CAPÍTULO 6 APLICACIONES DE INTEGRALES

CAPÍTULO 6

APLICACIONES DE INTEGRALES

La aplicación del concepto de integral es muy amplio y bien organizado. Constituye una rama de la matemática conocida como teoría de la medida. Nosotros aceptamos que el estudiante tiene un idea intuitiva de medidas que ha usado como peso área logitud volumen, trabajo, , , . Recordemospor ejemplo el caso del peso y la fórmula : œ @ ‚ Þ$ En el objeto en que se está usando esta fórmula el volumen y la densidad están fijas. Sin embargo se pude calcular el@ $

peso de un conjunto b b b_"ß _#ß _$ß âßb₈ß de objetos. Se hace mediante la suma de los pesos

: œ : : â :" # 8 œ :Ðb"Ñ :Ðb#Ñ :Ðb$Ñ â :Ðb8Ñ

œ Ð@ ‚" $"Ñ Ð@ ‚# $#Ñ Ð@ ‚ $Ñ â Ð @ ‚$ $ 8 $8Ñ

Esta imposición de que el peso total se tome como la suma de los pesos individuales se llama

aditividad. Naturalmente se puede considerar que la función actua sobre cada conjunto en los$

cuales hay una medida: volumen. Esta es una típica suma de Riemann, asi

6.1 : œ $"‚ @Ðb"Ñ $#‚ @Ðb2Ñ $ ‚ @Ð$ b3Ñ â $8‚ @ÐbnÑ.

Cuando presentamos sumas de Riemann en cambio de volumen teníamos longitud y en cambio de teníamos , altura y el producto final era $ 2 área de figuras que son conjuntos de rectangulos. Claro que tambien hay cálculo de volumen:

@ œh" ‚ Ða b"Ñ h#‚ Ða b2Ñ h$ ‚ Ða b3Ñ â h8‚ Ða bnÑ

que mide el volumen en donde es la medida de + área de la base como se ilustra en el graficoß

6.2.

6.2 Gráfico.

b

2

b

2

Para cálculo 1 en cambio de o se usa , la longitud. En cuanto la medida final sea aditiva+ @ 6

valor de la función es J ÐBÑ que se considera constante en .B y si la medida final es, digamos ,Y

entonces el cambio de será Y .Y œ J ÐBÑ.BÞLa suma total desde B œ +ß hasta B œ , será

'₊,

J ÐBÑ.B.

Note que en 6.1 el resultado : tambien se llama el peso acumulado. Naturalmente

@Ðb_"Ñ @Ðb2Ñ @Ðb3Ñ â @Ðb₈Ñ es el volumen acumulado. La razón de los

acumulados se llama el promedio del numerador sobre el den minador por ejemplo el pesoo

acumulado relativo al volumen. En muchas ocaciones hay para ello nombres propios. Por ejemplo, como es concido el peso acumulado relativo al volumen se llama la desidad (promedio).

6 3 Þ Ejemplo: Subiendo un objeto por una rampa metálica se requiere hacer un cambio de fuerza que depende de la altura. La fuerza solo puede aplicarse horizontalmente y es numéricamente igual a dos veces la altura. La rampa tiene forma de parábola acostada que alcanza teóricamente su vértice a 10 7>= de distancia y 90 ->7= de altura. La rampa tiene 5

7>= de longitud en la base. Calcule

1 El trabajo empleado en mover el objeto hasta el final de la rampa. 2 El trabajo acumulado cuando el objeto llega al final de la rampa.

3 El trabajo promedio requerido en el movimento del objeto hasta llegar a su destino. 4 La fórmula del trabajo que se hace al llevar el objeto una distancia horizontal .B

5 La fórmula del trabajo promedio que se hace al llevar el objeto una distancia horizontal .B Solución: La fórmula general de la parábola con vértice Ð"!!!ß *!Ñ y que se abre horizontalmente es del tipo que sigue y está por determinarse5

5ÐB "!!!Ñ œ ÐC *!Ñ#

Puesto que la hacemos pasar por el punto Ð!ß !Ñß entonces

"!!!5 œ *! Í 5 œ )Þ"#

y por tanto la ecuación es )Þ"ÐB "!!!Ñ œ ÐC *!Ñ Þ# Como la altura es , despejando seC

obtiene: C œ *!„È# )Þ" "!!! B Þ( ) Como es la parte inferior de la parábola se tendrá

C œ 0 ÐBÑ œ *! È# )Þ" "!!! B Þ_{( ) El gráfico de la parte que nos interesa es el grafico a.}

ñ

ñ

ñ

Ð"!!!ß*!Ñ

&!!

a b

Las escalas vertical y horizontal se han ajustado para facilitar el graficado y la unidad de medida es el centímetro. Como , que es la altura, es una función de , entonces la fuerza aplicadaC B

horizontalmente es

Denotemos por la fuerza hecha en la dirección del movimiento. En el gráfico se muestranJ b

tanto J2 como y el ángulo formado entre ellas J ) œ +<->1Ð0 Ð+ÑÑw , en cuanto Ð+ß 0 Ð+ÑÑ sea el punto de aplicación de J Þ

Naturalmente J œ J =/8 œ J2 ) 2 _È# _">1>1#)₎ œ J2 _È#_{" Ð0 Ð+ÑÑ}0 Ð+Ñ . En suma la fuerza en la w

w #

dirección del movimiento, en el punto con ordenada es:B

J œ J2 _{" Ð0 ÐBÑÑ}0 ÐBÑ œ # )Þ" "!!! B _{" Ð0 ÐBÑÑ}0 ÐBÑ

w w

# w # # w #

#

È È ( ) È

En este caso, la aproximacion lineal del movimiento está sobre la hipotenusa del triángulo cuyos catetos son .C .B y , como se ve abajo. Calculemos de una vez .=, tratando a este, a .B y a .C

como números .... hasta cierto punto:

.B

.= _.C

(.= œ Ð.BÑ Ð.CÑ Þ)# # # Por tanto .= œÈ# Ð.BÑ Ð.CÑ# #. Demos ahora .= en función de .B, aunque podiamos hacerlo en función de .CÞEl resultado no es un cálculo real. Es una visión de cual sería el resultado si tratamos a los diferenciales como números y cuando llegamos a .C_.B entonces lo tratamos como derivada(!!!). Intuitivamente tenemos

.= œ È# Ð.BÑ Ð.CÑ œÊ# Ð.BÑ Š" #‹ Œœ É" ˆ ‰ _.BÞ

#

#

# # # Ð.CÑ

Ð.BÑ .B

.C #

Nosotros hemos asimilado Ð.CÑ_Ð.BÑ## como (_.B.C #Ñ y el .B juega el mismo papel que el diferencial en la aproximación conocida .C œ 0 ÐBÑ.BÞw

