AB FD AC DE BC FE

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(1)

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Dos figuras geométricas son congruentes si tienen el mismo tamaño y la misma forma. DEFINICIÓN:

Dos triángulos son congruentes si tienen sus lados respectivamente congruentes, lo mismo que sus ángulos.

Si

ABC

DEF

, entonces:

;

;

AB

FD AC

DE BC

FE

;

;

A

 

D

B

 

F

C

E

Lados correspondientes son los que se oponen a ángulos congruentes y viceversa.

Hay seis condiciones, que se pueden reducir a 3 mediante teoremas. Antes de demostrar los teoremas se da el siguiente postulado

POSTULADO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. POSTULADO LADO – ANGULO – LADO (L – A – L)

Dos triángulos son congruentes si dos lados y el ángulo que forman en uno, son respectivamente congruentes a los dos lados y el ángulo que forman en el otro.

Si

;

;

AB

DF BC

FE

B

F

Entonces

ABC

DEF

DEFINICIÓN: Un corolario es unaproposición que no necesita prueba particular, sino que se deduce fácilmente de lo demostrado antes.

TEOREMA: (COROLARIO DEL POSTULADO ANTERIOR)

Si dos triángulos rectángulos tienen sus catetos congruentes, entonces son congruentes.

;

(2)

TEOREMA

En todo triangulo isósceles los ángulos de la base son congruentes

HIPÓTESIS:

ABC

es isósceles con CA CB

TESIS:

CAB

CBA

RAZÓN AFIRMACIÓN

1. En

CA



se toma un punto D y en

CB



se toma un punto E, tal que CD CE

1. Postulado de construcción de segmentos

2. Trazamos

DB

y

AE

2. Dos puntos determinan un segmento 3.

CA

CB

3. De hipótesis

4.

CD

CE

4. De 1. Construcción. 5.

C

C

5. Propiedad reflexiva 6. CAE

CBD

6. L – A – L. De 3, 4, 5

7. CAECBD 7. De 6. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes.

8.

CD

CE

8. De 1

9. CA + AD = CB + BE 9. De 8. Adición de segmentos 10. CA + AD = CA + BE 10. Sustitución de 3 en 9 11.

AD

BE

11. De 10. La ley cancelativa

12.

CDB

CEA DB

;

AE

12. De 6. Partes correspondientes de triángulos congruentes

13.

ABD

EAB

13. De 11 y 12. L – A – L

14. EABDBA 14. De 13. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes.

15. CABCBA 15. De 14 y 7. Resta de ángulos. NOTA: Este teorema también se puede enunciar así: Si dos lados de un triangulo son congruentes entonces los ángulos opuestos a ellos son congruentes.

COROLARIO:

En un triangulo equilátero sus ángulos son congruentes, es decir es equiángulo.

HIPÓTESIS:

ABC

es un triángulo equilátero

(3)

TEOREMA

En todo triangulo isósceles la bisectriz del ángulo opuesto a la base es mediana, altura y pertenece a la mediatriz de la base.

HIPÓTESIS: CDes la bisectriz de ACB ABCes isósceles con CA CB

A – D – B

TESIS: CD es mediana, altura y pertenece a la mediatriz.

1. CA CB 1. De hipótesis.

2.

1

2

2. De hipótesis. Definición de bisectriz. 3.

CD

CD

3. Propiedad reflexiva

4.

CDA

CDB

4. De 1, 2 y 3. Postulado L – A – L

5.

AD

DB

5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.

6. D punto medio de

AB

6. De 5. Definición de punto medio 7.

CD

es mediana 7. De 6. Definición de mediana

8.

CDA

CDB

8. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes.

9. m (CDA) + m (CDB) = 180º 9. De hipótesis A – D – B. Forman un par lineal

10. m (CDA) + m (CDA) = 180º 10. Sustitución de 8 en 9.

11. 2m (CDA) = 180º, m (CDA) = 90º 11. De 10. Propiedad de los Reales

12. CD AB 12. De 11. Definición de perpendicularidad 13. CD es altura 13. De 12. Definición de altura

14.

CD



es mediatriz 14. De 12 y 6. Definición de mediatriz.

NOTA: Se demuestra también que si en un triangulo, una altura es mediana o bisectriz entonces el triangulo es isósceles. Que es el RECIPROCO del teorema anterior.

Demuéstrelo.

TEOREMA DE CONGRUENCIA. ANGULO LADO ANGULO (A – L – A)

Si dos triángulos tienen un lado congruente, adyacente a dos ángulos respectivamente congruentes, entonces los triángulos son congruentes.

HIPÓTESIS:

;

;

A

P AB

PQ

B

Q

TESIS:

ABC

PQR

(4)

TEOREMA DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. LADO-LADO-LADO (L – L – L) Si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente congruentes, entonces son congruentes.

