Guías de onda y líneas de transmisión

Capítulo 2:

G í

d

d

lí

d t

i ió

Guías de onda y líneas de transmisión

En el presente capítulo se va a analizar una solución general

de las ecuaciones de Maxwell, en un medio sin fuentes,en el

i i á l

i

i d

i ió d l

i d

que se permitirá la existencia de variación de las magnitudes

con las tres coordenadas espaciales.

Dada la complejidad del problema completo nos centraremos

p j

p

p

en problemas que pueden ser descritos sistemas curvilíneos

Transmisión de energía electromagnética por soporte

físico

Medios de Transmisión

Emisor

_{Línea Bifilar, Cable coaxial}

Receptor

Guías de onda metálicas Estructuras planares Estructuras planares

Guías de onda dieléctricas: fibra óptica

Teoría electromagnética de las ondas guiadas

Field Theory of Guided Waves

Field Theory of Guided Waves

Microondas-2- 2

Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.

Frecuencias

1 KHz

λ

_{Denominación}

A di

Medio de Transmisión Distancia Circuitería

Tipo Onda Guiada

1 KHz 10 KHz

Audio

Muy Baja Frecuencia

Baja

100 Km

10 Km BifilarLínea

Ci it

100 KHz 1 MHz

Baja Frecuencia Frecuencias

Medias

1 Km 100 m

Circuitos Impresos

P.C.B.

10 MHz 100 MHz

Alta Frecuencia

Muy alta Frecuencia

100 m

10 m Cable

Coaxial

Lí t i

1 GHz 10 GHz

Frecuencia Ultra alta Frecuencia

Microondas

1 m

10 cm _Guías Línea μ strip

Línea strip

10 GHz 100 GHz

Microondas

Milimétricas

1 cm 1 mm

de

onda _coplanaresLíneas

100 THz Infrarrojos

Fibra Ó

guías di lé i

1 μm

1 PHz Visible Óptica dieléctricas

CLASIFICACIÓN DE LOS MEDIOS DE TRANSMISIÓN

Dieléctrico

Homogéneo

Cerrados

Cerrados

g

Guía

rectangular Guía circular

Guía coaxial

Multi-dieléctricos

_{Guía imagen Línea microstrip Fin-line}

Dieléctrico

Línea bifilar

Línea trifásica

Abiertos

Homogéneo

Multi

Línea microstrip Línea coplanar

Multi-dieléctricos

Guía acanalada

Fibra salto de índice Fibra salto de índice

Microondas-2- 4

INTRODUCCIÓN (I)

• Definición: medio sin fuentes donde pueden variar las magnitudes electromagnéticas con tres coordenadas espaciales. Limitaciones:

– Complejidad del problema EM completo – Descripción del problema mediante

sistema curvilíneo ortogonal (u u u ) sistema curvilíneo ortogonal (u₁, u₂, u₃) – Simetría de traslación: u₃=cte,

planos paralelos entre sí.

– Los factores de escala quedan:

z u

u h u

h

h 1; 0; ˆ₃ ˆ

3 2

3 1

3 _∂ = =

∂ = ∂

∂

=

• Ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia en un medio homogéneo caracterizado por ε y μ en donde no existen fuentes:

u u₃ ∂ ₃

∂

⎫ ⋅ −

= ×

∇ Er jωμ Hr ⎪⎧ΔEr −γ 2Er = 0

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫

= ⋅ ∇

⋅ =

× ∇

⋅ −

= × ∇

0

E

E j

H

H j

E

r

r r

ωε ωμ

Tomando rotacionales en las dos primeras y considerando

las otras dos γ ω μ ε

γ γ

⋅ ⋅ − = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= −

Δ Δ

2 2

2 ₀

0

o

o o

H H

E E

r

r

₍₁₎

⎪ ⎭ =

⋅

∇ r 0

INTRODUCCIÓN (II)

• Resolución de las ecuaciones (1) (tomamos la del campo eléctrico)

S

ió d l

l

i di l

l

– Separación del campo en componentes longitudinal y transversal:

– Sistema con simetría de traslación

0

2

2

₋

₌

−

Δ

+

Δ

E

r

_T

E

r

_z

γ

_o

E

r

_T

γ

_o

E

r

_z

Sistema con simetría de traslación

(

)

z

z E E z E E E E E E _z z T z z z o z T o

T _{ˆ ˆ}

0 0 2 2 2 2 ⋅ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + Δ = ⋅ Δ = Δ ⇒ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − Δ = − Δ r r r r r γ γ

• Aplicando la técnica de separación de variables:

L

i

dif

i l h

d

i

l

t t

(

u

u

) ( )

Z

z

F

E

_z

=

_{E 1}

,

₂

⋅

0

1 ₂ 2 2 = − ∂ ∂ + Δ o E E T z Z Z F

F _γ

(2)

• Las ecuaciones diferenciales han de ser igual a una constante

( )

2

( )

2 2 2 2 2 2

2 2

2 _{3 ;} 1 _{4 ;}

o c o c c E E T z Z Z F

F

_γ

_γ

_γ

_γ

_γ

_γ

_γ

_γ

= + ⇒ − = ⇒ = ∂ ∂ =

Δ

k

_c2

=

k

2

−

β

2

(Pozar)

– constante en la dirección transversal

– constante en la dirección longitudinal

E (Pozar)

Microondas-2- 6

INTRODUCCIÓN (III)

• La solución de la ecuación (3) tiene sólo componentes transversales y (4)

longitudinales

longitudinales

• La forma de esta solución puede ser

( )

z

A

(

z

)

B

( )

z

Z

( )

=

exp

(

γ

)

+

exp

( )

