La serie de Fourier de una funci´

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(1)

AN ´

ALISIS DE FOURIER

La serie de Fourier de una funci´

on

El planteamiento central de esta lecci´on es el siguiente. Dada una funci´on peri´odica f(t), por ejemplo de per´ıodo 2π, queremos escribirla como una combinaci´on en la que intervengan ´

unicamente senos y cosenos, que son las funciones peri´odicas de per´ıodo 2π m´as simples y conocidas:

f(t) ¿=?

∞ X

n=0

[ancos(nt) +bnsen(nt)].

Una serie de este tipo recibe el nombre de serie trigonom´etrica o serie de Fourier.

El problema de la representaci´on de una funci´on mediante una serie trigonom´etrica surge, como veremos en la siguiente lecci´on, de la resoluci´on de ecuaciones en derivadas parciales. En torno a 1750, J. d’Alembert, D. Bernoulli (1700–1782) y L. Euler estudiaron la ecuaci´on de ondas que gobierna el problema de la cuerda vibrante, un problema planteado y estudiado por B. Taylor (1685–1731) que hab´ıa obtenido soluciones en forma de funciones sinusoidales. D’Alembert dio una soluci´on muy general y Euler prob´o que si en el instante inicial la forma de la cuerda es una combinaci´on finita de senos, entonces ocurrir´a lo mismo en cualquier instante posterior, dando mucho m´as tarde, en 1777, las f´ormulas que permiten calcular los coeficientes de la combinaci´on. En 1753, D. Bernoulli utiliz´o esta representaci´on para resolver el problema de la cuerda vibrante para una posici´on inicial cualquiera, pero su soluci´on suscit´o mucha controversia. Fue J.B. Fourier (1768–1830) quien, al analizar en una famosa memoria presentada en 1807 la ecuaci´on que gobierna la transmisi´on del calor en una barra, retom´o las ideas de Euler y Bernoulli y obtuvo resultados muy ajustados a los experimentos, colocando el estudio de las series trigonom´etricas —que hoy llevan su nombre— en el centro del escenario matem´atico del S. XIX. La teor´ıa de las series de Fourier tuvo a lo largo del siglo pasado profundas implicaciones para el an´alisis matem´atico y es hoy en d´ıa una herramienta fundamental de la ingenier´ıa de telecomunicaci´on.

En la teor´ıa de la se˜nal y la comunicaci´on, cuandot es la variable temporal se dice quef(t) es una se˜nal peri´odica en tiempo continuo y cuando esta representaci´on en serie de funciones trigonom´etricas sea correcta, decimos que hemos descompuesto la se˜nal enarm´onicosomodos de vibraci´on.

En esta lecci´on estudiaremos bajo qu´e condiciones puede hacerse esta representaci´on, c´omo calcular los coeficientes, los ejemplos m´as importantes, algunas propiedades y la forma com-pleja de las series de Fourier. Finalmente, para funciones —se˜nales— no peri´odicas, se intro-duce la transformada de Fourier que, aunque es muy similar y comparte muchas propiedades con la transformada de Laplace, se emplea en contextos muy diferentes.

Funciones peri´odicas. Recordemos que una funci´on f : RR es peri´odica de per´ıodo

(2)

T 6= 0 (o T-peri´odica) cuando existe T >0 tal que

f(t+T) =f(t) para cualquier t ∈R.

En ese caso se tiene autom´aticamente que f(t+nT) =f(t) para cualesquiera t∈R y n∈Z. Esto significa que sus valores se repiten a intervalos regulares y que su gr´afica puede dividirse en segmentos verticales de anchura T que son id´enticos. Es obvio que si T es un per´ıodo de f(t), entonces tambi´en lo son−T,±2T,±3T, . . . Salvo las funciones constantes, todas las funciones peri´odicas de inter´es en las aplicaciones, en particular las funciones continuas no constantes, tienen lo que se conoce comoun per´ıodo fundamental om´ınimo; o sea, un per´ıodo T >0 tal que f(t) no es τ-peri´odica para ning´un valor 0< τ < T.

Los ejemplos t´ıpicos de funciones peri´odicas son las funciones trigonom´etricas sen(t) y cos(t), que son peri´odicas con per´ıodo m´ınimo 2π. Las funciones sen(2t) y cos(2t) tambi´en tienen per´ıodo 2π pero su per´ıodo m´ınimo esπ. M´as generalmente, dados ω >0, φy n∈N, las funciones sen(nωt+φ) y cos(nωt+φ) son peri´odicas de per´ıodo m´ınimoT = 2π

nω, porque sen nω(t+T) +φ= sen(nωt+φ+ 2π) = sen(nωt+φ)

e igual con el coseno. Para medir la velocidad de repetici´on de una funci´on con per´ıodo m´ınimo T, se utiliza la frecuencia, a veces llamadafrecuencia angular, definida como

frecuencia = 2π per´ıodo =

2π T ,

que se mide en radianes por segundo. En algunos textos se reserva la palabra frecuencia para la inversa del per´ıodo, 1/T que se mide en ciclos por segundo o hertzios.

Polinomios trigonom´etricos. Un polinomio trigonom´etrico con per´ıodo T y frecuencia

ω = 2π/T es una funci´on de la forma

f(t) = 1 2a0+

n0

X

n=1

ancos(nωt) +bnsen(nωt)

(el factor 12 del t´ermino independiente es un convenio cuya justificaci´on daremos m´as ade-lante). En otras palabras, un polinomio trigonom´etrico es una combinaci´on lineal de senos y cosenos que tienen un per´ıodo com´un T. Los coeficientes an y bn de esta combinaci´on se llaman coeficientes de Fourier del polinomio. El ´ındice n0 se llama grado del polinomio.

La raz´on del t´ermino “polinomio” es que las funciones sen(nωt) y cos(nωt) se pueden escribir como una combinaci´on de productos de potencias de sen(ωt) y cos(ωt), como en las conocidas expresiones

sen(2ωt) = 2 sen(ωt) cos(ωt) y cos(2ωt) = cos(ωt)2− sen(ωt)2.

Y, viceversa, toda combinaci´on de productos de potencias de sen(ωt) y cos(ωt) es un polinomio trigonom´etrico.

(3)

Sea f(t) = 1 2a0+

n0

X

n=1

ancos(nωt) +bnsen(nωt)

un polinomio trigonom´etrico. Tomando

α0 = 12a0 y, para cada n= 1,2, . . .,

αn =pa2

n+b2n y φn = arc tg(−bn/an)∈(−π, π], se tiene

ancos(nωt) +bnsen(nωt) =αncos(nωt+φn),

as´ı que podemos escribir el polinomio anterior como una suma de funciones coseno

f(t) =α0+α1cos(ωt+φ1) +α2cos(2ωt+φ2) +· · ·+αn0cos(n0ωt+φn0)

donde el t´erminoα1cos(ωt+φ1) se llamaprimer arm´onico omodo fundamental de vibraci´on.

Los coeficientes αn de los arm´onicos se llaman amplitudes y los ´angulosφn se llaman´angulos de fase. En algunas ocasiones puede ser preferible usar funciones seno; ahora bien, puesto que se verifica cos(nωt+φn) = sen(nωt+φn+π/2), las amplitudes son iguales y los ´angulos de fase entre la expresi´on con el seno y la expresi´on con el coseno difieren en π/2.

