Capítulo V Matemática V (739)
Objetivo 5. Aplicar las integrales de línea de una función de una variable compleja o la fórmula integral de Cauchy en la resolución de problemas.
Antes de comenzar a desarrollar este objetivo, veremos algunas definiciones.
CONTORNOS
Las integrales de funciones complejas se definirán sobre curvas en el plano complejo, y no sobre intervalos en la recta real. Así, un conjunto de puntos z= f x y
( )
, en el plano complejo se dice que constituyen un arco si:( )
( )
z=x t +iy t a≤ ≤t b
El arco C será simple o de Jordan si no se corta a si misma, es decir, cuando t1 ≠t2 es z t
( ) ( )
1 ≠z t2 , solo cuando la curva es cerrada ocurre que( ) ( )
z a =z b en los extremos del intervalo de variación del parámetro. Algunas curvas importantes son:
Círculo
0
Re
i
z
= +
z
θ0
≤ ≤
θ
2
π
Este es un círculo con centro en
z
0 y radioR
. Observa:( )
( )
z=x t +iy t ; z0 =x t
( )
0 +iy t( )
0 ;e
cos
iisen
θ
=
θ
+
θ
Sustituyendo en
z
= +
z
0Re
iθ , se tiene:( )
( ) ( )
0( ) (
0 cos)
x t +iy t =x t +iy t +R θ+isenθ( )
( ) ( )
0( )
0 cosx t +iy t =x t +iy t +R θ+iRsenθ
( )
( ) ( )
0 cos(
( )
0)
x t +iy t =x t +R θ +i y t +Rsenθ Igualando la parte real y la imaginaria:( ) ( )
( ) ( )
00cos x t x t R
y t y t Rsen
θ θ
= +
= +
Ahora bien, el círculo
z
=
e
iθ , con0
≤ ≤
θ
2
π
, tiene centro en el origen y radio 1, es decir, se trata del circulo unidad.Este círculo unidad
z
=
e
iθ tiene recorrido positivo, es decir, en sentido contrario de las agujas del reloj, su gráfica es:Si se tratara del arco
z
=
e
−iθ, con0
≤ ≤
θ
2
π
, entonces sería la misma circunferencia anterior, pero recorrida en sentido negativo, es decir, en el sentido de las agujas del reloj, así:Si se nos presenta el arco
z
=
e
2iθ , con0
≤ ≤
θ
2
π
, entenderemos que se trata de la circunferencia unidad, pero recorrida 2 veces en sentido contrario a las agujas del reloj.Un círculo también se puede representar a través de la ecuación: 0
Donde z0 es el centro y R el radio.
INTEGRALES DE LÍNEA O DE CONTORNO
Supongamos un contorno en el plano complejo que va desde
z
1 hasta2
z
, entonces la integral de línea depende de dicho contornoC
y de la función( )
f z
, así:( )
2( )
1
z
C z
f z dz
=
f z dz
∫
∫
Si z t
( )
, con a≤ ≤t b representa un contorno C yf z
( )
es continua a trozos sobre C, es decir,f z t
( )
( )
es continua a trozos en a≤ ≤t b, se define la integral de línea o de contorno como:( )
( ) ( )
'b
C a
f z dz
=
f z t
z t dt
∫
∫
Si el contorno se recorre en sentido contrario a C, es decir, se tiene −C, entonces la Parametrización sería z
( )
−t , con − ≤ ≤ −b t a, entonces:( )
( )
'( )
a
C b
f z dz
f z
t
z
t
dt
−
− −
=
−
− −
∫
∫
Lo anterior se puede escribir perfectamente simplificado así:
( )
( )
C C
f z dz
f z dz
−
= −
∫
∫
Si el contorno C consta de la unión de varios contornos, por ejemplo 1 2
C=C ∪C , entonces:
( )
( )
( )
1 2
C C C
f z dz
=
f z dz
+
f z dz
∫
∫
∫
En estas integrales también se cumple:
• 0
( )
0( )
C C
z f z dz
=
z
f z dz
•
(
( ) ( )
)
( )
( )
C C C
f z
+
g z
dz
=
f z dz
+
g z dz
∫
∫
∫
Es importante mencionar que toda función analítica sobre un dominio simplemente conexo
D
tiene primitiva enD
.TEOREMA INTERGARL DE CAUCHY O TEOREMA DE CAUCHY-GOURSAT Sea f una función analítica en un dominio D acotado, simplemente conexo. Entonces, para todo contorno o trayectoria cerrada simple contenida en D, se verifica:
( )
0C
f z dz=
∫
Aspectos a recordar
************************************************************************************ Recordemos que una función analítica en un conjunto D es aquella que es derivable en todo punto de D. También se utilizan los siguientes términos para mencionar funciones analíticas:
Funcion analitica=Funcion diferenciable=Funcion holomorfa=Funcion regular
Si una función compleja f z
( )
es analítica en todo el plano complejo ℂ,entonces se llama entera.
************************************************************************************ Un dominio simplemente conexo
D
es un dominio tal que todo contorno cerrado dentro de él, encierra sólo puntos deD
, es decir, no tiene agujeros.Un dominio que no es simplemente conexo, es decir que es solo conexo, se llamará múltiplemente conexo
************************************************************************************
Consecuencias importantes del teorema integral de Cauchy
1. Si f es analítica en un dominio
R
simplemente conexo, entonces laintegral
( )
BA
f z dz
∫
es independiente de la trayectoria.A
yB
son los2 Si
C
1 yC
2 son contornos simples cerrados orientados positivamente,donde
C
2 es interior aC
1, siendo f z( )
analítica en la región cerrada que forman esos contornos y los puntos situados entre ellos,Entonces:
( )
( )
1 2
C C
f z dz = f z dz
∫
∫
Este tipo de regiones se llama doblemente conexo.