γ

( )

z

C

( )

z

D

( )

z

Z

z

B

z

A

z

Z

⋅

⋅

+

⋅

⋅

=

⋅

⋅

+

⋅

−

⋅

=

γ

γ

γ

γ

senh

cosh

exp

exp

– Solución A: formada por ondas progresivas y regresivas: componente

longitudinal

– Solución B: constituye una onda estacionaria : componente transversal

Solución B: constituye una onda estacionaria.: componente transversal

• El campo en la dirección longitudinal será:

(

)

(

)

⎪⎧

E

r

_z

=

z

ˆ

⋅

F

_E

u

₁

,

u

₂

⋅

exp

−

γ

⋅

z

d d

h

id

d

ól l

d

i

(

)

(

)

(

)

(

)

⎪⎩

⎪

⎨

⋅

−

⋅

⋅

=

z

F

u

u

z

H

z

u

u

F

z

E

H z

E z

γ

γ

exp

,

ˆ

exp

,

2 1

2 1

r

CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (I)

• MODOS TEM: transversales electromagnéticos, no hay campo eléctrico ni magnético longitudinal _Ev _{0 H}v ₀

∇

×

E

r

=

−

j

ω

⋅

μ

⋅

H

r

longitudinal

– las ecuaciones de Maxwell quedan

– calculando el rotacional en sentido longitudinal y utilizando la otra ecuación

0 ;

0 =

= _z

z H

E

t t

t t

E

j

H

H

j

E

r

r

₌

_⋅

_⋅

×

∇

=

×

∇

ε

ω

μ

ω

(

u

u

)

(

z

)

F

E

E

E

o E

TEM

T o

T z

T

⋅

−

⋅

=

=

⋅

−

Δ

γ

γ

exp

,

0

2 1 2

r

v

v

v

– Introduciendo esta expresión en el correspondiente rotacional se puede extraer el valor del campo magnético transversal como:

(

)

(

_o

)

E

TEM _T 1 2

p

γ

μ

η

=

=

×

=

T _TEM

T

Z

Z

E

z

H

ˆ

;

r

r

(3)

– Los vectores están contenidos en planos perpendiculares a z. – El vector se obtiene a partir de la expresión (3)

ε

TEM TEM

T

Z

H Er, r Hr

( )

– No confundir la impedancia del modo TEM que coincide con la intrínseca del medio y sólo depende de las características del medio con la impedancia

característica que depende del material que rellena la línea y de la forma de la i

Microondas-2- 8

Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.

CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (II)

• MODOS TM: transversales magnéticos, no existe componente longitudinal del campo magnético por lo que también se les llama modos E: Hv = 0

magnético por lo que también se les llama modos E:

• La componente longitudinal es de la forma:

0 = z H

(

)

(

)

(

)

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

Δ

⋅

−

⋅

⋅

=

0

exp

,

ˆ

2 2 1 E z

F

F

F

z

u

u

F

z

E

r

γ

• Tomando las expresiones de los rotacionales, multiplicando por jwε la primera y tomando la segunda

(

)

⎪⎩

con

F

_E

u

₁

,

u

₂

:

Δ

_T

F

_E

−

γ

_c2

F

_E

=

0

z T

T o T

z

H

H

j

E

r

r

r

×

∇

=

−

Δ

γ

2

ωε

– Ecuación diferencial completa cuya solución homogénea es el modo TEM. – La solución para modos TM:

z T

T o T

z

γ

j

j

j

ωε

ωε

⎫

T T z T c z T o T

E

z

j

H

z

E

j

E

j

H

r

r

r

r

r

×

=

⇒

⎪

⎪⎪

⎬

⎫

×

∇

−

=

×

∇

−

=

ˆ

ˆ

2 2 2

γ

ωε

γ

γ

ωε

γ

γ

ωε

– está contenido en planos perpendiculares a z

z T c T

E

E

r

⎪

⎪

⎭

∇

=

₂

γ

γ

γ

Hv γ

j H

E z

Z_TM = ˆ×r T =

p p p _ωε

j

H_T

CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (III)

• MODOS TE: transversales eléctricos, no existe componente longitudinal del

campo eléctrico por lo que también se les llama modos H:

_Er ₀

campo eléctrico por lo que también se les llama modos H:

• La componente longitudinal es de la forma:

0

=

z

E

(

)

(

)

(

)

⎪

⎪

⎨

⎧

₌

ˆ

_⋅

_,

_⋅

_exp

₋

_⋅

2 2

1 H

z

z

F

u

u

z

H

r

γ

p

g

• Tomando las expresiones de los rotacionales, multiplicando por jw

ε

la primera y

d l

d

(

)

⎪⎩

⎨

=

−

Δ

0

:

,

₂ 2

1 T H c H

H

u

u

F

F

F

con

γ

H

j

E

E

r

r

∇

r

Δ

2

tomando la segunda

– Ecuación diferencial completa cuya solución homogénea es el modo TEM

– La solución para modos TM:

z T

T o T

z

E

−

E

=

−

j

∇

×

H

Δ

γ

2

ωμ

H

j

E

r

ωμ

∇

r

⎫

La solución para modos TM:

T T

z T

c T

E

z

j

H

H

H

H

j

E

r

r

r

_⎪

⇒

=

×

⎪⎪

⎬

⎫

∇

×

∇

=

ˆ

2

ωμ

γ

γ

γ

μ

–

está contenido en planos perpendiculares a z

S

d d fi i

i

d

i d l

d

z T c

T

j

H

H

⎪

⎪

⎭

∇

=

₂

μ

γ

γ

Er _ωμ

j E

z

Z_TE = ˆ× T =

Microondas-2- 10

Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.