La expresi´on de un polinomio trigonom´etrico en t´erminos de las amplitudes y las fases de sus arm´onicos es muy intuitiva; nos dice que la funci´on resultante consiste en superponer vibraciones cos(nωt+φn) cuyas frecuencias son m´ultiplos enteros de la frecuencia del modo fundamental, de mayor o menor amplitud y que van en fase (siφn = 0), adelantadas (cuando φn > 0, lo que corresponde a deslizar la gr´afica hacia la izquierda) o retrasadas (cuando φn < 0, lo que corresponde a deslizar la gr´afica hacia la derecha) con respecto al arm´onico puro de la misma frecuencia cos(nωt).

Serie de Fourier. Sea ahora f(t) una funci´on peri´odica de per´ıodo T. La pregunta que se plantea es saber si podemos obtenerf como una combinaci´on —necesariamente infinita salvo que f sea un polinomio trigonom´etrico— de arm´onicos de frecuencia ω = 2π/T:

f(t) ¿ = ?1

2a0+a1cos(ωt) +b1sen(ωt) +a2cos(2ωt) +b2sen(2ωt) +· · ·

Este problema se desdobla en dos: En primer lugar, determinar los coeficientes a0, a1, b1, . . .

adecuados y, posteriormente, establecer si la serie converge a la propia funci´on f(t).

Con respecto al primer problema, razonamos como sigue. Si es cierto que se da la igualdad y la convergencia de la serie permite la integraci´on t´ermino a t´ermino, entonces el coeficiente a0 de la expresi´on f(t) =

1 2a0 +

∞ X

n=1

ancos(nωt) + bnsen(nωt) es relativamente f´acil de calcular: si integramos sobre un per´ıodo, obtenemos

Z T

0

f(t)dt= T 2a0+

∞ X

n=1 "

an

Z T

0

cos(nωt)dt+bn

Z T

0

sen(nωt)dt

#

= T 2a0,

donde hemos usado que para cada n= 1,2, . . . se tiene

Z T

0

cos(nωt)dt=

Z T

0

(4)

Para calcular los dem´as coeficientes, Euler hab´ıa observado que dados un per´ıodo T y la frecuencia correspondiente ω = 2π/T, entonces para cada m, n= 1,2, . . . se tiene

Z T

0

cos(nωt) cos(mωt)dt=

Z T

0

sen(nωt) sen(mωt)dt=

( 0 si m6=n,

T

2 si m=n, y tambi´en

Z T

0

cos(nωt) sen(mωt)dt= 0.

As´ı que, multiplicando la expresi´onf(t) = 1 2a0+

∞ X

n=1

ancos(nωt)+bnsen(nωt)por cos(mωt) (para m= 1,2, . . .) e integrando sobre un per´ıodo, obtenemos

Z T

0

f(t) cos(mωt)dt

=a0 Z T

0

cos(mωt)dt+

∞ X

n=1 "

an

Z T

0

cos(nωt) cos(mωt)dt+bn

Z T

0

sen(nωt) cos(mωt)dt

#

= T 2am.

An´alogamente, multiplicando la expresi´on f(t) = 1 2a0 +

∞ X

n=1

ancos(nωt) +bnsen(nωt)

por sen(mωt) (para m= 1,2, . . .) e integrando sobre un per´ıodo, obtenemos

Z T

0

f(t) sen(mωt)dt

=a0 Z T

0

sen(mωt)dt+

∞ X

n=1 "

an

Z T

0

cos(nωt) sen(mωt)dt+bn

Z T

0

sen(nωt) sen(mωt)dt

#

= T 2bm.

Puesto que cos(0ωt) = 1, vemos que el valor de a0 se puede obtener admitiendo m= 0 en

la expresi´on de am; esto explica por qu´e el t´ermino constante de la serie se suele escribir 12a0.

En resumen, los coeficientes buscados son

am= 2 T

Z T

0

f(t) cos(mωt)dt para m= 0,1,2. . ., y

bm= 2 T

Z T

0

f(t) sen(mωt)dt para m= 1,2, . . .

(5)

Definiciones. Sea f : RR una funci´on continua a trozos y peri´odica de per´ıodo T y sea ω = 2π/T. Los coeficientes de Fourier de f son los n´umeros definidos por

an = 2 T

Z T

0

f(t) cos(nωt)dt para n= 0,1,2. . . , y

bn = 2 T

Z T

0

f(t) sen(nωt)dt para n= 1,2, . . .

Puesto que la funci´on tiene per´ıodoT, las integrales anteriores pueden hacerse sobre cualquier intervalo de longitud T, por ejemplo [−T /2, T /2].

La serie 1 2a0+

∞ X

n=1

ancos(nωt)+bnsen(nωt)

, donde losany losbnson los correspondientes coeficientes de Fourier de una funci´onf, se llamadesarrollo en serie de Fourier,o simplemente

serie de Fourier, de f. Para indicar que una serie trigonom´etrica es la serie de Fourier de una funci´on dada se suele escribir

f(t)∼ 1

2a0+

∞ X

n=1

ancos(nωt) +bnsen(nωt).

Como antes, tomando α0 = 12a0 y

αn=pa2

n+b2n y φn = arc tg(−bn/an)∈(−π, π] para n= 1,2, . . ., se tiene

ancos(nωt) +bnsen(nωt) =αncos(nωt+φn),

as´ı que podemos escribir la serie de Fourier de f como una superposici´on de arm´onicos en t´erminos de las amplitudes y las fases de la siguiente manera:

f(t)∼α0+ ∞ X

n=1

αncos(nωt+φn).

SiT es el per´ıodo m´ınimo def, entonces el t´erminoα1cos(ωt+φ1) se llamaprimer arm´onico

o modo fundamental de vibraci´on. Los t´erminosancos(nωt) +bnsen(nωt) =αncos(ωt+φn) restantes se llaman componentes arm´onicos de f. Los coeficientes αn de los componentes arm´onicos se llaman amplitudes y los ´angulos φn se llaman ´angulos de fase.

Los coeficientes de Fourier o, alternativamente, las amplitudes y las fases son par´ametros muy importantes a la hora de estudiar una se˜nal. Aparte de la representaci´on habitual de una se˜nal como una curva situando el tiempo en el eje de abscisas, en la pr´actica tambi´en se utilizan el espectro discreto de amplitudes, que es la representaci´on de las amplitudes cuando situamos las frecuencias en el eje de abscisas, y el espectro discreto de fases, que es la representaci´on de las fases cuando situamos las frecuencias en el eje de abscisas. El adjetivo discreto alude al hecho de que las frecuencias no var´ıan de forma continua, sino como m´ultiplos de la frecuencia fundamentalω, o sea, 0, ω,2ω,3ω, . . ., lo que se conoce como el dominio discreto de frecuencias de f.