HIPÓTESIS:

AB

DE

AC

DF

BC

EF

TESIS:

ABC

DEF

1. En el semiplano de borde



AB

que no contiene a C, se traza

AP



, tal que

y

BAP

D

AP

DF

1. Postulado de construcción de ángulos y segmentos.

2. Trazamos

PB

2. Dos puntos determinan un segmento 3.

AB

DE

3. De hipótesis.

4.

APB

DEF

4. De 3 y 1. L – A – L

5.

PB

EF

5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.

6. PB EF BC 6. De hipótesis y 5. Propiedad transitiva 7.

PBC

es isósceles 7. De 6 y definición de triangulo Isósceles 8.

BCP

BPC

8. De 7. En un triangulo isósceles a los lados

congruentes se oponen ángulos congruentes.

9.

AP

DF

AC

9. De hipótesis y de 1

10.

CAP

es isósceles 10. De 9. Definición de triangulo isósceles. 11. ACPAPC 11. De 10. En un triángulo isósceles a los

lados congruentes se oponen ángulos congruentes.

12. m (ACB) = m(ACP) + m(BCP) 12. Adición de ángulos. 13. m (APB) = m (APC) + m (BPC) 13. Adición de ángulos

14. m (APB) = m(ACP) + m(BCP) 14. Sustitución de 8 y 11 en 13 15. m (ACB) = m(APB) 15. De 12 y 14. Ley transitiva 16.

ABC

APB

16. De 15, 6, 9. L – A – L

(5)

EJERCICIOS RESUELTOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

 Demostrar que en un triangulo isósceles las bisectrices de los ángulos de la base son congruentes.

HIPÓTESIS:

ABC

es isósceles con

AB

AC

BD

y CE

son bisectrices

TESIS:

BD

CE

1.

m

ACB

m

ABC

1. De hipótesis. Los ángulos opuestos a los lados congruentes de un triangulo isósceles son congruentes.

2.

2

m

ACB

m

DBC

2. De hipótesis. Definición de bisectriz

3.

2

m

ABC

m

ECB

3. De hipótesis. Definición de bisectriz

4.

m

DBC

m

ECB

4. De 1, 2, 3. Por ser mitades de ángulos congruentes.

5. BC BC 5. Propiedad reflexiva. 6.

ECB

DBC

6. De 1, 4, 5. A – L – A

7.

BD

CE

7. De 6. Por ser lados correspondientes de triángulos congruentes.

 Si AB y CD se bisecan en un punto K, demostrar que

1)

AC

BD

2)

AD

BC

HIPÓTESIS: K es punto medio de AB

K es punto medio de CD

TESIS: AC BD y AD BC

1. K es punto medio de

AB

1. De hipótesis

2.

AK

KB

2. De 1. Definición de punto medio 3. K es punto medio de

DC

3. De hipótesis.

4.

CK

KD

4. De 3. Definición de punto medio. 5. AKCDKB 5. Por ser opuestos por el vértice. 6.

AKC

DKB

6. De 5, 4, 2. Postulado L – A – L

7. AC BD 7. De 6. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.

(6)

HIPÓTESIS:

ABC

es equilátero.

AE

BF

CD

TESIS:

EFD

es equilátero.

1.

A

B

C

1. De hipótesis. Un triangulo equilátero es equiángulo. 2.

AE

BF

CD

2. De hipótesis.

3. AB = BC = CA 3. De hipótesis. Definición de triangulo equilátero.

4. AE+EB=BF+FC=CD+DA 4. De 3. Adición de segmentos 5. AE+EB=AE+FC=AE+DA 5. Sustitución de 2 en 4

6. EB = FC = DA 6. De 5. Ley cancelativa 7.

AED

EBF

FCD

7. De 6, 2, 1. L – A – L 8.

DE

EF

FD

8. De7. Por ser lados

correspondientes en triángulos congruentes.

9.

DEF

es equilátero. 9. De 8. Definición de triangulo equilátero

HIPÓTESIS: DE AE ;

DE EC AE EB D A

 

D – F – H – B; A – G – H – C

TESIS: 1)

2)

CEG BEF CFH BGH

1.

D

A

1. De hipótesis. 2.

DE

AE

2. De hipótesis.

3. AEG = DEF 3. De hipótesis. Son ángulos rectos. 4.

DEF

EAG

4. De 1,2, 3, A – L – A

(7)

6. EFHEGH 6. De 5. Por tener el mismo suplemento 7. FEGFEG 7. Propiedad reflexiva

8.

EF

EG

8. De 4. Lados correspondientes en triángulos congruentes 9.

CEG

BEF

9. De 6, 7, 8. A – L – A

10. CB 10. De 9. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes 11. HFCHGB 11. Tienen el mismo suplemento

12. EC EB 12. De 9. Lados correspondientes en triángulos congruentes 13.

FC

GB

13. De 12 y 8. Resta de segmentos

14.

