Grandezas Escalares: Todas as grandezas que ficam completamente definidas

1

Vetores

Referências:

Mecânica Vetorial para Engenheiros – Estática: Capítulo 2. Autores: Ferdinand P. Beer e E. Russel Johnston, Jr.

Também Disponível na Biblioteca Virtual

Estática – Mecânica para Engenharia: Capítulo 2. Autor: R. C. Hibbeler

Grandezas Escalares: Todas as grandezas que ficam completamente definidas quando fornecemos o seu valor numérico são chamadas de grandezas escalares.

Ex: temperatura, comprimento, volume, massa e energia são grandezas escalares.

Vetores:

Grandezas Vetoriais: Grandezas vetoriais são grandezas físicas caracterizadas por possuírem uma intensidade (módulo), direção e sentido no espaço e por se somarem de acordo com a regra do paralelogramo.

Ex: deslocamento, a velocidade, aceleração e força são grandezas vetoriais.

Para distinguir vetores de escalares, usaremos a seguinte convenção:

Os escalares (e os módulos dos vetores) serão representados por letras em itálico:

Exemplos de escalares: m, V, F.

Vetores serão representados por letras em negrito ou por letras com uma fecha sobre elas:

Exemplo de vetores: F, A, V, AB,



,



3

Segmentos orientados:

Dois pontos A e B definem um único segmento de reta. Fixando-se um sentido (orientação) para o segmento, obtém-se um segmento orientado. Há então duas possibilidades: AB e BA

A

B

A

B

(origem)

(extremidade) (origem)

(extremidade)

Dois segmentos orientados AB e CD têm a mesma direção se as retas AB e CD são paralelas ou coincidentes. O sentido do vetor é indicado por uma flecha na sua

extremidade.

4

Um segmento orientado CD é dito equipolente ao segmento AB se ambos tiverem o mesmo comprimento (módulo), direção e sentido.

Segmentos equipolentes:

A

B

C

D

Definição de Vetor:

A

B

Um vetor 𝑉 pode ser definido como o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes ao segmento orientado AB.

O vetor pode ser indicado por:

Um vetor define um comprimento, uma direção e um sentido que são comuns a todos os segmentos orientados equipolentes a AB

Dois vetores são iguais se e somente se tiverem a mesma direção, sentido e comprimento.

O vetor nulo é o vetor de comprimento nulo. O oposto do vetor é o vetor , onde:

 





AB

BA



AB



BA

𝐴𝐵

ou

𝐵 − 𝐴

ou

𝑉

6

Propriedades da Adição de Vetores e Produto de um Escalar

por um Vetor:

Dados os vetores A, B e C e escalares m e r, as seguintes propriedades se aplicam:

Soma de vetores: Produto por escalares:

Ԧ

𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + Ԧ

𝐴

Ԧ

𝐴 + 𝐵 + Ԧ

𝐶 = Ԧ

𝐴 + 𝐵 + Ԧ

𝐶

Ԧ

𝐴 + 0 = Ԧ

𝐴

Ԧ

𝐴 + − Ԧ

𝐴 = 0

𝐷 = Ԧ

𝐴 − 𝐵 = Ԧ

𝐴 + −𝐵

𝜇 𝜌 Ԧ

𝐴 = 𝜇𝜌 Ԧ

𝐴

𝜇 Ԧ

𝐴 + 𝐵 = 𝜇 Ԧ

𝐴 + 𝜇𝐵

𝜇 + 𝜌 Ԧ

𝐴 = 𝜇 Ԧ

𝐴 + 𝜌 Ԧ

𝐴

7

Soma de Dois Vetores:

Para encontrarmos a resultante C da soma de dois vetores A e B traçamos o vetor B de modo que sua origem coincida com a extremidade do vetor A. Unindo a origem do vetor B com a extremidade do vetor A, obtemos o vetor resultante C.