(6)

Ejemplos. (1) La serie de Fourier de un polinomio trigonom´etrico es el propio polinomio. (2) La serie de Fourier de la funci´on de onda rectangular de per´ıodo T definida en [−T /2, T /2] por

f(t) =

1 si T /2< t <0,

1 si 0< t < T /2, y extendida peri´odicamente a R es

f(t)∼ 4

π

sen(ωt) + 1

3sen(3ωt) + 1

5sen(5ωt) +· · ·

,

siendo ω = 2π/T. Vemos que no est´a claro a priori que la serie vaya a ser convergente. (3) La serie de Fourier de la funci´on dada por f(t) = (π−t)(π +t) para −π ≤ t ≤ π y extendida peri´odicamente a R es

f(t)∼ 2π 2

3 + 4

cos(t)− 1

4cos(2t) + 1

9cos(3t)− 1

16cos(4t) +· · ·

.

En este caso s´ı est´a claro que la serie converge absolutamente para cada valor det.

(4) La serie de Fourier de la funci´on de onda dentada definida por f(t) = t/T para 0< t < T y extendida peri´odicamente a R es

f(t)∼1/2− 1

π

sen(ωt) + 1

2sen(2ωt) + 1

3sen(3ωt) +· · ·

con ω = 2π/T.

(5) La serie de Fourier de la funci´on de onda dentada definida por f(t) = t/T para

−T /2< t < T /2 y extendida peri´odicamente a R es

f(t)∼ 1

π

sen(ωt)− 1

2sen(2ωt) + 1

3sen(3ωt)− 1

4 sen(4ωt) +· · ·

con ω = 2π/T.

(6) La serie de Fourier de un tren de pulsos rectangulares dado como la extensi´on peri´odica de la funci´on definida en [−T /2, T /2] por

f(t) =

1 si 0≤ |t|< d/2,

0 si d/2≤ |t|< T /2. es

f(t)∼ ωd

2π + 1 π

sen(ωd/2) cos(t) + sen(2ωd/2)

2 cos(2t) +

sen(3ωd/2)

3 cos(3t) +· · ·

.

(7)

Series de Fourier de funciones pares e impares. Sea f : [−L, L]→ R una funci´on. Se dice que f es una funci´on par cuando f(−t) =f(t) para cada t ∈[−L, L]; esto significa que su gr´afica es sim´etrica respecto del eje de ordenadas. Si f es par e integrable, entonces

Z L

−L

f(t)dt= 2

Z L

0

f(t)dt.

Las constantes, los cosenos o las funciones f(t) =tpar son ejemplos de funciones pares. Se dice que una funci´onf : [−L, L]→Res unafunci´on impar cuandof(−t) =−f(t) para cadat ∈[−L, L]; esto significa que su gr´afica es sim´etrica respecto del origen de coordenadas. Si f es impar e integrable, entonces

Z L

−L

f(t)dt= 0.

Los senos o las funciones f(t) =timpar son ejemplos de funciones impares.

La suma y el producto de funciones pares o impares sigue la misma regla que los signos (con “par” en el papel de “positivo” e “impar” en el de “negativo”). Otra propiedad ´util es que la derivada de una funci´on par es impar y viceversa.

Teorema. Sea f(t) una funci´on continua a trozos y peri´odica de per´ıodoT.

(1) Si f es una funci´on par, entonces su desarrollo en serie de Fourier s´olo tiene funciones coseno, lo que se conoce como una serie de Fourier en cosenos,

f(t)∼ 1

2a0+

∞ X

n=1

ancos(nωt)

siendo ω = 2π/T y

an = 4 T

Z T /2

0

f(t) cos(nωt)dt (n= 0,1,2, . . .).

(Esto lo vemos en los Ejemplos 3 y 6 anteriores.)

(2) Sif es una funci´on impar, entonces su desarrollo en serie de Fourier s´olo tiene funciones seno, lo que se conoce como una serie de Fourier en senos,

f(t)∼ ∞ X

n=1

bnsen(nωt)

siendo ω = 2π/T y

bn= 4 T

Z T /2

0

f(t) sen(nωt)dt (n= 1,2, . . .).

(Esto lo vemos en los Ejemplos 2 y 5 anteriores.)

(8)

Desarrollos de medio intervalo. Sea f : [0, L] → R una funci´on continua a trozos. Sea T = 2L, entonces la extensi´on T-peri´odica y par de f es la funci´on definida en el intervalo [−L, L] = [−T /2, T /2] por

fpar(t) =

f(t) si Lt 0,

f(t) si 0≤t ≤L, .

y extendida peri´odicamente a toda la recta real R. Obviamente, fpar es una funci´on par, as´ı

que su desarrollo en serie de Fourier es una serie de cosenos que se conoce, en este contexto, como el desarrollo de f en serie de cosenos en medio intervalo [0, L] y viene dado por

f(t)∼ 1

2a0+

∞ X

n=1

ancos(nωt) en [0, L],

siendo ω =π/L y

an = 2 L

Z L

0

f(t) cos(nωt)dt (n= 0,1,2, . . .).

La extensi´on T-peri´odica e impar de f es la funci´on definida en [−L, L] = [−T /2, T /2] por

fimpar(t) =

f(t) si Lt 0,

f(t) si 0≤t≤L, .

y extendida peri´odicamente a toda la recta realR. Obviamente, fimpares una funci´on impar,

as´ı que su desarrollo en serie de Fourier es una serie de senos que se conoce, en este contexto, como el desarrollo de f en serie de senos en medio intervalo [0, L] y viene dado por

f(t)∼ ∞ X

n=1

bnsen(nωt) en [0, L],

siendo ω =π/L y

bn = 2 L

Z L

0

f(t) sen(nωt)dt (n= 1,2, . . .).

Ejemplo. Sea f(t) = t para t ∈ [0, π]. Entonces, su extensi´on par y 2π-peri´odica es la funci´on dada por fpar(t) = |t| para t ∈ [−π, π] y extendida peri´odicamente a toda la recta

real; el desarrollo de f en serie de cosenos en [0, π] es

f(t)∼ π

2 − 4 π

"

cos(t) + cos(3t) 3

2

+ cos(5t) 5

2

+· · · #

.

Para la misma funci´on f, su extensi´on impar y 2π-peri´odica viene dada por fimpar(t) = t

para t ∈ [−π, π] y extendida peri´odicamente a toda la recta real; el desarrollo de f en serie de senos en [0, π] es

f(t)∼2

sen(t)− sen(2t)

2 +

sen(3t)

3 −

sen(4t) 4 +· · ·

(9)

Convergencia de las series de Fourier

Sea f :RR una funci´on continua a trozos y peri´odica de per´ıodoT y sea

f(t)∼ 1

2a0+

∞ X

n=1

ancos(nωt) +bnsen(nωt),

con ω = 2π/T, su serie de Fourier. Hemos comentado que la afirmaci´on de que se da la igualdad entref y su serie de Fourier suscit´o mucha controversia a lo largo de la segunda mitad del S. XVIII y comienzos del S. XIX. Esta controversia fue zanjada por P.G.L. Dirichlet (1805– 1859): en 1829 dio la primera demostraci´on satisfactoria de que cierta clase de funciones, que incluye pr´acticamente todas las de inter´es en las aplicaciones, son realmente iguales a las sumas de sus series de Fourier.

