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¿Convenir para jugar o jugar para convenir?

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Academic year: 2020

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(1)

>Convenir para Jugar o Jugar para

Convenir?

Paloma Zapata Lillo

Departamento de Matematias

Faultad de Cienias,UNAM

CiruitoExterior,C.U.

04510 Mexio, D.F.

pzlhp.fienias.uanm.mx

Resumen

La teora de juegos es un maro teorio adeuado para

es-tudiar las \leyes" internas de los diversos onitos humanos

y puede resultar un importante instrumento de analisis en las

ieniasque estudian estosonitos.Con los juegosse pueden

plantear muhos problemas pariales de la soiedad moderna,

pero tambien problemas globales de ella, omo el de la

forma-ion de instituiones o el del surgimiento de la moral y de las

onveniones soiales.Peyton Younghadesarrollado,junto on

otros autores, un interesante trabajo sobre estas ultimas que

exponemosen este artulo,on algunosejemplosilustrativos.

1 Del Carre~no, de la Real Aademia de la Lengua

y de otras importantes autoridades.

Por poo onvenionales que nos reamos, nuestra vida otidiana

esta llena de reglas de onvivenia que todos estamos dispuestos a

seguir, pues esperamos, de todos los otros, que tamben las seguiran.

Son estas reglaslas llamadasonveniones.

Conveniones seenuentran,nosoloen las\reglasde labuena

edu-aion",sino en todoslosaspetos de unasoiedad.Ellenguaje mismo

queleatribuyesigniadoalaspalabras,laexisteniadelalfabeto,et.

tienen un arater onvenional. La vida eonomia no podra

(2)

aeptamos?>Porquetodoelmundomanejaporladereha?>Porquese

esta dispuesto aaatar lasleyesjurdias? >Porque se deretaronesas

y nootras leyes?y muhas preguntas mas.

En uanto a las \buenas ostumbres", podramos pensar en que

la esuela, por un lado, y la familia por el otro, se han enargado de

inularnos solidos prinipios, los mismos que se han inulado por

generaiones. >Y quien onvenio al sistema esolar y a los padres de

familiade la bondad de lasdiversas reglas? >Personajes omo el se~nor

Carre~no, quiza? Y a lo mejor en uanto al lenguaje, el espa~nol desde

luego,>fueronlossabios de laRealAademiade laLenguaquienes

in-ventaron lasreglasquelorigen? >Yenlaondutaeonomia,poltia,

et?

Desdehaemuhosa~nos,diversasorrientes losoasypensadores

soialeshanfundamentadoquelasonvenionesquerealmentesesiguen

enunasoiedad,tenganonolaformadeleyesesritas,sonlaresultante

de laaiontomadaporlosmiembros dedihasoiedad,generalmente

busando objetivos muy distintos que los que se obtuvieron. Las leyes

jurdias y las respetadas autoridades en la materia son posteriores y

tambien son un produto de diha aion soial. La teora de juegos

es un buen maro para modelar este tipo de problema, aunque, por

supuesto, en una forma muy simpliada. En este trabajo

presentare-mos un interesante desarrollo de Peyton Young [6℄ sobre las

Conven-iones Soiales.Pero empeemoson un ejemplo

2 >Nosotros los pobres o ustedes los Burron?

Tratemosdehaerun senillomodelomatematiodel espinoso

on-ito entre los hombres y las mujeres, para empezar a disutir el

pro-blema.

Existeun famoso ejemplo de la teora de juegos que llevael sonoro

nombre de LaBatalla de losSexos,loqueprovoafrustaionesde todo

el que lo aborda, tanto si piensa que se le presentara un tratamiento

sobrelaliberaionfemenina,omosileemoionaenfrentarseaun

mod-elo matematio de alguna seion del Kamasutra. Y en lugar de esos

temasodealgunotro,igualdeapasionante,seenuentraonlahistoria

de un matrimonio que tiene un grave onito, pues a ella le gusta el

ballet,mientrasqueelpreere elbox,porlodemastodoessimetrioy

(3)

en el Mexio de los a~nos 40 o 50, as evitaremos sueptibilidades de

todotipo.