– Se puede definir una impedancia del modo como

Z _{H γ}

CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (IV)

• Cuando no se satisface ninguna de las condiciones anteriores la solución se forma por i ió d l t i L té i d ió d i bl d j d superposición de los casos anteriores. La técnica de separación de variables deja de ser válida cuando la sección no es un cilindro recto.

• Las condiciones de contorno laterales definen la variación de los modos.

• Las condiciones en planos z=cte determinan cuántos y cuáles son los modos. • La constante de propagación viene determinada

– Por las características del medio: modos TEM

με ω γ

γ = _o = j

– Por las características del medio y las condiciones de contorno • La constante de propagación es una función compleja de ω:

C t t d t ió d ib ó í l lit d d l

2 2

c o γ

γ

γ = −

( ) ( )

ω α ω β

( )

ω

γ = + j

– Constante de atenuación describe cómo varían las amplitudes de los campos – Constante de fase la forma cómo varía la fase del campo

– Longitud de onda: distancia entre dos puntos de igual fase:

( )

( )

( )

π

ω

ω

ω

β

π

ω

λ

2 2 ₌ vf

=

– Velocidad de fase: velocidad con que se desplazan los planos de fase constante – Dos situaciones:

• Modo no se propaga Modo se propaga

π

2

( ) ( )

ω β ω

α ≥ α

( ) ( )

ω ≤ β ω

CONDICIONES DE CONTORNO LATERALES (I)

• Determinan cuántos y cuáles modos son necesarios considerar para obtener la solución completa

completa.

• Casos más comunes

– Región limitada por un conductor perfecto sin discontinuidades. – Características de buen conductor

– Parte de la superficie límite se encuentra en el infinito – Discontinuidades en el medio (línea microstrip)

n

( p)

• Condiciones de conductor perfecto:

– La región de contorno es un conductor perfecto:

τ

]

⎧ ×

n

ˆ

E

r

0

– Modos TE: la segunda condición la cumplen automáticamente

]

(

)

]

]

⎩

⎨

⎧

=

=

×

⇒

=

+

×

⇒

=

×

0

0

0

ˆ

0

ˆ

z C T C z T C

E

E

n

E

E

n

E

n

r

r

r

₍₄₎

• De la primera se deriva:

]

(

)

]

( )

(

)

]

(

)

]

(

ˆ

)

ˆ ˆ ˆ 0

0 ˆ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = ∂ = ∂ ⇒ ⋅ ⎟ ⎞ ⎜ ⎛∂ ₊ ∂ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅ = × × = × F H n H n H H n H n H n z z n H z H n E n H z z z C T C T T C T C T τ γ r r r r r r Microondas-2- 12

Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.

(

)

₂ =0

∂ = ∂ ⇒ ⋅ ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ ∂ + ∂ ⋅ = ⋅ n n n n n H n c

CONDICIONES DE CONTORNO LATERALES (II)

• Condiciones de conductor perfecto: – Modos TM:Modos TM:

• La condición E_z=0 supone C es una línea de E_z cte, su gradiente es normal • Tomando la segunda condición de (4): tiene dirección normal

– Modos TEM:

T

Er

Modos TEM:

• Las condiciones coinciden con el planteamiento de un problema estático.

• Los campos transversales coinciden con los campos estáticos entre conductores

]

0; 0

ˆ×ET C = ∇T ×FE_T =

n r r

Los campos transversales coinciden con los campos estáticos entre conductores

• El campo TEM coincide con la solución de un problema electrostático

( )

⇒ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⋅

∇ = ⋅ ∇

Φ −∇ =

E D

y x F_{E T}

T

r r

r

ε

,

( )

( )

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= Φ

= Φ

Δ

cte y

x y x

C T

,

0 ,

( )

=

0

Φ

Δ

_T

x

y

C

₁

C

_{• En una región limitada por un recinto simplemente conexo no puede haber modos TEM}El campo TEM coincide con la solución de un problema electrostático

• En una región multiplemente conexa:

• El número de modos TEM independientes es el número de partes de la frontera menos 1

( )

,

0

Φ

Δ

_T

x

y

∫

⋅ =

Φ − Φ

= 2

1 2 1

12 E dl

V r r

C

₂

• El número de modos TEM independientes es el número de partes de la frontera menos 1. • La corriente que fluye viene dada por la ley de Ampere

• En cada punto de la línea se puede definir unívocamente un voltaje y una corriente

∫

⋅ =

C

l d H I r r

CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA

CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (I)

CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (I)

• Teorema de Green:

– Sea un campo vectorial definido a partir de un potencial como: Ar = F*

( )

x,y ⋅∇F

( )

x, y

– Cálculo de la divergencia

– Teorema de Green para dos dimensiones

( )

x y F

( )

x y F

( )

x y F

( )

x y F

A =∇ * , ⋅∇ , + * , ⋅Δ , ∇r

( )

( )

( )

( )

_∫

( )

( )

∫

∫

∫

∇Ar

∫

Ar dlr ⇒

∫

∇F*

( )

∇F

( )

+ F*

( )

ΔF

( )

∫

F*

( )

∇F

( )

dlr

∫

∇ = ⋅ ⇒ ∇ ⋅∇ + ⋅Δ = ⋅∇ ⋅

C S

C

S_t A A dl _t F x, y F x,y F x,y F x,y F x, y F x, y dl

∫

∫

⋅

∂ ∂ ⋅ =

Δ ⋅ + ∇

⋅ ∇

C

S T T T n dl

F F

F F

F F

t

r *

* *

• Condiciones de contorno de conductor perfecto

⇒ ⋅ = Δ

⎪ ⎬ ⎫ ∂

=

F F

F TE

F TM

c T

H E

2

0 )

(

0 :

) (

γ

∫

∇ ⋅∇ = − ⋅

∫

⋅ ⋅

S c

S TF TF F F ds

* 2

*

_γ

• Ambas integrales son positivas luego tiene que cumplirse

l t t d ió l i < l l d tá l t

⎪ ⎭ ⎬ = ∂n

TE T c

C H ₀

: )

( γ

∫

t

∫

St

c

S T T

0

2 _<

c

γ

– la constante de propagación es real si ω< ω_c luego no se propaga y el modo está al corte – la constante de propagación es imaginaria si ω> ω_c , el modo se propaga

• La propagación es de tipo paso alto con

γ

c2

f = −

Microondas-2- 14

Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.