FHC

BGH

14. De 10, 11, 13. A – L –A

HIPÓTESIS: AB EF DB LF

AC y EH son medianas

AC EH

TESIS: LEF ABD

1.

LF

DB

1. De hipótesis. 2.

AC

y

EH

son medianas 2. De hipótesis

3. H y C son puntos medios 3. De 2. Definición de mediana 4.

LH

HF

y

DC

CB

4. De 3. Definición de punto medio

5.

(

)

(

)

2

m LF

m HF

y

(

)

(

)

2

m DB

m CB

5. De 4. Definición de punto medio.

6.

HF

CB

6. De 1 y 5. Propiedad transitiva 7.

EH

AC EF

;

AB

7. De hipótesis

8.

EHF

ACB

8. De 6 y 7. L – L – L

9. FB 9. De 8. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes

(8)

HIPÓTESIS : CA CB DA DB

C – E – D ; A – E – B

TESIS: AB CD

1. AC BC 1. De hipótesis.

2.

ABC

es isósceles. 2. De 1. Definición de triangulo isósceles. 3.

1

2

3. De 2. Los ángulos de la base de un triangulo

isósceles son congruentes 4.

AD

BD

4. De hipótesis.

5.

ADB

es isósceles. 5. De 4. Definición de triangulo isósceles. 6.

3

4

6. De 5. En un triangulo isósceles a los lados

congruentes se oponen ángulos congruentes. 7. m (CAD)=m (1)+m (3) 7. Adición de ángulos.

8. m (CBD)=m (2)+m (4) 8. Adición de ángulos 9. m (CBD)= m (1)+m (3) 9. Sustitución de 3 y 6 en 8

10. m (CAD) = m (CBD) 10. De 7 y 9. Propiedad transitiva. 11.

CAD

CBD

11. De 10 y de hipótesis. L – A – L

12. ACDDCB 12. De 11. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes.

13. CE es bisectriz 13. De 12. Definición de bisectriz

14.

CE

es altura 14. De 13 y 2. En un triangulo isósceles la bisectriz del ángulo opuesto a la base es también altura.

(9)

HIPÓTESIS:

AB

AF

AC AE

A – B – C; A – F – E

TESIS:

1)BE

CF

2)

AD

es bisectriz de

CAE

1.

AB

AF

1. De hipótesis

2.

A

A

2. Propiedad reflexiva 3. AC AE 3. De hipótesis

4.

ABE

ACF

4. De 1, 2, 3. L – A – L

5. BE CF 5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes

6.

BC

AC

AB

6. Resta de segmentos 7.

FE

AE

AF

7. Resta de segmentos. 8.

FE

AC

AB

8. Sustitución de 1 y 3 en 7. 9.

BC

FE

9. De 6 y 8. Propiedad transitiva.

10.

ABE

AFC

10. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes.

11.

CBD

es el suplemento de

ABE

11. De hipótesis. A – B – C. Definición de ángulos suplementarios

12.

DFE

es el suplemento de

AFC

12. De hipótesis. A – F – E. Definición de ángulos suplementarios

13.

CBD

DFE

13. De 10, 11 y 12. Por tener el mismo suplemento. 14.

C

E

14. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos

congruentes.

15.

BDC

DFE

15. De 14, 9, 13. A – L – A

16.

DB

DF

16. De 15. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes

17.

AD

AD

17. Propiedad reflexiva. 18.

BAD

FAD

18. De1, 16, 17. L – L – L

19.

BAD

FAD

19. De 18. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes.

20.

AD

es bisectriz de

CAE

(10)

PROPOSICIONES DE VERDADERO O FALSO

1. Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y el lado de uno, son respectivamente congruentes a dos ángulos y el lado del otro. ( )

2. Si los catetos de un triangulo rectángulo son congruentes a los catetos de otro triangulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes. ( )

3. Dos triángulos son congruentes si dos lados y un ángulo de uno son respectivamente congruentes a dos lados y un ángulo del otro. ( )

4. L – L – A siempre se cumple en la congruencia de triángulos. ( )

5. Dos triángulos que tienen un lado congruente y las alturas trazadas a esos lados congruentes, son congruentes. ( )

6. Dos triángulos equiláteros son congruentes. ( )

7. Dos triángulos equiláteros son congruentes si un lado de uno de ellos es congruente a un lado del otro. ( )

8. Dos triángulos son congruentes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes. ( ) 9. Si los lados congruentes de un triangulo isósceles son congruentes s los lados

congruentes de otro triangulo isósceles entonces los triangulo son congruentes. ( ) 10. La altura de un triangulo pasa por el punto medio del lado al cual fue trazada. ( ) 11. Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes congruentes, entonces sus ángulos

correspondientes son congruentes. ( )