Tenemos pues que

.= œ _ŒÉ# " ˆ ‰.C _.BÞ .B

#

Un diferencial de trabajo será entonces

.X œ J ÐBÑ. œ #s È# )Þ" "!!! B( ) w ŒÉ" ˆ ‰ .B œ

# w #

#

0 ÐBÑ " Ð0 ÐBÑÑ

.C .B

#

È

œ #È# )Þ" "!!! B 0 ÐBÑ.BÞ_{( )} w _{En suma}

.X œ #È# )Þ" "!!! B 0 ÐBÑ.B_{( )} w

y como C œ 0 ÐBÑ œ *! È# )Þ" "!!! B( ) , entonces 0 ÐBÑ œ

#

w %Þ!& )Þ" "!!! B

È ( )

Ahora, el dominio del problema es Ò!ß &!!ÓÞEn este dominio, si + 0 ,, e tonces el trabajo de8

( )

X¹ œ' .X œ' È# )Þ" "!!! B 0 ÐBÑ.B Bœ+

Bœ,

+ +

, , # _w

( )

œ'₊,#È# )Þ" "!!! B _{)Þ" "!!! B}%Þ!& .B œ '₊,)Þ".B œ )Þ"Ð, +Ñ

#

È ( )

1 Así pues la respuesta a la pregunta 1 esX œ )Þ"Ð&!! !Ñ7. Ð7 œ

unidades de masa y . œunidades de distancia, en est caso 7es gramos y .

es -7 Þ)

2 Trabajo acumulado.

El término acumulado es más usado en ecomomia por ejemplo "capital acumulado". Está destinado a calcular promedios globales. Este es otro caso de integral como modelo matemático. Ya teniamos área y trabajo. Ahora llamamos el acumulado de desde hasta 0 + , a '₊,0 ÐBÑ.BÞ Así tomado, el acumulado de una fuerza que se aplica moviéndose desde hasta , en la direccion del+ ,

movimiento es el trabajo mientras que el de las alturas es el área.

Respondiendo la pregunta en este caso el trabajo, en función de , es decirB

desde hasta es ! B X ÐBÑ œ )Þ"ÐB !Ñ, que responde tambien la parte 4. Por tanto el trabajo acumulado desde el comienzo del movimiento hasta llegar a los 500 centímetros es '_!&!!)Þ"B.BÞ

$ El trabajo promedio.

De nuevo, un modelo esta enjuego: el promedio de sobre o bien por unidad0 1 0

de entre y es el acumulado de sobre el acumuloado de 1 + , 0 1ß es decir

' '+

,

+ ,

0ÐBÑ.B

1ÐBÑ.BÞ Cuando no se menciona es la constante 1.1

Así que el trabajo promedio, entre y es+ ,

XQ œ '+_'X ÐBÑ.B_.B œ '+_{, +})Þ"B.B œ )Þ"Ð, + Ñ_{#Ð, +Ñ} œ )Þ" ,+_#

, ,

+ ,

# #

1

En el caso presente , œ &!! y + œ !Þ

La fórmula del trabajo partiendo de hasta es por supuesto! B

( ) ( )

X ÐBÑ œ' È_!B# )Þ" "!!! > .> œ % _$)Þ" "!!! > ¹ œ >œ! >œB

# È# $_#

œ %È#_$)"Ð"!!! Ð"!!! BÑ Ñ$# $$

El trabajo promedio desde 0 hasta esB

X ÐBÑ œQ X Ð>Ñ.>_.> œ )Þ"ÐB ! Ñ_{#ÐB !Ñ} œ )Þ"B_#B œ %Þ"BÞ è

' '

0 B

! B

# # #

1

6.4 Definición: el diferencial de longitud de arco lo denotamos Ð .=Ñ esta dado por

.= œÉ# " Ñ .B è

(.C_.B #

6 5 Þ Ejemplo: La piscina del gráfico'Þ( tiene una parte plana de 4 mts de largo y luego un declive continuo hasta alcanzar 3 mts de profundidad.

'

"!

$

"ß& _% .2

"! '

En una inundación la piscina quedo totalmente llena de lodo. Limpiarla cuesta 1000 pesos el kilo desalojado. El lodo acumulado quedo distribuido según la desidad la cual resultó ser 13 veces el cuadrado de la distancia desde la superfi/ ÐO1Î7> Ñ$ . Cuánto cuesta desalojar el lodo?.

Solución: Como la fórmula para peso, con densidad constante, es : œ @ß$ donde es la$

desidad y es el volumen, si nos situamos en la parte superior de la piscina podemos calcular un@

diferencial de volumen: .@ œ (67>=ÑÐ"!7>=Ñ.2Ð7>=ÑÑ œ '! .2 7> ß$ el cual funciona bien hasta una profundidad de 1,5 7>= a partir de la cual, debido a la inclinación el área básica cambia con la altura.

Como el peso es una función aditiva dividimos el cálculo del peso hasta 1,5 mts y desde ahí:

hasta el fondo.

Para el primero .: œ Ð2Ñ.@ œ Ð" $2 Ñ.@ œ Ð" $2 ÑÐ'! .2Ñ œ '!Ð" $2 Ñ.2Þ$ # # #

Así que el peso hasta 1,5 7>= de profundidad es: œ" '_!"ß&'!Ð" $2 Ñ.2 œ #*#ß & O1Þ#

'

$

'

2

"ß&

$ 2

₊

En la parte inferior, como se ve arriva, se tiene dos triangulos semejantes por tanto '₊ œ _{$ 2}"ß& Þ

Luego + œ 'Ð$ 2Ñ_"ß& y el área del rectangulo a profundidad es 2 '+ '+Ð2Ño para mostrar que +

depende de . Así:2

.: œ Ð2Ñ.@ œ Ð" $2 Ñ.@ œ Ð" $2 Ñ +Ð2Ñ .2 œ 'Ð" $2 Ñ# $ # # 6 # 'Ð$ 2Ñ_"ß&

Regresemos al gárfico 6.3 y al cálculo del trabajo pero ahora suponemos que la fuerza se hace en la dirección del movimiento. Note que esta es precisamente la de la tangente a la curva en cada punto.