Simpliando enormemente, podemos deretar que un hombre de

esa epoa, solotena dos pautas de onduta, entre lasque podra

ele-gir en ada oasion que tuviera que enfrentarse a una mujer, segun

pensara que le onvendra una u otra. La primera de estas pautas de

onduta o estrategias sera la representada por nuestro llorado Pedro

Infante,en asiualquieradesus personajes,PepeelToro porejemplo,

mahoentre losmahos,nadieomoelparaenamoraralasmujeres.La

segunda,ladeunhombreomprensivoyooperador,ondutapoo

re-spetada, nos referimosa aquellaepoa<laro esta!,por ello, nosuesta

trabajo enontrar un galande la tallade Pedro Infante para

represen-tarlaytendremosqueonformarnosonunaariaturaomolade Don

Regino, el de la FamiliaBurron de Gabriel Vargas. Es deir, ada vez

que un hombre entraba en onito on una mujer tena que elegir la

estrategia de atuar omoun Pedro Infanteoomo un ReginoBurron.

Como es logio, las ondutas o estrategias que ada mujer poda

deidir seguir, uando se iba a relaionar on un hombre, se tipian

on lasontrapartes. Asunamujerpodradeidirqueleonvena

om-portarse omo una sufrida mujer mexiana, al estilo de La Chorreada

(Blana Estela Pavon) o podra deidir atuar en forma \arguendera"

y rebelde omodo~naBorola Burron.

Para saberual eslabondad deada estrategia, relativaalausada

porel ontrario,en elonito en que estaranenvueltos un hombre y

una mujerde los40-50, tendramosque onoer las\utilidades"queel

y ella reibiran on los resultados provoados por la eleion de ada

pareja de estrategias,una del hombre y otra la de lamujer.>Como les

ira a uno que hubiera esogido omportarse omo Pepe el Toro y a

una que eligio atuar omo Borola, al enfrentarse?

El pasara mas de

un oraje, mientras ellasaara algunos huesos rotos. Seguramente en

mas de una oasion, ada uno de ellos, habra pensado en ambiar de

estrategia. A los quehubieranelegido ondutas omola de Pepe y su

Chorreada, les habra ido de pelula, el siempre antando y de buen

humor.Para ella, llantos yelos, pero queosa noompensabaaquello

de \Amorito Corazon, yo tengo tentaion...". En esos momentos no

se ambiara por nadie. Si a uno que quiso haerla de don Regino le

hubieratoado una que atuarade Chorreada, noabe duda quesera

masfelizqueonlaBorola,peroelgusanitode quelasosaslesaldran

aun mejor al imitar a Pedro Infante aabara por venerlo, mientras

(4)

ese-que ambiando de estrategia, tendra la gran ventaja de ser ellaquien

\llevara los pantalones". Por ultimo, si alguna se deidio por haer su

santa voluntad, omo do~na Borola, y le toase en suerte alguien

de-idido a ser tan paiente omo Job o omo Don Regino, ella podra

haer y deshaer a su antojo, mientras el pensara que \mejor no

me-neale". Pongamos numeros que desde nuestro punto de vista reejan

la\utilidad" que reibiranlos dos ontrinantes (hombre y mujer) en

lasdiversassituaiones resultantesy,sialletornolesatisfaen,puede

probaron otros.

La Borola(B) LaChorreada (Ch)

Pepe elToro (P)

Regino Burron(R )

( 1; 10) (5;2)

(0;5) (1;4)

Tratemos ahora, de desribir uales parejas de estrategias son

pa-trones de onduta estables, en este onito. Pero no nos interesa lo

quepasara en una pareja dada, sino dentro de una gran poblaionde

hombres y mujeres que se enfrentan repetidamente, por parejas, en el

onito expresado en la matriz, as podremos hablar de una

onven-ion soial.

Supongamosuna poblaionde hombresy mujeresquese enfrentan,

periodotras periodo,de talmanera,queen ada unode tales periodos

se lleva a abo el onito de una sola pareja tomada al azar. Cada

miembro de la pareja que tomara deisiones, en el periodo t, no sabe

lo que hara su oponente, entones se basara en la experienia de lo

ourridoen periodos pasados, para alularen queforma debe atuar.

Laformaen queseeligenlasestrategiasreuerdaaladelalgoritmo

de juego tiio, aunque on importantes diferenias. En el periodo

s +1, s 1, del juego tiio apliado a la matriz onstruida, los

dos ontrinantes, para deidir ual es la estrategia que les onviene,

uentan on una apaidad de memoria absoluta, en el sentido de que

saben perfetamente que parejas de estrategias se esogieron desde el

periodo1hastaels,porgrandequeseas. Entoneslamujeralulara

lafreuenia on queelhombre esogioadaunade sus dos estrategias

P y R y el pago promedio que, las de su sexo, hubieran obtenido, en

asodehaberesogidosiempreB.HaraloanalogoparaChy,entones,

en s+1,elegiralaestrategia para la queese pago promedio esmayor

loqueonstituirasu mejorrespuesta.Loshombresatuaranenforma

(5)

En ambio, el proeso de adaptaion de Young es, omo die su

autor,menostiioqueeljuegotiio,yaquesuponequelaspersonas

normalesestanllenasde limitaiones.En partiular,noson apaes de

obtener toda la informaion de lo ourrido desde un periodo iniial,

hastaelorriente.Ademas,nisiquieratienesentidohablardeunprimer

periodo,la memoriade dihoperiodose habraperdido en lanohe de

lostiempos.Osea, que en adaperiodode enfrentamiento,elonito

yasehallevado unagran antidadde vees, en elpasadoylasoiedad

guarda solo memoriade la formade omportarsede los hombres y las

mujeresenlosultimosmperiodos.As,uandoseefetuaelonitoen

un periodotualquiera,t>m ylasoiedadreuerda loque ourrioen

t 1, t 2, ..., t m. Despues de que transurra el onito en t,

se olvidan las ondutas del periodo mas viejo t m y se a~naden, a

la memoria soial, las seguidas en t, onservandose siempre, en diha

memoria,una historiade tama~nom.

Porejemplo,dentrodelonitoquenosoupa,enualquierperiodo

t, se puede reordar la historia h, en la que el registro mas viejo que

guarde la soiedad sea tal que el hombre se omporto omo un Pedro

Infante y la mujer fue doil y abnegada, es deir h

1

= (P;Ch). El

periodo siguiente, que se reordase podra onsistir en que el hombre

siguioen sus tree y la mujerdeidio haerle a laBorola, h

2

=(P;B).

Mientras que en el mas reiente periodo, el hombre se haba llenado

de paienia y a la mujer le segua gustado el \arguende", por lo que

h

m

=(R ;B).Sienunnuevoperiodo,laparejaatuaigualqueenelmas

reientede h, sepasaraauna historiah 0

, en dondelosregistrosseran

h 0

1

=(P;B)=h

2 ,h

0

2 =h

3 , ..., h

0

m 1

=(R ;B)=h

m y h

0

m

=(R ;B).

Los hombres y mujeres individuales, por su lado, tienen mas

lim-itaiones que la soiedad entera, ellos solo se pueden informar de una

peque~naporionde laexperieniasoial, on losmediosmuy pariales

que estan asualane. As, por ejemplo,lasmujeres de aquellaepoa,

omo esde todos onoido, eran muyhismosas y, unas en ellavadero,

otras en el merado o en el \salon", platiaban on lasomadres y las

veinas,yseenteraban de osasimportantes:\APetraladejosu

mari-do, porque nomas anda de pata de perro", \Do~na Mehe se pasa de

orajuda, el otro da hasta le pego a su viejo que es re buena gente".

