NÚMEROS REALES
Expresión decimal de los números racionales.
Para pasar un número racional de forma fraccionaria a forma decimal basta dividir el numerador por el denominador. Como al hacer la división, los restos diferentes que pueden aparecer son los números menores que el divisor, a partir de un momento, las cifras del cociente tienen que repetirse en bloques iguales de cifras, llamados periodos.
Según sea el periodo y el lugar de su comienzo, se tienen los tres siguientes tipos de fracciones:
- una fracción es exacta cuando en la división aparece un resto parcial cero.
- una fracción es periódica pura cuando las cifras del cociente se repiten en bloques iguales
después de la coma.
- una fracción es periódica mixta cuando las cifras del cociente se repiten en bloques iguales,
pero no inmediatamente después de la coma.
Ejemplo: Escribe en forma decimal:
0
,
175000
...
40
7
parte entera 0, anteperiodo 175, periodo 0.
1
,
1428571428
57
...
7
8
parte entera 1, periodo 142857.
2
,
16666
...
6
13
parte entera 2, anteperiodo 1, periodo 6.
Expresión fraccionaria de los números decimales periódicos.
Todo número decimal periódico puede escribirse de forma fraccionaria. Hay un método diferente para hacerlo con cada uno de los tres tipos de expresiones decimales periódicas.
Ejemplo: Escribiremos en forma fraccionaria los números:
- fracción exacta: x = 3,63000…
se multiplica por100: 100 x = 363
100
363
x
- número periódico puro: x = 3,7575…
se multiplica por 100 (unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene el periodo): 100 x = 375,7575…; se le resta el número: 100 x – x = 375,7575… - 3,7575…
99 x = 375 – 3
99
372
99
3
375
x
- número periódico mixto: x = 2,47878…
se multiplica por 100 (unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene el periodo y el anteperiodo): 1000 x = 2478,7878…;
se le resta el número multiplicado por 10 (unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene el anteperiodo): 10 x = 24,7878… 1000 x – 10 x = 2478,7878… - 24,7878…
990 x = 2478 – 24
990
2454
990
24
2478
Estos tres casos se pueden resumir en una fórmula que permite escribir de manera rápida la fracción correspondiente a una expresión decimal periódica:
0
...
90
...
9
EA
EAP
x
, donde:E son las cifras de la parte entera. A son las cifras del anteperiodo. P son las cifras del periodo.
9…9 son tantos 9 como cifras tiene el periodo. 0…0 son tantos 0 como cifras tiene el anteperiodo.
Ejemplo: Escribe en forma fraccionaria los números:
a)
100
275
75
,
2
b)
99
245
99
2
247
...
474747
,
2
c)
99900
208137
99900
208
208345
...
08345345
,
2
NÚMEROS IRRACIONALES. CARACTERIZACIÓN DECIMAL.
Existen números decimales cuya expresión no es periódica: a = 0,1101001000100001000001000000…
= 3,141592…
...
4142135
,
1
2
Las expresiones decimales infinitas no periódicas se llaman números irracionales. Los números racionales e irracionales se llaman números reales.
El conjunto de los números reales se designa por R.
Ejercicios: Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales: a) 1,111222333111222333…: racional, de periodo 111222333.
b) 2,220200200020000200000…: irracional. c) 3,112122122212222122222…: irracional.
INTERVALOS Y SEMIRRECTAS.
La ordenación de números permite definir algunos conjuntos de números que tienen una representación geométrica en la recta real.
Los intervalos están determinados por dos números que se llaman extremos; en un intervalo se encuentran todos los números comprendidos entre ambos y también pueden entrar los extremos.
Gráficamente se indica con un círculo negro si el extremo se considera del intervalo y un círculo blanco si el extremo no se considera del intervalo. Por supuesto, se escribe y representa siempre a la izquierda el menor de los extremos del intervalo.
Se tienen los siguientes casos:
3 x 5 3 < x < 5 3 x < 5 3 < x 5
[3,5] (3,5) [3,5) (3,5]
[a,b] (a,b) [a,b) (a,b]
Cerrado Abierto abierto por
la derecha la izquierda abierto por
Las semirrectas están determinadas por un número; en una semirrecta se encuentran todos los números mayores (o menores) que él. Según que entre o no el origen de la semirrecta, se tienen los siguientes casos:
3 x 3 < x x 3 x < 3
[3,+) (3,+ ) (- ,3] (-,3)
POTENCIAS: PROPIEDADES
- La potencia de base a y exponente n (n>1) es el producto de n factores iguales a la base: an=a·a·a·...·a (n veces)
Por definición: a0=1.