6.6 Ejemplo: calcule el trabajo en la rampa si la fuerza se hace en la dirección del movimiento y es numéricamente igual a: 6 mas el cuadrado de la tendencia a crecimieneto de la rampa. De nuevo se pide calcular el trabajo al mover el objeto mts en la dirección horizontal.& Solución: Ahora el trabajo se debe dar con la fuer a sobre a dirección del movimiento. UnD

diferencial de trabajo será

.X œ J .=

Como .= ya está calculado resta calcular J. Como la ecuación de la rampa es

C œ *! È# )Þ" "!!! B œ Þ

#

( ) , entonces la tendencia a crecimiento es .C_{.B È)Þ" "!!! B(})ß" ₎ Se tiene pues que

J ÐBÑ œ ' Š _È# _{)Þ" "!!! B(})ß" ₎ ‹# œ ' _{("!!! B})ß" ₎ puesto que "!!! B 9 !, en Ò!ß &!!ÓÞ

.= œÉ# " ₍.CÑ .B œÉ# " )ß" .B_{. Así que} .B # ("!!! B)

.X œ J .= œ ' Š _{("!!! B})ß" ₎ ‹É# " _{("!!! B})ß" ₎ .B _{y finalmente}

X œ' Š_!&!! ' _{("!!! B})ß" ₎ ‹É# " _{("!!! B})ß" ₎ .BÞ

6.7 Ejemplo: Calcule la longitud de la rampa del ejemplo precedente.

Solución: Naturalmente, si denota la longitud entonces W W œ'_!&!!.=ÞPor tanto

W œ '_!&!!.= œ'_!&!!É# " ₍.C_.BÑ .B œ# '_!&!!É# " _{"!!! B})ß" .B

( )

6.8 Ejemplo: Suponga que la parábola de 6.4, desde B œ !hasta B œ &!! se hacer girar alrededor de la recta C œ *!. Se obtiene un sólido Sólidos de esta forma se conocen comoÞ sólidos de revolución. Calcule el volumen de este sólido de revolución.

ñ

ñÐ"!!!ß*!Ñ .B

<

ÐC *!Ñ#_{œ )†"ÐB "!!!Ñ}

ÐB "!!!Ñ œ ÐC *!Ñ < C

8.1 #entonces el radio es el valor de cuando el eje de la parábola

es el eje , es decir es B *! CÞAsí que < œÈ# )Þ" "!!! B( ) Como el volumen de un cilindro es base por altura entonces

( ) ( )

.@ œ < .B œ1 # 1ŠÈ# )Þ" "!!! B ‹#.B œ )Þ" "!!! B .B1

y por tanto @ œ'_!"!!!)Þ" "!!! B .B œ1( ) )" "!1_# &.

6.9 Ejemplo: Calcule la densidad promedio del sólido del ejemplo precedente si la densidad es variable y de hecho, en un punto de ordenada es B B#.

Solución: Aquí se entiende por densidad promedio a :/=9_@96 Þ El volumen ya fue calculado en 6.8. Veamos ahora el peso. Aquí se entiende por peso aT '.: donde .: es un diferencial de peso. Ahora,

.: œ ÐBÑ.@ œ ÐBÑ.@ œ ÐBÑ )Þ" "!!! B .B œ )Þ"$ $ $ 1( ) 1$ÐBÑ "!!! B .B( ) . Por tanto

T œ'_!"!!!)Þ" ÐBÑ "!!! B .B œ'_!"!!!)Þ" B "!!! B .B œ# )" "! %

1$ ( ) 1 ( ) 1 '

$ œ )" "!'% œ & ?:Î?@

)" "!& #

1

1 ( ).

Área en Coordenadas Polares

ññ

ñ

"

Ð)ß3Ñ

)

3

ç

9<31/8

/4/ :96+<

El cálculo de longitud de arco y el de área puede ser en ocaciones tedioso sobretodo en funciones circulares. Esos mismos cálculos se simplifican mucho si se cambia de coordenadas circulares a polares que se muestran en el gráfico de arriba. Aquí damos una breve reseña de ese sistema. Se llama "8 coordenadas polares" al sistema que localiza puntos mediante una semirecta llamada "el eje polar" y un ángulo. La semirecta esta graduada bajo una unidad de longitud. Un punto esta determinado en el plano por una pareja ( , ), en donde (en radianes) mide el ángulo que forma) 3 )

la semirecta (con el mismo origen que el eje polar) que contiene el punto y el eje polar. es laO 3

distancia de 0 al punto en la semirecta que lo contiene. En el gráfico se muestra el punto ( , ), la) 3

longitud y el ángulo . La medida en radianes es la longitud sobre el círculo de radio 1, que3 )

también se muestra.

La diferencia con coordenadas cartesianas es que un punto aquí tiene infintas coordenadas. De hecho () # 81 3, ) todas corresponden al mismo punto pues # 81 gira vueltas completas.8

3 se llama el radio del punto y )su argumento. Cuando está entre cero (incluido) y 2 (excluido)1

Hay funciones de ecuaciones relativamente complejas en el plano cartesiano que tienen ecuación muy simple en el plano polar. Por ejemplo la ecuación del círculo con radio en el plano<

cartesiano y centro en 0 es B C œ <# # #mientras que en el plano polar es ₃ œ < por que no importa el ángulo el valor de es . Es decir que en coordenadas polares las funciones3 <

constantes son círculos o partes de ellos. Por ejemplo todos los puntos ($ß)) en donde

! Ÿ) Ÿ1 son puntos que quedan a distancia del origen en ese intervalo es decir es el$

semicírculo superior de radio 3.

En cambio 3œ #) nos sirve para ilustrar dos cosas. La primera es que las unidades de los dos lados del igual son, por supuesto, las mismas y el lado izquierdo es longitud. Luego el derecho también debe serlo. Eso reitera que el radián es unidad de longitud, pero sobre el círculo de radio 1.

6.9 Gráfico.

2 4 6

2

5

1 3 0

1/4

1/2 31/4

1

51/4

31/2

71/4

3œ)y#

3œ#) 3œ)

Como en el caso de coordenadas cartesianas se puede hacer un gráfico aproximado del conjunto sulución de 3 œ Þ) Se muestran los principales ángulos. Naturalmente 3 œ 5 Ð5 9 !Ñ) será el mismo tipo de gráfico llamado espiral pero con las longitudes multiplicadas por . En el gráfico 6.95

se muestran para 3œ "_#) y 3 œ #).

Pero tambien se puede hacer al revés. Suponga que se pide dar la ecuación del círculo cuyo diámetro se encuentra sobre el eje polar y pasa por el origen, en el gráfico (6.10), que sigue.

6.10 Gráfico.

ññ

ñ

"

Ð

)

ß

3

Ñ

)

3

ç

‹

ñ

<

Se tiene que el triángulo mostrado en él es rectángulo según se sabe de geometría, lo cual permite calcular en términos de , porque 3 ) -9= œ) _#<3ÞLuego3œ #<-9=). Esta es la ecuación de ese círculo. En 6.11 se tiene la curva externa llamada la Cardiode de diámetro , (que abre+ hacia la) derecha. Su ecuación es 3œ +Ð" -9= Ñ) . Naturalmente es la suma de los círculos

3 œ + y 3œ +-9=) y se puede obtener superponiendo los gráficos y sumando longitudes ( )3

para cada ángulo.

