Materia: Álgebra Lineal Serie: 1TI1A Trabajo: Investigación Primera Unidad Alumno: Navarro Ruffo José Daniel Número de control: 12211512

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Instituto Tecnológico de Tijuana

Subdirección Académica

Departamento de Sistemas Y Computación

Ingeniería en Tecnologías de la Información y

Comunicación

Materia: Álgebra Lineal

Serie: 1TI1A

Trabajo: Investigación Primera Unidad

Alumno: Navarro Ruffo José Daniel

Número de control: 12211512

Profesor (a): María Eugenia Bermúdez Jiménez

Fecha de entrega:

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Índice.

1.1 Definición de números complejos………...3

1.2 Operaciones fundamentales con los números complejos…….3

1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de los números

complejos……….4

1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo………..5

1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un

numero complejo………6

1.6 Ecuaciones polinómicas………6

Conclusiones………..8

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Unidad 1

1.1 Definición y origen de los números complejos.

Un número complejo es un numero cuyo cuadrado es negativo. Este término fue descartado por el matemático Rene Descartes en el siglo XVII donde expresaba claramente sus ideas.

Actualmente los números imaginarios o complejos se ubican sobre el eje vertical del plano complejo.

Los números imaginarios permiten calcular raíces con índice par y radicando negativo.

Los números complejos z se pueden definir como pares ordenados z = (x, y)

de números reales x e y, con las operaciones de suma y producto que especificaremos más adelante. Se suelen identificar los pares (x, 0) con los números reales x.

El conjunto de los números complejos contiene, por tanto, a los números reales como

subconjunto. los números complejos de la forma (0, y) se llaman números imaginarios puros. Los números reales x e y en la expresión se conocen, respectivamente, como parte real y parte imaginaria de z.

Dado un complejo z=(a;b), la primer componente se le conoce como parte real (Re(z)) y la segunda componente es llamada parte imaginaria (m(z)).

Los complejos de la forma (a;0) reciben el nombre de números complejos reales puros (CR) y se encuentran situados en el eje real. Los complejos de la forma (0; b) se denominan complejos imaginarios puros y se ubican sobre el eje imaginario. (0,1) se llama la unidad imaginaria y se denota por:

i= (0,1 z= a + ib

1.2 Operaciones fundamentales con los números complejos.

 Suma

 Producto por escalar

 Multiplicación

 Igualdad

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4  Resta

 División

1.3 Potencias de “i”, modulo o valor absoluto de numero complejo.

Módulo de un numero complejo.

El módulo de un numero complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

El módulo o valor absoluto de un complejo z = a + bi, denotado por |z|, se

define: |z|= Geométricamente, el módulo de un complejo z = a + bi es la distancia del origen al punto del plano que representa el complejo.

La potencia enésima de numero complejo es otro numero complejo tal que:

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5 Se calculan algunas potencias n € N0 de la unidad imaginaria

i: i0=1 i1=i i2=-1 i3=i*i2=-i i4=i2*12=1 i5=i*i4=i i6=(i2)3=-1 i7=i*i6=-i i8=i4*i4= 1

Se observa que, cada cuatro potencias sucesivas de la unidad imaginaria se repiten las soluciones, por lo tanto, cuando se desea elevar i a una potencia n € N0 cualquiera, se puede proceder de la siguiente manera:

i0 = 1 i1 = i i2 = −1 i3 = −i i4 = 1

Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

i22

i22 = (i4)5 · i2 = − 1 i27 = −i

1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo

Expresión de un número complejo en forma polar.

Sean r y coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un número complejo no nulo. Z puede ser expresado en forma polar como:

Z = r (cos θ +sen θ)

En análisis complejo, no se admiten negativos; sin embargo, como en el cálculo, tiene infinitos valores posibles, incluyendo valores negativos.

Forma polar y exponencial de los números complejos

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6 1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracciones de raíces de un numero complejo.

Abraham De Moivre fue un matemático francés nacido el 26 de mayo de 1667; conocido por la fórmula de Moivre y por predecir el día de su muerte a través de un cálculo matemático.

Fórmula para calcular las potencias de Z a la exponente n de un numero complejo z. El teorema de De Moivre establece que si un numero complejo Z= r (cosx + isenx), entonces:

En donde n puede ser enteros positivos, enteros negativos y exponentes fraccionarios.

1.6 Ecuaciones polinómicas.

Una expresión de la forma

siendo un entero no negativo a(0),a(1)… son números reales o complejos, se llama coeficientes de polinomios en R o C ) y con indeterminada x.

R (campo de los reales) C (campo de los complejos

Teorema Del Resto: El resto de una división de un polinomio en "x" por un binomio de forma (x+ a) es el valor numérico del polinomio dividendo para "x" igual al opuesto de "a".

Teorema del factor: Un polinomio f(x) tiene un factor x - c si y sólo si f(c) = 0. Para factorizar un monomio solo debes de llevar los números y/o letras a sus factores, o sea, que si los multiplicas entre sí, su resultado será el monomio inicial. Multiplicidad de la raíz de un polinomio: Sea F un campo y p(x) un polinomio de una variable con coeficientes en F. Un elemento a ∈ F se llama raíz de multiplicidad k de p(x) si existe un polinomio s(x) tal que s(a) ≠ 0 y p(x) = (x − a)ks(x). Si k = 1, entonces a recibe el nombre de raíz simple. El teorema

fundamental del álgebra establece que un

polinomio en una variable, no constante y a coeficientes complejos tiene tantas raíces como su grado dado que las raíces se cuenten con sus multiplicidades.

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7 Reglas de los signos de Descartes:

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Conclusión.

Los números complejos son una extensión de los números reales, es decir que es una

forma de complementarlos. Los números complejos representan todas las raíces de

los polinomios a diferencia de los reales.

También nos podemos dar cuenta que con los números complejos se pueden hacer

desde operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división; hasta

operaciones más completas que nos permiten obtener resultados más claros y

directos de problemas matemáticos.

El conocer los números imaginarios o complejos hace que el campo de las

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Bibliografía:

http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/1.2.html Números complejos por: Leopold Kronecker

Logikamente"Tomo III Màtemàticas 1º :Edit.Puerto de Palos

http://www.ping.be/math/complget.htm Introducción a los números complejos. Axiomática y propiedades (en inglés)

http://math.about.com/cs/complexnumbers/ Aproximación práctica a los números complejos (en inglés).

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