Olimpiada Costarricense de Matemática –2012

Teoría de los Números

Introducción

La teoría de los números estudia las propiedades de los enteros y se dice que esta tuvo su comienzo con el matemático griego Diofanto de Alejandría en el siglo III d.C. Diofanto escribió trece libros (siete de los cuales se han perdido) dedicados a la resolución de ecuaciones algebraicas, intentando dar métodos para encontrar sus soluciones enteras o racionales. Algunos ejemplos de los problemas que trataba en su libro son: ¿Qué números son suma de dos números al cuadrado? ¿Qué números son suma de tres números al cubo?

Pero la contribución (indirecta) más importante de Diofanto fue a partir de la traducción al latín de los seis primeros libros con el nombre de Aritmética en 1621 por Claude-Gaspard Bachet, matemático francés. Esta traducción fue la que inspiró al verdadero padre de la teoría de números, Pierre de Fermat (1601-1665), quien fue el que propuso lo siguiente:

“Para cualquier número natural n mayor o igual que 3, la ecuación:

= +

no tiene soluciones naturales salvo que x, y ∧ z sean cero”.

demostrar el último Teorema de Fermat, con métodos que para la época de Fermat eran desconocidos, razón por la cual se duda que realmente Fermat tuviese la prueba de dicho teorema.

Esta rama de la matemática se presta para enunciar resultados que son relativamente fáciles de enunciar y de probar como por ejemplo: “El producto de n enteros positivos consecutivos siempre es par”, esto ha inspirado a muchos aficionados a las matemáticas a proponer y dar resultados a través de la historia. También existen problemas que son fáciles de redactar pero “difíciles” o se diría casi imposibles de probar, como es el caso de la conocida conjetura de Goldbach (1742) que dice: “Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos”. En efecto los primeros pares se pueden expresar así, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, ….Aunque en la actualidad se ha comprobado esta conjetura por medio de poderosos computadores para números pares menores que 10 , la realidad es que hasta el momento no se ha logrado probar.

1. Divisibilidad y números primos

Si a b, ∈ℤ_{, cuando la división ÷ es exacta, es decir tiene residuo 0, decimos}

que b es múltiplo de a. Una manera más formal de definirlo es la siguiente:

Sean a y b dos números enteros. Se dice que “adivide a b”, si podemos expresar b de la forma b = k⋅ a, donde k es un número entero.

En esta definición es equivalente a decir “b es divisible por a”, “b es múltiplo de

a ” ó “a es un divisor de b”.

En tal caso, se denota | . Otra manera de verlo es que la división de b entre a es un entero y por lo tanto esta notación no debe confundirse con a

b . Por ejemplo:

definición no se cumple decimos que a no divide a b, por ejemplo: 6 ∤ 27.

Otras maneras de decir que b es múltiplo de a, es decir que a es un factor de b, a es un divisor de b o de la manera más común, b es divisible por a.

Los números naturales que sólo son divisibles por 1 y por sí mismos se llaman

números primos.

Por ejemplo, los números primos menores son 2, 3, 5, 7,11,13,…_.

La cantidad de números primos es infinita. El primero que lo demostró fue el matemático griego Euclides, después lo demostraron Euler y Chebichev, matemáticos muy importantes del milenio anterior.

Los números que tienen un divisor primo distinto a sí mismos se llaman números

compuestos.

Por ejemplo, los números compuestos menores son 4, 6, 8, 9,10,12,…_.

Los números 1 y 0 no son ni primos ni compuestos.

Ejercicio 1. Conteste las siguientes preguntas

1. ¿Cuántos números son pares y primos al mismo tiempo?

2. Si n es múltiplo de 7 y n es primo, ¿cuál es el valor de n?

3. ¿Puede un número primo terminar en 0? o ¿Puede terminar en 5?

5. Si hay 168 números primos menores que 1000, ¿Cuántos números compuestos hay menores que 1000?

6. A una pareja de números primos tales que su diferencia es 2 se les llama

primos gemelos. Por ejemplo, 29 y 31. Encuentre otras cinco parejas de

primos gemelos.

7. Encuentre cuatro números primos tales que la diferencia entre dos consecutivos aumente de dos en dos. Es decir, la diferencia entre los dos menores es 2, la diferencia entre los siguientes dos es 4 y así sucesivamente.

8. Si p representa un número primo, ¿Por qué p + 1 no puede ser múltiplo de p?

9. Si p representa un número primo y q es un múltiplo de p. ¿Por qué q + 1 no puede ser múltiplo de p?

10. El siguiente procedimiento justifica que existe una infinidad de números primos.

Supongamos que existe una cantidad finita de primos. Sea el número primo más grande que existe. Analice el número = ∙ ∙ ∙ … ∙ + 1 (el resultado de sumar 1 al producto de todos los números primos hasta ).

¿Puede q ser múltiplo de algún número menor o igual que diferente de 1? ¿Por qué?

Si no es múltiplo de ningún número menor que entonces ¿q puede ser compuesto?

Las respuestas correctas a estas preguntas garantizan que el número q sería primo y mayor que y entonces la suposición que hicimos que existe una cantidad finita de primos es incorrecta.

2. Criterios de divisibilidad

Para determinar si un número es divisible por un número primo dado, podemos utilizar los siguientes criterios, basados en probar la divisibilidad con números menores que el número original.

