>Convenir para Jugar o Jugar para
Convenir?
Paloma Zapata Lillo
Departamento de Matematias
Faultad de Cienias,UNAM
CiruitoExterior,C.U.
04510 Mexio, D.F.
pzlhp.fienias.uanm.mx
Resumen
La teora de juegos es un maro teorio adeuado para
es-tudiar las \leyes" internas de los diversos onitos humanos
y puede resultar un importante instrumento de analisis en las
ieniasque estudian estosonitos.Con los juegosse pueden
plantear muhos problemas pariales de la soiedad moderna,
pero tambien problemas globales de ella, omo el de la
forma-ion de instituiones o el del surgimiento de la moral y de las
onveniones soiales.Peyton Younghadesarrollado,junto on
otros autores, un interesante trabajo sobre estas ultimas que
exponemosen este artulo,on algunosejemplosilustrativos.
1 Del Carre~no, de la Real Aademia de la Lengua
y de otras importantes autoridades.
Por poo onvenionales que nos reamos, nuestra vida otidiana
esta llena de reglas de onvivenia que todos estamos dispuestos a
seguir, pues esperamos, de todos los otros, que tamben las seguiran.
Son estas reglaslas llamadasonveniones.
Conveniones seenuentran,nosoloen las\reglasde labuena
edu-aion",sino en todoslosaspetos de unasoiedad.Ellenguaje mismo
queleatribuyesigniadoalaspalabras,laexisteniadelalfabeto,et.
tienen un arater onvenional. La vida eonomia no podra
aeptamos?>Porquetodoelmundomanejaporladereha?>Porquese
esta dispuesto aaatar lasleyesjurdias? >Porque se deretaronesas
y nootras leyes?y muhas preguntas mas.
En uanto a las \buenas ostumbres", podramos pensar en que
la esuela, por un lado, y la familia por el otro, se han enargado de
inularnos solidos prinipios, los mismos que se han inulado por
generaiones. >Y quien onvenio al sistema esolar y a los padres de
familiade la bondad de lasdiversas reglas? >Personajes omo el se~nor
Carre~no, quiza? Y a lo mejor en uanto al lenguaje, el espa~nol desde
luego,>fueronlossabios de laRealAademiade laLenguaquienes
in-ventaron lasreglasquelorigen? >Yenlaondutaeonomia,poltia,
et?
Desdehaemuhosa~nos,diversasorrientes losoasypensadores
soialeshanfundamentadoquelasonvenionesquerealmentesesiguen
enunasoiedad,tenganonolaformadeleyesesritas,sonlaresultante
de laaiontomadaporlosmiembros dedihasoiedad,generalmente
busando objetivos muy distintos que los que se obtuvieron. Las leyes
jurdias y las respetadas autoridades en la materia son posteriores y
tambien son un produto de diha aion soial. La teora de juegos
es un buen maro para modelar este tipo de problema, aunque, por
supuesto, en una forma muy simpliada. En este trabajo
presentare-mos un interesante desarrollo de Peyton Young [6℄ sobre las
Conven-iones Soiales.Pero empeemoson un ejemplo
2 >Nosotros los pobres o ustedes los Burron?
Tratemosdehaerun senillomodelomatematiodel espinoso
on-ito entre los hombres y las mujeres, para empezar a disutir el
pro-blema.
Existeun famoso ejemplo de la teora de juegos que llevael sonoro
nombre de LaBatalla de losSexos,loqueprovoafrustaionesde todo
el que lo aborda, tanto si piensa que se le presentara un tratamiento
sobrelaliberaionfemenina,omosileemoionaenfrentarseaun
mod-elo matematio de alguna seion del Kamasutra. Y en lugar de esos
temasodealgunotro,igualdeapasionante,seenuentraonlahistoria
de un matrimonio que tiene un grave onito, pues a ella le gusta el
ballet,mientrasqueelpreere elbox,porlodemastodoessimetrioy
en el Mexio de los a~nos 40 o 50, as evitaremos sueptibilidades de
todotipo.
Simpliando enormemente, podemos deretar que un hombre de
esa epoa, solotena dos pautas de onduta, entre lasque podra
ele-gir en ada oasion que tuviera que enfrentarse a una mujer, segun
pensara que le onvendra una u otra. La primera de estas pautas de
onduta o estrategias sera la representada por nuestro llorado Pedro
Infante,en asiualquieradesus personajes,PepeelToro porejemplo,
mahoentre losmahos,nadieomoelparaenamoraralasmujeres.La
segunda,ladeunhombreomprensivoyooperador,ondutapoo
re-spetada, nos referimosa aquellaepoa<laro esta!,por ello, nosuesta
trabajo enontrar un galande la tallade Pedro Infante para
represen-tarlaytendremosqueonformarnosonunaariaturaomolade Don
Regino, el de la FamiliaBurron de Gabriel Vargas. Es deir, ada vez
que un hombre entraba en onito on una mujer tena que elegir la
estrategia de atuar omoun Pedro Infanteoomo un ReginoBurron.
Como es logio, las ondutas o estrategias que ada mujer poda
deidir seguir, uando se iba a relaionar on un hombre, se tipian
on lasontrapartes. Asunamujerpodradeidirqueleonvena
om-portarse omo una sufrida mujer mexiana, al estilo de La Chorreada
(Blana Estela Pavon) o podra deidir atuar en forma \arguendera"
y rebelde omodo~naBorola Burron.
