Funciones reales de varias variables

56 

Texto completo

(1)

´Indice

´Indice I

1. Funciones reales de varias variables 2

1.1. Funciones reales de varias variables . . . 2

1.1.1. Dominio, rango de las funciones reales de varias variables . . . 2

1.1.2. Graficas . . . 3

1.1.3. Curvas de nivel . . . 4

1.1.4. Operaciones con funciones reales de variables variables . . . . 4

1.2. Nociones de topolog´ıa en Rn . . . . 6

1.2.1. Clasificaci´on de los puntos de un conjunto . . . 7

1.2.2. Conjunto abierto . . . 8

1.2.3. Conjunto cerrado . . . 8

1.2.4. Conjunto acotado . . . 8

1.2.5. Conjunto compacto . . . 8

1.2.6. Conjunto conexo . . . 9

1.2.7. Dominio . . . 9

1.3. limites de funciones de varias variables . . . 9

1.3.1. Regla de las dos trayectorias . . . 10

1.3.2. Limites parciales iterados ´o reiterados . . . 13

1.4. Continuidad de funciones de varias variables . . . 15

1.5. Ejercicios Propuestos . . . 16

1.6. Derivadas parciales de funciones reales de varias variables . . . 17

1.6.1. Interpretaci´on geom´etrica de las derivadas parciales . . . 19

1.6.2. Plano tangente . . . 20

1.7. Funciones diferenciables . . . 21

(2)

´INDICE 1

1.8. La diferencial . . . 23

1.9. Derivadas parciales de orden superior . . . 25

1.10. Derivaci´on implicita . . . 27

1.11. Funciones compuestas. Regla de la cadena . . . 28

1.12. Derivada direccional . . . 29

1.12.1. Interpretaci´on geom´etrica de las derivadas direccionales . . . . 30

1.12.2. Propiedades de la derivada direccional . . . 31

1.12.3. Relaci´on entre las derivadas parciales, direccionales y la con-tinuidad . . . 32

1.13. Gradiente de una funci´on de varias variables . . . 33

1.13.1. Interpretaci´on geom´etrica del gradiente . . . 33

1.13.2. Plano tangente . . . 33

1.13.3. Propiedades del gradiente . . . 33

1.14. C´alculo de la derivada direccional usando el gradiente . . . 33

1.14.1. El gradiente como direcci´on de m´axima variaci´on . . . 34

1.15. Ejercicios propuestos . . . 36

1.16. Extremos de las funciones de varias variables . . . 40

1.17. Formas cuadr´aticas . . . 42

1.18. Extremos condicionados . . . 49

1.19. M´etodo de multiplicadores de Lagrange . . . 50

1.20. Ejercicios propuestos . . . 52

1.21. Ejercicios Complementarios . . . 54

(3)

Cap´ıtulo 1

Funciones reales de varias

variables

1.1.

Funciones reales de varias variables

Definici´on 1.1.1. Una funci´on de varias variables definida sobre un D Rn es

una regla de correspondencia f que asocia a cada punto X = (x1, x2, ...xn)∈D un

´unico n´umero real z =f(x1, x2, ...xn)

Figura 1.1: Funci´on real de varias variables

1.1.1. Dominio, rango de las funciones reales de varias variables

Sea f una funci´on de varias variables de Rn en R. Se define el dominio de f

denotado porDom f como:

Dom f ={X = (x1, x2, ...xn)Rn /∃!z R z =f(X)} ⊂Rn

(4)

1.1. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES 3

Se define el rango def denotado por Ran f como:

Ran f ={z R/∃X = (x1, x2, ...xn)Rn z =f(X)} ⊂R

Ejemplo 1.1.1. Sea f(x, y) =psen(x2+y2). Halle el dominio y rango de la

fun-ci´on f y grafique el dominio.

Soluci´on

Se tiene sen(x2+y2)00sen(x2+y2)12kπ x2+y2 (2k+ 1)π

para todok = 0,1,2, ... Luego

Domf ={(x, y)R2 /2kπx2+y2 (2k+ 1)π , k = 0,1,2, ...}

Por otro lado, como 0≤sen(x2+y2) 1 0psen(x2+y2)1 0 z 1

LuegoRan f = [0,1]

Figura 1.2: Gr´afica del dominio de

f

Figura 1.3: Gr´afica de la funci´on f(x, y) =

p

sen(x2+y2)

1.1.2. Graficas

La grafica de una funci´on f : R2 R es el conjunto de todos los puntos en el

espacio con coordenadas (x, y, z) que satisface la ecuaci´on z =f(x, y).

(5)

1.1. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES 4

Figura 1.4: Gr´afica de la superficie: f(x, y) = 2senpx2+y2+ 3 1.1.3. Curvas de nivel

La intersecci´on del plano horizontal z = k con la superficie z = f(x, y) es la curva de contorno de altura k sobre la superficie. La proyecci´on vertical de esta curva de contorno en el plano XY es la curva de nivelf(x, y) = k de la funci´on f. Las curvas de nivel proporcional una forma bidimensional de representar una superficie tridimensionalz =f(x, y).

Figura 1.5: Curvas de nivel

Ejemplo 1.1.2. Halle las curvas de nivel de la superficie f(x, y) = y2x2.

Soluci´on

Las curvas de nivel de la superficie f(x, y) =y2 x2 son: y2x2 =k para todo

k∈R

1.1.4. Operaciones con funciones reales de variables variables

Definici´on 1.1.2. Consideremos dos funciones de n variables f , g : Rn R con

(6)

1.1. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES 5

Figura 1.6: Gr´afica de la su-perficief(x, y) =y2x2

Figura 1.7: Grafica de las cur-vas de nively2x2=k

1. (f±g)(X) =f(X)±g(X), ∀X ∈Dom(f±g) = Dom f ∩Dom g 2. (f g)(X) =f(X)g(X), ∀X ∈Dom(f g) = Dom f ∩Dom g

3. (fg)(X) = fg((XX)) , ∀X ∈Dom(f / g) =Dom f ∩Dom g− {X/g(X) = 0}

Definici´on 1.1.3. Consideremos f : Rn R y g : R R dos funciones con

dominios Dom f = D y Dom g = E respectivamente con Ran f Dom g 6= φ, entonces definamos la funci´on compuesta por:

D⊂Rn fE Rg R

(g◦f)(X) =g(f(X)), ∀X ∈Dom(g◦f) donde

Dom(g◦f) = {X = (x1, x2, ..., xn)/ X ∈Dom f f(X)∈Dom g}

Ejemplo 1.1.3. Dado g(x) = arc cosx y f(x, y) = px2+y216. Halle la

funci´on g◦f y su dominio.

