Guías de onda y líneas de transmisión

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(1)Capítulo 2: G í de Guías d onda d y lí líneas de d transmisión t i ió En el presente capítulo se va a analizar una solución general de las ecuaciones de Maxwell, en un medio sin fuentes,en el que se permitirá i i á la l existencia i i de d variación i ió de d las l magnitudes i d con las tres coordenadas espaciales. Dada la complejidad p j del problema p completo p nos centraremos en problemas que pueden ser descritos sistemas curvilíneos ortogonales con simetría de traslación.. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 1.

(2) Transmisión de energía electromagnética por soporte físico Medios de Transmisión Emisor. Línea Bifilar, Cable coaxial Guías de onda metálicas Estructuras planares Guías de onda dieléctricas: fibra óptica. Receptor. Teoría electromagnética de las ondas guiadas Field Theory of Guided Waves Transparencia tomada de referencia 6 Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 2.

(3) Frecuencias. λ. 1 KHz 10 KHz 100 KHz 1 MHz 10 MHz 100 MHz 1 GHz 10 GHz 100 GHz. 100 THz 1 PHz Transparencia tomada de referencia 6. 100 Km 10 Km 1 Km 100 m 10 m 1 m 10 cm 1 cm 1 mm. 1 μ μm. Medio de Transmisión Denominación. Distancia. Circuitería. A di Audio Muy Baja Frecuencia Baja Frecuencia. Línea Bifilar. Frecuencias Medias Alta Frecuencia Muy alta Frecuencia Ultra alta Frecuencia Microondas Milimétricas. Infrarrojos Visible Ultravioleta. Cable Coaxial. Guías de onda. Fibra Ó Óptica. Circuitos Ci it Impresos P.C.B.. Lí Línea strip t i Línea μ strip Líneas coplanares. guías di lé i dieléctricas planas. Tipo Onda Guiada.

(4) CLASIFICACIÓN DE LOS MEDIOS DE TRANSMISIÓN Dieléctrico Homogéneo g Guía rectangular. Cerrados Multidieléctricos. Dieléctrico Homogéneo. Guía imagen. Guía circular. Línea microstrip. Fin-line Línea trifásica. Línea bifilar. Línea microstrip. Abiertos. Guía coaxial. Línea coplanar. MultiMulti dieléctricos Guía acanalada Fibra salto de índice. Transparencia tomada de referencia 6 Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 4.

(5) INTRODUCCIÓN (I) •. Definición: medio sin fuentes donde pueden variar las magnitudes electromagnéticas con tres coordenadas espaciales. Limitaciones: – Complejidad del problema EM completo – Descripción del problema mediante sistema curvilíneo ortogonal (u1, u2, u3) – Simetría de traslación: u3=cte, planos paralelos entre sí. – Los factores de escala quedan: ∂h1 ∂h2 = 0; uˆ3 = zˆ = ∂u3 ∂u3 Ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia en un medio homogéneo caracterizado por ε y μ en donde no existen fuentes: r r r r 2 ⎧ ⎪ ΔE − γ o E = 0 ∇ × E = − jωμ ⋅ H ⎫ r ⎨ r r r ⎪ 2 ⎪ Tomando rotacionales en las γ Δ H − H =0 ∇ × H = jωε ⋅ E ⎪ o ⎩ r ⎬ dos primeras y considerando 2 2 γ = − ω ⋅ μ ⋅ε ∇⋅E = 0 ⎪ o las otras dos r ⎪ ∇⋅H = 0 ⎭ h3 = 1;. •. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 5. (1).

(6) INTRODUCCIÓN (II) •. Resolución de las ecuaciones (1) (tomamos la del campo eléctrico) – Separación S ió ddell campo longitudinal l r i di l y transversal: l r en componentes r r ΔET + ΔE z − γ o2 ET − γ o2 E z = 0 de traslación – Sistema conrsimetría r ⎧⎪ΔET − γ o2 ET = 0 r. 2 ⎛ Ez ∂ ⎜ ˆ ( ) E E z E ⇒ Δ = Δ ⋅ = Δ + r ⎨ r z z T z ⎜ 2 ∂z 2 ⎪⎩ΔE z − γ o E z = 0 ⎝. •. Aplicando la técnica de separación de variables: E z = FE (u1 , u 2 ) ⋅ Z ( z ). •. L ecuaciones Las i diferenciales dif i l han h de d ser igual i l a una constante t t Δ T FE = γ c2 FE. 1 ∂2Z 2 (3); = γ Z ∂z 2. (4); ⇒ γ. 2 c. ⎞ ⎟ ⋅ zˆ ⎟ ⎠. Δ T FE 1 ∂ 2 Z 2 + − γ =0 o FE Z ∂z 2. =γ −γ ⇒γ +γ =γ 2 o. 2. 2 c. 2. 2 o. k c2 = k 2 − β 2. – constante en la dirección transversal – constante en la dirección longitudinal Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. (2). Microondas-2- 6. (Pozar).

(7) INTRODUCCIÓN (III) • La solución de la ecuación (3) tiene sólo componentes transversales y (4) longitudinales • La forma de esta solución puede ser. Z ( z ) = A ⋅ exp(− γ ⋅ z ) + B ⋅ exp(γ ⋅ z ). Z ( z ) = C ⋅ cosh (γ ⋅ z ) + D ⋅ senh (γ ⋅ z ) – Solución A: formada por ondas progresivas y regresivas: componente longitudinal – Solución B: constituye una onda estacionaria estacionaria.:: componente transversal • El campo en la dirección longitudinal será:. r ⎧⎪ E z = zˆ ⋅ FE (u1 , u 2 ) ⋅ exp(− γ ⋅ z ) ⎨r ⎪⎩ H z = zˆ ⋅ FH (u1 , u 2 ) ⋅ exp(− γ ⋅ z ). d d se hha considerado donde id d sólo ól la l onda d progresiva i Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 7.

(8) CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (I) •. MODOS TEM: transversales electromagnéticos, no hay campo r eléctrico ni magnético r v v longitudinal ∇ × E t = − jω ⋅ μ ⋅ H t E z = 0; H z = 0 r r – las ecuaciones de Maxwell quedan ∇ × H t = jω ⋅ ε ⋅ E t – calculando el rotacional en sentido longitudinal y utilizando la otra ecuación. v v 2 Δ z ET − γ o ⋅ ET = 0 r v ETEM = FET (u1 , u 2 ) ⋅ exp p(− γ o ⋅ z ). – Introduciendo esta expresión en el correspondiente rotacional se puede extraer el r valor del campo magnético transversal como: r zˆ × ET μ. HT =. ; Z TEM = η =. Z TEM ε r r – Los vectores E , H están contenidos en planos perpendiculares a z. r – El vector H se obtiene a partir de la expresión (3) – No confundir la impedancia del modo TEM que coincide con la intrínseca del medio y sólo depende de las características del medio con la impedancia característica que depende del material que rellena la línea y de la forma de la misma i Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 8. ((3)).

(9) CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (II) •. • •. MODOS TM: transversales magnéticos, no existe componente longitudinal del campo v magnético por lo que también se les llama modos E: H z = 0. r ⎧ E z = zˆ ⋅ FE (u1 , u 2 ) ⋅ exp(− γ ⋅ z ) La componente longitudinal es de la forma: ⎪ ⎨ ⎪⎩con FE (u1 , u 2 ) :Δ T FE − γ c2 FE = 0 Tomando las expresiones de los rotacionales, multiplicando por rjwε la primera y tomando r r la segunda Δ z H T − γ o2 H T = jωε∇ T × E z – Ecuación diferencial completa cuya solución homogénea es el modo TEM. – La solución para modos TM:. r jωε jωε ⎫ E z ∇ × E = − ∇ × ˆ⎪ T z T z γ 2 − γ o2 γ c2 r r jωε ⎪ zˆ × ET ⇒ HT = ⎬ r γ γ ⎪ ET = 2 ∇ T E z ⎪⎭ γc r HT =. –. v p p az H está contenido en pplanos perpendiculares Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Z TM. zˆ × ET γ = r = jωε HT Microondas-2- 9.

(10) CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (III) • MODOS TE: transversales eléctricos, no existe componente longitudinal del r campo eléctrico por lo que también se les llama modos H: E z = 0 r ⎧⎪ H z = zˆ ⋅ FH (u1 , u 2 ) ⋅ exp(− γ ⋅ z ) p longitudinal g es de la forma:⎨ • La componente ⎪⎩con FH (u1 , u 2 ) :Δ T FH − γ c2 FH = 0 • Tomando las expresiones de losrrotacionales, multiplicando por jwε la primera y r r tomando d lla segunda d Δ z ET − γ o2 ET = − jωμ∇ T × H z – Ecuación diferencial completa cuya solución homogénea es el modo TEM r ⎫ μ – La solución para modos TM: Er = jωμ ∇ ×H. γ c2 r γ H T = 2 ∇T H z γc T. T. r E está contenido en planos perpendiculares a z. – – Se S puede d ddefinir fi i una impedancia i d i del d l modo d como Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. z⎪. r r γ ⎪ zˆ × ET ⎬ ⇒ HT = jωμ μ ⎪ ⎪⎭ Z TE =. zˆ × ET jωμ r = γ HT. Microondas-2- 10.

(11) CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (IV) •. • • •. •. Cuando no se satisface ninguna de las condiciones anteriores la solución se forma por superposición i ió de d los l casos anteriores. t i La L técnica té i de d separación ió de d variables i bl deja d j de d ser válida cuando la sección no es un cilindro recto. Las condiciones de contorno laterales definen la variación de los modos. Las condiciones en planos z=cte determinan cuántos y cuáles son los modos. La constante de propagación viene determinada γ = γ o = jω με – Por las características del medio: modos TEM 2 2 – Por las características del medio y las condiciones de contorno γ = γ o − γ c La constante de propagación es una función compleja de ω: γ (ω ) = α (ω ) + jβ (ω ) – Constante C t t de d atenuación t ió describe d ib cómo ó varían í las l amplitudes lit d de d los l campos v f (ω ) 2π – Constante de fase la forma cómo varía la fase del campo = λ (ω ) = β (ω ) ω – Longitud de onda: distancia entre dos puntos de igual fase: 2π – Velocidad de fase: velocidad con que se desplazan los planos de fase constante – Dos situaciones: • Modo no se propaga propaga. α (ω ) ≥ β (ω ) Modo se propaga α (ω ) ≤ β (ω ) Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 11.

(12) CONDICIONES DE CONTORNO LATERALES (I) • •. •. Determinan cuántos y cuáles modos son necesarios considerar para obtener la solución completa. completa Casos más comunes – Región limitada por un conductor perfecto sin discontinuidades. – Características de buen conductor – Parte de la superficie límite se encuentra en el infinito n – Discontinuidades en el medio ((línea microstrip) p) τ Condiciones de conductor perfecto: – La región de contorno es un conductor perfecto:. r r r nˆ × E ]C = 0 ⇒ nˆ × (ET + E z )]C. r ⎧nˆ × ET ]C = 0 =0⇒⎨ ⎩E z = 0. (4). – Modos TE: la segunda condición la cumplen automáticamente • De la primera se deriva: r r r r. r nˆ × ET ]C = nˆ × (H T × zˆ )]C = H T (nˆ ⋅ zˆ ) − zˆ (nˆ ⋅ H T )]C = 0 ⇒ (nˆ ⋅ H T )]C = 0 r (nˆ ⋅ H T ) = γ2 ⋅ ⎛⎜ ∂H z nˆ + ∂H z τˆ ⎞⎟ ⋅ nˆ ⇒ ∂H z = ∂FH = 0 ∂n ∂n ∂τ ⎠ γ c ⎝ ∂n. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 12.

(13) CONDICIONES DE CONTORNO LATERALES (II) •. Condiciones de conductor perfecto: – Modos TM: • La condición Ez=0 supone C es una línea de Ez cte, su gradiente es normal r • Tomando la segunda condición de (4):ET tiene dirección normal – Modos TEM: r r • Las condiciones nˆ × ET C = 0; ∇ T × FE = 0 coinciden con el planteamiento de un T problema estático. • Los campos transversales coinciden con los campos estáticos entre conductores r ⎧⎪Δ T Φ (x, y ) = 0 FET = −∇T Φ(x, y )⎫⎪ r r ⎬ ⇒ ⎨⎪Φ (x, y ) = cte C1 ⎪⎭ C ⎩ ∇ ⋅ D = ∇ ⋅ εE • El campo TEM coincide con la solución de un problema electrostático Δ T Φ x, y = 0 C2 • En una región limitada por un recinto simplemente conexo no puede haber modos TEM 2 r r • En una región multiplemente conexa: V12 = Φ1 − Φ 2 = E ⋅ dl 1 • El número de modos TEM independientes es el número de partes de la frontera menos 1. 1 r r • La corriente que fluye viene dada por la ley de Ampere I = H ⋅ dl. ]. (. ∫. ∫. C. • En cada punto de la línea se puede definir unívocamente un voltaje y una corriente Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 13. ).

(14) CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (I) •. Teorema de Green: r * A – Sea un campo vectorial definido a partir de un potencial como: = F (x, y ) ⋅ ∇F (x, y ) r – Cálculo de la divergencia ∇A = ∇F * (x, y ) ⋅ ∇F (x, y ) + F * (x, y ) ⋅ ΔF (x, y ) – Teorema de Green para dos dimensiones r r r r ∇A = A ⋅ dl ⇒ ∇F * (x, y ) ⋅ ∇F (x, y ) + F * (x, y ) ⋅ ΔF (x, y ) = F * (x, y ) ⋅ ∇F (x, y ) ⋅ dl. ∫. St. ∫. ∫. C. ∫. St. C. ∂F r ∇T F ⋅ ∇T F + F ⋅ ΔT F = F ⋅ ⋅ dl St C ∂n Condiciones de contorno de conductor perfecto. ∫. •. (TM ) :FE = 0 ∂F (TE ) : H ∂n. •. •. C. *. ⎫ ⎪ 2 ⎬Δ T F = γ c ⋅ F ⇒ = 0⎪ ⎭. *. ∫. St. ∫. *. ∫. ∇ T F * ⋅ ∇ T F = −γ c2 ⋅ F * ⋅ F ⋅ ds St. 2 Ambas integrales son positivas luego tiene que cumplirse γ c < 0 – la l constante t t de d propagación ió es reall sii ω< < ωc luego l no se propaga y ell modo d está tá all corte t – la constante de propagación es imaginaria si ω> ωc , el modo se propaga − γ c2 La propagación es de tipo paso alto con fc = 2π με Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 14.

(15) CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (II) •. En función del valor de la frecuencia de corte se puede poner:. f c2 γ = ±γ o ⋅ 1 − 2 ; Z TE = ± f. •. •. η 1−. f c2 2. ; Z TM. f c2 = ±η ⋅ 1 − 2 f. f. – El signo + corresponde a f>fC. – El signo - corresponde a f<fc Así ZTE , por debajo del corte, será inductivo y ZTM capacitivo. Representación de la constante de propagación: diagrama de dispersión. Existe un número infinito de soluciones (autofunciones) cada una correspondiéndose con un valor de γ c2 (autovalores). (autovalores) El menor de dicho autovalor corresponde a un modo TE Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 15.

(16) Frecuenciaa. CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (III). ω2 ⎛ − γ2 ⎜ c ⎜ με ⎜ ⎝. ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠. 2. −. β2 ⎛ − γ2 ⎞ ⎜ c ⎟ ⎝ ⎠. 2. =1. β = ω με. β. fc ω = β. c 1−. c2. f c2 f2. c vg =. fc. ∂ω f = c 1− ∂β f. 2 fc 3 fc. ⎛ − γ2 ⎜ c ⎜ με ⎜ ⎝. α. 2 c 2. Frecuencia. fc6 fc5 fc4 fc3 fc2 fc1. T Transparencia i tomada t d de d referencia f i 6. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠. 2. +. α2 ⎛ − γ2 ⎞ ⎜ c ⎟ ⎝ ⎠. 2. α(nep / m), β(1 / m). frecuencia. vf =. vf vg=. ω2. β6 β3. β4. β5. β2. α α5. β1. α1. α2. α3. α6. 4. α(nep / m Microondas-216),. β(1 / m). =1.

(17) CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (IV) •. •. Conclusiones: – Si se traza una recta ω=cte se verán inmediatamente los modos que se propagan. – También se puede obtener la velocidad de fase, que depende de la frecuencia (dispersión) y es siempre mayor que la velocidad de la luz en el medio. – Si la frecuencia es menor qque la frecuencia correspondiente p al menor γ c2 no existe ningún modo que se propague constituyendo dicha fc la frecuencia de corte absoluto. – El modo de menor fc se denomina modo dominante y el resto modos superiores. – En los sistemas capaces de soportar modos TEM no existe frecuencia de corte absoluta Medio con pérdidas (se supone que no hay pérdidas magnéticas): – La constante de propagación será: γ (ω ) = α (ω ) + jβ (ω ) – La permitividad se modifica como: ε = ε '− jε ' ' – Luego queda: 2. ⎧⎪2αβ = ω ⋅ με ' ' γ = (α + jβ ) = γ − γ = −ω ⋅ μ (ε '− jε ' ') − γ ⇒ ⎨ 2 2 2 2 ⎪ α − β = − ω ⋅ με ' − γ c ⎩ – Frecuencia de corte: valor de f que hace α=β f c2 ε ' f c2 ε ' η − γ c2 ; Z TM = η ⋅ 1 − 2 ⋅ γ = γ o ⋅ 1 − 2 ⋅ ; Z TE = fc = 2 ε f f ε fc ε ' 2π με ' 2. 2. 2 o. 2 c. 2. 2 c. 1−. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. f. 2. ⋅. ε. Microondas-2- 17.

(18) CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (V) • Las constantes de atenuación y fase quedan entonces:. (. ) (− ω. 1 ⎡ ⋅ ⎢ − ω 2 ⋅ με '−γ c2 + αd = 2 ⎣. (. ) (− ω. 1 ⎡ ⋅ ⎢− − ω 2 ⋅ με '−γ c2 + β= 2 ⎣ •. •. 2. ⋅ με '−γ 2. ⋅ με '−γ. ε ' ' << ε '. ) + (ω. 2 2 c. 2. ) + (ω. 2 2 c. ). ⎤ ⋅ με ' ' ⎥ ⎦ 2. 2. ). ⎤ ⋅ με ' ' ⎥ ⎦ 2. En el caso que las pérdidas dieléctricas sean pequeñas: – La constante de fase coincide con la obtenida despreciando las pérdidas – La L constante t t de d atenuación t ió vale: l ω 2 ⋅ με ' ε ' ' ω 2 ⋅ με ' αd = ⋅ = ⋅ tg δ 2β 2β ε' Para modos TEM, considerando ε ' ' << ε ' resulta:. ω ⋅ με ' ε ' ' ω ⋅ με ' k αd = ⋅ = ⋅ tgδ = ⋅ tgδ 2 ε' 2 2 Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 18.

(19) ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (I). Condiciones de contorno para conductor perfecto ⎧ ∂H z ⎪⎪ ∂x = 0 en x = 0, a ∂H z TE : =0⇒ ⎨ ∂n ⎪ ∂H z = 0 en y = 0, b ⎪⎩ ∂y TM : E z = 0 en x = 0, a ; y = 0, b. ⎧ ∂2 X ∂ 2Y 2 ⎪Y ⋅ ∂x 2 + X ⋅ ∂y 2 − γ c XY = 0 F ( x, y ) = X ( x)Y ( y ) ⇒ ⎨ ⎪− k 2 − k 2 = γ 2 y c ⎩ x. Aplicando separación de variables y las condiciones de contorno para despejar A=C =0 las constantes, resulta: X ( x, y ) = ( Asenk x x + B cos k x x )⎫ ⎧⎪ γ m ,n. 2 2 2 ⎧ 2 ⎪ γ0 −γc ⎛ mπ ⎞ ⎛ nπ ⎞ 2 = − ω με + ⎜ =⎨ ⎟ +⎜ ⎟ 2 2 a b ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎩ j ⋅ k − k c. N Nomenclatura l P Pozar. mπ nπ ⎬⇒ ⎨ Y ( x, y ) = (Csenk y y + D cos k y y )⎭ ⎪k x = ;ky = b a ⎩ r mπ nπ TE : H z ,mn = zˆ ⋅ P cos x ⋅ cos y ⋅ exp(− γ mn z ) a b r mπ nπ TM : E z ,mn = zˆ ⋅ Qsen x ⋅ sen y ⋅ exp(− γ mn z ) a b. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 19.

(20) ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (II) Modo dominante TE10 f c10 =. 1 2a με. Banda X: a=22.86 mm, b=10.16mm. E y ,10 = −. jωμa. π. P cos. π a. x ⋅ exp(− γ 10 z ). E x ,10 = E z ,10 = 0 H x ,10 =. γa π P ⋅ sen x ⋅ exp(− γ 10 z ) π a. H y ,10 = 0 H z ,10 = P cos. Distribución de campo. π a. x ⋅ exp(− γ 10 z ). Distribución de corriente. Ubicación de modos para el caso a=2b. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 20.

(21) ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (III). Tomado de referencia 4. Distribución de campos en la guía rectangular Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 21.

(22) GUÍA ESTRANGULADA (REENTRANTE O RIDGED). • Ancho A h dde bbanda d dde lla guía í rectangular t l está limitado a una octava. • Los “raíles” disminuyen la frecuencia de corte del fundamental. • La capacidad de transmitir potencia decrece • Posibilidad de adaptar impedancias. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 22.

(23) GUÍAS CIRCULARES (I) Utilización de coordenadas cilíndricas. Condiciones de contorno para conductor perfecto. ⎫ = 0⎪ ρ =a ⎬ ⇒ F ( ρ , ϕ ) = R ( ρ ) ⋅ P (ϕ ) TM : Ez ρ =a = 0 ⎪ ⎭ TE :. zˆ. rˆ zˆ rˆ. φˆ. φˆ. ∂Hz ∂ρ. ⎫ ⎧ 1 ∂2 P 2 1 ∂ ⎛ ∂F ⎞ 1 ∂2 F 2 ρ⋅ + − γ F = 0⎪ ⎪− = kϕ 2 ρ ∂ρ ⎜⎝ ∂ρ ⎟⎠ ρ 2 ∂ϕ 2 c ⎪ ⎪ P ∂ϕ ⎬⇒⎨ 2 2 2 2 2 1 ∂ P ⎪ ⎪ ρ ∂ R ρ ∂R ρ ∂ R ρ ∂R 2 2 + ⋅ − ( γ c2 ρ 2 + kϕ2 ) ⋅ R = 0 + ⋅ − = − γ ρ c 2 2 2 ⎪ R ∂ρ R ∂ρ P ∂ϕ ⎭ ⎪⎩ R ∂ρ R ∂ρ. Las soluciones de ambas ecuaciones son del tipo:. P (φ ) = Asen ( kφ φ ) + B cos( kφ φ ) Modos TE. R ( ρ ) = CJ n (γ c ρ ) + DYn (γ c ρ ). FH ( ρ ,φ ) = ( Asen(nφ ) + B cos(nφ ) )J n (γ c ρ ). Modos TM. FE ( ρ ,φ ) = ( Asen(nφ ) + B cos(nφ ) )J n (kc ρ ). Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 23.

(24) Modos TE ∂H z ∂ρ. GUÍAS CIRCULARES (II) ⎫ ⎪ ' ⎪ pnm ⇒ f c ,nm = 2⎬ ' 2πa με pnm ⎞ ⎪ ⎟⎟ ⎪ a ⎠ ⎭. = 0 ⇒ J n' (γ c ρ ) = 0 ρ =a. γ c ,nm =. ⎛ p ⇒ γ = γ 02 − ⎜⎜ a ⎝ ' nm. Modos TM. E z ( a ,φ ) = 0 ⇒ J n ( k c a ) = 0 γ nm. ⎛p ⎞ = γ − k = γ − ⎜ nm ⎟ ⎝ a ⎠ 2 0. 2 c. f cmn =. 2. pnm 2πa με. 2 0. n. p’n1. p’n2. p’n3. n. pn1. pn2. pn3. 0. 3.832. 7.016. 10.174. 0. 2.405. 5.520. 8.654. 1. 1 841 1.841. 5 331 5.331. 8 536 8.536. 1. 3.832. 7.016. 10.174. 2. 3.054. 6.706. 9.970 2. 5.135. 8.417. 11.620. Distribución de modos. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 24.

(25) GUÍAS CIRCULARES (III). Distribución de campos p en la gguía circular Tomado de referencia 4. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 25.

(26) GUÍAS CIRCULARES (IV). Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 26.

(27) GUÍA DIELÉCTRICA. • Guía de p permitividad εr2 sobre dieléctrico de permitividad εr1. Todo sobre plancha Metálica. • Los campos quedan confinados en el dieléctrico de mayor permitividad. • Soporta modos TE y TM en la medida que toda l energía la í se concentre en ell dieléctrico. di lé i • Ventaja: poco peso, reducidas dimensiones • Problema: grandes pérdidas en empalmes y en dobleces.. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 27.

(28) CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN •. •. • •. Dos características importantes como sistemas de transmisión: C1 C2 – Capacidad p de propagarse p p g a cualquier q frecuencia – Constancia de velocidad de fase lo que supone ausencia de dispersión 2 r r V12 = Φ1 − Φ 2 = E ⋅ dl = V (z ) = Vo exp(− γ ⋅ z ) Retomando la expresión 1 – Vo no depende d d dde los l puntos t elegidos l id – La magnitud V(z) define de forma unívoca el potencial entre los dos conductores Ambos conductores están recorridos por corrientes iguales en sentido contrario. ∫. r r I = H ⋅ dl = I o ⋅ exp(− γ ⋅ z ). ∫. r r C característica Se puede definir una impedancia E ⋅ dl – η depende del medio V 1 Z o = = r r = η ⋅ cte – k depende de la geometría de la línea I H ⋅ dl – Resultado independiente de z C El concepto de línea de transmisión se asocia a cualquier sistema transmitiendo un modo TEM. Permite introducir los sistemas funcionando como circuitos con las constantes R, G, L y C cuando las dimensiones transversales sean pequeñas. 2. ∫. ∫. • •. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 28.

(29) CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN (II) •. Consideremos un cuadripolo simétrico (a=d) I1 V1. •. •. I2. Si es recíproco í. V1 = aV2 + bI 2 ⎫ ⎧V2 = V1 ⋅ exp(− γ o l ) 2 ⎬ ⇒ a − bc = 1⎨ I1 = cV2 + aI 2 ⎭ ⎩ I 2 = I1 ⋅ exp(− γ o l ). V2. Introduciendo las ecuaciones de propagación en las del cuadripolo ⎧b = Z o senh (γ o l ) ⎪ ⎧⎪exp(γ l ) = a 2 + bc senh (γ o l ) ⎪ o ⇒ = c ⎨ ⎨ 2 Zo ⎪⎩exp(− γ o l ) = a − bc ⎪ ⎪⎩a = cosh (γ o l ) a z11 − z12 z11 − z12 Formando la red en T: z11 = c. z12 a 2 −bc =1 = z 21 = z 22 =. 1 c. z12. a c. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 29.

(30) CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN (III) •. Introduciendo los valores: cosh (γ o l ) − 1 Z = Zo senh (γ o l ). Z = Zo. Y=. •. En el caso en que l sea muy pequeña: Z = Zo. (γ ol ). Carácter inductivo Capacidad más conductancia. 2. Y=. (γ ol ). Z = Zo. (γ ol ). Zo. 2. senh (γ o l ) Zo. coshh (γ o l ) − 1 senh (γ o l ). μ Z o = η ⋅ cte = cte ⋅ ε γ o = − ω 2 ⋅ μ ⋅ε. l ⎫ Z = jωμ ⋅ k ⋅ ⎪⎪ 2 ⎬ε = ε '− jε ' ' = ε '⋅(1 − j tg δ ) ε'⎞ ⎛ ωε ' ' Y =⎜ + jω ⋅ ⎟ ⋅ l ⎪ k ⎠ ⎪⎭ ⎝ k. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 30.

(31) CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN (IV) •. El circuito equivalente (en ausencia de pérdidas en conductores) queda:. L. l 2. Cl. Gl. •. ⎫ ⎪ l L= μ⋅ η L ⎪ 2 ⎪ ωε ' 'η G= = ω ⋅ C ⋅ tan δ ⎬ Zo ⎪ ⎪ η C = ε '⋅ ⎪ Zo ⎭ Zo. L C Z γ o = G ⋅ o + jω ⋅ LC 2 Zo =. Expresiones sin pérdidas en los conductores y con bajas pérdidas en el dieléctrico. Simplificaciones adicionales: – A: Líneas de muy alta impedancia: carácter inductivo Z = L o C – B: Líneas de muy baja impedancia: carácter capacitivo Zo R γ = ⋅ + + jω ⋅ LC = α d + α c + jβ G – C: Pérdidas en los conductores 2 2⋅Z o. Ll. A. B. Cl. R. l 2. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. L. l 2. L Gl. Cl. l 2. C Microondas-2- 31. R. l 2.

(32) LÍNEA COAXIAL (I). • Dos formas de resolución: a p partir del problema p electrostático o a partir p de la ecuación de Helmholtz. ωε ' ' ω 2πε ' ' ⎧ G = = b • Problema electrostático: ⎪ b ln K C=. ln b η 2πε ' ε ' ⎪ = ⇒ K = a ⇒ Z0 = η ⋅ K = ln ⇒ ⎨ a b K π 2 π 2 a ⎪ ln μ b ln a ⎪ L = μK = 2π a ⎩. • El cable coaxial es capaz de soportar modos superiores TE o TM Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 32.

(33) LÍNEA COAXIAL (II) Es necesario conocer los valores de la función potencial Φ(ρ,φ) E Ecuaciones i a considerar: id. • •. ρ ∂ ⎛ dR ⎞ − 1 d 2 P ⎜ρ ⎟= R ∂ρ ⎜⎝ dρ ⎟⎠ P dφ 2. 1 ∂ ⎛ ∂Φ ( ρ , φ ) ⎞ 1 ∂ 2 Φ ( ρ , φ ) ⎟+ ⎜ρ =0 ρ ∂ρ ⎝⎜ ∂ρ ⎠⎟ ρ 2 ∂φ 2. d 2P + kφ2 P = 0 2 dφ. Φ ( ρ , φ ) = R ( ρ ) P (φ ). •. Soluciones: P (φ ) = Asen ( kφ φ ) + B cos( kφ φ ). ρ ∂ ⎛ dR ⎞ 2 ⎜ρ ⎟ − kφ = 0 R ∂ρ ⎜⎝ dρ ⎟⎠. ∂ ⎛ dR⎞ V lnb ρ ⎜⎜ ρ ⎟⎟ = 0 ⇒Φ(ρ,φ) = 0 ∂ρ ⎝ dρ ⎠ lnb a V0 e(ρ,φ) = −∇t Φ(ρ,φ) = ρˆ ρ lnb a I 1 h(ρ,φ) = zˆ ×e(ρ,φ) = 0 φˆ ZTEM 2πρ Z0 =. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. V0. I0. =. η ln b a 2π Microondas-2- 33.

(34) TECNOLOGÍAS PLANAS •. •. Características: – Coste C económico. ó i Chapa Ch barata b y proceso de d fabricación f b i ió sencillo ill mediante di fotograbado. – Reducido p peso qque los hace ligeros. g – Dimensiones reducidas – Permiten la integración de circuitos MIC (Microwave integrated circuits) y MMIC (M (Monolithic li hi Mi Microwave IIntegrated d Ci Circuits) i ) – Están formados por materiales metálicos y dieléctricos. Opciones tecnológicas: – Línea stripline (triplaca) – Línea microstrip – Línea coplanar – Línea de ranura. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 34.

(35) LÍNEA STRIPLINE (TRIPLACA): INTRODUCCIÓN • • • •. •. •. vp ϖ 1 2π ⋅ f = ⇒λ = vp = = π 2 β f με λ. β=. ϖ vp. Se puede considerar derivada de la coaxial. Proceso de construcción: superposición de placas Recinto doblemente conexo: modos TEM También soporta modos TE y TM que conviene eliminar – Tornillos entre los planos de masa – Separación entre planos menor de λ/4 Análisis: – Expresiones semiempíricas – Ábacos y curvas – Aproximación electrostática. Formulación:. = ϖ μ0ε 0ε r = γ 0 ε r. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Z0 =. L LC 1 = = C C v pC. Microondas-2- 35.

(36) LÍNEA STRIPLINE: FORMULACIÓN Impedancia peda c a ca característica ac e s ca. Anchura de la línea. 30π. b Z0 = ε r We + 0.441b. ⎧ W ⎪x =⎨ b ⎪ ⎩0.85 − 0.6 − x. Atenuación en los conductores. for for. ⎧ W for 0 > 0.35 We W ⎪⎪ b = −⎨ b b ⎪ W 2 ( 0 . 35 − ) < 0.35 W b for ⎪⎩ b. ε r Z 0 < 120 ε r Z 0 > 120. x=. 30π − 0.441 ε r Z0. ⎧ 2.7 ⋅10 −3 ⋅ Rsε r Z o A para ε r Z 0 < 120 ⎪⎪ ( ) 30 π b t − αc = ⎨ Np p/m 0 . 16 R s ⎪ B para ε r Z 0 > 120 ⎪⎩ Z 0b A = 1+. 2W 1 (b + t ) (2b − t ) + ⋅ ln (b − t ) π (b − t ) t. B = 1+. b 0.414t 1 4πW ⎞ ⎛ ln ⋅ ⎜ 0.5 + + ⎟ (0.5W + 0.7t ) ⎝ W 2π t ⎠. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 36.

(37) LÍNEA STRIPLINE: ÁBACOS. Tomado de referencia 5. Impedancia p característica de la línea triplaca p en función de sus parámetros: anchura (W), grosor (b) y espesor de metal (t) Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 37.

(38) LÍNEA MICROSTRIP: INTRODUCCIÓN • •. •. 1 ϖ c = = β με εe ϖ β = = ϖ μ0ε 0ε e = k0 ε e. vp =. vp. •. Proceso de construcción: placa fotograbada Recinto NO doblemente conexo conexo*:: no soporta modos TEM sino cuasi TEM que son una superposición híbrida de modos TE y TM que conviene eliminar. Aplicaciones: – Estructuras de transmisión: pocos campos desbordados, altas permitividades, bajos espesores. – Estructuras radiantes: gran campo desbordado bajas permitividades, espesores grandes. grandes Análisis: – Expresiones semiempíricas – Ábacos y curvas – * Recinto simplemente conexo es aquel en el que se puede ir desde cualquier punto del q línea sin salirse recinto a otro ppor cualquier del recinto. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 38.

(39) LÍNEA MICROSTRIP (II) Concepto de permitividad efectiva. 1 < εe < εr. εe =. Modelo con medio homogéneo de permitividad efectiva εe. Anchura de línea. At Atenuación ió. 2. +. 2. 1 1 + 12 d W. Impedancia característica. ⎧ 60 ⎛ 8d W ⎞ ln⎜ + ⎟ ⎪ W 4 d ε ⎝ ⎠ ⎪ Z0 = ⎨ e 120π ⎪ ⎪ ε e [W d + 1.393 + 0.667 ln (W d + 1.444 )] ⎩. ⎧ 8e A ⎪ W ⎪ e2 A − 2 =⎨ 0.61 ⎫⎤ εr −1 ⎧ d ⎪2 ⎡ ⎨ln( B − 1) + 0.39 − ⎬⎥ ⎢ B − 1 − ln (2 B − 1) + 2ε r ⎩ ε r ⎭⎦ ⎪⎩π ⎣. αd =. εr +1 εr −1. for W d < 2 for W d > 2. for W d ≥ 1. Z0 ε r + 1 ε r − 1 ⎛ 0.11 ⎞ ⎜⎜ 0.23 + ⎟ + εr +1⎝ ε r ⎟⎠ 60 2 377π B= 2Z 0 ε r A=. k tan δ ε r (ε e − 1) k0 tan δ ε r (ε e − 1) = Np m 2 ε e (ε r − 1) 2 ε e (ε r − 1). Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. for W d ≤ 1. αc =. Rs Np m Z 0W. Microondas-2- 39. Rs =. ϖμ0 2σ.

(40) LÍNEA MICROSTRIP (III). Tomado de referencia 5. Impedancia característica y permitividad efectiva de la línea microstrip en función de sus parámetros: anchura (W), altura de substrato (h) Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 40.

(41) LÍNEA DE RANURA. • Es la línea dual de la microstrip pero con campos magnéticos • Soporta modos cuasi TEM • La eficiencia es menor que la microstrip • Modificando M difi d la l separación ió entre placas l se consigue i variar i la l impedancia. i d i Se S consiguen fácilmente impedancias altas aumentando la separación entre placas.. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 41.

(42) LÍNEA COPLANAR. • Es como una línea slotline pero con un conductor central • El voltaje de la señal es aplicado entre el conductor central y los planos de masa. • Soporta modos cuasi-TEM pares o impares ε +1 ε = r e • Constante C t t dieléctrica di lé t i efectiva: f ti 2 • Menos dispersión que la microstrip en bajas frecuencias ⎧ η • Formulación: ⎛ a ⎞ ln⎜⎜ 2 ⎪ ⎪π ε e ⎝ W Z0 = ⎨ ⎪ πη ⎡ln⎛⎜ 2 1 + ⎪4 ε ⎢ ⎜ 1− e ⎢ ⎣ ⎝ ⎩. ⎟ ⎟ ⎠. for 0 < W a ≤ 0.173. W a a ⎞⎤ ⎟⎥ W a W ⎟⎠⎥⎦. −1. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. for 0.173 < W a < 1. Microondas-2- 42.

(43) TABLA COMPARATIVA (I): tipos de estructuras de transmisión. Tomado de referencia 4. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 43.

(44) TABLA COMPARATIVA (II). Características. Coaxial. Guía onda. Stripline. Microstrip. Modos: Habitual Secundario. TEM TM,TE. TE10 TM,TE. TEM TM,TE. Cuasi-TEM Híbrido TM,TE. Dispersión. No. Media. No. Baja. Ancho de Banda. Alto. Bajo. Alto. Alto. Pérdidas. Medias. Bajas. Altas. Altas. Capacidad de Potencia. Media. Alta. Baja. Baja. Tamaño. Grande. Grande. Medio. Pequeño. Dificultad de Fabricación. Media. Media. Fácil. Fácil. Integración con otros Elementos. Difícil. Difícil. Regular. Fácil. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 44.

(45) MATERIALES EN MICROONDAS. Tomado de referencia 1 Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 45.

(46) BIBLIOGRAFÍA. 1. Wadell, B.C.: "Transmisión Line Design Handbook", Artech House, 1991. g g Second Edition 1998,, John Wiley&Sons. y 2. David M.Pozar: "Microwave Engeneering" (capítulo 3) 3. Robert E. Collin: "Foundations for microwave engineering" New York McGraw-Hill, 99 . (cap (capítulo tu o 3) 1992. 4. Ramo, Whinnery y Van Duzer: “Fields and waves in communication electronics” John Wiley 1969. 5 Bahl y Bhartia: "Microwave 5. Microwave Solid State Circuit Design Design", Wiley Interscience, Interscience 1988. 1988 (capítulo 2) 6. Harlan Howe: "Stripline Circuit Design"; Microwave Associates Burlington; Artech House 1974 1974. 7. J. Esteban, M. A. González, M. Lambea y J. Rebollar; “Enfoque para el estudio de ondas guiadas en la ETSIT-UPM”, URSI Symposium Nacional, Oviedo 2006. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías. Microondas-2- 46.

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