6.11 Gráfico.

+

#+ +

ì ì

ì

3œ +Ð" -9= Ñ)

Naturalmente hay un estudio de cálculo con coordenadas polares pero la conección entre los dos sistemas que se verá mas adelante nos evita hacerlo. Sin embargo mencionemos las ayudas sobre gráficos mas comunes:

1 La ecuación del gráfico obtenido reflejando 3 œ 0 Ð Ñ) en el eje polar es

3 œ 0 Ð ÑÞ)

2 La ecuación del gráfico obtenido reflejando 3 œ 0 Ð Ñ) en la recta perpendicular al eje polar y que pasa por el origen es 3 œ 0 Ð Ñ1 ) .

3 La ecuación del gráfico obtenido reflejando 3 œ 0 Ð Ñ) en el origen es

3 œ 0 Ð ÑÞ1 ) Algunos autores usan 3 œ 0 Ð Ñ) pero aquí sería negativo3

contra nuestras normas.

4 La ecuación del gráfico obtenido rotando alrededor del origen a 3 œ 0 Ð Ñ) un ángulo es α 3 œ 0 Ð ÑÞ) α

Cuando las áreas tienen forma de sector circular, como en el gráfico 6.12, a la derecha, entonces resulta mas sencillo trabajar con coordenadas polares.

Como el área del sector de 6.12 a la izquierda es conocido, E œ <_##)(por supuesto en)

radianes), entonces para un diferencial de área, en el gráfico de la derecha, se asume que 3

6.12 Gráfico.

‹)

<

ì

3

3

.

)

‹

)

‹

)

Esto es lo que se ilustra mostrando el mismo , en los dos lados de 3 .), en el gráfico, aunque no son iguales. Se tiene pues que .E œ 3_##.)y por tanto

E œ'₎) 3 .

" # #

# )

Naturalmente, si el gráfico que usamos en 6.12 fuera real el ángulo )_"sería negativo.

6.13 Ejemplo: Cálculo del cuarto de círculo usando coordenadas polares.

Solución: Para el cuarto de círculo se tiene que la ecuación del círculo de radio es < 3 )Ð Ñ œ <

con ! Ÿ) Ÿ 1_#. Así que el cálculo del area será:

E œ'_!1# <_##. œ₎ <_##'_!#1 . œ₎ <_##'_!1# . œ₎ <_{# #}#1 œ 1_%<# è

Cambio de planos(cartesiano-polar)

Si se pone un plano cartesiano y un plano polar con igual escala se establece un paso entre las dos clases de coordenadas (ver 6.14). Para el paso de polares a cartesianas es claro que

B œ -9=3 ) y C œ =/83 )

6 14 Þ Gráfico

B Ð)ß3‰

3

‰)

B C

C ÐBßC‰

ì

Naturalmente de aquí tambien se puede despejar y . Por ejemplo si 3 ) B Á !, entonces

C C

B œ >+8 Þ) Por tanto ) œ +<->+8 ßB 3# œ B C# #y 3 œÈB C Þ# # En suma

#

y

Por ejemplo la parabola C œ B# tiene como ecuación polar 3=/8 œ Ð -9= Ñ Þ) 3 ) # Poniendo en3

función de se tiene ) 3 œ =/8 -=-) #).

Longitud de arco polar

Regresando a usos de coordenadas polares, en 6.12, se sabe que la longitud del sectpr circular en el grafico izquierdo es < Þ) Entonces, en 6.15 se puede calcular .=ÞEn efecto, .= œ .3 ) y por tanto = œ '₎) . .

" #_{3 )}

6.15 Gráfico.

Por ejemplo, la logitud del círculo de radio , es < '₀213 ). œ'₀21<. œ <) '₀21. œ # <Þ) 1 Así mismo, la longitud de la espiral 3œ 5)en la primera vuelta es

'₀21 '₀21

3 ). œ 5 . œ # Þ) ) 1#

6.16 Ejercicios:

1 Calcule la ecuación polar de:

a El círculo tangente al eje polar, en la parte superior y de radio 1.

b El círculo simétrico al de 1 referente al eje polar

c La recta perpendicular al eje polar y distante del origen, sobre el eje polar.5 d La recta paralela al eje polar a una distancia hacia arriba del mismo.+

e La recta C œ 7B ,

- La cardioide de diámetro y que abre hacia la izquierda.+

La mujer arrodillada es una escultura que se supone que representa la mujer, en esa posición. Aqui se muestra al lado izquierdo del cilindro de radio y altura < L. La mujer arrodillada tiene la característica de que la cicunferencialidad no ha sido violada cada:

corte horizontal es una circunferencia perfecta, como en el cilindro. Compare el volumen de la mujer arrodillada con la del cilindro. Haga lo mismo con el área lateral

3 La fuerza para mover una carga (en la dirección del movimiento) por una columna depende de la altura desde el pie de la colina y es de $ 51por cada centímero de altura. Que trabajo se requirió para llevar la carga desde la base a la cima de la primera colina, de un sistema C œ¹B_$$ B #B Þ$_# # ¹ Cual será el trabajo si se lleva de la cima de la primera a la cima de la segunda colina?

4 Calcule el area entre C œ B' y =/8B.

5 Calcule el volumen de rotar C œ $ B# sobre el eje con C C 9 !.

6 Calcule el volumen de rotar C œ $ B# sobre el eje entre B B œ ! C B œ ". 7 Calcule el volumen del como recto con radio de la base y altura .< 2

8 En un banco las cuentas de ahorros ganan interés compuesto de % anual. La cuenta se)

inicio con 7 millones de pesos y a partir de ahí se transfirió a ella dinero en monto aproximado de &!!Þ!!!>Þ pesos. Cuanto había en la cuenta después de 2 años?.

9 Llame A la parábola que abre sobre el eje hacia la derecha, con vértice en B Ð!ß !Ñy que pasa por Ð%ß #Ñy B la parábola que abre sobre el eje , con vértice en 4B Ð ß !Ñy que pasa por 0 1 .Ð ß Ñ

a i Sobre el intervalo Ò!ß %Ódel eje se hace rotar la parábola A. Calcule elB

área lateral del solido.

ii Calcule el volumen del sólido.

b Lo mismo que a), pero haciendo el giro sobre el eje CÞ

c Lo mismo que a) y b) pero para la parábola B.

d Considere, en el primer cuadrante la region comprendida entre la intersección de

las parabolas A y B y B œ %ÞCalcule el área de la región.

e En d) gire la región alrededor del eje y calcule el volumen del sólido obtenido.B

f En e) calcule el área lateral del sólido.

10 Para A y B de 9), dé sus ecuaciones polares y el área entre ellas usando estrictamente

coordenadas polares.

11 En 10 calcule las ecuaciones de los gráficos obtenidos de A y B así:

a Haciendo simetría alrededor del origen.