Regla Ejemplo

POR 2: Un número es divisible entre 2 si su

último dígito es 0, 2, 4, 6 u 8

El número 3124 es divisible por 2 (par), mientras que el número 12447 es impar.

POR 3: Un número es divisible por 3 si la suma

de sus dígitos es divisible por 3.

En 1476 la suma de los dígitos es

1 4 7+ + + =6 18= ⋅3 6; como este número es divisible por 3, entonces 1476 es divisible por 3.

POR 5: Un número es divisible por 5 si la última

cifra es 5 ó 0.

El número 54345 es divisible por 5, mientras que 13228 no lo es.

POR 7:

Para saber si un número es divisible por 7 se debe hacer lo siguiente: Al número que se obtiene de suprimir la cigra de las unidades del número dado, réstele el doble de la cifra que suprimió. Si el

resultado de esa resta es divisible por 7, el número original también lo es.

Para 371, tenemos 37 − 2⋅1 = 37 − 2 = 35 que sí es divisible por 7. En efecto, 371 =

7⋅53.

POR 11:

Primero, enumere las cifras del número. Sea I la suma de la primera, tercera,… todas las cifras en posición impar. Y sea P la suma de la segunda, la cuarta.,… todas las cifras en posición par. Si I − P

ó P − I es múltiplo de 11 (incluyendo 0

), entonces el número original lo es.

Por ejemplo, para 1 5 6 31

!

,

1 6 1 8

I = + + = _" y P= + =5 3 8_" .

Luego, I − P = 8 − 8 = 0 que es múltiplo de

11.

Nota: Para los casos de divisibilidad por 3, 7, 11 y 13 se puede aplicar recurrentemente si lo amerita.

Para algunos números compuestos tenemos las siguientes reglas.

Criterios de divisibilidad para algunos números compuestos

Regla Ejemplo

POR 4: Un número es divisible por 4 si el

número formado por sus últimos dos dígitos lo es.

El número 3 216 es divisible por 4 porque

16 lo es. 21522 no es divisible por 4.

POR 8: Un número es divisible por 8 si el

número formado por sus últimos tres dígitos lo es.

El número 57 824 es divisible por 8 porque

824 lo es. 13308 no es divisible por 8.

POR 9: Un número es divisible por 9 si la suma

de sus dígitos lo es.

Para el número 4574 la suma de las cifras es 4 + 3 + 7 + 4 = 18 y como 18 es múltiplo de 9, 4374 también lo es.

Otros criterios de divisibilidad se pueden deducir utilizando el siguiente principio:

Si a divisible por n y a es divisible por m, donde n y mno tienen factores primosen común, entonces con certeza a es divisible entre n⋅m.

Entonces, por ejemplo, para que un número sea divisible por 10 es necesario que sea divisible entre 2 y por 5, que al comparar los criterios de divisibilidad podemos establecer que para que un número sea divisible por 10 basta que su último dígito sea 0.

POR 13:

Al número que resulta de suprimir la última cifra, réstele nueve veces ésta. Si el resultado de la resta es divisible

por 13 el número original también lo es.

Por ejemplo, para 1157, tenemos

Sin embargo, la condición “n y m no tienen factores primos en común” del principio anterior debe interpretarse con cuidado. Por ejemplo, el número 12 es divisible por 6 y también es divisible por 4, y esto no significa que sea divisible por 6⋅4 = 24. Esto sucede porque 6 y 4 si tienen un factor en común (2).

Ejemplo 1: Si #$%&' es un número de cinco dígitos que es divisible por 72,

determine los dígitos a y b.

Aquí tenemos un problema de construcción de un número. Se sabe que tanto a

como b son dígitos, así que su valor está entre 0 y 9.

Por otra parte, nos dicen que 679 es divisible por 72, pero 72 es el producto de 8 por 9 (números que no tienen divisores primos comunes), así que el número es divisible por 9 y también por 8.

Usaremos primero que sea múltiplo de 9, esto nos dice la suma de sus cifras es un múltiplo de 9.

Así que + 6 + 7 + 9 + = + + 22 es un múltiplo de 9, y entonces, + es 5 ó 14 ya que. 0 < + ≤ 18.

Por otro lado como 679 es divisible por 8, entonces sabemos que el número que se forma con sus últimas tres cifras también lo es, así 79b es divisible por 8. Pero entre 790 y 799 solamente existe un número que es divisible por 8 y es 792. Por tanto b = 2. Luego de las ecuaciones anteriores tenemos que a = 3 ó a = 12, pero como a es una cifra, entonces a = 3.

Ejemplo 2: Encuentre los enteros positivos n, tales que, n2 + 1 es un múltiplo

de n + 1.

Supongamos que + 1 dividiera a n2 + 1, entonces aplicando la propiedad de linealidad (si un número divide a otros dos entonces también divide a la suma o a la diferencia de estos dos números), + 1 divide al número 1 ∙ + + 1, − + − 1,+ + 1, = 2 (de otra forma sí + 1 divide a dos expresiones, también divide a la suma o a la resta de estas). Luego, esto solamente sucede si + 1 = 1

Ejemplo 3: Encuentre cuántas parejas +., 0, de enteros existen tales que

1 .