Condiciones de Dirichlet. Sea f : RR una funci´on peri´odica de per´ıodo T. Se dice que f satisface las condiciones de Dirichlet si en cada per´ıodo la funci´on f : [0, T] → R es continua salvo un n´umero finito de discontinuidades de salto y s´olo tiene una cantidad finita de m´aximos y m´ınimos locales estrictos. Puede probarse, en particular, que si una funci´on peri´odica es tal que ella y su derivada est´an definidas y son continuas salvo un n´umero finito de discontinuidades de salto, entonces dicha funci´on verifica las condiciones de Dirichlet. Como hemos dicho, pr´acticamente todas las funciones —se˜nales— de inter´es en las aplicaciones las verifican.

Teorema de convergencia de Dirichlet. Seaf :RRuna funci´on peri´odica de per´ıodo T que satisface las condiciones de Dirichlet y sea

f(t)∼ 1

2a0+

∞ X

n=1

ancos(nωt) +bnsen(nωt),

con ω = 2π/T, su serie de Fourier.

(1) Si f es continua en un punto t, entonces la serie de Fourier converge en ese punto a f(t), o sea,

1 2a0+

∞ X

n=1

ancos(nωt) +bnsen(nωt)

=f(t).

(2) Sif tiene una discontinuad de salto en un puntot, entonces la serie de Fourier converge en ese punto al punto medio del salto, o sea,

1 2a0+

∞ X

n=1

ancos(nωt) +bnsen(nωt)

= f(t

) +f(t+)

2 ,

donde, como es habitual, f(t−) = lim

τ→0,τ >0f(t−τ) indica el l´ımite de f ent por la izquierda

y f(t+) = lim

τ→0,τ >0f(t+τ) indica el l´ımite de f en t por la derecha.

El teorema nos dice, en particular, que si f satisface las condiciones de Dirichlet y redefi-nimos el valor de f en cada punto de discontinuidad como el punto medio del salto, o sea, poniendo f(t) = f(t

) +f(t+)

(10)

Ejemplo. Hemos visto que la serie de Fourier de la funci´on dada por f(t) = (π−t)(π+t) para −π ≤t ≤π y extendida peri´odicamente a R es

f(t)∼ 2π 2

3 + 4

cos(t)− 1

4cos(2t) + 1

9cos(3t)− 1

16cos(4t) +· · ·

.

Como f verifica las condiciones de Dirichlet, tenemos de hecho que

f(t) = 2π

2

3 + 4

cos(t)− 1

4cos(2t) + 1

9cos(3t)− 1

16cos(4t) +· · ·

para todo t∈[−π, π]. Si usamos el teorema de Dirichlet en t =π obtenemos

0 = 2π

2

3 + 4

−1− 1

4 − 1 9 −

1 16 − · · ·

de donde se deduce que

1 + 1 4 +

1 9 +

1

16 +· · ·= π2

6 ,

resultado obtenido por primera vez por Euler en 1736 (usando otro m´etodo).

El fen´omeno de Gibbs. El teorema de Dirichlet nos dice que, en los puntos de discon-tinuidad, la gr´afica de la suma de la serie de Fourier pasa por el punto medio del salto. Si se dibujan las sumas parciales se ve que en las cercan´ıas de los puntos de discontinuidad se reduce la velocidad de convergencia de la serie y que la gr´afica de la suma parcial oscila alrededor de la gr´afica de la funci´on. Cuando se aumenta el n´umero de t´erminos, las oscila-ciones se condensan a ambos lados del punto pero su amplitud no parece decrecer. Esto se conoce como el fen´omeno de Gibbs, en honor de J.W. Gibbs (1839–1903) que lo analiz´o en 1899 probando que la amplitud de la oscilaci´on a cada lado de la gr´afica de la funci´on tiende a ser 1

Z π

0

sen(t)

t dt−1≈0.0895 veces el tama˜no del salto, o sea, aproximadamente el 9% del tama˜no del salto.

Vamos a ver ahora algunas propiedades de los desarrollos en serie de Fourier.

Derivaci´on de las series de Fourier. Sif es una funci´on continua y peri´odica de per´ıodo T y su derivada f0 verifica las condiciones de Dirichlet, entonces, la serie de Fourier de f puede derivarse t´ermino a t´ermino de manera que si

f(t) = 1 2a0+

∞ X

n=1

ancos(nωt) +bnsen(nωt)

(11)

entonces

f0(t) =

∞ X

n=1

nbnωcos(nωt)−nanωsen(nωt)

para cada t ∈R.

Integraci´on de las series de Fourier. Si f es una funci´on peri´odica de per´ıodo T que verifica las condiciones de Dirichlet, entonces, la serie de Fourier def puede integrarse t´ermino a t´ermino de manera que si

f(t) = 1 2a0+

∞ X

n=1

ancos(nωt) +bnsen(nωt)

y t0, t ∈[−T /2, T /2], entonces Z t

t0

f(τ)dτ = 1

2a0(t−t0) +

∞ X

n=1 "

bn cos(nωt0)−cos(nωt)

nω +

an sen(nωt)−sen(nωt0)

#

.

Aqu´ı hay que tener cuidado: el t´ermino 1

2a0t hace que el miembro de la derecha nosea una serie de Fourier. Lo que el teorema proporciona es el desarrollo en serie de Fourier de la funci´on g definida en [−T /2, T /2] por g(t) =

Z t

t0

f(τ)dτ − 1

2a0t y extendida peri´odicamente.

Igualdad de Parseval. Seaf una funci´on peri´odica de per´ıodoT que verifica las condiciones de Dirichlet y sea

f(t) = 1 2a0+

∞ X

n=1

ancos(nωt) +bnsen(nωt)

su serie de Fourier. Entonces 1 T

Z T

0

f(t)2dt= 1 4a 2 0+ 1 2 ∞ X n=1

a2n+b2n.

En particular, la serie de los cuadrados de los coeficientes de Fourier es convergente.

Cuando f(t) es una se˜nal peri´odica de per´ıodo fundamental T, esta igualdad puede inter-pretarse de la siguiente manera. La integralP = 1

T

Z T

0

f(t)2dtse llamamedia cuadr´atica o

potencia media de f. Por ejemplo, si f(t) representa el voltaje que se aplica a una resistencia de 1 ohmio, entonces la potencia media de f coincide con la potencia el´ectrica media (energ´ıa por unidad de tiempo medida en watios) disipada por la resistencia en cada per´ıodo. Ahora bien, la potencia media de cada uno de los arm´onicos presentes en la se˜nal es

P0 =

1 T

Z T

0

a0/2 2

dt= 1 4a

2 0,

Pn = 1 T

Z T

0

ancos(nωt) +bnsen(nωt)

2

dt= 1 2a 2 n+ 1 2b 2

n (n= 1,2, . . .),

luego la igualdad de Parseval nos dice que la potencia media de la se˜nal es la suma de las potencias medias de sus componentes arm´onicos, P =P∞

(12)

Teorema de la mejor aproximaci´on y convergencia en media cuadr´atica. Seaf una funci´on peri´odica de per´ıodo T que verifica las condiciones de Dirichlet, sea

f(t) = 1 2a0+

∞ X

n=1

ancos(nωt) +bnsen(nωt)

su serie de Fourier y sea

fm(t) = 1 2a0+

m

X

n=1

ancos(nωt) +bnsen(nωt)

el polinomio trigonom´etrico obtenido como la suma m-´esima de dicha serie. Entoncesfm es, de todos los polinomios trigonom´etricos de grado m y per´ıodo T, el que mejor se aproxima a f en media cuadr´atica; es decir, sigm es un polinomio trigonom´etrico de gradom distinto de fm, entonces

1 T

Z T

0

f(t)−fm(t)2dt < 1 T

Z T

0

f(t)−gm(t)2dt

y, adem´as,

lim m→∞

1 T

Z T

0

f(t)−fm(t)

2

dt= 0.