Soluci´on

Primero hallemos el dominio de g◦f.

(7)

1.2. NOCIONES DE TOPOLOG´IA ENRN 6

Entonces

Dom(g◦f) = {(x, y)R2 / x2+y2 16 ∧ −1px2+y2161}

= {(x, y)R2 / x2+y2 16 0≤x2 +y2161}

= {(x, y)R2 / x2+y2 16 16≤x2+y2 17}

Dom(g◦f) = {(x, y)R2 / 16x2+y2 17}

Finalmente

Dom(g◦f)(x, y) = g(f(x, y)) =g(px2+y216) =arc cospx2+y216

para todo (x, y)∈Dom(g◦f)

1.2.

Nociones de topolog´ıa en

R

n

Distancia euclidea en Rn

Definici´on 1.2.1. SeanX = (x1, x2, ..., xn)yY = (y1, y2, ..., yn)puntos en Rn.

La distancia euclidea de X a Y est´a dada por

d(X, Y) = p(x1−y1)2+ (x2−y2)2+...+ (xn−yn)2 =kX−Yk

Bola abierta

Definici´on 1.2.2. Sea a Rn y r > 0. La bola abierta de centro a y radio r,

que se denota B(a, r), es el conjunto

B(a, r) ={X Rn / d(X, a) = kXak< r}.

Ejemplo 1.2.1. Sin= 2 ya= (0,0),B(a,2)es el interior del circulo centrado en el origen de coordenadas y radio 2.

Entorno de un punto

Definici´on 1.2.3. Sea a∈ Rn. Un subconjunto A Rn es un entorno de a si

existe una bola abierta de centro a contenida en A.

(8)

1.2. NOCIONES DE TOPOLOG´IA ENRN 7

Definici´on 1.2.4. Sea a Rn y r > 0. La bola cerrada de centro a y radio r,

que se denota B(a, r), es el conjunto¯ ¯

B(a, r) ={X Rn / d(X, a) = kX−ak ≤r}.

Ejemplo 1.2.2. Si n = 2 y a = (0,0), B(a,¯ 2) es el interior del circulo de centro (0,0) y radio 2 junto con la circunferencia contorno.

1.2.1. Clasificaci´on de los puntos de un conjunto ConsideremosRn con la distancia euclidea.

Punto interior. Interior de un conjunto

Definici´on 1.2.5. Un punto a Rn es interior a A si existe r > 0 tal que

B(a, r)⊂A.

Se llama interior de un conjunto A, denot´andose Int A, al conjunto de todos los puntos interiores a A.

Punto exterior. Exterior de un conjunto

Definici´on 1.2.6. Un punto a Rn es exterior a A si es interior a su

com-plementario Ac, o lo que es lo mismo, B(a, r)A=φ.

Se llama exterior de un conjunto A, al conjunto de todos los puntos exteriores a A, denotandose Ext A.

Punto frontera. Frontera de un conjunto

Definici´on 1.2.7. Un punto a∈Rn es punto frontera a A si para todo r >0,

B(a, r)∩A6=φ yB(a, r)∩Ac6=φ .

Es decir, un punto es frontera de A si no es ni interior ni exterior a A.

Se llama frontera de un conjunto A al conjunto de todos sus puntos frontera, denot´andose F r A.

Punto adherente. Adherente de un conjunto

Definici´on 1.2.8. Un punto a Rn es adherente a A si para todo r > 0 se

tiene B(a, r)∩A6=φ

(9)

1.2. NOCIONES DE TOPOLOG´IA ENRN 8

Punto de acumulaci´on. Conjunto derivado

Definici´on 1.2.9. Un puntoa∈Rn es de acumulaci´on deA si para todo r >0

se tiene

[B(a, r)∩A]− {a} 6=φ

Se llama conjunto derivado deAal conjunto de todos los puntos de acumulaci´on de A, denot´andose A0.

Punto aislado

Definici´on 1.2.10. Un punto a∈Rn es punto aislado de A si existe r >0 tal

que B(a, r)∩A={a}

NOTA 1.2.1.

Un punto aislado deApertenece al conjuntoApero no es punto de acumulaci´on deA.

1.2.2. Conjunto abierto

Definici´on 1.2.11. Un conjunto es abierto si todos sus puntos son interiores. Ejemplo 1.2.3. Las bolas abiertas son conjuntos abiertos pero no todo conjunto abierto es una bola abierta.

1.2.3. Conjunto cerrado

Definici´on 1.2.12. Un conjunto es cerrado si su complemeto es abierto.

Ejemplo 1.2.4. Las bolas cerradas son conjuntos cerrados pero hay conjunto cer-rados que no son bolas cerradas.

1.2.4. Conjunto acotado

Definici´on 1.2.13. Un conjunto A⊂Rn es acotado si y solo si exister >0 tal que

kXk< r para todo X ∈A.

1.2.5. Conjunto compacto

(10)

1.3. LIMITES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 9

1.2.6. Conjunto conexo

Definici´on 1.2.15. Un conjunto A Rn es conexo si no es posible encontrar dos

conjuntos abiertosB yC no vacios, conA∩B 6=φyA∩C 6=φ tales queA⊂B∪C, con C∩B =φ y C∩B =φ.

NOTA 1.2.2.

La idea de un conjunto conexo es que sea de una pieza.

1.2.7. Dominio

Definici´on 1.2.16. Un conjunto A Rn es un dominio si es que es un conjunto

abierto y conexo.

1.3.

limites de funciones de varias variables

Sea f una funci´on definida en un conjunto D Rn a valores en R. La idea

intuitiva de limite def cuando X tiende a un punto A Rn es el de la existencia

de unl Rtal que los valores de f(X) est´en arbitrariamente pr´oximos a l siempre que se tome X ∈D,X 6=A suficientemente pr´oximo aA.