+

1 0

=

1 12

Podemos hacer unas modificaciones: .30

45

=

12 + 12 = , de allí que − 12 − 12 = 0, luego aplicamos una estrategia que consiste en: sumar a ambos lados el cuadrado de la constante (en nuestro caso la constante es 12), así que tenemos: − 12 − 12 + 144 = 144 y factorizando + − 12,+ − 12, = 144.

A partir de aquí aplicamos todo nuestro conocimiento de divisibilidad y luego obtenemos que + − 12, debe dividir a 144, así que debe ser igual a uno de los divisores de 144.

Ahora, por cada divisor de 144 existe una única solución y cada solución se puede asociar a un divisor.

Para encontrar la cantidad de divisores positivos de un número natural se utiliza el siguiente procedimiento:

Si = 67_∙ 68_{∙ … ∙}

96: está escrito en su factorización prima única, entonces n tiene exactamente +; + 1,+; + 1, … +;9+ 1, divisores positivos.

Como 144 = 2 ∙ 3 tiene (4 + 1)(2 + 1) = 5⋅3 = 15 divisores positivos y 30 tomando en cuenta divisores negativos, entonces el problema original tiene 30 soluciones.

Ejercicio 3.

I PARTE: En la siguiente tabla, utilice los criterios de divisibilidad para determinar

si el número es divisible entre los factores de cada columna. (No utilice división)

Por 2 Por 3 Por 5 Por 7 Por 11 Por 4 Por 8 Por 9 Por 6 Por 10 Por 14

91

5005

792

II PARTE: Conteste las siguientes preguntas. Si su respuesta es sí, justifíquela, y

si es no, dé un contraejemplo

1. Si el número n es divisible por 9, ¿podemos asegurar que n es divisible por 3?

2. Si el número n _{es divisible por 14, ¿podemos asegurar que} n _{es divisible por} 7?

3. Si el número n _{es divisible por 13, ¿podemos asegurar que} n _{es divisible por} 26?

4. Si el número n es divisible por 15 y es divisible por 10, ¿podemos asegurar que n es divisible entre 150?

5. El criterio de divisibilidad por 4 dice que basta considerar las últimas 2 cifras. El criterio de divisibilidad por 8 dice que basta considerar las últimas 3 cifras. ¿Podemos establecer algún criterio de divisibilidad para 16 basado en la observación anterior?

6. Si p representa cualquier número primo ¿Cuántos divisores positivos tiene p2? ¿Y p20?

7. Si p y q representan números primos diferentes ¿Cuántos divisores positivos tiene pq?

4. Propiedades de la divisibilidad

Propiedades: Sean a, b, c, x ∧ y enteros

Si | entonces existe un valor entero k tal que = = ∙ , luego < = = ∙ ∙ < ⟹ < = +=<, y entonces podemos ver que < _{es múltiplo de} a.

Por ejemplo, si a _{es múltiplo de 5 entonces 3}a también es múltiplo de 5.

(Propiedad Transitiva) Si | y |< entonces |<.

Si | y |< entonces existen enteros = y = tales que = = ∙ y < = = ∙ . Sustituyendo el valor de b tenemos < = = ∙ = ∙ ⟹ < = += ∙ = , y por lo tanto c es múltiplo de a.

Ejemplo 4: Si . − 1 es múltiplo de 3 entonces .?− 1 también es múltiplo de 3.

Esto se debe a que − 1 _{es siempre un múltiplo de} − 1. ¿Por qué?

R/ Porque − 1 _{es múltiplo de} − 1, ya que − 1 = + + + 1,+ − 1,, entonces 3 es múltiplo de − 1_.

(Propiedad de Linealidad) Si #|' y #|@ entonces #|+'. + @0, para cualesquiera

x, y _con x, y enteros.

Si | y |<entonces existen enteros = y = tales que = = ∙ y < = = ∙ . Ahora multiplicamos la primera igualdad por x y la segunda por y para obtener

= += , y < = += , .

Al sumar estas igualdades obtenemos + < = = ∙ + = ∙ ⟹ + < = += + = , de donde podemos ver que + < _{es múltiplo de} a.

Ejercicio 4. Demuestre con detalles las siguientes propiedades de la divisibilidad.

2. Si | y ≠ 0 entonces | | ≤ | |.

3. Si | y D ≠ 0 entonces D| D.

5. Factorización prima única

La importancia de los números primos es grande, y durante mucho tiempo algunos matemáticos se han dedicado a estudiarlos, dejando inclusive muchas preguntas que aún hoy no tienen respuesta.

Una de las principales utilidades es que los números primos son como unos ladrillos que ayudan a construir todos los números naturales. Así, pensemos en el caso del número 2000, entonces podemos ver que 2000 = 200⋅10, pero cada uno de estos dos factores se puede descomponer en producto de números primos y finalmente podemos llegar a que 2000 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 = 2 ∙ 5 . En general, tenemos:

TEOREMA (Fundamental de la Aritmética) Todo número entero mayor que uno,

es primo o puede descomponerse como el producto de factores primos y además esta descomposición es única, si no se toma en cuenta el orden de los factores.

Así expresamos cualquier natural n, mayor que 1, de la forma = 67 _∙ 68_{∙ … ∙}

96: donde los enteros , , … , ₉son primos distintos. Cada número ; , ; , … , ;₉ es el exponente correspondiente a cada primo.

Esta manera de escribir n se denomina factorización prima única.