Forma compleja de las series de Fourier

Hemos visto dos formas de expresar la serie de Fourier de una funci´on peri´odica de per´ıodo T: en t´erminos de senos y cosenos

f(t)∼ 1

2a0+

∞ X

n=1

ancos(nωt) +bnsen(nωt).

o en t´erminos de amplitudes y fases

f(t)∼α0+ ∞ X

n=1

αncos(nωt+φn),

donde ω = 2π/T y los coeficientes de estas expresiones est´an relacionados de la siguiente manera: α0 = 12a0 y, paran= 1,2, . . .,

αn =

p

a2

n+b2n y φn = arc tg(−bn/an)∈(−π, π] o bien

an =αncos(φn) y bn =−αnsen(φn).

(13)

que consiste en usar exponenciales complejas ejnωt en vez de cos(nωt) y sen(nωt). Para construirla, sustituimos las expresiones

cos(nωt) = e

jnωt+e−jnωt

2 y sen(nωt) =

ejnωte−jnωt 2j

en la serie 12a0+P∞n=1

ancos(nωt) +bnsen(nωt)

, obteniendo

f(t)∼ 1

2a0+ 1 2

∞ X

n=1

(an−jbn)ejnωt+ (an+jbn)e−jnωt

.

Escribiendo

c0 =c0e0 =

1

2a0, cn = 1

2(an−jbn) y c−n =cn = 1

2(an+jbn),

separando los t´erminos con ´ındice negativo de los que tienen ´ındice positivo y reordenando, la serie de Fourier queda

f(t)∼ ∞ X

n=−∞

cnejnωt,

que se llama forma compleja de la serie de Fourier def. Los n´umeroscn se llamancoeficientes de Fourier de la forma compleja y pueden calcularse de forma directa:

cn= 1 T

Z T /2

−T /2

f(t)e−jnωtdt para n= 0,±1,±2, . . .

Si lo que tenemos son los coeficientescn de la forma compleja, entonces los coeficientes de Fourier an y bn, las amplitudes y las fases vienen dados por

an = 2 Re(cn), bn =−2 Im(cn), αn = 2|cn| y φn = arg(cn)∈(−π, π].

Vemos, entonces, que una funci´on peri´odica es par cuando sus coeficientes de Fourier com-plejos son reales y que es impar cuando sus coeficientes de Fourier comcom-plejos son imaginarios puros.

Cuando f(t) es una se˜nal peri´odica de per´ıodo fundamental T, las componentes de la forma compleja se dan en las frecuencias 0,±ω,±2ω, . . . Sin embargo, no es posible rea-lizar f´ısicamente se˜nales de frecuencia negativa, ´estas se han introducido por comodidad. Para obtener una se˜nal real a partir de cada componente cnejnωt debemos combinarla con c−ne−jnωt para obtener, teniendo en cuenta que cn y c−n son conjugados,

cnejnωt +c−ne−jnωt =|cn|ejφnejnωt +|cn|e−jφne−jnωt = 2|cn|cos(nωt+φn).

(14)

Ejemplo. Los coeficientes de Fourier complejos de un tren de pulsos rectangulares dado como la extensi´on peri´odica de la funci´on definida en [−T /2, T /2] por

f(t) =

k si 0≤ |t|< d/2,

0 si d/2≤ |t|< T /2. son

cn= k T

Z d/2

−d/2

e−jnωtdt= kd T

sen(nωd/2) nωd/2 .

Los valores de cn son reales, lo que corresponde al hecho de que la funci´on es par, as´ı que su espectro de fases es φn = 0 para cadan. La funci´on

sa(t) :=

1 si t= 0, sen(t)

t si t6= 0,

se llama funci´on de muestreo (‘sa’ viene de la palabra inglesa sampling) y es muy importante en la teor´ıa de la se˜nal precisamente porque los coeficientes de Fourier complejos del tren de pulsos rectangulares de nuestro ejemplo se pueden expresar como

cn = kd

T sa(nωd/2).

A veces, en vez de la funci´on de muestreo se trabaja con una funci´on relacionada, llamada

seno cardinal que se define como

sinc(t) := sa(πt) :=

1 si t = 0, sen(πt)

πt si t 6= 0.

Observaci´on. La forma compleja se puede definir para funciones peri´odicasf(t) que toman valores complejos y las f´ormulas y los resultados que se obtienen son totalmente an´alogos. Lo ´

unico que hay que tener en cuenta es, simplemente, que a la hora de integrar se integran por separado las partes real e imaginaria. En lo que sigue, usaremos a veces este hecho sin hacer menci´on expl´ıcita.

Propiedades de la forma compleja de las series de Fourier. Las propiedades de derivaci´on e integraci´on vistas en la secci´on anterior se trasladan al caso complejo sin dificultad alguna. Es m´as, hay algunas propiedades que se entienden mucho m´as claramente en el contexto complejo y que son ´utiles a la hora de obtener nuevos desarrollos de Fourier a partir de otros conocidos. En lo que queda de secci´on, supondremos que f y g son funciones peri´odicas de per´ıodoT (reales o complejas) que verifican las condiciones de Dirichlet y cuyos desarrollos en serie de Fourier compleja son, respectivamente,

f(t) =

∞ X

n=−∞

cnejnωt y g(t) =

∞ X

n=−∞

dnejnωt,

(15)

Linealidad. Si p y q son n´umeros complejos, entonces serie de Fourier de pf(t) +qg(t) es

pf(t) +qg(t) =

∞ X

n=−∞

(pcn+qdn)ejnωt.

Traslaci´on en el tiempo. Sit0 es un n´umero real, entonces la serie de Fourier de la funci´on

trasladada f(t−t0) es

f(t−t0) = ∞ X

n=−∞

cne−jnωt0ejnωt =

∞ X

n=−∞

cnejnω(t−t0).

En particular, f(t) y f(t−t0) tienen el mismo espectro de amplitudes pero distintas fases.

Escalado en el tiempo. Si p es un n´umero real, entonces la funci´on f(pt) es peri´odica de per´ıodo T /p y frecuenciapω. Su serie de Fourier es

f(pt) =

∞ X

n=−∞

cnejn(pω)t.

O sea, f(t) y f(pt) tienen las mismas amplitudes y fases pero correspondientes a frecuencias distintas.

Convoluci´on. Los coeficientes complejos de Fourier de f(t)g(t) =P∞

n=−∞hnejnωt son

hn =

∞ X

k=−∞

ckdn−k =

∞ X

k=−∞

ckdn−k

Multiplicaci´on. Se verifica que

1 T

Z T

0

f(t)g(t)dt=

∞ X

n=−∞

cndn.