3 Si f z
( )
es analítica en la región comprendida entre n curvas simples cerradas que no se intersectan entre ellas y siendo analíticas también sobre ellas:Entonces:
( )
( )
( )
( )
1 2
...
n
C C C C
f z dz= f z dz+ f z dz+ + f z dz
Este tipo de regiones se llama " "n veces conexo.
4 Consideremos 2 contornos cerrados simples
C
1 yC
2, tales que todos los puntos deC
2 quedan en el interior deC
1. Si una función f z( )
es analítica enC
1, enC
2 y en todos los puntos del dominio doblemente conexoD
definido porC
1 yC
2, entonces:( )
( )
1 2
C C
f z dz= f z dz
∫
∫
La siguiente fórmula es la consecuencia más importante del Teorema de Integral de Cauchy:
FORMULA INTEGRAL DE CAUCHY
Sea f z
( )
una función analítica en un dominio simplemente conexo D. Entonces para cualquier punto z0 contenido en el interior de D y para cualquier camino o trayectoria C cerrado simple también contenido en el interior de D que contenga al punto z0 se tiene:( )
( )
0 0
2 .
C
f z
dz i f z z−z = π
∫
Donde la integración está tomada en sentido antihorario.
NOTA: Esta fórmula no es aplicable a puntos que pertenezcan al contorno C.
Ejemplos de aplicación de esta fórmula. 1) Calcular
(
2)
(
)
9
C
zdz z z i
− +
∫
, donde el contorno C es el círculopositivamente orientado z =2. Resolución:
La función
( )
(
2)
(
)
9
z f z
z z i
=
− + es analítica en el interior y sobre C, sin
embargo, si analizamos los puntos donde la función no existe:
(
2)
(
)
2 12
3
9 3
9 0
9 0 9 3
0
z z
z z i z
z i z i
= =
− = →
− + = → = − = −
+ = → = −
Observando si están en el interior o exterior de C, siendo el entorno
2
z = , una circunferencia con centro en el origen y radio 2, se tiene:
Se aprecia claramente, que el único punto dentro de z =2 es z3 = −i, por lo tanto:
(
)
(
)
(
)
(
( )
)
(
)
2 2
2 2
9 9
2 .
9 9
C C C
z i
z z
dz dz
z z
zdz z
i
z i z i
z z i π z
=−
− −
= = =
+ − −
− + −
∫
∫
∫
Observa que en el numerador esta la nueva función
( )
(
2)
9
z f z
z
=
− y en el
denominador, queda la expresión que generó el punto dentro del entorno
( )
z i+ = − −z i .
Ahora evaluamos:
(
2)
(
( )
2)
(
9( )
1)
(
9 1)
109 9
z i
z i i i i
z i
=−
− − − −
= = = =
+ − −
−
− −
Por lo tanto:
(
)
(
)
( )
( )
2
2
2 2 1 2
2 .
10 10 10 10 5
9
C
i
zdz i
i z z i
π π π π
π − − − −
= = = = =
− +
∫
región S comprendida entre C1y C2 (C1y C2 tomados en un sentido tal que la región S quede a la izquierda) y z0 es un punto interior a S,
Entonces:
( )
( )
( )
( )
1 2
0
0 0 0
1 1 1
2 C 2 C 2 C
f z f z f z
f z dz dz dz
i z z i z z i z z
π π π
= = +
− − −
∫
∫
∫
2) Calcule cos
( )
1C
z dz z−
∫
, donde C es el contorno triangular mostrado aResolución:
La función f z
( )
=cos( )
z es analítica sobre y dentro del contorno C y además, el punto donde la función no existe, es decir, z− =1 0, es decir z0 =1 está en el interior de C, podemos aplicar la fórmula de la integral de Cauchy:( )
( )
( )
0 1
cos
2 cos 2 cos 1
1 z
C
z
dz i z i
z− = π = = π
∫
3) Calcule cos
( )
1C
z dz z+
∫
, donde C es el contorno triangular mostrado acontinuación, recorrido en sentido positivo:
Resolución:
Como el punto donde se anula el denominador z+ =1 0, es decir z0 = −1 está en el exterior de C, NO podemos aplicar la fórmula de la integral de Cauchy. Sin embargo, como la función cos
( )
1 z
z+ es analítica tanto sobre C como en todo punto en su interior, podemos aplicar el Teorema de Cauchy-Goursat, así:
( )
cos0 1
C
z dz z+ =
∫
4) Calcule 1 cos2
( )
2 C 1
z dz i z
Primero, ubiquemos los puntos singulares que son aquellos donde la función no existe, en este caso, donde se anula el denominador de la función integrando:
2 1 0 z + =
Para factorizar recordamos: 2 2
(
)(
)
a +b = −a b a b+ , se tiene:
( )
(
)(
)
2 2 2 2
1 1