A la hora de encontrar esta factorización, debemos recordar los criterios de divisibilidad que estudiamos anteriormente 200 = 2 ∙ 5 y 98 = 2 ∙ 7 .

Si = 67_∙ 68_{∙ … ∙}

96: está escrito en su factorización prima única, entonces n tiene exactamente +; + 1,+; + 1, … +;₉+ 1, divisores positivos.

Ejemplo 5: Encuentre la cantidad de divisores positivos de 2E22_{∙ 2$}?

Al escribir la factorización prima

242 ∙ 26 = +2 ∙ 11 , ∙ +2 ∙ 13, = 2 ∙ 11 ∙ 2 ∙ 13 = 2F∙ 11 ∙ 13

Entonces el número 242 ∙ 26 tiene +7 + 1,+8 + 1,+3 + 1, = 288 divisores positivos.

Ejercicios 5.

1. La factorización prima única de un número es = ∙ , donde p y q representan números primos distintos ¿Cuáles son, en términos de p y q, los divisores positivos de n?

2. ¿Cómo describiría los números que tienen una cantidad impar de divisores?

II PARTE

Elaborado por: Wilson Tenorio Peña

Ejercicios resueltos sobre reglas de divisibilidad

Ejemplo 11

Los enteros de dos dígitos desde el 19 hasta el 93 se escriben consecutivamente para formar un gran entero:

Determinar la mayor potencia de 3 que divide a N.

Solución:

Observe que en cada uno de los números: 20, 21, 22, …, 29 el dígito de las decenas es 2, , lo mismo ocurre con el 3 en los números 30, 31, 32, …, 39; y así sucesivamente hasta el 8 en los números 80, 81, 82, …, 89.

Además, en las unidades, los dígitos del 0 al 9, se repiten cada uno 7 veces para los números que van del 20 al 89.

Por lo tanto, si sumamos las cifras de este número nos damos cuenta que el resultado es:

Como 717 es divisible por 3, puesto que 7 1 7 15 3 5+ + = = ⋅ , entonces el número N es múltiplo de 3; pero como 717 no es múltiplo de 9 entonces tampoco lo será N, por lo tanto

la mayor potencia de 3 que divide a N es 31.

Ejemplo 22:

A Julio le dieron el número secreto de su nueva tarjeta de crédito, y observó que la suma de los cuatro dígitos del número es 9 y ninguno de ellos es 0; además el número es múltiplo de 5 y mayor que 1995. ¿Cuál es la tercera cifra de su número secreto?

1 _{Tomado de la OMM} 2 _{Tomado de la OMM}

19202122 90919293...

N =

(

)

(

)

1 9 2 3 4 5 6 7 8 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 9 0 9 1 9 2 9 3 10 35 10 45 7 42

717

S= + + + + + + + + ⋅ + + + + + + + + + + ⋅ + + + + + + + +

Solución:

Como el número es múltiplo de 5, debe terminar en 0 ó 5, pero como no debe tener 0's, entonces termina en 5.

Ahora hay que buscar tres números cuya suma sea 4 (pues la suma de todas las cifras del número es 9); como ninguno debe ser cero la única posibilidad es que sean 1,1 y 2. Como el número debe ser mayor que 1995, debe ser 2115. Por lo tanto su tercera cifra es el número 1.

Ejemplo 33:

¿Cuántos números múltiplos de 6 menores que 1000 tienen la propiedad de que la suma de sus cifras es 21?

Solución

Como el número tiene que ser múltiplo de 6, debe serlo de 2 y de 3. Dado que la suma de sus cifras debe ser 21, entonces ya será múltiplo de 3.

El número debe además ser par (divisible por 2), por lo que se deben analizar las posibilidades para su última cifra:

• El número no puede terminar en 0 ni 2 porque no tenemos posibilidades para las primeras dos cifras de forma que la suma alcance 21.

• Si la última cifra es 4, las dos primeras deben sumar 17, así es que deben ser 8 y 9, y hay dos combinaciones posibles: 984 y 894.

• Si la última cifra es 6, las primeras pueden ser 8 y 7, o bien 9 y 6, con los que se pueden formar cuatro números: 876, 786, 966 y 696.

• Si la última cifra es 8, las posibilidades para las primeras son 6 y 7, 5 y 8, o bien 4 y 9; y hay 6 números: 768, 678, 588, 858, 498, 948.

Por lo tanto en total hay 12 números.

Ejemplo 44

La maestra distribuyó de forma equitativa cierta cantidad de dulces entre 5 niños, y se quedó con tres para ella misma. No se acuerda cuántos dulces tenía, pero sí recuerda que era un múltiplo de 6 entre 65 y 100. ¿Cuántos dulces tenía?

Solución:

Como la maestra dividió los dulces entre 5 niños y obtuvo un residuo de 3 dulces, quiere decir que al restarle 3 al número total de dulces se obtiene un múltiplo de 5 ( termina en 0 ó 5), lo que indica que el número inicial de dulces termina en 3 o en 8, pero como es un múltiplo de 6, entonces el número original debe ser par, por lo que termina en 8.

Ahora como el número original de dulces está entre 65 y 100, la única posibilidad es 78.

Ejemplo 55

Hallar los números de cuatro cifras que son divisibles por 4 y por 9, tales quela cifra de las unidades de millar es 5 y la cifra de las decenas es 7.

