3 x 5 x 2 x 6 x 24 x 4 x 4 x 18 x 30 x 12 L

xim 2

2 2 2 3 2 3 4

3 ₋ ₋

− − = − − − − →

HORA PODEMOS SIMPLIFICAR LA DIVISIÓN x 4

x 6 2

LA CUAL NOS DA 2

x 3

A , AL 6 Y AL 4 SE LE SACARON

MITADES Y LAS x SE DIVIDIERON, COMO LA DE MAYOR EXPONENTE ESTA ARRIBA POR ESO ES QUE LA x SE QU A EN LA PARTE DE ARRIBA, SOLO SE RESTAN SUS EXPONENTES. DESPUÉS DE ESTO EL LIMITE TE QUEDA DE LA SIGUIENTE FORMA:

ED

(

)

(

)

2

(

x x 6

)

3 x 5 x 2 x 3 6 x x x 4 3 x 5 x 2 x 6 L

xim 2

2 2

3 ₋ ₋

− − = − − − − →

HORA REVISANDO LOS PARÉNTESIS VEREMOS QUE EN EL PARÉNTESIS DE LA PARTE DE ARRIBA TENEMOS UN TRINOMIO DE LA FORMA Y EN LA DE ABAJO TENEMOS UN TRINOMIO DE LA FORMA

LOS CUALES PODEMOS FACTORIZAR, HACIENDO ESTAS FACTORIZACIONES EL LIMITE NOS QU A:

A

c bx ax2+ +

c bx x2+ +

(18)

(

)

(

)

2

(

x 3

)(

x 2

)

3 x 1 x 2 x 3 6 x x 2 3 x 5 x 2 x 3 2 2 + − − + = − − − −

HORA PODEMOS ELIMINAR LOS FACTORES (x – 3) Y CON LO QUE NOS QUEDA RESOLVEMOS EL LIMITE SUSTITUYENDO LAS x POR 3 Y HACIENDO LAS OPERACIONES INDICADAS. LA ULTIMA PARTE DEL PROCEDIMIENTO DE RESOLUCIÓN DEL LIMITE ES:

L PROCEDIMIENTO COMPLETO DE LA RESOLUCIÓN DE ESTE LIMITE ES: A

E

( ) ( )

[

]

(

)

( )(

( )( )

)

( )( )

10 63 = = + = + + 10 7 9 5 2 1 6 9 2 3 2 1 3 2 3 3

(

)(

)

(

)(

)

(

)

( ) ( )

(

[

)

]

( )(

( )( )

)

( )( )

10 63 = = + = + + = + + = + − − + → 10 7 9 5 2 1 6 9 2 3 2 1 3 2 3 3 2 x 2 1 x 2 x 3 Lim 2 x 3 x 2 3 x 1 x 2 x 3 x 3

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

+

)

= + = + − − + = − − − − = − − − − = − − − − →

→ 2 x 2

(19)

EJERCICIOS PROPUESTOS:

I. RESUELVE LOS SIGUIENTES LIMITES (NO ES NECESARIO FACTORIZAR): 1.

(

− +

)

=

→ 3x 2x 5 Lim 2

0 x

2. Lim

(

5x3+2x2−20

)

= →2

x

3.

(

− + −

)

=

−

→ 2x 2x 5x 9

Lim 4 3

1 x

4.

(

− −

)

=

→10 x

5.

2 1 2 ₂_x ₅

x Lim

= + + → 4x x 4

Lim 2

0 x

6. + + =

→ 2x 3x 4x

Lim 3 2

1 x

.

7 + − =

→0 x

8.

3_x2 ₃_x ₈

Lim = + − → 3 15 xLim 2x 3

9. =

− → x 1

x Lim

0 x

10. =

− + → 2x 1

1 x Lim

2 x

11. =

− − − → x 4

2 x 3 Lim 1 x

12. =

− → 4x 1 Lim

1 x

13. =

− → x 1

x 7 Lim

2 x

14. =

+ − → 4 2x

x 2 Lim +4 x 5 5 x

15. =

− →0 x 1

x

x Lim

16. =

− →610 2x

x 17. −5 x Lim = − − → x 1

2 x 3 Lim 2 x

18. Lim 10−3x = − →3 5 x

x

19. =

− + →63 x ₁₄ _x

1 x 4 Lim

20. =

+ + + −

→ 2x 5 4 x 2 x Lim 2 1 x

21.

(

)

=

− + +2x 2 x

2 2 −

→ 1 3x Lim

3 x

22. =

+ + +

→ x 3

6 x x 7 Lim 2 0 x

23. =

− +

+ + −

→ ₄_x _x ₂ 9 x 2 x 3 Lim 2 2 1 x

24. =

− +

+ − → ₃_x ₅_x ₁

5 x 2 x 2 Lim 2 2 2 x

25. =

− + − → 3 x

x 3 x 4 Lim 2 2 x

26. =

− →3 ₂_x2 ₂ x

27.

− −9x 4 x 7 Lim 2 = − − −

→ 9x 2x 3 1 Lim 2 3 4 x

28. − =

→ x 5 Lim 2 0

x ₄_x ₊₂_x₋₆ 2

29. =

− → 2 x

1 Lim

4 3 x

30. =

+ − → 3x 2x 4

1 Lim 2 2 1 x 1.

II. RESUELVE LOS SIGUIENTES LIMITES (EN ALGUNOS CASOS ES NECESARIO FACTORIZAR):

= −

+ → x 1

1 x 3 Lim 0 x

2. =

+ − → x 4 Lim

1 x

−2 x

3. =

− → 4x 1

4 Lim 1 x + x 5

4. =

− +4 x Lim

− → 31 2x

x

5. =

− − → x 4

x 2 10 Lim 5 x

6. =

+ + − → 4x 9

3 x 2 Lim 2 x

7.