Forma compleja de la igualdad de Parseval. Se verifica que

1 T

Z T

0 f(t)

2

dt=

∞ X

n=−∞ |cn|2

En particular, la serie de los cuadrados de los coeficientes complejos de Fourier es convergente. Cuando f(t) es una se˜nal peri´odica de per´ıodo fundamental T, esta igualdad nos dice que la potencia media de la se˜nal es P = P∞

n=−∞|cn| 2

(16)

La transformaci´

on de Fourier

La representaci´on integral de Fourier. Hemos visto que la forma compleja de la serie de Fourier de una funci´on f peri´odica de per´ıodo T que verifica las condiciones de Dirichlet es

f(t) =

∞ X

n=−∞

cnejnωt,

donde ω = 2π/T y los coeficientes de Fourier vienen dados por

cn= 1 T

Z T /2

−T /2

f(t)e−jnωtdt para n= 0,±1,±2, . . .

Si nuestra se˜nal no es peri´odica, no podemos esperar que sea posible representarla mediante una serie de Fourier. Una de las contribuciones decisivas de Fourier fue tratar una funci´on no peri´odica como si fuera una funci´on con per´ıodo infinito, lo que le llev´o a la posibilidad de representarla no como una serie cuyos t´erminos corresponden a m´ultiplos de la frecuencia fundamental 0, ω,2ω,3ω, . . ., sino como una integral cuya variable de integraci´on es una frecuencia que se mueve de manera continua. Veamos cu´al fue su razonamiento.

Partiendo de una funci´on peri´odica y combinando las expresiones anteriores, obtenemos

f(t) =

∞ X

n=−∞

cnejnωt =

∞ X

n=−∞ "

1 T

Z T /2

−T /2

f(t)e−jnωτdτ

#

ejnωt.

Sean ωn = nω las frecuencias presentes y llamemos ∆ωn = ωn −ωn−1 = ω = 2π/T a la

diferencia entre dos frecuencias consecutivas. Entonces podemos escribir

f(t) =

∞ X

n=−∞ "

1 2π

Z T /2

−T /2

f(τ)e−jωnτ

#

ejωnt∆ω

n.

Ahora, para cada ω∈R definimos

FT(ω) =

Z T /2

−T /2

f(τ)e−jωτdτ,

con lo que la igualdad previa puede escribirse como

f(t) = 1 2π

∞ X

n=−∞

FT(ωn)ejωnt∆ωn.

SiT es muy grande, podemos interpretar esta suma como una suma de Riemann de la integral impropia

1 2π

Z ∞

−∞

FT(ω)ejωtdω ≈ 1 2π

∞ X

n=−∞

(17)

En consecuencia, si hacemos T → ∞ y consideramos la funci´onF dada por

F(ω) = lim

T→∞FT(ω) = Z ∞

−∞

f(τ)e−jωτdτ,

entonces cabe esperar que se verifique la igualdad

f(t) = 1 2π

Z ∞

−∞

F(ω)ejωtdω,

que se llama representaci´on integral de Fourier de la funci´on f.

Este razonamiento no siempre es correcto ya que el paso al l´ımite con T → ∞ puede no funcionar como se espera. Esto ocurre, por ejemplo, con la funci´on constante f(t) = 1, para la que la integral que define F(ω) no es convergente. Sin embargo, como en el caso de las series de Fourier, existe una clase amplia de funciones para las que dicha representaci´on s´ı es v´alida. Esta clase incluye todas las se˜nales de inter´es en las aplicaciones ya que en la pr´actica las se˜nales tienen una duraci´on finita.

Condiciones de Dirichlet para la integral de Fourier. Se dice que una se˜nal real o compleja f(t), definida para cadat ∈R, satisface lascondiciones de Dirichlet para la integral de Fourier si f(t) es absolutamente integrable en R, o sea,

Z ∞

−∞

|f(t)| dt <∞,

y, adem´as, en cada subintervalo finito se verifica que f(t) es continua salvo un n´umero finito de discontinuidades de salto y que sus partes real e imaginaria s´olo tienen una cantidad finita de m´aximos y m´ınimos locales estrictos.

Teorema de convergencia de la integral de Fourier. Si f satisface las condiciones de Dirichlet para la integral de Fourier, entonces para cada ω ∈R se tiene que la integral

F(ω) =

Z ∞

−∞

f(t)e−jωtdt

es convergente. Adem´as, asumiendo que en las discontinuidades de salto de la funci´on f se tiene que f(t) = f(t

) +f(t+)

2 , tambi´en se verifica la igualdad

f(t) = 1 2π

Z ∞

−∞

F(ω)ejωtdω

que se llama representaci´on integral de Fourier de la funci´on f.

Definiciones. Sea f una funci´on que satisface las condiciones de Dirichlet para la integral de Fourier. Entonces la funci´on F(ω) definida para cada ω ∈R por

F(ω) =

Z ∞

−∞

(18)

se llamatransformada de Fourier def y proporciona larepresentaci´on en el dominio continuo de frecuencias de la funci´on f. Como ocurre con la transformada de Laplace, una notaci´on muy habitual para la transformada de Fourier es F {f}.

Cuando tengamos una funci´on en el dominio de la frecuenciaF(ω) y calculemos la funci´on f(t) en el dominio del tiempo cuya transformada de Fourier es la funci´on F dada, diremos que f es la transformada de Fourier inversa o, coloquialmente, la anti-transformada de F; es decir,

f(t) =F−1{F}(t) = 1 2π

Z ∞

−∞

F(ω)ejωtdω.

Puesto que el valor de F(ω) para cada variable real ω es un n´umero complejo, suele representarse usando una gr´afica para su m´odulo |F(ω)| y otra para su argumento principal arg(F(ω))∈(−π, π] que se conocen, respectivamente, comoespectro de amplitudes yespectro de fases de f.

Ejemplos. (1) La transformada de Fourier de la funci´on exponencial unilateral

f(t) =h0(t)e−αt=

0 si t <0,

e−αt si t >0,

con Re(α)>0, es

F(ω) = 1 α+jω.

(2) La transformada de Fourier del pulso rectangular

f(t) =

1 si |t|< d/2, 0 si d/2<|t|

es

F(ω) =dsa(ωd/2) =dsinc(ωd/2π) = 2sen(ωd/2)

ω .

Propiedades de la transformaci´

on de Fourier

Es obvio que formalmente hay una relaci´on estrecha entre la transformaci´on de Fourier y tanto la transformaci´on de Laplace como las series de Fourier. No es de extra˜nar, entonces, que muchas de las propiedades de la transformaci´on de Laplace y de las series de Fourier que hemos visto sean v´alidas para la transformaci´on de Fourier. En lo que sigue supondremos que las funciones que aparecen verifican las condiciones de Dirichlet para la integral de Fourier.

Linealidad. Sia ybson n´umeros complejos entonces la transformada de Fourier de la suma af(t) +bg(t) es aF(ω) +bG(ω). O sea,

(19)

Escalado en el dominio del tiempo. La transformada de Fourier def(at) viene dada por F(ω/a)

|a| ; es decir

F {f(at)}= 1

|a|F {f} ω/a

.

Desplazamiento, o traslaci´on, en el dominio de la frecuencia. Si ω0 es un n´umero

real entonces la transformada de Fourier de ejω0tf(t) es Fω

0). O sea, F {ejω0tf(t)}=F {f}ω

0).

