En el contexto de las se˜

(1)

Matem´aticas Avanzadas

para Ingenier´ıa: Transformada

de Fourier

Departamento de Matem´aticas

F{f(x)} TI:F{f(x)} F{Pτ(x)}

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Matem´

aticas Avanzadas para Ingenier´ıa:

Transformada de Fourier

(2)

de Matem´aticas

F{f(x)}

TI:F{f(x)} F{Pτ(x)}

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´onω

Derivaci´onx

Derivaci´onω

−∞

|f(x)|dx <∞

entoncesla transformada de Fourier def(x) se define como

ˆ

f(ω) =F(ω) =F{f(x)}=

Z ∞

−∞

f(x)e−ωixdx

Latransformada inversa de Fourier deF(ω) se define como

f(x) =F−1{F(ω)}= 1 2π

Z ∞

−∞

F(ω)e+ixωdω

(3)

de Fourier

F{f(x)} TI:F{f(x)}

F{Pτ(x)}

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

C´odigo en la TI para la transformada de Fourier

(4)

de Fourier

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´onω

Derivaci´onx

Derivaci´onω

Ejemplo 1

Obtenga la transformada de Fourier de un pulso rectangular:

Pτ(x) =f(x) =

 



0 para −∞ < x < −1 2τ

1 para −1₂τ < x < 1₂τ 0 para 1₂τ < x < ∞

−τ /2 τ /2 1

= −_ω_i [(cos(ω τ /2)−sen(ω τ /2)i)− (cos(ω τ /2) + sen(ω τ /2)i)]

= 2sen(

1 2τ ω)

(5)

de Fourier

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 1

Obtenga la transformada de Fourier de un pulso rectangular:

Pτ(x) =f(x) =

 



0 para −∞ < x < −1 2τ

1 para −1₂τ < x < 1₂τ 0 para 1₂τ < x < ∞

−τ /2 τ /2 1

F{f(x)} = R∞

−∞f(x)e

−ωix_dx

= R₋τ /_{τ /}2₂e−ωixdx =−1

ωi

e−ωixx_x=₌₋τ /_{τ /}2₂

= −1

ωi

e−ωiτ /2−eωiτ /2

(6)

de Matem´aticas

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´onω

Derivaci´onx

(7)

de Fourier

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Tabla

f(x) ˆf(ω)

Pτ(x) 2sen(

1 2τ ω)

(8)

de Matem´aticas

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´onω

Derivaci´onx

Derivaci´onω

Propiedad de Linealidad

Sif(x) y g(x) admiten transformada de Fourier, entonces tambi´enc1f(x) +c2g(x) la admite y

F{c1f(x) +c2g(x)}=c1F{f(x)}+c2F{g(x)}

F−1n

c1ˆf(ω) +c2gˆ(ω)

o

(9)

de Fourier

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Tabla

f(x) fˆ(ω)

Pτ(x) 2sen(

1 2τ ω)

ω

1

2P2a(x)

sen(aω)

(10)

de Fourier

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´onω

Derivaci´onx

Derivaci´onω

Ejemplo 2

Obtenga la transformada de Fourier de un pulso rectangular de alturab:

f(x) =

 



0 para −∞ < x < −1₂τ b para −1

2τ < x < 1 2τ

0 para 1₂τ < x < ∞

(11)

de Fourier

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 2

Obtenga la transformada de Fourier de un pulso rectangular de alturab:

f(x) =

 



0 para −∞ < x < −1₂τ b para −1

2τ < x < 1 2τ

0 para 1₂τ < x < ∞

F{f(x)} = F{b P_τ(x)} = bF{P_τ(x)}

= b2sen(

1 2τ ω)

ω

= 2bsen(

1 2τ ω)

(12)

Matem´aticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Transformada de Fourier Departamento de Matem´aticas

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´onω

Derivaci´onx

Derivaci´onω

Ejemplo 3

Obtenga la transformada de Fourier del impulsoδ(x) (delta de Dirac):

Pensamos que la función δ(x) es el l´ımite de funciones pulso de ancho τ y con altura 1/τ, de manera que el área de los rectángulos formados sea 1.