με

π

2 c

CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA

CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (II)

CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (II)

• En función del valor de la frecuencia de corte se puede poner:

2 2

2 2

2 2 2

2

1 ;

1 ;

1

f f Z

f f Z

f

f _c

TM c

TE c

o = ± ⋅ −

− ±

= −

⋅ ±

=

γ

η

η

γ

– El signo + corresponde a f>f_C. – El signo - corresponde a f<f_c

• Representación de la constante de propagación: diagrama de dispersión

f

Así Z_TE , por debajo del corte, será inductivo y Z_TM capacitivo.

Representación de la constante de propagación: diagrama de dispersión

a 2 2

CARACTERÍSTICAS DE LOS

MODOS PARA CONDICIONES DE

CONDUCTOR PERFECTO (III)

Fr ecuenci a 1 2 2 c 2 2 2 c 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _−γ β − ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ με γ − ω με ω β =

CONDUCTOR PERFECTO (III)

f

_c

β

2 2 _α ω 2 2 c f f f 1 c v − = = β

ω

v

f

v

g

=

c

2 c

α

1 2 2 c 2 2 c = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _−γ α + ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ με γ − ω 6 β fr ecuencia

c

f ) m / 1 ( ), m / nep ( β α 3 β β4

5 β f_c6 f_c5 f_c4 f_c3 Frecuencia

f 2 f 3 f

2 2 c g f f 1 c

v = −

∂ ∂ = β ω 2

α α3 4

α α5

6 α 1 β 2 β f_c1 f_c2 Frecuencia

f_c 2 f_c 3 f_c

T i t d d f i 6

) m / 1 ( ), m / nep ( β α 1 α Microondas-2- 16

CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA

CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (IV)

CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (IV)

• Conclusiones:

– Si se traza una recta ω=cte se verán inmediatamente los modos que se propagan. – También se puede obtener la velocidad de fase, que depende de la frecuencia

(dispersión) y es siempre mayor que la velocidad de la luz en el medio.

– Si la frecuencia es menor que la frecuencia correspondiente al menor no existe q p

γ

_c2 ningún modo que se propague constituyendo dicha f_c la frecuencia de corte absoluto. – El modo de menor f_c se denomina modo dominante y el resto modos superiores.

En los sistemas capaces de soportar modos TEM no existe frecuencia de corte absoluta c

γ

– En los sistemas capaces de soportar modos TEM no existe frecuencia de corte absoluta • Medio con pérdidas (se supone que no hay pérdidas magnéticas):

– La constante de propagación será: _γ

( ) ( )

_{ω =α ω + jβ}

( )

_ω – La permitividad se modifica como:

– Luego queda:

''

'

ε

ε

ε

=

−

j

(

+

)

=

−

=

−

⋅

(

−

)

−

⇒

⎪

_⎨

⎧

=

⋅

=

2 2

2 2

2 2

2

_'

_''

2

''

c c

o

j

j

β

γ

γ

ω

μ

ε

ε

γ

αβ

ω

με

α

γ

– Frecuencia de corte: valor de f que hace α=β

(

)

(

)

⎪⎩

⎨

−

⋅

−

=

−

⇒

+

_{2 2 2 2}

'

_c c

c

o

j

j

γ

με

ω

β

α

γ

ε

ε

μ

ω

γ

γ

β

α

γ

2

γ

_c

f = −

γ

γ

1

ε

';

η

;

η

1 2

ε

'

2

2 2

2

⋅ −

⋅ = =

⋅ −

⋅ =

f f Z

Z f

f _c

TM TE

c o

' 2

π

με

c

f

η

_ε

ε

ε

γ

γ

' 1

2 2

2

⋅

− f f

f TM

c TE

CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA

CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (V)

• Las constantes de atenuación y fase quedan entonces:

CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (V)

(

) (

) (

)

_⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

₋

_⋅

₋

₊

₋

_⋅

₋

₊

_⋅

⋅

=

2

_'

2 2

_'

2 2 2

_''

2

2

1

_ω

_με

_γ

_ω

_με

_γ

_ω

_με

α

_{d c c}

(

) (

) (

)

_⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

₋

₋

_⋅

₋

₊

₋

_⋅

₋

₊

_⋅

⋅

=

2

_'

2 2

_'

2 2 2

_''

2

2

1

_ω

_με

_γ

_ω

_με

_γ

_ω

_με

β

_{c c}

' '' ε

ε <<

• En el caso que las pérdidas dieléctricas sean pequeñas:

– La constante de fase coincide con la obtenida despreciando las pérdidas

L

t t d

t

ió

l

2 2

– La constante de atenuación vale:

• Para modos TEM, considerando

resulta:

δ

β

με

ω

ε

ε

β

με

ω

α

tg

2

'

'

''

2

'

2

2

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

d

' '' ε

ε <<

Para modos TEM, considerando resulta:

ε <<ε

δ

δ

με

ω

ε

ε

με

ω

α

_d

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

tg

=

k

⋅

tg

2

2

'

'

''

2

'

Microondas-2- 18

Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.