Ԧ

𝐶 = Ԧ

𝐴 + 𝐵

Ԧ

𝐴

_𝐵

Ԧ

𝐶

Ԧ

𝐴

Ԧ

𝐶

𝐵

𝐵

Ԧ

𝐴

Ԧ

𝐶

𝐵

Ԧ

𝐶

Ԧ

8

Regra do Paralelogramo:

Outra maneira de encontrar a resultante C da soma ou diferença de dois vetores A e B é traçar os vetores A e B de modo que suas origens coincidam. Traçando-se um

paralelogramo que tenha A e B como lados, o vetor resultante C será dado conforme mostram as figuras abaixo, para os casos da soma e diferença entre A e B:

Soma:

Diferença:

Ԧ

𝐴

𝐵

Ԧ

𝐶

Ԧ

𝐴

𝐵

Ԧ

𝐶 = Ԧ

𝐴

+

𝐵

Ԧ

𝐶 = Ԧ

𝐴

+

𝐵

_𝐴

Ԧ

𝐵

Propriedade Associativa: Propriedade Comutativa:

A soma de vetores é comutativa e associativa:

9

Ԧ

𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + Ԧ

𝐴

Ԧ

𝐴 + 𝐵 + Ԧ

𝐶 = Ԧ

𝐴 + 𝐵 + Ԧ

𝐶

Ԧ

𝐴 + 𝐵

Ԧ

𝐴

𝐵

𝐵

_{𝐴 + 𝐵}

_Ԧ

Ԧ

𝐴

𝐵

Ԧ

𝐴

𝐶

Ԧ

Ԧ

10

Vetor Nulo: Existe um vetor nulo, que designamos por 0, tal que:

Vetor Oposto:

Diferença de Vetores:

Ԧ

𝐴 + 0 = Ԧ

𝐴

Ԧ

𝐴

− Ԧ

𝐴

Ԧ

𝐴 + − Ԧ

𝐴 = 0

Ԧ

𝐶 = Ԧ

𝐴 − 𝐵 = Ԧ

𝐴 + −𝐵

𝐵

Ԧ

𝐴

Ԧ

𝐴

11 Propriedades do produto de vetores por escalares:

Considere um escalar c e um vetor A:

caso c > 0 caso c < 0

Ԧ

𝐴

𝑐 Ԧ

𝐴

𝑐 Ԧ

𝐴

𝑐 Ԧ

𝐴 + 𝐵 = 𝑐 Ԧ

𝐴 + 𝑐𝐵

𝑐 + 𝑑 Ԧ

𝐴 = 𝑐 Ԧ

𝐴 + 𝑑 Ԧ

𝐴

12

Adição de Duas Forças no Plano Usando a Lei dos Senos e a

Lei dos Cossenos:

A

_B

C

c

a

b

Para um triângulo qualquer, sejam A, B e C os comprimentos dos seus lados e a, b e

c, os ângulos opostos a cada um desses lados, respectivamente.

Lei dos cossenos:

Lei dos senos: 𝐴

𝑠𝑒𝑛 𝑎 =

𝐵

𝑠𝑒𝑛 𝑏 =

13

Exemplo 4 – O gancho da figura abaixo está sujeito a duas forças, 𝑭_𝟏 e 𝑭_𝟐. Determine a intensidade e a direção da força resultante.

14

Exemplo 4 (Continuação):

O paralelogramo é formado por uma linha a partir da extremidade de 𝑭_𝟏 que seja paralela a 𝑭_𝟐 e por outra linha a partir da extremidade de 𝑭_𝟐 que seja paralela a 𝑭_𝟏.

A força resultante 𝑭_𝑹 estende-se para a interseção dessas linhas, no ponto

A. As duas incógnitas são a intensidade de 𝑭_𝑹 e o ângulo q.

Usando a lei dos cossenos:

𝐹_𝑅 = 100 𝑁 2 + 150 𝑁 2 − 2 100 𝑁 150 𝑁 𝑐𝑜𝑠 115𝑜 ≈ 212,6 𝑁.

Usando a lei dos senos para determinar q :

212,6 𝑁 𝑠𝑒𝑛 115𝑜 =

150 𝑁

𝑠𝑒𝑛 𝜃 → 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =

150

212,6sen 115

𝑜 _{≈ 39,8}𝑜

15

Vetores Forças no Plano:

Uma força representa a ação de um corpo sobre outro. Ela é caracterizada por seu

ponto de aplicação, intensidade, direção e sentido.

Por enquanto, vamos considerar forças aplicadas sobre pontos materiais, ou seja, objetos cujo tamanho e forma não afetam significantemente a solução do problema. Dessa forma, todas as forças que atuam em um dado corpo serão consideradas como atuando em um único ponto.

A intensidade da força, também chamada de módulo da força, é o valor absoluto da força, acompanhado da unidade correspondente.

