Universidad Nacional Abierta Matemática III (733) Vicerrectorado Académico Primera Prueba Integral Área de Matemática Fecha 25- 03- 2006 Lapso 2006 −1

Universidad Nacional Abierta

Matemática III (733)

Vicerrectorado Académico Primera Prueba Integral

Área de Matemática Fecha 25- 03- 2006 Lapso 2006−1

MODELO DE RESPUESTAS OBJ 1 PTA 1 Calcula

(

)

dx

b a

b a

x x

2 x x

∫

−

.

Solución:

(

−

)

₌ − + ₌

∫

∫

dx

b a

b b a 2 a

x d b a

b a

x x

x 2 x x x

2 x

x 2 x x

= +

−

=

∫

∫

∫

dx

b a

b dx b a

b a 2 dx b a

a

x x

x 2 x

x x x x

x x 2

=       + −

      = +

−

=

∫

∫

∫

∫

∫

∫

dx

a b dx

2 dx b a dx

a b dx 2 dx b

a x x

x x x

x

C x 2 Lnb Lna

a b

Lnb Lna

b a

C

a b Ln

a b

x 2

b a Ln

b

a x x x x

+ − −

      − −

      = +             + −             =

Por lo tanto,

(

)

(

)

a

(

Lna Lnb

)

2x C

b Lnb

Lna b

a x

d b a

b a

x

x

x

x

x x

2 x x

+ − −

− −

= −

∫

OBJ 2 PTA 2 Determina la convergencia o divergencia de la integral Ι =

− ⋅

∫

x

x 1dx

1 2

Solución: La función del integrando f(x) = x

x−1 no está definida en x = 1, luego

tenemos que Ι =

− = → + − =

∫

_xx dx lim

∫

x

x dx

1 0 1

1 2

1 2 ε ε

Calculemos la integral indefinida x x− dx

∫

₁ , haciendo el cambio de variable:

u2 = x - 1 de donde 2u du = dx y x = u2 + 1, entonces

x

x dx

u

u u du

u

u C x x C

− =

+  

 



 =  +



 



 + =  − + −

  

    +

∫

₁

∫

1 2 2

3 2

1

3 1

2 3 _{( )}3

Así que, _ =       

  

− + − =

− =

− =

Ι

ε + →

ε ε

+ → ε

∫

∫

2

1 3

0 2

1 2

1 0

1 x 3

) 1 x ( lim 2 dx 1 x

x lim

dx 1 x

x

3 8 3

3 4 lím

2 3

0 =

   

  

ε − ε − =

→ ε

Por lo tanto

∫

=

− =

Ι

2

1 3

8 dx 1 x

x

, converge.

OBJ 3 PTA 3 Halla, si es posible, el área de la región que se encuentra entre las gráficas de las curvas de ecuaciones:

y = sec x , y = tan x desde x = 0 hasta x = 2 π _.

Solución: Gráficamente tenemos que la región es:

Podemos observar que la gráfica de y = sec x y la de y = tan x tienden a +∞

cuando x se acerca a π/2 por la izquierda y no se interceptan en ningún

punto(¡verifícalo!).

Intentemos hallar el área entre las curvas, desde x = 0 hasta x = π/2, calculando la

integral , A f(x) g(x) dx

b

a

∫

−

= , donde f(x) = sec x , g(x) = tan x , a = 0 y

b = π/2. Entonces, en este caso tenemos:

x d x tan x sec

A 2

0

∫

π −

= = 2(sec x tan x)dx

0

−

∫

π ya que (sec x  tan x) >0 para

todo valor de x del intervalo [ 0, π/2). y

1

0 π/2 x

Región de Integración A

Ahora, la integral

∫

₀2 (secx−tanx)dx

π

es una integral impropia de una función no

acotada ( pg. 93 del libro Matemática III(733) de la UNA), luego

A = 2 (secx tanx)dx 0

−

∫

π = lím (sec x tanx)dx

u

0 2

u→π−

∫

− =

(

)

u

0 2

ulím Ln secx tanx Ln cosx _

 +

+

= _π

→ =

(

)

u

0 2

ulím Ln secx tanx cosx _

 +

= _π

→ =

u

0 2

u _cosx cosx

x sen x

cos 1 Ln

lím _

     

 

   

 

+

= _π

→ =

logaritmos

los de propiedad

por

↑

(

)