(

)

1 x Lim

1 x→ −

1 x x −

8. =

− −

→ 3x 2x 2 x 3 Lim 2 3 2 x

9.

(

)

1 x 1 x 2 Lim 2 1 x − − →

10. =

+ − −

→ _x ₅_x 25 x Lim 2 2 5 x 11.

(

)

(

)

2 2 xLim→− _x₋₂

2 3 x+ 12.

(

+

)

= + + − → 2 2 3

x _x ₂

25 x 10 x

Lim 22.

13.

(

)

16 x 8 x 1 x Lim 2 2 1

x ₊ ₊

+ − →

14. =

− − −3x 10 x2

→ _x ₂₅ Lim

2 5 x

15. =

− − + → _x ₁

2 x x Lim 2 2 1 x

16. =

+ +

+ − → _x ₄_x ₁₂

2 x 3 x Lim ₂2

3 x

17. =

− +

+ + −

→ _x ₃_x ₁₀ 15 x 8 x Lim 2 2 5 x

18. =

− −

− − → _x ₇_x ₈

32 x 4 x Lim 2 2 8 x

19. =

− +

− − → _x ₂_x ₁₅

3 x 2 x Lim ₂2

3 x

20. =

− −

+ − → _x ₂_x ₈

4 x 5 x Lim 2 2 4 x

21. =

− −

+ − → _x ₃_x ₁₈

6 x 7 x Lim 2 2 6 x = − + − + → ₃_x ₁₀_x ₈

10 x 13 x 3 Lim 2 2 2 x

23. =

− +

− + → ₂_x ₅_x ₃

2 x 3 x 2 Lim 2 2 1 x

24. =

− +

− + → 5x 7x 6

15 x 22 x 5 Lim 2 2 5 3 x

25. =

− +

− + → ₃_x _x ₂

6 x 7 x 3 Lim 2 2 2 x

26.

₍

₎₍

₎

=

− +

− −

−

→ 5x 6 x 2 12 x 4 x 5 Lim 2 5 6 x

27. =

+ +

+ + −

→ ₃_x ₁₀_x ₈ 12 x 13 x 3 Lim 2 2 4 x

28. =

− − → 2x x 10 Lim

2 5 x

− +3x 20 x

2 2

2

29. =

− −

+ + −

(20)

30. = + − − + −

→ 6x 11x 5 10 x 7 x 6 Lim 2 2 2 1 x

TEOREMAS DE LIMITES DE OPERACIONES CON FUNCIONES (NO SE INCLUYE EN EL EXAMEN DEPARTAMENTAL).

N LOS SIGUIENTES EJERCICIOS SE HARÁN USO DE LOS PRIMEROS 4 TEOREMAS SOBRE LOS LIMITES, ESTOS TEOREMAS SE UTILIZAN PARA CUANDO SE COMBINAN 2 O MAS FUNCIONES LAS CUALES VAN A REALIZAR LAS ENTRE ELLAS LAS 4 OPERACIONES FUNDAMENTALES.

STOS TEOREMAS NOS DICEN QUE CUANDO SE BUSCA CALCULAR EL LIMITE DE OPERACIONES CON FUNCIONES, PRIMERO DEBEMOS DE CALCULAR EL LIMITE DE CADA FUNCIÓN Y DESPUÉS CON LOS RESULTADOS OBTENIDOS REALIZAR LAS OPERACIONES QUE SE INDICABAN, ES DECIR, LOS RESULTADOS DE LOS LIMITES SE SUMARAN, RESTARAN, MULTIPLICARAN O DIVIDIRÁN SEGÚN SEA EL CASO.

JERCICIOS RESUELTOS:

E

. SEA f(x) = 3x2_{– 2x + 1, g(x)= x}2_{– 4 y h(x) = 4x – 3, HALLAR}

1 Lim

{

f(x) g(x) h(x)

}

2

x→ + −

EN EL CASO DE SUMAS Y RESTAS SE PUEDEN SUMAR O RESTAR DIRECTAMENTE LAS FUNCIONES YA QUE EL PROCESO DE REDUCIR TÉRMINOS SEMEJANTES NO ES MUY TARDADO, PERO EN EL CASO DE LA MULTIPLICACIÓN Y LA DIVISIÓN, ESTOS PROCESOS SI SON ALGO TARDADOS DE HACER, ASÍ QUE VAMOS A HACER EL EJERCICIO COMO LO SUGIEREN LOS TEOREMAS, ES DECIR VAMOS A HALLAR EL LIMITE DE CADA FUNCIÓN Y AL FINAL HAREMOS CON ESTOS RESULTADOS LAS OPERACIONES DE SUMAS Y RESTAS QUE SE NOS INDICAN PARA CADA FUNCIÓN.