Para saberual eslabondad deada estrategia, relativaalausada
porel ontrario,en elonito en que estaranenvueltos un hombre y
una mujerde los40-50, tendramosque onoer las\utilidades"queel
y ella reibiran on los resultados provoados por la eleion de ada
pareja de estrategias,una del hombre y otra la de lamujer.>Como les
ira a uno que hubiera esogido omportarse omo Pepe el Toro y a
una que eligio atuar omo Borola, al enfrentarse?
El pasara mas de
un oraje, mientras ellasaara algunos huesos rotos. Seguramente en
mas de una oasion, ada uno de ellos, habra pensado en ambiar de
estrategia. A los quehubieranelegido ondutas omola de Pepe y su
Chorreada, les habra ido de pelula, el siempre antando y de buen
humor.Para ella, llantos yelos, pero queosa noompensabaaquello
de \Amorito Corazon, yo tengo tentaion...". En esos momentos no
se ambiara por nadie. Si a uno que quiso haerla de don Regino le
hubieratoado una que atuarade Chorreada, noabe duda quesera
masfelizqueonlaBorola,peroelgusanitode quelasosaslesaldran
aun mejor al imitar a Pedro Infante aabara por venerlo, mientras
ese-que ambiando de estrategia, tendra la gran ventaja de ser ellaquien
\llevara los pantalones". Por ultimo, si alguna se deidio por haer su
santa voluntad, omo do~na Borola, y le toase en suerte alguien
de-idido a ser tan paiente omo Job o omo Don Regino, ella podra
haer y deshaer a su antojo, mientras el pensara que \mejor no
me-neale". Pongamos numeros que desde nuestro punto de vista reejan
la\utilidad" que reibiranlos dos ontrinantes (hombre y mujer) en
lasdiversassituaiones resultantesy,sialletornolesatisfaen,puede
probaron otros.
La Borola(B) LaChorreada (Ch)
Pepe elToro (P)
Regino Burron(R )
( 1; 10) (5;2)
(0;5) (1;4)
Tratemos ahora, de desribir uales parejas de estrategias son
pa-trones de onduta estables, en este onito. Pero no nos interesa lo
quepasara en una pareja dada, sino dentro de una gran poblaionde
hombres y mujeres que se enfrentan repetidamente, por parejas, en el
onito expresado en la matriz, as podremos hablar de una
onven-ion soial.
Supongamosuna poblaionde hombresy mujeresquese enfrentan,
periodotras periodo,de talmanera,queen ada unode tales periodos
se lleva a abo el onito de una sola pareja tomada al azar. Cada
miembro de la pareja que tomara deisiones, en el periodo t, no sabe
lo que hara su oponente, entones se basara en la experienia de lo
ourridoen periodos pasados, para alularen queforma debe atuar.
Laformaen queseeligenlasestrategiasreuerdaaladelalgoritmo
de juego tiio, aunque on importantes diferenias. En el periodo
s +1, s 1, del juego tiio apliado a la matriz onstruida, los
dos ontrinantes, para deidir ual es la estrategia que les onviene,
uentan on una apaidad de memoria absoluta, en el sentido de que
saben perfetamente que parejas de estrategias se esogieron desde el
periodo1hastaels,porgrandequeseas. Entoneslamujeralulara
lafreuenia on queelhombre esogioadaunade sus dos estrategias
P y R y el pago promedio que, las de su sexo, hubieran obtenido, en
asodehaberesogidosiempreB.HaraloanalogoparaChy,entones,
en s+1,elegiralaestrategia para la queese pago promedio esmayor
loqueonstituirasu mejorrespuesta.Loshombresatuaranenforma
En ambio, el proeso de adaptaion de Young es, omo die su
autor,menostiioqueeljuegotiio,yaquesuponequelaspersonas
normalesestanllenasde limitaiones.En partiular,noson apaes de
obtener toda la informaion de lo ourrido desde un periodo iniial,
hastaelorriente.Ademas,nisiquieratienesentidohablardeunprimer
periodo,la memoriade dihoperiodose habraperdido en lanohe de
lostiempos.Osea, que en adaperiodode enfrentamiento,elonito
yasehallevado unagran antidadde vees, en elpasadoylasoiedad
guarda solo memoriade la formade omportarsede los hombres y las
mujeresenlosultimosmperiodos.As,uandoseefetuaelonitoen
un periodotualquiera,t>m ylasoiedadreuerda loque ourrioen
t 1, t 2, ..., t m. Despues de que transurra el onito en t,
se olvidan las ondutas del periodo mas viejo t m y se a~naden, a
la memoria soial, las seguidas en t, onservandose siempre, en diha
memoria,una historiade tama~nom.
Porejemplo,dentrodelonitoquenosoupa,enualquierperiodo
t, se puede reordar la historia h, en la que el registro mas viejo que
guarde la soiedad sea tal que el hombre se omporto omo un Pedro
Infante y la mujer fue doil y abnegada, es deir h
1
= (P;Ch). El
periodo siguiente, que se reordase podra onsistir en que el hombre
siguioen sus tree y la mujerdeidio haerle a laBorola, h
2
=(P;B).
Mientras que en el mas reiente periodo, el hombre se haba llenado
de paienia y a la mujer le segua gustado el \arguende", por lo que
h
m
=(R ;B).Sienunnuevoperiodo,laparejaatuaigualqueenelmas
reientede h, sepasaraauna historiah 0
, en dondelosregistrosseran
h 0
1
=(P;B)=h
2 ,h
0
2 =h
3 , ..., h
0
m 1
=(R ;B)=h
m y h
0
m
=(R ;B).