z + = − − = − = −z z i z i z i+ Por lo tanto, los puntos singulares son:
(
)(
)
12 0 0
0
z i z i
z i z i
z i z i
=
− =
− + = → →
= − + =
Segundo, graficamos el entorno, para saber si estos puntos singulares están ubicados dentro o fuera del mismo, para saber si aplicamos la Fórmula integral de Cauchy o el Teorema de Cauchy-Goursat. En este caso se tiene:
: 2 2
C z− i = , ésta es una circunferencia de centro en 2i y radio 2, por lo tanto:
Observamos que el factor
(
z i−)
se anula dentro del contorno de integración(
z1=i)
y que(
z i+)
no se anula ni sobre dicho entorno ni en su interior.Tercero, escribimos la integral convenientemente, según la situación anterior:
( )
( )
(
)(
)
( )
2
cos
cos cos
1 1 1
2 C 1 2 C 2 C
z
z z z i
dz dz dz
i z i z i z i i z i
Cuarto, Como la función f z
( )
cos( )
z z i =+ es analítica sobre y dentro del contorno C, podemos aplicar la Fórmula integral de Cauchy:
( )
( )
( )
( )
1 1
2
cos
cos cos cos
1 1 2
2 C 1 2 C 2 z i z i
z
z z i i z z
dz dz
i z i z i i z i z i
π
π π π = =
+
= = =
+ − + +
∫
∫
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
cos cos cos cosh 1 cosh 1 cosh 1
1
cosh 1
2 C 1 2 2 2 2 2
z i i i i i
dz
i z i i i i i i i
π
∫
+ = + = = = i = = −5) Calcule 2 2
1 1
C
z dz z
+ −
∫
, donde C es la circunferencia de radio 1, concentro en: a) z=1; b) 1 2
z= ; c) z= −1; d) z=i Resolución:
CASO a) z=1:
Primero, ubiquemos los puntos singulares que son aquellos donde la función no existe, en este caso, donde el denominador de la función integrando se anula:
2 1 0 z − =
Para factorizar recordamos: 2 2
(
)(
)
a +b = −a b a b+ , se tiene:
(
)(
)
2 2
1 1 1
z − = −z z+ Por lo tanto, los puntos singulares son:
(
)(
)
12 1 1 0
1 1 0
1 1 0
z z
z z
z z
=
− =
− + = → →
= − + =
Observamos que el factor
(
z−1)
se anula dentro del contorno de integración(
z1=1)
y que(
z+1)
no se anula ni sobre dicho entorno ni en su interior.Tercero, escribimos la integral convenientemente, según la situación anterior:
(
)(
)
2
2 2
2
1
1 1 1
1 1 1 1
C C C
z
z z z
dz dz dz
z z z z
+
+ = + = +
− − + −
∫
∫
∫
Cuarto, Como la función
( )
21 1 z f z
z + =
+ es analítica sobre y dentro del contorno C, podemos aplicar la Fórmula integral de Cauchy:
1
2
2 2
1 1
1 1 1 2
1 2 2 2 2
1 1 1 1 2
C z
z
z
z dz i i i i
z π z = π π π
+
+ +
+ = = = =
− + +
∫
CASO b) 1 2 z= :
Primero, ubiquemos los puntos singulares que son aquellos donde la función no existe, en este caso, donde el denominador de la función se anula:
2 1 0 z − =
Para factorizar recordamos: 2 2
(
)(
)
a +b = −a b a b+ , se tiene:
(
)(
)
2 2
1 1 1
(
)(
)
1 21 1 0
1 1 0
1 1 0
z z
z z
z z
=
− =
− + = → →
= − + =
Segundo, graficamos el entorno, para saber si estos puntos singulares están ubicados dentro o fuera del mismo, para saber si aplicamos la Fórmula integral de Cauchy o el Teorema de Cauchy-Goursat. En este caso 1 1
2 z− = , se tiene:
Observamos que el factor
(
z−1)
se anula dentro del contorno de integración(
z1=1)
y que(
z+1)
no se anula ni sobre dicho entorno ni en su interior.Tercero, escribimos la integral convenientemente, según la situación anterior:
(
)(
)
2
2 2
2
1
1 1 1
1 1 1 1
C C C
z
z z z
dz dz dz
z z z z
+
+ = + = +
− − + −
∫
∫
∫
Cuarto, Como la función
( )
21 1 z f z
z + =
+ es analítica sobre y dentro del contorno C, podemos aplicar la Fórmula integral de Cauchy:
1
2
2 2
1 1
1 1 1 2
1 2 2 2 2
1 1 1 1 2
C z
z
z
z dz i i i i
z π z = π π π
+
+ +
+ = = = =
− + +
∫
Primero, ubiquemos los puntos singulares que son aquellos donde la función no existe, en este caso, donde el denominador de la función se anula:
2 1 0 z − =
Para factorizar recordamos: 2 2
(
)(
)
a +b = −a b a b+ , se tiene:
(
)(
)
2 2
1 1 1
z − = −z z+ Por lo tanto, los puntos singulares son:
(