Definici´on 1.3.1. Seaf una funci´on definida en un conjunto D⊂Rn a valores en

R y seaA Rn un punto de acumulaci´on de D. Diremos que el limite def cuando

X tiende aAesl R(denotado porl´ımX→Af(X) =l ) si para cada² >0es posible

hallar un δ > 0 tal que | f(X)−A |< ² siempre que X D y 0 < kX−Ak < δ. Simb´olicamente:

l´ım

X→Af(X) =l ⇔ ∀² >0∃δ >0/ X ∈D 0<kX−Ak< δ ⇒|f(X)−l |< ²

Ejemplo 1.3.1. Usando definici´on demuestre que: l´ım

(x,y)(0,0)

x2+y2 p

x2+y2+ 22 = 2

2

Soluci´on

Sea f(x, y) = x2+y2

x2+y2+22 con dominioDomf =R

2− {(0,0)}. De la definici´on

se tiene que:

(11)

1.3. LIMITES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 10

| x

2 +y2 p

x2 +y2+ 222

2| = | (x

2+y2) (px2+y2+ 2 +2)

x2 +y2 2

2|

= |px2+y2+ 22|

= | x

2+y2 p

x2+y2+ 2 +2 |

= |x2+y2 | | p 1

x2+y2+ 2 +2 | ()

Como 0 < k(x, y) (0,0)k < δ 0 < px2+y2 < δ. Ahora acotemos

| 1

x2+y2+2+2 |.

Dado que 2 2 +px2+y2+ 2 1

x2+y2+2+2

1

2 Reemplazando estos

´ultimos resultados en (*) se tiene: | x2+y2

x2+y2+22 2

2|< δ2 1

2 =²

Por lo tanto: δ=p2²

Teorema 1.3.1. Seaf una funci´on definida en un conjunto D⊂Rn a valores enR

y seaA∈Rn un punto de acumulaci´on de D. Si existel´ım

X→Af(X), ´este es ´unico.

Teorema 1.3.2. Sean f y g dos funciones definidas en un conjunto D Rn a

valores enRy seaA∈Rnun punto de acumulaci´on deD. Si existenl´ım

X→Af(X) =

l1 , l´ımX→Ag(X) = l2 entonces

l´ım

X→A(f±g)(X) =l1 ±l2

l´ım

X→A(f g)(X) =l1l2

Si adem´as g(x) es no nulo para todo X yl2 6= 0,

l´ım

X→A

f(X) g(X) =

l1

l2

1.3.1. Regla de las dos trayectorias

Teorema 1.3.3. Sea la funci´onf :D⊂RnR yP

0 = (x01, x02, ..., x0n) un punto de

acumulaci´on deD=Domf. Si dos trayectorias, digamosα(t) = (x1(t), x2(t), ..., xn(t))

yβ(t) = (x1(t), x2(t), ..., xn(t))que pasa por P0 =α(t0) = β(t1)producen dos valores

limites diferentes para f entonces l´ım

X→P0

f(X) no existe. Corolario 1.3.1. Se cumple que l´ım

(x,y)(x0,y0)

f(x, y) =l si y solo si para toda trayec-toriaα(t) = (x(t), y(t)) que pasa por P0 = (x0, y0), esto es,P0 =α(t0), se tiene

l´ım

(x,y)(x0,y0)

f(x, y) = l´ım

t→t0

(12)

1.3. LIMITES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 11

Ejemplo 1.3.2. Calcule l´ım

(x,y)(0,0)

3x2y

x4+y2

Soluci´on

Sean las trayectorias:

α(t) = (t,0) ; α(t0) = (t0,0) = (0,0)⇒t0 = 0

l´ım

(x,y)(0,0)

3x2y

x4+y2 = l´ımt0

3t2(0)

t4+ 02 = 0

β(t) = (t, t2) ; β(t

0) = (t0, t20) = (0,0)⇒t0 = 0

l´ım

(x,y)(0,0)

3x2y

x4+y2 = l´ımt0

3t2t2

t4+t4 =

3 2 Por el teorema anterior, no existe l´ım

(x,y)(0,0)

3x2y

x4+y2

Ejemplo 1.3.3. Calcule l´ım

(x,y)(0,0)

x2y

x2+y2

Soluci´on

Consideremos los caminos diferentes que contenga a (0,0). Sea A={(x, y)R2/ y =kx , kR}

l´ım

(x,y)(0,0)

x2y

x2+y2 =Ãy=k xÃ= l´ımx0

k x3

x2(1 +k2) = 0 k R

Esto no prueba en absoluto que el valor del limite sea cero. Un argumento que termina con esta incertidumbre es la definici´on del limite, esto es probemos que

l´ım

(x,y)(0,0)

x2y

x2+y2 = 0.

Sea f(x, y) = xx2+2yy2 con dominio Domf =R2− {(0,0)}. De la definici´on se tiene

que:

∀² >0∃δ >0/(x, y)∈Domf 0<k(x, y)(0,0)k< δ ⇒|f(x, y)−0|< ²

| x2y

x2+y2 | = |x|

2| y

x2+y2 |

≤ |x|2|y| 1

|x|2

= |y|

< δ=²

El ´ultimo resultado se obtiene gracias a que 0 < k(x, y) (0,0)k < δ implica

|y|<px2+y2 < δ y x2 x2+y2 1

x2+y2 x12 , (x, y)∈Domf.

Por lo tanto:

l´ım

(x,y)(0,0)

x2y

(13)

1.3. LIMITES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 12

Ejemplo 1.3.4. Calcule, si existe, el valor del siguiente l´ımite: l´ım

(x,y)(0,0)

y+senx y+x Soluci´on

Si nos aproximamos al punto (0, 0) mediante rectas y=k x obtenemos l´ım

(x,y)(0,0)

y+senx

x+yy=k xÃ= l´ımx→0

k x+senx k x+x

y al ser de una variable podemos aplicar L’Hˆopital, con lo cual l´ım

x→0

k x+senx k x+x =

k+ 1

k+ 1 = 1 para k6=1

sin embargo, si nos aproximamos al punto (0, 0) mediante la curva y = x3 x

resulta l´ım

(x,y)(0,0)

y+senx

x+yy=x

3xÃ= l´ım

x→0

x3x+senx

x3x+x

y al ser de una variable podemos aplicar L’H’opital, con lo cual l´ım

x→0

x3x+senx

x3 = l´ımx0

3x21 +cosx

3x2 = l´ımx0

6x−senx

6x = l´ımx→0

6−cosx

6 =

5 6 Con lo cual podemos afirmar que el l´ımite propuesto no existe.

Ejemplo 1.3.5. Calcule, si existe, el valor del siguiente l´ımite: l´ım

(x,y)(0,0)

x3+ 4x2+ 2y2

2x2+y2

Soluci´on Se tiene que

l´ım

(x,y)(0,0)

x3+ 4x2+ 2y2

2x2+y2 = (x,yl´ım)(0,0)

x3

2x2+y2 + 2

= l´ım

(x,y)(0,0)(

x 2) (

2x2

2x2+y2) + 2

= 0 + 2 = 2

Notemos que l´ım

(x,y)(0,0)(

x 2) (

2x2

2x2+y2) = 0 ya que l´ımx0

x

2 = 0 y

2x2

2x2+y2 1 (acotada)

Observaci´on 1.3.1. .

