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IES Alfonso X El Sabio Murcia 2º Bach. Matemáticas II (vitutor)

DERIVATIVES

R a t e of C h a n g e

C o n s i d e r t h e f u n c t i o n y = f ( x ) a n d c o n s i d e r t w o p o i n t s o n t h e

x - a x i s "a" a n d "a + h" , w i t h "h" b e i n g a r e a l n u m b e r t h a t

c o r r e s p o n d s t o t h e i n c r e a s e o f x (∆ x) .

T h e r a t e o f c h a n g e o f a f u n c t i o n o n t h e i n t e r v a l [ a , a + h ],

d e n o t e d b y ∆ y i s t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e o r d i n a t e s

c o r r e s p o n d i n g t o p o i n t s o n t h e x - a x i s , a a n d a + h.

∆ y = [ f ( a + h ) − f ( a ) ]

A v e r a g e R a t e o f C h a n g e

A v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e i n t e r v a l [ a , a + h ] i s

r e p r e s e n t e d b y o r , a n d i s t h e q u o t i e n t b e t w e e n r a t e o f

c h a n g e a n d t h e a m p l i t u d e o f t h e i n t e r v a l c o n s i d e r e d o n t h e

G e o m e t r i c I n t e r p r e t a t i o n

T h e p r e v i o u s e x p r e s s i o n c o i n c i d e s w i t h t h e s l o p e o f t h e s e c a n t

l i n e t o t h e f u n c t i o n f ( x ), t h a t p a s s e s t h r o u g h t h e p o i n t s P a n d Q

( r e p r e s e n t e d o n t h e g r a p h a b o v e ) w h i c h a r e r e p r e s e n t e d o n t h e x

-a x i s -a s a a n d a + h.

I n t h e t r i a n g l e P Q R, w e c a n s e e t h a t :

E x a m p l e s

C a l c u l a t e t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o f t h e f u n c t i o n f ( x ) = x2

− x i n t h e i n t e r v a l [ 1 , 4 ] .

A s t o c k m a r k e t i n d e x i n c r e a s e d f r o m 1 , 3 5 0 t o 1 , 5 1 0 p o i n t s i n

o n e y e a r . F i n d t h e a v e r a g e m o n t h l y r a t e o f c h a n g e .

D e r i v a t i v e o f a F u n c t i o n a t a P o i n t

T h e d e r i v a t i v e o f t h e f u n c t i o n f ( x ) a t x = a i s t h e v a l u e o f t h e

E x a m p l e s

F i n d t h e d e r i v a t i v e o f t h e f u n c t i o n f ( x ) = 3 x2 a t x = 2 .

G e o m e t ri c I n t e rp r e t a ti o n o f t h e D e ri v a t i v e

W h e n h a p p r o a c h e s z e r o , t h e p o i n t Q a p p r o a c h e s p o i n t P . A t

t h i s t i m e , t h e s e c a n t l i n e b e g i n s t o r e s e m b l e t h e t a n g e n t t o t h e

f u n c t i o n f ( x ) a t P o i n t P , a n d t h u s t h e a n g l e α t e n d s t o b e β .

T h e s l o p e o f t h e t a n g e n t t o t h e c u r v e a t a p o i n t i s e q u a l

mt = f ' ( a )

E x a m p l e s

G i v e n t h e p a r a b o l a f ( x ) = x2, f i n d t h e p o i n t s w h e r e t h e t a n g e n t

l i n e i s p a r a l l e l t o t h e b i s e c t o r o f t h e f i r s t q u a d r a n t .

T h e b i s e c t o r o f t h e f i r s t q u a d r a n t h a s t h e e q u a t i o n y = x , s o i t s

s l o p e i s m = 1 .

S i n c e t h e t w o l i n e s a r e p a r a l l e l t h e y h a v e t h e s a m e s l o p e , s o :

f ' ( a ) = 1.

S i n c e t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t t o t h e c u r v e e q u a l s t h e

D e r i v a ti v e F u n c t i o n

T h e d e r i v a t i v e f u n c t i o n o f a f u n c t i o n f ( x ) i s a f u n c t i o n t h a t

a s s o c i a t e s t o e a c h r e a l n u m b e r i t s d e r i v a t i v e, i f i t e x i s t s . I t i s

d e n o t e d b y f ' ( x ).

E x a m p l e s

C a l c u l a t e t h e d e r i v a t i v e f u n c t i o n o f f ( x ) = x2 _{− x + 1 .}

F i n d f ' ( − 1 ) , f ' ( 0 ) a n d f ' ( 1 ) .

f ' ( − 1 ) = 2 ( − 1 ) − 1 = − 3

f ' ( 0 ) = 2 ( 0 ) − 1 = − 1

f ' ( 1 ) = 2 ( 1 ) − 1 = 1

L e f t - H a n d D e r i v a t i v e

R i g h t - H a n d D e r i v a t i v e

A f u n c t i o n i s d i f f e r e n t i a b l e a t a p o i n t i f a n d o n l y i f i t i s

d i f f e r e n t i a b l e f r o m t h e l e f t a n d r i g h t s i d e a n d t h e s e d e r i v a t i v e s

c o i n c i d e .