ε

2

2

ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (I)

Condiciones de contorno para conductor perfecto

a x x H H TE z z , 0 en 0 0 : ⎪⎪_⎨ ⎧ _{= =} ∂ ∂ ⇒ ∂ _⎪ ⎨ ⎧ = − ∂ ∂ ⋅ + ∂ ∂ ⋅ 2 2 2 2 2 0 ) ( ) ( )

( c XY

Y X X Y Y X F γ b y a x E TM b y y H n TE z z , 0 ; , 0 en 0 : , 0 en 0 0 : = = = ⎪ ⎪ ⎩ ⎨ = = ∂ ∂ ⇒ = ∂ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ = − − ∂ ∂ ⇒ = 2 2 2 2 2 ) ( ) ( ) , ( c y x c k k y x y Y x X y x F γ ( )

(

)

n

k m k C A y k D y Csenk y x Y x k B x Asenk y x

X _{x x}

π π ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = ⇒ ⎭ ⎬ ⎫ + = + = ; 0 cos ) ( cos ) , (

Aplicando separación de variables y las condiciones de contorno para despejar

las constantes, resulta:

⎧

(

)

( ) n m z y b n x a m P z H TE b k a k y k D y Csenk y x Y mn mn z y x y y π π γ π π _{⋅ ⋅ −} ⋅ = ⎪⎩ = = ⎭ + exp cos cos ˆ : ; cos ) , ( , r 2 2 2 2 2 2 2 0 , ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ⋅ − = b n a m k k j _c c n m π π με ω γ γ γ

N l P n _{y ( z)}

sen x m Qsen z E

TM : r _, = ˆ⋅ π ⋅ π ⋅exp −γ

ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (II)

Modo dominante TE

₁₀ ( )

E E

z x

a P a j

E_{y,10 10}

0

exp cosπ γ π

ωμ

= =

− ⋅ −

=

με

a f_c

2 1

10 = ( )

H

z x

a sen P a H

E E

y x

z x

10 ,

10 10

,

10 , 10 ,

0

exp 0

γ π

π γ

=

− ⋅ ⋅

=

= =

Distribución de campo

Distribución de corriente

( z)

x a P

H_z,10 = cosπ ⋅exp −γ₁₀

Banda X: a=22.86 mm, b=10.16mm

Ubicación de modos para el caso a=2b

Microondas-2- 20

ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (III)

GUÍA ESTRANGULADA (REENTRANTE O RIDGED)

A h d b d d l

í

t

l

• Ancho de banda de la guía rectangular

está limitado a una octava.

• Los “raíles” disminuyen la frecuencia

de corte del fundamental.

• La capacidad de transmitir potencia

decrece

• Posibilidad de adaptar impedancias

Microondas-2- 22

GUÍAS CIRCULARES (I)

Utilización de coordenadas cilíndricas.

Condiciones de contorno para conductor perfecto

( ) ( ) ( )

: 0

, z

a

H TE

F R P

ρ

ρ _{= ρ ϕ ρ ϕ}

⎫ ∂

= ⎪

∂ _⎬⇒

_{( ) ( ) ( )}

_{= ⋅}

2 2

2 2

2 2 2

,

: 0

1 1 ₀ 1

a

z _a

c

TM E

F F P

F k

ρ ρ

ϕ

ρ ϕ ρ ϕ

ρ γ

=

⎬ ⎪ = ⎭

⎫ ⎧

⎛ ⎞

∂ _⋅∂ ₊ ∂ _{− = −} ∂ ₌

⎪

⎜ ⎟ _{⎪ ⎪}⎪

z

ˆ

r

ˆ

φ

ˆ

zˆ

rˆ

(

)

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2

2 2

1 ₀

c

c c

k P

R R

R R P

k R

R R

R R P

ϕ

ϕ

ρ γ

ρ ρ ρ ρ ϕ ϕ

ρ ρ

ρ ρ _{γ ρ γ ρ}

ρ ρ

ρ ρ ϕ

⎪

⎜ ⎟ ⎪

∂ _⎝ ∂ _⎠ ∂ _{⎪ ⎪} ∂

⇒ ⎬ ⎨

∂ ∂

∂ ∂ _{∂ ⎪ ⎪ + ⋅ − + ⋅ =}

+ ⋅ − = − _{⎪ ⎪}

∂ ∂

∂ ∂ ∂ _{⎭ ⎩}

φˆ

Las soluciones de ambas ecuaciones son del tipo:

)

cos(

)

(

)

(

φ

Asen

k

_φ

φ

B

k

_φ

φ

P

φ

=

_φ

φ

+

_φ

φ

) (

) (

)

(ρ CJ_n γ_cρ DY_n γ_cρ

R = +

Modos TE

Modos TM

(

( ) cos( )

)

( )

)

(ρ φ Asen nφ B nφ J γ ρ

F_H(ρ,φ) =

(

Asen(nφ) + Bcos(nφ)

)

J_n(γ_cρ) FE(ρ,φ) =

(

Asen(nφ)+Bcos(nφ)

)

Jn(kcρ)

GUÍAS CIRCULARES (II)

Modos TE

Modos TM

( )γ ρ

ρ J

H

c n

z _{0 0}

' '

⎪ ⎪ ⎫ =

⇒ = ∂

∂

Modos TE

Modos TM

0 ) ( 0

) ,

(a = ⇒ J k a =

E_z

φ

_{n c}

p f = nm

με π γ

γ γ

ρ _ρ

a p f

a p a

p

nm nm

c nm

nm nm

c a

2

, 2

' 2 0 '