Solución

Los números que buscamos son de la forma6 5 7a b. Como este número debe ser múltiplo

de 4 entonces el número 7b debe ser divisible por 4 con lo cual nos damos cuenta que los

únicos valores posibles para b son 2 y 6, es decir,

b

{ }

Además, para que el número 5 7a b sea divisible por 9 se debe cumplir que

+ + + = + +

5 a 7 b 12 a b es un múltiplo de 9.

• Si b=2 se tiene entonces que 12+ + =a b 14+b es múltiplo de 9, por lo que se concluye que a=4 y se obtiene el número 5472.

• Ahora, si b=6 entonces 12+ + =a b 18+b es múltiplo de 9, por lo que a= ∨ =0 a 9, con lo cual se obtienen los números 5076 y 5976.

4 _{Modificado de OMM} 5

Modificado de V. Lucas de la Cruz

6 Se utilizará esta notación en la representación decimal para no confundir con la

Por lo tanto, los números que cumplen las condiciones del problema son: 5472, 5076 y 5976.

Ejemplo 67:

Hallar los valores por los que debe sustituirse u para que el número 35u sea divisible por 6.

Solución:

Note que para que el número dado sea divisible por 6, éste debe ser múltiplo de 2 y de 3.

(1) Para que sea múltiplo de 2 debe cumplirse que,

u

{

}

(2) Para que sea múltiplo de 3 debe tenerse que 3 5+ + = +u 8 u sea un múltiplo de 3.

Tomando en cuenta (1) y (2) se concluye que único valor que sirve para u es 4.

Ejemplo 78

¿Por cuál cifra debe sustituirse x para que el número 503 7x deje residuo 6 al ser dividido por 9?

Solución

Para que el número deje residuo 6 al dividirse por 9, es necesario que este número sea 6 unidades mayor que el mayor múltiplo de 9 menor que él. Esto quiere decir que 503 7 6 503 1x − = x es múltiplo de 9, por lo tanto debe cumplirse que 5 0 3+ + + + = +x 1 9 x es un múltiplo de 9, de donde se concluye que los posibles valores de x son 0 y 9.

Ejemplo 89:

Hallar un número de tres cifras en el cual la cifra de las centenas es 3 y la cifra de las decenas es 9, que sea divisible por 3, 4 y 11.

7 _{Tomado de V. Lucas de la Cruz} 8 _{Tomado de OMM}

Solución

El número buscado es de la forma 39a.

Para que éste número sea divisible por 3 se debe cumplir que 3 9+ + =a 12+a

debe ser múltiplo de 3. Es decir, que a puede tomar los valores de 0, 3, 6 ó 9 (1). Por otra parte, para que el número que se pide sea múltiplo de 4 debe cumplirse que 9a sea múltiplo de 4 y por (1) el único valor de a para el que se cumple es 6. Por último note que 3 9 6− + =0 es múltiplo de 11, por lo tanto el número 396 también es divisible por 11.

El número buscado es el 396.

Ejemplo 910

¿Para qué valor o valores de la cifra k el número k927 es divisible por 7?

Solución

Se aplica la regla de divisibilidad por 7:

El dígito de las unidades del número original es 7 y si quitamos este dígito se forma el número k92:

⋅ = −

92

7 2 14 14

78 k

k

Repitiendo el procedimiento al número k78, se obtiene,

(

)

⋅ = −

−

7

8 2 16 16

1 1 k

k

Si hacemos lo mismo con el número

(

)

− _{⋅ =}

− −

1

2 1 2 2 3 k k 10

Para que el número k927 sea divisible por 7 debe cumplirse que k −3 sea un múltiplo de 7, pero como k es un dígito, los únicos valores posibles para k −3 son 0 ó 7.

Con k − =3 7 se tendría k =10, lo cual es imposible. Por lo tanto k − =3 0 y con esto el valor de k que cumple las condiciones del problema sería 3.

Ejemplo 1011

Hallar la cantidad de números enteros positivos de tres dígitos que son divisibles por 11, tales que el dígito de las centenas es la suma de los otros dos dígitos.

Solución

Según el enunciado del problema, los números serían de la forma N =

(

)

Si se aplica la regla de divisibilidad por 11 se debe cumplir que

(

)

Como b es un dígito y además debe ser múltiplo de 11, se deduce que b = 0, es decir, los

números son de la forma N =aa0 donde a∈

{

}

Ejemplo 1112

¿Cuántos números n satisfacen al mismo tiempo las 5 condiciones siguientes?

n es par.

n deja residuo 1 al dividirlo entre 5. n es múltiplo de 7.

n es menor que 1000.

la suma de los dígitos de n es 23.

Solución

Se sabe que el número es menor que 1000, por lo tanto debe tener 3 dígitos.

Como es par y que deja residuo 1 al dividirlo entre 5, se puede concluir que su último dígito es 6.

Luego, para que la suma de los dígitos sea 23, los otros dos dígitos deben ser 8 y 9. Finalmente, para que el número sea múltiplo de 7, la única posibilidad es 896.

Ejemplo 1213

Si el número 12m43n (en donde m y n son dígitos) es divisible por 11, hallar el máximo número de valores que puede asumir n.

Solución

Para que el número dado sea divisible por 11 debe cumplirse que,

− + − + − = − −

1 2 m 4 3 n m n 2 debe ser un múltiplo de 11.