)(
)
12 1 1 0
1 1 0
1 1 0
z z
z z
z z
=
− =
− + = → →
= − + =
Segundo, graficamos el entorno, para saber si estos puntos singulares están ubicados dentro o fuera del mismo, para saber si aplicamos la Fórmula integral de Cauchy o el Teorema de Cauchy-Goursat. En este caso z+ =1 1, se tiene:
Observamos que el factor
(
z+1)
se anula dentro del contorno de integración(
z2 = −1)
y que(
z−1)
no se anula ni sobre dicho entorno ni en su interior.Tercero, escribimos la integral convenientemente, según la situación anterior:
(
)(
)
2
2 2
2
1
1 1 1
1 1 1 1
C C C
z
z z z
dz dz dz
z z z z
+
+ = + = −
− − + +
Cuarto, Como la función
( )
21 1 z f z
z + =
− es analítica sobre y dentro del contorno C, podemos aplicar la Fórmula integral de Cauchy:
( )
2
2
2 2
1 1
1 1
1 2
1 2 2 2 2
1 1 1 1 2
C z
z
z
z dz i i i i
z π z =− π π π
+
− +
+
− = = = = −
+ − − − −
∫
CASO d) z=i:
Primero, ubiquemos los puntos singulares que son aquellos donde la función no existe, en este caso, donde el denominador de la función se anula:
2 1 0 z − =
Para factorizar recordamos: 2 2
(
)(
)
a +b = −a b a b+ , se tiene:
(
)(
)
2 2
1 1 1
z − = −z z+ Por lo tanto, los puntos singulares son:
(
)(
)
12 1 1 0
1 1 0
1 1 0
z z
z z
z z
=
− =
− + = → →
= − + =
Segundo, graficamos el entorno, para saber si estos puntos singulares están ubicados dentro o fuera del mismo, para saber si aplicamos la Fórmula integral de Cauchy o el Teorema de Cauchy-Goursat. En este caso z i− =1, se tiene:
Tercero, no es necesario reescribir la integral. Cuarto, Como la función
( )
2 2
1 1 z f z
z + =
− es analítica sobre y dentro del contorno C, podemos aplicar el Teorema de Cauchy-Goursat, entonces:
2 2
1 0 1
C
z dz z
+ =
−
∫
6) Calcule las siguientes integrales
(
)
(
)
1 2 2
2 2
1 4 1
4
C
C
I dz
z z
I dz
z z
=
+
=
+
∫
∫
, donde C es:
a) El cuadrado de vértices: 1± − ±i, 1 i b) La circunferencia: z i− =2
c) La circunferencia: 1 2 z i− =
d) La circunferencia: 1 1 2 z+ = e) La circunferencia: z+ =3i 2 Resolución:
CASO I
(
)
1 2 2 1
4
C
I dz
z z =
+
∫
a) El cuadrado de vértices: 1± − ±i, 1 i:
Primero, ubiquemos los puntos singulares que son aquellos donde la función no existe, en este caso, donde el denominador de la función se anula:
(
)
(
(
)(
)
)
2
1 2 2 2
3 2
4
0 0 punto singular de orden 2
4 0 2
4 2 2
2
z z z n
z z z i
z z i z i
z i
= → = = =
+ = → =
+ → − + →
= −
Observamos que el factor 2
z se anula dentro del contorno de integración
(
z1= =z2 0)
y que(
z−2i)
y(
z+2i)
no se anula ni sobre dicho entorno ni en su interior.En conclusión:
Como
(
z1= =z2 0)
es interior a la curva C NO se puede aplicar el Teorema de Cauchy-Goursat.Como
(
z1 = =z2 0)
es un punto singular o polo de orden 2, TAMPOCO se puede aplicar la Fórmula de Cauchy.En este punto te preguntaras: ¿QUÉ HACER?
Respuesta: Existen 2 vías de solución, te presentare ambas, tú seleccionas la que más se te haga cómoda:
Tercero.
• Calculando la integral de línea
1 2 3 4
C C C C C
= + + +
∫
∫
∫
∫
∫
, donde1 2 3 4
, , y
C C C C
∫ ∫ ∫ ∫
son las respectivas integrales de línea sobre cada uno delos correspondientes lados del cuadrado dado.
• Aplicando el principio de deformación de contornos, consistentes en transformar el cuadrado dado en la circunferencia z =1, obteniendo:
0
2
i i
z
e
θdz
ie
θθ
π
=
⇒
=
≤ ≤
(
)
( ) ( )
(
)
2
1 2 2 2 2
0
1 1
4 4
i i i
C
I dz ie d
z z e e
π
θ
θ θ
θ
= =
+ +
∫
∫
Para calcular la primitiva
( ) ( )
2(
2)
4i i i
ie d
e e
θ
θ θ
θ
+
∫
practicamos el cambio devariable:
i i
u
=
e
θ→
du
=
ie d
θθ
, los nuevos límites serían:( )0 0 1
2 2
0
1
2
cos 2
2
1 0 1
i i
i
u
e
e
u
e
u
e
isen
θ
π
θ
θ
π
π
π
=
=
= =
=
→
=
=
=
+
= + =
֏
֏
Entonces:
(
)
1
2 2 1
0
4
du
u
u
+
=
∫
Por que los límites de integración son iguales.