16 A direção de uma força é definida pela sua linha de ação. A linha de ação é a reta ao longo da qual a força atua, sendo caracterizada pelo ângulo que forma com algum eixo fixo:

A

linha de ação

eixo fixo (referência) 30º

O sentido da força pode ser indicado por uma seta. Na figura abaixo, a força tem a mesma intensidade e linha de ação que a do exemplo acima, mas o sentido é oposto.

17 Uma força F no plano pode ser definida por suas componentes cartesianas F_x e F_y, e pelo ângulo q que define sua direção em relação ao eixo x positivo:

 

x y

F

F

tg

q



y

F

q

x

i

F

_x



F

_x

j

F

_y



F

_y

i

j

A intensidade, ou módulo, da força é dada por:

.

F

F

F



_x2



_y2

Dadas as componentes cartesianas

F_x e F_y, o ângulo q pode ser calculado por:

Componentes Cartesianas do Vetor Força no Plano:

 

θ

,

cos

F

F

_x



 

θ

.

sen

F

F

_y



y

q

x

 

q

sen

F

F

_y



 

q

cos

F

F

_x



y

x

y

q

x

 

q

sen

F

F

_y



 

q

cos

F

F

_x



Por convenção assumimos como positivo o ângulo que o vetor forma com o eixo x

positivo, crescendo no sentido anti-horário. O sinal das componentes x e y do vetor é dado pelo valor do sen(q) e cos(q) em cada quadrante.

 

q

cos

F

F

_x



q

 

q

sen

F

F

_y



y

q

x

 

q

sen

F

F

_y



 

q

cos

F

F

_x



19

Exemplo 1: Uma força de 800 N é exercida sobre um parafuso A, como mostra a figura. Determine as componentes vertical e horizontal da força.

y

x

A F = 800 N

35º

a = 35º

q = 145º

 

θ

,

cos

F

F

_x



 

θ

.

sen

F

F

_y





800

N



cos

 

145

655

N

.

F

_x



o







800

N



sen

 

145

459

N

.

F

_y



o



F_y

F_x

Resolução: As componentes vetoriais de F são:



655

N



.

x

i

F







459

N



.

y

j

F



Resposta:



655

N

 

i

459

N



j

.

20

Exemplo 2: Um homem puxa, com uma força de 300 N, uma corda fixada a uma construção, conforme mostra a figura. Quais as componentes horizontal e vertical

da força exercida pela corda no ponto A?

a

A 8 m

6 m F_x F_y x y A

 

,

4

3

m

8

m

6





a

tan

B . 9 , 36 4 3

1 _  o

       tan

a

Resolução: Calculando o valor de a:

. 1 , 323 9 , 36

360   o

  

q

o 1 , 323 

q

o 9 , 36   a



300

N



cos



323

,

1



240

N

.

F

_x









300

N



sen



323

,

1



180

N

.

F

_y











240

N

 

i

180

N



j

.

F





21

Exemplo 3 – A força F = (3,50 kN) i + (7,50 kN) j é aplicada a um parafuso A. Determine a intensidade da força e o ângulo que ela forma com a horizontal.

 







2

,

14

kN

3,50

kN

7,50

F

F

tg

x

y

q

q



65

o

,

ângulo do vetor força com o eixo horizontal positivo.

Intensidade (módulo) da força F:

F



F

_x2



F

_y2

.



 

2



2

kN

7,50

kN

3,50

F





F



8,28

kN,

intensidade do vetor força.

22

Adição de Forças pela Soma das Componentes Cartesianas:

Se tivermos dois ou mais vetores força cujas componentes cartesianas são conhecidas podemos somar esses vetores somando algebricamente suas componentes.

Sejam P, Q, e S três forças, dadas por:

Q = Q_x i + Q_y j,

P = P_x i + P_y j, S = S_x i + S_y j.

A resultante R da soma vetorial dessas três forças é definida como: R = P + Q + S.

R = (P_x i + P_y j) + (Q_x i + Q_y j) + (S_x i + S_y j).

Decompondo as forças em suas componentes, temos:

R = (P_x + Q_x + S_x) i + (P_y + Q_y + S_y ) j ,

R_x Ry

23

Exemplo 4: Quatro forças atuam no parafuso A mostrado na figura. Determine a resultante das forças que agem no parafuso.