Si este ´ultimo ejemplo se hiciera por trayectorias y consideraramos la trayectoria y2 =x3 2x2 se tendria

l´ım

(x,y)(0,0)

x3+ 4x2+ 2y2

2x2+y2 =Ãy

2 =x32x2 Ã= l´ım

x→0

x3+ 4x2+ 2(x32x2)

2x2+ (x32x2) = 3

Este resultado es FALSO ya que la trayectoria y2 = x3 2x2 NO PASA POR

(14)

1.3. LIMITES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 13

Figura 1.8: Gr´afica de la trayectoriay2=x32x2 Por lo tanto

l´ım

(x,y)(0,0)

x3+ 4x2+ 2y2

2x2+y2 = 2

Este resultado se puede corroborar usando la definici´on de limite.

1.3.2. Limites parciales iterados ´o reiterados Se pueden calcular los siguientes l´ımites:

l´ım

x→x0

[ l´ım

y→y0

x6=x0

f(x, y)]

l´ım

y→y0

[ l´ım

x→x0

y6=y0

f(x, y)]

Si estos dos limites son distintos, entonces la funci´on no tiene l´ımite, pero si son iguales o alguno de ellos no existe, entonces no se puede asegurar nada sobre el l´ımite doble.

Ejemplo 1.3.6. Demuestre que el siguiente l´ımite no existe. l´ım

(x,y)(0,0)

x2y2

x2 +y2

soluci´on

l´ım

x→0[l´ımy→0 x6=0

x2y2

x2 +y2] = l´ımx0

x20

x2+ 0 = 1

l´ım

y→0[l´ımx→0 y6=0

x2y2

x2+y2] = l´ımy0

0−y2

0 +y2 =1

(15)

1.3. LIMITES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 14

Ejemplo 1.3.7. Demuestre que el siguiente l´ımite existe y sin embargo no existen ninguno de los iterados.

l´ım

(x,y)(0,0)(x sen(

1

y) +y sen( 1 x)) soluci´on

El limite doble existe

l´ım

(x,y)(0,0)(x sen(

1

y) +y sen( 1

x)) = 0.funci´on acotada + 0.funci´on acotada = 0 Mientras que los l´ımites iterados no existen, en efecto:

l´ım

x→0[l´ımy→0 x6=0

(x sen(1

y) +y sen( 1

x))] = l´ımx→0[no definido + 0] = No definido

l´ım

y→0[l´ımx→0 y6=0

(x sen(1

y) +y sen( 1

x))] = l´ımy→0[0 + no definido] = No definido

Teorema 1.3.4. Relaci´on entre los diferentes tipos de lim´ıtes.

1. Si existe el limite en un punto P ∈D0 de una funci´on f :D R2 R y vale

l, entonces existe el l´ımite seg´un cualquier subconjunto en dicho punto P vale l.

2. Sea f :D⊂R2 R yP = (x

0, y0)∈D0. Si en P existe el limite y los limites

reiterados de f, entonces los tres coinciden.

NOTA 1.3.1.

Para el c´alculo del l´ımite doble suele ser usual el paso a coordenadas polares con origen en P = (x0, y0).

El cambio a coordenadas polares dado por las relaciones

x=x0+rcosθ , y=y0+rsenθ

convierte l´ım

(x,y)(x0,y0)

f(x, y) en l´ım

r→0F(r, θ). Si por ejemplo la funci´on F(r, θ) es tal

que verificaF(r, θ) =g(r)h(θ) con l´ım

r→0g(r) = 0 y la funci´onh(θ) est´a acotada para

θ∈[0,2π) entonces podemos asegurar que

l´ım

(x,y)(x0,y0)

(16)

1.4. CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 15

Ejemplo 1.3.8. Estudie la existencia del l´ımite: l´ım

(x,y)(0,0)

x2y2

(x2+y2)32

Soluci´on

Pasando a coordenadas polares x=x0 +rcosθ , y=y0+rsenθ se tiene

l´ım

(x,y)(0,0)

x2y2

(x2+y2)32

= l´ım

r→0

r4sen2θ cos2θ

r3 = l´ımr0r sen

2θ cos2θ = 0

Notemos que la funci´onsen2θ cos2θ est´a acotada y l´ım

r→0r= 0

1.4.

Continuidad de funciones de varias variables

Definici´on 1.4.1. Seaf :D⊂Rn Runa funci´on definida en el conjunto abierto

D de Rn y sea X

0 ∈D. Se dice que f es una funci´on continua en X0 si,

l´ım

X→X0

f(X) = f(X0).

Observaci´on 1.4.1. .

1. Si no existe f(X0), pero se verifica que el limite existe, l´ım

X→X0

f(X) =l donde l R, puede prolongarse f por continuidad ampliando el dominio de definici´on de la funci´on f al punto X0 haciendo f(X0) = l. En este caso se dice que la

discontinuidad es evitable.

2. Si l 6= f(X0) se puede redefinir la funci´on en X0 haciendo f(X0) = l y la

funci´on as´ı definida es continua en X0.

3. Se establece que si X0 es un punto aislado de D entonces f es continua en X0.

Ejemplo 1.4.1. Estudie si las funciones,

1. f(x, y) =

 

(senx)2seny

x2+y2 si (x, y)6= (0,0)

0 si (x, y) = (0,0) 2. g(x, y) = xx32++yy32

(17)

1.5. EJERCICIOS PROPUESTOS 16

Soluci´on 1. Domf =R2

a) Si (x, y)6= (0,0)

La funci´onf(x, y) es continua, ya que es cociente de funciones continuas. b) Si (x, y) = (0,0) Se tiene que

l´ım

(x,y)(0,0)

(senx)2seny

x2 +y2 =(x,yl´ım)(0,0)

(senx)2

x2

seny y

x2y

x2+y2 =(x,yl´ım)(0,0)

x2y

x2+y2

y pasando a coordenadas polares,

l´ım

(x,y)(0,0)

x2y

x2+y2 = l´ımr0

r3cos2θsenθ

r2 = l´ımr0r cos

2θ senθ= 0

Entonces f es continua en (0,0).

De a) y b) concluimos que f es continua.