Este resultado viene a comprobar una vez más que la analiticidad de una función sobre una curva C y en todo punto interior a la misma, es condición suficiente para que
( )
0C
f z dz=
∫
, mas no es necesaria.b) La circunferencia: z i− =2:
Primero, ubiquemos los puntos singulares que son aquellos donde la función no existe, en este caso, donde el denominador de la función se anula:
(
)
(
(
)(
)
)
2
1 2 2 2
3 2
4
0 0 punto singular de orden 2
4 0 2
4 2 2
2
z z z n
z z z i
z z i z i
z i
= → = = =
+ = → =
+ → − + →
= −
Observamos que los factores 2
z y
(
z−2i)
se anula dentro del contorno de integración(
z1= =z2 0)
y z3 =2i y que(
z+2i)
no se anula ni sobre dicho entorno ni en su interior.En conclusión:
(
z1= =z2 0)
es un polo o singularidad de orden 2 interior a C3 2
z = i es un polo o singularidad de orden 1 interior a C 4 2
z = − i es un polo o singularidad de orden 1 exterior a C Por lo tanto:
NO se puede aplicar el Teorema de Cauchy-Goursat, porque f z
( )
no es analítica en el interior de CTampoco se puede aplicar la Fórmula integral de Cauchy, porque
(
z1= =z2 0)
es un polo doble o singularidad de orden 2.En fin, es necesario calcular la integral de línea
(
)
1 2 2 1
4
C
I dz
z z =
+
∫
.Primero factorizamos el denominador, como ya tenemos las raíces, que son los polos o singularidades, podemos escribir:
(
)
2(
)(
)
2 2
1 1
2 2
4 z z i z i
z z + = + −
Ahora podemos escribir las fracciones simples:
(
)(
)
2 2
1
2 2 2 2
A B C D
z z+ i z− i = z + +z z+ i+ z− i
Calculemos los coeficientes A B C, , y D.
(
)(
)
(
)(
)
(
(
)(
)(
)
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
1
2 2 2 2
A z i z i Bz z i z i Cz z i Dz z i
z z i z i z z i z i
+ − + + − + − + +
=
+ − + −
(
)(
)
2
1
2 2
z z+ i z− i
(
)(
)
(
)(
)
(
)
(
)
(
)(
)
2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 2
A z i z i Bz z i z i Cz z i Dz z i
z z i z i
+ − + + − + − + +
=
+ −
(
2)
(
2)
2(
)
2(
)
4 4 2 2 1
A z + +Bz z + +Cz z− i +Dz z+ i =
2 3 3 2 3 2
4 4 2 2 1
Az + A+Bz + Bz+Cz − iCz +Dz + iDz =
(
)
3(
)
22 2 4 4 1
B+ +D C z + A− iC+ iD z + Bz+ A=
Igualando coeficientes polinomicos: 0
2 2 0
4 0
4 1
B D C A iC iD
B A + + =
− + =
=
=
Resolviendo el sistema:
0 0
1
2 2 0 2 2 0
4 0
0 1
1 4
4 D C B D C
A iC iD iC iD
B
B A
A + =
+ + =
− + = − + =
→
=
=
=
=
Como D C+ = → = −0 D C, entonces:
1 1 1 1 1 1
2 2 0 4 0 4 4
4− iC− iC= → −4 iC = → iC= →4 iC= → =4 C 4 4× i =16i
Luego 1
16
D C D
Entonces con: 1 4 0 1 16 1 16 A B C i D i = = = = −
, se tiene:
(
)
1 2 2 2 2
1 1 1 0 1 1 1 1
2 2 4 16 2 16 2
4
C C C
A B C D
I dz dz dz
z z z i z i z z i z i i z i
z z = = + + + = + + − + − + − +
∫
∫
∫
1 21 1 1
4C 16 C 2 16 C 2
dz dz dz
I
z i z i i z i
= + −
+ −
∫
∫
∫
Calculemos cada integral: PRIMERA: 1 2
4C
dz z
∫
.Esta integral posee un polo doble, por lo que no se puede aplicar la Fórmula integral de Cauchy y no es analítica dentro de la curva, por lo que tampoco se puede aplicar el Teorema de Cauchy-Goursat, por ello resolvamos la integral de línea:
En este caso podemos aplicar el principio de deformación de contornos, consistentes en transformar la curva
C
dada por la circunferencia z =1, cuyo interior contiene al polo doble(
z1= =z2 0)
, así:0
2
i i
z
e
θdz
ie
θθ
π
=
⇒
=
≤ ≤
Entonces:( )
( )
2 2 2 2 0 1 i i i C d ddz ie i
z e e
π
θ
θ θ
θ
θ
= =
∫
∫
ieθ
2 2 2
0 0 0
i i
d
i i e d i
e π π π θ θ
θ
−θ
= = =∫
∫
∫
e−−iiθ(
)
2 2 0 0 i e e π π − = − −
Pero: 2
(
)
(
)
( )
( )
cos 2 2 cos 2 2 1 0 1
i
e−π = −
π
+isen −π
=π
−isenπ
= + =Entonces:
( )
21
1 1 0
C
dz
z = − − =
∫
SEGUNDA: 1
16 C 2
En este caso podemos aplicar el principio de deformación de contornos, consistentes en transformar la curva
C
dada por la circunferencia con centro en z4 = −2i, para que contenga al polo z4 = −2i, así: z= +z0 reiθ = − +2i reiθ, por lo tanto, se tendría:2 2 i 2 i
i
z i i re i re
dz ire d
θ θ
θ
θ
+ = − + + =
=