Haciendo simetría alrededor del eje " ".

b y

veces ( un real positivo).

c Estirando el vector posición 5 5

12 El sólido de la figura tiene, en cada corte horizontal, la forma de una parábola, como se muestra a la derecha. Calcule el volumen cuando de la base mayor es 3 y la de la base2

2 2

2

ì

13 Use coordenadas polares para calcular la ecuación cartesiana del gráfico obtenido así:

a La parábola con vértice en el origen y apertura 2 (La parábola tiene apertura si5

a una distancia del vértice la perpendicular sobre el eje de la parábola la corta5

en y en5 5) y eje la línea que pasa por el origen y tiene inclinación .1_%

b La curva C œ B$rotada sobre el origen hasta tener como eje la línea que pasa

por el origen y tiene inclinación $_%1.

c La hiperbola C œ "_B rotada sobre el origen hasta tener como eje la línea que pasa por el origen y tiene inclinación .1_%

14 Otro uso de coordenadas polares aparece en los números complejos: Se llama o‚

conjunto de los Números Complejos a ‘# con la estructura de espacio vectorial normado sobre y el producto ‘ Ð+ß ,Ñ ‚ Ð-ß .Ñ œ Ð+- ,.ß +. ,-ÑÞ Aceptemos que

Ђ, ß ‚ Ñ es un campo, como los es Б, ß ‚ ÑÞ

Demuestre que:

i

a Ð+ß ,Ñ ‚ Ð"ß !Ñ œ Ð+ß ,Ñ

efectivamente distribuye sobre

b ‚ Þ

no tiene inverso multiplicactivo.

c Ð!ß !Ñ

Si entonces . Es decir este

d Ð+ß ,Ñ Á Ð!ß !Ñ _Ð+ß,Ñ" œ Ð_{+ ,}#+ #ß _{+ ,}#, #Ñ e

último multiplicado por Ð+ß ,Ñ da Ð"ß !Ñ.

e Ð!ß "Ñ œ Ð "ß !Ñ#

f Ð+ß ,Ñ œ Ð+ß !Ñ Ð,ß !Ñ ‚ Ð!ß "Ñ

Identifique con el real

ii Ð+ß !Ñ +Þ

Muestre El punto se denomina normalmente

a que Ð!ß "Ñ œ "Þ# Ð!ß "Ñ

el (complejo) imaginario solucion de B œ "# . Se denota 3Þ b Muestre que Ð+ß ,Ñ œ + ,3Þ

Se llama la de a

iii forma polar ÐBß CÑ

ÐBß CÑ œ ÐBß CÑ Ð-9= 3=/8 Ñ œ <Ð-9= 3=/8 Ñl l ) ) ) )

donde 3œ < œ ÐBß CÑl l y es el argumento principal de ) ÐBß CÑ en forma polarÞ

Es importante notar que aquí el argumento principal se toma ! 0) Ÿ # Þ1 En lo que sigue puede usar la siguiente fórmula:

que

ÐBß CÑ œ ÐBß CÑ Ð-9= 8 3=/88 Ñ œ < Ð-9= 8 3=/88 Ñ8 l l8 ) ) 8 ) )

naturalemente es ÐBß CÑ8en forma polarÞ

Dé en forma polar

b 3 d È#_#$ 3_#"

c 3 f È#_## È#_##3

g + Ð 9 !Ñ h +Ð 0 !ÑÞ

iv Para 8 − ß se llaman raices n-ésimas de + ,3a todos los complejos z tales

que D œ + ,38 . Si D Á !ß hay de ellas8 _.

a Muestre que una raíz n-ésima de D œ <Ð-9= 3=/8 Ñ) ) es

< Ð-9="8 ) 3=/8) Ñ

8) 8)

(Se llama la raiz principal n-ésima de <Ð-9= 3=/8 Ñ) ) . La denotaremos

È8 _{D Þ}

-Calcule 1 . Se acostumbra denotarla .

b È8 - A8

Demu stre que, para , 1 ( es decir ) es una

c / ! Ÿ 5 Ÿ 8 " ˆÈ8 - 5‰ A₅

8

raíz -ésima de 1 (Se demuestra que son distintas y son todas las que8

hay).

Muestre que , son raices de , para

d B œ5 È8 D A- 85 n-ésimas D

! Ÿ 5 Ÿ 8 "Þ

v Calcule todas las raices n-ésimas del complejo Dé la respuesta en la formaDÞ ÐÈ8 DÑ œ + ,3

5 , para:

a 8 œ #ß D œ # b 8 œ $ß D œ # c 8 œ $ß D œ 3 d 8 œ $ß D œ 3

Integrales Impropias

Hasta ahora hemos estudiado integrales para funciones continuas esencialmente.Por esta razón consideremos simplemente el caso de funciones discontinuas en un número finito de puntos de un intervalo. En tal caso hay finitos intervalos de continuidad de , digamos 0 Ð+ ß + Ñß_" #

+ ß + ß ÞÞÞÞÞß Ð+# $ 8 "ß + ÑÞ8 Natualmente la integral de una función en ese dominio quedará

determinada si se pueda definir la integral en intervalos abiertos. Recuerde que nosotros hemos llamado integrable a una función 0 À Ð+ß ,ÑÒ ‘que admite una antiderivada en Ð+ß ,ÑÞ

6 17 Þ Definición: Si es integrable en 0 Ð+ß ,Ñ i Se define M'₊,0 Ð>Ñ.>, cuando exite, a

.

M'₊,0 Ð>Ñ.> œ 637 '_? 0 Ð>Ñ.> 637 '? 0 Ð>Ñ.>

?Ä+ ?Ä,

+, #

+, #

ii 0se dice impropiamente integrable o -integrable en (M +ß ,) si M'₊,0 Ð>Ñ.>existe.

iii Si es -integrable en0 M (+ß ,) entonce a M'₊,0 Ð>Ñ.> se le llama la integral impropia de en0

(+ß ,).

iv Si es -integrable en 0 M Ð+ ß +3 3"Ñß :+<+ 3 œ "ß #ß á ß 8 "ß entonces se dice que lo es en Ð+ ß + Ñ ∪ Ð+ ß + Ñ ∪ â ∪ Ð+" # # $ 8 "ß + Ñ8 y se toma

M'₊+ 0 Ð>Ñ.> œM'₊+ 0 Ð>Ñ.> è 3œ"

8 "

" 3

Note que la variable muda aparece en dos límites distintos y no es la misma. Se usa la misma?

letra pero como esto lleva a errores hacemos énfasis en que se trata de la expreción 637 ?Ä+ '_? ' @Ä, @ +, # +, #

0 Ð>Ñ.> 637 0 Ð>Ñ.>.

Pasemos ahora a ver qué pasa si el integral corriente '₊,0 Ð>Ñ.> que teníamos antes existe.