Los hombres y mujeres individuales, por su lado, tienen mas
lim-itaiones que la soiedad entera, ellos solo se pueden informar de una
peque~naporionde laexperieniasoial, on losmediosmuy pariales
que estan asualane. As, por ejemplo,lasmujeres de aquellaepoa,
omo esde todos onoido, eran muyhismosas y, unas en ellavadero,
otras en el merado o en el \salon", platiaban on lasomadres y las
veinas,yseenteraban de osasimportantes:\APetraladejosu
mari-do, porque nomas anda de pata de perro", \Do~na Mehe se pasa de
orajuda, el otro da hasta le pego a su viejo que es re buena gente".
Lo que se tradua en la obtenion de la informaionde dos periodos
de la memoria soial que podemos formalizar omo (P;B) y (R ;B)
respetivamente. Para otras, la informaion importante solo se poda
obtener de laexperienia de lamamay de la abuelita que aseguraban
que\ensuepoasdurabanlosmatrimonios,porquelasmujerestenan
par-randeros". Ellasobtenanla informaionde algunos periodos viejos de
la memoria soial, todos ellos onsistentes en (P;Ch). Tambien
esta-ban las novelas de la radio y los programas de la Dotora Corazon,
en dondese podaadquirir muhaexperieniade tantos asosde
hom-bresymujeres.Porsulado,muhos hombresplatiaban onsus uates
en la antina de todas las osas malas que eran apaes de haer \las
viejas" y de la forma idonea de tratarlas. Hasta los mariahis
aporta-ban informaiones on sus aniones sobre laque se fue y laque quiso
quedarse. Algunos preferan leer periodios y revistas sobre el tema,
et. Pordesgraia, todava no existanlos talk-shows, pero ada quien
poda enterarse de un peque~no subonjunto de la historia reordada
por la soiedad, obteniendo \una peque~na muestra" que, a falta del
onoimientodeomoatuarasuantagonista,leservaparatomarsus
deisiones, ada vez que tena quehaerlo.
Supongamos que la muestra que poda saar ualquier individuo
era de tama~no k m. >Como poda usarse en la toma de deisiones?
Unabuenaidea onsisteen enontrar la estrategiaque hubiesedado el
mejorpago promedio a su sexo, si se hubiera elegidoen losk periodos
a onsideraion, bajo el supuesto de que el sexo opuesto atuo on las
estrategiasdelamuestra.Esaseralamejorrespuestaala muestra.Por
elmomento,pensemos quenadiesesale de esta formade omportarse,
esdeir, noseometen errores nise experimenta.Entones, elproeso
de adaptaion sobre el onito, on tama~no de memoria soial m y
tama~node muestra k, onsisteen asoiar, aada historiah de tama~no
m, todas las historias a las que es posible pasar desde h, en un solo
periodo. Es deir, historias que, por un lado, tienen onsistenia de
memoriaon elheho de venir de h, despues de un soloperiodoy, por
otrolado,elperiodoreordadomasreiente, enlashistoriasdellegada,
debe ser una mejorrespuesta, de partede hombre y mujer,para algun
parde subonjuntos de kperiodosde losm queomponenh.Conesto,
se estara suponiendo que, para ada , subonjunto de k periodos de
h, existen hombres y mujeres que tomaronomo muestra a.
Elobjetivoseraestudiarsiexistenhistoriasoonjuntosdehistorias
querepresenten situaiones establesen este proeso.
Si m = 2 y k =1, podemos representar el proeso de \adaptaion
soial",desritohasta aqu,on lagraa dirigidade lagura1, uyos
verties son las 16 historias de tama~no 2 y uyas ehas son parejas
de historias (h;h 0
) tales que h
2 = h
0
1
y existen \muestras de h" de
tama~no 1, una para el hombre y otra para la mujer, para las que h 0
respeto a dihas muestras.
Por ejemplo, si h es
h
1
h
2
=
(P;B)
(R ;B)
se puede pasar a h 0
, si
h 0
1
= (R ;B) = h
2
y ademas h 0
2
= (R ;B) o h 0
2
= (R ;Ch) pues las dos
muestras posibles de tama~no1 de h son (R ;B) y (P;B) y, para todas
lasombinaionesde unamuestraparaelhombre yotrapara lamujer,
lasparejasdeestrategias demejoresrespuestasadihasmuestras,para
hombre y mujer, son las menionadas (R ;B) y (R ;Ch). Entones h 0
puede ser
(R ;B)
(R ;B)
o
(R ;B)
(R ;Ch)
:
En la graa, resaltan algunas historias espeiales que son
h
PCh=
(P;Ch)
(P;Ch)
y h
RB=
(R ;B)
(R ;B)
.Estasson lasuniashistorias
que tienen la propiedad de que desde ualquier historia h se llega a
algunadelasdos,porelproesodeaprendizajesoialrepresentadoenla
graa.Esdeir,existeunatrayetoriadirigidaqueune ahon h
PCh o
onh
RB
.Ademas,sisehallegadoah
PCh ,oah
RB
,noexistenehasque
empieen en alguna de estas historias y terminen en otra distinta, por
lo queyanosepuede salirde ellas,nunamas.Laeleionde momo
2 y de k omo 1 persegua el n de obtener una graa relativamente
peque~na, pero un resultado analogose habraobtenido, on lash
PCh y
h
RB
orrespondientes, si k <m y k y m=k suientemente grandes, lo
que se alararaposteriormente.