Entonces:
2
0
1 1
16 2 16 16
i i
i C
dz ire d i re
i z i i re i
π θ θ
θ
θ
= =
+
∫
∫
id reθ
θ
[ ]
2
2 0 0
1 2
16 16 8
π
π
π π
θ
= = =
∫
TERCERA: 1
16 C 2
dz
i z i
−
−
∫
.Análogamente al caso anterior, se tendría:
1
16 C 2 8
dz
i z i
π
− = −
−
∫
Por lo tanto la integral original 1 2
1 1 1
4 C 16 C 2 16 C 2
dz dz dz
I
z i z i i z i
= + −
+ −
∫
∫
∫
tendría el valor:
(
)
1 2 2 1
0 0
8 8
4
C
I dz
z z
π π
= = + − =
+
∫
c) La circunferencia: 1 2 z i− = :
Primero, ubiquemos los puntos singulares que son aquellos donde la función no existe, en este caso, donde el denominador de la función se anula:
(
)
(
(
)(
)
)
2
1 2 2 2
3 2
4
0 0 punto singular de orden 2
4 0 2
4 2 2
2
z z z n
z z z i
z z i z i
z i
= → = = =
+ = → =
+ → − + →
= −
Observamos que todos los factores 2
z ,
(
z−2i)
y(
z+2i)
no se anula ni sobre dicho entorno ni en su interior, como todos los puntos están en el exterior de la curva C, entonces, se puede aplicar el Teorema de Cauchy-Goursat, ya que( )
(
)
2 2 1
4 f z
z z =
+ es analítica sobre el contorno C y en todo punto de su interior, así:
(
)
1 2 2 1
0 4
C
I dz
z z
= =
+
∫
d) La circunferencia: 1 1 2 z+ = :
Primero, ubiquemos los puntos singulares que son aquellos donde la función no existe, en este caso, donde el denominador de la función se anula:
(
)
(
(
)(
)
)
2
1 2 2 2
3 2
4
0 0 punto singular de orden 2
4 0 2
4 2 2
2
z z z n
z z z i
z z i z i
z i
= → = = =
+ = → =
+ → − + →
= −
Observamos que todos los factores 2
z ,
(
z−2i)
y(
z+2i)
no se anula ni sobre dicho entorno ni en su interior, como todos los puntos están en el exterior de la curva C, entonces, se puede aplicar el Teorema de Cauchy-Goursat, ya que( )
(
)
2 2 1
4 f z
z z =
+ es analítica sobre el contorno C y en todo punto de su interior, así:
(
)
1 2 2 1
0 4
C
I dz
z z
= =
+
∫
e) La circunferencia z+ =3i 2:
Primero, ubiquemos los puntos singulares que son aquellos donde la función no existe, en este caso, donde el denominador de la función se anula:
(
)
(
(
)(
)
)
2
1 2 2 2
3 2
4
0 0 punto singular de orden 2
4 0 2
4 2 2
2
z z z n
z z z i
z z i z i
z i
= → = = =
+ = → =
+ → − + →
= −
Observamos que el factor
(
z+2i)
se anula dentro del contorno de integración(
z4 = −2i)
y los factores 2z y
(
z−2i)
no se anula ni sobre dicho entorno ni en su interior.Como existe un solo punto singular y de orden uno (1), se puede aplicar la Fórmula de Cauchy.
Tercero, escribimos la integral convenientemente, según la situación anterior:
(
)
(
)(
)
(
)
2
1 2 2 2
1 2
1 1
2 2 2
4
C C C
z z i
I dz dz dz
z z i z i z i
z z
−
= = =
− + +
+
∫
∫
∫
(
)
( )
21
1 2 2
C
z z i
I dz
z i
− =
− −
∫
Cuarto, Como la función
( )
(
)
2 1
2 f z
z z i =
− es analítica sobre y dentro del contorno C, ciertamente podemos aplicar la Fórmula integral de Cauchy:
(
)
( )
(
)
( ) (
)
( )( )
4
2
1 2 2
2 1
2 1 1 1
2 2 2
2 2 2 2 2 4 4
C z i
z z i
I dz i i i
z i π z z i =− π i i i π i
−
= = = =
− − − − − − − −
(
)
1 2 2 1
2 4
C
I dz i
z z π
= =
+
∫
116i 2 16 8
π π
= =
CASO II
(
)
2 2
1 4
C
I dz
z z =
+
∫
a) El cuadrado de vértices: 1± − ±i, 1 i:
Primero, ubiquemos los puntos singulares que son aquellos donde la función no existe, en este caso, donde el denominador de la función se anula:
(
2)
1(
(
)(
)
)
2 2
3
0 0 punto singular de orden 1
4 0 2
4 2 2
2
z z n
z z z i
z z i z i
z i
= → = =
+ = → =
+ → − + →
= −
Segundo, graficamos el entorno, para saber si estos puntos singulares están ubicados dentro o fuera del mismo, para saber si aplicamos la Fórmula integral de Cauchy o el Teorema de Cauchy-Goursat. En este caso el cuadrado es:
Observamos que el factor z se anula dentro del contorno de integración
(
z1=0)
y que(
z−2i)
y(
z+2i)
no se anula ni sobre dicho entorno ni en su interior.En conclusión:
Como existe un solo punto en el interior de la curva C y es de orden uno (1), se puede aplicar la fórmula integral de Cauchy.