δ(x) = lim

τ→0

1 τPτ(x)

−2 2

1/4

−1 1

1/2

−1/2 1/2 1

−−11/8/4 1/81/4

F{δ(x)} = limτ→0F1_τPτ(x)

= limτ→0

1

τ2

sen(1 2τ ω)

ω

= limτ→0 sen( 1 2τ ω) 1 2τ ω

(13)

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 3

δ(x) = lim

τ→0

1 τPτ(x)

−2 2

1/4

−1 1

1/2

−1/2 1/2 1

−1/4 1/4 2

−1/8 1/8

4

= limτ→0

1

τ2

sen(1 2τ ω)

ω

= limτ→0 sen( 1 2τ ω) 1 2τ ω

(14)

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´onω

Derivaci´onx

Derivaci´onω

Ejemplo 3

δ(x) = lim

τ→0

1 τPτ(x)

−2 2

1/4

−1 1

1/2

−1/2 1/2 1

−−11/8/4 1/81/4

= limτ→0

1

τ2

sen(1 2τ ω)

ω

= limτ→0 sen( 1 2τ ω) 1 2τ ω

(15)

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 3

δ(x) = lim

τ→0

1 τPτ(x)

−2 2

1/4

−1 1

1/2

−1/2 1/2 1

−1/4 1/4 2

−1/8 1/8

4

= limτ→0

1

τ2

sen(1 2τ ω)

ω

= limτ→0 sen( 1 2τ ω) 1 2τ ω

(16)

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´onω

Derivaci´onx

Derivaci´onω

Ejemplo 3

δ(x) = lim

τ→0

1 τPτ(x)

−2 2

1/4

−1 1

1/2

−1/2 1/2 1

−1/4 1/4 2

−1/8 1/8

= limτ→0

1

τ2

sen(1 2τ ω)

ω

= limτ→0 sen( 1 2τ ω) 1 2τ ω

(17)

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 3

δ(x) = lim

τ→0

1 τPτ(x)

−2 2

1/4

−1 1

1/2

−1/2 1/2 1

−1/4 1/4 2

−1/8 1/8

4

= limτ→0

1

τ2

sen(1 2τ ω)

ω

= limτ→0 sen( 1 2τ ω) 1 2τ ω

(18)

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´onω

Derivaci´onx

Derivaci´onω

Ejemplo 3

δ(x) = lim

τ→0

1 τPτ(x)

−2 2

1/4

−1 1

1/2

−1/2 1/2 1

−−11/8/4 1/81/4

= limτ→0

1

τ2

sen(1 2τ ω)

ω

= limτ→0 sen( 1 2τ ω) 1 2τ ω

(19)

de Fourier

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

(20)

de Matem´aticas

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´onω

Derivaci´onx

Derivaci´onω

Tabla

f(x) fˆ(ω)

Pτ(x) 2sen(

1 2τ ω)

ω

1

2P2a(x)

sen(aω)

ω

(21)

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 4

Obtenga la transformada de Fourier de unpulso exponencial lateralf(x) =u(x)e−a x:

f(x)

ˆ

f(ω) =

Z ∞

0

e−a xe−ωxidx

=

Z ∞

0

e−(a+ωi)xdx

= lim

N→∞

− 1

a+ωi

h

e−(a+ωi)x

ix=N

x=0

= − 1

a+ωiNlim→∞

e−(a+ωi)N−1

= − 1

a+ωiNlim→∞

e−a N(cos(ωN)−sen(ωN)i)−1

= _a₊1_ω_i = _a2₊a_ω2 −

ω

(22)

de Matem´aticas

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´onω

Derivaci´onx

Derivaci´onω

f(x)

ˆ

f(ω) =

Z ∞

0

e−a xe−ωxidx

=

Z ∞

0

e−(a+ωi)xdx

= lim

N→∞

− 1

a+ωi

h

e−(a+ωi)x

ix=N

x=0

= − 1

a+ωiNlim→∞

e−(a+ωi)N−1

= − 1

a+ωiNlim→∞

e−a N(cos(ωN)−sen(ωN)i)−1

(23)

de Fourier

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

(24)

de Matem´aticas

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´onω

Derivaci´onx

Derivaci´onω

Tabla

f(x) ˆf(ω)

Pτ(x) 2sen(

1 2τ ω)