6.18 Proposición: Si es integrable en 0 Ð-ß .Ñ Ò+ß ,Ó © Ð-ß .Ñßy entonces es -integrable0 M

en Ð+ß ,Ñ My '₊,0 Ð>Ñ.> œ'₊,0 Ð>Ñ.>.

Demostración: La función LÐ?Ñ œ'_?+#,0 Ð>Ñ.> existe y es una función continua en Ð-ß .Ñ

puesto que es derivable Así que Þ 637 0 Ð>Ñ.> œ 0 Ð>Ñ.> œ 0 Ð>Ñ.>. De la misma

?Ä+ ?' '637 ? '+

+, +,

# #

?Ä+

+, #

manera: lim Por tanto

?Ä, +

? ,

' , '+,

#0 Ð>Ñ.> œ # 0 Ð>Ñ.>Þ

M'₊,0 Ð>Ñ.> œ'₊+,# 0 Ð>Ñ.> ', 0 Ð>Ñ.> œ'₊,0 Ð>Ñ.>Þ è

+, #

Veamos ahora el caso en el cual el intervalo en consideración es semiabierto Aquí se mostraráÞ

que el extremo cerrado deja de tener el límite como parte del cálculo del integral. Mas precisamente:

6.19 Proposición:

i Si es integrable en 0 Ð-ß .Ñ Ò+ß ,Ñ © Ð-ß .Ñ y entonces

M'₊,0 Ð>Ñ.> œ 637 '₊?0 Ð>Ñ.>Þ ?Ä,

ii Si es integrable en 0 Ð-ß .Ñ Ð+ß ,Ó © Ð+ß -Ñy , entonces

M'₊,0 Ð>Ñ.> œ 637 '_?0 Ð>Ñ.>Þ ?Ä+

b

Demostración: Demostramos la parte i. La parte es similar. Note que por hipótesis ii + − Ð-ß .ÑÞ

Ahora M'₊,0 Ð>Ñ.> œ 637 '_? 0 Ð>Ñ.> 637 '? 0 Ð>Ñ.>

?Ä+ ?Ä,

+, #

+,

# . Como en la proposición

precedente 637 0 Ð>Ñ.> œ 0 Ð>Ñ.>Þ Por tanto

?Ä+ '? '+

+, +,

# #

637 0 Ð>Ñ.> 637 0 Ð>Ñ.> œ 0 Ð>Ñ.> 637 0 Ð>Ñ.> œ

?Ä+ ? ?Ä, + ?Ä,

? ?

'+,# ' '+,# '

+, +,

# #

œ 637 0 Ð>Ñ.> 0 Ð>Ñ.> œ 637 0 Ð>Ñ.>Þ è

?Ä, + ?Ä, +

? ?

ˆ'+,# ' ‰ '

+, #

Note que, en general, no hay problema en usar el símbolo '₊, en cambio de M'₊, porque las condiciones del problema clarifican el signo requerido y cuando los dos existen coinciden. Nosotros nos acogemos a esa práctica y a la de decir que '₊, 0 Ð>Ñ.> converge cuando

M'₊,0 Ð>Ñ.>existe y diverge cuando nó. Esta práctica lleva además a recordar condiciones de convergencia como la que sigue:

6.20 Proposición (Teorema de convergencia dominada en Ò+ß ,Ñ Ñ: Suponga 0 ÐBÑ y 1ÐBÑ

si '₊,1ÐBÑ.B converge, entonces '₊,0 ÐBÑ.Btambién converge ( quivalentemente si / '₊,0 ÐBÑ.B

diverge entonces '1ÐBÑ.B tambien diverge).

Demostración: Puesto que ! Ÿ 0 ÐBÑ Ÿ 1ÐBÑ entonces 2Ð?Ñ œ'₊?1ÐBÑ.B y

5Ð?Ñ œ'₊?0 ÐBÑ.B son funciones de ?ß crecientes y además 5Ð?Ñ Ÿ 2Ð?Ñ para cada ? y finalmente 637 2Ð?Ñ œ 1ÐBÑ.B el cual existe por hipótesis. Es decir que 5Ð?Ñ es creciente y

?Ä, +

,

'

acotada ( por '₊, ) por tanto existe en .

?Ä,

1ÐBÑ.B 637 5Ð?Ñ ‘

6.21 Ejemplos:

1 Calcule '_!1B -9= B =/8 B_B# .BÞ

Aquí 0 ÐBÑ œ B -9= B =/8 B_B# que no está definida en B œ !. Naturalmente en todo rigor debería aparecer M'_!1 en cambio de '_!1 , pero como hemos dicho se acepta esta porque, como aquí se nota, la integral corriente, que se hace dentro del dominio de la función, no puede ser porque no está en el dominio de . Por tanto! 0

'_! B -9= B =/8 B '₊ B -9= B =/8 B =/8 B¸

B _+Ä! B _+Ä! B Bœ+

Bœ

1 1 1

# .B œ 637 # .B œ 637 œ

637 œ "Þ

+Ä!

=/8 =/8 + +

ˆ 1 ‰

1

# Calcule '_!"B 68%B .BÞLa función 0 ÐBÑ œ B 68%B tiene dominio Ð!ß ∞Ñ. La integral es

pues impropia. '_!" '₊" '₊" . Ahora como

+Ä! +Ä!

B 68%B .B œ 637 B 68%B .B œ 637 B 68%B .B

se puede ver usando integración por partes

'B 68%B.B œ B_##68%B B_%#

Por tanto

'_!" ˆ _‰¹

+Ä! B

# ₊

" B 68%B .B œ 637 # 68 %B 1₂

.

œ _#" 68 % 637 +_# 68 %+ œ "_# 68 % 637 +_#68 %+ +

+Ä! +Ä!

ˆ 1‰ ˆ 1‰ ˆ 1‰ ˆ ‰

2 2 2 4

# # #

Resta calcular 637 68 %+ . Recuerde que ! ‚ ∞ no está definido. Pero

+Ä! +

#

ˆ # ‰

637 68 %+ œ 637 Þ

+Ä! +Ä!

+ " 68 %+ ∞

# # ∞

ˆ # ‰ ˆ ‰

" +#

El límite es de la forma luego se puede

aplicar la regla de d'Lopital. Con eso "_# 637 68 %+ œ "_# 637 +_# œ !Þ Así

+Ä!ˆ +#" ‰ +Ä!

#

que '_!"B 68%B .B œ "_#ˆ68 % 1‰.

