INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

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(1)

INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

(págs. 77 y 78) 1. a) 35 x8

5 x380

5 x50

5 x5

x 1

Así pues, S(1,). b) 2 (x2)3 x5 x6

2 x3 x5 x460 0 x100 0 x10

Para cualquier x que consideremos, el primer miembro valdrá siempre 0, por lo que se cumpli-rá la desigualdad 0 10. Luego S.

2x3 5 x1 3 x

c) ———————— ——

8 2 4

2 x34 (5 x1)2 (3 x) 2 x20 x6 x340

12 x10

12 x 1 1

x

12 1

Así pues, S

— ,

. 12

x1 2 3 x 4 x1

d) ———————————

10 5 2

x12 (23 x )5 (4 x1) x6 x20 x1450

13x20

13x 2 2

x

13

2 Así pues, S

, —

.

13

1

e) 5 (x2)—3 (x1)2 x 3

15 (x2)19 (x1)6 x 15 x9 x6 x30190

0 x220 0 x22

Para cualquier x que consideremos, el primer miembro valdrá siempre 0, por lo que se cumpli-rá la desigualdad 0 22. Luego S.

x1

f) 3 x75 (2 x3)———1

2

6 x1410 (2 x3)x12

6 x20 xx1430120

15 x 470 47

x

15 47

Así pues, S

, —

. 15

3 (x1) x3

g) ————x———

2 2

3 (x1)2 xx3 3 x2 xx330

0 x0

Para cualquier x que consideremos, el primer miembro valdrá siempre 0, por lo que no se cum-plirá la desigualdad 0 0. Luego S .

4 x1 9

h) ———2x

2 2

4 x14 x9 4 x4 x190

0 x100 0 x0

4

Inecuaciones

(2)

Para cualquier x que consideremos, el primer miembro valdrá siempre 0, por lo que se cumpli-rá la desigualdad 0 10. Luego S.

2. a) 35 x8 5 x13 x1

Resolvemos la primera inecuación: 35 x8

5 x380

5 x50

5 x5

x 1

Luego S1(1,).

Resolvemos la segunda inecuación:

5 x13 x1 5 x3 x110

2 x0 x0 Luego S2(0,).

b) 53 x 4 x13 2 x75 x11

Resolvemos la primera inecuación:

53 x4 x13

3 x4 x5130

7 x80

7 x8 8

x

7

8 Luego S1

,—

.

7

–1 0

–1 0

S1

S2

0 S = S1∩ S2= (0, + ∞) S

123

123

0

–1 0

S1

S2

–2 –2

–2

–1 4

3 28 21

8 7

24 21

– =– – =–

S = S1∩ S2 =

( ]

–43 ,–87 4

3 –

8 7 –

S

Resolvemos la segunda inecuación: 2 x75 x11 2 x5 x7110

3 x 40

3 x4 4

x

3 4 Luego S2

—,

.

3

c) x3

x4 2 (x1)5

La solución de las dos primeras inecuaciones es inmediata.

x3 ⇒ S1[3,)

x4 ⇒ S2(, 4)

Resolvemos la tercera inecuación: 2 (x1)5

2 x25 2 x250 2 x70 2 x7 7

x

2 7 Luego S3

— ,

.

2

0 S1

S2

7 2

S = S1∩ S2∩ S3 = 7

2 ,4

( )

1 2 3 4

0 1 2 3 4 S3

0 1 7

2

1 2 3 4 5

S

14243

d) 5 (x3) 2x

3 x2 x4 x3

(3)

Resolvemos la primera inecuación:

5 (x3) 2x

5 x15 2x

5 xx1520

4 x130 4 x13

13

x

4 13 Luego S1

, —

.

4

Resolvemos la segunda inecuación: 3 x2 x4

3 x2 x40

x40

x4 Luego S2(4,).

La solución de la tercera inecuación es inmediata: x3 ⇒ S3(, 3).

0 S1

13 4

1 2 3 4

0 S2

1 2 3 4

0 S3

1 2 3 4

0 S

1 2 3 4

S = ø

INECUACIONES NO LINEALES

CON UNA INCÓGNITA(págs. 81, 82 y 83)

3. a) x26 x90

La ecuación correspondiente es x26 x90,

cuyas soluciones son:

6 (6)2419 6 0 x13

——————————————

21 2

x23

La ecuación tiene una solución doble.



(–, 3) 3 (3, +)

Los intervalos definidos por las soluciones son: (, 3) y (3, ).

Comprobamos cuáles son solución:

0(, 3) → 0260990

b) 3 x25 x20

La ecuación correspondiente es 3x25x20,

cuyas soluciones son:

5 5243(2)

———————————

23

1 x1— 5

49 3

—————

6

x2 2

 Luego (, 3) es solución.

10(3,) → 1026109490

Luego (3, ) también es solución.

Los extremos finitos de los intervalos no son solu-ción, puesto que la inecuación contiene el signo . Por tanto, el conjunto solución es:

S(, 3) (3,) {3}

3

Los intervalos que definen estas soluciones son:

1 1

(,2),

2, —

y

— ,

3 3

Comprobamos cuáles son solución:

10(,2) →

→ 3(10)25(10)22480

Luego (,2) no es solución. 1

0

2, —

→ 302502 20

3 1

Luego

2, —

es solución. 3

1

1

— ,

→ 31251260

3 1

Luego

— ,

no es solución. 3

Los extremos finitos de los intervalos son solución, puesto que la inecuación contiene el signo . Por tanto, el conjunto solución es:

1 S

2, —

3

1 3

–2 –2, 1

3 1 3

, +

(–∞, –2)

–2 1

(4)

c) x22 x0

La ecuación correspondiente es x22 x0,

cu-yas soluciones son:

x10

x22 xx (x2)0

x2 2

–2 (–2, 0) (0 ,+)

(–, –2) 0

Estas soluciones definen los intervalos (,2), (2, 0) y (0, ).

Comprobamos cuáles son solución:

10(,2) →

→ (10)22(10)800

Luego (,2) es solución.

1(2, 0) →

→ (1)22(1)12 10

Luego (2, 0) no es solución.

1(0,) →

→ 122130 Luego (0,) es solución.

Los extremos finitos de los intervalos no son solu-ción, puesto que la inecuación contiene el signo . Por tanto, el conjunto solución es:

S(,2)(0,)

–2 0

d) x210

La ecuación correspondiente es x210, cuyas

soluciones son:

x

1 La ecuación no tiene solución.

Comprobamos si el intervalo (,) es solu-ción. Para ello probaremos si un valor cualquiera de x verifica la inecuación, por ejemplo x0:

02110

Por tanto, el conjunto solución es: S e) (x3)24

Resolvemos la ecuación asociada:

x15

(x3)24x3

4 2

x21

1 (1, 5) (5 ,+∞)

(–∞, 1) 5

Estas soluciones definen los intervalos (, 1), (1, 5) y (5, ). Comprobamos cuáles son solución:

0(, 1) → (03)294

Luego (, 1) no es solución.

3(1, 5) → (33)204

Luego (1, 5) es solución.

6(5,) → (63)294

Luego (5, ) no es solución.

Los extremos finitos de los intervalos son solu-ción, pues la desigualdad contiene el signo . Por tanto, el conjunto solución es S[1, 5].

1 5

f) 3 (x21)5 (x2)0

3 (x21)5 (x2)0

3 x235 x100

3 x25 x70

La ecuación correspondiente es 3 x25 x70

cuyas soluciones son:

5 (5)2437

x———————————

23

5 2584

———————

6 La ecuación no tiene solución.

Comprobamos si el intervalo (,) es solu-ción. Para ello probaremos si un valor cualquiera de x verifica la inecuación, por ejemplo x0:

3 (021)5 (02)70

Por tanto, el conjunto solución es:

S

g) x27 3 (x1)

x27 3 (x1)

x23 x100

La ecuación correspondiente es x23 x100,

cuyas soluciones son:

3 3241(10)

x————————————

21

3

49 x12

—————

2 x2 5







(5)

–5 (–5, 2) (2 ,+∞)

(–, –5) 2

Estas soluciones definen los intervalos (,5), (5, 2) y (2, ).

Comprobamos cuáles son solución:

10(,5) →

→ (10)23(10)10600

Luego (,5) es solución.

0(5, 2) → 023010 100

Luego (5, 2) no es solución.

10(2,) → 102310101200

Luego (2, ) es solución.

Los extremos finitos de los intervalos son solu-ción, pues la desigualdad contiene el signo . Luego S(,5][2,).

–5 2

1

h) x2x2

4

1

x2x2

4 9 x2x0

4

9 La ecuación correspondiente es x2x0,

4 cuyas soluciones son:

9 1 (1)241

4 1

8

x—————————————————

21 2

La ecuación no tiene solución.



Comprobamos si el intervalo (,) es solu-ción. Para ello probaremos si un valor cualquiera de x verifica la inecuación, por ejemplo x0:

9 9

0200

4 4

Por tanto, el conjunto solución es:

S

i) 2 (5x2)3 x

2 (5x2)3 x 2 x23 x100

La ecuación correspondiente es

2 x23 x100

cuyas soluciones son:

3 (3)24(2)10

x—————————————

2(2)

3

89

x1—————

3 980 3

89 4

———————————

4 4 3

 89

x2—————

4



–∞,–3 – 894 –3 – 894 ,–3 + 894 –3 + 894 , +∞

–3 + 89 4 –3 – 89

4



Los intervalos definidos por estas soluciones son:

3

89 3

89 3

89

, —————

,

—————, —————

4 4 4

y

3

89

—————,

4

Comprobamos cuáles son solución:

3

89

10

, —————

4

→ 2 (10)23(10)10 1600 3

89

Luego

, —————

no es solución. 4

3

89 3

89

0

————— , —————

4 4

→ 2023010100 3

89 3

89

Luego

————— , —————

es solución.

4 4

3

89

10

————— ,

4

→ 210231010 2200 3

89

Luego

————— ,

no es solución. 4

Los extremos finitos de los intervalos son solu-ción, pues la desigualdad contiene el signo .

(6)

inicial (y por tanto sus inecuaciones asociadas) en di-cho punto:

0(, 1) → P (0)022011

2(1,) → P (2)222211

Como P (0)P (2)1, 0 satisface la desigualdad si, y sólo si, 2 satisface la desigualdad. Luego (, 1) es solución si, y sólo si, (1, ) es solución.

Ahora es el momento de considerar cada desigual-dad:

x22 x10

Como P (0)P (2)10, el intervalo (, 1) (1,) es solución.

La desigualdad es estricta, por lo que 1 S. Por tanto, S(, 1) (1,){1}.

–3 + 89 4 –3 – 89

4

Por tanto, el conjunto solución es:

3

89 3

89

S

————— , —————

4 4

2 x1 3 x2

j) ——————

5 2

2 x1 3 x2

——————

5 2

4 x215 x2

15 x24 x20

La ecuación correspondiente es

15 x24 x20

cuyas soluciones son:

4 (4)24215

x———————————

215

4 104

——————

30

Comprobamos si el intervalo (,) es solu-ción. Para ello probaremos si un valor cualquiera de x verifica la inecuación, por ejemplo x0:

15024020

Por tanto, el conjunto solución es:

S

4. El signo de desigualdad sólo interviene en la deter-minación de los intervalos solución.

Como el resto del proceso no tiene en cuenta la desi-gualdad, podemos hacerlo en común.

Resolvemos la ecuación asociada a cualquiera de las inecuaciones.

x22 x1(x1)20

x1





1 (1, + ∞)

(–∞, 1)

Como sólo tenemos una solución (doble), los inter-valos que podemos distinguir son (, 1) y (1, ). Escojamos un punto de cada intervalo y evaluemos el polinomio P (x )x22 x1 que define la ecuación

1

x22 x10

Como P (0)P (2)10, el intervalo (, 1) (1,) es solución.

La desigualdad no es estricta, luego 1 S. Por tanto, S(, 1) (1,) {1}

1

x22 x10

Como P (0)P (2)10, el intervalo (, 1) no es solución y el intervalo (1,) tampoco lo es. La desigualdad no es estricta, luego 1 S. Así, S{1}.

1

x22 x10

Como P (0)P (2)10, el intervalo (, 1) no es solución y el intervalo (1, ) tampoco lo es. La desigualdad es estricta, luego 1 S. Así, S .

(7)

luego (, 0) es solución.

1(0,) → (141)(1)20

luego (0, ) no es solución.

Por otra parte, x0 no es solución, pues la desi-gualdad es estricta.

Por tanto, S(, 0). 5. a) x (x5)(x3)0

Las soluciones de la ecuación asociada son: x0 ⇒ x10

x (x5)(x3)0 ⇔ x50 ⇒ x25

x30 ⇒ x3 3

0

(–∞, –3) (5, +∞)

–3 5

(0, 5) (–3, 0)

14243

Estas tres soluciones definen cuatro intervalos en la recta real: (,3), (3, 0), (0, 5) y (5, ). Para ver si un intervalo es solución, basta con ver si un punto de dicho intervalo es solución:

4(,3) →

→ 4(45)(43) 360 luego (,3) es solución.

1(3, 0) →

→ 1(15)(13)120 luego (3, 0) no es solución.

1(0, 5) → 1(15)(13) 160

luego (0, 5) es solución.

7(3,) → 7(75)(73)1400

luego (3, ) no es solución.

Los extremos finitos de los intervalos no son solu-ción, pues la desigualdad contiene el signo . Por tanto, S(,3)(0, 5).

0

–3 5

b) (x41) x0

Las soluciones de la ecuación asociada son:

(x41)x0 x0 ⇒ x10

x410 No tiene

solución

0

(–∞, 0) (0, +∞)

123

Así pues, la única solución de la ecuación asocia-da define dos intervalos en la recta real: (, 0) y (0,).

Veamos qué intervalos son solución:

1(, 0) → ((1)41)(1) 20

0

1 2

2 –

c) (x22)(x31)0

Resolvemos la ecuación asociada: (x22) (x31)0

x1

 2 x220

x2

 2

x310x

3

3

11

(–∞, )

1 2

2 –

2

– ( – 2, 1) (1, )2 ( ,2 )

1442443

Los intervalos definidos por estas soluciones son: (,

2), (

2, 1), (1,

2) y (

2,) Veamos qué intervalos son solución:

2(,

2) →

→ ((2)2)((2)31) 180

Luego (,

2) no es solución. 0(

2, 1) →

→ (022)(031)20

Luego (

2, 1) es solución.

5 5 5

—(1,

2) →

22

31

4 4 4

7 61

0

16 64

Luego (1,

2) no es solución. 2(

2,) →

→ (222)(231)27140

Luego (

2,) es solución.

Como la desigualdad es estricta, los extremos fini-tos no son solución.

(8)

4(3,) →

→ 3(41)(43)(43)1050 Luego (3, ) es solución.

Como la desigualdad no es estricta, las soluciones de la ecuación son soluciones de la inecuación, luego:

S[3,1][3,) d) (x21)(2 x25)0

Resolvemos la ecuación asociada: (x21)(2 x25)0

x210x

1

5

2 x250 x

2



14243

Como esta ecuación no tiene soluciones, el inter-valo que debemos considerar es (,):

0(,) →

→ (021)(2025)1550

luego S.

e) 3 x33 x227 x270

Resolvemos la ecuación asociada: Factorizamos el polinomio 3 x33 x227 x27:

3 3 27 27

1 3 0 27

3 0 27 0

3 x33 x227 x27(3 x227)

(x1)3(x29)3 (x1)(x3)(x3)

luego:

3 x33 x227 x270

3 (x1)(x3)(x3)0

x10 ⇔ x1 1

x30 ⇔ x2 3

x30 ⇔ x33

14243

(–∞, –3)

3

–3 –1

(–3, –1) (–1, 3) (3, +∞)

Estos puntos dividen a en cuatro intervalos: (,3), (3,1), (1, 3) y (3, ) Comprobamos qué intervalos son solución:

4(,3) →

→ 3(41)(43)(4,3) 630 Luego (,3) no es solución.

2(3,1) →

→ 3(21)(23)(2,3)150 Luego (3,1) es solución.

0(1, 3) →

→ 3(01)(03)(03) 270 Luego (1, 3) no es solución.

3

–3 –1

f) x42 x210

Resolvemos la ecuación asociada:

x42 x21(x21)20

x21

00

x2 1

x

1 luego esta ecuación no tiene solución. Por tanto, S(,) o bien S . Como 0 → 04202110, resulta

que S.

x3

6. a) ———0

x1

Encontramos en primer lugar las soluciones de las ecuaciones asociadas al numerador y al denomi-nador:

x30 ⇔ x3

x10 ⇔ x 1

Distinguimos los intervalos que los puntos ante-riores definen en la recta real: (,1), (1, 3) y (3, ).

(–∞, –1)

3 –1

(–1, 3) (3, +∞)

Para ver qué intervalos son solución, basta con to-mar un punto de cada uno de ellos y ver si ese pun-to es solución.

23

2(,1) → ————50

21 Luego (,1) es solución.

03

0(1, 3) → ——— 30

(9)

43 1

4(3,) → ———0

41 5

Luego (3, ) es solución.

Finalmente, x1 no es solución, pues la función x3

——— no está definida en ese punto, ya que se x1

anula el denominador. Asimismo, x3 tampoco es solución, puesto que la desigualdad es estricta. Por tanto, S(,1)(3,).

3 –1

1 2 0

(–∞, 0) 0, 1 2

1 2,+∞

2 x1

b) ————0

x

Resolvemos las ecuaciones asociadas al numera-dor y al denominanumera-dor:

1

2 x10 ⇔ x— ; x0 2

Estos puntos definen tres intervalos:

1 1

(, 0),

0, —

y

— ,

2 2

Comprobamos qué intervalos son solución: 2(1)1

1(, 0) → ——————30

1 Luego (, 0) no es solución.

1

2—1

1 1 4

0, —

→ ————— 20

4 2 1

— 4 1

Luego

0, —

es solución. 2

1 2 11

1

—,

→ ————10

2 1

1

Luego

—,

no es solución. 2

Finalmente, x 0 no es solución, pues anula el 1

denominador. En cambio, x— sí es solución, ya 2

que la desigualdad no es estricta. 1

Por tanto, S

0, —

. 2

1 2 0

x23 x4

c) ——————0

x

Resolvemos las ecuaciones asociadas al numera-dor y al denominanumera-dor:

x23 x40

3 (3)241(4)

x————————————

21

3

25 x14

————

2 x

2 1

x0 ⇒ x30

Estos puntos definen cuatro intervalos: (,1), (1, 0), (0, 4) y (4, )



0

(–∞, –1) (4, +∞)

–1 4

(0, 4) (–1, 0)

Comprobamos qué intervalos son solución:

(10)23 (10)4

10(,1) → ———————————

10 126

—— 0

10 Luego (,1) no es solución.

1 1

23

4

1 2 2

(1, 0) → ———————————

2 1

— 2 9

4,50 2

Luego (1, 0) es solución. 12314

1(0, 4) → ——————— 60

1

Luego (0, 4) no es solución.

1023104

10(4,) → ————————

10 66

0 10 Luego (4, ) es solución.

Como x 0 anula el denominador, no es solu-ción. Asimismo, como la desigualdad es estricta, tampoco son solución los extremos finitos de los intervalos.

Así, S(1, 0) (4,).

0

(10)

x22 x3

d) ——————0

x24

Resolvemos las ecuaciones asociadas al numera-dor y al denominanumera-dor:

x22 x30

2 412 x13

x———————

2 x

2 1

x24(x2)(x2)0

x20 ⇔ x 2

x20 ⇔ x2

Estos cuatro puntos dividen la recta real en los si-guientes intervalos:

(,2), (2,1), (1, 2), (2, 3) y (3, )

(–∞,–2)

–2 –1 2 3

(–2,–1) (–1, 2) (2, 3) (3, +∞)

123



Comprobamos qué intervalos son solución:

(10)22(10)3

10(,2) → ———————————

(10)24

117

—— 0 96 Luego (,2) es solución.

3 3

22

3

3 2 2

(2,1) → ———————————

2 3

24 2 9

0

7 Luego (2,1) no es solución.

02203

0(1, 2) → ———————

024 3 3

——— 0

4 4

Luego (1, 2) es solución.

5 5

22—3

5 2 2

(2, 3) → ————————

2 5

24 4 7

0

9 Luego (2, 3) no es solución.

1022103 77

10(3,) → ————————0

1024 96

Luego (3, ) no es solución.

Finalmente, x 2 anulan el denominador y por lo tanto no son solución. Por otro lado, puesto que la desigualdad es estricta, x 1 y x3 tam-poco son solución.

Por tanto, S(,2)(1, 2) (3,)

–2 –1 2 3

–1 –2 –3 –4

–5 1 2 3 4 5

6

5

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

X Y

y = 3

INECUACIONES LINEALES

CON DOS INCÓGNITAS(págs. 85 y 86)

7. Sustituimos los valores de x e y de cada par en la ine-cuación 3 (x1)2 y3 para ver si la desigualdad que resulta es cierta, en cuyo caso el par es una solu-ción, o falsa, en cuyo caso el par no es solución: a) x0, y0

3 (01)203

3 3

Es una desigualdad cierta, luego este par es solu-ción.

b) x3, y1

3 (31)213

6 1

Es una desigualdad falsa, luego este par no es so-lución.

c) x 1, y4

3 (11)243

65

Es una desigualdad cierta, luego este par es solu-ción.

8. a) y3:

La recta que define al semiplano solución es y3, paralela al eje de abscisas, y el semiplano solución es el superior.

(11)

Como la desigualdad no es estricta, la recta tam-bién es solución.

b) x 2

La recta que define al semiplano solución es x 2, paralela al eje de ordenadas, y el semiplano solu-ción es el derecho.

La recta también es solución, ya que la desigual-dad no es estricta.

–1 –2 –3 –4

–5 1 2 3 4 5

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

X Y

x = –2

c) x2y5

La recta que determina el semiplano solución es la definida por la ecuación asociada a la inecua-ción:

1 5

x2 y5 ⇒ y — x

2 2

–1 –2 –3

–4 1 2 3 4 5

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

X Y

y = –

6

1

2 x + 52

Puesto que 0 2005, el semiplano solu-ción es el que contiene al punto (0, 0).

La recta x2 y5 no es solución, pues la desi-gualdad es estricta.

d) 3 xy 1

La recta que determina el semiplano solución es la definida por la ecuación asociada a la inecua-ción:

3 xy 1

y3 x1

Puesto que 3 000 1, el semiplano so-lución es el que contiene al punto (0, 0).

–1 –2 –3

–4 1 2 3 4 5

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

X Y

6

y = 3x + 1

1

e) 2 x5 xy 3

Expresamos esta inecuación de la forma habitual: 1

2 x5 xy 3

1

5 x2 xy— 3 1

3 xy— 3

La recta que determina el semiplano solución es la definida por la ecuación asociada a la inecua-ción:

1

3 xy— 3 1 y3 x

3

–1 –2 –3

–4 1 2 3 4 5

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

X Y

6

y = 3x + 1 3

1

Puesto que 3000—, el semiplano solu-3

(12)

9. a) Basta con que consideremos el conjunto de pun-tos que cumplen la inecuación y la ecuación del eje de ordenadas:

3 x2 y6y

⇒ 302 y6y x0

y6

y 6

Por tanto, los puntos del eje de ordenadas que ve-rifican la inecuación son los de la forma (0, y ) con

y 6.

b) Los puntos del eje de abscisas son de la forma (x, 0), y si imponemos que sean solución de la inecua-ción, obtendremos las condiciones que debe cum-plir x para ello:

3x2060

3x6 x2

Así, los puntos del eje de ordenadas que verifi-can la inecuación son los de la forma (x, 0) con x0.

f) 3 (yx )3 y5 3 y3 x3 y5

5

x

3

5 La recta que define el semiplano solución es x—,

3 paralela al eje de ordenadas, y el semiplano solu-ción es el derecho, pues (0, 0) pertenece al

iz-5 quierdo y no es solución: 0 —

3

Por otro lado, la recta no es solución, pues la de-sigualdad es estricta.

123

–1

–2 1 2 3

2

1

–1

–2

X Y

1 3

x =5

3

10. a) y3 x 2

x 1

Las rectas que definen los semiplanos solución de cada inecuación son y3 x 2 ⇔ y3 x2 y x 1. Ninguna de ellas es solución de la ine-cuación correspondiente, pues las desigualdades son estrictas.

El punto (0, 0) es solución de y3 x 2, pues 0300 2, luego el semiplano solución de esta inecuación es el que contiene al (0, 0), y también es solución de x 1, pues 0 1, lue-go el semiplano solución de x 1 es también el que contiene al (0, 0).

123

–1 –2 –3

–4 1 2 3 4 5

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

X Y

6

x = –1 y = 3x –2

Por tanto, la solución del sistema es la región del plano definida por las rectas x 1 e y3 x2 que contiene al punto (0, 0), sin incluir las se-mirrectas que la delimitan.

b) 3 xy1

6 x2 y 5

Las rectas asociadas a estas inecuaciones son las que tienen por ecuación

3 xy1 ⇔ y3 x1 y

5

6 x2 y 5 ⇔ y3 x

2

Ambas son solución de su correspondiente ine-cuación, puesto que las desigualdades no son es-trictas.

Para decidir cuál es el semiplano solución de cada inecuación, consideramos el punto (0, 0) y vemos si es solución:

3001

luego la solución de 3 xy1 es el semiplano que no contiene al (0, 0).

6020 5

luego la solución de 6 x2 y 5 es el semipla-no que semipla-no contiene al (0, 0).

(13)

c) yx0

2 x2 y 1

x0

Las ecuaciones de las rectas asociadas a cada una de estas inecuaciones son:

yx0 ⇔ y x

1

2 x2 y 1 ⇔ y x

2 x0

Ninguna de ellas es solución, pues todas las desi-gualdades son estrictas.

Como (0, 0) pertenece a yx0 y a x0, de-bemos tomar otro punto para ver qué semiplano es solución de las dos inecuaciones:

1010

luego el semiplano solución de yx0 es el que contiene al punto (0, 1).

20200 1, luego el semiplano solu-ción de 2 x2 y 1 es el que no contiene al punto (0, 0).

El semiplano solución de x0 es el superior. Estos semiplanos no tienen ningún punto en co-mún.

Como ambas regiones del plano no se cortan, el sistema no tiene solución.

14243

–1 –2 –3

–4 1 2 3 4 5

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

X Y

6

y = 3x –1

y = 3x + 5 2

–1 –2 –3

–4 1 2 3 4 5

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

X Y

6

y = –x – 1

2 y = –x

x = 0

Por tanto, este sistema no tiene solución.

y = 0

x = 0

11. Los puntos del primer cuadrante tienen su abscisa y su ordenada positivas, luego deben ser solución del si-guiente sistema:

x0 y0

123

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE INECUACIONES(pág. 87)

12. Llamamos x al número de espectadores que asistieron a la función. Como la capacidad del teatro es de 500 personas, x500.

Por otra parte, si se recaudaron más de 1 200 €y cada espectador pagó 3,6 €por la entrada, debe cumplir-se que 3,6x1 200.

Tenemos, pues, el sistema: x500

3,6x1 200

1 200 1 000

x———————333,)3

3,6 3

Como x debe ser un número natural, x334, es de-cir, como mínimo asistieron 334 personas.

Comprobamos que se cumplen las condiciones del enunciado:

3343,61 202,4€1 200€ 13. Sea x el número de miembros del grupo.

Si cada uno aporta 3 €, la cantidad recaudada será de 3x€y será menor que 30 €, y si cada uno aporta 4 €, la cantidad recaudada, 4 x€, será mayor que 30 €en más de 1 €. Obtenemos el siguiente sistema:

3x30

4x301

30

x———10

3

31

4 x31 ⇔ x——7,75

4

Como x debe ser un número natural, debe cumplirse:

7,75x10 ⇒ x8 ó x9 Por tanto, el grupo tiene 8 ó 9 miembros.

123

123

(14)

Comprobamos que, si el grupo tiene 8 ó 9 miembros, se satisfacen las condiciones del enunciado:

382430 3 92730 483231 4 93631

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS

(págs. 88 y 89)

14. a) x2x2 x2x20

Resolvemos la ecuación asociada: x2x20

1

18 x12

x——————

2 x

2 1

Estas soluciones definen tres intervalos en la rec-ta real: (,1), (1, 2) y (2, ).



(–∞,–1)

–1 2

(–1, 2) (2, +∞)

Comprobamos qué intervalos son solución:

2(,1) →

→ (2)2(2)240

0(1, 2) →

→ 0202 20

3(2,) →

→ 323240

Los extremos finitos son solución, ya que la desi-gualdad no es estricta, luego:

S(,1][2,)

–1 2

Por tanto, x2x2 x 1 ó x2

b) x33 x24 x12

x33 x24 x120

Resolvemos la ecuación x33 x24 x120

descomponiendo el polinomio x33x24x12:

1 3 4 12

2 2 2 12

1 1 6 0

2 2 6

1 3 0

x33 x24 x12 (x2) (x2) (x3)0 ⇔

x20 ⇒ x12

x20 ⇒ x2 2

x30 ⇒ x33





14243

Por tanto,

x33 x24 x12

⇔ 2x2 ó x3

1 1

c) ——— ⇔ ———0

x2 x2

El numerador no tiene raíces, y las del denomina-dor son: x20 ⇔ x2

Consideramos los dos intervalos: (, 2) y (2, ). Los intervalos de definidos por estos puntos son: (,2), (2, 2), (2, 3) y (3, ).





(–,–2)

–2 2

(–2, 2) (3, +)

3 (2, 3)

Comprobamos qué intervalos son solución:

10(,2) →

→ (10)33 (10)24 (10)12

1 2480 0(2, 2) →

→ 033024012120

5

—(2, 3) →

2

5 5 5

33

24—12

2 2 2

1251508012 93

———————————0

8 8

10(3,) →

→ 1033102410126720

Los extremos finitos son solución, ya que la desi-gualdad no es estricta, luego:

S[2, 2] [3,)

–2 2 3

(–, 2)

2

(2, +)

1 1

0(, 2) → ——— —0

02 2

luego (, 2) no es solución. 1

3(2,) → ———10

(15)

1

Por tanto, ——— ⇔ x2 x2



El valor x2 no es solución, ya que anula el de-nominador, luego: S(2,)

2

x1 x1

d) ——— ⇔ ———0

x1 x1

Resolvemos las ecuaciones asociadas al numera-dor y al denominanumera-dor:

x10 ⇔ x 1

x10 ⇔ x1

Estos dos puntos dividen a la recta en tres inter-valos: (,1), (1, 1) y (1, ).