ALCULAMOS PRIMERO EL LIMITE DE f(x), LO QUE HACEMOS ES TOMAR A LA FUNCIÓN f(x) Y LE SUSTITUIMOS LAS x POR EL 2 QUE ES EL VALOR AL QUE TIENDE x EN EL LIMITE: C

( )

−

( )

+ =

( )

− + = − + =9

= + − =

→

→ f(x) Lim3x 2x 1 32 22 1 34 4 1 12 4 1

Lim 2 2

2 x 2

ALCULAMOS AHORA EL LIMITE DE g(x), HACEMOS LO MISMO QUE CON EL LIMITE DE f(x), PERO AHORA CON LA FUNCIÓN g(x):

2 2

2 x 2

INALMENTE CALCULAMOS EL LIMITE DE h(x):

2 x 2

A TENIENDO EL VALOR DE LOS 3 LÍMITES REALIZAMOS LAS OPERACIONES QUE SE INDICAN EN EL EJERCICIO, SOLO SUSTITUIMOS EL VALOR OBTENIDO DE CADA LÍMITE:

2

L RESULTADO DEL EJERCICIO ES 4.

. SEA f(x) = 4x2 – 5x – 2 , g(x)= x3 – 4x y h(x) = 10x + 7, HALLAR

x

C

( )

− = − =0

= − =

→

→ g(x) Limx 4 2 4 4 4 Lim

x

F

( )

− = − =5

= − =

→

→ h(x) Lim4x 3 4 2 3 8 3 Lim

x

Y

{

+ −

}

= + − =4

→ f(x) g(x) h(x) 9 0 5 Lim x E 2 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ • −

→ h(x) ) x ( g ) x ( f Lim 1 x

CALCULAMOS EL LIMITE DE f(x):

( )

− −

( )

− − =

( )

+ − = + − =7

= − − = − → −

→ f(x) Lim4x 5x 2 4 1 5 1 2 41 5 2 4 5 2

Lim 2 2

1 x 1 x

CALCULAMOS EL LIMITE DE g(x):

−

→ 1 1 4

1 x 1 x

( )

1 4

( )

x 4 x Lim ) x (

g = 3 − = − 3 − − =− + =3 −

→1 x 1

CALCULAMOS EL LIMITE DE h(x): Lim

x

(

Lim = + = −

)

+ =− + =−3 −

→ −

(21)

YA TENIENDO EL VALOR DE LOS 3 LÍMITES REALIZAMOS LAS OPERACIONES QUE SE INDICAN EN EL EJERCICIO, SOLO SUSTITUIMOS EL VALOR OBTENIDO DE CADA LÍMITE:

( )( )

7

− = − →

Lim

x _⎭⎬= − =

⎫ ⎩

⎨ ⎧ •

− 3

21 3

3 7 )

x ( h

) x ( g ) x (

1

L RESULTADO DEL EJERCICIO ES – 7. f

(22)

EJERCICIOS PROPUESTOS:

SEA f(x) = 2x – 3x + 5, g(x) = x – x + x , h(x) = 10 – 2x. HALLAR: A) Lim

{

f(x) g(x) h(x)

}

3

x→ + −

3 2 4 3 2

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧ • −

→ h(x) ) x ( g ) x ( f Lim

2 x

B)

C)

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧ − → h(x)

) x ( g ) x ( f Lim

5 x

D)

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨

⎧ • ₋ → f(x) f(x)

) x ( g ) x ( h Lim

1 x

E) Lim

{

f(x) g(x) h(x)

}

5

x→− − +

IMITES DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS (NO SE L

INCLUYE EN EL EXAMEN DEPARTAMENTAL)

LA RESOLUCIÓN DE ESTOS LIMITES ES IGUAL A LOS ANTERIORES LIMITES, SOLO REQUIERE DE RECORDAR N POCO DE LAS CARACTERÍSTICAS DE ESTE TIPO DE FUNCIONES.

EJERCICIOS RESUELTOS

HALLA EL VALOR DE LOS SIGUIENTES LÍMITES: 1.

PARA RESOLVER ESTE LIMITE SOLO TENEMOS QUE SUSTITUIR LA x POR LOS 45°, ASÍ QUE LO QUE ENEMOS QUE CALCULA ES EL VALOR DE LA Tan 45°, LA CUAL NOS DA 1, ASÍ QUE HACEMOS LA SUMA Y YA

OMO SIGUE: 1

1 45 Tan 1 x U

(

+

)

=

°

→ 1 Tanx

Lim 45 x

T

TENEMOS EL RESULTADO DEL LIMITE, EL PROCEDIMIENTO ES C

(

+ ° → 1 Tan Lim

45

x

)

= + °= + =2 3

2. Lim

(

1+Senx

)

2Cosx

0 x→°

AL IGUAL QUE EL LIMITE ANTERIOR LO ÚNICO QUE TENEMOS QUE HACER ES SUSTITUIR EL VALOR DE x PO ERO AL QUE ESTA TENDIENDO, EN ESTE CASO 0°, ASÍ QUE AL SUSTITUIR ESTE VALOR

Y HALLAMOS EL RESULTADO DEL LIMITE. R EL NUM

TENDREMOS QUE CALCULAR EL SENO DE 0° QUE ES IGUAL A CERO Y EL COSENO DE 0° QUE ES IGUAL A 1. DESPUÉS SOLO HACEMOS LAS OPERACIONES INDICADAS

(

+

)

=

(

+ °

)

° =

(

+

)

( ) =

( )

=1 °

→0 x

N EL ULTIMO PASO SE APLICA LA REG

2 1 2

3 0

Cos 2

3 x

Cos 2

3

1 0

Sen 1 x

Sen 1

LA DE EXPONENTES QUE DICE QUE NO IMPORTA A QUE EXPONENTE SE ELEVE EL 1, SU RESULTADO SIEMPRE SERÁ 1.