12. Si dos triángulos tienen sus ángulos correspondientes congruentes, entonces los lados correspondientes son congruentes. ( )

13. Ningún par de ángulos de un triangulo escaleno son congruentes. ( ) 14. Los lados de un triangulo son rectas. ( )

15. Existe un triangulo RST en el cual el ángulo R sea congruente con el ángulo T. ( ) 16. El suplemento de un ángulo, siempre es un ángulo obtuso. ( )

17. Una perpendicular a una recta biseca a la recta. ( )

18. La mediana trazada a la base de un triangulo isósceles es perpendicular a la base. ( ) 19. Un triangulo equilátero es equiángulo. ( )

20. Si dos ángulos tienen el mismo suplemento entonces son congruentes. ( ) 21. Si dos ángulos tienen el mismo complemento entonces son congruentes. ( ) 22. La bisectriz de un ángulo de un triangulo biseca al lado opuesto al ángulo. ( )

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.

En la figura se tiene que:

(11)

2.

HIPÓTESIS: CD es altura. AD DB

TESIS: 1) ACDBCD 2) CA CB

3. Demostrar que en un triangulo isósceles las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes.

4.

HIPÓTESIS: E  B; ADEACB; B – C – D – E

TESIS: EADBAC

5.

HIPÓTESIS: AB AD AE; es bisectriz de BAD A – C – E

TESIS: 1)

2)

BC CD

BCE DCE

 

6.

HIPÓTESIS: ABC es equilátero AE BF CD

(12)

7. Sea ABC un triangulo isósceles, con CA CB. D es el punto medio de AC y E es el punto medio de BC. Demostrar que el triangulo ACE es congruente con el triangulo BCD.

8.

HIPÓTESIS: E – F – C; E – G – B; A – G – H – C; D – F – H – B

ED EA

DE EC

AE EB

D A

 

TESIS: 1) 2)

CEG BEF

CFH BGH

9.

HIPÓTESIS: AI IC CD BI IH HF

TESIS: EH EC

10.

HIPÓTESIS: B es punto medio de AC AD CE BD; BE

TESIS: 1)

2) es isosceles.

E D

(13)

11.

HIPÓTESIS:

AB AF

BD DF

BAC FAE

 

TESIS: 1) 2)

AC AE

BC FE

12. Demostrar que en un triangulo isósceles:

A. Las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes. B. Las alturas trazadas a los lados congruentes son congruentes.

C. Los segmentos de las bisectrices de los ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes.

13. Si en un triangulo ABC se cumple que AB AC. R es un punto que pertenece al lado AB; D es un punto que pertenece al lado AC;RC DB.En base con esta información se puede demostrar que AR AD? Justificar la respuesta.

14.

HIPÓTESIS: AE BC

AC BE

TESIS: 1)

2) es isosceles

DEA DCB

ABD

 

15.

HIPÓTESIS: 1 2

3 4

   

A – E – C

TESIS: 1) 2)

AE EC

(14)

16.

HIPÓTESIS: AB AF DB; DF; 1 2

TESIS: 1)

2)

B F

DC DE

 

SUGERENCIA: Trazar AD

17.

HIPÓTESIS:

OED ODE

A C

AE DC

 

 

TESIS: 1) 2)

BF BH

OF OH

18.

HIPÓTESIS:AF AB FE; BC DF; DB

TESIS: 1)

2)

EAD CAD

ED CD

 

19.

HIPÓTESIS: EAD CAD

AF AB

 

TESIS: 1) 2)

DF DB

(15)

20.

HIPÓTESIS:AR SC AB; CD BS; DR

TESIS: BSADRS

21.

HIPÓTESIS: BD es mediana AE BF CF; BF

TESIS: AE CF

22.

HIPÓTESIS:

y son medianas

AC AE

CF EB

TESIS: AD CE

23.

HIPÓTESIS: AB BC DC; BC

ABD DCA

 

TESIS: ABC DCB

24. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados congruentes de un triangulo isósceles al punto medio de la base son congruentes.

25. Si el segmento de recta que une el vértice B del triangulo ABC al punto medio M de AC se alarga en una distancia igual a su propia longitud hasta E entonces EC AB

(16)

27.

HIPÓTESIS: TR TS PR; PS

TESIS: TRPTSP

28.

HIPÓTESIS: A – B – C – D 1 2

AB CD

TESIS: AD

Ejercicios tomados de los siguientes textos:  Geometría Euclidiana de Nelson Londoño  Geometría Euclidiana de Hemmerling

 Curso de Geometría. Reunión de profesores  Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli  Geometría de Edwin E. Moise

Recopilados por: José Manuel Montoya Misas.

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