F₁ = 150 N

F₄ = 100 N

F₃ = 110 N F₂ = 80 N

A _x

y

20º

30º 15º

24

F₁ = 150 N

F₄ = 100 N

F₃ = 110 N F₂ = 80 N

x y 20º 30º 15º Força Intensidade (N) Ângulo com o eixo +Ox

Componente

x (N)

Componente

y(N) F₁ 150 30º 129,9 75,0

F₂ 80 110º -27,4 75,2

F₃ 110 270º 0 -110,0

F₄ 100 345º 96,6 -25,9

R _{199,6 Rx = 199,1 Ry = 14,3}

R = R_x i + R_y j

R = (199,1 N) i + (14,3 N) j

Intensidade da resultante R:

.

2 y 2 x

R

R

R







  

.

6

,

199

;

3

14

1

199

2 2

N

R

,

,

R







Componentes da resultante R:

Ângulo com +Ox: -1

₄

_,

₁

o

_.

199,1

14,3

tan





Em coordenadas cartesianas, escrevemos um vetor A como:

- vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.

A

_x

, A

_y

, A

_z - componentes do vetor 𝐴Ԧ nas direções x, y e z.

Representação alternativa:

k

,

j

,

i

ˆ

ˆ

ˆ

Vetores em Coordenadas Cartesianas:

Símbolos usados para vetores unitários (versores):

k

,

j

,

i

ˆ

ˆ

ˆ

z y

x

,

e

,

e

e

ˆ

ˆ

ˆ

3 2

1

,

e

,

e

e

ˆ

ˆ

ˆ

Ԧ

𝐴 = 𝐴

_𝑥

Ƹ𝒊 + 𝐴

_𝑦

Ƹ𝒋 + 𝐴

_𝑧

𝒌

෡

Ԧ

x

z

y

A

_x

A

_y

Vetor no espaço:

Componentes cartesianas de um vetor:

A

_z

Vetor no plano:

y

A

_x

A

_y

x

i

ˆ

j

ˆ

i

ˆ

j

ˆ

k

ˆ

Coordenadas Cartesianas - Representação Gráfica:

Ԧ

𝐴

A

_x

A

_y

x

B

_y

B

_x

A

_y

+B

_y

A

_x

+B

_x

Soma de dois vetores no plano em termos das suas componentes cartesianas:

y

Ԧ

𝐴 + 𝐵 = 𝐴

_𝑥

+ 𝐵

_𝑥

, 𝐴

_𝑦

+ 𝐵

_𝑦

, 𝐴

_𝑧

+ 𝐵

_𝑧

Ԧ

𝐴

Módulo de um vetor:

Considere o vetor:

Podemos definir o vetor unitário

ො

𝑢_𝐴 na mesma direção de A, escrevendo:

onde _{O vetor 𝑨 pode ser escrito como:}

Cálculo do Módulo e do Vetor Unitário:

Vetor Unitário:

𝐴 = Ԧ

𝐴 =

𝐴

2_𝑥

+ 𝐴

2_𝑦

+ 𝐴

_𝑧2

Ԧ

𝐴 = 𝐴

_𝑥

Ƹ𝒊 + 𝐴

_𝑦

Ƹ𝒋 + 𝐴

_𝑧

𝒌

෡

Ԧ

𝐴

ො

𝑢

_𝐴

=

𝐴

Ԧ

Ԧ

𝐴

=

𝐴

_𝑥

Ƹ𝒊 + 𝐴

_𝑦

Ƹ𝒋 + 𝐴

_𝑧

𝒌

෡

𝐴

_𝑥2

+ 𝐴

_𝑦2

+ 𝐴

_𝑧2

ො

𝑢

_𝐴

= 1.

_{𝐴 = 𝐴 ො}

Ԧ

_𝑢

_𝐴

Ângulo entre dois vetores

O ângulo q entre dois vetores A e B é o menor ângulo formado unindo-se as origens dos dois vetores. Quando isso não é possível, o ângulo poderá ser identificado

traçando-se a linha de ação de cada vetor, até que as mesmas se interceptem.

Identifique o ângulo q entre os dois vetores mostrados ao lado:

a) Unindo as origens:

b) Prolongando as linhas de ação:

q

q

Ԧ

𝐴

Ԧ

𝐴

Ԧ

𝐴

𝐵

𝐵

Produto escalar de dois vetores:

q

q

O produto escalar (ou interno) de dois vetores A e B é um escalar:

B cos

q

Geometricamente, o produto escalar de dois vetores representa o produto do módulo de um dos vetores com a projeção do outro vetor na sua direção

Sejam A e B dois vetores e c um escalar.