_ =

  +

= _π

→

u

0 2

ulím Ln 1 senx lím Ln

(

1 senu

)

Ln1 Ln2

2

u→π + − =

↑por2do Teorema Fundamenta ldel Cálculo

Así que, el área de la región que se encuentra entre las gráficas de las curvas de ecuaciones:

y = sec x , y = tan x desde x =0 hasta x =

2

π _{es igual a Ln 2.}

OBJ 4 PTA 4 Calcula la longitud de la curva dada en coordenadas polares r = 2 + 2cos θ

Solución:

La curva representada por la ecuación r = 2 + 2cos θ es una cardiode

¡Verifícalo!

Calculemos su longitud mediante la fórmula:

 + θ

    

θ =

∫

θ

θ

d ) r ( d dr S

2 1

2 2

(pg. 226 del libro Matemática III(733) de la UNA)

0

π

2 2

π

π

Como la curva es simétrica con respecto al eje polar, calculemos su longitud variando π

≤ θ ≤

0 y multiplicamos por 2 para obtener la longitud total:

(

− θ

)

+ + θ θ= θ+ + θ+ θ θ=

=

∫

∫

π π

d cos 4 cos 8 4 sen 4 2 d ) cos 2 2 ( sen 2 2

S

0

2 2

0

2 2

( )

θ= =

θ θ + =

θ θ +

=

∫

∫

∫

π π

π

θ _d

cos 2 2

4 d cos 1 2 4 d cos 8 8 2

0

2

0

0 2

( )

d 8 cos

( )

d 16sen

( )

16 cos

8

0 0

0 2 2 2

= =

θ =

θ =

π π

π

θ θ

θ

∫

∫

Por lo tanto la longitud de la curva es: S=16 unidades de longitud

OBJ 5 PTA 5 Calcula el centroide de la región R limitada por las curvas de ecuaciones: y =  x2 + 2x , 16x = y2.

Solución: La región R es la que se muestra en la gráfica:

Integrando con respecto a x se tiene f(x) =  x2 + 2x , g(x) = −4 x

Calculemos el área de la región R como sigue:

(

)

(

)

_ =

  

 

+ + − = +

+ − = −

=

∫

∫

4

0 2

3 4

0 2 4

0

2 3

x 3 8 x 3 x dx

x 4 x 2 x dx

) x ( g ) x ( f A

( )

4 16 3

8 4 3

43 _{2 2}3

= +

+ − =

( )

₂θ ≥ 0 en [0 ,π]

cos

y

1

y = −x2 _{+ 2x}

x 4 y = −

R

− 8

Calculemos los momentos Mx y My:

(

)

(

)

 =

(

− + −

)

=      _{− + − −}

=

∫

∫

x 4x 4x 16xdx

2 1 dx x 4 x 2 x 2 1 M 4 0 2 3 4 4 0 2 2 2 x

( )

( )

15 704 4 8 4 3 4 4 5 4 2 1 x 8 x 3 4 x 5 x 2

1 5 4 3 2

4 0 2 3 4 5 − =       − + − =       − + − =

(

)

_ =      + + − =      _{− + +} = + + − =

∫

∫

4 0 3 4 4 0 2 3 4 0 2 y 2 5 2 3 x 5 8 x 3 2 4 x dx x 4 x 2 x dx x 4 x 2 x x M

( )

( )

15 448 4 5 8 4 3 2 4 4 2 5 3 4 = + + − =

Luego, las coordenadas del centroide son:

15 28 ) 15 )( 16 ( 448 16 15 448 A M

x = y = = = ,

15 44 ) 15 )( 16 ( 704 16 15 704 A M

y₌ x ₌ − _{=− =−}

Por lo tanto,

(

)



     ₋ = 15 44 , 15 28 y , x

OBJ 6 PTA 6 Determina el número k (si es posible) de modo que los vectores

(

5 ,12

)

,v

( )

1 , k

ur = r= formen un ángulo de

3

π

radianes.