D e r i v a ti v e of P ie c e w i s e F u n c t i on s

W i t h p i e c e w i s e f u n c t i o n s , i t i s n e c e s s a r y t o s t u d y t h e

d e r i v a t i v e s a t t h e p o i n t s o f l a t e r a l s e p a r a t i o n o f t h e d i f f e r e n t

p i e c e s .

S t u d y t h e d i f f e r e n t i a b i l i t y o f t h e f u n c t i o n f ( x ) = | x | .

T h e f u n c t i o n i s n o t d i f f e r e n t i a b l e a t x = 0 .

D i f f e re n t i a b il i t y a n d C o n t i n u i t y

I f a f u n c t i o n i s d i f f e r e n t i a b l e a t p o i n t x = a , t h e n t h e

T h e r e c i p r o c a l m a y n o t b e t r u e , t h a t i s t o s a y , t h e r e a r e

f u n c t i o n s t h a t a r e c o n t i n u o u s a t a p o i n t w h i c h , h o w e v e r , m a y n o t b e

d i f f e r e n t i a b l e .

E x a m p l e s

S t u d y t h e c o n t i n u i t y a n d d i f f e r e n t i a b i l i t y o f t h e f o l l o w i n g

f u n c t i o n s :

F i r s t , s t u d y t h e c o n t i n u i t y a t x = 0 .

T h e f u n c t i o n i s n o t c o n t i n u o u s , t h e r e f o r e i t i s n o t

d i f f e r e n t i a b l e .

T h i s f u n c t i o n i s c o n t i n u o u s , s o t h e d i f f e r e n t i a b i l i t y c a n b e

s t u d i e d .

I t i s n o t d i f f e r e n t i a b l e a t x = 0 .

f ( x ) = x2 a t x = 0 .

T h e f u n c t i o n i s c o n t i n u o u s a t x = 0 , s o t h e d i f f e r e n t i a b i l i t y c a n

b e s t u d i e d .

D e r i v a ti v e R u l es

a , e a n d k a r e c o n s t a n t s ( r e a l n u m b e r s ).

u a n d v a r e f u n c t i o n s .

D e r i v a t i v e o f a C o n s t a n t

D e r i v a t i v e o f C o n s t a n t M u l t i p l e

D e r i v a t i v e o f x

P o w e r R u l e

D e r i v a t i v e o f a R o o t

P r o d u c t R u l e

Q u o t i e n t R u l e

R e c i p r o c a l R u l e

D e r i v a t i v e o f a n E x p o n e n t i a l F u n c t i o n

D e r i v a t i v e o f a L o g a r i t h m i c F u n c t i o n

D e r i v a t i v e o f a C o s i n e F u n c t i o n

D e r i v a t i v e o f a T a n g e n t F u n c t i o n

D e r i v a t i v e o f a C o t a n g e n t F u n c t i o n

D e r i v a t i v e o f a S e c a n t F u n c t i o n

D e r i v a t i v e o f a C o s e c a n t F u n c t i o n

D e r i v a t i v e o f a n A r c s i n e

D e r i v a t i v e o f a n A r c t a n g e n t

D e r i v a t i v e o f a n A r c c o t a n g e n t

D e r i v a t i v e o f a n A r c s e c a n t

D e r i v a t i v e o f a n A r c c o s e c a n t

F u n c t i o n a l P o w e r R u l e

.

D e r i v a t i v e o f a n I m p l i c i t F u n c t i o n

n t h D e r i v a ti v e

I f t h e d e r i v a t i v e o f a f u n c t i o n , t h e f i r s t d e r i v a t i v e, f ' ( x ), i s

d i f f e r e n t i a t e d , a n e w f u n c t i o n i s o b t a i n e d c a l l e d t h e s e c o n d

d e r i v a t i v e, f ' ' ( x ).

I f t h i s f u n c t i o n i s d i f f e r e n t i a t e d a g a i n , a t h i r d d e r i v a t i v e ,

f ' ' ' ( x ), i s o b t a i n e d .

I f t h e t h i r d d e r i v a t i v e , f ' ' ' ( x ), i s d i f f e r n t i a t e d , t h e f o u r t h

d e r i v a t i v e , f 'v_{( x ), i s o b t a i n e d . T h i s p r o c e s s c a n c o n t i n u e a n d t h e s e}

r e s u l t a n t f u n c t i o n s a r e r e f e r r e d t o a s h i g h e r o r d e r d e r i v a t i v e s .

