TEMA 5.- Vibraciones y Ondas

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TEMA 5.- Vibraciones y Ondas

CUESTIONES

41.- a) Periodicidad espacial y temporal de las ondas; su interdependencia.

b) Escriba la ecuación de una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje X e indique el significado de las magnitudes que aparecen en ella. Escriba la ecuación de otra onda que se propague en sentido opuesto y que tenga doble amplitud y frecuencia mitad que la anterior. Razone si las velocidades de propagación de ambas ondas son iguales.

a) Las ondas son fenómenos doblemente periódicos porque el movimiento (posición, velocidad y aceleración) de las partículas del medio por el que se transmiten se repite cada cierta distancia y cada cierto tiempo. A la distancia a la cual la partícula vuelve a moverse igual se le llama longitud de onda (λ); al tiempo transcurrido entre dos puntos de la onda que vibran de la misma manera se le llama periodo (T). A la relación entre ambas magnitudes, que caracterizan la doble periodicidad – espacial y temporal – de una onda, se le llama velocidad de propagación. Ésta es constante para cada medio, y se calcula de la manera siguiente:

v= λ

T

b) La ecuación de una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje X es la siguiente:

y(x, t) = A sen (ωt – kx + φ)

Las magnitudes que aparecen en dicha ecuación tienen los significados siguientes:

y es la elongación o separación entre un punto cualquiera de la onda y la posición de equilibrio.

A es la elongación máxima o amplitud; es la separación máxima entre un punto cualquiera de la onda y la posición de equilibrio.

ω es la frecuencia angular o pulsación, que nos indica el número de vibraciones que tienen lugar cada cierto tiempo.

k es el número de ondas, y puede definirse como el número de longitudes de onda comprendidas en una distancia de 2π metros.

φ es la fase inicial o constante de fase, y su valor depende de las condiciones iniciales del movimiento ondulatorio.

Si existe otra onda que se propaga en sentido opuesto a la anterior, con amplitud doble y frecuencia mitad, hemos de cambiar el signo de la fase, el valor de la amplitud y el valor de la frecuencia angular (que se hará la mitad, pues ω = 2πf). Como el medio de propagación es el mismo la velocidad de propagación no variará, de manera que si ésta debe permanecer constante

v= λ

T = λf

y la frecuencia se ha hecho la mitad, la longitud de onda deberá hacerse el doble; entonces el número de ondas (k = 2π/λ) se hará la mitad que el inicial. Dicho lo anterior, la ecuación de la onda será:

y(x ,t) =2A sen

(

ω 2t+

k

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42.- a) Superposición de ondas; descripción cualitativa de los fenómenos de interferencia de dos ondas. b) Una onda sonora de 440 Hz tiene una longitud de onda de 77 cm. ¿Cuál será la longitud de onda de una onda sonora de 200 Hz que se propague en el mismo medio?

a) Se dice que dos o más ondas interfieren en un punto cuando ambas perturbaciones alcanzan el mismo punto en un instante determinado. Entonces, de acuerdo con el principio de superposición, la perturbación total en dicho punto será igual a la suma de las perturbaciones que han llegado a él, generándose una onda resultante. Una vez que ha tenido lugar la interferencia de ondas en dicho punto, las ondas continúan propagándose tal como lo hacían antes de interferir.

La interferencia de ondas puede ser de dos tipos:

• Constructiva: tiene lugar cuando la amplitud de la onda resultante alcanza su valor máximo.