(
)
2 2
2 2
1 1
1 4 4
0 4
C C C
z z
I dz dz dz
z z
z z
+ +
= = =
− +
∫
∫
∫
Cuarto, Como la función
( )
21 4 f zz =
+ es analítica sobre y dentro del contorno C, ciertamente podemos aplicar la Fórmula integral de Cauchy:
1
2
2 2 2
0 1
1 1 2
4 2 2
0 4 z 0 4 4 2
C
i i z
I dz i i
z z
π π
π π
=
+
= = = = =
− + +
∫
b) La circunferencia: z i− =2:
Primero, ubiquemos los puntos singulares que son aquellos donde la función no existe, en este caso, donde el denominador de la función se anula:
(
2)
1(
(
)(
)
)
2 2
3
0 0 punto singular de orden 1
4 0 2
4 2 2
2
z z n
z z z i
z z i z i
z i
= → = =
+ = → =
+ → − + →
= −
Observamos que los factores z y
(
z−2i)
se anula dentro del contorno de integración y que(
z+2i)
no se anula ni sobre dicho entorno ni en su interior.En conclusión: 1 0
z = es un polo o singularidad de orden 1 interior a C 2 2
z = i es un polo o singularidad de orden 1 interior a C 3 2
z = − i es un polo o singularidad de orden 1 exterior a C Por lo tanto:
NO se puede aplicar el Teorema de Cauchy-Goursat, porque f z
( )
no es analítica en el interior de CTampoco se puede aplicar la Fórmula integral de Cauchy, porque existen 2 puntos singulares en el interior de C.
En fin, es necesario calcular la integral de línea
(
)
2 2
1 4
C
I dz
z z =
+
∫
.Antes de calcular esta integral, apliquemos fracciones simples, ya que el polinomio del denominador es mayor que el del numerador, éste método fue explicado suficientemente en detalle en Matemática III (733), igual explicare el detalle:
Primero factorizamos el denominador, como ya tenemos las raíces, que son los polos o singularidades, podemos escribir:
(
2)
(
)(
)
1 1
2 2
4 z z i z i
z z + = + −
Ahora podemos escribir las fracciones simples:
(
21)(
2)
2 2A B C
z z+ i z− i = +z z+ i+ z− i
Calculemos los coeficientes A B, y C.
(
)(
)
(
)(
(
)
)(
(
)
)
(
)
2 2 2 2
1
2 2 2 2
A z i z i Bz z i Cz z i
z z i z i z z i z i
+ − + − + +
=
+ − + −
(
)(
)
1
2 2
z z+ i z− i
(
)(
)
(
)
(
)
(
)(
)
2 2 2 2
2 2
A z i z i Bz z i Cz z i z z i z i
+ − + − + +
=
(
2) (
2) (
2)
4 2 2 1
A z + +B z − iz +C z + iz =
2 2 2
4 2 2 1
Az + A Bz+ − iBz+Cz + iCz=
(
)
2(
)
2 2 4 1
A B C z+ + + iC− iB z+ A=
Igualando coeficientes polinomicos:
0
2 2 0
4 1
A B C
iC iB A + + = − = =
Resolviendo el sistema:
(
)
1
0 1 1 1
0 4
2 2 0 4 4 4
0
2 0
2 2 0 0
1
2 4
A B C B C
B C
B C B C
iC iB
i C B
iC iB C B C B
A i + + = + = − + = − + + = + = − − = → → → → − = − = − = − = = 1 1 1
sumando las ecuaciones 2 4 4 8 0 B C C C C B + = − → → = − ∴ = − − =
Y como de C− =B 0, resulta que B=C, se tiene: 1 8 B= − .
Entonces con: 1 4 1 8 1 8 A B C = = − = −
, se tiene:
(
)
2 2
1 1 1 1 1 1 1
2 2 4 8 2 8 2
4
C C C
A B C
I dz dz dz
z z i z i z z i z i
z z = = + + = − − + − + − +
∫
∫
∫
21 1 1
4 C 8 C 2 8C 2
dz dz dz
I
z z i z i
= − −
+ −
∫
∫
∫
Calculemos cada integral: PRIMERA: 1
4C
dz z
∫
.Esta integral posee un polo simple (n=1), por lo que se puede aplicar la Fórmula integral de Cauchy:
[ ]
01 1 1 1 2
2 1 1
4 4 4 z 4 2
C C
dz i i
SEGUNDA: 1
8 C 2
dz
z i
−
+
∫
.En este caso podemos aplicar el principio de deformación de contornos, consistentes en transformar la curva
C
dada por la circunferencia con centro en z4 = −2i, para que contenga al polo z4 = −2i, así: z= +z0 reiθ = − +2i reiθ, por lo tanto, se tendría:2 2 i 2 i
i
z i i re i re
dz ire d
θ θ θ
θ
+ = − + + = = Entonces: 2 0 1 18 2 8 8
i i
i C
dz ire d i re
z i re
π θ θ
θ
θ
− = − = −
+
∫
∫
id reθ
θ
[ ]
2 2 0 0 28 8 4
i i i
π
π
π
π
θ
= − = − = −
∫
TERCERA: 1
8 C 2
dz
z i
−
−
∫
.Análogamente al caso anterior, se tendría:
1
9 C 2 4
dz i z i
π
− = − −∫
Por lo tanto la integral original 2
1 1 1
4C 8C 2 8C 2
dz dz dz
I
z z i z i
= − −
+ −
∫
∫
∫
tendría elvalor:
(
)
2 2
1 2
0
2 4 4 2 4 2 2
4
C
i i i i i i i
I dz z z
π
π
π
π
π
π
π
= = − − = − = − = +∫
c) La circunferencia: 1 2 z i− = :
Primero, ubiquemos los puntos singulares que son aquellos donde la función no existe, en este caso, donde el denominador de la función se anula:
(
2)
1(
(
)(
)
)
2 2
3
0 0 punto singular de orden 1
4 0 2
4 2 2
2
z z n
z z z i
z z i z i
z i = → = = + = → = + → − + → = −
Observamos que todos los factores z,
(
z−2i)
y(
z+2i)
no se anula ni sobre dicho entorno ni en su interior, como todos los puntos están en el exterior de la curva C, entonces, se puede aplicar el Teorema de Cauchy-Goursat, ya que( )