E x a m p l e s

n t h D e r i v a ti v e

A g e n e r a l f o r m u l a f o r a l l o f t h e s u c c e s s i v e d e r i v a t i v e s e x i s t s .

T h i s f o r m u l a i s c a l l e d t h e n t h d e r i v a t i v e , f 'n_{( x ).}

E x a m p l e s

C a l c u l a t e t h e n t h d e r i v a t i v e o f :

D e r i v a ti v e of a n I m p l i c i t F u n c t io n

T o d i f f e r e n t i a t e a f u n c t i o n i n i m p l i c i t f o r m , a p p l y t h e r u l e s

a l r e a d y m e n t i o n e d a n d b e a r i n m i n d t h a t :

x ' = 1.

I n g e n e r a l y ' ≠ 1.

E x a m p l e s

W h e n t h e f u n c t i o n s a r e m o r e c o m p l e x , t h e r e i s a r u l e t o

f a c i l i t a t e t h e c a l c u l a t i o n :

E x a m p l e s

D i f f e re n t i a l s

I f f ( x ) i s a d i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n , t h e d i f f e r e n t i a l o f t h e

f u n c t i o n c o r r e s p o n d i n g t o t h e i n c r e a s e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e ,

T h e d i f f e r e n t i a l a t a p o i n t r e p r e s e n t s t h e i n c r e a s e o f t h e y

-c o o r d i n a t e o f t h e t a n g e n t , w h i -c h -c o r r e s p o n d s t o a n i n -c r e a s e i n t h e

i n d e p e n d e n t v a r i a b l e , h.

E x a m p l e s

C a l c u l a t e t h e i n c r e a s e i n t h e a r e a o f a s q u a r e o f 2 m2 _{w h e n}

e a c h s i d e i s i n c r e a s e d b y 1 m m .

S = x2 d S = 2 x d x

d ( S ) = 2 — 2 — 0 . 0 0 1 = 0 . 0 0 4 m2

I n t e r v a l s o f I n c r e a s e a n d D e c r ea s e

I n c r e a s i n g

I f f i s d i f f e r e n t i a b l e a t a :

D e c r e a s i n g

I f f i s d i f f e r e n t i a b l e a t a :

C a l c u l a t i o n o f t h e I n t e r v a l s o f I n c r e a s e a n d D e c r e a s e

S t u d y t h e i n t e r v a l s o f i n c r e a s e a n d d e c r e a s e o f :

T o d e t e r m i n e t h e i n t e r v a l s o f i n c r e a s e a n d d e c r e a s e , p e r f o r m

t h e f o l l o w i n g s t e p s :

1 .

D i f f e r e n t i a t e t h e f u n c t i o n .

f ' ( x ) = 3 x2 _{− 3}

2 .

O b t a i n t h e r o o t s o f t h e f i r s t d e r i v a t i v e : f ' ( x ) = 0 .

3 x2 − 3 = 0 x = - 1 x = 1

3 .

F o r m o p e n i n t e r v a l s w i t h t h e z e r o s ( r o o t s ) o f t h e f i r s t

d e r i v a t i v e a n d t h e p o i n t s o f d i s c o n t i n u i t y ( i f a n y ) .

4 .

T a k e a v a l u e f r o m e v e r y i n t e r v a l a n d f i n d t h e s i g n t h e y

h a v e i n t h e f i r s t d e r i v a t i v e .

I f f ' ( x ) > 0 i s i n c r e a s i n g .

I f f ' ( x ) < 0 i s d e c r e a s i n g .

O n t h e i n t e r v a l ( − ∞ , − 1 ) , t a k e x = − 2 , f o r e x a m p l e .

f ' ( − 2 ) = 3 ( − 2 )2 − 3 > 0

O n t h e i n t e r v a l ( − 1 , 1 ) , t a k e x = 0 , f o r e x a m p l e .

f ' ( 0 ) = 3 ( 0 )2 − 3 < 0

O n t h e i n t e r v a l ( 1 , ∞ ) , t a k e x = 2 , f o r e x a m p l e .

5 .

W r i t e t h e i n t e r v a l s o f i n c r e a s e a n d d e c r e a s e :

I n c r e a s i n g : ( − ∞ , − 1 ) ( 1 , ∞ )

D e c r e a s i n g : ( − 1 , 1 )

M a x i m a a n d M i ni m a

I f f i s d i f f e r e n t i a b l e a t a, a i s a l o c a l e x t r e m e i f :

1 .

f ' ( a ) = 0.

2 .

f ' ' ( a ) ≠ 0.