Otrainteresantepropiedaddeh
PCh
yde h
RB
esqueestanformadas
por la misma pareja de estrategias, periodo tras periodo. Eso quiere
deir que uando la soiedad alanzaba una historia en donde solo se
reordabaquelasmujeresseomportanomo laChorreaday los
hom-bresomoPepeelToro(oellasomolaBorolayellosomodonRegino),
esta seonverta en laregla esperada que todos loshombres y mujeres
estabandispuestosaseguir,esdeirsehabrallegadoaunaonvenion
soial dentro del onito entre hombres y mujeres.
Despues de este analisis, podemos intuir que los patrones estables
de onduta (onveniones) son lasparejas formadas porPepe el Toro
ysuChorreadayporlosse~noresBurron,noen balde,lasdos son
pare-jas tpias. Aunque, hasta ahora, tanto dereho tiene la primera
pare-ja, omola segunda, a onsiderarse onveniones posibles, sinninguna
ventaja de una sobre otra. Sin embargo sabemos que esto no era as,
ualquier hombre o mujer de la epoa hubiera preferido formar parte
de una pareja omo la inematograay no omo lade latiraoma.
Veamos omo disriminar entre ambas onveniones.
Introduzamos, en nuestro analisis, laonsideraionde que las
per-sonasreales tienentendenia a experimentar y aequivoarse, on
ier-ta freuenia. Deimos que una persona experimenta en este proeso,
uando esoge una estrategia distinta que la \mejor respuesta" a su
muestra y, por otro lado, que alguien ha ometido un error respeto
al proeso de adaptaion, uando no se puede justiar on ninguna
muestra, del tama~nopermitido,la respuesta que diha persona ha
da-do. As por ejemplo, volviendo al aso m = 2 y k = 1, si estando
en h =
(P;B)
(R ;B)
la mujer esogio omo muestra = (R ;B) y el
hombre ualquierade lasdos muestras posibles,y se paso ala historia
(R ;B)
(P;Ch)
, entones lamujerrealizoun experimento,pues no
eso-giolomejor en relaiona ,pero existe 0
=(P;B),respeto a laual
surespuesta es optima.Porsu lado, el hombre ometio un error, pues
en las dos muestras posibles de h la mujer uso la estrategia B y, ante
esto, elhombre debio haberesogido R y no P.
Si el tama~no de memoria es m y el de muestra es k y suponemos
queadapersonapuedeexperimentaryequivoarse,tenemosun
proe-sode adaptaionperturbado que sepuede representar on otra graa
dirigida,on losmismos verties queantes, pero on masehas, pues
ahora se puede pasar de una historia a otra tambien ometiendo
si h
i = h
0
i 1
; para i = 2;3;:::;m. h 0
m
puede ser ualquiera de las 4
parejas posibles,noimportandosiestaformadapormejoresrespuestas
de ambos partiipantes a alguna muestra o no. Esta nueva graa es
onexa.
A ada eha (h;h 0
) de la digraa perturbada le podemos asoiar
un osto,onsistenteenelnumerode erroresquehayqueometerpara
pasar de h a h 0
. En nuestro ejemplo los ostos de las ehas pueden
ser 0,1o2. Deimosque elosto de una trayetoria dirigidaesigual a
la suma de los ostos de sus ehas. Nos interesa enontrar la historia
h que requiere de menos errores en total para llegar hasta ella desde
ualquier otra historia.Dada h 0
6=h, pueden existir varias trayetorias
que oneten ah 0
on h. Un h arbol es una subdigraa de la graa
perturbada tal que, para ada h 0
6=h, ontiene una sola de las
traye-torias que unen a h 0
on h. El osto de un h arbol es la suma de los
ostos de todas sus ehas.
Para m=2,k =1y h=
(R ;Ch)
(P;B)
.La gura2muestrauno de
estos h arboles, on losostos de ada eha,
Elosto total de diho arboles5, noesel h-arbolde mnimoosto
parallegara
(R ;Ch)
(P;B)
.Pensemos porejemplo,en uno queonsista
de trayetorias de osto ero que onduan a h
PCh o a h
RB
y ademas
de las trayetorias
(R ;B)
(R ;B)
1
!
(R ;B)
(R ;Ch)
0
!
(R ;Ch)
(P;B)
y
(P;Ch)
(P;Ch)
1
!
(P;Ch)
(R ;Ch)
0
!
(R ;Ch)
(P;B)
:
Este h-arbol tiene osto 2 que es el mnimo para llegar a la historia
estudiada. Es laro que las historias que tienen h-arboles de mnimo
osto son h
PCh y h
RB
. Por ejemplo para la primera, onstruimos un
arbolon trayetoriasde osto ero que lleven haia h
PCh
ohaia h
RB
y despues la trayetoria
(R ;B)
(R ;B)
1
!
(R ;B)
(R ;Ch)
.Esta ultima
his-toria esta onetada on una trayetoria de osto ero on h
PCh : El
arbol que aabamos de desribir tiene osto 1 que es el mnimo entre
losde losh
PCh
arboles, la situaionesanalogapara h
RB
,tambien el
mnimoostoparallegarah
RB
desdeualquierhistoriaes1.Enambio
ualquierotra historia,distinta de estas dos, requiere porlo menos de
un osto de 2.
La introduion que aabamos de haer al proeso de adaptaion
on errores sirve para dar una idea sobre diho proeso, pero no
re-suelve elproblema que tenamos onsistente en deidirual de las dos
onveniones del onito entre los hombres y las mujeres tiene una
mayor atraion. Neesitamos para ello un tama~no de muestra y una
razon entre el tama~no de memoria y el de muestra mayores que los
usados.