2

3 Calcule ' _∞∞ _/"k kB.B.

Este caso lo tratamos como un integral sobre Ð ∞ß ∞Ñ un intervalo que consideramos con punto medio 0, para no introducirlo como un caso aparte En los ejercicios que siguenÞ

se le pide demostrar que el punto medio puede ser cambiado por cualquier elemento del intervalo Ð+ß ,Ñ en este caso cualquier número real ?Þ

' _∞∞ _" '₊! _" '_!, _" /k kB .B œ 637_{+Ä ∞} /k kB.B 637_,Ä∞ /k kB.B œ

œ 637 .B 637 .B œ 637 / 637 / œ

+Ä ∞ + ! +Ä ∞

! _" , _"

/ _,Ä∞ / B _{+ ,Ä∞} B _!

! ,

' B ' B _{¹ ¹}

.

œ 637 Ð" / Ñ 637 Ð/ "Ñ œ # è +Ä ∞

+ ,

6.22 Ejercicios:

1 Dé y demuestre el teorema de convergencia dominda en Ð+ß ,Ópara integrales impropias.

2 Demuestre que M'₊,0 Ð>Ñ.> œ '_?>0 Ð>Ñ.> '_>? 0 Ð>Ñ.>, en donde es un>

?Ä+ ?Ä,

lim lim

elemento cualquiera de Ð+ß ,ÑÞ

3 Demuestre que ' _∞∞ $ no converge pero que ' _<< $ Esto muestra

<Ä∞

B .B lim B .B œ !Þ

que las integrales indefinidas en intervalos abiertos no son, en general, reducibles a un límite con una sola variable.

4 Calcule

a ' _"# _B"#.B

b '_!" .B " B

È

c '_!" "_ÈB.B

d '_"∞ "_B#.B

e '_"∞ =/8 Bk _B# k.B

f ' _∞∞ " B_/B .B

g '_!"È_ÐB_{ÈB "Ñ} " (sugerencia: la primitiva es un cociente). # "

##B

# #

È .B h '_!1Ð->1 B Ñ.B_B"

5 Demuestre que si+ 9 !ß : € #ß :un natural entonces ß '₊∞ .B _B: converge.

6 En el ejercicio 5 discula la validez de la afirmación si en cambio de natural se toma un: :

número real.

7 En el ejercicio 5 discuta la validez de la afirmación si en cambio de + 9 ! se toma + œ !

y tambien cuado se toma un número real negativo.+

8 Para funciones I-integrables en Ð+ß ,Ñß .emuestre las siguientes afirmaciones:

a I'₊,Ð0 ÐBÑ 1ÐBÑÑ.B œ I'₊,0 ÐBÑ.B I'₊,1ÐBÑ.B b I'₊,50 ÐBÑ.B œ 5I'₊,0 ÐBÑ.B

c Si 0 ÐBÑ € !, parab todo , entonces B I'₊,0 ÐBÑ.B €0

Si , para todo , entonces

d 0 ÐBÑ € 1ÐBÑ B I'₊,0 ÐBÑ.B € I'₊,1ÐBÑ.B e ¸I'₊,0 ÐBÑ.B Ÿ¸ I'₊,¸0 ÐBÑ .B¸

Aproximación de integrales

ahora. Sin embargo segun la parte de sumas de Riemann la integral se puede aproximar tanto como se desee por medio de una suma de Riemann. El problema se traslada entonces a preguntar como se regulan las aproximaciones. Algunas aproximaciones tienen mecanismos para hacer esta tarea de manera relativamente sencilla. Aqui estudiaremos tres de ellas y deberán ser usadas por el estudiante para resolver las integrales que no pudo hallar por los métodos de primitivas.

En lo que sigue en realidad, en la parte teórica, la llamada aproximación no tiene ninguna cualidad especial. Es una función como cualquier otra. Su valor es de carácter práctico: que sea fácilmente integrable. Sin embargo la función teórica usada sera llamada "la aproximación" aún cuando ese aspecto práctico no se dé.

6.23 Definición: Si una función 0 ÐBÑ se aproxima por medio de una función 1ÐBÑ entonces

i Se llama el "error (del integral) debido a " denotado 1 I1ˆ'₊,0 ÐBÑ .B‰, o I Ð 0 Ñ1 '

cuando no hay posibilidad de error, a

I Ð 0 Ñ œ l1 ' '₊,0 ÐBÑ.B '₊,1ÐBÑ.BlÞ

ii Se dice que '₊,0 ÐBÑ .Bha sido aproximado por medio de '₊,1ÐBÑ .B con un error menor que si α lI Ð 0 Ñl 0 Þ1 ' α

iii Si αŸ "! Ð8"Ñ 0 ÐBÑ .Bha sido aproximado por medio de +

,

entonces se dice que '

'₊,

1ÐBÑ .B con n cifras decimales exactas. è

Para iniciar aqui fijaremos el tipo de partición de Ò+ß ,Ódividiendo siempre en partes iguales. EL8

número será llamado 8 la longitud de la partición.

6.24 Gráfico

ì ì ì ì ì ì ì ì

+œB! B_" B_# B_$ B_% B_& B_8q"B₈œ,

Cœ0ÐBÑ

Este tipo de partición se ilustra en el grafico 'Þ# Þ4 Naturalmente ?B œ B_{3 3"} B œ₃ , +₈ y

B œ + 33 , +₈ . El punto medio de ÒB ß B3 ""Ó es

B 3 , +_#8 œ + Ð, +ÑÐ#3"Ñ_#8 œ +Ð#8 #3 "Ñ,Ð#3"Ñ_#8

Denotaremos por la X Aproximación por trapecios que se ilustra en el grafico 6.25 1) y por Q la Aproximación por punto medio que se ilustra por el gráfico 6.25 2). También usaremos la

Aproximación de Simpson que denotaremos . Esta aproximación requiere un poco mas deW elaboracion. En el gráfico 6.26 se muestra la función C œ 0 ÐBÑß en el intervalo ÒB ß B3 3"Ó

6.25 Gráfico.

ì ì ì ì ì ì ì ì

+œB_{! B}

" B# B$ B% B& B8q"B8œ,

ì ì ì ì ì ì ì ì

+œB_{! B" B# B$ B% B& B8q"B}

8œ,

(1) (2)

6.26 Gráfico.

ì

ì ì

Cœ0ÐBÑ

+B#

,B-B₃ B_3"

:?8>9 7/.39

Como la aproximación de Simpson aproxima por medio de parábolas, demos tres puntos

Ð+ß ,Ñß Ð-ß .Ñß Ð/ß 0 Ñ y buscamos la parábola (función cuadrática) que pasa por ellos. Como hemos usado las letras +ß ,ß - para las coordenadas usaremos como parábola letras griegas para los coeficientes de la parábola, que son las incógnitas que están por determinarse:

C œ B B α # " #

El hecho de que pasa por los puntos dichos implica tres ecuaciones

, œ + + α # " #

. œ - - α # " #

0 œ / / α # " #

o equivalentemente, al estilo del álgebra lineal

+#α + " œ ," #

-#_α - "_{" #} œ . /#_α / " œ 0_{" #}

que es un sistema de ecuaciones lineales que que tiene como solución:

α œ " œ # œ

â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â

, + " . - " 0 / "

+ + " + + " - - " - - " / / " / / "

+ , " + + , - . " - - . / 0 " / / 0

# # # # # # # # # # # # â â â â â â ââ â

+ + " - - " / / "

según la regla de Kramer. Por supuesto aquí

+ œ B3 , œ 0 ÐB Ñ3 - œ B B3 _#3"

. œ 0 ÐB B3 _#3"Ñ / œ B3" 0 œ 0 ÐB3"Ñ

Si denotamos por :ÐBÑ la aproximación cuadrática parabólica de Simpson entonces

'_BB '_BB

$ $3" $3 # #3" #3 3" 3

3

3 3

3 "

10 ÐBÑ.B ¸ :ÐBÑ.B œ ÐB B Ñ ÐB B Ñ ÐB B Ñ

α "

#

El siguiente paso del cálculo, que son los determinantes de arriba, lo omitimos y mas bien damos la fórmula correspondiente a la integral que deseamos usar:

'_BB _{, +}

$8 3 # 3 " 3

3 " 3

:ÐBÑ.B œ œ Ò0 ÐB Ñ %0 B 0 ÐB ÑÓ

Sumando para el caso de 8 œ %se tiene:

, + , +

$‚%Ò0 ÐB Ñ %0 ÐB Ñ 0 ÐB ÑÓ ! " # $Ð%ÑÒ0 ÐB Ñ %0 ÐB Ñ 0 ÐB ÑÓ œ# $ % œ , +_$‚%Ò0 ÐB Ñ %0 ÐB Ñ #0 ÐB Ñ %0 ÐB Ñ 0 ÐB ÑÓ! " # $ %

Esta presentación se extiende al caso general de 8par así:

'₊, _{, +}

$‚8 ! " # $ %

0 ÐBÑ.B ¸ Ò0 ÐB Ñ %0 ÐB Ñ #0 ÐB Ñ %0 ÐB Ñ #0 ÐB Ñ â %0 ÐB_{8 $}Ñ #0 ÐB_{8 #}Ñ %0 ÐB_{8 "}Ñ 0 ÐB ÑÓ8

6.27 Ejemplo:

1 Aproxime '_"&=/8Ð/ Ñ.BB

Solución: tomamos por conveniencia 8 œ %, con lo cual longitud del intervalo es

& "

% œ ". Además

B œ "ß B œ " " œ #ß B œ " # œ $ß B œ " $ œ %ß B œ " % œ &Þ! " # $ %

Ahora:

'_"& _{B & "}

% ! " # $ %

=/8Ð/ Ñ.B ¸ Ò0 ÐB Ñ %0 ÐB Ñ #0 ÐB Ñ %0 ÐB Ñ 0 ÐB ÑÓ œ Ò0 ÐB Ñ %0 ÐB Ñ #0 ÐB Ñ %0 ÐB Ñ 0 ÐB ÑÓ"_$ ! " # $ % 0

œ "_$[=/8 / %=/8 / #=/8 / %=/8 / =/8 /" # $ % &_]Þ

2 Dé la formula de Simpson para aproximación de '_BB con .

! 6

0 ÐBÑ.B 8 œ '

'_BB B B

$ '

!

' ! 6

0 ÐBÑ.B œ Ò0 ÐB Ñ %0 ÐB Ñ #0 ÐB Ñ %0 ÐB Ñ #0 ÐB Ñ %0 ÐB Ñ 0! " # $ % & ÐB ÑÓ' è

en que el estudiante pueda aproximar integrales y saber el grado de error cuando lo hace. Por esta razón sólo damos los resultados, sin demostración:

6.28 Proposición:'0 Ñl Ÿ O

i Si0(2) _{es continua y tiene cota en (}O +ß ,_{) entonces} lI 0 Ñl Ÿ OÐ _.

X' Ð, +Ñ_"#8

$ #

iiÞ Si0Ð#Ñes continua y tiene cota en (O +ß ,) entonces lI Ð 0 Ñl Ÿ OQ ' Ð, +Ñ_#%8

$ #

iii Si 0Ð%Ñcontinua y tiene cota en O Ò+ß ,Ó entonces lI Ð 0 Ñl Ÿ O . è W ' Ð, +Ñ_")!8

& %

Las fórmulas que acabamos de entregar no hacen de las aproximaciones de integrales algo rutinario. Por ejemplo no siempre es fácil calcular una buena cota O lo cual puede producir situaciones como por ejemplo que el procedimiento garantice un límite de error determinado si el número 8 de divisones es muy alto, digamos contada en miles de ellas y sin embargo, a la hora de la verdad, sólo se requería un número pequeño. Por ejemplo hacer una fracción "!₈%' menor que 10 $ (aproximación con dos cifras decimales exactas) requiere 10*% Ÿ 8, es decir 8 œ "()Þ Así que (sin contar el resto de la fórmula), con O œ "! ß' en la aproximación se Simpson se requiere dividir el intervalo en 180 (el entero divisible por 4 mas cercano a 178) partes iguales. Algo muy dispendioso para una aproximación de rutina, que usted hace con la ayuda de su calculadora corriente. Además, esto no significa que con 8 œ %, por ejemplo, el resultado tiene error mayor que dos cifras decimales exactas.Solo dice que con 8 œ %, Simpson no garantiza

nada útil. Por otro lado note que, en las aproximaciones, la sucesión de errores, que depende de

8, tiende a cero, sí, pero eso no implica que sea decreciente. Así que en un momento dado, aumentar el puede 8 aumentar el error y no disminuirlo. Finalmente, en todos los casos, pasar al "siguiente " es casi siempre inútil.Se requieren saltos mas grandes para que haya alguna8

diferencia apreciable. En el caso de Simpson el paso al n siguiente ni siquiera es posible porque

8 debe ser múltiplo de 4.

6.29 Ejercicio:

1 Calcule el error para las tres aproximaciones de '_"&=/8Ð/ Ñ.BB con 8 œ %

2 Cuanto debe valer de modo que la aproximación de Simpson de 8 '_"&=/8Ð/ Ñ.BB tenga una exactitud de 3 cifras decimales.

3 Dé formulas para la aproximación por punto medio y por trapecio como la dada para Simpson.

4 En cada caso aproxime el integral. con 8 œ ' calcule el error y compare con la integral exacta por los tres metodos: X ß Q ß W

a '_!#B-9=B .B# b '_!#1_È"BB# $.B

5 Calcule para que, en el ejercicio anterior,8

a El integral de la parte se aproxiame exactamente en la parte entera pora

Simpson.

b El integral de la parte se aproxime con dos ciffras decimales exactas porb

trapecios.

c El integral de la parte se aproxima con 3 cifras decimales exactas por pundosc

medios