L o c a l M a x i m a

I f f a n d f ' a r e d i f f e r e n t i a b l e a t a, a i s a l o c a l m a x i m u m i f :

1 .

f ' ( a ) = 0

2 .

f ' ' ( a ) < 0

L o c a l M i n i m a

I f f a n d f ' a r e d i f f e r e n t i a b l e a t a, a i s a l o c a l m i n i m u m i f :

1 .

f ' ( a ) = 0

2 .

f ' ' ( a ) > 0

C a l c u l a t i o n o f t h e M a x i m u m a n d M i n i m u m

S t u d y t h e m a x i m u m a n d m i n i m u m o f t h e f o l l o w i n g f u n c t i o n :

f ( x ) = x3 _{− 3 x + 2}

T o f i n d t h e l o c a l e x t r e m e s , f o l l o w t h e s e s t e p s :

1 .

C a l c u l a t e t h e f i r s t d e r i v a t i v e a n d i t s r o o t s .

x = − 1 x = 1 .

2 .

C a l c u l a t e t h e 2 n d d e r i v a t i v e , a n d d e t e r m i n e t h e s i g n t h a t

t h e z e r o s t a k e f r o m t h e f i r s t d e r i v a t i v e :

f ' ' ( x ) > 0 M i n i m u m .

f ' ' ( x ) < 0 M a x i m u m .

f ' ' ( x ) = 6 x

f ' ' ( − 1 ) = − 6 M a x i m u m .

f ' ' ( 1 ) = 6 M i n i m u m .

3 .

C a l c u l a t e t h e i m a g e ( i n t h e f u n c t i o n ) o f t h e r e l a t i v e

e x t r e m e s .

f ( − 1 ) = ( − 1 )3 _{− 3 ( − 1 ) + 2 = 4}

f ( 1 ) = ( 1 )3 _{− 3 ( 1 ) + 2 = 0}

M a x i m u m ( − 1 , 4 ) M i n i m u m ( 1 , 0 )

I f t h e i n c r e a s e a n d d e c r e a s e o f a f u n c t i o n h a s b e e n s t u d i e d

t h e f o l l o w i n g c a n b e d e t e r m i n e d :

1 .

T h e m a x i m u m p o i n t s o f t h e f u n c t i o n , i n w h i c h i t p a s s e s

f r o m i n c r e a s i n g t o d e c r e a s i n g .

2 .

T h e m i n i m u m p o i n t s o f t h e f u n c t i o n , i n w h i c h i t p a s s e s f r o m

E x a m p l e

F i n d t h e m a x i m u m a n d m i n i m u m :

T h e r e i s a m i n i m u m a t x = 3 .

m i n i m u m ( 3 , 2 7 / 4 )

A t x = 1 , t h e r e i s n o m a x i m u m f o r x = 1 b e c a u s e i t d o e s n o t

b e l o n g i n t h e d o m a i n o f t h e f u n c t i o n .

O p t im i z a t i o n

S t e p s f o r S o l v i n g O p t i m i z a t i o n P r o b l e m s

1 .

W r i t e t h e f u n c t i o n t h a t i s t o b e m a x i m i z e d o r m i n i m i z e d .

2 .

W r i t e a n e q u a t i o n r e l a t i n g t h e d i f f e r e n t v a r i a b l e s o f t h e

p r o b l e m , i n t h e c a s e t h a t t h e r e i s m o r e t h a n o n e v a r i a b l e .

3 .

W o r k o u t a n e q u a t i o n f o r o n e o f t h e v a r i a b l e s a n d r e p l a c e i t

4 .

D i f f e r e n t i a t e t h e f u n c t i o n a n d e q u a t e t o z e r o t o f i n d t h e

l o c a l e x t r e m a .

5 .

C a l c u l a t e t h e 2 n d d e r i v a t i v e a n d v e r i f y t h e r e s u l t .

E x a m p l e

D e t e r m i n e t h e l e n g t h o f t h e s i d e s o f a n i s o s c e l e s t r i a n g l e

m e a s u r i n g 1 2 m e t r e s i n p e r i m e t r e t h a t m a x i m i z e i t s a r e a .

T h e f u n c t i o n t h a t n e e d s t o b e m a x i m i z e d i s t h e a r e a o f t h e

t r i a n g l e :

R e l a t e t h e v a r i a b l e s :

2 x + 2 y = 1 2

x = 6 − y

D i f f e r e n t i a t e , e q u a t e t o z e r o a n d c a l c u l a t e t h e r o o t s .

D e t e r m i n e t h e 2 n d d e r i v a t i v e a n d r e p l a c e b y 2 . D i s c a r d t h e

s o l u t i o n y = 0 b e c a u s e t h e r e i s n o t r i a n g l e w h i c h h a s a s i d e o f z e r o .

T h e r e f o r e i t r e m a i n s p r o v e n t h a t a t y = 2 t h e r e i s a m a x i m u m .

T h e b a s e ( 2 y ) m e a s u r e s 4 m a n d t h e s i d e o b l i q u e s ( x ) a l s o a r e

4 m , s o t h e t r i a n g l e o f m a x i m u m a r e a w o u l d b e a n e q u i l a t e r a l

t r i a n g l e .