2. Domg =R2(0,0). Notemos que la funci´on g no est´a definida en (0,0).

Veamos entonces si g se puede prolongar por continuidad al punto (0,0). Para esto, estudiemos el limite de la funci´on g(x, y) en (0,0).

l´ım

(x,y)(0,0)

x3 +y3

x2 +y2 = l´ımr0

r3(cos3θ+sen3θ)

r2 = l´ımr0r(cos

3θ+sen3θ) = 0

Se concluye que g se puede redefinir como

g∗(x, y) =

 

x3+y3

x2+y2 si (x, y)6= (0,0)

0 si (x, y) = (0,0) de tal manera que es continua.

1.5.

Ejercicios Propuestos

1. Demuestre aplicando la definici´on de limite : a) l´ım

(x,y)(0,1)

x2y2

x2+y2 =1.

b) l´ım

(x,y)(0,0)x

2sen(x2+y2) = 0.

c) l´ım

(x,y)(1,2)((x1)

2+ (y2)2) = 0.

(18)

1.6. DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES 17

a) l´ım

(x,y)(0,−2)

x3sen(y24)

(y+ 2)senx . b) l´ım

(x,y)(0,0)

(1−cos(xy))sen(x) x2+y2 .

c) l´ım

(x,y)(0,0)

exy1

senx ln(y+ 1). d) l´ım

(x,y)(0,0)

tanx seny x2+y2 .

e) l´ım

(x,y)(0,0)

x2

y−1.

3. Calcule, si existen, los siguientes limites iterados y el limite doble de las fun-ciones:

a) f(x, y) = x

2 y4

x2+y4 en (0,0)

b) g(x, y) = x

2y2

x4+y4 en (0,0)

c) h(x, y) =y2sen1

x en (0,0) 4. Halle si existe,

a) l´ım

(x,y,z)(0,0,0)

y2z

x2 +y2+z2 , (x,yl´ım)(1,1)

Lnx tan(y−1) xy−x−y+ 1 b) l´ım

(x,y,z)(0,0,0)

y2z

x2 +y2+z2

c) l´ım

(x,y,z)(0,0,0)

yz x2 +y2+z2

d) l´ım

(x,y,z)(0,0,0)f(x, y, z) dondef(x, y, z) =  

x2 +y2 x0

x2 +z2 x <0

1.6.

Derivadas parciales de funciones reales de varias

vari-ables

Definici´on 1.6.1. Seaf :D⊂R2 Runa funci´on definida en el conjunto abierto

D⊂R2 y P

o = (xo, yo)∈D.

1. La derivada parcial de f con respecto a x en el punto Po denotado por ∂f∂x(Po)

´o D1f(Po), es el limite:

∂f

∂x(xo, yo) = l´ımh→0

f(xo+h, yo)−f(xo, yo)

(19)

1.6. DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES 18

2. La derivada parcial de f con respecto a y en el punto Po denotado por ∂f∂y(Po)

´o D2f(Po), es el limite:

∂f

∂y(xo, yo) = l´ımk→0

f(xo, yo+k)−f(xo, yo)

k cuando tal limite existe.

La definici´on anterior se puede generalizar de la siguiente manera:

Definici´on 1.6.2. Seaf :U Rn Runa funci´on definida en el conjunto abierto

U Rn y Q = (a

1, a2, ...an) U.La i-´esima derivada parcial de f en el punto Q

(donde 1≤i≤n) denotado por ∂x∂fi(Q) ´o Dif(Q), es el limite:

∂f ∂xi

(a1, a2, ...an) = l´ım h→0

f(a1, a2, ..ai+h, ...an)−f(a1, a2, ...an)

h cuando tal limite existe.

La ´ultima expresi´on tambien se puede expresar como: ∂f

∂xi

(Q) = l´ım

h→0

f(Q+h ei)−f(Q)

h dondeei = (0,0, .., |{z}1 i-´esimo lugar

, ...,0,0)

Ejemplo 1.6.1. si

f(x, y) =

 

x3y2

1−cosx+y, y 6=cosx−1

0, y=cosx−1 calcule ∂f∂x(0,0) y ∂f∂y(0,0) si existe.

Soluci´on

∂f

∂x(0,0) = l´ımh→0

f(0 +h,0)−f(0,0) h

= l´ım

h→0

h3

1−cosh 0

h

= l´ım

h→0

h2

1−cosh = 2 ∂f

∂y(0,0) = l´ımk→0

f(0,0 +k)−f(0,0) k

= l´ım

k→0

−k2

11+k 0

k

= l´ım

k→0

−k2

(20)

1.6. DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES 19

1.6.1. Interpretaci´on geom´etrica de las derivadas parciales

Sea f : D R2 R una funci´on definida en el conjunto abierto D R2 cuya

gr´afica es la superficie:

Graf f ={(x, y, z)R3 / z =f(x, y) (x, y)D} ⊂R3.

Supongamos que existen ∂f∂x(Po) y ∂f∂y(Po)y donde Po = (xo, yo)∈D.

Figura 1.9:

1. Sea α la curva de intersecci´on del plano y=yo con el gr´afico de f.

La pendiente de la recta secante Ls1 que pasa por P = (x, y, z) y Qo =

(xo, yo, f(xo, yo)) en el plano y=yo es

ms1 =

f(xo+h, yo)−f(xo, yo)

h

entonces cuando h 0, ms1 mT1 donde mT1 es la pendiente de la recta

tangente LT1 a la curva α en el punto Qo ∈Graf f. Esto es:

∂f

∂x(xo, yo) = l´ımh→0

f(xo+h, yo)−f(xo, yo)

h =mT1

Luego la ecuaci´on de la recta tangente LT1 es dado por:

z−zo =

∂f

∂x(xo, yo)(x−xo) y=yo y su forma sim´etrica es:

x−xo =

z−zo ∂f

∂x(xo, yo)

y=yo

El vector direccional de la recta tangente LT1 es −→a = (1,0, ∂f

(21)

1.6. DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES 20

2. Sea β la curva de intersecci´on del planox=xo con el gr´afico def.

La pendiente de la recta secante Ls2 que pasa por P

0 = (x, y, z) y Q

o =

(xo, yo, zo) en el planox=xo es

ms2 =

f(xo, yo+k)−f(xo, yo)

k

entonces cuando k 0, ms2 mT2 donde mT2 es la pendiente de la recta

tangente LT2 a la curva β en el punto Qo∈Graf f. Esto es:

∂f

∂y(xo, yo) = l´ımk→0

f(xo, yo+k)−f(xo, yo)

k =mT2

Luego la ecuaci´on de la recta tangente LT2 es dado por:

z−zo =

∂f

∂y(xo, yo)(x−xo) x=xo y su forma sim´etrica es:

y−yo =

z−zo ∂f

∂y(xo, yo)

x=xo

El vector direccional de la recta tangente LT2 es

b = (0,1,∂f∂y(xo, yo)).