,

= ⇒

⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − =

⇒ =

∂ ₌

2 2

0 2

2

0 ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =

− =

a p

k_c nm

nm γ γ

γ

με πa f_cmn

2

n p’

n1 p’n2 p’n3

0 3.832 7.016 10.174

1 1 841 5 331 8 536

n p_n1 p_n2 p_n3

0 2.405 5.520 8.654

1 1.841 5.331 8.536

2 3.054 6.706 9.970

1 3.832 7.016 10.174

2 5.135 8.417 11.620

Distribución de modos

Microondas-2- 24

GUÍAS CIRCULARES (III)

Distribución de campos en la guía circular

Tomado de referencia 4

GUÍAS CIRCULARES (IV)

Microondas-2- 26

GUÍA DIELÉCTRICA

• Guía de permitividad

p

ε

_r2r2

sobre dieléctrico

de permitividad ε

_r1

.

Todo sobre plancha

Metálica.

• Los campos quedan confinados en el

• Los campos quedan confinados en el

dieléctrico de mayor permitividad.

• Soporta modos TE y TM en la medida que toda

l

í

l di lé i

la energía se concentre en el dieléctrico.

CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN

• Dos características importantes como sistemas de transmisión:

– Capacidad de propagarse a cualquier frecuencia_{p p p g q} C1 C₂

– Constancia de velocidad de fase lo que supone ausencia de dispersión • Retomando la expresión

V d d d l t l id

( )

z

V

(

z

)

V

l

d

E

V

=

Φ

−

Φ

=

∫

2

⋅

=

=

_o

exp

−

γ

⋅

1 2 1

12

r

r

– V_o no depende de los puntos elegidos

– La magnitud V(z) define de forma unívoca el potencial entre los dos conductores • Ambos conductores están recorridos por corrientes iguales en sentido contrario

(

)

∫

• Se puede definir una impedancia característica – η depende del medio

(

z

)

I

l

d

H

I

_o

C

⋅

−

⋅

=

⋅

=

∫

r

r

exp

γ

l

d

E

V

∫

⋅

r

r

2

η depende del medio

– k depende de la geometría de la línea – Resultado independiente de z

cte

l

d

H

I

V

Z

C

o

=

⋅

⋅

=

=

∫

∫

η

r

r

1

• El concepto de línea de transmisión se asocia a cualquier sistema transmitiendo un modo TEM.

• Permite introducir los sistemas funcionando como circuitos con las constantes R, G, L y C

Microondas-2- 28

Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.

CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN (II)

• Consideremos un cuadripolo simétrico (a=d)

I₁ I₂

Si í

(

)

(

)

⎩

⎨

⎧

−

⋅

=

−

⋅

=

=

−

⇒

⎭

⎬

⎫

+

=

+

=

l

I

I

l

V

V

bc

a

aI

cV

I

bI

aV

V

o o

γ

γ

exp

exp

1

1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1

V₁ V₂

Si es recíproco

• Introduciendo las ecuaciones de propagación en las del cuadripolo

( )

⎧

_b

_Z

senh

γ

_l

( )

(

)

( )

( )

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

=

=

⇒

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

−

=

−

+

=

Z

l

c

l

Z

b

bc

a

l

bc

a

l

o o o o o

γ

γ

γ

γ

_senh

senh

exp

exp

2 2

• Formando la red en T:

(

)

( )

⎪

⎪

⎩ =

⎪⎩

−

=

−

l

a

bc

a

l

o o o

γ

γ

cosh

exp

c a

z₁₁ = z11 −z12 z11 −z12

a c z z c bc

a − =1 = 21 =

12

1

2 z₁₂

CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN (III)

• Introduciendo los valores:

( )l 1

h ( )

( )l l Z Z o o o _γ γ senh 1 cosh −

= ( )( )l

l Z Z o o o _γ γ senh 1 cosh − =

( )o

Z l Y = senh γ

• En el caso en que l sea muy pequeña:

o Z

ε

μ

η

⋅

=

⋅

=

2

o

cte

cte

Z

( )

2

l Z

Z = _o γo

( )

_ol

Y γ

( )

2

l Z

Z = _o γo

ε

μ

ω

γ

=

−

2

⋅

⋅

o

ωμ

k

l

j

Z

=

⋅

⋅

_⎪

⎫

( )

o o

Z Y = γ

Carácter inductivo

(

δ

)

ε

ε

ε

ε

ε

ω

ωε

ωμ

tg

1

'

''

'

'

''

2

j

j

l

k

j

k

Y

k

j

Z

−

⋅

=

−

=

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

_⋅

=

=

Carácter inductivo

Capacidad más conductancia

Microondas-2- 30

Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.

k

k

⎠

⎪⎭

CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN (IV)

• El circuito equivalente (en ausencia de pérdidas en conductores) queda:

⎫ LC j Z G C L Z o o ⋅ + ⋅ = = ω γ

Cl

2

l

L

2

l

L

⎪ ⎪ ⎪ ⎫ ⋅

= Zo L

η

ωε

η

μ

'' γ_o = G⋅ + jω ⋅ LC

2

Gl

Cl

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⋅ = ⋅ ⋅ = = o C C Z G

η

ε

δ

ω

η

ωε

' tan

Expresiones sin pérdidas en los conductores

• Simplificaciones adicionales:

– A: Líneas de muy alta impedancia: carácter inductivo

⎪ ⎭ ⋅ = o Z C

ε

y con bajas pérdidas en el dieléctrico

L Z

A: Líneas de muy alta impedancia: carácter inductivo

– B: Líneas de muy baja impedancia: carácter capacitivo

– C: Pérdidas en los conductores

γ jω LC α α jβ

Z R Z G C Z c d o o + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ = = 2 2 Ll Cl

B

2 Gl Cl

LÍNEA COAXIAL (I)

• Dos formas de resolución: a partir del problema electrostático o a partir de la

p

p

p

ecuación de Helmholtz.