Supongamos que estamos en un proeso de adaptaion
perturba-do sobre el juego que hemos estado disutiendo y que los tama~nos de
memoria y de muestra son m y k, respetivamente. Situemonos en la
historiah
PCh =
0
B
B
(P;Ch)
(P;Ch)
:::
(P;Ch) 1
C
C
A
.Silasmujeres, apartirde all,no
ome-ten errores o ometen relativamentementepoos los hombres seguiran
respondiendo on P para ualquier muestra. >Cuantos errores de las
mujeres provoaranuna muestra , para la que la mejorrespuesta de
on R , a lamuestraque ontienetodoslos errores,tendraun pago
es-peradode k s
k
,en ambiosiesogeP,estepagosera
6s+5k
k
.Elprimer
pago es mayor o igual que el segundo si y solo si s > 4
5
k. Ahora la
pregunta es respeto al numero mnimo de errores que deben ometer
los hombres a partirde lahistoria h
PCh
, para que larespuesta optima
de las mujeres a una muestra que inluya dihos errores sea B: Si
de-notamos on s 0
alnumero de errores de loshombres, resulta que si las
mujeresesogen B, supagoesperadoes
10(k s 0
)+5s 0
k
ysiesogen Ch es
2( k s 0
) +4s 0
k
. Por lo que el primero es mayor que el segundo si y solo si
s 0
> 12
13
k. Entones el mnimo de errores para pasar de h
PCh a h
RB es
4
5 k:
Proediendo analogamente, enontramos que para pasar de h
RB a
h
PCh
,lasmujeres debenometer porlomenos 1
5
k deerroresy los
hom-bres 1
13
k. Entones el mnimo de errores para pasar de h
RB a h
PCh
es de 1
13
k. Es deir, el arbol de mnimo osto orresponde a h
PCh que
representa laonvenion mas atrayente.
Es laro que k y m=k tienen queser suientemente grandes, para
queestospasostengansentido.Enlasiguienteseionveremoslateora
quepermiteestudiarlasonveniones en unonito ualquieraquese
pueda expresarporun juego retangularnito.Seguiremosun enfoque
algo distinto que nos llevaraal mismo tipo de ideas que hemos estado
utilizando hasta ahora.
3 La Teora de las Conveniones de Foster-Young.
Consideremos unapoblaionF muygrande,uyos miembros se
en-frentanrepetidamenteenun onito. Esteonito sepuededesribir
pora) elonjunto N de papeles o roles diferentes que hay en el,omo
el de hombre y mujer en el ejemplo iniial, b)la oleionfD
j g
j2N de
onjuntos de posibilidades de deision, on que uenta adauno de los
papeles (los elementos de D
j
se llaman las estrategias de j) y ) las
utilidadesqueobtendraada partiipanteenelonito on los
diver-sos resultados provoados por ada eneada de estrategias. Suponemos
que estas utilidades las podemos expresar a traves de una funion '
denida en D =D
1 xD
2
x:::xD
n
y que toma valores en R n
, donde n =
jNj. Estaramos suponiendo, on ello, que ada personaque puede
ju-gar el papelj tiene la misma utilidad para ada uno de los resultados
posiblesdel onito.
(N;fD
j g
j2N
, deimosque b i
es una mejor respuesta de i a
,si seumple que
max i 2D i ' i ( 1 ; 2 ;:::; i ;:::; n ) = ' i ( 1 ; 2
;:::;b i
;:::; n
) y deimos
queb i
esuna mejor respuesta estrita de i a
; sib i
es una mejor
re-spuestade ia
yademas'
i (
1
; 2
;:::;b i
;:::; n
)>'
i ( 1 ; 2 ;:::; i ;:::; n
), para toda i
6=b i
. Denotemosomo R
i (
) al onjunto de
mejores respuestas de i a
y omo R (
) al onjunto de eneadas de
estrategias tales que ada i
es mejor respuesta de i a
. An
aloga-mente en uanto a las mejores respuestas estritas, usaremos R
i ( ) y R ( ).
Los Equilibrios de Nash son eneadas de estrategias
tales que,
paratodoi2N; i
estaenR
i (
),esdeir
2R (
):LosEquilibrios
de Nash estritos son equilibriosde Nash
,tales queestanen R (
):
Porejemplo,en eljuegode loshombres ylasmujeres, (P;Ch)y(R ;B)
son equilibriosde Nashestritos:
Estos equilibrios que aabamos de denir son lo que en la teora
sellaman equilibrios de Nashen Estrategias Puras, pero omo son los
unios que apareeran en este trabajo, nos referiremos a ellos
simple-mente omo equilibriosde Nash.
LapoblaionF,envuelta enun onito representado porun juego
n-personal, estara partida en n subonjuntos, los miembros de F
j son
los que pueden representar el papel j en el onito. En ada periodo
t (tiempo disreto), tiene lugar, en una sola oasion, el menionado
onito y, para ello, se elige un representante al azar de ada F
j . La
poblaionompleta F, omoen elejemplo estudiado, guardamemoria
de lo que ha ourrido en m periodos, despues del enfrentamiento de
ualquier periodo t (onsideramos siempre que t > m), reuerda la
historia del omportamientode los partiipantes en los periodos t,t
1,...,t m+1. Cuando el onito del periodo t+1 ha transurrido,
lasoiedadolvidalo que paso en t m+1 y agrega asu memorialas
aionesdelperiodot+1.Entones,en adaperiodo,lasoiedadpuede
reordar una historia h quees un elemento de D m
:
Si en un momento dado, la soiedad reuerda una historia h de
tama~nom,losindividuos nosonapaes de asimilartodaesa
informa-ion, sino que solo pueden obtener y manejar una \muestra de h" de
tama~no k m. No es neesario exigir que ada oleion de
elemen-tos de h, de tama~no k, sea igualmente probable de ser tomado omo
muestra,porunmiembrodeF,bastaqueadaunade estasoleiones
Despues de obtener una muestra de informaionaesible, adai en F i esoge e i en D i que maximie X j i 2D Y j2N j j k ' i i ! ; donde j j
es el numero de vees que losmiembros de F
j esogieron la estrategia j 2D j
en . e i
esuna mejor respuesta de i a .
Si h es una historia de tama~no m, una distribuion P
i
( jh) en
D
i
es de mejor respuesta relativa a h, si P
i (
i
;h) > 0, uniamente
uando existe , una muestra de tama~no k de h, tal que i
es una
mejor respuesta de i a . P
i (
i
;h)es independientedel tiempo.
Dados h y h 0
en D m
, h 0
es un suesor de h, si h 0
t = h
t+1 , para
t =1;:::;m 1.
Para fP
i (jh)g
i2N
de mejor respuesta, denimos P 0
, omo el
pro-eso de Markov siguiente:
P 0 hh 0 = ( Q i2N P i ( i
;h),si h 0
es un suesor de h y h 0
m =
0; si h
0
noes un suesor de h o h 0
m 6=
P 0
es elproeso estoastio queYoung onsidera omo un Proeso
de Adaptaion sobre (N;fD
j g
j2N
;'), on memoria m y tama~no de
muestra k:
SiS es elsimplejo unitariode R jD
m
j
, es deir
S = ( 2R jD m j h 0 y X h2D m h =1 ) ;
entonessepuedeonsideraraP 0
omounafuniondeSenS,esdeir,
una dinamia que, a ada distribuionde probabilidad en el onjunto
de historias de tama~no m, le asigna otra distribuion de probabilidad
en ese mismo onjunto.
Deniion. 0
enS esuna distribuion estaionaria de P 0 ,si 0 P 0 = 0 :
Los onoidos resultados de matries no negativas asoiados a los
nombres de Perron y Frobenius y el heho de que los terminos de
a-da renglon P 0
suman 1 garantizan que siempre existen distribuiones
estaionarias de P 0
:
Paraualquierproesodeadaptaionsobreun juego,hesunestado
que 0
h
= 1: h es una onvenion de P 0
; si h es un estado absorbente
talque h
k
=,para todak =1;2;:::;m:
Es laro que todos los estados absorbente de P 0
son onveniones
y queh es una onvenion, siy solosi h
k
= es un equilibrio de Nash
estrito.
Notodaslasdistribuionesestaionariasdeunproesodeadaptaion
son vetores anonios, por lo que no siempre orresponden a estados
absorbentes.
En un proeso de adaptaion sobre un juego, dependiendo de las
araterstiasde este y del tama~nodek yde m=k,puedehabervarias
onveniones y,existir, ademasde onveniones, otrossubonjuntos de
historiasenlosque,alllegaraellos,elproesopermaneeramoviendose
de una historia a otra, dentro de diho subonjunto, llegando a una
repetiion lia de tales historias. Es interesante detetar, si existen
patrones de onduta, sean onveniones oilos, que de alguna
man-era dominan a los otros. Para obtener la respuesta, Young vuelve a
introduir ruido estoastio al proeso, onsiderando que errar es de
humanos.
Errores y Experimentos. Consideremos un proeso de adaptaion
P 0
sobre un juego
N;fD
j g
j2N ;'
, on tama~nos de memoria m y k,
respetivamente.Reurramosalasuposiion,pordemasrealista,deque
losmiembrosde lapoblaionexperimentan y, onello,pueden ometer
errores.
Reordemos que una persona, situada en una historia h, que toma
una muestra y elige j
esta experimentando si j
no es una mejor
respuesta a , pero existe 0
para la que j
es una mejor respuesta.
Diha persona esta ometiendo un error, si j
no es mejor repuesta
para ninguna muestra posible de tama~no k de h. En otras palabras,
para equivoarse hay que experimentar, pero no todo experimento es
un error.
Cada miembrode lalase F
j
experimenta,desviandose del proeso
de adaptaion on probabilidad "
j
> 0. Todos los miembros de F
j
experimentaranon lamisma probabilidad,pero no tendranla misma
propensiona haerlolosde unalase quelosde otra,ese eselpapelde
las
j
. La probabilidad on que experimenta ada individuo, en ada
periodo, esindependiente del periodoy de losdemasindividuos.
Ademas, si un personaje de F
j
se propone experimentar y si, en
a su disposiion. Denotemos omo q
j
( jh) a la distribuion en D
j
on que los de F
j
experimentan haia sus diversas estrategias, uando
parten de la historia h. Supondremos que q
j (
j
jh) > 0, para toda j,
j
y h.
A este proeso que se obtiene al perturbar P 0
, on " 2 (0;1) y las
distribuiones f j g j2N y fq j g j2N
, se le llama el proeso de adaptaion
on errores o proeso perturbado y se denota omo P "
. Preisemos en
que onsiste.
Consideremos J N, entones la probabilidad de que estando en
h, en el periodo t, experimenten exlusivamente los miembros de J es
igual a " j Y j2J j ! 0 Y
j2J=
(1 " j ) 1 A :
La probabilidadde que nadieexperimentees
n Y i=1 (1 " i ) :
Ademas,la probabilidad de transiion de h a h 0
en t, bajo el supuesto
de que solo losmiembros de J experimentan y =h 0 m ,es Q hh 0 = ( Q j2J q j ( j jh) Q
j2J= P
j (
j
jh) sih 0
essuesor de h
0 de otra manera.