1.6.2. Plano tangente

El plano tangente a la superficie S : z = f(x, y) en el punto (xo, yo, f(xo, yo))

determinado por las rectas tangentes LT1 y LT2 es el plano con vector normal

N =−→a ×−→b =

   

i j k

1 0 ∂f

∂x(xo, yo)

0 1 ∂f∂y(xo, yo)

   = (

∂f

∂x(xo, yo), ∂f

∂y(xo, yo),1)

cuya ecuaci´on est´a dada por:

((x, y, z)(xo, yo, f(xo, yo)))N = 0

luego

∂f

∂x(xo, yo)(x−xo) + ∂f

∂y(xo, yo)(y−yo)(z−zo) = 0

(22)

1.7. FUNCIONES DIFERENCIABLES 21

Figura 1.10:

Soluci´on

Debemos hallar la ecuaci´on del plano tangente P en el punto Qo = (xo, yo, zo)

(ver el grafico). En este caso s´olo nos faltar´ıa hallar el punto Qo que es un punto

que pertenece a la superficie S y al plano P, dado que se puede considerar como vector normalN en el puntoQo al vector (3,8,5) que es el vector normal del plano

3x+ 8y5z = 10. Este ´ultimo resultado se debe a que ambos planos deben ser paralelos entonces sus vectores normales son paralelos.

Por otro lado N = (−∂f∂x(xo, yo),−∂f∂y(xo, yo),1) = (2xo,−2yo,1).

Como N//(3,8,5) N = k(3,8,5) (2xo,−2yo,1) = k(3,8,5),

de donde se obtiene k=1/5, luego xo = 103 y yo = 45.

Dado que Qo S : z =x2 +y2 se tiene entonces zo = x2o+y2o, luego zo = 10073.

Asi obtenemosQo = (103,45,10073)

Finalmente la ecuaci´on del plano tangenteP es:

((x, y, z)( 3 10,

4 5,

73

100)).(3,8,5) = 0 Asi desarollandolo se tiene:

P : 3x+ 8y5z= 73

20

1.7.

Funciones diferenciables

Intuitivamente, que una funci´on z=f(x,y) sea diferenciable en un punto (x0, y0, z0),

(23)

1.7. FUNCIONES DIFERENCIABLES 22

S:z =f(x, y), es decir que la superficie no est´e arrugada en ese punto. En seguida definamos formalmente cuando una funci´on es diferenciable en un punto dado. Definici´on 1.7.1. Sea f : D Rn R y a D. Diremos que f es diferenciable

en el puntoa ∈Dcuando existen las derivadas parciales ∂f ∂x1

(a), ∂f ∂x2

(a), ..., ∂f ∂xn

(a) y adem´as de esto, para todo vector V = (α1, α2, ..., αn) tal que a+V ∈D se tiene

f(a+V) = f(a) + ∂f ∂x1

(a)α1+ ∂f

∂x2

(a)α2 +...+ ∂f

∂xn

(a)αn+r(V)

donde l´ım

V→0

r(V)

||V || = 0

A r(V) se le llama resto.

Ejemplo 1.7.1. Dada la funci´on f(x, y) =

 

x2yy3

x2+y2 , (x, y)6= (0,0)

0, (x, y) = (0,0) ¿Es f diferenciable en (0,0)?

Figura 1.11: gr´afica de la funci´onf(x, y) =xx22y−y+y23

Soluci´on Calculemos:

fx(0,0) = l´ım h→0

f(h,0)−f(0,0)

h = l´ımh→0 00

h2 0

h = 0 fy(0,0) = l´ım

k→0

f(0, k)−f(0,0)

h = l´ımk→0

−k3 k2 0

k =1 l´ım

(h,k)(0,0)

r(h, k)

h2+k2 = (h,kl´ım)(0,0)

f(h, k)−f(0,0)−fx(0,0)h−fy(0,0)k

h2+k2

= l´ım

(h,k)(0,0)

2k h2

(h2+k2)h2+k2

= l´ım

r→0

2r3cos2θ senθ

r3

= cosθ sen(2θ)

(24)

1.8. LA DIFERENCIAL 23

Teorema 1.7.1. Si la funci´on f : D Rn R definida en un conjunto abierto

D⊂Rn es diferenciable en el punto P D entonces f es continua en P.

Ejemplo 1.7.2. Sea

f(x, y) =

 

x2y

x4+y2, (x, y)6= (0,0)

0, (x, y) = (0,0) ¿Es f diferenciable en (0,0)?

Soluci´on

Primero verifiquemos que si f es o no continua en (0,0). l´ım

(x,y)(0,0)

x2y

x4+y2 =

y=x2

à = l´ım

x→0

x4

x4+x4 =

1

2 6= 0 =f(0,0) De este ´ultimo resultado se concluye quef no es continua en (0,0).

Por el resultado equivalente del ´ultimo teorema se tiene quef no es diferenciable en (0,0).

Teorema 1.7.2. Condici´on suficiente de diferenciabilidad

Sea f : D Rn R una funci´on definida en un conjunto abierto D Rn y

a∈D. Si f es continua en a y las funciones ∂f ∂xi

(X) son continuas en a para cada i= 1,2,3, ..., n entonces f es diferenciable en a.

Ejemplo 1.7.3. Sea f(x, y) =sen(x−2y), ¿es f diferenciable? Soluci´on

Cuando simplemente se nos pide que f sea diferenciable eso quiere decir que f debe ser diferenciable en todos los puntos de su dominio. En este caso el dominio de f es Domf =R2.

Notemos que f es continua dado que es una funci´on trigonom´etrica. De igual manera las derivadas parciales fx(x, y) = cos(x−2y) y fy(x, y) = 2cos(x−2y)

son continuas. Por el ´ultimo teorema se concluye que f es diferenciable.

1.8.

La diferencial

Sea f : D Rn R una funci´on diferenciable en el conjunto abierto D Rn.