• Destructiva: tiene lugar cuando la amplitud de la onda resultante es nula, esto es, cuando los efectos de las ondas se anulan entre sí.

b) Si las dos ondas sonoras se propagan por el mismo medio, sus velocidades de propagación serán iguales; hallamos entonces la velocidad de propagación de la primera onda:

v= λ

T= λf =0 ´77· 440=338 ´8 m ·s −1

Así pues, la longitud de onda del segundo sonido será:

v= λ

T = λf ⇒ λ = v f =

338´8

200 =1´694 m=169´ 4 cm

43.- Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, razonando las respuestas: a) La velocidad de propagación de una onda armónica es proporcional a su longitud de onda. b) Cuando una onda incide en la superficie de separación de dos medios, las ondas reflejada y

re-fractada tienen igual frecuencia e igual longitud de onda que la onda incidente.

a) La afirmación es VERDADERA. La velocidad de propagación de una onda armónica es constante para cada medio, y depende de distintas variables, como la temperatura. Se define como la relación entre la longi-tud de onda y el tiempo que tarde la onda en recorrer dicha distancia, que es un periodo:

v= λ

T

de donde deducimos que la velocidad de propagación de una onda armónica es proporcional a su longitud de onda e inversamente proporcional a su periodo.

b) La afirmación es FALSA. La onda reflejada sí tiene las mismas características que la onda incidente – am -plitud, longitud de onda, periodo y velocidad de propagación – pues sigue propagándose por el mismo me-dio. Sin embargo, la onda refractada pasa a un medio distinto en el que la velocidad de propagación varía, de manera que aunque su frecuencia no cambie sí lo hará la longitud de onda.

44.- a) Explique qué son una onda transversal y una onda longitudinal. ¿Qué quiere decir que una onda está polarizada linealmente?

b) ¿Por qué se dice que en un fenómeno ondulatorio se da una doble periodicidad? ¿Qué magnitudes físicas la caracterizan?

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sí; una onda es longitudinal cuando sus direcciones de propagación y vibración son paralelas.

El plano de polarización es el plano formado por las direcciones de propagación y de vibración de una onda transversal (las ondas longitudinales carecen de él al ser paralelas ambas direcciones); decimos entonces que una onda está polarizada linealmente cuando su plano de polarización no cambia mientras se propaga.

b) Decimos que una onda es doblemente periódica porque cada cierto tiempo y cada cierta distancia los pun-tos de la onda vuelven a vibrar de la misma manera, con la misma elongación, con la misma velocidad y con la misma aceleración. A la distancia entre dos puntos de la onda que vibran de igual manera (o que están en fase) se le llama longitud de onda, y al tiempo que tarda la onda en recorrer dicha distancia se le llama perio -do.

45.- a) ¿Qué diferencias existen entre el movimiento de una onda a través de un medio y el movimiento de las partículas del propio medio?

b) Las gráficas de la figura muestran el movimiento de una onda. La primera representa el desplazamiento o elongación (y) en metros frente al tiempo (en μs) en una determinada posición; la segunda muestra el desplazamiento (y) frente a la posición (x) en un instante concreto. Explique qué representan las variables A, B, C y D que se indican, y calcule la velocidad de propagación de la onda.

c) Al arrojar una piedra a un estanque con agua y al pulsar la cuerda de una guitarra se producen fenómenos ondulatorios. Razone qué tipo de onda se ha producido en cada caso y comente las diferencias entre ambas.

a) Cuando una onda se propaga a través de un medio lo hace a una velocidad constante – llamada velocidad de propagación – cuyo valor es constante para dicho medio. La onda propaga la energía generada en el foco gracias a que las partículas del medio la van transmitiendo de unas a otras. Sin embargo, el movimiento de las partículas es vibratorio, de manera que se desplazan a un lado y a otro de su posición inicial o de equili brio a una velocidad – llamada velocidad de vibración – que no es constante, sino que depende periódica -mente de la distancia al foco y del tiempo.

b) La variable A nos indica, para una misma posición, la distancia entre dos puntos que se encuentran a la máxima distancia posible de la posición de equilibrio; por tanto, su valor será igual al doble de la amplitud. La variable B nos indica el tiempo transcurrido entre dos puntos que vibran igual (que están en fase); se trata, por tanto, del periodo. Su valor es de 1 μs.

La variable C nos indica la distancia entre dos puntos que vibran igual (están en fase); se trata, por tanto, de la longitud de onda. Su valor es de 300 m.

