Examen 1
aEvaluación
2o Bachillerato B - Matemáticas Aplicadas a las CCSS SOLUCIONES
1. Calcula el valor de los siguientes límites:
(a) lim x!1
x2 1
x3 6x2+ 11x 6 =
12 1
13 6 12+ 11 1 6 = 0
0 = limx!1
(x+ 1)(x 1) (x 1)(x2 5x+ 6)
= lim x!1
x+ 1 x2 5x+ 6 =
1 + 1 1 5 + 6 =
2 2 = 1
El numerador se descompone fácilmente mediante una identidad notable, pues:
x2 1 =x2 12 = (x+ 1)(x 1)
El denominador se ha descompuesto usando el teorema del factor, y teniendo en cuenta quex= 1 es raíz,
1 6 11 6
1 1 5 6
1 5 6 0
por lo que: x3 6x2+ 11x 6 = (x 1) (x2 5x+ 6):
(b) lim x! 1
4x3 3x2+ 2
x2+x 1 = limx! 1 4x3
x2 = limx! 1( 4x) = 4( 1) = +1 2. Sean las funciones f(x) = (2x2 1)3 ln (x4) y g(x) = e
2x+x2
x2+ 1 : Determine el valor
de f0( 1) y de g0(0):
Calculamos en primer lugarf0(x):
f0(x) = 3 4x 2x2 1 2 ln x4 + 2x2 1 3 4x 3 x4 = 2x2 1 2 12x ln x4 +4 (2x
2 1)
x Por tanto,
f0( 1) = 2 ( 1)2 1 2 "
12( 1) ln ( 1)4 +4 2 ( 1) 2
1 1
#
= 1 12 ln 1 +4 1
1 = 12 0 4 = 4
En este ejercicio no procede decir queln(x4) = 4 lnx;pues la segunda expresión no puede evaluarse en x= 1; mientras que la primera sí.
Calculamos ahorag0(x):
g0(x) = ( 2 + 2x)e 2x+x2
(x2+ 1) e 2x+x2
2x
(x2+ 1)2 =
e 2x+x2
[( 2 + 2x) (x2+ 1) 2x]
(x2+ 1)2 :
Por tanto,
g0(0) = e
0 [( 2 + 0) (0 + 1) 0]
(0 + 1)2 =
1 ( 2)
3. Halla los valores de a y b para que la función f(x) = ax
2+b si x < 1 x3 +bx2+x si x 1
sea continua y derivable en su dominio.
La funciónf así de…nida es claramente continua y derivable en todo su dominio, R;salvo quizás en x = 1; por estar de…nida mediante funciones polinómicas. Vamos a imponer continuidad y derivabilidad en x= 1; para obtener los valores de a y b: Obsérvese que f( 1) = ( 1)3+b( 1)2 1 = b 2: Por otro lado,
lim
x! 1 f(x) = limx! 1 (ax
2+b) =a+b lim
x! 1+f(x) = limx! 1+(x
3+bx2+x) = b 2
Entonces lim
x! 1f(x)existirá si y solo sia+b=b 2;es decir, si y solo sia= 2;en cuyo caso seráf( 1) = lim
x! 1f(x); es decir,f será continua enx= 1:
Por otro lado, hemos mencionado que f es derivable al menos en R f 1g; con función derivada:
f0(x) = 2ax si x < 1 3x2+ 2bx+ 1 si x > 1
Si imponemos que f sea derivable enx = 1; en particular f será continua en x = 1; por lo que se tendrá necesariamente a= 2; en cuyo caso:
f0(x) = 4x si x < 1 3x2+ 2bx+ 1 si x > 1
y además deberá cumplirse que lim x! 1 f
0(x) = lim
x! 1+f
0(x); límites que procedemos a
calcular:
lim x! 1
f0(x) = lim
x! 1
( 4x) = 4
lim x! 1+f
0(x) = lim
x! 1+(3x
2+ 2bx+ 1) = 4 2b
por lo que f será derivable en x= 1 si y solo si4 2b = 4; es decir, si y solo si b= 0 :
4. Dada la función f(x) =x3+ax2+bx;
(a) Calcula a y b para que tenga un mínimo relativo en el punto de abscisa
x= 2 y un punto de in‡exión en el punto de abscisa x= 1:
Que f tenga un mínimo en x = 2 signi…ca en particular, dado que f es derivable en todo su dominio (es una función polinómica), que f0(2) = 0: Como f0(x) =
3x2 + 2ax+b; esto signi…cará que 12 + 4a+b = 0: Además f presenta un punto de in‡exión en x = 1; lo que signi…ca que f00(1) = 0: Como f00(x) = 6x+ 2a; en
particular deberá serf00(1) = 6 + 2a = 0; es decir, a= 3: En consecuencia,
12 + 4a+b= 0 ,12 12 +b = 0, b = 0
(b) Calcula la ecuación de la recta tangente a f(x) en el punto de in‡exión.
Con los datos obtenidos, las funcionesf y f0 se escriben como:
f(x) =x3 3x2 )f0(x) = 3x2 6x
y su punto de in‡exión es el punto de coordenadas (1; f(1)) = (1; 2): La ecuación de la recta tangente en ese punto es:
5. Represente grá…camente la función:
f(x) = 8 > > < > > :
x 3 si x <0 3x2+ 3 si 0 x 1
2x
1 x si x >1
e indique también los extremos relativos, si los tiene, y sus asíntotas.