Entonces para cadaX ∈D tenemos f(X+V) = f(X) + ∂f

∂x1

(X)α1+

∂f ∂x2

(X)α2+...+

∂f ∂xn

(25)

1.8. LA DIFERENCIAL 24

donde l´ım

V→0

r(V)

||V || = 0. Ala parte lineal enα1, .α2, ..., αn de esta expresi´on se le llama

diferencialde la funci´on f enX = (x1, x2, ..., xn) y se denota por df(X). As´ı

df = ∂f ∂x1

α1+

∂f ∂x2

α2+...+

∂f ∂xn

αn

Observemos que si f(x1, x2, ..., xn) =x1 se obtiene df(x1, x2, ..., xn) = dx1 = α1, si

f(x1, x2, ..., xn) = x2 se obtiene df(x1, x2, ..., xn) = dx2 =α2 y si f(x1, x2, ..., xn) =

xn se obtiene df(x1, x2, ..., xn) = dxn=αn. Luego escribimos

df = ∂f ∂x1

dx1+

∂f ∂x2

dx2+...+

∂f ∂xn

dxn.

Volviendo a la definici´on de la diferenciabilidad de la funci´onf podemos escribir f(X+V) =f(X) +df(X) +r(V)

ComoV es peque˜no se tiene

f(X+V)−f(X)≈df(X) Observaci´on 1.8.1. .

Error relativo:ff dff

Error porcentual:ff 100 % dff 100 %

Ejemplo 1.8.1. La potencia el´ectrica est´a dada por P = E2

R, donde E es el voltaje

y R es la resistencia. Aproxime el m´aximo porcentaje de error posible al calcular la potencia para un voltaje de 200 voltios y una resistencia de 4 000 ohms, si los posibles errores en las medidas de E y R son de 2 y 3 %, respectivamente.

Soluci´on Se tiene que d E

E = 0,02 y d RR = 0,03.

Para resolver este problema usemos la diferencial total deP = E2

R y notemos que

P est´a en funci´on de E y R.

d P = 2 E Rd E

E2

R2d R

d P

P = 2 E

P Rd E− E2

P R2d R

= 2E R E2Rd E−

E2R

E2R2d R

= 2d E E

(26)

1.9. DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR 25

Entonces

¯ ¯ ¯ ¯d PP

¯ ¯ ¯

¯ 2

¯ ¯ ¯ ¯d EE

¯ ¯ ¯ ¯+ ¯ ¯ ¯ ¯d RR

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯d PP

¯ ¯ ¯

¯ 2 0,02 + 0,03 = 0,07

por lo tanto, el m´aximo porcentaje de error posible al calcular la potencia el´ectrica es: 7 %

1.9.

Derivadas parciales de orden superior

Sea la funci´on f : D R2 R definida en el conjunto abierto D R2. Si f

es diferenciable, entonces existen las derivadas parciales ∂f∂x y ∂f∂y en cualquier punto (x, y)∈D. Ahora consideremos las funciones

∂f

∂x :D⊂R

2 R , ∂f

∂y :D⊂R

2 R

de modo que para cada (x, y) D se les asocia las derivadas parciales ∂f∂x(x, y) y

∂f

∂y(x, y) respectivamente.

Puede ocurrir a su vez que estas funciones tengan las derivadas parciales

∂x( ∂f ∂x) ,

∂y(

∂f ∂y) ,

∂x(

∂f ∂y) ,

∂y(

∂f ∂x)

en un punto (x, y) D. En este caso diremos que estas son las derivadas parciales de segundo orden de la funci´onf y escribiremos:

∂x(

∂f ∂x) =

2f

∂x2 = fxx = D11f à 2da derivada parcial respecto ax

∂y(

∂f ∂y) =

2f

∂y2 = fyy = D22f à 2da derivada parcial respecto a y

∂x(

∂f ∂y) =

2f

∂x ∂y = fyx = D21f à 2da derivada parcial respecto a y y a x

∂y(

∂f ∂x) =

2f

∂y ∂x = fxy = D12f à 2da derivada parcial respecto a x y a y

Teorema 1.9.1. Teorema de Schwarz(igualdad de derivadas cruzadas). Sea la funci´on f : D R2 R definida en el conjunto abierto D R2 y

(27)

1.9. DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR 26

1. existen fx , fy en un entorno de a

2. existen fx y en un entorno de a y es continua en a.

Entonces existe fy x(a) y fx y(a) = fy x(a).

NOTA 1.9.1. El teorema es v´alido para derivadas de ordenes mayores, si se verifi-can las condiciones del teorema para las derivadas sucesivas. Si se verifica el teorema de Schwarz s´olo importa el n´umero de veces que se deriva respecto a cada variable. As´ı por ejemplo fxxy =fxyx =fyxx

Ejemplo 1.9.1. Sea

f(x, y) =

 

x sen y−y sen x

x2+y2 , (x, y)6= (0,0)

0, (x, y) = (0,0) ¿Se cumple, fx y(0,0) =fy x(0,0)?

Soluci´on

fx y(0,0) =

∂yfx(0,0) = l´ımk→0

fx(0, k)−fx(0,0)

k (1.1)

fy x(0,0) =

∂xfy(0,0) = l´ımh→0

fy(h,0)−fy(0,0)

h (1.2)

Ahora calculemos fx(0, k) y fy(h,0)

fx(0, k) = l´ım h→0

f(h, k)−f(0, k) h

= l´ım

h→0

h sen k−k sen h

h(h2+k2) usando L

0Hopitalˆ (para h)se tiene:

= l´ım

h→0

sen k−k cos h 3h2+k2

= sen k−k k2

Tambi´en se tiene:

fx(0,0) = l´ım h→0

f(h,0)−f(0,0)

h = l´ımh→0

00 h = 0 fy(h,0) = l´ım

k→0

f(h, k)−f(h,0) k

= l´ım

k→0

h sen k−k sen h

k(h2 +k2) usando L

0Hopitalˆ (para k)se tiene :

= l´ım

k→0

h cos k−sen h h2+ 3k2

(28)

1.10. DERIVACI ´ON IMPLICITA 27

Tambi´en se tiene:

fy(0,0) = l´ım k→0

f(k,0)−f(0,0) k = l´ımk→0

00 k = 0 De (2.1);

fx y(0,0) = l´ım k→0

sen k−k k2 0

k = l´ım

k→0

sen k−k

k3 usando L

0Hopital se tieneˆ :

= l´ım

k→0

cos k−1 3k2

= 1

6 De (2.2);

fy x(0,0) = l´ım h→0

h−sen h h2 0

h = l´ım

h→0

h−sen h

h3 usando L

0Hopital se tieneˆ :

= l´ım

h→0

1−cos h 3h2

= 1 6 Por lo tanto,fx y(0,0)6=fy x(0,0)

1.10.