I n t e r v a l s o f C o n c a v i t y a n d C o n v e x i t y

S t u d y t h e i n t e r v a l s o f c o n c a v i t y a n d c o n v e x i t y o f t h e f o l l o w i n g

f u n c t i o n :

f ( x ) = x3 _{− 3 x + 2}

T o s t u d y t h e c o n c a v i t y a n d c o n v e x i t y , p e r f o r m t h e f o l l o w i n g

s t e p s :

1 .

F i n d t h e s e c o n d d e r i v a t i v e a n d c a l c u l a t e i t s r o o t s .

f ' ' ( x ) = 6 x 6 x = 0 x = 0 .

2 .

F o r m o p e n i n t e r v a l s w i t h t h e z e r o s ( r o o t s ) o f t h e s e c o n d

d e r i v a t i v e a n d t h e p o i n t s o f d i s c o n t i n u i t y ( i f a n y ) .

3 .

C h o o s e a v a l u e i n e a c h i n t e r v a l a n d d e t e r m i n e t h e s i g n t h a t

i s i n t h e s e c o n d d e r i v a t i v e .

I f f ' ' ( x ) > 0 i t i s c o n v e x .

I f f ' ' ( x ) < 0 i t i s c o n c a v e .

F o r t h e i n t e r v a l ( − ∞ , 0 ) , t a k e x = − 1 , f o r e x a m p l e .

f ' ' ( − 1 ) = 6 ( − 1 ) < 0 C o n c a v e .

4 .

W r i t e t h e i n t e r v a l s :

C o n v e x i t y : ( 0 , ∞ )

C o n c a v i t y : ( − ∞ , 0 )

E x a m p l e o f I n t e r v a l s o f C o n c a v i t y a n d C o n v e x i t y

C o n c a v e:

I n f l e c t i o n P o i n ts

A t a n i n f l e c t i o n p o i n t , t h e f u n c t i o n i s n o t c o n c a v e o r c o n v e x

b u t i s c h a n g i n g f r o m c o n c a v i t y t o c o n v e x i t y o r v i c e v e r s a .

I f f a n d f ' a r e d i f f e r e n t i a b l e a t a .

C a l c u l a t i o n o f t h e P o i n t s o f I n f l e c t i o n

C a l c u l a t e t h e i n f l e c t i o n p o i n t s o f :

f ( x ) = x3 _{− 3 x + 2}

T o f i n d t h e i n f l e c t i o n p o i n t s , f o l l o w t h e s e s t e p s :

1 .

F i n d t h e s e c o n d d e r i v a t i v e a n d c a l c u l a t e i t s r o o t s .

f ' ' ( x ) = 6 x 6 x = 0 x = 0 .

2 .

D e t e r m i n e t h e 3 r d d e r i v a t i v e a n d c a l c u l a t e t h e s i g n t h a t t h e

z e r o s t a k e f r o m t h e s e c o n d d e r i v a t i v e a n d i f :

f ' ' ' ( x ) ≠ 0 T h e r e i s a n i n f l e c t i o n p o i n t .

f ( 0 ) = ( 0 )3 − 3 ( 0 ) + 2 = 2

I n f l e c t i o n p o i n t : ( 0 , 2 )

E x a m p l e

C a l c u l a t e t h e p o i n t s o f i n f l e c t i o n o f t h e f u n c t i o n :

D o m a i n :

T h e r e i s a n i n f l e c t i o n p o i n t a t x = 0 , s i n c e t h e f u n c t i o n

c h a n g e s f r o m c o n c a v e t o c o n v e x .

G r a p h i n g F u n c t i o n s

T o r e p r e s e n t a f u n c t i o n g r a p h i c a l l y , c a l c u l a t e t h e p o i n t s o r

i n t e r v a l s i n t h e f u n c t i o n w h e r e i t c h a n g e s i t s b e h a v i o r . T o d o s o ,

f i n d t h e f o l l o w i n g m a t h e m a t i c a l c h a r a c t e r i s t i c s :

1 . D o m a i n o f t h e f u n c t i o n.

2 . I n t e r s e c t i o n s w i t h t h e x - a x i s a n d y - a x i s.

3 . A s y m p t o t e s.

4 . I n c r e a s e s a n d d e c r e a s e s.

5 . M a x i m a a n d m i n i m a.

6 . C o n c a v i t y a n d c o n v e x i t y.

7 . I n f l e c t i o n p o i n t s.

R e p r e s e n t a t i o n o f a F u n c t i o n E x a m p l e

D o m a i n

x - i n t e r c e p t s

A s y m p t o t e s

H o r i z o n t a l a s y m p t o t e

T h e r e a r e n o v e r t i c a l o r o b l i q u e a s y m p t o t e s .

I n c r e a s e s a n d D e c r e a s e s

M i n i m u m

M a x i m u m

I n f l e c t i o n P o i n t s

G r a p h t h e F u n c t i o n

R o l l e ’ s T h e o r em

I f a f u n c t i o n i s :

C o n t i n u o u s o n [ a , b ] .