La variable D nos indica, para un mismo tiempo, la distancia entre un punto que se encuentra a la máxima distancia posible de la posición de equilibrio y dicha posición.

Por último, calculamos la velocidad de propagación de la onda a partir de la longitud de onda y del periodo:

v= λ

T = 300

10−6=3 ·10

8

m ·s−1

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PROBLEMAS

46.- Una onda se propaga en un medio material según la ecuación:

y(x ,t) =0 ´ 2 sen 2π

(

50t− x

0´ 1

)

(S.I.)

a) Indique el tipo de onda y su sentido de propagación y determine la amplitud, periodo, longitud de onda y velocidad de propagación.

b) Determine la máxima velocidad de oscilación de las partículas del medio y calcule la diferencia de fase, en un mismo instante, entre dos puntos que distan entre sí 2´5 cm.

a) Se trata de una onda armónica mecánica, transversal, unidimensional y que se propaga en el sentido positivo del eje X. Sus magnitudes características son las siguientes:

• La amplitud es de 0´2 m.

• El periodo puede calcularse a partir de la frecuencia angular:

ω = 2π

T ⇒ T= 2π

ω = 100π =0 ´02 s

• La longitud de onda se calcula a partir del número de ondas:

k =2λ ⇒ λ =π 2π

k = 2π

20π =0´1 m

• La velocidad de propagación se determina a partir de la longitud de onda y del periodo:

v= λ

T = 0´1

0 ´ 02=50 m· s −1

b) Las partículas del medio por el que se propaga la onda vibran con MAS; su velocidad de oscilación dependerá, por tanto, periódicamente de la posición y del tiempo, y se calcula de la manera siguiente:

v= ∂y

∂t =20π cos

(

100πt−20πx

)

(m/s)

De la ecuación anterior deducimos que el valor máximo de la velocidad será de ±20π m ·s−1.

Sean 1 y 2 los puntos cuyas posiciones respecto del foco son x1 y x2. La fase del punto que se encuentra en la

posición x1 será:

100πt – 20πx1

La fase del punto que se encuentra en la posición x2 será:

100πt – 20πx2

La diferencia de fase entre ambos puntos será:

(100πt – 20πx1) – (100πt – 20πx2) = 20π(x2 – x1) = 20π·0´025 = π/2 rad

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la cuerda es de 352 m·s-1.

b) Explique por qué, si se acorta la longitud de una cuerda en una guitarra, el sonido resulta más agu-do.

a) Como la cuerda de la guitarra se encuentra sujeta por los dos extremos, a lo largo de la misma interfieren dos ondas armónicas que se propagan en sentidos contrarios, generándose una onda estacionaria. La distan -cia entre dos nodos (puntos de amplitud nula) de dicha onda es igual a una semilongitud de onda, por lo que la longitud de la cuerda deberá ser:

L=Nλ

2 (N = 1, 2,...)

En el modo fundamental de vibración N = 1, de manera que la longitud de onda de la onda estacionaria que se propaga por la cuerda será:

λ = 2L = 0´8 m

Finalmente, hallamos la frecuencia fundamental de vibración a partir de la velocidad de propagación de la onda en la cuerda:

v= λ

T = λf ⇒ f = v

λ =

352

0,8 =440 Hz

b) Si se acorta la longitud de la cuerda la longitud de onda disminuirá su valor; entonces, de acuerdo con la expresión del apartado anterior, la frecuencia de la onda aumentará (pues la velocidad de propagación perma-nece invariable al no variar el medio por el que se propaga). Finalmente, como el tono de un sonido es más agudo cuanto mayor sea su frecuencia, deducimos que si se acorta la cuerda el sonido será más agudo.