O Produto Escalar de A e B possui as seguintes propriedades:

O ângulo q é o ângulo entre os vetores A e B, e A e B são, respectivamente, os módulos desses vetores.

Ԧ

𝐴

𝐵

𝐵

Ԧ

𝐴

Ԧ

𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝐵𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃

Ԧ

𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐵 ∙ Ԧ𝐴 Ԧ

𝐴 ∙ Ԧ𝐴 = 𝐴2 Ԧ

Definição algébrica do produto escalar:

Note que:

Para os versores cartesianos

i, j, e k

temos:

1



•



•



•

iˆ

jˆ

jˆ

kˆ

kˆ

iˆ

0



•



•



•

jˆ

jˆ

kˆ

kˆ

iˆ

iˆ

iˆ

kˆ

(módulo quadrado de A)

jˆ

Ԧ

𝐴 = 𝐴

_𝑥

Ƹ𝒊 + 𝐴

_𝑦

Ƹ𝒋 + 𝐴

_𝑧

𝒌

෡

𝐵 = 𝐵

_𝑥

Ƹ𝒊 + 𝐵

_𝑦

Ƹ𝒋 + 𝐵

_𝑧

𝒌

෡

Ԧ

𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴

_𝑥

𝐵

_𝑥

+ 𝐴

_𝑦

𝐵

_𝑦

+ 𝐴

_𝑧

𝐵

_𝑧

Ԧ

𝐴 = 𝐵

Se

𝐴 ∙ 𝐵 = Ԧ

Ԧ

𝐴 ∙ Ԧ

𝐴 = 𝐴

_𝑥2

+ 𝐴

2_𝑦

+ 𝐴

_𝑧2

Ԧ

𝐴 ∙ 𝐵 = 0

se

𝐴

Ԧ

é perpendicular a

𝐵.

Ԧ

𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝐵

se

𝐴

Ԧ

é paralelo a

𝐵.

Ԧ

32

Exemplo:

Dados dois vetores: e

encontre o ângulo formado entre eles.

Resolução: O ângulo formado pelos vetores A e B pode ser encontrado pelo produto escalar desses vetores:

Módulo de :

Cosseno do ângulo: 98,4 .

5698 11 cos 5698 11 77 74 11 )

cos( 1   o

          

 _q 

q

Módulo de :

     

7 2  4 2  3 2  74; 

A

     

4 2  6 2  5 2  77; 

B

Ԧ

𝐴 = 7; −4; 3

𝐵 = 4; 6; −5

Ԧ

𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝐵 𝑐𝑜𝑠𝜃

_{𝑐𝑜𝑠𝜃 =}

𝐴 ∙ 𝐵

Ԧ

𝐴𝐵

Ԧ

𝐴

𝐵

Ԧ

33

Projeções de um vetor unitário sobre os eixos cartesianos:

x

z

y

a

b

g

iˆ j ˆ kˆ

Considere o vetor A e seu módulo, A:

Vetor A: Módulo do vetor A:

O vetor unitário na direção de A é dado por 𝑢ො_𝐴:

O produto escalar de 𝑢ො_𝐴 pelos vetores unitários i, j e k

nos fornecerá os ângulo que 𝑢ො_𝐴 forma com os eixos cartesianos x, y e z:

:a é o ângulo entre 𝑢ො_𝐴 e o eixo x

:b é o ângulo entre 𝑢ො_𝐴 e o eixo y

:g é o ângulo entre 𝑢ො_𝐴

e o eixo z

Ԧ

𝐴 = 𝐴_𝑥 Ƹ𝒊 + 𝐴_𝑦 Ƹ𝒋 + 𝐴_𝑧𝒌෡ _{𝐴 = Ԧ𝐴 = 𝐴}2_{𝑥 + 𝐴} 𝑦

34

Cossenos diretores de um vetor:

x

z

y

a

b

g

iˆ j ˆ kˆ

Os ângulos que o vetor A forma com os eixos x, y e z podem ser obtidos a partir do vetor unitário ê_A:

onde: , ) cos( A A_x  a , ) cos( A A_y  b . ) cos( A A_z  g

são os cossenos diretores do vetor A.

Propriedade:

.