- La potencia de exponente entero se define así: an=a·a·a·...·a (n > 1)
a1=a, a0=1 a-m=
m
a
1
(m > 0)
Propiedades de las potencias:
Las siguientes reglas permiten operar con potencias:
1º. El producto de dos potencias de la misma base es otra potencia con la misma base y que tiene como exponente la suma de los exponentes: am·an=am+n.
Ejemplo: 43·4-7=43+(-7)=4-4
2º. El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia con la misma base y que tiene como exponente la resta de los exponentes: am:an=am-n.
Ejemplo: (43)/(4-7)=43-(-7)=410
3º. La potencia de una potencia es otra potencia con la misma base y que tiene como exponente el producto de los exponentes: (am)n=am·n.
Ejemplo: (72)-3=72·(-3)=7-6
4º. El producto de dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene por base el producto de las bases y por exponente el mismo: am·bm=(a·b)m.
Ejemplo: 54·24=(5·2)4=104
5º. El cociente de dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene por base el cociente de las bases y por exponente el mismo: am:bm=(a:b)m.
Ejemplo: (104)/(54)=(10/5)4=24
6º. La potencia de exponente negativo de un cociente es igual a la misma potencia con exponente positivo de la inversa del cociente: (a/b)-n=(b/a)n.
Ejemplo: (3/4)-5=(4/3)5=45/35.
Potencias de 10. Notación científica: Un número en notación científica consta de:
- una parte entera formada por una sola cifra no nula. - una parte decimal.
- una potencia de base 10 con exponente entero.
En esta notación el exponente n indica el orden de la magnitud.
Ejemplos:
- La velocidad de la luz: 300000000 m/s = 3 · 108 m/s
- La masa de la Tierra: 5980000000000000000000000 kg = 598 · 1022 kg = 5,98 · 1024 kg - Un año luz: 9460000000000000 m = 946 · 1013 m = 9,46 · 1015 m
RADICALES
Se define radical de la siguiente forma: n
a
= b si bn=a.n
a
se lee raíz enésima de a.Las letras de la expresión anterior son:
- n es un número natural y se llama índice de la raíz.
- a es el radicando; puede ser un número cualquiera si n es impar y debe ser un número positivo si n es par.
La expresión n
a
se designa también a1/n.Propiedades.
1º. n
ab
= na
· nb
2º. n
b
a
=
n n
b
a
3º. ( n
a
)p = na
p = ap/n 4º. n ma
= nma
Reglas para operar con radicales.
Se pueden sumar aquellos radicales que tengan el mismo radicando y el mismo índice, sacando factor común a sus coeficientes.
La suma de radicales de distintos radicandos o distintos índices ha de dejarse indicada, pues no se puede simplificar.
Se pueden multiplicar radicales con el mismo índice, introduciendo los radicandos en el mismo radical con el mismo índice.
Los radicales que no tienen el mismo índice, se deben transformar antes de multiplicarlos. Esto se hace poniendo como índice común el mínimo común múltiplo de los índices. Recuerda que los radicales se pueden considerar como potencias de exponente fraccionario.
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
Racionalizar es quitar las raíces del denominador. Distinguimos tres casos:
1º) Si el denominador es una raíz cuadrada: se multiplica y se divide por dicha raíz.
Ejemplo:
15
5
5
·
3
5
5
3
5
5
5
·
5
3
1
5
3
1
2
2º) Si el denominador es un radical de índice distinto de 2 (índice = n, potencia = m<n):
b
b
a
b
b
a
b
b
a
b
b
b
a
b
a
n n mn n n n m n m n m
n n m n n m
n m n n m n m
·
·
·
·
·
Ejemplo:5
5
·
9
5
5
·
9
5
·
5
5
·
9
5
5
·
5
9
5
9
7 47 7 7 4 7 4 7 3 7 4 7 4 7 4 7 3
7 3
3º) Si en el denominador hay sumas o restas de radicales: se multiplica y se divide por el conjugado del denominador (si es una suma, la resta, y viceversa).
Ejemplo: