Introducción a los Productos de Blaschke

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(1)Introducción a los productos de Blaschke. Andres Felipe Ortiz Rivera. Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Facultad de Ciencias y Educación Bogotá, Colombia 2018.

(2) Introducción a los productos de Blaschke. Andres Felipe Ortiz Rivera. Monografı́a presentada como requisito parcial para optar al tı́tulo de: Matemático. Director(a): Milton del Castillo Lesmes Acosta. Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Facultad de Ciencias y Educación Bogotá, Colombia 2018.

(3) Dedicado a. A mis padres y hermana..

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(5) Agradecimientos Primero que nada agradezco a Dios, agradezco a mis padres por el apoyo y confianza que han tenido en mi y en mis capacidades y por inculcarme los valores que hoy me hacen ser quien soy, a mi hermana pues fue un gran apoyo en el transcurso de mi carrera y a Lizeth pues durante la elaboración de este trabajo fue un gran apoyo moral y emocional. Agradezco a mi Director de tesis, el Doctor Milton del Castillo Lesmes Acosta, por la confianza depositada en mi y por el acompañamiento y la asesoria durante la elaboración de este trabajo. Por ultimo, quiero agradecer a todos los profesores que me han formado academicamente durante la carrera, y tambien a mis compañeros..

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(7) vii. Resumen Es preciso aclarar que este trabajo va enfocado a presentar la definición de un producto de Blaschke, sus propiedades, su relación con los espacios de Hardy y un teorema que tiene que ver con funciones de Clase Nevanlinna y los mismos productos de Blaschke. Primero se comienza con algo de definiciones previas que seran de importancia en el transcurso del mismo como lo son las funciones analı́ticas, cabe aclarar en esta parte que tambien se hablará sobre los polos y ceros de estas funciones. Además de estas funciones, tambien se presentan las funciones subarmonicas y propiedades de dichas funciones, para luego adentrarnos en series y sucesiones y algunos tipos de convergencia, esto se hace con el fin de entrar a definir los productos infinitos y la equivalencia entre la convergencia de estos productos y la convergencia de series con una forma particular, pues esto sera de ayuda para el punto principal del trabajo. Por ultimo se definen los espacios de Hardy, las funciones de Clase Nevanlinna y los productos de Blaschke, se mostrarán propiedades de estos por medio de proposiciones, y para finalizar se demuestra el teorema que se habia mencionado al comienzo de este parrafo. Palabras Clave: Funcion analı́tica, Ceros de una función, Producto infinito, Función subarmonica, Producto de Blaschke.. Abstract It is necessary to clarify that this work is focused on the definition of a Blaschke product, its properties, its relation with Hardy spaces and a theorem that has to do with functions of Nevanlinna Class and Blaschke products. First we start with something like the previous definitions that will be important in the course of the same as the analytical functions, it is clarified in this part that also talks about the poles and zeros of these functions. In addition to these functions, the subharmonic functions and properties of the functions are also presented, in order to later enter series and successions and types of convergence, this is done in order to access the infinite products and the equivalence between the convergence of these products and the convergence of series with a particular form, since this is the main objective of the work. Lastly, the Hardy spaces, the Nevanlinna Class functions and the Blaschke products are defined, the properties of these are shown by means of propositions, and finally the theorem that was mentioned at the beginning of this paragraph is shown. Keywords: Analytical function, Zeros of a Function, Infinite Product, Subharmonic Functions, Product of Blaschke..

(8) viii. Introducción El estudio de espacios de funciones analı́ticas en el disco unidad representa uno de los aspectos mas importantes del Análisis Complejo, en especial los espacios de Hardy H p . Una manera de introducir estos espacios es a través del estudio de los ceros de funciones analı́ticas en el disco unidad. El presente trabajo pretende explicar lo que es un producto de Blaschke, y las funciones de clase Nevanlinna, sus propiedades y la relación que existe entre estos dos, junto con la relación de los espacios ya mencionados. Un producto de Blaschke es un producto infinito que consta de diversas factores, con infinitos ceros y polos, es además una función analı́tica en el disco unidad, y el limite radial existe en casi toda parte de z : |z| = 1. También se presenta una subclase, los productos finitos, que comparte muchas de las propiedades que posee un producto de Blaschke infinito. Una función f de Clase Nevanlinna es una función analı́tica y medible en el sentido de Lebesgue en el disco unidad, tal que kf kN < ∞, se introducen estas dos partes para ver que se puede dar origen a una función de clase Nevanlinna por medio del cociente de una función Nevanlinna y un producto de Blaschke ambos con los mismos ceros. Este trabajo busca ampliar un poco la comprensión sobre los productos de Blaschke y las funciones de Clase Nevanlinna, sus propiedades mas basicas y algo de la relación entre estos dos y los espacios de Hardy, pues a pesar de que el fin de este trabajo no sea profundizar en temas que tengan que ver directamente con ellos, pues se considera importante tratar cosas basicas pero de gran importancia. Este trabajo consta de 4 capitulos organizados de la siguiente manera; en el Capitulo 1, se dan definiciones previas entre estas estan la definición de las funciones analitı́cas, resaltando los ceros y polos de estas funciones, pues una de las propiedades de los productos de Blaschke es que posee ceros y polos; además de las funciones analiticas, se definen las funciones armonicas y subarmonicas y se presentan resultados sobre este tipo de funciones. En el Capitulo 2 se abordan las sucesiones complejas, se define las convergencia de estas sucesiones, dandole relevancia a las series de funciones complejas, los tipos de convergencia, además. se presentan resultados importantes como lo es el hecho de que si una sucesion de funciones analı́ticas convergen uniformemente a una función limite, dicha función es también analı́tica. Además de esto, se presentan las series complejas, se define su convergencia y los diferentes tipos de convergencia. En el Capitulo 3, comenzamos definiendo un producto infinito, su convergencia, y asi poder llegar a la sección 3.2 que trata la equivalencia entre la convergencia de productos infinitos y la de las series, tanto de números complejos como de funciones complejas, al final de este capitulo se presenta un teorema y una proposición, el teorema nos da la primera noción de producto de Blaschke, sin embargo, su definición se presenta en el capitulo 4, pero a pesar.

(9) ix de esto, este teorema es de gran importancia pues nos dice que el producto de Blaschke converge a una funcion analı́tica en el disco unitario; y la proposición nos da condiciones suficientes para que se de la convergencia uniforme y absolutamente del producto de Blaschke en subconjuntos compactos del disco unidad. Por último, en el Capitulo 4, se definen los espacios de Hardy, presentando el concepto de lı́mite radial y su existencia para funciones en H p (D) con 1 ≤ p ≤ ∞, luego, se definen las funciones de clase nevanlinna, se demuestra que para todo p (1 ≤ p ≤ ∞), H p es un subconjunto de la clase de funciones Nevanlinna, una proposición acerca de estas funciones donde se afirma que los ceros satisfacen la condición de Blaschke. Y finalmente se define el factor de Blaschke como un automorfismo de D en D, se da la definición de un producto de Blaschke, infinito y finito, algunas de las propiedades de productos finitos e infinitos y se presenta un teorema que involucra tanto los productos de Blaschke como las funciones de Clase nevanlinna, en resumidas cuentas este teorema nos permite factorizar los ceros de una funcion f de Clase Nevanlinna con los ceros del producto de Blaschke B formado por los ceros de dicha función dando origen a una función h = f /B no nula y que pertenece a la funcion de Clase nevanlinna y mas aún, si f pertenece a un espacio de Hardy, entonces h tambi’én pertenece a ese mismo espacio..

(10) CONTENIDO. Agradecimientos. V. Resumen. VIII. 1. Preliminares 1.1. Definiciones previas . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Funciones Analiticas . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Ceros y polos de una función Analitica. 1.3. funciones Armonicas . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Funciones Subarmonicas . . . . . . . . 1.3.2. Funciones armonicas en D. . . . . . . .. . . . . . .. 2 2 3 7 9 11 12. . . . . .. 15 15 17 18 21 22. 3. Productos infinitos 3.1. Productos infinitos de Números Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Equivalencia en convergencia de productos y series. . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Productos infinitos de Funciones Complejas . . . . . . . . . . . . . .. 26 26 28 31. 4. Productos de Blaschke y Funciones de Clase Nevanlinna 4.1. Espacios de Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Funciones de clase Nevanlinna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Productos de Blaschke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36 37 39 42. 2. Series y sucesiones complejas 2.1. Convergencia de sucesiones . . 2.1.1. Sucesiones de funciones 2.2. Convergencia de series . . . . 2.2.1. Convergencia Absoluta 2.2.2. Convergencia Uniforme. . . . . . . complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . ..

(11) CONTENIDO 5. Conclusiones Bibliografı́a. 1 54 55.

(12) CAPÍTULO 1 PRELIMINARES. 1.1.. Definiciones previas. Para dar claridad al lector, durante este trabajo el disco unidad se notara por D = {z : |z| < 1} y su borde por T = {z : |z| = 1}. Definición 1.1. Un espacio metrico (X, d) es conexo si los únicos subconjuntos de X que son abiertos y cerrados son ∅ y X. Si A ⊂ X entonces A es un subconjunto conexo de X si el espacio metrico (A, d) es conexo. Una definición equivalente de conexo es decir que X no es conexo si existen dos conjuntos abiertos A y B disjuntos en X, distintos de ∅, tal que X = A∪B. En efecto, si esta condición se cumple entonces A = X − B sera cerrado. Durante el transcurso del trabajo se hará uso de la función log w para w ∈ C, es entonces se quiere definir log w para que satsifaga w = ez cuando z = log w. Ahora, ya que ez 6= 0 para cualquier z, no se puede definir log 0. Por lo tanto, supongamos ez = w y w 6= 0; Si z = x + iy entonces |w| = ex y y = arg w + 2πk, para algún k, por lo tanto {ln|w| + i(arg w + 2πk) : k es cualquier entero} es el conjunto solución para ez = w. (Note que ln|w| es el usual logaritmo real.) Definición 1.2. Si G es un conjunto abierto conexo en C y f : G → C es una función continua tal que z = exp[f (z)] para todo z en G entonces f es una rama de el logaritmo..

(13) 1.2 Funciones Analiticas. 1.2.. 3. Funciones Analiticas. Definición 1.3. Si G es un conjunto abierto en C y f : G → C entonces f es diferenciable en un punto z0 en G si f (z) − f (z0 ) f 0 (z0 ) = lı́m z→z0 z − z0 existe, el valor de este limite es denotado por f 0 (z0 ) y es llamada la derivada de f en z0 . Nota: Si f es diferenciable en cada punto de G diremos que f es diferenciable en G. Notemos que si f es diferenciable en G entonces f 0 (a) define una función f 0 : G → C. Si f 0 es continua entonces diremos que f es dos veces diferenciable y por ultimo, una función diferenciable tal que cada derivada sucesiva es de nuevo diferenciable es llamada infinitamente diferenciable. Proposición 1.1. Si f : G → C es diferenciable en un punto a en G entonces f es continua en a. Demostración. En efecto, . i |f (z) − f (a)| h lı́m |f (z) − f (a)| = lı́m · lı́m |z − a| = f 0 (a) · 0 = 0 z→a z→a z→a |z − a|. Definición 1.4. Sea G un subconjunto abierto, no vacio y conexo de C. Una función diferenciable en todo punto de G se dice que es analı́tica en G. El conjunto de funciones analı́ticas en un conjunto abierto G ⊂ C se notará por H(G). Las funciones que tienen derivadas solo en puntos aislados como f (z) = |z|2 en ocasiones no son interesantes. Por convención, cuando digamos que f es analı́tica en un punto z0 significa que f es analitica en una vecindad del punto, es decir, es analı́tica en B(z0 ; r) = {z : |z − z0 | < r}. Definición 1.5. Sea f : G → C. Si f 0 (z) existe para todos los puntos z ∈ G, entonces la función f 0 : G → C tal que z 7→ f 0 (z) queda definida. Se dice que f es analı́tica en z0 si y solo si 1. f 0 (z) existe para todos los puntos z en algún B(z0 ; r) que contiene a z0 (en particular, f 0 (z0 ) existe). 2. f 0 = f 0 (z) es una función continua de z en algún B(z0 ; r) que contiene a z0 . Dada la anterior definición, tambien podemos decir que una función f : G → C es analitica si f es continuamente diferenciable en G..

(14) 4. 1 Preliminares. Ejemplo 1.1. Un ejemplo de función analı́tica es f (z) = z1 que es analı́tica en cada punto del plano complejo que sea distinto de cero. Pero la función f (z) = |z|2 no es analı́tica en ningún punto ya que su derivada existe solo en z = 0 y no en ningúna vecindad de z = 0. Nota: Las funciones racionales: h(z) = f (z) y g(z) son polinomios. La derivada h0 (z) =. f (z) , g(z). con dominio D = {z ∈ C/g(z) 6= 0} y donde. g(z)f 0 (z) − f (z)g 0 (z) g 2 (z). existe, y es continua en D. El siguiente teorema, nos da las condiciones suficientes para que una función sea diferenciable, y por tanto analitica. Teorema 1.1. Sea la función f (z) = u(x, y)+iv(x, y) se define a lo largo de alguna vecindad de un punto z0 = x0 + iy0 , y supongamos que las derivadas parciales de primer orden de las funciones u y v con respecto a x y y existen en todos lados de la vecindad; y estas derivadas parciales son continuas en (x0 , y0 ) y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann ux = vy y uy = −vx en (x0 , y0 ). Entonces f 0 (z0 ) existe y su valor esta dado por f 0 (z0 ) = ux + ivx donde el lado derecho de la igualdad es evaluado en (x0 , y0 ). Demostración. Ver [2], Página 66. Ejemplo 1.2. Consideremos la función f (z) = e−y sen x − ie−y cos x de donde u(x, y) = e−y sen x y v(x, y) = −e−y cos x derivando se obtiene. ∂u = e−y cosx ∂x. ∂u = −e−y senx ∂y. y. y ∂v = e−y senx ∂x. y. ∂v = e−y cosx ∂y.

(15) 1.2 Funciones Analiticas. 5. Claramente las derivadas parciales de primer orden de cada una de las funciones son continuas en todo el plano complejo, ahora veamos que f (z) satisface las ecuaciones de CauchyRiemman ∂u ∂v = e−y cosx = ∂x ∂y ∂u ∂v = −e−y senx = − ∂y ∂x se satisfacen para todo z = x + iy ∈ C luego f es una función analitica en todo el plano complejo. Cuando una funcion f es analı́tica en todo punto del plano complejo se dice que es una función entera. Teorema 1.2 (Regla de la cadena). Sean f y g dos funciones analiticas en G y Ω respectivamente y supongamos que f (G) ⊂ Ω. Entonces g ◦ f es analitica en G y (g ◦ f )0 (z) = g 0 (f (z))f 0 (z) para todo z ∈ G. Demostración. Ver [3], Página 34. Proposición 1.2. Sea G y Ω dos subconjuntos abiertos de C. Supongamos que f : G → C y g : Ω → C son funciones continuas tal que f (G) ⊂ Ω y g(f (z)) = z para todo z ∈ G. Si g es diferenciable y g 0 (z) 6= 0, f es diferenciable y f 0 (z) =. 1 g 0 (f (z)). Si g es analı́tica, f es analı́tica. Demostración. Fijando a ∈ G sea h ∈ C tal que h 6= 0 y a + h ∈ G. Por lo tanto a = g(f (a)) y a + h = g(f (a + h)) esto implica que f (a) 6= f (a + h). Además g(f (a + h)) − g(f (a)) h g(f (a + h)) − g(f (a)) f (a + h) − f (a) = · f (a + h) − f (a) h. 1 =. Ahora el limite de el lado izquierdo cuando h → 0 es, por supuesto, 1; luego el limite de el lado derecho existe. Ya que lı́m [f (a + h) − f (a)] = 0, h→0. g(f (a + h)) − g(f (a)) = g 0 (f (a)) h→0 f (a + h) − f (a) lı́m.

(16) 6. 1 Preliminares. Por lo tanto, obtenemos f (a + h) − f (a) h→0 h 0 0 0 existe ya que g (f (a)) 6= 0 y 1 = g (f (a))f (a). Ası́, f 0 (z) = g0 (f1(z)) . Si g es analı́tica entonces g 0 es continua y por lo tanto f es analı́tica, pues es cociente de dos funciones continuas y g 0 (z) 6= 0. lı́m. Corolario 1.1. Una rama de la función logaritmo es analt́ica y su derivada es z −1 Sea z(t) la parametrización de una curva C, cuando solo los valores inicial y final de z(t) son el mismo, un contorno C se llamará contorno cerrado simple. Teorema 1.3. (Formula integral de Cauchy) Sea f una función analı́tica en un dominio siplemente conexo Ω, y sea C un camino cerrado simple orientado positivamente contenido en el interior de Ω, entonces para cualquier z0 en el interior de Ω y en C se tiene que Z 1 f (z) dz f (z0 ) = 2πi γ z − z0 Demostración. Ver [8], página 164. Teorema 1.4. Sea f una función analı́tica en una bola B(z0 ; r). Entonces f (z) tiene una representación en series de potencias f (z) =. ∞ X. an (z − z0 )n. (1-1). n=0. donde an =. f (n) (z0 ) . n!. Demostración. Ver [2], Paginá 189. La idea principal del teorema es que la serie en (1-1) converge a una función f analı́tica, para todo z ∈ B(z0 ; r) Teorema 1.5. Sea f una función analı́tica en un dominio r1 < |z − z0 | < r2 , centrado en z0 y denotemos por C un contorno cerrado simple orientado positivamente alrededor de z0 , sobre el dominio. Entonces, en cada punto del dominio, f (z) tiene representacion en series f (z) =. ∞ X. an (z − z0 )n +. n=0. donde. 1 an = 2πi. ∞ X n=1. Z C. bn (z − z0 )n. f (z) dz (z − z0 )n+1. (r1 < |z − z0 | < r2 ).. (n = 0, 1, 2, ...). y 1 bn = 2πi. Z C. f (z) dz (z − z0 )1−n. (n = 1, 2, ...). (1-2).

(17) 1.2 Funciones Analiticas. 7. Demostración. Ver [2], Página 199. Si f (z) tiene una representación en series de Laurent, se puede ver como sigue f (z) =. ∞ X. an (z − z0 )n +. n=0. b1 b1 bn + +···+ +··· 2 z − z0 (z − z0 ) (z − z0 )n. La parte b1 b1 bn + +···+ +··· 2 z − z0 (z − z0 ) (z − z0 )n. (1-3). de la serie, involucra potencias negativas de (z − z0 ), es llamada la parte principal de f en z0 . Ahora usaremos la parte principal para identificar la singularidad aislada z0 como uno de tres tipos especiales, que veremos en la proxima subsección.. 1.2.1.. Ceros y polos de una función Analitica.. Diremos que una función f tiene un cero en z0 si f (z0 ) = 0. En este caso se analizan los ceros de una función analı́tica, pues nos sera de utilidad mas adelante. Antes que nada, se presenta el siguiente teorema, pues nos da la existencia de los ceros para un polinomio P (z) y los productos de Blaschke finitos se pueden ver como polinomios. Teorema 1.6. Teorema Fundamental del Algebra Cualquier polinomio P (z) no constante de grado n(n ≥ 1) tiene por lo menos un cero. Demostración. Ver [8], Página 173. Definición 1.6. Sea f una función analı́tica en un punto z0 . Si f (z0 ) = 0 y si existe un entero positivo m tal que f (m) (z0 ) 6= 0 y cada derivada de orden menor que m en z0 se anule, diremos que f tiene un cero de orden m en z0 . Teorema 1.7. Sea f una función analitica en un punto z0 . f tiene un cero de orden m en z0 si y solo si existe una función g, la cual no se anula y es analı́tica en z0 , tal que f (z) = (z − z0 )m g(z).. Demostración. Sabemos que si una función es analı́tica en un punto z0 , entonces admite representación en series de Taylor en B(z0 ; δ). (←) Supongamos que f (z) = (z − z0 )m g(z) y g(z) es analı́tica en z0 , por lo tanto, g admite representacion en series de Taylor g(z) = g(z0 ) + g 0 (z0 )(z − z0 ) +. g 00 (z0 ) (z − z0 )2 + · · · 2.

(18) 8. 1 Preliminares. en alguna B(z0 ; δ), equivalentemente f (z) = g(z0 )(z − z0 )m + g 0 (z0 )(z − z0 )m+1 +. g 00 (z0 ) (z − z0 )m+2 + · · · 2. De esta forma esto representa una serie de Taylor para f (z), entonces f (m−1) (z0 ) = 0 y f (m) (z0 ) = m!g(z0 ) 6= 0 Por lo tanto z0 es un cero de f de orden m. (→) Supongamos que f tiene un cero de orden m en z0 , la analiticidad en z0 y ya que f (m−1) (z0 ) = 0 en B(z0 ; δ), f tiene una representación en series de Taylor ∞ X f (n) (z0 ) f (z) = (z − z0 )n n! n=m (m) (z0 ) f (m+1) (z0 ) m f + (z − z0 ) + · · · = (z − z0 ) m! (m + 1)!. Asi, f (z) = (z − z0 )m g(z) donde g(z) esta dado en la anterior ecuación. La convergencia de esta última serie en B(z0 ; δ) asegura que g es analı́tica en esa bola, en particular, en z0 . Y ya que f tiene un cero de orden m en z0 entonces g(z0 ) = f (m) (z0 )/m! 6= 0. Definición 1.7. Se dira que una función f tiene una singularidad en z0 si f no es analı́tica en z0 , pero para toda B(z0 , r), existen puntos zv ∈ B(z0 ; r) donde f es analı́tica. Definición 1.8. Una función f tiene una singularidad aislada en z0 si f no es analı́tica en z0 , y existe un número > 0 tal que f es analı́tica en B(z0 ; ). Ejemplo 1.3. La función f (z) =. 1 sin(π/z). tiene singularidades en los puntos z = 0 y z = n1 (n = ±1, ±2, ...) todos estos sobre el segmento de el eje real entre z = −1 y z = 1. Cada punto singular excepto z = 0 es aislado, 1 pues para todo n ∈ N basta tomar = mı́n n1 − n+1 , n1 − z < , para que 1/n sea la unica singularidad en B(1/n; ). El punto z = 0 no es aislado por que para un dado y m cualquier entero positivo tal que m > 1/, el hecho de que 0 < 1/m < significa que el punto z = 1/m se encuentra en B(0; ). Existen tres tipos de singularidades aisladas las cuales son: las singularidades removibles, los polos y las singularidades esenciales, en este trabajo solo daremos definiciones y teoremas respecto a los polos, pues los productos de Blaschke que se veran en el capitulo 4, poseen polos. Veamos el siguiente teorema que nos caracteriza un polo de una función y su orden..

(19) 1.3 funciones Armonicas. 9. Definición 1.9. Si la parte principal de f en z0 dada por la ecuación (1-3) contiene al menos un término distinto de cero pero la cantidad de tales términos es solo finito, entonces existe un entero positivo m ≥ 1 tal que bm 6= 0 y bm+1 = bm+2 = · · · = 0. Esto es f (z) =. ∞ X. an (z − z0 )n +. n=0. b1 b1 bm + +···+ 2 z − z0 (z − z0 ) (z − z0 )m. donde bm 6= 0. En este caso, la singularidad aislada z0 es llamada un polo de orden m. Un polo de orden m = 1 diremos que es un polo simple. Teorema 1.8. Una singularidad aislada z0 de una función f es un polo de orden m si y solo si f (z) puede expresarse como sigue f (z) =. ϕ(z) (z − z0 )m. donde ϕ(z) es analı́tica y no nula en z0 . Y además Resz=z0 f (z) = φ(z0 ). si m = 1. y Resz=z0 f (z) =. φ(m−1) (z0 ) (m − 1)!. si m ≥ 2.. Demostración. ver [2], Página 244.. 1.3.. funciones Armonicas. Definición 1.10. Si G es un subconjunto abierto de C entonces la función u : G → R es armónica si u tiene segundas derivadas parciales continuas y ∂ 2u ∂ 2u + =0 ∂x2 ∂y 2 Esta ecuación es llamada LA ECUACION DE LAPLACE. Definición 1.11. Si f : G → C es una función analı́tica entonces u = <f y v = =f son llamadas armónicas conjugadas Teorema 1.9. Sean u y v dos funciones de valor real definidas en una región G y supongamos que u y v tienen derivadas parciales continuas. Entonces f : G → C definida por f (z) = u(z) + iv(z) es analı́tica si y solo si satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann..

(20) 10. 1 Preliminares. De ahora en adelante, por simplicidad, cuando se mencione el termino “región”, se estará hablando de un subconjunto no vacio, abierto y conexo del plano complejo. Supongamos que G es una región en el plano y u : G → R es armónica. y si nos preguntamos si es posible que exista una función v : G → R tal que f = u + iv sea analı́tica en G?. Teorema 1.10. Una función f en una región G es analitica si y solo si <f = u y =f = v son funciones armónicas que satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Diremos que v el armónico conjugado de u. Teorema 1.11. Sea G todo el plano complejo C o algún disco abierto de C. Si u : G → R es una función armónica entonces u tiene un conjugado armónico en G. Demostración. Ver [3], Página 43. Del ultimo teorema, podemos afirmar que para cada función en una región simplemente conexa tiene un armonico conjugado. Si u es una función armonica en G y D es un disco tal que D ⊂ G, entonces existe una función armonica v en D tal que u + iv es analı́tica en D. Proposición 1.3. Si f : G → C es armonica entonces f es infinitamente diferenciable en G. Demostración. Fijando z0 = x0 + iy0 en G y escojamos r tal que B(z0 ; r) ⊂ G. Entonces f tiene una armonica conjugada g en B(z0 ; r). Es decir, h = f + ig es analı́tica y por lo tanto infinitamente diferenciable en B(z0 ; r), de esto se sigue que f es infinatemente diferenciable. Nota: La anterior proposición nos proporciona un resultado que mas adelante será utilizado, es el hecho de que toda función armónica es una función diferenciable y por tanto analı́tica. Ejemplo 1.4. Consideremos la función f (z) =. i z2. es analı́tica para z 6= 0 y ya que. i i z̄ 2 iz̄ 2 iz̄ 2 2xy + i(x2 − y 2 ) = = = = z2 z 2 z̄ 2 (z z̄)2 |z|4 (x2 + y 2 )2 las dos funciones u(x, y) =. 2xy x2 − y 2 y v(x, y) = (x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2. son armónicas en cualquier región del plano xy que no contenga el origen. Ejemplo 1.5. Supongamos que u(x, y) = x2 − y 2 y v(x, y) = 2xy Dado que estas son las componentes reales e imaginarias, respectivamente, de la función completa f (z) = z 2 , sabemos que v es un conjugado armónico de u en todo el plano. Pero u no puede ser un conjugado armónico de v dado que la función 2xy + i(x2 − y 2 ) no es analı́tica en ninguna parte, ya que no satisface las ecuaciones de Cuachy-Riemman..

(21) 1.3 funciones Armonicas. 11. El siguiente teorema se presenta como una parte de un teorema mucho mas general, que se puede ver en [3], Pag.202. Teorema 1.12. Una regioń G es simplemente conexa si y solo si para cada función armónica u en G existe una función armonica v en G tal que f = u + iv es analitica en G. Demostración. Ver [3], Pag.202. Teorema 1.13. (Teorema del Valor medio) Sea u : G → R una función armonica y sea B̄(a; r) un disco cerrado contenido en G. Si γ es el circulo |z − a| = r entonces Z 1 2π u(a) = u(a + reiθ )dθ 2π 0 Demostración. Sea D un disco tal que B̄(a; r) ⊂ D ⊂ G y sea f una función analitica en D tal que u = <f . De la formula integral de Cauchy es facil ver que Z 2π 1 f (a + reiθ )dθ f (a) = 2π 0 Tomando la parte real a cada lado de la ecuación se completa la prueba.. 1.3.1.. Funciones Subarmonicas. Según el contexto, en el cual se esta trabajando, se dara la definición de una función semicontinua superiormente definida en C. Definición 1.12. Sea f : Ω → R donde Ω ⊂ C es un conjunto abierto y sea V = {z ∈ Ω : f (z) < β} para todo β ∈ R. Diremos que f es una funcion semicontinua superiormente en el conjunto Ω si para cada z0 ∈ V , existe δ > 0 tal que B(z0 , δ) ⊂ V . Se puede mostrar que una función f es semicontinua superiormente en Ω si y solo si para todo z ∈ Ω se tiene que lı́m sup f (z) ≤ f (z0 ) z→z0. Sin embargo, eso se escapa del proposito de este trabajo. Nota: Si recordamos la definición de una función continua en un subconjunto de Rn , es facil ver que, toda función continua es superiormente continua, y asi como la continuidad es puntual tambien lo es la semicontiniudad superiormente. Definición 1.13. Sea G un subconjunto abierto de C, una función ϕ : G → [−∞, ∞) es una función subarmonica si ϕ es semicontinua superiormente y para cada B̄(a; r) ⊂ G, se tiene que Z 1 2π ϕ(a) ≤ ϕ(a + reiθ )dθ 2π 0 Y ϕ : G → R ∪ {+∞} es una función superarmonica si −ϕ es subarmonica..

(22) 12. 1 Preliminares. En algunos libros o textos, en la anterior definición, se pide la continuidad de f sin embargo, esa hipotesis es posible debilitarla, pidiendose que la función f sea semicontinua superiormente. Teorema 1.14. Si u es una función subarmonica en G tal que −∞ ≤ a ≤ u(z) ≤ b < ∞ para todo z ∈ G y φ : [a, b] → [−∞, ∞) es una función creciente y convexa, entonces φ ◦ u es subarmonica. Demostración. Ver [3], Página 225. Teorema 1.15. Sea u una función continua y subarmonica en Ω, y sea K ⊂ Ω compacto, f es una función real continua en K la cual es armónica en el interior de K, y u(z) ≤ f (z) para todos los puntos limite de K. Entonces u(z) ≤ f (z) para todo z ∈ K. Demostración. Ver [8], Página 336. Proposición 1.4. Si u es una función subarmonica y continua en G entonces 1 M (r) = 2π. 2π. Z. u(reiθ )dθ. 0. es una función creciente dentro del intervalo [0, 1). Demostración. Sean r1 , r2 tal que r1 < r2 y sea f una función continua en B(0; r2 ) ⊂ G la cual coincide con u en el borde de B(0; r2 ) y es armonica en B(0; r2 ). Luego, por el teorema 1.15, u(z) ≤ f (z) para todo z ∈ B(0; r2 ). Y por lo tanto 1 M (r1 ) = 2π. Z 0. 2π. 1 u(r1 e )dθ ≤ 2π iθ. Z 0. 2π. 1 f (r1 e )dθ = f (0) = 2π iθ. Z. 2π. f (r2 eiθ )dθ = M (r2 ). 0. Es decir que M (r) es una función creciente dentro del intervalo [0, 1).. 1.3.2.. Funciones armonicas en D.. Definición 1.14. la función Pr (θ) =. ∞ X. r|n| einθ. n=−∞. para 0 ≤ r < 1 y −∞ < θ < ∞, es llamada el kernel de Poisson. Existe una forma mas sencilla de expresar el kernel de Poisson, veamos: Sea z = reiθ , 0 ≤ r < 1; entonces.

(23) 1.3 funciones Armonicas. 13. 1 + reiθ = (1 + z)(1 + z + z 2 + ...) 1 − reiθ ∞ X = 1+2 zn n=1 ∞ X = 1+2 rn einθ n=1. Por lo tanto <. 1 + reiθ 1 − reiθ. . ∞ X rn cos nθ = 1+2. = 1+. n=1 ∞ X. rn (einθ + e−inθ ). n=1. = Pr (θ) Además. 1 + reiθ 1 + reiθ − re−iθ − r2 = 1 − reiθ |1 − reiθ |2. Asi que 1 − r2 Pr (θ) = =< 1 − 2rcosθ + r2. . 1 + reiθ 1 − reiθ. (1-4). Proposición 1.5. El kernel de Poisson satisface las siguientes propiedades: Z π 1 Pr (θ)dθ = 1; 1. 2π −π 2. Pr (θ) > 0 para todo θ, Pr (−θ) = Pr (θ) y Pr es periodica en θ con periodo 2π; 3. Pr (θ) < Pr (δ) si 0 < δ < |θ| ≤ π; 4. Para cada δ > 0, lı́m Pr (θ) = 0 uniformemente en θ para π ≥ |θ| ≥ δ r→1−. Demostración. Ver [3], Página 257. Teorema 1.16. Supongamos que f : T → R es una función continua. Entonces existe una función continua u : D → R tal que 1. u(z) = f (z) para z ∈ T; 2. u es armónica en D..

(24) 14. 1 Preliminares. Además u es unico y esta definida por la formula Z 1 π iθ u(re ) = Pr (θ − t)f (eit )dt 2π −π. (1-5). Para 0 ≤ r <, 0 ≤ θ ≤ 2π Demostración. Ver [3], Página 258. Corolario 1.2. Si u : D → R es una función continua que es armonica en D entonces Z 1 π iθ u(re ) = Pr (θ − t)u(eit )dt 2π −π Para 0 ≤ r < 1 y para todo θ. Además, u es la parte real de la función analitica Z 1 π eit + z u(eit )dt f (z) = it 2π −π e − z Demostración. La primera parte del corolario es consecuencia directa de el teorema anterior y la segunda parte se sigue de el hecho que f es una función analitica y la ecuación (1-4).

(25) CAPÍTULO 2 SERIES Y SUCESIONES COMPLEJAS. Antes que nada, necesitamos familiarizarnos con conceptos claves que se usarán como las sucesiones y series complejas, y la convergencia de estas mismas.. 2.1.. Convergencia de sucesiones. Definición 2.1. Una sucesión infinita de numeros complejos z1 , z2 , ..., zn , ... tiene un lı́mite z, si para cada número positivo , existe un entero positivo n0 tal que |zn − z| < cuando n > n0 . Nota: Geométricamente, esto significa que para valores suficientemente grandes de n, los puntos zn se encuentran en cualquier vecindario de z dado. Ya que podemos elegir tan pequeño como se quiera. Se debe tener en cuenta que el valor de n0 que se necesita, en general, dependerá del valor de . La sucesión puede tener como máximo un lı́mite. Es decir, un lı́mite z es único si existe. Cuando ese lı́mite existe, se dice que la sucesión converge a z; y escribimos lı́m zn = z. n→∞. Si la sucesión no tiene lı́mite, entonces diverge. Teorema 2.1. Supongamos que zn = xn + yn (n = 1, 2, ...) y z = x + iy. Entonces lı́m zn = z. (2-1). lı́m xn = x y lı́m yn = y. (2-2). n→∞. si y solo si n→∞. n→∞.

(26) 16. 2 Series y sucesiones complejas. Demostración. Primero, supongamos que (2-2) se satisface. De acuerdo con ello, para cada > 0 existen enteros positivos n1 y n2 tal que |xn − x| <. cuando n > n1 2. y. cuando n > n2 2 Por lo tanto, si n0 es el mayor de los enteros n1 y n2 , |xn − x| < y |yn − y| < cuando n > n0 2 2 ya que |(xn + iyn ) − (x + iy)| = |(xn − x) + i(yn − y)| ≤ |xn − x| + |yn − y| |yn − y| <. se tiene que |zn − z| <. + = cuando n > n0 2 2. asi, se cumple (2-1). Ahora, suponiendo que (2-1) se satisface, se sabe que por cada > 0, existe un entero positivo n0 tal que |(xn + iyn ) − (x + iy)| < cuando n > n0 Pero |xn − x| ≤ |(xn − x) + i(yn − y)| = |(xn + iyn − (x + iy)| y |yn − y| ≤ |(xn − x) + i(yn − y)| = |(xn + iyn ) − (x + iy)| entonces |xn − x| < y |yn − y| < cuando n > n0 y asi se satisface (2-2). Este teorema nos permite escribir lı́m (xn + iyn ) = lı́m xn + lı́m yn. n→∞. n→∞. n→∞. siempre que sepamos que existen ambos lı́mites a la derecha o que el de la izquierda existe. Veamos un pequeño ejemplo: Ejemplo 2.1. Sea la siguiente sucesión zn =. 1 +i n3. n = 1, 2, .... esta converge a i ya que lı́m. n→∞. 1 1 + i = lı́m 3 + i lı́m 1 = 0 + i = i 3 n→∞ n n→∞ n.

(27) 2.1 Convergencia de sucesiones. 17. La definición 1 también se utilizará para obtener este resultado. Más precisamente, para cada > 0, 1 1 |zn − i| = 3 < cuando n > √ 3 n . 2.1.1.. Sucesiones de funciones complejas. Una sucesión de funciones es una aplicación que a cada número natural n le hace corresponder una función. Sean fn (z) para todo n ∈ N y f (z) funciones complejas definidas en un subconjunto G ⊂ C, sea z0 un punto cualquiera de G y {fn (z)}n∈N una sucesión de funciones complejas. Veamos los diferentes tipos de convergencias para estas sucesiones Definición 2.2. La sucesión {fn (z)}n∈N converge en el punto z0 a f (z0 ) si lı́m fn (z0 ) = f (z0 ). n→∞. o también, si ∀ > 0, ∃N ∈ N tal que ∀n > N , se tiene que |fn (z0 ) − f (z0 )| < . Definición 2.3 (Convergencia puntual). La sucesión {fn (z)}n∈N converge puntualmente a la función f (z) en G si para cada z0 ∈ G y para cada > 0 existe N ∈ N tal que |fn (z0 ) − f (z0 )| < . Siempre cabe aclarar que en la convergencia puntual la existencia del N depende del punto z0 y de . Definición 2.4 (Convergencia uniforme). La sucesión {fn (z)}n∈N converge uniformemente a la función f (z) en G si para cada > 0 existe N ∈ N tal que para todo z ∈ G y todo n > N se tiene que |fn (z) − f (z)| < . Y en este tipo de convergencia, es preciso que para cada > 0 fijo exista un N , que es independiente del punto z que se tome. Y terminamos esta sección mostrando esta proposición y teorema que tiene que ver con las funciones analiticas de las que se hablo en el capitulo 1. Proposición 2.1. Supongamos que fn (z) es analitica en un subconjunto abierto Gn de C y que la sucesión {fn (z)}n∈N converge a una función limite f (z) en un subconjunto abierto G de C uniformemente en cada subconjunto compacto de G. Entonces f (z) es analitica en G..

(28) 18. 2 Series y sucesiones complejas. Demostración. La analiticidad de f (z) se sigue del teorema de Morera. Sea |z − a| ≤ r un disco cerrado contenido en G; los Gn forman un cubrimiento del disco |z − a| ≤ r y por el teorema de Heine-Borel, este disco es compacto y por lo tanto admite un subrecubrimiento finito, en este caso un Gn0 fijo y esto implica que este disco se encuentra en Gn , para todo n mas grande que un n0 . Si γ es una curva cerrada contenida en |z − a| < r, por el teorema de cauchy, para n > n0 se tiene que Z fn (z)dz = 0 γ. debido a la convergencia uniforme Z Z f (z)dz = lı́m fn (z)dz = 0 n→∞. γ. γ. y ası́ por el teorema de Morera, f (z) es analı́tica en el disco |z − a| < r y por lo tanto en todo G.. 2.2.. Convergencia de series. Definición 2.5. Una serie infinita. ∞ X. zn. (2-3). n=1. de números complejos converge a la suma S si la sucesión SN =. N X. zn = z1 + z2 + ... + zN. N = 1, 2, .... (2-4). n=1. de sumas parciales converge a S, y se escribe S =. ∞ X. zn. n=1. Tenga en cuenta que dado que una secuencia puede tener como máximo un lı́mite, una serie puede tener como máximo una suma. Cuando una serie no converge, decimos que diverge. Teorema 2.2. Suponga que zn = xn + yn (n = 1, 2, ...) y S = X + iY . Entonces S=. ∞ X. zn. (2-5). n=1. si y solo si. ∞ X n=1. xn = X y. ∞ X n=1. yn = Y. (2-6).

(29) 2.2 Convergencia de series. 19. Demostración. Por la ecuación (2-4) podemos escribir las sumas parciales como SN = XN + iYN donde XN =. N X. xn y Y N =. n=1. (2-7) N X. yn. n=1. Ahora, la ecuación (2-5) es cierta si y solo si lı́m SN = S. (2-8). N →∞. y, en vista de la ecuación (2-7) y el teorema 1, el lı́mite (2-8) se mantiene si y solo si lı́m X N = X y lı́m Y N = Y. N →∞. N →∞. Asi, estos limites implican la propoisición (2-5), y viceversa. Ya que XN y YN son las sumas parciales de las series (2-6), y asi el teorema ha sido probado. Este teorema puede ser útil para mostrar que algunas propiedades familiares de series en cálculo se transfieren a series de números complejos. Se incluyen aquı́ dos de esas propiedades y las presentamos como corolarios. Proposición 2.2. Si una serie de números complejos converge, el n-ésimo termino converge a cero cuando n tiende a infinito. Demostración. Asumiendo que la serie (2-3) converge, sabemos por el teorema anterior que si zn = xn + iyn (n = 1, 2, ...) entonces cada una de las series. ∞ X n=1. xn. y. ∞ X. yn .. (2-9). n=1. convergen. Sabemos, además, del cálculo que el n-ésimo término de una serie de números reales convergente se acerca a cero cuando n → ∞ y por el teorema 2.1, lı́m zn = lı́m xn + i lı́m yn = 0 + i · 0 = 0. n→∞. n→∞. n→∞. y queda demostrado el corolario. Este corolario nos proporciona una condición necesaria mas no suficente para la convergencia de una serie compleja. De este corolario se desprende que los términos de las series convergentes son acotados. Es decir, cuando la serie (2-3) converge, existe una constante M > 0 tal que |zn | ≤ M para cada entero positivo n..

(30) 20. 2 Series y sucesiones complejas. Al establecer el hecho de que la suma de una serie es un número dado S, a menudo es conveniente para definir el resto ρN después de N términos, usando las sumas parciales (2-4): ρN = S − SN . Ası́ S = SN + ρN ; y ya que |SN − S| = |ρN − 0| vemos que una serie converge a un número S si y solo si la sucesión de residuos tiende a cero. En las series, que involucran una variable z, denotaremos sumas, sumas parciales y residuos por S(z), SN (z) y ρN (z), respectivamente.. Ejemplo 2.2. Con la ayuda de los residuos, es facil verificar la convergencia de la siguiente serie ∞ X 1 zn = cuando |z| < 1 (2-10) 1−z n=0 utilizando la siguiente identidad 1 + z + z2 + · · · + zn =. 1 − z n+1 1−z. (z 6= 1). para escribir las sumas parciales SN (z) =. N −1 X. z n = 1 + z + z 2 + · · · + z N −1. (z 6= 1). n=0. luego SN (z) = Si S(z) =. 1 − zN 1−z 1 1−z. entonces, ρN (z) = S(z) − SN (z) =. zN 1−z. (z 6= 1). Asi |ρN (z)| =. |z|N |1 − z|. De esto es claro que los residuos ρN (z) tienden ca cero cuando |z| < 1 pero no cuando |z| ≥ 1. La formúla (2-10) queda establecida..

(31) 2.2 Convergencia de series. 21. Otra propiedad importante de una serie de números complejos que se desprende de una propiedad correspondiente en cálculo, es que la serie (2-3) se dice que es absolutamente convergente si la serie ∞ X. |zn | =. n=1. ∞ X p. x2n + yn2. (zn = xn + iyn ). n=1. converge.. 2.2.1.. Convergencia Absoluta. Definición 2.6. La serie. ∞ X. zn es absolutamente convergente si y solo si. n=1. convergente.. ∞ X. |zn | es. n=1. Definición 2.7. Una serie convergente que no es absolutamente convergente se dira que es condicionalmente convergente. Ejemplo 2.3. La serie ∞ X (−1)n+1 n=1. n. =1−. 1 1 1 + − +··· 2 3 4. es condicionalmente convergente, ya que converge a log 2 pero ∞ X (−1)n+1 1 1 1 =1+ + + +··· n 2 3 4 n=1. diverge. En cambio la serie ∞ X (−1)n+1 n=1. n2. =1−. 1 1 1 + − +··· 4 9 16. si es absolutamente convergente, ya que ∞ ∞ 2 X X (−1)n+1 1 1 1 1 =1+ + + +···=2 = 2 n n 4 9 16 n=1 n=1. Corolario 2.1. La convergencia absoluta de una serie de números complejos implica la convergencia de la serie..

(32) 22. 2 Series y sucesiones complejas. Demostración. Asumamos que la serie. ∞ X. zn converge absolutamente. Ya que. n=1. |xn | ≤. p p x2n + yn2 y |yn | ≤ x2n + yn2. Sabemos por la prueba de comparación en calculo que las dos series ∞ X. |xn | y. n=1. ∞ X. |yn |. n=1. deben converger. Por otra parte, desde la convergencia absoluta de una serie de números reales implica la convergencia de la serie misma, se deduce que las series en (2-9) convergen. En vista del teorema 2.2, entonces, la serie (2-3) converge. Esto termina la prueba.. 2.2.2.. Convergencia Uniforme. Cuando empezamos a hablar de convergencia uniforme de Serie complejas, trabajamos sobre las sucesiones de funciones complejas, veamos primero como es la convergencia de una serie de funciones complejas. Definición 2.8. Se dira que la serie. ∞ X. fn (z) converge en el punto z0 ∈ G si para cada. n=1. > 0 existe N ∈ N tal que ∀n > N se tiene que ∞ X. fi (z0 ) < . i=n. Definición 2.9. Una serie de funciones es una serie cuyos términos son funciones fn (z), definidas en un mismo dominio (donde se encuentran bien definidas) E, y esta dada como sigue ∞ X fn (z) = f1 (z) + f2 (z) + · · · + fn (z) + · · · (2-11) n=1. Si la serie obtenida para cada valor de z ∈ E es convergente, la serie define una función S(z) que es su suma en E, ∞ X S(z) = fn (z) ∀z ∈ E. (2-12) n=1. A la convergencia en cada punto se le denomina Convergencia puntual de la serie de funciones. ∞ X Y basandonos en la definición 2.8 se dira que la serie fn (z) converge puntualmente si esta converge para todo z0 ∈ G.. n=1.

(33) 2.2 Convergencia de series. Definición 2.10. Sea. ∞ X. 23. fn (z) = S(z) una serie de funciones convergente en E. La serie. n=1. se dice que es uniformemente convergente si y solo si ∀ > 0 ∃ν() tal que ∀n > ν y ∀z ∈ E, |Sn (z) − S(z)| < . Nota: La diferencia con la convergencia puntual es que en ésta ν(, z0 ) puede depender del punto z0 y en la convergencia uniforme ν() tiene que ser común para todos los puntos de E. La convergencia uniforme implica convergencia puntual. Otra forma de definir la convergencia uniforme de una serie de funciones es: Definición 2.11. La serie. ∞ X. fn converge uniformemente en G si ∀ > 0, ∃N ∈ N tal que. k=1. para todo z ∈ G y ∀n > N se tiene que ∞ X. fn (z) < .. n=N +1. Proposición 2.3. (Criterio de Weierstrass) ∞ X Una condición suficiente para que la serie fn (x) sea uniformemente convergente sobre K n=1. es que exista m ∈ N tal que ∞ X. kfn kK < +∞. n≥m. Demostración. Para cada x ∈ K la serié. ∞ X. fn (x) es absolutamente convergente por que. n=1. |fn (x)| ≤ kfn kK . Si f : K → C es su suma y Sn =. n X. fk , para todo n ≥ m y todo x ∈ K se. k=1. cumple |f (x) − Sn (x)| =. X. fk (x) ≤. k>n. luego kf − Sk kK ≤ n donde n : =. X. X. |fk (x)| ≤. k>n. X. kfk kK. k>n. kfk kK es una sucesión que tiende hacia 0. Esto. k>n. significa que Sn converge hacia f uniformemente sobre K. Al aplicar el criterio de Weierstrass. Basta encontrar una serie numérica. ∞ X. Mn convergente. n=1. tal que, para todo m ≤ n en adelante, se cumpla |fn (x)| ≤ Mn para todo x ∈ K..

(34) 24. 2 Series y sucesiones complejas. Ejemplo 2.4. Veamos que la serie ∞ X 1/2 n. n=0. zn. converge uniformemente sobre {z : |z| < 1}. tomando an = 1/2 se tiene que n an lı́m = lı́m n→∞ an+1 n→∞. 1/2 n 1/2 n+1. . = lı́m. n→∞. (n + 1)(1/2 − (n + 1))! =1 (1/2 − n)!. luego el radio de convergencia de la serie es 1. y según el criterio de Weierstrass, basta con P ver que ∞ n=1 |an | converge. Veamos Ya que (1/2 − n)! = ±1 dependiendo de n, se cumple que an = (−1)n+1 |an |, asi pues, para 0 < r < 1, ∞ X. n. |an |r = 1 −. n=1. ∞ X. √ √ an (−r)n = 1 − ( 1 − r − 1) = 2 − 1 − r. n=1. √ P n y ya que 2 − 1 − r ≤ 2 entonces ∞ n=1 |an |r ≤ 2. Y por lo tanto la serie original converge. Corolario 2.2. Si. ∞ X. fn (z) es uniformemente convergente en E también lo es en todo. n=1. subconjunto de E. Demostración. Por definición, se tiene que ∀ > 0, ∃ν() y ∀z ∈ E |Sn (z) − S(z)| < en particular se tendra para todo z perteneciente a un subconjunto de E. Teorema 2.3. Si. ∞ X. fn (z) converge uniformemente en un conjunto E y para todo n, fn (z). n=1. es una función continua en E, entonces su suma S(z) es también una función continua en E. Demostración. Por ser. ∞ X. fn (z) uniformemente convergente, para cualquier > 0 hay un. n=1. ν() tal que |S(z0 ) − Sn (z0 )| < y |S(z) − Sn (z)| < , ∀n > ν. (2-13). siendo z, z0 ∈ E cualesquiera. Además, por ser Sn (z) continua en E, existe un δ(, n, z0 ) > 0 tal que |Sn (z) − Sn (z0 )| < siempre que |z − z0 | < δ Por la desigualdad triangular se deduce que |S(z) − S(z0 )| < 3 siempre que |z − z0 | < δ y en consecuencia S(z) es continua en z0 ..

(35) 2.2 Convergencia de series. Teorema 2.4. Si. ∞ X. 25. an es absolutamente convergente, y |fn (z)| ≤ |an | para todo n y ∀z ∈ E,. n=0. entonces. ∞ X. fn (z). n=1. es uniforme y absolutamente convergente en E. Demostración. La convergencia absoluta es evidente ya que la serie de funciones está acotada término a término por una serie absolutamente convergente. Por otro lado, la convergencia ∞ ∞ X X absoluta de an implica que ∀ > 0 ∃ν() tal que |an | < . Entonces n=0. n>ν. |S(z) − Sν (z)| =. ∞ X n>ν. fn (z) ≤. ∞ X n>ν. |fn (z)| ≤. ∞ X. |an | < . n>ν. puesto que ν() es común a todos los puntos de E la convergencia es uniforme..

(36) CAPÍTULO 3 PRODUCTOS INFINITOS. 3.1.. Productos infinitos de Números Complejos. Definición 3.1. Si {an }∞ n=1 es una sucesı́on de números complejos no nulos, diremos que el ∞ Y producto an converge a P , si la sucesión de productos parciales PN = a1 a2 · · · aN converge n=1. a un limite no nulo P . Nota: Si los productos infinitos (parciales) convergen a cero o a infinito entonces se dirá que el producto diverge, si se preguntan el por que no puede converger a cero, es por que si consideraramos el valor P = 0 cualquier producto con un factor cero seria convergente y la convergencia no dependeria de los demas factores, por lo que la siguiente definición es necesaria. Definición 3.2. En general, aceptamos decir que un producto infinito. ∞ Y. an existe si. n=1. 1. como máximo, un número finito de factores es cero; y 2. El producto de los términos que no desaparecen existe en el sentido anterior.. Por lo tanto, un producto infinito (convergente) tiene el valor 0 si y solo si uno o un número finito de sus factores es 0. ∞ Y Intuitivamente, para que se tenga la convergencia del producto an se necesita que an → 1, n=1. y asi, log an → 0, veamos: ∞ n ∞ Y Y Y Supongamos que an converge, sea Xn = ak para n ≥ 1, como an converge, diremos n=1. k=1. n=1.

(37) 3.1 Productos infinitos de Números Complejos. 27. que converge a X 6= 0, por definición tanto Xn como Xn−1 son distintos de cero, luego Xn = an Xn−1 haciendo que n → ∞ lı́m. n→∞. Xn = Xn−1 X = X 1 =. lı́m an. (3-1). lı́m an. (3-2). lı́m an. (3-3). n→∞. n→∞ n→∞. por lo tanto, cuando n → ∞, log an → 0. Esto ocurre, excepto para los casos donde el cero esta presente. Asi pues, una condición necesaria para la convergencia de un producto es la convergencia del n-esimo término a 1. Debido a el hecho de que la exponencial de una suma es el producto de las exponenciales ∞ Y an , de los terminos individuales, es posible discutir sobre la convergencia del producto n=1. siempre y cuando el cero no este presente, por medio de la discusión de la convergencia de ∞ X la serie log an . n=1. Ejemplo 3.1. Consideremos ∞ Y n=1. 1 1− n. =0·. 1 2 3 · · · ·· 2 3 4 . para que el producto infinito exista se debe tener que lı́m. n→∞. 12 n−1 ··· 23 n. exista y sea dis-. tinto de cero, pero . 12 n−1 1 lı́m ··· = lı́m = 0 n→∞ n→∞ n 23 n ∞ Y 1 Por lo tanto, el producto infinito 1− no existe, este diverge a 0. (si quitamos el n n=1 ∞ X n−1 cero inicial, esto corresponde al hecho de que no converge). log n n=1 Sin embargo, antes de que entremos a considerar series con la función log, an debe estar restringido para que log an tenga sentido. Ya vimos que si el producto es distinto de cero, entones an → 1 cuando n → ∞. Ası́ que no es ninguna restricción suponer que <(an ) > 0 para todo n..

(38) 28. 3.2.. 3 Productos infinitos. Equivalencia en convergencia de productos y series.. Proposición 3.1. Sea <(an ) > 0 para todo n ≥ 1. Entonces distinto de cero si y solo si la serie. ∞ X. ∞ Y. an converge a un número. n=1. log an converge.. n=1. Demostración. (←) Supongamos que. ∞ X. log an converge, sabemos que:. n=1. Arg. N Y. ! an. =. N X. Arg an + 2kN π. n=1. n=1. para algún kN ∈ Z, y ádemas log. N Y. ! an. =. n=1. N X. log an + 2kN πi. n=1. Donde kN = 0, ±1. Ası́ PN =. N Y. an. n=1 N Y. = exp log. ! an. n=1. = exp. = exp. = exp. N X n=1 N X n=1 N X. ! log an + 2kN πi ! log an e2kN πi ! log an. n=1. Haciendo que N → ∞, y ya que la función exponencial es continua, se tiene que ! ∞ X PN → P = exp log an , n=1. ası́ PN converge a un limite distinto de cero..

(39) 3.2 Equivalencia en convergencia de productos y series.. (→) Asumiendo que P =. ∞ Y. 29. an existe y es distinto de cero, es decir que lı́m PN = P siendo N →∞. n=1. P no nulo. Asumiendo que P 6∈ (−∞, 0) entonces la función log es continua en P y por lo tanto log P = log lı́m PN = lı́m log PN N →∞. N →∞. este último existe. Para todo N definamos CN : = log PN =. N X. log an + 2kN πi. n=1. donde kN = 0, ±1, formando la sucesión {CN }N ∈N cuando N → ∞ esta converge, por lo tanto es de Cauchy, en particular |CN − CN −1 | =. N X. log an + 2kN πi −. N −1 X. log an − 2kN −1 πi. n=1. n=1. = |log aN + 2πi(kN − kN −1 )| < Ası́, cuando N → ∞, | log aN + 2πi(kN − kN −1 )| → 0, como vimos en (3-3), aN → 1 y asi log aN → 0, por lo tanto se debe tener que 2πi(kN − kN −1 ) → 0, entonces kN = kN −1 , de aqui, que la sucesión kN sea eventualmente constante, por lo tanto existe un número entero k tal que para todo N suficientemente grande N X. log an = log PN − 2kπi. n=1. como el lado derecho de la ecuación converge cuando N → ∞, el lado izquierdo de la ecuación tambien lo hará. Por ultimo, lo que queda ver es cuando P 6∈ (−∞, 0), si cada an es real y positivo, entonces P tambien lo será, asi si P ∈ (−∞, 0) debe existir Y al menos un término digamos am el cual 0 no sera un real positivo, en este caso sea P = an este producto convergerá a un punto n6=m. distinto de cero que no esta en el eje real negativo, esto implica que. X. log an converge y. n6=m ∞ X. log an tambien convergerá.. n=1. Proposición 3.2.. ∞ X n=1. lutamente.. log an converge absolutamente si y solo si. ∞ X (1 − an ) converge abson=1.

(40) 30. 3 Productos infinitos. Demostración. Sea an = 1 + αn entonces para |αn | < 1, la serie de Taylor para log esta dada por: ∞ X (−1)k+1 αnk log(1 + αn ) = k k=1 luego | log(1 + αn ) − αn | = = ≤ ≤. αn3 αn4 αn2 + − + ...) − αn (αn − 2 3 4 α2 α3 α4 − n + n − n + ... 2 3 4 2 3 |αn | |αn | |αn |4 + + + ... 2 3 4 |αn | |αn | + |αn |2 + |αn |3 + ... 2. Asumiendo que |αn | ≤ 21 , entonces el lado derecho de la desigualdad en la ultima linea tiene suma como máximo 21 , por lo tanto 1 | log(1 + αn ) − αn | ≤ |αn | 2 de donde se tiene que: 1 1 − αn ≤ log(1 + αn ) − αn ≤ αn 2 2 1 3 αn ≤ log(1 + αn ) ≤ αn 2 2 3 1 |αn | ≤ | log(1 + αn )| ≤ |αn | 2 2 reemplazando an = 1 + αn equivalentemente obtenemos 1 3 |1 − an | ≤ | log an | ≤ |1 − an | 2 2 Asi, debido a la ”dominancia”que nos da la ultima ecuación el resultado se sigue. Ya que se tiene una convergencia absoluta en series puede llegarse a pensar en una convergencia absoluta en productos infinitos. Ası́ pues queremos ver como se define la convergencia ∞ Y absoluta de un producto infinito. Sin embargo, cabe aclarar que si |an | converge no quiere decir que el producto ∞ Y. |an | = 1 y. n=1. decir que. ∞ Y n=1. ∞ Y. ∞ Y. n=1. an converge, tomando an = −1 para todo n, |an | = 1 entonces. n=1. an = ±1 dependiendo de si la cantidad de factores an es par o impar, es. n=1. an no converge. Esto nos lleva a la siguiente definición:.

(41) 3.2 Equivalencia en convergencia de productos y series.. 31. Definición 3.3. Si ∀n <(an ) > 0 entonces se dirá que el producto infinito ∞ Y. an. (3-4). log an. (3-5). n=1. converge absolutamente si la serie ∞ X n=1. converge absolutamente. Esta definición nos pide la convergencia absoluta de la serie (3-5) para garantizar la convergencia absoluta del producto (3-4), de acuerdo con el hecho de que la convergencia absoluta de una serie implica la convergencia de la serie y con la proposición 3.1, tenemos que indirectamente la convergencia absoluta del producto implica la convergencia del producto. Del mismo modo, si un producto converge absolutamente, cualquier reordenación de los términos del producto da como resultado un producto que sigue siendo absolutamente convergente. Combinando, la proposición 3.2 y la definición 3.3 se obtiene el siguiente corolario: Corolario 3.1. Si <(an ) > 0 entonces el producto si la serie. ∞ X. ∞ Y. an converge absolutamente si y solo. n=1. (1 − an ) converge absolutamente.. n=1 ∞ X (1 − an ) converge absolutamente, por la proposiDemostración. (←) Supongamos que n=1. ción 3.2 y la definición 3.3 la prueba es inmediata. (→) Supongamos que. ∞ Y. an converge absolutamente, por la definición 3.3,. n=1. ge absolutamente, y por la proposición 3.2. ∞ X. ∞ X. log an conver-. n=1. (1 − an ) converge absolutamente, finalizando. n=1. la prueba.. 3.2.1.. Productos infinitos de Funciones Complejas. Definición 3.4. Sea G un subconjunto de C y fn : G → C una sucesión de funciones. 1. Si el producto. ∞ Y. fn (z) converge para cada z ∈ S, diremos que el producto converge. n=1. puntualmente en S..

(42) 32. 3 Productos infinitos ∞ Y. 2. Si además la sucesión Pk (z) = fn (z) converge hacia 1 uniformemente en G, n=k+1 Q diremos que el producto ∞ n=1 fn (z) converge uniformemente en G. Proposición 3.3. Sea X un conjunto y sea f, f1 , f2 , ... funciones de X en C tal que fn (x) → f (x) uniformemente para x ∈ X. Si existe una constante a tal que <f (x) ≤ a para todo x ∈ X entonces exp fn (x) → exp f (x) uniformemente para x ∈ X. Demostración. Sea > 0 y se escoje δ > 0, entonces siempre que |z| < δ, se tiene que |ez − 1| < e−a . Ahora debido a la convergencia uniforme, podemos escojer n0 tal que para todo n ≥ n0 se tiene |fn (x) − f (x)| < δ para todo x ∈ X. Asi e−a > |exp[fn (x) − f (x)] − 1| =. exp fn (x) −1 exp f (x). De donde, para todo n ≥ n0 , se tiene que | exp fn (x) − exp f (x)| < e−a | exp f (x)| ≤ para todo x ∈ X. Lema 3.1. Supongamos que {fn } es una sucesión de funciones complejas acotadas en un conjunto Ω, tal que ∞ X |fn (z)| n=1. converge uniformemente en Ω. Entonces el producto f (z) =. ∞ Y. [1 + fn (z)]. n=1. converge uniformemente en Ω, y f (z0 ) = 0 para algún z0 ∈ Ω si y solo si fn (z0 ) = −1 para algún n. Demostración. Ver [8], Página 299. En el siguiente teorema se utiliza la notación H(Ω), esto se usa para denotar el conjunto de todas las funciones holomorfas (o también llamadas analı́ticas) en Ω. Teorema 3.1. Sea una sucesión {fn }n∈N , tal que fn ∈ H(Ω) para todo n tal que fn no es identicamente nula en cualquier componente de Ω, y ∞ X n=1. |1 − fn (z)|. (3-6).

(43) 3.2 Equivalencia en convergencia de productos y series.. 33. converge uniformemente en subconjuntos compactos de Ω. Entonces f (z) =. ∞ Y. fn (z). (3-7). n=1. converge uniformemente en subconjuntos compactos de Ω. Por lo tanto f ∈ H(G). Si a es un cero de f entonces a es un cero de solamente un número finito de funciones fn y la multiplicidad de a en f es la suma de las multiplicidades de los ceros de las funciones fn en a, es decir, tenemos ∞ X m(f ; z) = m(fn ; z) (z ∈ Ω), (3-8) n=1. donde m(f ; z) se define como la multiplicidad del cero de f en z. (Si f (z) 6= 0 entonces m(f ; z) = 0) Demostración. Ya que (3-6) converge uniformemente en subconjuntos de Ω entonces por el lema 3.1 y por el corolario 3.1 el producto (3-7) converge uniformemente y absolutamente en subconjuntos compactos de Ω. Ahora, se sabe que para la convergencia de un producto N Y fn (z), que serán analı́ticos pues infinito se forma una sucesión de productos parciales pN = n=1. fn (z) es analı́tica para todo n ∈ N, esta sucesión converge uniformemente en subconjuntos ∞ Y compactos de Ω, a la función f (z) = fn (z). Ası́ pues, por la proposición 2.1, f (z) ∈ H(Ω). n=1. Para la segunda parte, por hipotesis (3-6) converge en subconjuntos compactos de Ω, particularmente, en B(z0 ; r) ⊂ Ω donde z0 será un cero de f . y por el teorema 1.7 existe a lo mas un número finito de fn que se anulan en z0 y el resto no se anula en z0 y la multiplicidad de z0 en f sera la suma de las multiplicidades de z0 en cada fn . El primer paso o la primera noción de producto de Blaschke lo presentamos en la siguiente proposición y en el corolario que le sigue, sin embargo, se establecerá su definición en el capitulo 4. Proposición 3.4. Sea {an } una sucesión de números complejos con 0 < |an | < 1, 0 < |z| ≤ r<1y ∞ X (1 − |an |) < ∞ (3-9) n=1. entonces el producto infinito ∞ Y |an | an − z B(z) = an 1 − a¯n z n=1 converge en H(D).. (3-10).

(44) 34. 3 Productos infinitos. Demostración. Supongamos que 0 < |a| < 1 y 0 < |z| ≤ r < 1, entonces |a + |a|z| ≤ |a| + |a||z| ≤ |a|(1 + r) y |(1 − āz)a| = |a − |a|2 z| ≥ |a| − |a|2 |z| ≥ |a|(1 − r) Por lo tanto. a + |a|z |a|(1 + r) 1+r |a + |a|z| ≤ = = (1 − āz)a |(1 − āz)a| |a|(1 − r) 1−r. (3-11). Ahora bien, se quiere probar que la serie ∞ X. 1−. n=1. an − z |an | 1 − a¯n z an. (3-12). converge uniformemente en subconjuntos compactos de D y ası́ por el teorema 3.1, tendremos que (3-10) converge uniformemente en subconjuntos compactos de D, y por lo tanto en H(D). Usando la desigualdad (3-11), se tiene que 1−. ya que. ∞ X. an − z |an | 1 − a¯n z an. an − an a¯n z − (an − z)|an | (1 − a¯n z)an an − |an |2 z − |an |an + |an |z = (1 − a¯n z)an an + |an |z (1 − |an |) ≤ (1 − a¯n z)an 1+r ≤ (1 − |an |) 1−r =. (1 − |an |) < ∞, la serie (3-12) converge uniformemente si 0 < |an | < 1 y |z| ≤. n=1. r < 1. Y ya que que para todo n ∈ N, fn (z) esta dada por |an | an − z fn (z) = an 1 − a¯n z entonces fn ∈ H(D) pues es cociente de dos polinomios con dominio D, siempre y cuando 0 < |an | < 1. luego, por el teorema 3.1, el producto (3-10) converge en H(D). La condición presente en la anterior proposición y en el inciso 1 del siguiente lema, es llamada La condición de Blaschke esta tiene una gran responsabilidad de la analı́ticidad de el producto de Blaschke infinito. Existe el reciproco de esta proposición que veremos mas adelante en el capitulo 4, donde se presenta para unas funciones más generales. Lema 3.2. Si {an } es una sucesión en D−{0}, las siguientes proposiciones son equivalentes..

(45) 3.2 Equivalencia en convergencia de productos y series.. 1.. ∞ X. 35. (1 − |an |) < ∞.. n=1. 2.. ∞ Y. |an | converge.. n=1. 3.. ∞ X. log |an | < ∞.. n=1. ∞ Y |an | an − z 4. converge uniformemente y absolutamente en subconjuntos compacan 1 − a¯n z n=1 tos de D.. Demostración. Se debe aclarar que en este caso el inciso 3, nos pide la convergencia de ∞ X log |an |, pero desde la proposición 3.1 en adelante se supúso que <an > 0, y ya que n=1. ∀n ∈ N, |an | > 0, lo postulado en esta sección se satisface para esta serie. ∞ X Además el inciso 1, nos pide la convergencia de (1 − |an |) y el corolario 3.1 nos da la convergencia de la serie 1 converge, cuando. ∞ X. ∞ X. n=1. |1 − an |, pero 1 − |an | ≤ |1 − an | asi que debido a la dominancia. n=1. |1 − an | converge.. n=1. Ahora bien, por el corolario, 3.1 1 y 2 son equivalentes, luego por la proposición 3.1, 2 y 3 son equivalentes. La proposición 3.4 nos dice que 1 implica 4, faltando la convergencia absoluta, sin embargo, por el corolario 3.1 esto se tiene. Y tomando z = 0 en 4, se puede deducir 2, y asi finaliza la prueba del lema..

(46) CAPÍTULO 4 PRODUCTOS DE BLASCHKE Y FUNCIONES DE CLASE NEVANLINNA. Se sabe que para una función f analı́tica y no identicamente nula en un conjunto abierto Ω, tal que B(z0 ; r) ⊂ Ω, el conjunto de ceros de f (z) en B(z0 ; r) es finito. Y también los ceros de f (z) en B(z0 ; r) no pueden ser de orden infinito. Dicho esto, se presenta el siguiente teorema. Teorema 4.1. (Fórmula de Jensen) Supongamos que Ω = B(0; R), y f es una función analt́ica en Ω, f (0) 6= 0, 0 < r < R y a1 , a2 , ...aN son los ceros de f en B(0; r), enumerados según sus multiplicidades. Entonces Z 2π N Y 1 r iθ |f (0)| = exp log |f (re )|dθ |an | 2π 0 n=1 Demostración. Ver [8], Página 308. Equivalentemente log |f (0)| = −. N X n=1. log. r |an |. . 1 + 2π. Z. 2π. log |f (reiθ )|dθ. (4-1). 0. Si f : G → C es una función analı́tica, log |f | sera una función subarmónica en G. De hecho, esta es una consecuencia inmediata de la fórmula (4-1) que se presenta en el siguiente corolario. Corolario 4.1. Sea f (z) una función analı́tica y no idénticamente nula en un conjunto abierto G ⊂ C. Entonces la función log |f (z)| es subarmónica en G..

(47) 4.1 Espacios de Hardy. 37. Demostración. Notesé que tanto |f (z)| como log z son funciones continuas,y por lo tanto su composición log |f (z)| es continua. Ahora bien, supongamos que B(z0 ; r) ⊂ G, Si f (z0 ) 6= 0, aplicando la fórmula de Jensen a la función g:G → G z 7→ f (z0 + z) se obtiene 1 log |f (z0 )| ≤ 2π. 2π. Z. log |f (z0 + reiθ )|dθ. 0. lo cual es claro si f (z0 ) = 0. esta función g es analı́tica en B(0; r + δ) para algún δ > 0 y no se anula en z = 0. Usando el teorema 1.14, veamos que |f (z)|a para cualquier número real 0 < a < ∞ es una función subarmonica, en efecto, pués es la composición de las funciones eat y log |f (z)|, a. ea log |f (z)| = elog |f (z)| = |f (z)|a. (4-2). Nuevamente utilizando el teorema 1.14, para cualquier número real t. Se define log+ t = log t si t ≥ 1 y log+ t = 0 si t < 1 y por lo tanto, log+ |f | es una función subarmonica en G, ya que es composición de una función subarmonica y una función creciente y convexa definiendola como log+ |f (z)| = máx{log |f (z)|, 0}.. 4.1.. Espacios de Hardy. Definición 4.1. Si f : D → C es una función medible y 1 ≤ p < ∞ se define . 1 Mp (r, f ) = 2π. Z. 2π iθ. p. 1/p. |f (re )| dθ. (4-3). M∞ (r, f ) = sup |f (reiθ )|. (4-4). 0. 0≤θ≤2π. El espacio de Hardy H p para 1 ≤ p ≤ ∞ es definido como el espacio de todas las funciones analı́ticas f en D para el cual la norma kf kp ≡ sup Mp (r, f ) < ∞ 0≤r<1. A partir de la teoria del espacio Lp . Para 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞, se tiene que H ∞ ⊂ H p ⊂ H q ⊂ H 1. En particular, H ∞ es el espacio de todas las funciones analı́ticas acotadas en D..

(48) 38. 4 Productos de Blaschke y Funciones de Clase Nevanlinna. Proposición 4.1. Si f : D → C es una función analitica y 1 ≤ p ≤ ∞ entonces kf kp = lı́m− Mp (r, f ).. (4-5). r→1. Demostración. Si demostramos que Mp (r, f ) para 1 ≤ p ≤ ∞ es una función creciente de r, entonces el supremo debe ser igual al limite y se satisface (4-5). Primero asumamos que p es finito, ya que |f (z)|p para 0 < p < ∞ es una función subarmonica, por la proposición 1.4, Mp (r, f ) es una función creciente de r. Ahora si p = ∞, sean r1 , r2 tal que r1 < r2 , por el teorema del modulo maximo se tiene M∞ (r1 , f ) = sup |f (r1 eiθ )| = sup{|f (z)| : z ∈ B(0, r1 )} 0≤θ≤2π. ≤ sup{|f (z)| : z ∈ B(0, r2 )} =. sup |f (r2 eiθ )| 0≤θ≤2π. = M∞ (r2 , f ) Es decir que M∞ (r, f ) tambien es una función creciente de r. Las siguientes dos proposiciones son resultados del teorema de Fatou. Si es del interes del lector, puede revisar todo lo relacionado con este teorema en [4], página 212. Proposición 4.2. Si u es una función no negativa armonica en D, entonces lı́m− u(reiθ ) r→1. existe y es finito en casi toda parte en [0, 2π]. Proposición 4.3. Si 1 ≤ p ≤ ∞ y u : D → C es una función armonica tal que sup kukLp < ∞, 0≤r<1. entonces f (w) ≡ lı́m− u(rw) r→1. existe y es finito en casi toda parte en T. Si 1 < p ≤ ∞, entonces f ∈ Lp (T). Demostración. Ver [4], Pagina 216. Ahora bien, ya que toda función armónica es una funcion analı́tica, para las funciones en H p (D), y para 1 ≤ p ≤ ∞, se define el limite radial, asi f¯(eiθ ) = lı́m− f (reiθ ). (4-6). r→1. por la proposición 4.3 este lı́mite existe y es finito para casi todo θ ∈ [0, 2π], de hecho f¯ ∈ Lp (T) y además Z 2π 1/p 1 iθ p ¯ kf kp = |f (re )| dθ = kf¯kLp (T) 2π 0.

(49) 4.2 Funciones de clase Nevanlinna. 39. De la proposición 4.1 se obtuvo una igualdad fundamental que se utilizará de ahora en adelante. Para 1 ≤ p < ∞ 1/p 1/p Z 2π Z 2π 1 1 iθ p iθ p sup |f (re )| dθ |f (re )| dθ = lı́m r→1− 2π 0 0≤r<1 2π 0 Nota: En [3] en las paginas 270 y 271 se presentan dos teoremas, que nos dice que, Una función f ∈ H p (T) si y solo si f¯ = g ∈ Lp (T) y ĝ(n) = 0 para todo n < 0. Asi, podemos identificar f con f¯, y podemos considerar a H p como el subespacio de aquellas funciones en Lp (T) para las cuales los coeficientes de Fourier son nulos, es decir: Z 1 2π ¯ iθ −inθ ˆ f (e )e dθ = 0 f (n) = 2π 0 para todo n < 0. El espacio H p (T) es un subespacio cerrado de Lp (T), y ya que Lp (T) es un espacio de Banach para 1 ≤ p ≤ ∞, H p (T) tambien lo es. Todo esto tiene cierto sentido importante, pues a partir de esto podemos dar origen a una función armónica y a una función analı́tica. Dada una función f¯ ∈ Lp (T), donde 1 ≤ p ≤ ∞ se puede recuperar una función f armónica en D por medio del kernel de Poisson Pr , como sigue: 1 f (re ) = 2π iθ. Z. 2π. Pr (θ − ϕ)f¯(eiϕ )dϕ. 0. donde r < 1 y f ∈ H p cuando f¯ ∈ H p (T). Ahora supongamos que f¯ ∈ H p (T), entonces f¯ tiene coeficientes de fourier {an }n∈Z iguales a cero para todo n < 0, entonces la función f asociada a f¯ es la función localmente analı́tica ∞ X f (z) = an z n , |z| < 1. n=0. Definición 4.2. Dirémos que f es una función interior si y solo si |f (z)| ≤ 1 para todo z ∈ D y el limite radial dado por (4-6) existe para casi todo θ y el modulo de este es igual a 1 en casi toda parte de T. En particular, si f ∈ H ∞ .. 4.2.. Funciones de clase Nevanlinna. En este apartado del trabajo, se quiere introducir o comentar algo sobre las funciones de Clase Nevanlinna, pues se necesita para el desarrollo y entendimiento de un teorema llamado “El teorema de factorización de F. Riesz” que involucra los productos de Blaschke..

(50) 40. 4 Productos de Blaschke y Funciones de Clase Nevanlinna. Definición 4.3. Una función f esta en la clase Nevanlinna (o es de caracteristica limitada), si f es una función analı́tica en D y Z 2π 1 kf kN = sup log+ |f (reiθ )|dθ < ∞ r<1 2π 0 La clase Nevanlinna es denotada por N . + Se debe Z 2π tener en cuenta que como log |f (z)| es una función subarmónica y tambien continua, 1 log+ |f (reiθ )|dθ es una función creciente de r. Por lo tanto, la definición de una 2π 0 función de Nevanlinna puede debilitarse al estipular únicamente la finitud del supremo sobre una secuencia {rn } con rn → 1. Además, se satisface la siguiente igualdad. 1 sup r<1 2π. Z 0. 2π. 1 log |f (re )|dθ = lı́m− r→1 2π +. iθ. Z. 2π. log+ |f (reiθ )|dθ. 0. p. ya que log x ≤ x para x ≥ 1, se tiene el siguiente resultado. Proposición 4.4. Si 1 ≤ p ≤ ∞, entonces H p ⊂ N . Demostración. Para todo x ∈ (0, ∞), se tiene que log x ≤ x, luego si p > 0, entonces p p log xp ≤ xp luego log x ≤ xp ., y ya que log+ x = máx{log x, 0}, entonces log+ x ≤ xp Ası́, para toda función f ∈ H p Z 2π 1 kf kN = log+ |f (reiθ )|dθ 2π 0 Z 2π 1 ≤ |f (reiθ )|p dθ 2πp 0 1 ≤ [kf kp ]p p < ∞ por lo tanto, f ∈ N . Por lo tanto, cada resultado para la clase Nevanlinna es también resultado para funciones que pertenecen a todas las clases de Hardy. Teorema 4.2. Supongamos que f ∈ N , y f no es identicamente nula en G, y a1 , a2 , a3 , ... son los ceros de f , listados de acuerdo a sus multiplicidades. Entonces ∞ X (1 − |an |) < ∞ n=1. Se supone que f tiene infinitos ceros, ya que si solo tuviera una gran cantidad finita de ceros, la suma tendria finitos terminos y no habria nada que probar..