1

)

(

cos

)

(

cos

)

(

cos

2

a



2

b



2

g



35

Exemplo:

Dados dois vetores deslocamento: _e

encontre o vetor e determine seu módulo e os seus ângulos diretores.

Resolução: Somamos as componentes i, j e k dos vetores A e B separadamente para obter as componentes do vetor C:

Módulo de 𝐶Ԧ:

Cossenos diretores: cos( ) cos 36,1o.

153 10 153

10 1 

        

 _a 

a C C_x . , cos )

cos( 99 3o

153 2 153

2 1 

          

 _b 

b C C_y . , cos )

cos( 55 5o

153 7 153

7 1  

       

 _g 

g

C C_z

Ԧ

𝐴 = 6 Ƹ𝒊 + 3 Ƹ𝒋 − ෡𝒌 𝑚 𝐵 = 4 Ƹ𝒊 − 5 Ƹ𝒋 + 8෡𝒌 𝑚

Ԧ

𝐶 = Ԧ𝐴+ 𝐵

Ԧ

𝐶 = 6 Ƹ𝒊 + 3 Ƹ𝒋 − ෡𝒌 + 4 Ƹ𝒊 − 5 Ƹ𝒋 + 8෡𝒌 𝑚

Ԧ

𝐶 = 6 + 4 Ƹ𝒊+ 3 − 5 Ƹ𝒋 + −1 + 8 ෡𝒌 𝑚 𝐶 = 10 Ƹ𝒊 −2 Ƹ𝒋 + 7෡Ԧ 𝒌 𝑚

Ԧ

36

Exemplo:

O homem mostrado na figura abaixo puxa a corda com uma força de 350 N. Represente essa força, que atua sobre o suporte A, como um vetor cartesiano e determine a sua direção.

Procedimento: A força está localizada ao longo da corda, e possui portanto a mesma direção da corda. Assim, devemos

inicialmente achar o vetor posição r da

corda, a partir dos pontos A e B. Em seguida, calculamos o vetor unitário na direção de r, e multiplicamos esse vetor pelo módulo da

força. Isso nos fornecerá o vetor força

atuando sobre o suporte A em coordenadas cartesianas.

37

Continuação do exemplo:

_{Coordenadas do ponto A  A(0, 0, 7,5) m}

Coordenadas do ponto B  B(3, -2, 1,5) m Vetor posição 𝒓 da corda:

Módulo do vetor posição 𝒓 da corda:

Vetor unitário na direção de 𝒓 :

A força 𝑭 tem intensidade de 350 N e direção especificada pelo vetor unitário 𝑢ො_𝑟

Ângulos diretores:

; , cos 64 6o

7 3 1         

a cos 107o,

7 2 1         

b cos 149o.

7 6 1          g

Ԧ𝑟 = 𝐵 − 𝐴 = 3 − 0 Ƹ𝒊 + −2 − 0 Ƹ𝒋 + 1,5 − 7,5 ෡𝒌

Ԧ𝑟 = 𝐵 − 𝐴 = 3 Ƹ𝒊 − 2 Ƹ𝒋 − 6෡𝒌 𝑚

Ԧ𝑟 = 3 2 + −2 2 + −6 1 = 7 𝑚

ො

𝑢_𝑟 = Ԧ𝑟 Ԧ𝑟 =

3 7 Ƹ𝒊 −

2 7 Ƹ𝒋 −

6 7𝒌෡

Ԧ

𝐹 = 𝐹 ො𝑢_𝑟 = 350 𝑁 3 7 Ƹ𝒊 −

2 7 Ƹ𝒋 −

6

38

Exemplo 5: Determine a intensidade e os ângulo diretores da resultante das forças que atuam sobre o ponto A mostrado na figura abaixo.

39

Coordenadas do ponto A: (0; -1,5 m; 4,0 m). Coordenadas do ponto B: (1,5 m; 2,6 m; 0). Coordenadas do ponto C: (3,0 m; -2,0 m; 0).

Vetor posição na direção da força F₁: B- A 



1,5 m;4,1m;-4,0 m



,

Vetor unitário na direção da força F₁:

Módulo = 5,9 m.

Vetor força F₁:

Vetor posição na direção da força F₂: C - A



3,0 m;-0,5 m;-4,0 m



,

Vetor unitário na direção da força F₂:

Módulo = 5,0 m.