Ahora se hará una tabla donde colocaremos los posibles valores de m y n que hacen que se cumpla la condición anterior, así:

Por lo tanto podemos notar que la máxima cantidad de valores que puede tomar n es 9.

Ejemplo 1314

Hallar la cantidad de números enteros positivos de cuatro dígitos que son divisibles por 11 de modo que la primera cifra corresponda a la suma de las cifras de las unidades y decenas, y la segunda cifra a la diferencia de la cifra de las decenas y de las unidades.

Solución

Según el enunciado del problema, los números serían de la forma N =

(

)(

)

Si se aplica la regla de divisibilidad del 11 se debe cumplir que,

(

)

(

)

[

] [ ]

 _{+ +}  _{− − +} _{= + − = +}

 a b b  b a a a 2b b a b debe ser un múltiplo de 11.

Como a b+ es el dígito de las centenas de millar del número original y además debe ser un múltiplo de 11, se deduce que a b+ =0, lo cual es una contradicción pues implicaría que

0

a= =b y N no tendría 4 dígitos.

Por lo tanto no existen números de cuatro dígitos que cumplan la condición del problema.

Problemas propuestos I

1. Hallar los números de tres cifras divisibles por 4 y por 9, cuya cifra de las

decenas es 5.

2. Hallar los valores por los que deben sustituirse x y y para que el número

18x43y sea divisible por 9.

3. Dado el número 7254xy , hallar los todos los valores posibles de x y y tales que el número dado sea divisible por 36.

4. Hallar los números de la forma 1 1b cbc divisibles por 63.

5. Sabiendo que el número 2 45x y es divisible por 72, determinar las cifras x y

y.

Respuestas

1. 252 y 756

2. 0 y 2; 1 y 1; 2 y 9; 3 y 8; 4 y 7; 5 y 6. 3. 3 y 6; 7 y 2.

Máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (mcm) I

Definición Si a y b son dos números enteros:

Se llama máximo común divisor de a y de b y se denota

( )

natural que divide a a y a b.

Se llama mínimo común múltiplo de a y de b y se denota

[ ]

entero positivo que es múltiplo de a y de b.

Para introducir el tema del máximo común divisor y mínimo común múltiplo, se presentarán unos ejemplos de ejercicios donde se apliquen estos conceptos.

Ejemplo 1415

Alicia va al club cada día; Beatriz va cada 2 días; Carlos va cada 3; Daniel cada 4; Enrique cada 5; Francisco cada 6 y Gabriela cada 7 días. Si hoy están todos en el club, ¿dentro de cuántos días será la primera vez que vuelvan a reunirse?

Solución

La cantidad de días que pasan antes de que vuelvan a reunirse todos debe ser divisible por 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Si calculamos el mínimo común múltiplo de estos números para obtener el menor número que sea divisible por todos ellos, se obtiene:

⋅ ⋅ ⋅ = 2

1 2 3 4 5 6 7 2 1 1 3 2 5 3 7 2 1 1 3 1 5 3 7 3

2 3 5 7 420 1 1 1 1 5 1 7 5

1 1 1 1 1 1 7 7 1 1 1 1 1 1 1

Esto quiere decir, que cada 420 días se volverán a reunir, por lo cual la primera vez que se vuelvan a reunir será a los 420 días.

Ejemplo 15

Había un pastor que sólo sabía contar hasta diez y que tenía a su cargo un rebaño numeroso. Para saber si no le faltaba ninguna oveja inventó un sistema que ponía en práctica todas las tardes: Agrupaba a las ovejas de dos en dos, de tres en tres, de cuatro en cuatro, de cinco en

cinco y de seis en seis; en todos los casos le sobraban una oveja. Luego, las agrupaba de siete en siete sin que sobrara ninguna. Entonces, ¿cuál es la suma de las cifras del menor número posible de ovejas que podía tener ese pastor?

Solución

Según los datos del problema, si a la cantidad total de ovejas se le resta 1, el número que se obtien es un múltiplo de 2, 3, 4, 5 y 6. El mínimo común múltiplo de estos números se encuentra así:

⋅ ⋅ = 2

2 3 4 5 6 2 1 3 2 5 3 2

1 3 1 5 33 2 3 5 60

1 1 1 5 1 5 1 1 1 1 1

Como lo indica su nombre, 60 es el mínimo multiplo común de 2, 3, 4, 5 y 6; pero se tienen infinitos números que son múltiplos de estos números (

60,2 60,3 60,4 60,5 60,...⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ), es decir que la cantidad total de ovejas podría ser 60 1+ =61 ó 2 60 1 121⋅ + = ó 3 60 1 181⋅ + = ó 4 60 1⋅ + =241 ó ... n⋅60 1+ =60n 1+ ,donde n es un número entero positivo cualquiera.

Ahora, cualquiera de estas cantidades al ser separadas de 2 en 2, de 3 en 3, de 4 en 4, de 5 en 5 ó de 6 en 6, sobrará 1, cumpliendo con en enunciado del problema; pero falta aún tomar en cuenta que al separarlas de 7 en 7 no sobren ovejas (existen infinitas cantidades que cumplen lo solicitado).

Como el problema nos pide el menor número posible de ovejas, la cantidad de ovejas buscada sería 301 y como se pide la suma de sus cifras, la respuesta correcta será

3+0+1=4 .