(
2)
1 4 f z
z z =
+ es analítica sobre el contorno C y en todo punto de su interior, así:
(
)
2 2
1
0 4
C
I dz
z z
= =
+
∫
d) La circunferencia: 1 1 2 z+ = :
Primero, ubiquemos los puntos singulares que son aquellos donde la función no existe, en este caso, donde el denominador de la función se anula:
(
2)
1(
(
)(
)
)
2 2
3
0 0 punto singular de orden 1
4 0 2
4 2 2
2
z z n
z z z i
z z i z i
z i
= → = =
+ = → =
+ → − + →
= −
Observamos que todos los factores z,
(
z−2i)
y(
z+2i)
no se anula ni sobre dicho entorno ni en su interior, como todos los puntos están en el exterior de la curva C, entonces, se puede aplicar el Teorema de Cauchy-Goursat, ya que( )
(
2)
1 4 f z
z z =
+ es analítica sobre el contorno C y en todo punto de su interior, así:
(
)
2 2
1
0 4
C
I dz
z z
= =
+
∫
e) La circunferencia z+ =3i 2:
Primero, ubiquemos los puntos singulares que son aquellos donde la función no existe, en este caso, donde el denominador de la función se anula:
(
2)
1(
(
)(
)
)
2 2
3
0 0 punto singular de orden 1
4 0 2
4 2 2
2
z z n
z z z i
z z i z i
z i
= → = =
+ = → =
+ → − + →
= −
Observamos que el factor
(
z+2i)
se anula dentro del contorno de integración(
z3 = −2i)
y los factores z y(
z−2i)
no se anula ni sobre dicho entorno ni en su interior.Como existe un solo punto singular y de orden uno (1), se puede aplicar la Fórmula de Cauchy.
Tercero, escribimos la integral convenientemente, según la situación anterior:
(
)
(
)(
)
(
)
2 2
1 2
1 1
2 2 2
4
C C C
z z i
I dz dz dz
z z i z i z i z z
−
= = =
− + +
+
∫
∫
∫
(
)
2
1 2 2
C
z z i
I dz
z i − =
+
∫
Cuarto, Como la función
( ) ( )
1 2 f zz z i =
− es analítica sobre y dentro del contorno C, ciertamente podemos aplicar la Fórmula integral de Cauchy:
(
)
(
)
( )(
)
( )( )
3
2
2 1
2 1 1 1
2 2 2
2 2 2 2 2 2 4
C z i
z z i
I dz i i i
z i π z z i =− π i i i π i i
−
= = = =
+ − − − − − −
(
)
2 2
1
2 1 2
2
2 8 8 4
C
z z i i i
I dz i
z i i
π π
π
−
= = = − = −
+
∫
A continuación veras una herramienta que te permitirá aplicar la Fórmula integral de Cauchy cuando la singularidad o polo es de orden mayor que 1.
EXTENSIÓN DE LA FÓRMULA INTEGRAL DE CAUCHY
Si una función f z
( )
es analítica en un punto, es decir, admite derivada de primer orden, entonces también admite las derivadas de orden superior y todas ellas son analíticas en ese punto.Así, se tiene:
( )
0( )
0 1
2 C f z
f z dz
i z z
π
=
−
∫
( )
( )
(
)
'
0 2
0 1
2 C f z
f z dz
i z z
π
=
−
∫
( )
( )
(
)
''
0 3
0 2!
2 C f z
f z dz
i z z
π
=
−
∫
. . .
( )
( )
( )
(
)
0 1
0 !
2
n
n C
f z n
f z dz
i z z
π +
=
−
∫
Donde:
0
0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...
Contorno cerrado simple en , recorrido en sentido positivo punto interior a
n
C D
z C
=
=
=
Observa que todas estas derivadas se pueden calcular con la fórmula integral de Cauchy.
Veamos ahora la utilidad de esta extensión de la Fórmula integral de Cauchy, para calcular integrales complejas de polos o singularidades de orden mayor que 1.
Ejemplos de aplicación de esta extensión de la Fórmula de Cauchy. 1) Calcular el valor de
(
)
2 2 9
C
dz I
z z =
+
∫
donde la curva es la circunferencia: 2
Resolución:
Primero, ubiquemos los puntos singulares que son aquellos donde la función no existe, en este caso, donde el denominador de la función se anula:
(
)
(
(
)(
)
)
2
1 2 2
2 2
3
0 0 punto singular de orden 2
9 0 3
9 3 3
3
z z n
z z z i
z z i z i
z i
= → = =
+ = → =
+ → − + →
= −
Segundo, graficamos el entorno, para saber si estos puntos singulares están ubicados dentro o fuera del mismo, para saber si aplicamos la Fórmula integral de Cauchy o el Teorema de Cauchy-Goursat. En este caso z =2, se tiene:
Observamos que el factor 2
z se anula dentro del contorno de integración
(
z1=0)
y los factores(
z+3i)
y(
z−3i)
no se anula ni sobre dicho entorno ni en su interior.Como existe un punto singular y de orden dos (2), se puede aplicar la Extensión de la Fórmula integral de Cauchy, observa:
Tercero, escribimos la integral convenientemente, según la situación anterior:
(
)
2 2 2 2
1
1 9
9
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z z z
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