• Problema electrostático:

⎪ ⎪ ⎨

⎧ _{= =}

⇒ ⇒

⇒

b K

G b

K Z

a b

K

C ln

'' 2 ''

ln ln

' '

2

πε ω ωε

η η

ε πε

• El cable coaxial es capaz de soportar modos superiores TE o TM

⎪ ⎪ ⎩ ⎨

= =

⇒ =

⋅ = ⇒

= ⇒ =

=

a b K

L

a a

K Z

a K

K a

b C

ln 2 ln

2 2

ln 0

π μ μ

π η

π

Microondas-2- 32

Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.

LÍNEA COAXIAL (II)

• Es necesario conocer los valores de la función potencial

Φ

(

ρ

,

φ

)

E

i

id

• Ecuaciones a considerar:

0 ) , ( 1 ) , ( 1 2 2

2 _∂ =

Φ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ Φ ∂ ∂ ∂ φ φ ρ ρ ρ φ ρ ρ ρ ρ 2 2 1 φ ρ ρ ρ ρ d P d P d dR R − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎠ ⎝ ∂ ∂ρ ρ ρ φ ρ ) ( ) ( ) ,

(ρ φ = R ρ P φ

Φ 2 2 0

2

=

+k P

d P d φ φ 0 2 ₌ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ φ ρ ρ ρ ρ k d dR R a b b V d dR ln ln ) , (

0

ρ

φ

0

ρ

ρ

ρ

ρ

⎟⎟_⎠= ⇒Φ = ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ V

• Soluciones:

ρ

ρ

φ

ρ

φ

ρ

ˆ ln ) , ( ) , ( 0 a b V

e =−∇_tΦ =

φ

φ

ρ

φ

ρ

) 1 ˆ ( ) ˆ

( _{z e} I0

h = × =

)

cos(

)

(

)

(

φ

Asen

k

_φ

φ

B

k

_φ

φ

P

=

+

φ

πρ

φ

ρ

φ

ρ

2 ) , ( ) ,

( z e

Z h TEM = × = η 2 ln 0 0 a b I V

Z = =

π

2

0

TECNOLOGÍAS PLANAS

• Características:

C

ó i

Ch

b

d f b i

ió

ill

di

– Coste económico. Chapa barata y proceso de fabricación sencillo mediante

fotograbado.

– Reducido peso que los hace ligeros.

p

q

g

– Dimensiones reducidas

– Permiten la integración de circuitos MIC (Microwave integrated circuits) y

MMIC (M

li hi Mi

I

d Ci

i )

MMIC (Monolithic Microwave Integrated Circuits)

– Están formados por materiales metálicos y dieléctricos.

• Opciones tecnológicas:

Opciones tecnológicas:

– Línea stripline (triplaca)

– Línea microstrip

– Línea coplanar

– Línea de ranura

Microondas-2- 34

LÍNEA STRIPLINE (TRIPLACA): INTRODUCCIÓN

• Se puede considerar derivada de la coaxial. • Proceso de construcción: superposición de • Proceso de construcción: superposición de

placas

• Recinto doblemente conexo: modos TEM • También soporta modos TE y TM que

conviene eliminar

– Tornillos entre los planos de masa – Separación entre planos menor de λ/4 • Análisis:

– Expresiones semiempíricas – Expresiones semiempíricas – Ábacos y curvas

– Aproximación electrostática. • Formulación:

1 2

2

p p

v f

v

f

ϖ

π

_λ

π

β

_με

_λ

⋅

= = = ⇒ = _{r r}

v

ϖ

μ

ε

ε

γ

ε

ϖ

β

= = _{0 0} = ₀

C v C

LC C

L Z

p

1

0 = = =

f

LÍNEA STRIPLINE: FORMULACIÓN

Impedancia característica

b

Z = 30π ⎪⎪_⎨

⎧

> 0.35 0 b W for W W_e

peda c a ca ac e s ca

b W

Z

e

r 0.441

0 = ₊

ε ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ < − − = 35 . 0 ) 35 . 0 ( 2 b W for b W b b b e ⎧

Anchura de la línea

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > − − < = 120 6 . 0 85 . 0 120 0 0 Z for x Z for x b W r r ε ε 441 . 0 30 0 − = Z x r ε π ⎩

Atenuación en los conductores

_⎪⎪

₍

₎

⎨ ⎧ < − ⋅ ⋅ = − m Np R Z A t b Z R r o r s c ε π ε α / 16 0 120 para 30 10 7 . 2 0 3

(

+

) (

−

)

⋅ + + = ⎪ ⎪ ⎩ ⎨ > t b t b W A p Z B b Z R r s c ε 2 ln 1 2 1 120 para 16 . 0 0 0

(

)

(

)

(

)

⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ +} ⋅ + + = − ⋅ + − + = t W W t t W b B t t b t b A π π π 4 ln 2 1 414 . 0 5 . 0 7 . 0 5 . 0 1 ln 1 Microondas-2- 36

Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.

LÍNEA STRIPLINE: ÁBACOS

Impedancia característica de la línea triplaca en función de

Tomado de referencia 5

p p

LÍNEA MICROSTRIP: INTRODUCCIÓN

• Proceso de construcción: placa fotograbada • Recinto NO doblemente conexo*: no soportaRecinto NO doblemente conexo : no soporta

modos TEM sino cuasi TEM que son una superposición híbrida de modos TE y TM que conviene eliminar.