Ejemplo 16

Considere el menor entero positivo que al dividirlo por 10 deja residuo 9, al dividirlo por 9 deja residuo 8, al dividirlo por 8 deja residuo 7, etc., hasta que al dividirlo por 2 deja residuo 1. Hallar el residuo que deja al dividirlo por 11.

Solución

⋅ ⋅ ⋅ = 3 2

2 3 4 5 6 7 8 9 10 2

1 3 2 5 3 7 4 9 5 2

1 3 1 5 3 7 2 9 5 2

1 3 1 5 3 7 1 9 5 3

2 3 5 7 2520

1 1 1 5 1 7 1 3 5 3

1 1 1 5 1 7 1 1 5 5

1 1 1 1 1 7 1 1 1 7

1 1 1 1 1 1 1 1 1

Esto quiere decir que el sucesor del número buscado sería un múltiplo de 2520 y como el menor múltiplo de 2520 es 2520, el número que se busca es 2520 y al dividir este número entre 11 se obtiene como residuo 1.

Definición

Si el máximo común divisor de dos números enteros a y b es 1, entonces se denota

( )

Teorema 1

Sean a y b dos números enteres tales que a n x= ⋅ y b = ⋅m x , con

(

)

( )

[ ]

Teorema 2: Sean a y b números enteros, entonces,

( )

[ ]

Ejemplo 1716

Si el m.c.d. de dos números es 127 y el mayor de estos números es 1524. Hallar el otro número.

Solución

Como el máximo común divisor de los números es 127, el menor de ellos es de la forma

=127⋅

x m con m∈ℤ _{y como1524 127 12}= ⋅ _{, el valor de x no puede tener ningún factor}

común con 12 pues sino el máximo común de ambos números no sería 127.

Además como x debe ser menor que 1524, el valor de m debe ser menor que 12 y primo relativo con él. Los posibles valores para m serían 5, 7 y 11. Por lo tanto los posibles valores que puede tomar x son:

Ejemplo 18

La razón entre dos números cuyo m.c.d. es 8, es 3

5 y su. Hallar los números.

Solución

Como el máximo común divisor entre ambos números es 8, serían de la forma 8x y 8ycon

(

)

5 se tiene que = =

8 3

8 5

x x

y y de donde se

deduce que x =3, y =5puesto que

(

)

Ejemplo 19

La suma de dos números es 168, y su m.c.d. es 24. Hallar los números.

Solución

Como su máximo común divisor es 24, los números buscados son de la forma:

=24 =24

a m y b n con

(

)

Ahora, para hallar los valores de m y n, basta con tomar valores de tal forma que sumen 7 y su máximo común divisor sea 1; por lo tanto los valores posibles para m y n serían: 1 y 6; 2 y 5; 3 y 4; 4 y 3; 5 y 2; 6 y 1, de aquí se concluye que los números que cumplen las

condiciones del problema son: 24 y 144; 48 y 120; 72 y 96.

Ejemplo 20

Hallar dos números si sabemos que su producto es 216 y su m.c.d. es 6.

127 5 635 127 7⋅ = , ⋅ =889 127 11 1397, ⋅ =

(

)

24 24 168

24 168

7

m n

m n m n

+ =

⇒ _{+ =}

Solución

Como su máximo común divisor es 6, los números buscados son de la forma

=6 =6

a m y b n con

(

)

⋅ =

⇒ _{⋅ =}

⇒ ₌

⇒ _{⋅ =}

216

6 6 216

36 216 6 a b m n mn m n

Ahora, para hallar los valores de m y n, basta con tomar valores de tal forma que su

producto sea 6 y su máximo común divisor sea 1; por lo tanto los valores posibles para m y n serían: 1 y 6; 2 y 3.

Se concluye que los números que cumplen las condiciones del problema son: 6 y 36; 12 y 18. (Debe quedar claro que al tomar 3 y 2; 6 y 1, se obtienen los mismos valores de a y b ya encontrados)

Ejemplo 21

Si el producto de dos números es 1512 y su m.c.d. es 6, hallar su m.c.m.

Solución

Por el teorema 2, tenemos que

( )

[ ]

[ ]

[ ]

a b a b a b

a b a b

Problemas propuestos 2

1. Tres personas se encuentran el 1 de enero en una ciudad a la cual va el primer cada 8 días, el segundo cada 12 días y el tercero cada 15 días. Hallar en qué fecha se vuelven a encontrar las tres personas después de ese primer encuentro.

2. *Dos ruedas dentadas engranan una en otra. Sabiendo que la primera tiene 64 dientes y da 18 vueltas en un minuto, y la segunda tiene 24 dientes, hallar: a) el número de vueltas que da la segunda vuelta por minuto; b) al cabo de cuánto tiempo las dos ruedas habrán dado cada una un número

exacto de vueltas.

3. Hallar los números comprendidos entre 100 y 500 que son divisibles por 3 y por 4.

4. Hallar los números de cuatro dígitos que son divisibles por los primeros diez

números naturales.

5. Hallar cuantos números mayores que 1000 y menores que 1500 que al dividirlos por 4, 5 y 7 den de residuo 3.

6. Una granjera tiene un número de huevos inferior a 200. Contándolos de 8 en 8, de 12 en 12 y de 15 en 15 le quedan siempre 7. Hallar la cantidad de

huevos que tiene.