D i f f e r e n t i a b l e o n ( a , b ) .

f ( a ) = f ( b ).

T h e g r a p h i c a l i n t e r p r e t a t i o n o f R o l l e ' s T h e o r e m s t a t e s t h a t

t h e r e i s a p o i n t w h e r e t h e t a n g e n t i s p a r a l l e l t o t h e x - a x i s .

E x a m p l e s

1 .

G i v e n t h e f u n c t i o n , d e t e r m i n e

i f R o l l e ' s T h e o r e m i s v a r i f i e d o n t h e i n t e r v a l [ 0 , 3 ] ?

F i r s t , v e r i f y t h a t t h e f u n c t i o n i s c o n t i n u o u s a t x = 1 .

S e c o n d l y , c h e c k i f t h e f u n c t i o n i s d i f f e r e n t i a b l e a t x = 1 .

T h e f u n c t i o n i s n o t d i f f e r e n t i a b l e o n t h e i n t e r v a l ( 0 , 3 ) a n d

2 .

I s R o l l e ' s T h e o r e m a p p l i c a b l e t o t h e f u n c t i o n f ( x ) = l n ( 5 −

x2_{) o n t h e i n t e r v a l [ − 2 , 2 ] ?}

F i r s t , c a l c u l a t e t h e d o m a i n o f t h e f u n c t i o n .

T h e f u n c t i o n i s c o n t i n u o u s o n t h e i n t e r v a l [ − 2 , 2 ] a n d

d i f f e r e n t i a b l e o n ( − 2 , 2 ) , b e c a u s e t h e i n t e r v a l s a r e c o n t a i n e d i n

.

A l s o , i t i s d e t e r m i n e d t h a t f ( − 2 ) = f ( 2 ) , t h e r e f o r e R o l l e ' s

t h e o r e m i s a p p l i c a b l e t o t h i s f u n c t i o n .

3 .

V e r i f y t h a t t h e e q u a t i o n x7 + 3 x + 3 = 0 h a s o n l y o n e r e a l

s o l u t i o n .

T h e f u n c t i o n f ( x ) = x7 _{+ 3 x + 3 i s c o n t i n u o u s a n d d i f f e r e n t i a b l e}

a t —

I n t e r m e d i a t e V a l u e T h e o r e m.

f ( − 1 ) = − 1

f ( 0 ) = 3

T h e e q u a t i o n h a s a t l e a s t o n e s o l u t i o n i n t h e i n t e r v a l ( - 1 , 0 ) .

R o l l e ' s t h e o r e m.

A s t h e d e r i v a t i v e i s n o t a n n u l l e d i n a n y v a l u e , i t c o n t r a d i c t s

R o l l e ' s t h e o r e m a n d t h e r e f o r e o n l y h a s o n e r e a l r o o t .

M e a n V a l u e T h eo r em

I f a f u n c t i o n i s :

C o n t i n u o u s o n [ a , b ] .

D i f f e r e n t i a b l e o n ( a , b ) .

T h e n , t h e r e e x i s t s a p o i n t , c ( a , b ) s u c h t h a t :

T h e g e o m e t r i c i n t e r p r e t a t i o n o f t h e M e a n V a l u e T h e o r e m t e l l s

u s t h a t t h e r e i s a p o i n t w h e r e t h e t a n g e n t i s p a r a l l e l t o t h e s e c a n t .

R o l l e ' s T h e o r e m i s a s p e c i a l c a s e o f t h e M e a n V a l u e T h e o r e m,

E x a m p l e

C a n t h e M e a n V a l u e T h e o r e m b e a p p l i e d t o f ( x ) = x3 o n [ − 1 ,

2 ] ?

T h e f u n c t i o n f ( x ) i s c o n t i n u o u s o n [ − 1 , 2 ] a n d d i f f e r e n t i a b l e o n

( − 1 , 2 ) s o t h e M e a n V a l u e T h e o r e m c a n b e a p p l i e d :

L ' H ô p i t a l ' s R u le

I f o r ,

w h e r e f a n d g a r e d i f f e r e n t i a b l e a n d e x i s t s , t h i s l i m i t

c o i n c i d e s w i t h .

T o a p p l y t h e L ' H ô p i t a l ' s r u l e , t h e r e m u s t b e a l i m i t i n t h e

f o r m , w h e r e a c a n b e a n u m b e r o r i n f i n i t e , a n d h a v e t h e

I n f i n i t y M i n u s I n f i n i t y

F o r t h e i n d e t e r m i n a t e f o r m o f i n f i n i t y m i n u s i n f i n i t y, t h e

f r a c t i o n s p u t t h e m s e l v e s i n t o a c o m m o n d e n o m i n a t o r .