3

Lim

(23)

3.

(

x 2x

)

5

x Lne e

Lim •

→

EN ESTE LIMITE PRIMERO VAMOS A HACER LA MULTIPLICACIÓN QUE SE SEÑALA DENTRO DEL PARÉNTESIS LA CUAL NOS DA e3x_{. ENTONCES EL LÍMITE NOS QUEDA:}

(

)

( )

3x

5 x x 2 x 5

x Lne e LimLne

Lim

→

→ • =

AHORA APLICAMOS LAS LEYES O PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES, QUE EN ESTE CASO PODEMOS APLICAR QUE COMO LA FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL Y LA FUNCIÓN EXPONENCIAL e SON INVERSAS, ENTONCES SE CANCELAN QUEDANDO SOLO 3x, POR LO QUE SOLO CALCULAREMOS EL LIMITE DE 3X Y TENDREMOS ASÍ EL RESULTADO DEL LIMITE, EL PROCESO COMPLETO DE LA RESOLUCIÓN SE DA A CONTINUACIÓN:

(

•

)

=

( )

= =

( )

=15 →

→

→ Lne e LimLne Lim3x 35 Lim 5 x x 3 5 x x 2 x 5 x

4. Lim

[

Ln

( )

4x 5Ln

(

x 1

)

2Ln

(

x 1

)

3Ln

( )

2x

]

4

x→ + + − − −

PARA RESOLVER ESTE LIMITE NECESITAMOS APLICAR LAS PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS QUE SE VIERON EN MATEMÁTICAS IV, APLICANDO LAS PROPIEDADES TENEMOS QUE LOS LOGARITMOS SE VAN A CONVERTIR EN LA FRACCIÓN DE UN SOLO LOGARITMO, LOS QUE SON POSITIVOS SE PONDRÁN EN EL NUMERADOR DE ESTA FRACCIÓN Y QUEDARAN MULTIPLICÁNDOSE ENTRE ELLOS, AHORA LOS NEGATIVOS SE IRÁN A LA PARTE DE ABAJO Y QUEDARAN MULTIPLICÁNDOSE ENTRE ELLAS. SI EL LOGARITMO TENIA COEFICIENTE ESTE SE CONVERTIRÁ EN EXPONENTE DE LA FUNCIÓN, HACIENDO ESTOS CAMBIOS, EL LIMITE NOS QUEDARA COMO SIGUE.

( )

(

)

(

)

(

)

[

]

( )(

)

(

)(

)

⎥⎥_⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + = − − − − + + → → x 3 5 4 x

4 ₃_x ₂ ₂_x ₃

1 x x 4 Ln Lim 3 x 2 Ln 3 2 x 3 Ln 1 x Ln 5 x 4 Ln

ORA PODEMOS SUSTITUIR EL VALOR AL QUE TIENDE x Y HACER LAS OPERACIONES INDICADAS, MULTIPLICACIÓN (PRIMER PARÉNTESIS), SUMA Y POTENCIA (SEGUNDO PARÉNTESIS), MULTIPLICACIÓN Y E (T RCER PARÉNTESIS) Y MULTIPLICACIÓN, RESTA Y POTENCIA (CUARTO PARÉNTESIS). DESPUÉS ULTIPLICAMOS LO QUE NOS DIO EL PRIMER PARÉNTESIS POR LO QUE NOS DIO EL SEGUNDO Y TAMBIÉN ULTIPLICAMOS LO QUE NOS DIO EL TERCER PARÉNTESIS POR LO QUE NOS DIO EL CUARTO PARÉNTESIS,

DE ACIONES Y L

ES USAR UNA CALCULADORA PARA PODER HALLAR EL VALOR DEL LOGARITMO NATURAL QUE NOS QUEDO, Lim AH R M STA E M

SPUÉS SE DIVIDE EL RESULTADO DE AMBAS MULTIPLIC O ÚNICO QUE NOS QUEDA POR HACER TODO ESTO SE LLEVA A CABO DE LA SIGUIENTE MANERA:

( )(

)

(

)(

)

(

( )

(

−

( )

) ( )

)(

(

)

−

)

=

(

( )( )

−

)(

−

)

=

( )(

( )( )

)

=

( )(

( )( )

)

= + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − +

→ 10 125

(24)

1.1.4 LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES EN EL INFINITO

OBJETIVOS:

. IDENTIFICARA LA FORMA EN QUE SE DENOTAN LOS LIMITES INFINITOS Y LOS LIMITES EN EL INFINITO. (DC, EA)

RESOLVERÁ E OS DE LIMITES INFINITOS. (PO, EC)

3. RESOLVERÁ EJERCICIOS DE LÍMITES EN EL INFINITO. (SOLO ALGEBRAICAS). (PO, EA) 1

2. JERCICI

LIMITES INFINITOS:

SEA f UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN TODO NUMERO REAL DE UN INTERVALO ABIERTO QUE CONTIENE A c SALVO, POSIBLEMENTE, EN EL PROPIO c. LA EXPRESIÓN

∞ = → f(x) Lim

c x

SIGNIFICA QUE PARA TODO M>0 EXISTE UN δ>0 TAL QUE f(x)>M SIEMPRE QUE 0<|x – c|<δ (VÉASE FIGURA 1). ANÁLOGAMENTE, LA EXPRESIÓN

NI A QUE PARA TODO N<0 EXISTE UN δ>0 TAL QUE f(x)<N SIEMPRE QUE 0<|x – c|<δ. PARA DEFINIR EL LIMITE INFINITO POR LA IZQUIERDA, BASTA SUSTITUIR 0<|x – c|<δ POR c – δ < x < c. Y PARA DEFINIR EL LIMITE INF

−∞ = → f(x) Lim

c x

SIG FIC

INITO POR LA DERECHA, BASTA SUSTITUIR 0<|x – c|<δ POR c < x < c + δ.