ω

1

2P2a(x)

sen(aω)

ω

δ(x) 1

(25)

de Fourier

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 5

Obtenga la transformada de Fourier def(x) =e−a|x|:

f(x)

(26)

de Matem´aticas

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´onω

Derivaci´onx

Derivaci´onω

Ejemplo 5

Obtenga la transformada de Fourier def(x) =e−a|x|:

f(x)

(27)

de Fourier

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

(28)

de Matem´aticas

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´onω

Derivaci´onx

Derivaci´onω

Tabla

f(x) ˆf(ω)

Pτ(x) 2

sen(1 2τ ω)

ω 1

2P2a(x)

sen(aω) ω

δ(x) 1

u(x)e−a x _a+ω1 _i= _a2_+ωa 2−

(29)

de Fourier

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Traslaci´on en el primer eje

Sif(x) admite transformada de Fourier, entonces para cualquierxo tambi´enf(x−xo) la admite y

F{f(x−xo)}=e−iωxoF{f(x)}=e−iωxoˆf(ω)

F−1n

e−iωxoˆ_f_(ω)

o

(30)

de Fourier

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´onω

Derivaci´onx

Derivaci´onω

Ejemplo 6

Calcule la transformada de Fourier deg(x):

g(x) =

0 parat <3 y t>7 6 para 3≤x<7

3 7

6

5

4

(31)

de Fourier

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 6

Calcule la transformada de Fourier deg(x):

g(x) =

0 parat <3 y t>7 6 para 3≤x<7

3 7

6

5

4

Observamos queg(x) = 6P4(x−5), y por tanto

ˆ

g(ω) = F{6P4(x−5)}= 6e−iω5F{P4(x)}

(32)

de Fourier

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´onω

Derivaci´onx

Derivaci´onω

Ejemplo 7

Calcule la transformada inversa de Fourier deg(x):

G(ω) = e

2iω

5 +iω

= F ₅₊_i_ω

x=x−(−2)

= u(x)e−5x_x₌_x₊₂

(33)

de Fourier

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 7

Calcule la transformada inversa de Fourier deg(x):

G(ω) = e

2iω

5 +iω

F−1_{G_(ω)} ₌ _F−1ne2iω 5+iω

o

= F−1ne−iω(−2)· 1 5+iω

o

= F−1

n

1 5+iω

o

x=x−(−2)

= u(x)e−5x_x₌_x₊₂

(34)

de Matem´aticas

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´onω

Derivaci´onx

Derivaci´onω

cualquiera6= 0 tambi´enf(a x) la admite y

F{f(a x)}= 1

|a|F{f(x)}ω=ω/a= 1 |a|ˆf

ω

a

F−1n_ˆ

f

ω

a

o

=|a|f(a x)

Otra propiedad: Simetr´ıa

(35)

de Fourier

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Calcule las transformadas de Fourier de:

f(x) =

1− |x| para −1≤x≤1

0 otro caso

g(x) =

1− |7x| para −1/7≤x ≤1/7

0 otro caso

−1−1/7 1/7 1 1

De la definici´on de la transformada de Fourier:

ˆ

f(ω) = 2−2cos_ω2 (ω)

ˆ

g(ω) = 14−14cos(

1 7ω)

ω2

observamos que comog(x) =f(7x), se cumple ˆ

(36)

de Matem´aticas

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´onω

Derivaci´onx

Derivaci´onω

g(x) =

1− |7x| para −1/7≤x ≤1/7

0 otro caso

−1−1/7 1/7 1 1

De la definici´on de la transformada de Fourier:

ˆ

f(ω) = 2−2cos_ω2 (ω)

ˆ

g(ω) = 14−14cos(

1 7ω)

ω2

observamos que comog(x) =f(7x), se cumple ˆ

(37)

de Fourier

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Traslaci´on en frecuencia

Sif(x) admite transformada de Fourier, entonces para cualquierωo tambi´eneiωoxf(x) la admite y

Fneiωox_f_(x)o₌F_{f_(x)}

ω=ω−ωo = ˆf(ω−ωo)

Su versi´on la la transformada de Fourier inversa queda:

F−1n_ˆ

f(ω−ωo)

o

(38)

de Matem´aticas

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´onω

Derivaci´onx

Derivaci´onω

• f(n−1)(x) es continua;

• f(n)(x) es continua a pedazos en cada intervalo finito

• f(x) es absolutamente convergente en (−∞,+∞);

• y que

lim x→−∞f

(k)_{(x) = 0 =} _lim

x→+∞f (k)_(x)

para k = 0,1, . . . ,n−1. Entonces

entonces

Fnf(n)(x)

o

(39)

de Fourier

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo

Resuelva la ecuaci´on diferencial

y0(x)−a y(x) =u(x)e−b x

suponga queayb con reales positivos (a6=b).