(–∞,–1)

–1 1

(–1, 1) (1, +∞)

Comprobamos qué intervalos son solución:

2(,1) →

21 1 1

→ ———————0

21 3 3

0(1, 1) → 01

→ ——— 10 01

2(1,) →

21

→ ———30 21

x1 no es solución, pues anula el denominador, pero x 1 sí lo es, puesto que no anula el de-nominador y la inecuación contiene una desi-gualdad no estricta.

Luego S(,1](1,)

–1 1

x1

Por tanto, ——— ⇔ x 1 ó x1 x1

1 1

e) ——— ⇔ ———0

x21 x21

El numerador no tiene ceros, pero el denomina-dor sí: x210 x

1 1





Consideramos los intervalos (,1), (1, 1) y (1,).

Comprobamos qué intervalos son solución:

2(,1) →

→ (2)2130

0(1, 1) →

→ 021 10

2(1,) →

→ 22130

Ni x1 ni x 1 son solución, pues anulan el denominador, luego: S(,1)(1,)



(–∞,–1)

–1 1

(–1, 1) (1, +∞)

1

Por tanto, ——— x 1 ó x1

x21

–1 1

15. a) x32 (x6)8 x x24 x50

•Resolvemos la inecuación lineal: x32 x128 x0 ⇔

15 5

9 x150 ⇔ 9 x15 ⇔ x

9 3

5 Luego S1

—,

.

3

•Resolvemos la inecuación cuadrática: La ecuación asociada tiene por soluciones:

x24 x50 4 1620 x11

x————————

2 x2 5

Consideramos tres intervalos:

(,5), (5, 1) y (1, ) Comprobamos qué intervalos son solución:

10(,5) →

→ (10)24(10)5550

0(5, 1) →

→ 02405 50

2(1,) →

→ 2242570

123

(16)

Los extremos finitos de los intervalos también son solución, ya que la desigualdad no es estricta. Luego S2(,5][1,).

•Por tanto, la solución del sistema es: 5 SS1S2

—,

3

5 3

–5 1

–5 1

–5 1 5

3

b) x290

(x2) (x3)0

Resolvamos la primera inecuación: x290

Las soluciones de la ecuación asociada son: x290 x

9 3

Consideramos los intervalos:

(,3), (3, 3) y (3, )

Comprobamos cuáles cumplen la inecuación:

4(,3) →

→ (4)2970

0(3, 3) →

→ 029 90

4(3,) →

→ 42970

Los extremos, x3 y x 3 cumplen la inecua-ción, puesto que la desigualdad no es estricta. Luego S1[3, 3].

•Resolvamos la segunda inecuación: (x2)(x3)0

Las soluciones de la ecuación asociada son:

(x2)(x3)0 ⇔

x20 ⇒ x1 2

⇔ ó

x30 ⇒ x23

Consideramos los tres intervalos: (,2), (2, 3) y (3, )

Comprobamos cuáles cumplen la inecuación:

3(,2) →

→ (32)(33)60

123

14243

c) x22 x10

x1

———0

x3

La primera inecuación se puede escribir de la si-guiente forma:

x22 x10 (x1)20

y para cualquier x, x1, y por tanto, su cuadrado es un número real no negativo, o sea:

x(x1)20

luego la solución de esta inecuación es S1.

Resolvemos la segunda inecuación: x1

———0

x3

Las soluciones de las ecuaciones asociadas al nu-merador y al denominador son:

x10 ⇔ x 1

x30 ⇔ x3

Consideramos los intervalos: (,1), (1, 3) y (3,).

Comprobamos cuáles cumplen la inecuación:

2(,1) →

21 1 1

→ ———————0

23 5 5 0(1, 3) →

01 1

→ ——— —0

03 3

4(3,) →

41

→ ———50 43

0(2, 3) →

→ (02)(03) 60

4(3,) →

→ (42)(43)6 0

Los extremos finitos no satisfacen la inecuación, ya que la desigualdad es estricta.

Luego S2(,2)(3,)

•Por tanto, la solución del sistema es: SS1S2[3,2)

14243

–3

–2

–3

3

3

(17)

16. Llamamos x al número de días que necesitaremos la cortacésped.

Si alquilamos la cortacésped a la primera empresa, de-beremos pagar 18 3 x; si la alquilamos a la segunda, deberemos pagar 6 x.

Decir que les resulta más ventajosa la primera opción equivale a imponer que se verifique la desigualdad:

183 x6 x

Se resuelve para encontrar el número de días x que nos interesa:

183 x6 x ⇔ 18

3 x18 ⇔ x—6 3

Si la alquilamos por 6 días, las dos opciones nos re-sultan igual de ventajosas:

18363666

Para que nos resulte más ventajosa la primera opción, debemos alquilar la cortacésped por más de 6 días:

1837394276

17. Llamamos x al número de partidos que gana el equi-po, de los doce que le quedan por jugar.

El número de puntos que conseguirá será el número de victorias, que es x, multiplicado por tres, menos el número de derrotas, que es 12 x, multiplicado por dos: 3 x2 (12x )

Para que el equipo resulte campeón, debe sumar más de 21 puntos, es decir: 3 x2 (12x )21

Encontramos los valores de xque verifican esta desigualdad:

3 x2 (12x )21 ⇔ 3 x2 x2421 ⇔

5 x45 ⇔ x9

El mínimo natural mayor que nueve es diez, luego el equipo debe ganar diez partidos para ser cam-peón.