Vetor força F₂:

Continua

ො

𝑢_𝐴𝐵 = 1,5 5,9 Ƹ𝒊 +

4,1 5,9 Ƹ𝒋 −

4,0 5,9𝒌෡

Ԧ

𝐹₁ = 𝐹₁𝑢ො_𝐴𝐵 = 150 𝑁 1,5 5,9 Ƹ𝒊 +

4,1 5,9 Ƹ𝒋 −

4,0 5,9𝒌෡

Ԧ

𝐹₁ = 38 Ƹ𝒊 + 104 Ƹ𝒋 − 102෡𝒌 𝑁

ො

𝑢_𝐴𝐶 = 3,0 5,0 Ƹ𝒊 −

0,5 5,0 Ƹ𝒋 −

4,0 5,0𝒌෡

Ԧ

𝐹₂ = 𝐹₂𝑢ො_𝐴𝐶 = 200 𝑁 3,0 5,0 Ƹ𝒊 −

0,5 5,0 Ƹ𝒋 −

4,0 5,0𝒌෡

Ԧ

40

Resultante das força R = F₁ + F₂:

Módulo de 𝑅 = 317 N:

Vetor unitário na direção de 𝑅 :

Ângulos diretores: ; 1 , 60 317 158

cos 1   o

      

a 74,6 ,

317 84

cos 1   o

      

b 145,7 .

317 262

cos 1   o

       g

Vetores força atuando em A:

Ԧ

𝐹₁ = 38 Ƹ𝒊 + 104 Ƹ𝒋 − 102෡𝒌 𝑁

Ԧ

𝐹₂ = 120 Ƹ𝒊 − 20 Ƹ𝒋 − 160෡𝒌 𝑁

𝑅 = Ԧ𝐹₁ + Ԧ𝐹₂ = 38 + 120 Ƹ𝒊 + 104 − 20 Ƹ𝒋 + −102 − 160 ෡𝒌

𝑅 = 158 Ƹ𝒊 + 84 Ƹ𝒋 − 262෡𝒌 𝑁

ො

𝑢_𝑅 = 158 317 Ƹ𝒊 +

84

317 Ƹ𝒋 −

41

Exercício: Na figura ao lado, a cobertura é suportada por cabos AB e AC. Os cabos exercem as forças F_AB= 100 N e F_AC= 120 N no gancho da parede em A.

a) Expresse a força resultante que atua em A como um vetor cartesiano. b) Encontre os ângulos diretores da força resultante.

c) Qual é o comprimento das cordas AB e AC?

Ponto A: (0; 0; 4,0) m. Ponto B: (4,0; 0; 0) m.

Ponto C: (4; 2; 0) m.

Solução:

Vetor 𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴

𝐴𝐵 = 4 2 + −4 2 = 32 𝑚

Vetor 𝐴𝐶 = 𝐶 − 𝐴

𝐴𝐶 = 4; 2; −4 𝑚

𝐴𝐶 = 4 2 + 2 2 + −4 2

𝐴𝐵 = 4; 0; −4 𝑚

42

Vetor unitário na direção de 𝐴𝐵

Vetor força F₁:

Vetor força F₂:

ො

𝑢_𝐴𝐵 = 𝐴𝐵

𝐴𝐵 =

4

32; 0; − 4

32

Ԧ

𝐹₁ = 𝐹₁𝑢ො_𝐴𝐵 = 100 𝑁 4

32; 0; − 4

32 = 71; 0; −71 𝑁

Ԧ

𝐹₁ = 71 Ƹ𝒊 − 71෡𝒌 𝑁

Ԧ

𝐹₂ = 𝐹₂𝑢ො_𝐴𝐶 = 120 𝑁 4 6;

2

6; − 4

6 = 80; 40; −80 𝑁

Ԧ

𝐹₂ = 80 Ƹ𝒊 + 40 Ƹ𝒋 − 80෡𝒌 𝑁

Vetor unitário na direção de 𝐴𝐶 𝑢ො_𝐴𝐶 = 𝐴𝐶

𝐴𝐶 =

4 6;

2

6; − 4 6

Vetor força resultante 𝑅 = Ԧ𝐹₁ + Ԧ𝐹₂ 𝑅 = 71 Ƹ𝒊 − 71෡𝒌 + 80 Ƹ𝒊 + 20 Ƹ𝒋 − 80෡𝒌