MAS ALLÁ DE LA DEFINICIÓN TAN COMPLEJA DE LOS LIMITES INFINITOS, LO QUE NOS INTERESA ES SABER IDENTIFICAR LO QUE ES UN LIMITE INFINITO Y DE MANERA SENCILLA PODEMOS DECIR QUE UN LIMITE INFINITO ES CUANDO EL RESULTADO DEL LIMITE ES INFINITO, ES DECIR NO ESTA DETERMINADO. A CONTINUACIÓN

PONEMO RDA COMO POR LA DERECHA O DE

AMBOS L

1.

S UNOS EJEMPLOS DE LIMITES INFINITOS, TANTO POR LA IZQUIE ADOS:

∞ = x − + →1 x 1 x

Lim

2. =∞

+ − x 4 Lim

− →4 x

x

3. =∞

− + → _x ₂₅

5 x Lim

2 5 x

¡OJO! DE IGUALDAD EN LA EXPRESIÓN NO SIGNIFICA QUE EL LIMITE EXISTA,

ODO DE

∞ =

) (x f Lim EL SÍMBOLO

T

(25)

RESOLUCIÓN DE LIMITES INFINITOS (NO SE INCLUYE EN EL EXAMEN DEPARTAMENTAL)

EN LA RESOLUCIÓN DE LOS LIMITES INFINITOS LO QUE TENEMOS QUE DETERMINAR ES SI EL LIMITE SE VA IR A + RA ELLO DEBEMOS DE TOMAR UN VALOR QUE ESTE MUY PRÓXIMO A EL (DE PREFERENCIA A MILÉ OS) Y VER CON QUE SIGNO QUEDA EL RESULTADO PARA ASÍ ASIGNARLE EL SIGNO AL ∞.

E ITES INFINITOS.

1.

∞ O A –∞. PA IMOS O MEN S

N LOS SIGUIENTES EJERCICIOS SE RESOLVERÁN LIM

= − − → x 2

x 3 Lim

2 x

PARA RESOLVER ESTE LIMITE TENEMOS QUE ENTENDER QUE EL RESULTADO DE EST LIMITE ES ∞, YA QUE SI SUSTITUIMOS EL 2 EN LUGAR DE x, LA FUNCIÓN PRESENTA UNA DIVISIÓN ENTRE CERO Y ESO HACE QUE EL RESU

PARA POR

TOMAR UN NUMERO MUY PEGADO A 2 PERO QUE ESTE A SU IZQUIERDA, VAMOS A TOMAR 1.999 Y LO VAMOS A SUSTITUIR EN LA FUNCIÓN A LA QUEREMOS CALCULAR SU LIMITE EN LUGAR DE LA x, ESTO QUEDA DE LA SIGUIENTE MANERA

LTADO SEA ∞, ASÍ QUE LO QUE TENEMOS QUE DETERMINAR ES SI LA FUNCIÓN SE VA A IR A +∞ O A –∞. ELLO TENEMOS QUE VER POR DONDE SE ACERCA EL VALOR AL QUE TIENDE x, SI POR LA IZQUIERDA O LA DERECHA, EN ESTE CASO EL VALOR DE x TIENDE A DOS POR LA IZQUIERDA, COMO TENEMOS QUE

.

(

)

5997 001 . 0 2 99 1

2= − =− =−

− 997 . 5 9 . 999 . 1 3 x x

COMO PODEMOS VER EL RESULTADO ES NEGATIVO Y SE VA HACIENDO GRANDE, DE HECHO SI EN LUGAR DE 1.999, USAMOS 1.9999, EL

QUE 3

RESULTADO SERÁ UN NUMERO NEGATIVO DE VALOR ABSOLUTO MAYOR QUE EL OBTUVIMOS AHORITA, ESO NOS INDICA QUE CONFORME NOS ACERCAMOS MAS A 2 POR LA IZQUIERDA EL NUMERO SE VUELVE MAS PEQUEÑO (POR SER NEGATIVO) POR ESO PODEMOS ASEGURAR QUE EL RESULTADO DEL LIMITE ES –∞.

−∞ = − − →2 x 2 x 2. x 3 Lim = x Lim 2 − + 4 x

E A, COMO TENEMOS QUE TOMAR UN

NUMERO MUY PEGADO A 4 PERO QUE ESTE A SU DERECHA, VAMOS A TOMAR 4.001 Y LO VAMOS A SUSTITUIR EN LA FUNCIÓN A LA QUEREMOS CALCULAR SU LIMITE EN LUGAR DE LA x, ESTO QUEDA DE LA SIGUIENTE MANERA.