Finalmente, x3 no es solución, ya que anula el denominador, y x 1 tampoco es solución, ya que la inecuación es una desigualdad estricta. Por tanto, la solución del sistema es:

SS1S2S2 S2(,1)(3,)

–1

3 –1

3

Comprobamos que con diez partidos tiene suficiente pero con nueve no:

392 (129)2762121

3102(1210)3042621

18. Llamamos x a la edad actual del padre e y a la edad ac-tual del hijo.

Algebraicamente, que la edad del padre sea mayor que el doble de la del hijo se expresa: x2 y, y que dentro de diez años la edad del hijo sea mayor que la mitad de la del padre se expresa:

x10

y10———

2

Luego las edades del padre y del hijo deben ser dos números naturales x e y que cumplan el sistema:

x2 y

x2 y0

x10 ⇔

y10——— x2 y10

2

x Se representan gráficamente las dos rectas, y— e

2 x

y5 y se sombrean los semiplanos solución de 2

cada inecuación.

120110, luego (1, 0) pertenece al semipla-no solución de x2 y10.

12010, luego (1, 0) pertenece al semipla-no solución de x2 y0.

14243

123

–1 –2 –3

–4 1 2 3 4 5

3

2

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

X Y

6

x – 2y = 10 x – 2y = 0

Como las edades son naturales, sólo tienen sentido las soluciones del primer cuadrante de coordenadas na-turales (de hecho, no todas, pues el padre tiene que ser varios años mayor que el hijo, y no pueden tener más de, por ejemplo, 200 años).

Una solución posible puede ser: x46, y19. Ésta es una posibilidad razonable, pues significaría que el padre tuvo al hijo a los 46 1925 años de edad, y matemáticamente es compatible con las con-diciones del enunciado:

x46382192 y

4610 x10

y102928———————

(18)

19. Sea x la primera cifra de la contraseña e y la segunda cifra de la contraseña.

Como la suma de las cifras es menor que 10, xy10. Como una de ellas es mayor que el triple de la otra, tiene que cumplirse que x3 y ó y3 x ; como sólo se debe hallar una de las posibles contraseñas, pode-mos escoger una de las dos inecuaciones e imponer que se cumpla, por ejemplo, x3 y.

Obtenemos el siguiente sistema:

xy10

x3 yx3 y0

Para resolver el sistema, se representan las rectas aso-ciadas a cada inecuación, xy10 y x3 y0, y se sombrea el correspondiente semiplano solución: 00010, luego (0, 0) es un punto del semipla-no solución de xy10.

13010, luego (1, 0) es un punto del semi-plano solución de x3 y0.

La intersección de ambos semiplanos es la solución del sistema, pero no la del problema, pues x e y no son números reales cualesquiera.

123

10

5

5 10

(0, 0)

y +x = 10

x – 3y = 0

Y

X

La solución del problema es el conjunto de pares (x, y ) e (y, x ), si considerásemos y 3 x , tales que (x, y ) pertenezca a la solución del sistema de manera que x e y sean números enteros entre 0 y 9, o sea, los puntos marcados en la gráfica.

Podemos escoger como posible contraseña cualquie-ra de estos puntos, como por ejemplo (5, 1), esto es, x5 e y1, con lo que c51.

Comprobemos que esta contraseña cumple lo reque-rido:

xy51610 x53313 y

EJERCICIOS Y PROBLEMAS(págs. 90 y 91)

20. Resuelve:

a) 5 x3 (14 x)4 x1

5 x312 x4 x10 13 x2 2

x

13 2

Luego S

, —

13

5 x2 x3 x2 29

b) ———————————

3 2 3 6

2 (5 x2)3(x3)2(x2)29 10x43 x92x4290

5 x20 x4 Por tanto, S[4,).

c) 7 (2 x1)3 x2 (x1)9

14 x73 x2 x290 9 x0 x0 Luego S(, 0].

d) 3 (x7)2 x5 (x1)

3 x212 x5 x50 0 x16

y como para todo real x, 0 x016, resulta que S .

e) 4 (3 x1)5 x7 (x1)3 12 x45 x7 x73

0 x0, como para todo real x, 0 x00, re-sulta que S.

x2 2 x1 5 x

f) 3 x——————————

3 4 2

36 x4 (x2)3 (2 x1)6 (5x ) 36 x4 x86 x3306 x0

20 x 19

19

x

20 19

Luego S

— ,

.

20

21. a) x3

(19)

x3

2 x25 x10 x3

3 x3 x3

x 1

Luego la solución es:

SS1S2(, 3) (1,)(1, 3)

x1

b) 5———3 (x1) 2

x 2

5(x1)6 (x1)

x 2

0x1

x 2

x1

x 2

Por tanto, la solución es:

SS1S2[1,)(,2)

c) x10 2 x3 x5

5 (x1)2 (12 x )

x 1

0x5

5 x524 x0 x 1 ⇒ S1(1,)

x5 ⇒ S2(5,)

x7 ⇒ S3(, 7]

Por tanto, la solución es:

SS1S2S3(S1S2)S3 [(1,)(5,)]S3 (5,)(, 7] (5, 7]

22. a) (x2) (x1)18 x2x2180

x2x200

Resolvemos la ecuación asociada: x2x200

1 180 x15

x———————

2 x2 4

Consideramos los intervalos (,4), (4, 5) y (5,).

123

123

123

(–∞,–4)

–4 5

(–4, 5) (5, +∞)

123

123

14243

123

14243

14243

14243



b) 9 x26 x10

Resolvemos la ecuación asociada: 9 x26 x10

6 3636 1

x———————

18 3

1 1

Consideramos los intervalos

, —

y

—,

.

3 3

Comprobamos cuáles cumplen la inecuación:

10(,4) →

→ (10)2(10)20900

Luego (,4) es solución. 0(4, 5) →

→ 02020 20 0

Luego (4, 5) no es solución.

10(5,) →

→ 1021020700

Luego (5, ) es solución.