Z e r o T i m e s I n f i n i t y

T h e i n d e t e r m i n a t e f o r m o f z e r o t i m e s i n f i n i t y i s t r a n s f o r m e d

I n d e t e r m i n a t e F o r m s

I n t h e i n d e t e r m i n a t e f o r m s z e r o t o t h e p o w e r o f z e r o,

i n f i n i t y t o t h e p o w e r o f z e r o a n d o n e t o t h e p o w e r o f i n f i n i t y;

m a k e t h e f o l l o w i n g t r a n s f o r m a t i o n s :

T h e v a l u e o f a s t o c k o n a p a r t i c u l a r d a y c a n b e d e r i v e d b y t h e

f o l l o w i n g f o r m u l a : ( S u p p o s i n g t h a t t h e s t o c k e x c h a n g e w o r k s e v e r y

d a y o f o n e m o n t h f o r 3 0 d a y s . )

C = 0 . 0 1 x3 − 0 . 4 5 x2 + 2 . 4 3 x + 3 0 0

1 .

D e t e r m i n e t h e m a x i m u m a n d m i n i m a l v a l u e s , a s w e l l a s t h e

d a y s i n w h i c h t h e y h a p p e n e d .

2 .

D e t e r m i n e t h e t i m e p e r i o d s i n w h i c h s t o c k s r o s e o r f e l l .

5

S u p p o s e t h a t t h e y i e l d , r , i n t h e % o f s t u d e n t s i n a o n e h o u r e x a m i s g i v e n b y :

r = 3 0 0 t ( 1 − t ) .

W h e r e 0 < t < 1 i s t h e t i m e i n h o u r s .

1 .

A t w h a t m o m e n t s d o e s t h e y i e l d i n c r e a s e o r d e c r e a s e ?

2 .

A t w h a t m o m e n t s i s t h e y i e l d z e r o ?

3 .

W h e n i s t h e b i g g e s t y i e l d o b t a i n e d a n d w h i c h i s ?

G r a p h in g t h e f o ll o w i n g f u n c t i o n s

1 0 .

1 1 .

D o m a i n

x - i n t e r c e p t

N o x - i n t e r c e p t

y - i n t e r c e p t

N o y - i n t e r c e p t

A s y m p t o t e s

H o r i z o n t a l a s y m p t o t e :

V e r t i c a l a s y m p t o t e :

M á x i m o y m í n i m o s

T h e r e a r e n o l o c a l e x t r e m a .

C o n c a v i t y a n d c o n v e x i t y

G r a p h i n g

G r a p h :

D o m a i n

x - i n t e r c e p t s

y - i n t e r c e p t

A s y m p t o t e s

N o v e r t i c a l o r o b l i q u e a s y m p t o t e s .

I n c r e a s e a n d d e c r e a s e

M a x i m u n

C o n c a v i t y a n d c o n v e x i t y

G r a p h i n g

G r a p h :

D o m a i n

x - i n t e r c e p t s

A s y m p t o t e s

H o r i z o n t a l a s y m p t o t e :

V e r t i c a l a s y m p t o t e :

I n c r e a s e a n d d e c r e a s e

M a x i m u n

I n f l e c t i o n p o i n t s

G r a p h i n g

O p t im i z a t i o n Wo r d P r o b le m s

2

A n i s o s c e l e s t r i a n g l e w i t h a p e r i m e t e r o f 3 0 c m t u r n s a b o u t t h e v e r t i c a l a x i s g e n e r a t i n g a t h r e e d i m e n s i o n a l c o n e. W h a t s h o u l d

t h e l e n g t h o f t h e b a s e b e i n o r d e r t o m a x i m i z e t h e v o l u m e o f t h e

r e s u l t a n t c o n e ?

3

A m a n u f a c t u r e r s e e k s t o p r o d u c e a c y l i n d r i c a l c a n ( c o m p l e t e w i t h a l i d ) w i t h a c a p a c i t y o f o n e l i t e r . W h a t s h o u l d t h e d i m e n s i o n s

o f t h e c a n b e i n o r d e r t o m i n i m i z e t h e a m o u n t o f m e t a l u s e d ?

4

D e c o m p o s e t h e n u m b e r 4 4 i n t o t w o s u m m a n d s s u c h t h a t f i v e t i m e s t h e s q u a r e o f t h e f i r s t s u m m a n d o v e r s i x t i m e s t h e s q u a r e o f

t h e s e c o n d s u m m a n d i s t h e m i n i m u m p o s s i b l e r e s u l t a n t .

5

A 1 m l o n g p e i c e o f w i r e n e e d s t o b e d i v i d e d i n t o t w o p i e c e s w h i c h w i l l f o r m t h e s h a p e o f a c i r c l e a n d a s q u a r e . D e t e r m i n e t h e

l e n g t h o f e a c h p i e c e s o t h a t t h e s u m o f t h e a r e a s o f t h e c i r c l e a n d

s q u a r e i s m i n i m i z e d .