Desplazamiento, o traslaci´on, en el dominio del tiempo. Si t0 es un n´umero real

entonces la transformada de Fourier de la funci´on trasladada f(t−t0) es e−jωt0F(ω). En

otras palabras,

F {f(t−t0)}=e−jωt0F {f}.

Inversi´on en el dominio del tiempo. La transformada de Fourier de la funci´onf(−t) es F(−ω).

Derivaci´on en el tiempo. La transformada de Fourier de la derivadaf0(t) de una funci´on derivable f(t) es (jω)F(ω). Es decir,

F {f0}= (jω)F {f}.

Aplicando esto a f0 tenemos, como consecuencia, la transformada de la derivada segunda

F {f00}=−ω2F {f}. M´as generalmente,

F {f(n)}= (jω)nF {f}, para n= 1,2, . . .

Propiedad de simetr´ıa o de dualidad. La transformada de Fourier deF(t) es 2πf(−ω).

Derivaci´on en la frecuencia. La transformada de Fourier es derivable y se tiene que la transformada inversa de d

dωF(ω) es −jtf(t). M´as generalmente,

F

dn dωnF(ω)

= (−jt)nf(t), para n= 1,2, . . .

Producto de convoluci´on en el tiempo. Dadas dos funciones f y g en el dominio del tiempo, su producto de convoluci´on es la funci´on (f ∗g) definida parat ∈R por

(f∗g)(t) =

Z ∞

−∞

f(τ)g(t−τ)dτ.

(Es claro que si las funciones f yg son causales, entonces esta definici´on coincide con la dada en la lecci´on anterior.) Este producto de convoluci´on tambi´en es conmutativo, asociativo y distributivo y, como en el caso de la transformada de Laplace, su propiedad m´as importante es que su transformada de Fourier es el producto de las transformadas de Fourier de los factores:

(20)

Producto de convoluci´on en la frecuencia (o multiplicaci´on en el tiempo). Dadas dos transformadas de FourierF yG, suproducto de convoluci´on en el dominio de la frecuencia

es la funci´on (F ∗G)(ω) definida para ω ∈R por

(F ∗G)(ω) =

Z ∞

−∞

F(τ)G(ω−τ)dτ.

Entonces

F {f(t)g(t)}= 1

2πF(ω)∗G(ω).

Teorema de Parseval. La energ´ıa total asociada con una funci´onf :RRse define como

Z ∞

−∞

|f(t)|2 dt.

Si una funci´on tiene energ´ıa total finita, entonces su transformada de Fourier tambi´en y, de hecho, se tiene

Z ∞

−∞

|f(t)|2 dt= 1 2π

Z ∞

−∞

|F(ω)|2 dω.

Transformadas de Fourier generalizadas. Hemos visto que, interpret´andola de manera adecuada, la funci´on de impulso o funci´on delta de Dirac permite modelar mediante la trans-formaci´on de Laplace algunas situaciones de inter´es en la pr´actica. Ocurre lo mismo con la transformaci´on de Fourier. Usando las propiedades de la funci´on delta tenemos que

F {δt0(t)}=

Z ∞

−∞

δt0(t)e

−jωt

dt=e−jωt0

y, en particular,

F {δ0(t)}= 1.

Usando la propiedad de dualidad nos quedar´ıa, entonces,

F {1}= 2πδ0(ω) y F {ejω0t}= 2πδω0(ω)

transformadas que, como se puede comprobar, funcionan bien en la representaci´on integral de Fourier; es decir,

F−1{2πδ

ω0(ω)}=

1 2π

Z ∞

−∞

2πδω0(ω)e

jωt =ejω0t.

Se dice entonces que la funci´on ejω0t admite una transformada de Fourier generalizada que

es F {ejω0t} = 2πδω

0(ω) y, en particular, que la transformada de Fourier generalizada de la

(21)

Transformada de Fourier generalizada de una funci´on peri´odica. Si tenemos una funci´on peri´odicaf(t) de per´ıodoT0 y frecuencia ω0 que verifica las condiciones de Dirichlet,

entonces su desarrollo en serie de Fourier es

f(t) =

∞ X

n=−∞

cnejnω0t.

Por tanto, su transformada de Fourier generalizada es un tren de impulsos

F(ω) = 2π

∞ X

n=−∞

cnδ0(ω−nω0)

que ocurren en los valores de su espectro discreto de frecuencias 0,±ω0,±2ω0, . . .

Otra forma de expresar el desarrollo en serie de Fourier de una funci´on peri´odica f(t) es la siguiente: Sea g(t) un per´ıodo def(t), es decir, si denotamos por I un intervalo cualquiera de longitud T, entonces

g(t) =

f(t) si t I,

0 en otro caso. En ese caso, podemos expresar f como

f(t) =

∞ X

n=−∞

g(t−nT0).

Es m´as, si G(ω) es la transformada de Fourier de g, entonces

cn = 1 T

Z

I

f(t)e−jnω0tdt= 1

T

Z

I

g(t)e−jnω0tdt

= 1 T

Z ∞

−∞

g(t)e−jnω0tdt= 1

TG(nω0), lo que nos permite escribir

f(t) = 1 T

∞ X

n=−∞

G(nω0)ejnω0t

que se conoce como suma de Poisson.

Ejercicios

Ejercicio 1. ¿Qu´e relaci´on deben mantener dos frecuencias positivas ω1 y ω2 para que la

funci´on f(t) = sen(ω1t) + sen(ω2t) sea un polinomio trigonom´etrico? Cuando eso ocurra,

¿cu´al ser´a su per´ıodo?

Ejercicio 2. Determina el desarrollo en serie de Fourier de las siguientes funciones, que est´an definidas como se indica en el intervalo [−π, π] y se extienden peri´odicamente a toda la recta real.

(22)

Ejercicio 3. Desarrolla en serie de Fourier en el intervalo [−π, π] la funci´on

f(t) =

0 si π < t < 0,

π si 0< t < π. A partir de este desarrollo, deduce el de

g(t) =

1 si −π < t <0, 1 si 0< t < π.

Dibuja las funciones a las que tienden las series obtenidas en el intervalo [−5π,5π].

Ejercicio 4. Halla los siguientes desarrollos en serie de Fourier de la funci´on f(t) =t2. (1) En el intervalo [0,2π].

(2) En el intervalo [−π, π].

(3) En serie de senos en el intervalo [0, π]. (4) En serie de cosenos en el intervalo [0, π]. (5) La serie compleja en [−π, π].

Ejercicio 5. Desarrolla en serie de Fourier en el intervalo [−π, π] la funci´on

f(t) =

0 si −π < t <0, sen(t) si 0< t < π.

Dibuja la funci´on a la que tiende las serie obtenida en el intervalo [−6π,8π].

Ejercicio 6. Desarrolla en serie de Fourier en el intervalo [−π, π] la funci´on

f(t) =

0 si π < t < 0,

t si 0< t < π.

Dibuja la funci´on a la que tiende las serie obtenida en el intervalo [−5π,5π] y aplica el teorema de Dirichlet para deducir las siguientes igualdades:

∞ X

n=1

1

(2n−1)2 = 1 +

1 32 +

1 52 +

1

72 +· · ·=

π2 8

∞ X

n=1

1

n2 = 1 +

1 22 +

1 32 +

1

42 +· · ·=

π2

6

Ejercicio 7. Halla los desarrollos en serie de Fourier de la funci´onf(t) = 1−cos2(t) que se piden a continuaci´on:

(1) En el intervalo [0,2π]. (2) En el intervalo [−π, π].