Para poder representar más cómodamente la función, vamos a estudiar primero los ex-tremos (y por tanto su monotonía) y sus asíntotas. Observemos que Dom(f) = R; pues la expresión 12xx está de…nida para valores de x mayores que 1. Además f es derivable claramente al menos en R f0;1g; con función derivada:
f(x) = 8 > > < > > :
1 si x <0 6x si 0< x <1
2
(1 x)2 si x >1
(hemos tenido en cuenta que 12xx 0 = 2(1 (1x) 2x( 1)x)2 =
2 2x+2x
(1 x)2 = (1 2x)2).
De y = 1 no se obtienen puntos singulares (puntos que anulen la derivada). De y = 6x se obtiene x = 0 como punto singular, que no pertenece al intervalo de de…nición (pero sabemos que es un extremo de la función completay= 3x2+3(concretamente un mínimo). Finalmente, de y= (1 2x)2 tampoco se obtienen puntos singulares (de hecho la expresión
no se anula para ningún x real). Estudiamos la monotonía de f; teniendo en cuenta los cambios de de…nición.
( 1;0) (0;1) (1;+1)
signo de f0 + + +
monotonía def % % %
Hemos tenido en cuenta que f0( 1) = 1 > 0; que f0(21) = 6 12 = 3 > 0; y que f0(2) = 2
(1 2)2 = 2 > 0; por lo que f es estríctamente creciente en ( 1;0)[(0;1)[(1;+1).
La grá…ca …nal nos detallará qué sucede en los puntos x = 0 y x = 1 (respecto de la monotonía y los extremos, si los hay).
Veamos las asíntotas. Como:
lim x!1+
2x 1 x =
2
0 = 1;
deducimos que f tiene una asíntota vertical por la derecha de ecuación x = 1: No la tiene por la izquierda en x = 1 pues para estos valores f viene dada por una función cuadrática.
Por otra parte, vemos que
lim
x! 1f(x) = x! 1lim (x 3) = 1
lim
x!+1f(x) = x!lim+1
2x
1 x = limx!+1
2x
x = limx!+1( 2) = 2;
y=x 3es grá…camente una recta. Valores particulares:
x 0 1
y 3 4
Aunque f no esté de…nida para x = 0 de esta forma, la recta considerada pasa por el punto(0; 3):
Veamos algunos elementos notables de la parábolay= 3x2+3:Como la ecuación3x2+3 = 0 no tiene soluciones, la parábola no corta al eje de abscisas. Como b
2a = 0; su vértice es el punto de coordenadas (0; f(0)) = (0;3). La parábola es obviamente convexa (el coe…ciente cuadrático es positivo). Algunos valores particulares de la expresión son:
x 0 1 0;5 0;5 1 y 3 6 3;75 3;75 6
Hemos usado que f(0;5) =f 1
2 = 3
1 2
2
+ 3 = 3
4 + 3 = 15
4 = 3;75: Para terminar, la curvay= 2x
1 x es una hipérbola cuyo comportamiento viene dado por sus asíntotas. Para mejorar la precisión de su representación, tomaremos algunos valores particulares de la función parax >1:
x 1;5 2 3
y 6 4 3
Con los datos obtenidos, procedemos a representar la función:
A la luz de la grá…ca, vemos que f es estríctamente creciente en x = 0; y que tiene un máximo relativo estricto (en realidad es absoluto) en x = 1: El máximo vale f(1) = 6: Esto concluye el ejercicio.
(a) ¿Qué día el viento alcanzó su velocidad máxima y cuál fue su valor?
(a) La funciónves claramente derivable en su dominio, con derivadav0(t) = 6t2 30t+24: Estudiamos la monotonía dev:
v0(t) = 0,6t2 30t+ 24 = 0,t2 5t+ 4 = 0,t = 1 4
(omitimos los detalles).
(0;1) (1;4) (4;5)
signo de v0 + +
monotonía dev % & %
obsérvese quev0 1
2 = 6
1 2
2
30 12 +24 = 64 15+24>0;quev0(2) = 24 60+24 =
12<0;y quev0 9
2 = 6
9 2
2
30 92 +24 = 6 814 135+24 = 243
2 111 = 21
2 >0: La funciónv es estríctamente creciente en (0;1)[(4;5) y estríctamente decreciente en(1;4): Por tanto, f tiene dos máximos relativos estrictos en x= 1 y x= 5 y dos mínimos relativos estrictos enx= 0 y x= 4:Como:
v(0) = 26; v(4) = 2 43 15 42+ 24 4 + 26 = 10 v(1) = 2 15 + 24 + 26 = 37; v(5) = 2 53 15 52+ 24 5 + 26 = 21
deducimos que el viento alcanzó su máxima velocidad el primer día (t = 1); y la velocidad fue de 37 km/h .
Para entender por qué v tiene dos máximos y dos mínimos relativos, mostramos a continuación su representación grá…ca (aunque no se pida):
(b) ¿Cuándo alcanzó el viento su velocidad mínima y cuál fue este valor mínimo?
La tabla del apartado anterior, y los datos obtenidos en él, nos muestran que el cuarto día(t = 4) el viento tuvo su velocidad mínima, y dicha velocidad fue de 10 km/h .
(c) Estudia la curvatura de la función.
La función es claramente dos veces derivable, con segunda derivada:
Se obtiene el único punto singular:
v00(t) = 0,12t 30 = 0,t= 30 12 =
5 2: Estudiamos la curvatura dev con el valor obtenido:
0;5 2
5 2;5
signo de v00 +
curvatura de v T S
Por tanto v es cóncava en el intervalo 0;5
2 y convexa en el intervalo 5
2;5 ; pre-sentando un punto de in‡exión en x = 5
2: El punto de in‡exión tiene coordenadas 5
2; v 5
2 =
5 2;