→

x 4

N ESTE CASO EL VALOR DE x TIENDE A CUATRO POR LA DERECH

(

)

₁₆₀₀₈_.₀₁

001 . 0 001 . 4 4

x − = − =−

− 008001 . 16 001 . 4 4 2

COMO EL RESULTADO NOS QUE DO NEGATIVO, ENTONCES EL RESULTADO DEL LIMITE ES – ∞. x2 = −∞ = − − →2 4 x

x2 x 3. Lim = + −3 − −

→ 5x 1 x 2 Lim 5 1 x

EN ESTE CASO EL VALOR DE x TIENDE A MENOS UN QUINTO POR LA IZQUIERDA, COMO TENEMOS QUE TOMAR UN NUMERO MUY PEGADO A

5 1

− PERO QUE ESTE A SU IZQUIERDA, VAMOS A TOMAR –0.2001 Y LO VAMO A SUSTITUIR EN LA FUNCIÓN A LA QUEREMOS CALCULAR SU LIMITE EN LUGAR DE LA x, ESTO QUEDA DE LA SIGUIENTE MANERA.

S

(

)

(

)

0.0005 6800.4

4002 . 3 1 0005 . 1 3 4002 . 0 1 2001 . 0 5 3 2001 . 0 2 1 x 5 3 x 2 = − − = + − − − = + − − − = + −

COMO EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN ES POSITIVO EL RESULTADO DEL LIMITE ES +∞.

+∞ = + − − → 5x 1

(26)

LIMITES EN EL INFINITO:

SEA L UN NUMERO REAL:

1 =

∞ SIGNIFICA QUE PARA CADA

DEFINICIÓN: .

xLim→ f

( )

x L

ε

>0 EXISTE UN M>0TAL QUE f

( )

x −L <

ε

SIEMPRE

QUE

2 SIGNIFICA QUE PARA CADA

M x>

( )

x L f Lim

x→−∞ =

ε

>0 EXISTE UN N<0TAL QUE f

( )

x −L <

ε

. SIEMPRE

EN LA RESOLUCIÓN DE LOS LIMITES INFINITOS SE UTILIZA FUNDAMENTALMENTE UN TEOREMA SOBRE LIMITES, EL CUAL NOS DICE QUE EL LIMITE DE UNA CONSTANTE DIVIDIDA ENTRE UNA VARIABLE, CUANDO LA VARIABLE TIENDE A INFINITO ES IGUAL A CERO.

MATEMÁTICAMENTE LO EXPRESAMOS DE LA SIGUIENTE MANERA: N x < QUE 0 x C Lim

x→∞ = , SI C = CONSTANTE

NTE: SE DIVIDEN TODOS LOS TÉRMINOS ENTRE LA VARIABLE DE MAYOR EXPONENTE

UEDE UNA CONSTANTE DIVIDIDA ENTRE UNA VARIABLE SE AN, YA QUE DE ACUERDO AL TEOREMA DE LIMITES INFINITOS ESTOS TÉRMINOS SON IGUALES 4. LAS CANTIDADES QUE NOS QUEDAN SE DIVIDEN O SE REDUCEN PARA OBTENER ASÍ EL RESULTADO

LOS RESULTADOS QUE PODEMOS OBTENER AL RESOLVER UN LIMITE INFINITO SON LOS SIGUIENTES: UMERADOR ES UN MÚLTIPLO DEL DENOMINADOR.

OR.

NOMINADOR NOS DA CERO. ESTO VA A PASAR CUANDO SE ELIMINEN TODOS LOS NADOR.

EJEMPLOS:

EL PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER UN LIMITE INFINITO ES EL SIGUIE 1.

2. SE EFECTÚAN TODAS LAS DIVISIONES 3. TODOS LOS TÉRMINOS EN DONDE NOS Q

ELIMIN A CERO DEL LIMITE

1. UN NUMERO ENTERO, SI EL N

2. UNA FRACCIÓN SI EL NUMERADOR NO ES UN MÚLTIPLO DEL DENOMINADOR.

3. CERO, SI EL NUMERADOR NOS DA CERO. ESTO VA A OCURRIR CUANDO SE ELIMINEN TODOS LOS TÉRMINOS DEL NUMERAD

4. INFINITO, SI EL DE ÉRMINOS DEL DENOMI T

HALLAR EL LÍMITE DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES:

1. 4 3 2 4 4 4 2 4 3 4 4 2 3 4 x x 10 x 8 x 4 x 8 6 x 10 x x 8 x x 4 x x 8 x x 6 10 x 8 x 4 x 8 x 6 Lim + + − + = + + − + = + + − + ∞ →

DESPUÉS DE ESTO

4 3 2 4 4 4 4 2 3 4 6 3 4 x 5 3 6 x 3 x 4 x 5 x

3 ₋ ₊ ₋ ₊ ₋ ₊ ₋ ₊

4 2 3 4 x x x x x x x x 6 x 3 x 4 x 5 x

3 − + − +

APLICAMOS NUESTRO TEOREMA 0

x x→∞

FRACCIONES EN DONDE U

C

Lim = , CON LO CUAL TODAS LAS N NUMERO ESTE DIVIDIDO ENTRE x VALDRÁN CERO Y SE ELIMINARA, ASÍ QUE EL LIMITE NOS QUEDA:

2

= =

6 6 Lim 3 3 1

∞ → x COMO 6 3

ES UNA CONSTANTE, ENTONCES NO IMPORTA A CUANDO TIENDA x, EL RESULTADO DEL LIMITE SERÁ LA MISMA CONSTANTE.