Si ninguna persona se desva del proeso de adaptaion, la
proba-bilidad de pasar de h ah 0 es P 0 hh 0 . Entones P " hh 0 = n Q i=1 (1 " i ) P 0 hh 0 + P JN;J6=; " jJj Q j2J j ! Q
j2 J=
(1 " j ) ! Q hh 0 ( A)
Eneste proesode adaptaiononerrores,para ualesquiera hy h 0
hay una probabilidad positiva de que en un numero nito de periodos
se llegue de h a h 0
, pues el representante de ualquier F
j
, en ada
periodo, puede experimentar haia ualquiera de sus estrategias, on
probabilidad positiva. Es deir, P "
es irreduible. Mas aun, se puede
llegar de h a h 0
en ualquier numero de periodos mayoro igual quem.
Es deir, P "
es primitiva.Porello, tenemos,
Proposiion 1. Existe "
2 S unia, tal que " P " = " , " > 0.
Ademas,paraada2S,existel(),enteropositivo,talque(P "
) l ( )
=
"
h
representa la probabilidadde que la historia o estado h sea
ob-servado duranteel proeso perturbado, en ualquiertiempot.
>Que ourre uando la propension a que la gente experimente es
muy peque~na?
Porlopronto,delaexpresionAsedesprendelaarmaionsiguiente.
Proposiion 2. lm
"!0 P
"
hh 0
=P 0
hh 0
, para toda pareja de historias h y h 0
.
Ademas, si P "
hh 0
> 0 y r(h;h 0
) es el n umero menor de personas que
tienen que experimentar, para pasar de h a h 0
, en un solo periodo,
en-tonesr(h;h 0
)eselmenorentero nonegativotal queellm
"!0 "
r(h;h 0
)
P "
hh 0
existey es positivo.
Tambien nos importa el omportamiento de "
>Existe el lmite de
"
uando" tiendea ero? Y siesto es as, >uales de sus oordenadas
siguensiendo positivas en diholmite?
Dejando a un lado, por un momento, estas preguntas, proedamos
omoenlaprimeraseion.Esdeir,asoiemosaP "
ladigraa
V; !
A
,
on V = D m
(el onjunto de historias on memoria de tama~no m), y
!
A = f(h;h 0
)2VxV jP "
hh 0
>0g, ademas a ada eha (h;h 0
) le
asig-namos r(h;h 0
) omo osto. Esta es una idea de Freidlin y Wentzell [2℄
quepermitetransformarunproblemaplanteadoatravesde unproeso
deMarkov quesufreperturbaionesen un problemade teorade redes.
Sepuedemedirlaatraiondeadahistoriahdentrodelproesode
adaptaionperturbado,alulandoelostodellegarahdesdeualquier
otra historia, a la manera de la seion 2. Para ada h, se onsideran
losh-arboles, esdeir las subdigraas de
V; !
A
que ontienen,para
ada h 0
, una trayetoria dirigida unia que oneta a h 0
on h. Las
ehas onservan el osto que tenan, el osto de , un h-arbol, es
r() = P
( b
h; e
h)2 r
b
h; e
h
. El potenial estoastio de h es el mnimo de
losostos de los h-arboles.
El siguiente teorema de Young es un aso espeial de un teorema
de Freidliny Wentzell [2℄sobre proesos de Markov perturbados y
jus-tia el proedimiento que seguimosen la seion anterior para
dete-tar la historia que ourrira tan freuentemente, en el onito de los
hombres ontra las mujeres, que se onvertira en una onvenion. La
demostraiondelteoremasepuedeonsultarenelapendiedelartulo
Teorema 3. Sea P "
un proeso de adaptaion perturbado sobre un
juego retangular nito on tama~nos de memoria y de muestra m y
k, tales que k y m
k
son suientemente grandes. Entones existe
, el
lmitede "
uando "tiende aero.
esuna distribuionestaionaria
de P 0
y es independiente de P
i
( jh), f
j g
j2N y fq
j g
j2N .
h
> 0 si y
solo si h es una historia de mnimo potenial estoastio.
Llamamos a
la distribuion lmite y a h, tal que
h
> 0, un
equilibrioestoastiamente estable.
nos die on que probabilidadse presentara ada historiaa lolargo
del tiempo.Eneljuegode loshombres ylasmujeres, sim yk son
ade-uadaselequilibrioestoastiamenteestableeslarepetiionde(P;Ch)
Las historias de mnimo potenial estoastio orresponden a las
oordenadas positivasde distribuiones estaionariasde P 0
espeiales.
Paraenontrarlasseonsideraunagraadirigida,talqueadavertie
es una onvenion o un ilo del proeso y hay una eha para ada
pareja ordenada de verties. Los ostos asignados a las ehas son los
mnimos ostos para pasar, dentro de la digraa asoiada a P "
, de la
onvenion o ilo representado por el vertie iniial, a la onvenion
o ilo representado por el vertie nal. Por ultimo se enuentran los
verties de mnimo potenial estoastio dentro de esta nueva graa
dirigida.
Veamos, para nalizar, la distribuion lmite y los equilibrios
es-toastiamente establesen elproeso de adaptaionsobre un juego de
mas de dos jugadores.
4 Nostalgia por el dinosaurio.
No hablaremos del uento de Monterroso (>o era novela?), sino de
un tipo de situaion muy familiar a todos. Nos referimos a los
pro-esos eletorales mexianos, tan llenos de onveniones on nombres
pintoresos quemaranellenguajedel pas.Dejandoaun ladolas
ele-ionesmismas,tanrias enestas,y reduiendonosalosproesosdonde
senombrabanandidatosdentro delpartidoalquesevinulala
forma-iondeasi todas estasonveniones, tenemos, pormenionaralgunas,
al\Dedazo", al\Tapado",ala\Cargada",a aquellode que\Elque se
mueve nosale en lafoto".