48.- Una onda se propaga en el sentido negativo del eje X y su longitud de onda es de 20 cm. El foco emisor vibra con una frecuencia de 25 Hz y con una amplitud de 3 m. En el instante inicial, la elongación en el foco vale 1´5 m. Determine:

a) Ecuación de la onda.

b) Velocidad y aceleración máximas de cualquier punto del medio por el que se propaga.

a) Para determinar la ecuación de la onda necesitamos conocer sus magnitudes características:

• La amplitud es de 3 m.

• La frecuencia angular se calcula a partir de la frecuencia:

ω = 2π

T =2πf =50π rad ·s −1

• El número de ondas se calcula a partir de la longitud de onda:

k =2λ =π 2π

0 ´ 2=10π m −1

• La fase inicial o constante de fase se determina a partir de las condiciones iniciales (en t = 0, y = A/2 en x = 0):

A/2 = A sen φ ⇒ φ = π/6 rad

(6)

y(x ,t) =3 sen

(

50πt+10πx+ π

6

)

(S.I.)

b) Las partículas del medio por el que se propaga la onda vibran con MAS; su velocidad de oscilación dependerá, por tanto, periódicamente de la posición y del tiempo, y se calcula de la manera siguiente:

v= ∂y

∂t =150π cos

(

50πt+10πx+ π6

)

(m/s)

De la ecuación anterior deducimos que el valor máximo de la velocidad será de ±150π m ·s−1.

La aceleración de oscilación dependerá, también, periódicamente de la posición y del tiempo, y se calcula de la manera siguiente:

a= ∂v

∂t =−7500π

2

sen

(

50πt+10πx+ π

6

)

(m/s2)

De la ecuación anterior deducimos que el valor máximo de la aceleración será de ±7500π2 m · s−2.

49.- Cierta onda transversal que se propaga en un determinado medio emplea 12 s en recorrer una distancia de 98 m. Si en el foco se generan 380 pulsos cada 5 s y éstos tienen una amplitud de 9 cm, calcule:

a) Ecuación de la onda, admitiendo que se propaga de izquierda a derecha.

b) Diferencia de fase que ha de haber entre dos puntos separados 7 m entre sí. ¿Qué tiempo ha de transcurrir para que un mismo punto alcanzado por esta perturbación ofrezca una diferencia de fase de π/6 rad?

a) Para determinar la ecuación de la onda necesitamos conocer sus magnitudes características:

• La amplitud es de 0´09 m.

• La frecuencia angular se calcula a partir de la frecuencia; a su vez, ésta se calcula teniendo en cuenta que si se generan 380 pulsos cada segundo, en 1 s el nº de pulsos será de 76:

ω = 2π

T =2πf =152π rad ·s −1

• El número de ondas se calcula a partir de la velocidad de propagación; ésta se determina teniendo en cuenta que la onda recorre 98 m en 12 s, por lo que valdrá 8´17 m/s:

v= ω

k ⇒k= ωv = 152π

8 ´ 17 =18´61πm −1

• La fase inicial o constante de fase se determina a partir de las condiciones iniciales. Consideramos que en t = 0, y = 0 en x = 0:

0 = A sen φ ⇒ φ = 0 rad

Por tanto, la ecuación de la onda será la siguiente:

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b) Sean 1 y 2 los puntos cuyas posiciones respecto del foco son x1 y x2. La fase del punto que se encuentra en

la posición x1 será:

152πt – 18´61πx1

La fase del punto que se encuentra en la posición x2 será:

152πt – 18´61πx2

La diferencia de fase entre ambos puntos será:

(152πt – 18´61πx1) – (152πt – 18´61πx2) = 18´61π(x2 – x1) = 18´61π·7 = 409´3 rad

Sean t1 y t2 los instantes entre los que se mide el tiempo. Entonces, la fase en el instante t1 para un punto

situado a una distancia x del foco será:

152πt1 – 18´61πx

La fase en el instante t2 para el mismo punto será:

152πt2 – 18´61πx

La diferencia de fase entre ambos instantes será:

(152πt2 – 18´61πx) – (152πt1 – 18´61πx) = 152π (t2 – t1) = π/6 ⇒ t2 – t1 = 1´1·10-3 s

50.- Se hace vibrar transversalmente un extremo de una cuerda de gran longitud con un periodo de 0,5π s y una amplitud de 0´2 cm, propagándose a través de ella una onda con una velocidad de 0´1 m/s.

a) Escriba la ecuación de la onda, indicando el razonamiento seguido.

b) Explique qué características de la onda cambian si: i) se aumenta el periodo de la vibración en el extremo de la cuerda; ii) se varía la tensión de la cuerda.

a) La ecuación de la onda armónica unidimensional que se propaga a lo largo de la cuerda (consideramos que en el sentido positivo del eje X) viene dada por:

y(x, t) = A sen (ωt – kx + φ)

Calculamos las distintas magnitudes que aparecen en dicha ecuación a partir de la información que nos sumi-nistran:

• La amplitud es 2·10-3 m.

• Calculamos la frecuencia angular a partir del periodo:

ω = 2π

T = 2π

0´5π =4 rad ·s

−1

• Calculamos la longitud de onda a partir del periodo y de la velocidad de propagación:

v= λ

T ⇒ λ =vT=0´1· 0´ 5π =0´05π m

(8)

k =2π

λ =

0´05π=40 m

−1

• Finalmente, determinamos la fase inicial o constante de fase a partir de las condiciones iniciales, considerando que en el instante inicial (t = 0) la perturbación es nula (y = 0) en el foco (x = 0):

0 = A sen φ ⇒ φ = 0

Sustituyendo los valores obtenidos, la ecuación de la onda queda finalmente:

y(x, t) = 2·10-3 sen (4t – 40x) (SI)

b) i) Si se aumenta el periodo de la vibración en el extremo de la cuerda entonces...

• ...la frecuencia angular disminuirá.

• ...la longitud de onda aumentará, por lo que el número de ondas disminuirá.

• ...la amplitud permanece invariable al ser independiente del periodo.

ii) Si cambia la tensión en la cuerda entonces variará la velocidad de propagación de la onda por ella (recor-dar que la velocidad de propagación de una onda por un medio depende de las características de dicho me-dio). Un cambio en la velocidad de propagación puede conllevar...

• ...un cambio en la longitud de onda y, por tanto, del número de ondas.

• ...o un cambio en el periodo y, por tanto, de la frecuencia angular.

51.- La ecuación de una onda en una cuerda es:

y (x, t) = 0´2 sen 6πx cos 20πt (S.I.)

a) Explique las características de la onda y calcule su periodo, longitud de onda y velocidad de propagación.

b) Determine razonadamente la distancia entre dos puntos consecutivos con amplitud cero e indi-que el nombre y las características de dichos puntos.

a) Se trata de una onda estacionaria generada por la superposición de dos ondas armónicas unidimensionales de la misma amplitud, periodo y longitud de onda que se propagan en sentidos contrarios a través de la cuer-da (oncuer-das incidente y reflejacuer-da), y que posee unos puntos fijos, de amplitud nula, llamados nodos que impi-den que se propague energía al encontrarse en reposo.

Hallamos el periodo a partir de la frecuencia angular:

ω = 2π

T ⇒T= 2π

ω =20π =0´1 s

Hallamos la longitud de onda a partir del número de ondas:

k =2π

λ ⇒ λ =

k = 2π

6π=0´33 m

La velocidad de propagación de la onda estacionaria será:

v= λ

T= ωk = 20π

6π =3´33 m ·s

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b) Sabemos que los puntos con amplitud cero se llaman nodos, y que impiden que se propague energía al en-contrarse en reposo. Entonces, deberá cumplirse que:

0´2 sen 6πx = 0 ⇒ 6πx = nπ ⇒ x= n

6 (m)

Por tanto, la distancia entre dos nodos consecutivos será:

xn+1−xn=

n+1 6 −

n

Figure

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