7. Hallar todos los números de dos cifras divisibles por 4, 6 y 8.

8. Hallar el número de soldados de un regimiento, comprendido entre 4000 y 5000, sabiendo que si se colocan de 4 en 4, de 5 en 5, de 6 en 6 y de 9 en 9, hay siempre 1 de resto, pero si se colocan de 41 en 41 no queda

ninguno.

9. Calcular el m.c.m. de dos números cuya suma es 864 y cuyo m.c.d. es 96. 10. Hallar dos números cuyo m.c.d. es 20 y su m.c.m es 420.

Respuestas

1. El 30 de abril suponiendo que no es bisiesto 2. a) 48; b) 10 segundos

3. 12·9=108, 12·10=120, 12·11=132, 12·12=144, ..., 12·41=492

4. 2520, 5040 y 7560 5. 1123, 1263 y 1403

6. 127

7. 24, 48, 72 y 96

8. 4141

Enunciados de los ejemplos

I PARTE

Ejemplo 1: Si 679 es un número de cinco dígitos que es divisible por 72, determine los dígitos a y b.

Ejemplo 2: Encuentre los enteros positivos n, tales que, n2 + 1 es un múltiplo de n + 1.

Ejemplo 3: Encuentre cuántas parejas + , , de enteros existen tales que

4

+

=

Ejemplo 4: Si − 1 es múltiplo de 3 entonces − 1 también es múltiplo de 3.

Ejemplo 5: Encuentre la cantidad de divisores positivos de 242 ∙ 26

II PARTE: Ejercicios resueltos sobre reglas de divisibilidad

Elaborado por: Wilson Tenorio Peña

Ejemplo 1 Los enteros de dos dígitos desde el 19 hasta el 93 se escriben consecutivamente para formar un gran entero:

Determinar la mayor potencia de 3 que divide a N.

Ejemplo 2:

A Julio le dieron el número secreto de su nueva tarjeta de crédito, y observó que la suma de los cuatro dígitos del número es 9 y ninguno de ellos es 0; además el número es múltiplo de 5 y mayor que 1995. ¿Cuál es la tercera cifra de su número secreto?

Ejemplo 3:

¿Cuántos números múltiplos de 6 menores que 1000 tienen la propiedad de que la suma de sus cifras es 21?

19202122 90919293...

Ejemplo 4

La maestra distribuyó de forma equitativa cierta cantidad de dulces entre 5 niños, y se quedó con tres para ella misma. No se acuerda cuántos dulces tenía, pero sí recuerda que era un múltiplo de 6 entre 65 y 100. ¿Cuántos dulces tenía?

Ejemplo 5

Hallar los números de cuatro cifras que son divisibles por 4 y por 9, tales quela cifra de las unidades de millar es 5 y la cifra de las decenas es 7.

Ejemplo 6

Hallar los valores por los que debe sustituirse u para que el número 35u sea divisible por 6.

Ejemplo 7

¿Por cuál cifra debe sustituirse x para que el número 503 7x deje residuo 6 al ser dividido por 9?

Ejemplo 8:

Hallar un número de tres cifras en el cual la cifra de las centenas es 3 y la cifra de las decenas es 9, que sea divisible por 3, 4 y 11.

Ejemplo 9

¿Para qué valor o valores de la cifra k el número k927 es divisible por 7?

Ejemplo 10

Ejemplo 11

¿Cuántos números n satisfacen al mismo tiempo las 5 condiciones siguientes? • n es par.

• n deja residuo 1 al dividirlo entre 5. • n es múltiplo de 7.

• n es menor que 1000.

• la suma de los dígitos de n es 23.

Ejemplo 12

Si el número 12m43n (en donde m y n son dígitos) es divisible por 11, hallar el máximo número de valores que puede asumir n.

Ejemplo 13

Hallar la cantidad de números enteros positivos de cuatro dígitos que son divisibles por 11 de modo que la primera cifra corresponda a la suma de las cifras de las unidades y decenas, y la segunda cifra a la diferencia de la cifra de las decenas y de las unidades.

Ejemplo 14

Alicia va al club cada día; Beatriz va cada 2 días; Carlos va cada 3; Daniel cada 4; Enrique cada 5; Francisco cada 6 y Gabriela cada 7 días. Si hoy están todos en el club, ¿dentro de cuántos días será la primera vez que vuelvan a reunirse?

Ejemplo 15

Había un pastor que sólo sabía contar hasta diez y que tenía a su cargo un rebaño numeroso. Para saber si no le faltaba ninguna oveja inventó un sistema que ponía en práctica todas las tardes: Agrupaba a las ovejas de dos en dos, de tres en tres, de cuatro en cuatro, de cinco en cinco y de seis en seis; en todos los casos le sobraban una oveja. Luego, las agrupaba de siete en siete sin que sobrara ninguna. Entonces, ¿cuál es la suma de las cifras del menor número posible de ovejas que podía tener ese pastor?

Ejemplo 16

Ejemplo 17

Si el m.c.d. de dos números es 127 y el mayor de estos números es 1524. Hallar el otro número.

Ejemplo 18

La razón entre dos números cuyo m.c.d. es 8, es 3

5 y su. Hallar los números.

Ejemplo 19

La suma de dos números es 168, y su m.c.d. es 24. Hallar los números.

Ejemplo 20

Hallar dos números si sabemos que su producto es 216 y su m.c.d. es 6.

Ejemplo 21