SI SE OBSERVA EL RESULTADO DE LA ELIMINACIÓN DE TÉRMINOS, SOLO NOS QUEDA 6 COEFICIENTES DE LOS TÉRMINOS CUYA VARIABLE TIENE EL EXPONENTE MAS GRANDE (x

3

, QUE SON LOS

4_{). ESTO SIEMPRE VA}

(27)

NADA MAS HAY QUE CONSIDERAR QUE LA VARIABLE DE EXPONENTE MAS GRANDE DEBE DE SER EL MISMO EN EL NUMERADOR COMO EN EL DENOMINADOR, POR LO QUE SI ESTE EXPONENTE NO SE ENCUENTRA EN AMBOS PARTES (NUMERADOR Y DENOMINADOR), A LA PARTE QUE NO TENGA DICHA VARIABLE, CON ESE MAYOR EXPONENTE, LE ASIGNAREMOS EL VALOR DE CERO.

2. = =∞

+ − ∞ → 0 7 8 x 5 x 3 x 7 Lim 2 x NO EXISTE

2 _{TA EN EL DENOMINADOR, ESTA PARTE VALE CERO.}

3.

COMO x NO ES

5 = = + − + − ∞ → 2 10 x 8 x 10 x 2 4 x 3 x 10 Lim 3 4 3 4 x

4. = =0

+ + ∞ → 8 0 x 10 x 8 6 x 2 Lim 3 5 x

R, ESTA PARTE VALE CERO.

5.

COMO x5_{NO ESTA EN EL NUMERADO}

1 − = − = 10 7 − − ∞ → ₁₀_x

Lim ₃

x

+6 10 x 10 3 1 − = 6. − − + ∞ → 1 x x x x 2 1 3 1 3 x MO = + =

+ x x x 1 x Lim 2 1 3 1 3 CO 3 1 2

1_> _{, ENTONCES} 2

1_{ES EL MAYOR EXPONENTE.}

EJERCICIOS PROPUESTOS ( I – D )

1. 5 x 3 x 6 Lim ₃

x→∞ ₊ x 3 x 9 x

4 3 2

+ + + 2. 5 x 3 x 5 3 x 5 x 10 im 2 2₊ ₋

L

x→∞ + −

3. 3 x 5 x 10 3 x 7

2 ₊ ₋

x 5 x 4 Lim 2 3 x ₊ − ∞ → ₋ 4. 5 x 3 x 5 x 14 x 3 x 3 x 10

Lim ₉5 ₇4 ₂2

x ₋ ₊ ₊

+ − ∞ → x x x x ₄ 4 Lim − − 5.

(28)

1.2. TEOREMA DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

.

O

1. IDENTIFICARA LAS 3 CONDICIONES DE CONTINUIDAD QUE DEBE TENER UNA FUNCIÓN. (DC, EA) 2. R

D INUIDAD:

CONT SATISFACEN LAS 3

CONDICIO

I. f(c) ESTA DEFINIDA

QUE UNA FUNCIÓN ES CONTINUA EN UN INTERVALO ABIERTO (a, b) SI ES CONTINUA EN CADA PUNTO DEL INTERVALO.

UNA FUNCIÓN QUE ES CONTINUA EN TODA LA RECTA REAL

1.2.1 CONDICIONES DE CONTINUIDAD. BJETIVOS:

ESOLVERÁ EJERCICIOS DONDE SE APLIQUEN LAS 3 CONDICIONES DE CONTINUIDAD. (PO, EC)

EFINICIÓN DE CONT

INUIDAD EN UN PUNTO: DECIMOS QUE UNA FUNCIÓN f ES CONTINUA EN c SI SE NES SIGUIENTES:

II. Lim f

( )

x EXISTE c

x→

III. Lim f

( ) ( )

x f c c

x→ =

CONTINUIDAD EN UN INTERVALO ABIERTO: DECIMOS

(

−∞,+∞

)

SE LLAMA CONTINUA EN TODAS PART

SI NO SE CUMPLE CUALQUIERA DE LAS CONDICIONES ANTERIORES, ENTONCES LA FUNCIÓN SERÁ DISC

1.- UNA DIVISIÓN ENTRE CERO.

2.- EXTRAER UNA CANTIDAD NEGATIVA.

SI SUSTITUIMOS UN VALOR CUALQUIERA A LA VARIABLE INDEPENDIENTE Y NO SE PRESENTA NINGUNO DE LOS

U VARIAS DE LAS CONDICIONES DICHAS DE CONTINUIDAD.

ARA PODER SABER SI UNA FUNCIÓN ES CONTINUA EN UN PUNTO, DEBEMOS DE COMPROBAR QUE SE CUMPLAN LAS CON ONTINUIDAD, PARA ELLO SUSTITUIREMOS EL VALOR DEL PUNTO EN NUESTRA FUNCIÓN, OR AMBOS LADOS Y COMPROBAR LOS RESULTADOS OBTENIDOS.

NTOS QUE SE INDICAN:

ES.

EXISTEN DOS TIPOS DE DISCONTINUIDAD, LAS EVITABLES Y LAS ESENCIALES. POR LO GENERAL, LA DISCONTINUIDAD ES EVITABLE CUANDO SE ROMPE POR FACTORIZACION O CUANDO PODEMOS CAMBIAR ALGUNAS DE LAS CONDICIONES DE LA FUNCIÓN Y SERÁ ESENCIAL CUANDO NO PODAMOS HACER LO ANTERIOR.

ONTINUA EN ESE PUNTO.