Sentimos queelfenomeno del\Dedazo" esanalogo alde las
los andidatos eran otros. Como suede en todo el mundo y en
to-das lasepoas, dihos eletores eran fuertes grupos de poder eon
omi-o, poltio y militar, entre los que, en oasiones, podan ontarse las
grandesentralessindialesyorganizaionessemejantes.Laorrelaion
entre estas fuerzas y la relaion de los diversos aspirantes a \tapado"
onellas, dabanlaapaidad alospreandidatosde otorgarprebendas
a los que los apoyaran para onseguir ser el \bueno". Y tambien les
daban el poder de propinar diversos astigos, al que apoyara a otros,
desdedesapareerlosde laesenapoltiapor6a~nos,enviarlosaalguna
embajada o a una larga estania en la arel, despues de \desubrir"
algun ilitoometido. No todos losandidatos podandar los mismos
premiosy astigos.
Esquematizandoal extremoeste ompliadoonito, supongamos
quelos eletores eran simetrios.Es deir, on igual poder todos ellos,
porloual, obtenanlosmismos beneios y astigos,para lasmismas
eneadas de aiones.Ademas,partede ese mismosupuesto de simetra
de los eletores es que ada uno de ellos areade ataduras o
enemis-tades on uno u otro de los andidatos. Podemos, entones, onstruir
un juego,en dondelosjugadoresson n eletores, on elmismo
onjun-tode estrategias.Estas onsisten enapoyara unode lospreandidatos
posibles C
1 , C
2
, ..., C
r
o bien abstenerse. La utilidad que reibe un
eletorj ualquiera, para ada eneada de estrategias, esta dada por la
funion siguiente:
'
j (
1
; 2
;:::; n
)= 8
<
:
0 si
j
= absteniono no hay mayora,
p
k
>0 si j
=C
k y C
k
tiene mayora,
q
k
<0si j
=C
k y C
s 6=C
k
tiene mayora.
Losequilibriosde estejuegoson ryson delaforma(C
k ;C
k ;:::;C
k ),
para k=1;2;:::;r,es deir,ada equilibrio de Nash es una \Cargada"
haiauno de lospreandidatos.
Podemos observar que, si hubieramos exigido que para que un C
k
ganara laandidatura neesitaba tener el apoyo de al menos dos
ele-tores, entones tambien (abstenio n, abstenio n, ..., abstenio n) , \El
quese mueve nosale en la foto",sera un equilibrio de Nash.
Para onstruir un proeso de adaptaionsobre este juego, se puede
onsiderar,por un lado,larepetiionde este en losmomentos de
nom-brar andidatos a presidente, gobernadores, presidentes muniipales,
senadores, diputados federales y loales. Pero, por otro lado, tambien
podemos onsiderar repetiiones del juego a los reaomodos entre las
sepa-partidaen lasdiversasfuerzas queson loseletores yquepueden tener
distintos representantes, en ada periodode repetiiondel juego.
Para onretar, supongamos que los preandidatos eran los
ou-pantes de 5 puestos laves, en relaional puesto de eleion. Digamos
que SG;ST;SD;SH y SC; y ademas, p
SG
= 3, q
SG
= 1, p
ST = 5,
q
ST
= 3, p
SD
= 8, q
SD
= 10, p
SH
= 4, q
SH
= 2 y p
SC = 6,
q
SC
= 5.
Las 5 onveniones del proeso, para ualquier m y k; son de la
forma h
C
k
, on h
C
k = (C
k ;C
k ;:::;C
k
), para C
k
= SG, ST, SD, SH,
SC.
Si k y m=k son suientementemente grandes, para que los pasos
tengan sentido, sabemos que entre las historias h
C
k
estan los posibles
vertiesdemenorpotenialestoastio,esdeirlosequilibriosesto
asti-amente estables. Para enontrarlos, se puede onsiderar la digraa
uyosvertiesson las5onveniones yuyasehassontodaslas
pare-jas h
C
j ;h
Cs
.Ademaselostodelaeha h
Cj ;h
Cs
esigualalmnimo
osto entre losde todas lastrayetorias queunenun vertiede h
C
j on
otro de h
Cs
. Dihadigraaaparee en la gura3.
Resolviendoun problemade arboresenia,se enuentra quela
his-toria de mnimo potenial es aquella en la que todos apoyan a SG,
durantelosmperiodosquereuerdalasoiedad,esteeselequilibrio
es-toastiamenteestable.NotesequeSGnoeselpreandidatoqueofree
un premio mayor. En la seleion pesan tambien los astigos. Hay un
problema deriesgoinvolurado. Elequilibriode Nash(SG;SG;:::;SG)
que se repite en el equilibrio estoastiamente estable es el unio que
es dominanteporriesgo del juego.
Referenias
[1℄ K.Binmore (1993),Teora de Juegos, MGraw-Hill
[2℄ M. Freidlin y A. Wentzell (1984), Random Perturbations of
Dy-namial Systems, Springer-Verlag.
[3℄ J Maynard Smith (1982), Evolution and the Theory of Games,
Cambridge University Press.
Figura 3
[6℄ F. Vega Redondo (1997), Evolution, Games and Eonomi
Be-haviour, OxfordUniversity Press.
[7℄ H.P. Young (1993),The Evolution of Conventions,Eonometria