Solución: Hallemos el producto escalar entre los vectores ur , vr :

(

5 ,12

) (

, 1 , k

)

5 12k v

,

u >= < > = +

<r r y las normas de ur , vr :

13 169 144 25 ) 12 ( 5 ) 12 , 5 ( , ) 12 , 5 ( u , u

ur _{= <} r r _{> = < > =} 2₊ 2 _{= + = =}

2 2

2 _{k 1 k}

1 ) k , 1 ( , ) k , 1 ( v , v

vr = < r r > = < > = + = +

Para hallar el valor de k aplicamos la fórmula para determinar el ángulo entre dos

vectores: v u v , u

cos _{r r}

r r _>

< =

ϕ con 0≤ϕ≤π (ver pg. 464 del libro Matemática

III(733) de la UNA), entonces, como ϕ = 3

π

se tiene que

(

+ +

)

⇔ + = + + ⇔ =

+ 25 120k 144k 169 169k 100 480k 576k

169 4 k

1 2 2 2 2

0 69 k 480 k

407 2_{+ − = de donde obtenemos los valores k}

1≅0,13 y k2≅ 1, 31

De estos dos valores, el que cumple con la condición es k1≅ 0, 13 ¡Verifícalo! Por lo tanto, para k1≅ 0,13 los vectores ur =

(

5 ,12

)

, vr=

(

1 , 0,13

)

forman un

ángulo de 3

π

radianes.

OBJ 7 PTA 7 Dada la curva definida por x = _

  

  

+_t2 1

1

arccos , y = _

  

  

+_t2 1

t

arcsen .

Calcula 

  



π π

4 , 4 punto el en y

d dx y x d

y d

.

Solución: Se tiene que

dt dx ) t (

x′ = = ₂2 ₂

2

t 1

1 t

1 t 1 2

t 2

t 1

1 1

1

+ =    

 

   

 

+ + −    

 

   

 

+ −

− ,

dt dy ) t (

y′ = = ₂ 2 ₂

2 2

2

2 _{1 t}

1 t

1

t 1 2

t 2 t

1

t 1

t 1

1

+ =     

 

    

 

+ + − +

    

 

    

 

+ −

, por lo tanto

1

dt dxdt dy

x d

y d

=

= y 1

dt dydt dx

y d

x d

= =

Por lo tanto

( )

dy

( )

1

x d x

d y d

4 4 4

4, ,

= =

π π π

π

OBJ 8 PTA 8 Calcula la ecuación del plano normal a la curva F(t)=

(

t2−1 , t , t3

)

perpendicular al plano x + y –z = 1.

Solución: El plano normal es el plano generado por B y N, luego su vector normal es T y su ecuación es : <T(t0) , ( (x , y , z) – F(t0))> = 0

Hallemos el vector tangente

(

)

t 9 1 t 4

t 3 , 1 , t 2 ) t ( F

) t ( F ) t ( T

4 0 2

0

2 0 0

0 0 0

+ + =

′ ′ =

Ahora, como el plano que queremos hallar debe ser perpendicular al plano x + y –z = 1, cuyo vector normal es (1 , 1, 1), entonces se debe cumplir que el

(

)

_{,(1 ,1,-1)} t

9 1 t 4

t 3 , 1 , t 2

4 0 2

0

2 0 0

+

+ = 0 de donde 3t 2t 0 1 0

2

0 − − = , resolviendo obtenemos

los puntos t0 = 1 y t0 =

3 1

Para t0 = 1, tenemos que el vector normal es:

(

)

14 3 , 1 , 2 ) 1 ( F

) 1 ( F ) 1 (

T =

′ ′ =

y la ecuación del plano es: <T(1) , ( (x , y , z) – F(1))> = 0

(

_{) (}

_,

₍

_x,y,z

₎

_(0,1,1)

₎

₀

14 3 , 1 ,

2 _{− >=}

<

(

_{) (}

_{, x,y 1,z 1}

₎

₀

14 3 , 1 , 2

>= − −

< de donde 2x + y + 3z  2 = 0

Para t0 =

3 1

, tenemos que el vector normal es:

(

)

14 1 , 3 , 2

3 1 F

3 1 F

3 1

T =

      ′

      ′ =      

y la ecuación del plano es:

(

_{) (}

₎

₀

27 1 , 3 1 , 9 8 z

, y , x , 14

1 , 3 ,

2 _>=

   

 

   

 − − <

(

)

₀

27 1 z , 3 1 y , 9 8 x , 14

1 , 3 , 2

>=    



 _{+ − −}

<

0 27

1 z 1 y 3 9 16 x

2 + + − + − = de donde 2x + 3y + z +20 = 0