Derivaci´

on implicita

Definici´on 1.10.1. Sea la funci´onF :U R3 Rdefinida en el conjunto abierto

U R3. Se dice que la ecuaci´on F(x, y, z) = 0 define z implicitamente como una

funci´on dexey, cuando existe una funci´onf :D⊂R2 Rdefinida en el conjunto

abierto D⊂R2 tal que:

F(x, y, z) = 0 z =f(x, y) , (x, y)∈D

Ejemplo 1.10.1. La ecuaci´on x2 +y2 +z2 8 = 0 representa implicitamente las

funciones z =f(x, y) =p8−x2y2 ´o z =g(x, y) = p8x2 y2.

La ecuaci´on x2+y2+z2+ 1 = 0no representa implicitamente ninguna funci´on.

(29)

1.11. FUNCIONES COMPUESTAS. REGLA DE LA CADENA 28

Teorema 1.10.1. Teorema de la funci´on implicita.

Sea F : U Rn+1 R una funci´on definida en un conjunto abierto U por

z = F(X) para todo X = (x1, x2, ..., xn, y) U, de clase Ck (esto es, F tiene

derivadas parciales continuas hasta de orden k > 1), y que cumple las siguientes condiciones:

Si P = ( ˙x1,x˙2, ...x˙n, y)∈Rn+1 un punto talque F(P) = 0 y ∂F∂y(P) 6= 0 entonces:

la ecuaci´on F(X) = 0 puede resolverse para y en t´erminos de x1, x2, ..., xn y

definir as´ı una funci´ony=f(x1, x2, ...xn)dentro de la bolaB(( ˙x1,x˙2, ...x˙n), δ)⊂Rn

la cual tiene derivadas parciales continuas en B(( ˙x1,x˙2, ...x˙n), δ) y que se pueden

calcularse con las f´ormulas:

∂f ∂xi

(x1, x2, ..., xn) = ∂F

∂xi(x1, x2, ..., xn, y)

∂F

∂y(x1, x2, ..., xn, y)

, (x1, x2, ..., xn)∈B(( ˙x1,x˙2, ...x˙n), δ)

Ejemplo 1.10.2. Dada la ecuaci´on z+zy =xy una de sus soluciones esP(10,3,2).

¿es cierto que cerca de (10,3), z es funci´on de las otras variables x, y? ¿Cu´al es la derivada de esta funci´on implicita?

Soluci´on

Sea F(x, y, z) =z+zyx (x, y, z)R3− {(a,0,0)} con aR

Ahora verifiquemos las condiciones del teorema de la funci´on implicita: 1. F(10,3,2) = 0

2. ∂F

∂z = 1 +y zy−1 ∂F∂z(10,3,2) = 13.22 6= 0

Como se cumple las condiciones del teorema de la funci´on implicita,z es funci´on de las variables x ey, es decir, existe f(x, y) = z , (x, y)∈B((10,3), δ). Luego

∂f

∂x =

∂F ∂x ∂F ∂z

= 1 1+y zy−1

∂f

∂y =

∂F ∂y ∂F ∂z

= zyln z

1+y zy−1

1.11.

Funciones compuestas. Regla de la cadena

(30)

1.12. DERIVADA DIRECCIONAL 29

las derivadas parciales dew respecto a las variables independientes r y s, se usa la siguente regla, llamada regla de la cadena.

∂w ∂r = ∂w ∂x ∂x ∂r + ∂w ∂y ∂y ∂r ; ∂w ∂s = ∂w ∂x ∂x ∂s + ∂w ∂y ∂y ∂s

En el caso de que x e y fueran funciones de una sola variable independiente t, se escribir´ıa as´ı

d w d t =

∂w ∂x

d x d t +

∂w ∂y

d y d t

x //t

w > > ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ > > ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Ã Ã @ @ @ @ @ @ @ @

y //t

Ejemplo 1.11.1. Sea f : R3 R suficientemente diferenciable. Se considera la

funci´on

u(x) = f(x, ϕ(x), ψ(x))

con ϕ sufientemente derivables. Halle d2u dx2

Soluci´on

Consideremosu(x) = f(x, y, z) dondey=ϕ(x) y ψ(x) = z. Luego:

ux =fx+fyϕ0+fzψ0

x f ? ? ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ / / Â Â > > > > > > >

> y //x

z //x

uxx =

∂x(fx) + ∂x(f

0) +

∂x(f

0)

= fxx+fxyϕ0+fxzψ0+ (fyx+fyyϕ0 +fyzψ0)ϕ0+fyϕ00

+(fzx+fzyϕ0+fzzψ0)ψ0+fzψ00

= fxx+ 2fxyϕ0 + 2fxzψ0+fyy0)2+ 2fzyϕ0ψ0+fyϕ00+fzz0)2+fzψ00

1.12.

Derivada direccional

Las derivadas parcialesfx(x, y) yfy(x, y), representan, respectivamente, la

(31)

1.12. DERIVADA DIRECCIONAL 30

hallar la pendiente en cualquier otra direcci´on se utilizan las derivadas direccionales. Es decir, las derivadas parciales nos dan una medida de la variaci´on de una funci´on solamente en la direcci´on de cada eje coordenado. Es natural buscar un concepto m´as general de derivada a fin de que nuestras consideraciones no queden restringidas a las direcciones particulares de los ejes coordenados y nos permita estudiar la raz´on de incrementos en una direcci´on cualquiera. La derivada direccional responde a este prop´osito.

Definici´on 1.12.1. Sea f : U Rn R una funci´on definida en un conjunto

abierto U Rn y P

o U. Sea −→v un vector unitario dado de Rn. Se define la

derivada def enPo, en la direcci´on del vector−→v, denotado porD−→vf(Po) ´o ∂f−→v(Po)

como el limite

D−→vf(Po) = l´ım

h→0

f(Po+h−→v )−f(Po)

h si este limite existe.

1.12.1. Interpretaci´on geom´etrica de las derivadas direccionales

Sea f : U R2 R una funci´on definida en el conjunto abierto D R2 cuya

gr´afica:

Graf f ={(x, y, z)R3 / z =f(x, y) (x, y)U} ⊂R3

es una superficie S R3. Sea P

o = (xo, yo) D y −→v = (v1, v2) un vector unitario

Figura 1.12:

de R2, entonces la recta L ={P

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Descargar ahora (56 pages)
Related subjects : funciones en dos variables