Los extremos de los intervalos son solución, pues la desigualdad no es estricta, luego:

S(,4][5,)

1 3

–∞, 1

3

1

3,+∞

1 3

–4 5



Comprobamos cuál cumple la inecuación: 1

0

, —

→ 9(0)260110

3 1

Luego

, —

no es solución. 3

1

0

—,

9(10)261018410

3 1

Luego

—,

tampoco es solución. 3

1

El punto x— es solución, puesto que la desigual-3

dad no es estricta, luego: 1 S

(20)

c) x2x10

Resolvemos la ecuación asociada:

x2x10 1 124 1

3

x————————————

2 2

Por tanto, o bien S , o bien S:

0 → 02010 S

x3

d) ———(x2) (x7)17 4

x3

———x22 x7 x1417

4

x25 x3

x34 x220 x12

4x220x12x30

4x219x150

4x219x150 19 1921615

x——————————

24

19

121

x1 1

——————

8 15

x2 —

4 Consideramos los intervalos:

15 15

,—

,

— ,1

, (1,)

4 4





–1 15

4

, – 15

4

– , –1 (–1, +)

15 4 –

–1 15

4 –

15

Como la desigualdad es estricta, — y1 no son 4

solución, luego:

15 S

— ,1

4

Comprobamos cuáles cumplen la inecuación:

15

10

,—

4

→ 4(10)219(10)152350

15

2

—,1

→ 4

→ 4(2)219 (2)15 70

0(1,) →

→ 402190150

23. a) (x21)(x1)0

Resolvemos su ecuación asociada: (x21)(x1)0

x210 ⇔ x2 1 ⇔ x

 1 x10 ⇔ x1

Estos resultados definen dos intervalos: (, 1) y (1, )

123

(–, 1)

1

(1, +∞)

Comprobamos cuáles cumplen la inecuación: 0(, 1) →

→ (021) (0 1) 10

2(1,) →

→ (221) (2 1)50

El resultado x1 no es solución, ya que la desi-gualdad es estricta.

Por tanto, la solución es S(1,).

1

b) (x23) (x25 x6)0

(x23) (x25 x6)0

x230 ⇔ x23 ⇔ x

 3 x25 x60

5 2524 3

x———————

2 2

Consideramos los intervalos:

(,

3) , (

3,

3) , (

3, 2) , (2, 3) , (3, ):

123



(–∞,– 3)

0 2

(3, +∞)

3

– 3 3

(21)

c) 4 x42 x210

Hallamos las soluciones de 4 x42 x210

{x4t2} , 4 t22 t10 2 416 2 12

t—————————————

8 8

Consideramos un único intervalo; toda la recta real:

0 2

3

– 3 3

Comprobamos cuáles cumplen la inecuación:

10(,

3) →

→ ((10)23)((10)25(10)6) 9715615 132 0

0(

3,

3) →

→ (023) (02506) 180

1,8(

3, 2) →

→ (1,823) (1,8251,86) 0,240,240,05760

5 5 5 5

2, 3

23

25 —6

2 2 2 2

2512 25 5024 13

——————————— —0

4 4 4

10(3,) →

→ (1023)(1025106) 97565 4320

Como la desigualdad es estricta, los extremos no cumplen la inecuación. Por tanto, la solución es:

S(

3,

3)(2, 3)





Probamos si un valor cualquiera de x verifica la inecuación, por ejemplo, x0

404202110

Puesto que cualquier valor de x verifica la inecua-ción, el conjunto solución está formado por todos los números reales: S.

(–∞, +∞)

d) 2 x35 x24 x30

2 x35 x24 x3 (x1) (x3) (2 x1)0 ⇔ x10 ⇔ x1 ⇒ x11

x30 ⇔ x 3 ⇒ x2 3

1 1

2 x10 ⇔ x — ⇒ x3 —

2 2

2 5 4 3

1 2 7 3

2 7 3 0

3 6 3

2 1 0

Consideramos los intervalos: 1 (,3) ,

3,—

,

2 1

—, 1

, (1, ) 2

14243

–3

(–∞,–3) (1, +)

1 2

– 1

1 2 –

–3, 1

2

– , 1

–3 1

2

– 1

Comprobamos cuáles cumplen la inecuación:

4(,3) →

→ (41) (43) (2 (4)1) 350 1

1

3,— 2

→ (11) (13) (2 (1)1)40 1

0

— , 1 →

2

→ (01) (0 3) (2 01) 30

2(1,) →

→ (21) (2 3) (2 21)250 Como la desigualdad es estricta, los extremos no cumplen la inecuación.

Por tanto, la solución es:

1

(22)

Veamos cuáles de ellos cumplen la inecuación:

2(,1) →

23 5

→ ——————50

21 1 0(1, 3) →

03

→ ——— 30 01

4(3,) →

43 1

→ ————0

41 5

Por último, x 1 no es solución, pues anula el denominador, pero x3 sí es solución, ya que la desigualdad no es estricta.

Por tanto, la solución es S(,1)[3,). x3

24. a) ———0

x1

La ecuación asociada al numerador es x30, cuya solución es x3, y la asociada al denomina-dor es x10, cuya solución es x 1. Consideramos los intervalos:

(,1), (1, 3) y (3, )

–1

(–,–1) (3, +)

3 (–1, 3)

(–, 1) (1, +)

1

2 x (x3)x2

b) ———————3 (x1) ⇔

x1

2 x (x3)x23 (x1)2

⇔ —————————————0 ⇔

x1

2 x26 xx23 x26x3

⇔ ——————————————0 ⇔

x1 3

⇔ ———0 x1

x10 ⇔ x1, luego consideramos los in-tervalos (, 1) y (1, )

Veamos cuáles cumplen la inecuación: 0(, 1) →

3 3

→ ——— ——30

01 1

2(1,) →

3

→ ——— 30 21

1

Como x 1 anula el denominador, no es solu-ción.

Por tanto, S (1,).

(x21) (x29 x8)

c) ——————————0

x22

(x21) (x29 x8)0

x210 ⇔ x2 1 ⇔ x

 1 x29 x80

9 8132 8

x———————

2 1

x220x2 2x

2

Consideramos los intervalos:

(, 1) , (1, 8) , (8, )



123

1

(–∞,1) (8, +∞)

8 (1, 8)

1 8

Veamos cuáles cumplen la inecuación: 0(, 1) → (021) (02908)

→ ———————————40

022

2(1, 8) →

(221) (22928) 5 (6)

→ ———————————————

222 6

50

10(8,) →

(1021)(1029108)

→ —————————————

1022

10118 303

——————0

102 17

Finalmente, x1 y x8 son solución, puesto que la desigualdad no es estricta y no anulan el deno-minador. Por tanto,

S[1, 8]

x225

d) ——————0

x27 x10

x225(x5) (x5)0

x50 ⇔ x 5

x50 ⇔ x5

123

4

Y

Figure

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Referencias

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