(3) En serie de senos en el intervalo [0, π]. (4) En serie de cosenos en el intervalo [0, π]. (5) La serie compleja en [−π, π].

(23)

Ejercicio 8. Una se˜nal con per´ıodoT consiste en un pulso de altura ay duraci´onτ < T que luego decae a 0. Determina sus desarrollos en series de Fourier real y compleja en el intervalo [0, T] suponiendo que situamos el origen de tiempos precisamente cuando se produce uno de los saltos desde 0 hasta a.

Ejercicio 9. ¿Cu´al es el desarrollo en serie de Fourier de senos de la funci´on f(t) = 1 en el intervalo [0,1]?

Ejercicio 10. Determina el desarrollo en serie de Fourier de senos de la funci´on f(t) = et en el intervalo [0,2].

Ejercicio 11. Desarrolla en sendas series de Fourier de senos y de cosenos en el intervalo [0,1] la funci´on f(t) =t.

Ejercicio 12. Halla los siguientes desarrollos en serie de Fourier de la funci´on f(t) =|t|. (1) En el intervalo [0,2] (en senos y cosenos).

(2) En el intervalo [−1,1].

(3) En serie de senos en el intervalo [0,1]. (4) En serie de cosenos en el intervalo [0,1].

Ejercicio 13. Determina la transformada de Fourier de cada una de las siguientes funciones (a representa un n´umero real positivo).

(1) f(t) =e−a|t| (2) f(t) =|t|e−a|t|

(3) f(t) =e−a|t|tn para n= 1,2, . . . (4) f(t) =e−a|t|sen(bt).

(5) f(t) =e−a|t|cos(bt).

Ejercicio 14. Determina la transformada de Fourier de cada una de las siguientes funciones (a representa un n´umero con parte real positiva y h0 es la funci´on de salto de Heaviside).

(1) f(t) =te−ath

0(t)

(2) f(t) =tne−ath0(t) para n= 1,2, . . .

(3) f(t) =e−atsen(ω

0t)h0(t).

(4) f(t) =e−atcos(ω0t)h0(t).

Ejercicio 15. Calcula la transformada de Fourier de las siguientes funciones (1) El pulso definido por

f(t) =

 

 

k si −2< t <0,

−k si 0< t <2, 0 en otro caso. (2) La funci´on triangular

f(t) =

1− |t|/T si |t|< T,

0 si |t|> T.

(24)

Ejercicio 16. Calcula la transformada de Fourier de las siguientes funciones (cosenos vistos a trav´es de ventanas, “windowed cosines” en ingl´es). f(t) = cos(ω0t)

h0(t+d)−h0(t−d)

y f(t) = cos(ω0t)

h0(t)−h0(t−2d)

, donde d y ω0 son n´umeros reales positivos.

Ejercicio 17. Usando la propiedad de dualidad, calcula las transformadas de Fourier de la funci´on de muestreo sa(t) y de la funci´on seno cardinal sinc(t).

Ejercicio 18. Usa la representaci´on integral de Fourier para hallar la transformada inversa de la funci´on

F(ω) =

 

 

2 si 0≤ω ≤2,

−2 si −2≤ω <0, 0 en otro caso. Comprueba el resultado usando la propiedad de dualidad.

Ejercicio 19. Usa la representaci´on integral de Fourier para hallar la funci´on cuyo espectro de amplitudes es 2h0(ω+ 3)−h0(ω−3)

y cuyo espectro de fases es π− 3 2ω.

Ejercicio 20. Usando las propiedades de la transformada de Fourier, halla, en t´erminos de la transformadaF(ω) de una cierta funci´onf(t), la transformada de Fourier de las siguientes funciones.

(1) f1(t) =f(t−1) +f(−t−1).

(2) f2(t) =f(3t−6).

(3) f3(t) =f00(t−1).

Ejercicio 21. Sabiendo que F {e−|t|} = 2

1 +ω2, halla F {te

−|t|} y aplica la propiedad de

dualidad para calcular F {4t/(1 +t2)2}.

Ejercicio 22. Prueba las siguientes afirmaciones.

(1) Si f es par y real, entoncesF {f(t)} es par y real.

(2) Si f es impar y real, entoncesF {f(t)} es impar e imaginaria pura.

Ejercicio 23. Halla f(t) sabiendo que la transformada de Fourier de g(t) =f(t) cos(t) es

F {g(t)}(ω) =

1 si |ω| ≤2,

0 en otro caso.

Ejercicio 24. Halla las transformadas de Fourier generalizadas de las funciones sen(ωt), cos(ωt) y ej(ωt+φ).

Ejercicios y cuestiones de ex´amenes de cursos anteriores.

Ejercicio 25. Halla la forma compleja de la serie de Fourier de la onda triangular definida en el intervalo [−1,1] por

tri(t) = 1− |t|

(25)

Ejercicio 26. (1) Sea f(t) la funci´on definida por f(t) = t para 0 ≤ t < 1 y extendida peri´odicamente a toda la recta real. Calcula la forma compleja de la serie de Fourier de f y dibuja la funci´on a la que converge dicha serie en el intervalo [−2,2].

(2) Aplica la forma compleja de la igualdad de Parseval para deducir el valor de

∞ X

n=1

n−2.

Ejercicio 27. Enuncia y demuestra la igualdad de Parseval para las series de Fourier reales.

Ejercicio 28. Enuncia y demuestra la propiedad de traslaci´on en el tiempo para la trans-formaci´on de Fourier.

Ejercicio 29. Enuncia y demuestra la propiedad de convoluci´on en el tiempo para la trans-formaci´on de Fourier.

Ejercicio 30. (1) Enuncia las condiciones de Dirichlet para la transformaci´on de Fourier y el correspondiente Teorema de Convergencia.

(2) Utiliza el teorema mencionado en el apartado anterior para calcular la funci´on continua cuya transformada de Fourier es la funci´on F(ω) =e−|ω| para ω

R.

Ejercicio 31. Sea f el pulso rectangular dado por f(t) = 1 si |t|< 1 y f(t) = 0 si |t| ≥1. Calcula su transformada de Fourier y ´usala para deducir el valor de

Z ∞

−∞

sen(x) x dx.

Ejercicio 32. La transformada de Fourier de una funci´on f(t) es F(ω) = jω

cosh(ω). Calcula la transformada de Fourier de la funci´on g(t) = f0(2t−1) enunciando las propiedades que utilices.

Ejercicio 33. Aplica la transformaci´on de Fourier al problema de valor inicial

y0+ 2ty = 0 con y(0) = 1

para hallar la transformada de Fourier de la funci´on f(t) =e−t2.

Bibliograf´ıa

Para desarrollar esta lecci´on pueden consultarse los siguientes textos, en especial el de James (que incluye algunas aplicaciones a la ingenier´ıa).

[517.9/3-EDW] C.H. Edwards y D.E. Penney, Ecuaciones diferenciales elementales, Cap. 8. [517.9/2-SIM] G. F. Simmons, Ecuaciones diferenciales, Cap. 6.

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