• Aplicaciones:

– Estructuras de transmisión: pocos campos desbordados, altas permitividades, bajos espesores.

– Estructuras radiantes: gran campo

desbordado bajas permitividades, espesores grandes

grandes. • Análisis:

– Expresiones semiempíricas Ábacos y curvas

p

c

v

β

ϖ

₌

₌

=

1

– Ábacos y curvas

– * Recinto simplemente conexo es aquel en el que se puede ir desde cualquier punto del recinto a otro por cualquier línea sin salirse

e p

ε

με

β

e e

p

k

v

ϖ

μ

ε

ε

ε

ϖ

β

=

=

_{0 0}

=

₀

Microondas-2- 38

Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.

p q

del recinto

p

LÍNEA MICROSTRIP (II)

ε

ε

<

<

1

<

ε

_e

<

ε

_r

Concepto de permitividad efectiva

1

W d r r e 12 1 1 2 1 2 1 + − + + = ε ε ε

Modelo con medio homogéneo de permitividad efectiva ε_e

⎪ ⎧ ≤ ⎟ ⎞ ⎜

⎛8 _{+ 1}

ln 60 d W for W d

Impedancia característica

( )

[

]

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ≥ + + + ≤ ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ + = 1 444 . 1 ln 667 . 0 393 . 1 120 1 4 ln 0 d W for d W d W d W for d W Z e e ε π ε

Anchura de línea

Anchura de línea

⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎤ ⎡ ⎧ ⎫ < − = 2 2 8

2 for W d

e e W A A r r r r Z A ε ε ε ε

0 _0.23 0.11

1 1 2

1

60 ⎟⎟_⎠

⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − + + = ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎨ > ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − + − − + − − − = 2 61 . 0 39 . 0 ) 1 ln( 2 1 1 2 ln 1 2 d W for B B B d r r r ε ε ε π r Z B ε π 0 2 377 =

At

ió

α = ktanδ εr(εe −1) = k0 tanδ εr(εe−1) Np m Rs _{Np m}

c = α ϖμ 2 0 = s R

Atenuación

_d Np m

) 1 ( 2 ) 1 (

2 − = −

=

ε ε ε

ε

α Np m

LÍNEA MICROSTRIP (III)

Tomado de referencia 5

Impedancia característica y permitividad efectiva de la línea microstrip en función de

Microondas-2- 40

Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.

LÍNEA DE RANURA

• Es la línea dual de la microstrip pero con campos magnéticos

• Es la línea dual de la microstrip pero con campos magnéticos

• Soporta modos cuasi TEM

• La eficiencia es menor que la microstrip

M difi

d l

ió

l

i

i l i

d

i S

LÍNEA COPLANAR

• Es como una línea slotline pero con un conductor central

• Es como una línea slotline pero con un conductor central

• El voltaje de la señal es aplicado entre el conductor central y los planos de masa.

• Soporta modos cuasi-TEM pares o impares

C

t t di lé t i

f ti

ε = εr +1

• Constante dieléctrica efectiva:

• Menos dispersión que la microstrip en bajas frecuencias

• Formulación:

2

e

ε

⎪ ⎧

≤ <

⎟⎟ ⎞ ⎜⎜

⎛

173 0 0

2

ln a for W a

η

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨

< <

⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎣ ⎡

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝

⎛ ₊

≤ <

⎟⎟ ⎠ ⎜⎜

⎝

= −

1 173

. 0 1

1 2 ln 4

173 . 0 0

2 ln

1 0

a W for

W a a W

a W

a W for

W

Z e

ε πη ε π

Microondas-2- 42

Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.

⎪

TABLA COMPARATIVA (I): tipos de estructuras

de transmisión

de transmisión

TABLA COMPARATIVA (II)

Características Coaxial Guía onda Stripline Microstrip

Modos: Habitual Secundario

TEM TM,TE

TE₁₀ TM,TE

TEM TM,TE

Cuasi-TEM Híbrido TM,TE

Dispersión No Media No Baja

Ancho de Banda Alto Bajo Alto Alto

Pérdidas Medias Bajas Altas Altas

Capacidad de Potencia

Media Alta Baja Baja

Tamaño Grande Grande Medio Pequeño

Dificultad de Fabricación

Media Media Fácil Fácil

Fabricación

Integración con otros Elementos

Difícil Difícil Regular Fácil

Microondas-2- 44

MATERIALES EN MICROONDAS

BIBLIOGRAFÍA

1. Wadell, B.C.: "Transmisión Line Design Handbook", Artech House, 1991.

2. David M.Pozar: "Microwave Engeneering" Second Edition 1998, John Wiley&Sons. g g , y (capítulo 3)

3. Robert E. Collin: "Foundations for microwave engineering" New York McGraw-Hill, 1992. (capítulo 3)99 . (cap tu o 3)

4. Ramo, Whinnery y Van Duzer: “Fields and waves in communication electronics” John Wiley 1969.

5 Bahl y Bhartia: "Microwave Solid State Circuit Design" Wiley Interscience 1988 5. Bahl y Bhartia: Microwave Solid State Circuit Design , Wiley Interscience, 1988.

(capítulo 2)

6. Harlan Howe: "Stripline Circuit Design"; Microwave Associates Burlington; Artech House 1974

House 1974.

7. J. Esteban, M. A. González, M. Lambea y J. Rebollar; “Enfoque para el estudio de ondas guiadas en la ETSIT-UPM”, URSI Symposium Nacional, Oviedo 2006

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