Tomando la transformada de Fourier en ambos tenemos:

F{y0(x)−a y(x)} = Fu(x)e−b x

F{y0_{(x)} −}_a_F_{y(x)} ₌ _F

u(x)e−b x iωfˆ(ω)−aˆf(ω) = _b₊1_ω_i

Despejando ˆy(ω):

ˆ

f(ω) = 1

(−a+ωi) (b+ωi) = A −a+ωi +

(40)

de Matem´aticas

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´onω

Derivaci´onx

Derivaci´onω

De

ˆ

f(ω) = 1

(b+a) · 1 (−a+bi) −

1 (a+b)

1 (b+ωi)

deducimos que

f(x) =F−1

n

ˆ f(ω)

o

= 1

(b+a)u(x)e

a x₋ 1

(a+b)u(x)e

−b x

(41)

de Fourier

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Diferenciaci´on respecto a la variable frecuencia

Sean un entero positivo. Suponga que

• f(x) es continua a pedazos en cada intervalo finito

• xn_f_{(x) es absolutamente convergente en (−∞,}_+∞);

entonces

F{xnf(x)}=in d n

dωnˆf(ω)

Esta es una consecuencia de laRegla de Leibniz para la diferenciaci´on bajo la integral:

d dλ

Z

f(x, λ)dx =

Z

∂

∂λf(x, λ)

(42)

de Matem´aticas

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´onω

Derivaci´onx

Derivaci´onω

Ejemplo

Calcule

F

x u(x)e−a x

Fnx2e−a|x|o

(43)

de Fourier

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Diferenciaci´on respecto a la variable frecuencia

Suponga que

• f(x) es continua a pedazos en cada intervalo finito

• f(x) es absolutamente convergente en (−∞,+∞);

• ˆf(ω= 0) = 0

entonces

FZ x −∞

f(y)dy

= 1

iωfˆ(ω)

Recuerde que si

g(x) =

Z x

−∞

f(y)dy

(44)

de Matem´aticas

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´onω

Derivaci´onx

Derivaci´onω

cumplen:

1 Z b

a

f(x)dx y

Z b

a

g(x)dx existen para todo intervalo [a,b].

2 Para todo x

Z ∞

−∞

|f(y)g(x−y)|dy

converge.

En este caso laconvoluci´onf ∗g de f(x) con g(x) se define como la funci´on

(f ∗g)(x) =

Z ∞

−∞

(45)

de Fourier

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplos

Observando que para se˜nalesf(x) y g(x) que son cero para x<0:

(f ∗g)(x) =

Z ∞

−∞

f(y)g(x−y)dy =

Z x

0

f(y)g(x−y)dx

Realice algunas convoluciones de la liga del MIT:

http://math.mit.edu/mathlets/mathlets/

Para se˜nales que en el par no son cero calcule

(46)

de Matem´aticas

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´onω

Derivaci´onx

Derivaci´onω

Seanf(x) yg(x) funciones que admiten transformada de Fourier y sean ˆf(ω) y ˆg(ω) sus transformadas de Fourier. Entonces

F{(f ∗g)(x)}= ˆf(ω)·gˆ(ω)

Es decir, la transformada de la convolución entre dos funciones es el producto de las transformadas de ambas funciones. Esta fórmula en su versión para la transformada inversa queda:

F−1n_ˆ

f(ω)·gˆ(ω)

o

(47)

de Fourier

Linealidad

Ejemplo 2

F{δ(x)} Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´onx

Ejemplo 6

Escalamiento

Calcule:

F−1

1

(4 +ω2_{) (9 +}_ω2₎