UNA FUNCIÓN ES CONTINÚA SIEMPRE QUE NO SE PRESENTE CUALQUIERA DE LOS SIGUIENTES CASOS:

RAÍZ DE ÍNDICE PAR A UNA

DOS CASOS ANTERIORES, LA FUNCIÓN SERÁ CONTINUA PARA ESE VALOR.

UNA FUNCIÓN f(x) SE DICE QUE ES DISCONTINUA EN EL P NTO x = x0 CUANDO NO SE CUMPLA UNA O

P

DICIONES DE C HALLAR SU LIMITE P

EJERCICIOS DE CONTINUIDAD EN UN PUNTO (NO APLICAN PARA EL EXAMEN DEPARTAMENTAL):

DETERMINA SI LAS SIGUIENTES FUNCIONES SON CONTINUAS O DISCONTINUAS, EN LOS PU

1. PARA x = 3,

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

> =

< =

3 x SI , x 3

3 x SI , 9

3 x SI , x x f

2

PARA PODER DETERMINAR SI LA FUNCIÓN ES CONTINÚA O DISCONTINUA, TENEMOS QUE REVISAR UNA POR UNA LAS CONDICIONES DE CONTINUIDAD, REVISANDO LA PRIMERA CONDICIÓN DE CONTINUIDAD TENEMOS:

(29)

II. Lim 3x 9, EL LIMITE 3 x = + →

POR LA DERECHA EXISTE

TES POR LA IZQUIERDA Y POR LA DERECHA PODEMOS DECI

EL PUNTO DADO DEBE DE SER EL MISMO QUE EL LIMITE DE LA FUNCIÓN, EN ESTE CASO EL VALOR DE LA NCIÓN EN LE PUNTO DADO ES 9 Y EL LIMITE DE LA FUNCIÓN EN ESTE PUNTO TAMBIÉN ES 9, POR LO QUE LA FUNCIÓN ES CONTINUA EN EL PUNTO x = 3

A x = 9,

x 9 x SI , 10 9 x SI , x 9 x f 2

I. COMO x = 9, ENTONCES f(9) = 10

II. =

− →

, EL LIMITE POR LA IZQUIERDA EXISTE

O EL LIMITE TANTO POR LA DERECHA COMO POR LA IZQUIERDA ES EL MISMO (81), ENTONCES EL LIMITE DE LA FUNCIÓN SI EXISTE.

EL VALOR DE LA FUNCIÓN EN EL PUNTO x = 9 ES 10, MIENTRAS QUE EL LIMITE DE LA FUNCIÓN EN PUNTO ES 81. LOS ORES NO SON IGUALES, P QUE DECIMOS QUE LA FUNCIÓN NO ES CONTINUA EN EL PUNTO x = 9, YA QUE NOS EST ALLANDO LA TERCERA CONDICIÓN DE CONTINUIDAD.

ARA ESTE EJERCICIO, PODEMOS DECIR QUE EXISTE UNA DISCONTINUIDAD EVITABLE, YA QUE SI CAMBIAMOS LA CONDICIÓN f(x) = 10, SI x = 9, POR LA CONDICIÓN f(x) = 81, SI x = 9, LA TERCERA CONDICIÓN DE CONT DAD SI SE CUMPLIRÍA Y POR LO TANTO LA FUNCIÓN SI SERÁ CONTINUA EN EL PUNTO x = 9.

. PARA x = 3,

COMO x = 3, ENTONCES f(3) = 3(3) ⇒ f(3) = 9 . , EL LIMITE POR LA IZQUIERDA EXISTE

, EL LIMITE POR LA DERECHA EXISTE

L LIMITE POR LA IZQUIERDA ES 18, MIENTRAS QUE EL LIMITE POR LA DERECHA ES 9, POR LO TANTO NO PODEMOS DECIR QUE EL LIMITE DE LA FUNCIÓN EXISTA, YA QUE COMO SE DIJO ANTERIORMENTE EL VALOR DEL LIMITE ES ÚNICO Y NO PUEDEN SER DOS AL MISMO TIEMPO, ASÍ QUE COMO NOS FALLA LA SEGUNDA COND ÓN DE CONTINUIDAD, LA FUNCIÓN NO ES CONTINUA PARA EL PUNTO x = 3.

. PARA x = 3, 9 x Lim 2 3 x = − →

, EL LIMITE POR LA IZQUIERDA EXISTE

DE ACUERDO A LOS RESULTADOS DE LOS LIMI R QUE EL LIMITE DE LA FUNCIÓN ES 9.

III. LA TERCERA CONDICIÓN DE CONTINUIDAD NOS DICE QUE EL VALOR DE LA FUNCIÓN EN FU

2. PAR

( )

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > = < = 9 x SI , 81 x 9 Lim 9 x 81 x Lim 9 x = + →

, EL LIMITE POR LA DERECHA EXISTE

2

COM

III.

DICHO VAL OR LO

A F

P INUI

3

( )

⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = 3 x SI , x 6 3 x SI , x 3 x f I.

II Lim 6x 18

3 x = − → 9 x 3 Lim 3 x = + → E ICI

4

( )

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < > = − + = 3 x SI , x 3 x SI , x 3 3 x SI , 3 x 3 x x f 2

COMO x = 3, ENTONCES f(3) =

I.

( )

⇒

( )

= ⇒

( )

=∞

− +

= f 3

0 6 3 f 3 3 3 3 3 f

ESTA DEFINIDO, POR LO ISCONTINUA EN x = 3. PARA ESTE EJERCICIO TENEMOS QUE EL VALOR DE f(x) AL DARNOS INFINITO, NO