6

F i n d t h e d i m e n s i o n s o f t h e l a r g e s t p o s s i b l e r e c t a n g l e t h a t c a n b e d r a w n i n a n i s o s c e l e s t r i a n g l e w h o s e b a s e i s 1 0 c m a n d h e i g h t ,

1 5 c m .

7

T h e s u r f a c e a r e a c o s t o f c o n s t r u c t i o n p e r m2 f o r a l a r g e b o x i s $ 5 0 f o r t h e b a s e , $ 6 0 f o r t h e t o p a n d $ 4 0 f o r t h e w a l l s . F i n d t h e

d i m e n s i o n s o f t h i s b o x t h a t m i n i m i z e t h e c o s t i f i t s v o l u m e h a s t o b e

9 m3 _{a n d i t s h e i g h t , 1 m .}

8

C u t t i n g s q u a r e s o u t o f e a c h c o r n e r o f a s h e e t o f c a r d b o a r d c r e a t e s a b o x w i t h o u t a l i d . I f t h e c a r d b o a r d s h e e t h a s d i m e n s i o n s

o f 8 0 c m x 5 0 c m , d e t e r m i n e t h e s i z e o f e a c h e q u a l l y s i z e d s q u a r e

t o b e r e m o v e d f r o m t h e c a r d b o a r d s h e e t s ( s e e f i g u r e ) i n o r d e r t o

M a x i m u m a n d Mi n i m u m W or d P ro b l e m s

1

I f t h e m o n e t a r y v a l u e o f a r u b y i s p r o p o r t i o n a l t o t h e s q u a r e o f i t s w e i g h t , s p l i t a r u b y o f 2 g r a m s i n t w o p a r t s s o t h a t t h e s u m o f

t h e v a l u e s o f t h e t w o r u b i e s f o r m e d i s t h e m i n i m a l p o s s i b l e a m o u n t .

2

F i n d , a m o n g a l l t h e p o s s i b l e s t r a i g h t l i n e s t h r o u g h t h e p o i n t ( 1 , 2 ) , a l i n e t h a t f o r m s a t r i a n g l e o f m i n i m u m a r e a w i t h t h e

p o s i t i v e p a r t s o f t h e c a r t e s i a n a x e s .

3

A b u o y f o r m e d b y t w o c o n e s o f s h e e t i r o n j o i n e d b y i t s b a s e s h a s t o b e c o n s t r u c t e d b y t w o c i r c u l a r p l a t e s w i t h a r a d i u s o f 3 m .

C a l c u l a t e t h e d i m e n s i o n s o f t h e b u o y s o t h a t i t s v o l u m e i s

m a x i m i z e d .

4

A s h e e t o f p a p e r m u s t h a v e 1 8 c m2 o f p r i n t e d t e x t , t o p a n d b o t t o m m a r g i n s o f 2 c m i n h e i g h t a n d l a t e r a l m a r g i n s o f 1 c m i n

w i d t h . D e t e r m i n e t h e d i m e n s i o n s o f t h e e n t i r e s h e e t o f p a p e r t h a t

m i n i m i z e i t s s u r f a c e a r e a .

5

T h e m o n t h l y n e t p r o f i t , i n m i l l i o n o f d o l l a r s , o f a c o m p a n y t h a t m a n u f a c t u r e s b u s e s i s g i v e n b y t h e f u n c t i o n :

B ( x ) = 1 . 2 x − ( 0 . 1 x )3

1 .

D e t e r m i n e t h e a m o u n t o f b u s e s n e e d e d t o b e m a n u f a c t u r e d

e a c h m o n t h i n o r d e r t o m a x i m i z e p r o f i t s .

2 .

C a l c u l a t e t h e p r o f i t e a r n e d b y p r o d u c i n g t h i s q u a n t i t y o f

b u s e s i n o n e m o n t h .

6

A g a r d e n p r e s e n t l y h a s 2 5 t r e e s , e a c h p r o d u c i n g 6 0 0 u n i t s o f f r u i t . I t i s a n t i c i p a t e d t h a t f o r e v e r y a d d i t i o n a l t r e e p l a n t e d , t h e

p r o d u c t i o n o f e a c h t r e e w i l l d i m i n i s h b y 1 5 u n i t s o f f r u i t . C a l c u l a t e :

1 .

T h e c u r r e n t p r o d u c t i o n o f t h e g a r d e n .

2 .

T h e p r o d u c t i o n o f e a c h t r e e a f t e r a d d i n g x m o r e t r e e s .

3 .

T h e p r o d u c t i o n o f t h e e n t i r e g a r d e n i f x m o r e t r e e s a r e

p l a n t e d .

4 .

W h a t a m o u n t o f t r e e s s h o u l d b e i n t h e g a r d e n i n o r d e r t o

m a x i m i z e p r o d u c t i o n ?