Donde n representa los tres estados estacionarios permitidos en una caja unidimensional y la longitud de onda está cuantizada, dada por

APUNTES DE FÍSICA III Profesor: José Fernando Pinto Parra

Ecuación Cuántica de la Onda:

Así como la teoría ondulatoria de luz permite obtener la probabilidad de encontrar un fotón en un punto dado en algún instante, la teoría ondulatoria de la materia proporciona únicamente la probabilidad de encontrar una partícula de materia en un punto dado en algún instante.

Las ondas de materia se describen por medio de una función de onda de valor complejo,

denotada por la letra Ψ (Psi), cuyo valor absoluto al cuadrado 2 

es proporcional a la probabilidad de encontrar a la partícula en un punto dado en cierto instante.

De allí que el problema de la mecánica cuántica es determinar la función de onda Ψ para un sistema físico cuando sus grados de libertad están limitados por la acción de fuerzas externas.

Esta función de onda contiene en ella toda la información que podemos conocer acerca de una partícula libre, que se mueve a lo largo del eje x, y podemos escribirla como:

      



 x

Asen 2 y como k



  2 tenemos Asen

 

Propiedades de la función de onda

1. Ψ no tiene interpretación física, por tanto no es medible.

2. 2 es α la probabilidad de la posición, conocida como la densidad probabilidad (P(x)). Existe una relación simple, entre la función densidad de probabilidad y la

función de onda:

 x  2

P

Una característica de Ψ es, que en general, se trata de una función compleja, pero, como la densidad de probabilidad debe ser real, se toma como cuadrado de Ψ, el producto de la misma por su conjugada Ψ*

:

 x  2 .* P

3. La función debe ser normalizada, es decir, la integral de la densidad de probabilidad extendida al todo el espacio debe valer 1.

1





 

Pero como hemos señalado que la partícula libre se mueve a lo largo del eje x, podemos escribirla como:

  1

P

_x





 

 

 dx

Que se interpreta como la probabilidad que predice, que la partícula libre se encontrará en el intervalo infinitesimal dx, alrededor del punto x.

Esto es lo que se conoce como condición de normalización

Significa además, que sólo son solución, aquellas funciones cuya integral extendida a todo el espacio, esta acotada, tal como lo apreciamos en el caso de una partícula que se encuentra confinada en un intervalo a xb, la probabilidad de encontrar la partícula en ese intervalo viene dada por:



b

a

ab dx

2 P

La probabilidad Pab es el área bajo la curva que se muestra en la figura de densidad

de probabilidad

4. Aunque Ψ no es una cantidad medible, sin embargo, partiendo de su conocimiento, podemos obtener todas aquellas magnitudes físicas de la partícula susceptibles de medir, como la energía y la cantidad de movimiento.

Por ejemplo, es posible calcular el valor de esperanza de x

 



 

  x. 2dx x

5. Si un acontecimiento puede ocurrir de varios modos, de tal manera que es posible determinar, según cual se ha producido, la probabilidad, como la suma de las probabilidades correspondientes a cada uno de los modos.

 x 1 2 n 2

P   

6. Si un acontecimiento puede ocurrir de varios modos, de tal manera que no es posible determinar, según cual se ha producido, la amplitud de  es la suma de las amplitudes correspondientes a cada uno de los modos.

Entonces, su densidad de probabilidad será:

 x 1 n 2

P   

Es en estos casos, cuando se producen fenómenos de interferencia.

Supongamos una partícula confinada a una caja de longitud L, tal como se muestra en la figura.

Donde n representa los tres estados estacionarios permitidos en una caja unidimensional y la longitud de onda está cuantizada, dada por

n L 2 

 y como

 

2 

k

Obtenemos que la ecuación de la onda es:

       

L x n Asen 

En este caso el valor de la Energía cuantizada es:

2 2 2 8mL n

h E_{n }

  

 

Ecuación de Onda de Schrödinger

El desarrollo de la física cuántica a introducidas nuevas formas de comprender los fenómenos que rodean el comportamiento de las partículas elementales. Se ha visto que las ondas electromagnéticas poseen cualidades de partículas energéticas, así como los electrones poseen propiedades de ondas. La fusión definitiva que cuantifica estas ideas, ha sido conseguida por Erwin Schrodinger, que incluye el comportamiento ondulatorio de las partículas y la fusión de la probabilidad de su ubicación.

Es cierto que la búsqueda de la solución de esta ecuación es en el extremo complicada, pero para situaciones reales, es de gran utilidad para establecer un estudio matemático riguroso de modelos físicos.

Postulados de la Ecuación de Onda de Schrödinger

1. Cada partícula del sistema físico se describe por medio de una onda plana descrita por una función denotada por (x, y, z, t); esta función y sus derivadas parciales son continuas, finitas y de valores simples.

2. Las cantidades clásicas de la energía (E) y del momentum (P), se relacionan con operadores de la mecánica cuántica definida de la siguiente manera.

MAGNITUD FISICA OPERADOR CUÁNTICO

x x

F(x) F(x)

P(x)

x i

   

E(x)

t i

 

 

3. La probabilidad de encontrar una partícula con la función de onda en el espacio viene dada por:

   

  



 



 



 



_xyzt *_xyzt dxdydz

, , , , , ,

Donde  *(x, y, z, t) es la conjugada compleja de (x, y, z, t) y se cumple que

 (x, y, z, t)  *(x, y, z, t) = |  (x, y, z, t)|²

4. La función de onda cumple con la ecuación de onda de D'Alembert:

2 2

t Ψ v

1 x

Ψ

   

 2

2 2

5. Operador cantidad de movimiento, la relación de P con Ψ, viene dada por:

x

i

P















Definimos como la operación que nos permite obtener la cantidad de movimiento a

partir de la función de onda al operador

x

i









6. Operador energía, la relación de E con Ψ, viene dada por:

t i E       

Definimos como la operación que nos permite obtener la energía partir de la función

de onda al operador

t







i



7. Como sabemos de la mecánica clásica, la Energía Total es la suma de la Energía Cinética y la Energía Potencial, si designamos a la Energía Cinética como EC y la

Energía Potencial como EP, tenemos:

P

C E

E

E 

Tomemos la ecuación de onda, análoga a la de una onda clásica estacionaria:

) cos( ) ( ) ,

(xt x t



Aplicando la ecuación de D'Alembert, tenemos

) cos( v x Ψ ) cos( 2 2 t

t  

     2 2      2 2 v x Ψ 2 2 

Haciendo uso de los planteamientos de De Broglie, tenemos:

Como

 

  2 v , entonces

2 2 2           v 2 y como  h

2 2 2 2

2 2

4



p p

h 

 

 v

2

Como la Energía Cinética es: 2 2 1

mv E_C  , y

m p

v  tenemos que:

) (

) (

P

P P

P C

E E m p

v

E E m p

E m p E E E

 



 

    

2 2 2 2 2

2 2

2

2 2

  

Sustituyendo obtenemos la famosa Ecuación de Schrödinger

  

 

 

) (E EP

m

x2 2

2