Lo que se tradua en la obtenion de la informaionde dos periodos

de la memoria soial que podemos formalizar omo (P;B) y (R ;B)

respetivamente. Para otras, la informaion importante solo se poda

obtener de laexperienia de lamamay de la abuelita que aseguraban

que\ensuepoasdurabanlosmatrimonios,porquelasmujerestenan

(6)

par-randeros". Ellasobtenanla informaionde algunos periodos viejos de

la memoria soial, todos ellos onsistentes en (P;Ch). Tambien

esta-ban las novelas de la radio y los programas de la Dotora Corazon,

en dondese podaadquirir muhaexperieniade tantos asosde

hom-bresymujeres.Porsulado,muhos hombresplatiaban onsus uates

en la antina de todas las osas malas que eran apaes de haer \las

viejas" y de la forma idonea de tratarlas. Hasta los mariahis

aporta-ban informaiones on sus aniones sobre laque se fue y laque quiso

quedarse. Algunos preferan leer periodios y revistas sobre el tema,

et. Pordesgraia, todava no existanlos talk-shows, pero ada quien

poda enterarse de un peque~no subonjunto de la historia reordada

por la soiedad, obteniendo \una peque~na muestra" que, a falta del

onoimientodeomoatuarasuantagonista,leservaparatomarsus

deisiones, ada vez que tena quehaerlo.

Supongamos que la muestra que poda saar ualquier individuo

era de tama~no k m. >Como poda usarse en la toma de deisiones?

Unabuenaidea onsisteen enontrar la estrategiaque hubiesedado el

mejorpago promedio a su sexo, si se hubiera elegidoen losk periodos

a onsideraion, bajo el supuesto de que el sexo opuesto atuo on las

estrategiasdelamuestra.Esaseralamejorrespuestaala muestra.Por

elmomento,pensemos quenadiesesale de esta formade omportarse,

esdeir, noseometen errores nise experimenta.Entones, elproeso

de adaptaion sobre el onito, on tama~no de memoria soial m y

tama~node muestra k, onsisteen asoiar, aada historiah de tama~no

m, todas las historias a las que es posible pasar desde h, en un solo

periodo. Es deir, historias que, por un lado, tienen onsistenia de

memoriaon elheho de venir de h, despues de un soloperiodoy, por

otrolado,elperiodoreordadomasreiente, enlashistoriasdellegada,

debe ser una mejorrespuesta, de partede hombre y mujer,para algun

parde subonjuntos de kperiodosde losm queomponenh.Conesto,

se estara suponiendo que, para ada , subonjunto de k periodos de

h, existen hombres y mujeres que tomaronomo muestra a.

Elobjetivoseraestudiarsiexistenhistoriasoonjuntosdehistorias

querepresenten situaiones establesen este proeso.

Si m = 2 y k =1, podemos representar el proeso de \adaptaion

soial",desritohasta aqu,on lagraa dirigidade lagura1, uyos

verties son las 16 historias de tama~no 2 y uyas ehas son parejas

de historias (h;h 0

) tales que h

2 = h

0

1

y existen \muestras de h" de

tama~no 1, una para el hombre y otra para la mujer, para las que h 0

(7)

respeto a dihas muestras.

Por ejemplo, si h es

h

1

h

2

=

(P;B)

(R ;B)

se puede pasar a h 0

, si

h 0

1

= (R ;B) = h

2

y ademas h 0

2

= (R ;B) o h 0

2

= (R ;Ch) pues las dos

muestras posibles de tama~no1 de h son (R ;B) y (P;B) y, para todas

lasombinaionesde unamuestraparaelhombre yotrapara lamujer,

lasparejasdeestrategias demejoresrespuestasadihasmuestras,para

hombre y mujer, son las menionadas (R ;B) y (R ;Ch). Entones h 0

puede ser

(R ;B)

(R ;B)

o

(R ;B)

(R ;Ch)

:

En la graa, resaltan algunas historias espeiales que son

h

PCh=

(P;Ch)

(P;Ch)

y h

RB=

(R ;B)

(R ;B)

.Estasson lasuniashistorias

que tienen la propiedad de que desde ualquier historia h se llega a

algunadelasdos,porelproesodeaprendizajesoialrepresentadoenla

graa.Esdeir,existeunatrayetoriadirigidaqueune ahon h

PCh o

onh

RB

.Ademas,sisehallegadoah

PCh ,oah

RB

,noexistenehasque

empieen en alguna de estas historias y terminen en otra distinta, por

lo queyanosepuede salirde ellas,nunamas.Laeleionde momo

2 y de k omo 1 persegua el n de obtener una graa relativamente

peque~na, pero un resultado analogose habraobtenido, on lash

PCh y

h

RB

orrespondientes, si k <m y k y m=k suientemente grandes, lo

que se alararaposteriormente.

(8)

Otrainteresantepropiedaddeh

PCh

yde h

RB

esqueestanformadas

por la misma pareja de estrategias, periodo tras periodo. Eso quiere

deir que uando la soiedad alanzaba una historia en donde solo se

reordabaquelasmujeresseomportanomo laChorreaday los

hom-bresomoPepeelToro(oellasomolaBorolayellosomodonRegino),

esta seonverta en laregla esperada que todos loshombres y mujeres

estabandispuestosaseguir,esdeirsehabrallegadoaunaonvenion

soial dentro del onito entre hombres y mujeres.

Despues de este analisis, podemos intuir que los patrones estables

de onduta (onveniones) son lasparejas formadas porPepe el Toro

ysuChorreadayporlosse~noresBurron,noen balde,lasdos son

pare-jas tpias. Aunque, hasta ahora, tanto dereho tiene la primera

pare-ja, omola segunda, a onsiderarse onveniones posibles, sinninguna

ventaja de una sobre otra. Sin embargo sabemos que esto no era as,

ualquier hombre o mujer de la epoa hubiera preferido formar parte

de una pareja omo la inematograay no omo lade latiraoma.

Veamos omo disriminar entre ambas onveniones.

Introduzamos, en nuestro analisis, laonsideraionde que las

per-sonasreales tienentendenia a experimentar y aequivoarse, on

ier-ta freuenia. Deimos que una persona experimenta en este proeso,

uando esoge una estrategia distinta que la \mejor respuesta" a su

muestra y, por otro lado, que alguien ha ometido un error respeto

al proeso de adaptaion, uando no se puede justiar on ninguna

muestra, del tama~nopermitido,la respuesta que diha persona ha

da-do. As por ejemplo, volviendo al aso m = 2 y k = 1, si estando

en h =

(P;B)

(R ;B)

la mujer esogio omo muestra = (R ;B) y el

hombre ualquierade lasdos muestras posibles,y se paso ala historia

(R ;B)

(P;Ch)

, entones lamujerrealizoun experimento,pues no

eso-giolomejor en relaiona ,pero existe 0

=(P;B),respeto a laual

surespuesta es optima.Porsu lado, el hombre ometio un error, pues

en las dos muestras posibles de h la mujer uso la estrategia B y, ante

esto, elhombre debio haberesogido R y no P.

Si el tama~no de memoria es m y el de muestra es k y suponemos

queadapersonapuedeexperimentaryequivoarse,tenemosun

proe-sode adaptaionperturbado que sepuede representar on otra graa

dirigida,on losmismos verties queantes, pero on masehas, pues

ahora se puede pasar de una historia a otra tambien ometiendo

(9)

si h

i = h

0

i 1

; para i = 2;3;:::;m. h 0

m

puede ser ualquiera de las 4

parejas posibles,noimportandosiestaformadapormejoresrespuestas

de ambos partiipantes a alguna muestra o no. Esta nueva graa es

onexa.

A ada eha (h;h 0

) de la digraa perturbada le podemos asoiar

un osto,onsistenteenelnumerode erroresquehayqueometerpara

pasar de h a h 0

. En nuestro ejemplo los ostos de las ehas pueden

ser 0,1o2. Deimosque elosto de una trayetoria dirigidaesigual a

la suma de los ostos de sus ehas. Nos interesa enontrar la historia

h que requiere de menos errores en total para llegar hasta ella desde

ualquier otra historia.Dada h 0

6=h, pueden existir varias trayetorias

que oneten ah 0

on h. Un h arbol es una subdigraa de la graa

perturbada tal que, para ada h 0

6=h, ontiene una sola de las

traye-torias que unen a h 0

on h. El osto de un h arbol es la suma de los

ostos de todas sus ehas.

Para m=2,k =1y h=

(R ;Ch)

(P;B)

.La gura2muestrauno de

estos h arboles, on losostos de ada eha,

(10)

Elosto total de diho arboles5, noesel h-arbolde mnimoosto

parallegara

(R ;Ch)

(P;B)

.Pensemos porejemplo,en uno queonsista

de trayetorias de osto ero que onduan a h

PCh o a h

RB

y ademas

de las trayetorias

(R ;B)

(R ;B)

1

!

(R ;B)

(R ;Ch)

0

!

(R ;Ch)

(P;B)

y

(P;Ch)

(P;Ch)

1

!

(P;Ch)

(R ;Ch)

0

!

(R ;Ch)

(P;B)

:

Este h-arbol tiene osto 2 que es el mnimo para llegar a la historia

estudiada. Es laro que las historias que tienen h-arboles de mnimo

osto son h

PCh y h

RB

. Por ejemplo para la primera, onstruimos un

arbolon trayetoriasde osto ero que lleven haia h

PCh

ohaia h

RB

y despues la trayetoria

(R ;B)

(R ;B)

1

!

(R ;B)

(R ;Ch)

.Esta ultima

his-toria esta onetada on una trayetoria de osto ero on h

PCh : El

arbol que aabamos de desribir tiene osto 1 que es el mnimo entre

losde losh

PCh

arboles, la situaionesanalogapara h

RB

,tambien el

mnimoostoparallegarah

RB

desdeualquierhistoriaes1.Enambio

ualquierotra historia,distinta de estas dos, requiere porlo menos de

un osto de 2.

La introduion que aabamos de haer al proeso de adaptaion

on errores sirve para dar una idea sobre diho proeso, pero no

re-suelve elproblema que tenamos onsistente en deidirual de las dos

onveniones del onito entre los hombres y las mujeres tiene una

mayor atraion. Neesitamos para ello un tama~no de muestra y una

razon entre el tama~no de memoria y el de muestra mayores que los

usados.

Supongamos que estamos en un proeso de adaptaion

perturba-do sobre el juego que hemos estado disutiendo y que los tama~nos de

memoria y de muestra son m y k, respetivamente. Situemonos en la

historiah

PCh =

0

B

B

(P;Ch)

(P;Ch)

:::

(P;Ch) 1

C

C

A

.Silasmujeres, apartirde all,no

ome-ten errores o ometen relativamentementepoos los hombres seguiran

respondiendo on P para ualquier muestra. >Cuantos errores de las

mujeres provoaranuna muestra , para la que la mejorrespuesta de

(11)

on R , a lamuestraque ontienetodoslos errores,tendraun pago

es-peradode k s

k

,en ambiosiesogeP,estepagosera

6s+5k

k

.Elprimer

pago es mayor o igual que el segundo si y solo si s > 4

5

k. Ahora la

pregunta es respeto al numero mnimo de errores que deben ometer

los hombres a partirde lahistoria h

PCh

, para que larespuesta optima

de las mujeres a una muestra que inluya dihos errores sea B: Si

de-notamos on s 0

alnumero de errores de loshombres, resulta que si las

mujeresesogen B, supagoesperadoes

10(k s 0

)+5s 0

k

ysiesogen Ch es

2( k s 0

) +4s 0

k

. Por lo que el primero es mayor que el segundo si y solo si

s 0

> 12

13

k. Entones el mnimo de errores para pasar de h

PCh a h

RB es

4

5 k:

Proediendo analogamente, enontramos que para pasar de h

RB a

h

PCh

,lasmujeres debenometer porlomenos 1

5

k deerroresy los

hom-bres 1

13

k. Entones el mnimo de errores para pasar de h

RB a h

PCh

es de 1

13

k. Es deir, el arbol de mnimo osto orresponde a h

PCh que

representa laonvenion mas atrayente.

Es laro que k y m=k tienen queser suientemente grandes, para

queestospasostengansentido.Enlasiguienteseionveremoslateora

quepermiteestudiarlasonveniones en unonito ualquieraquese

pueda expresarporun juego retangularnito.Seguiremosun enfoque

algo distinto que nos llevaraal mismo tipo de ideas que hemos estado

utilizando hasta ahora.

3 La Teora de las Conveniones de Foster-Young.

Consideremos unapoblaionF muygrande,uyos miembros se

en-frentanrepetidamenteenun onito. Esteonito sepuededesribir

pora) elonjunto N de papeles o roles diferentes que hay en el,omo

el de hombre y mujer en el ejemplo iniial, b)la oleionfD

j g

j2N de

onjuntos de posibilidades de deision, on que uenta adauno de los

papeles (los elementos de D

j

se llaman las estrategias de j) y ) las

utilidadesqueobtendraada partiipanteenelonito on los

diver-sos resultados provoados por ada eneada de estrategias. Suponemos

que estas utilidades las podemos expresar a traves de una funion '

denida en D =D

1 xD

2

x:::xD

n

y que toma valores en R n

, donde n =

jNj. Estaramos suponiendo, on ello, que ada personaque puede

ju-gar el papelj tiene la misma utilidad para ada uno de los resultados

posiblesdel onito.

(N;fD

j g

j2N

(12)

, deimosque b i

es una mejor respuesta de i a

,si seumple que

max i 2D i ' i ( 1 ; 2 ;:::; i ;:::; n ) = ' i ( 1 ; 2

;:::;b i

;:::; n

) y deimos

queb i

esuna mejor respuesta estrita de i a

; sib i

es una mejor

re-spuestade ia

yademas'

i (

1

; 2

;:::;b i

;:::; n

)>'

i ( 1 ; 2 ;:::; i ;:::; n

), para toda i

6=b i

. Denotemosomo R

i (

) al onjunto de

mejores respuestas de i a

y omo R (

) al onjunto de eneadas de

estrategias tales que ada i

es mejor respuesta de i a

. An

aloga-mente en uanto a las mejores respuestas estritas, usaremos R

i ( ) y R ( ).

Los Equilibrios de Nash son eneadas de estrategias

tales que,

paratodoi2N; i

estaenR

i (

),esdeir

2R (

):LosEquilibrios

de Nash estritos son equilibriosde Nash

,tales queestanen R (

):

Porejemplo,en eljuegode loshombres ylasmujeres, (P;Ch)y(R ;B)

son equilibriosde Nashestritos:

Estos equilibrios que aabamos de denir son lo que en la teora

sellaman equilibrios de Nashen Estrategias Puras, pero omo son los

unios que apareeran en este trabajo, nos referiremos a ellos

simple-mente omo equilibriosde Nash.

LapoblaionF,envuelta enun onito representado porun juego

n-personal, estara partida en n subonjuntos, los miembros de F

j son

los que pueden representar el papel j en el onito. En ada periodo

t (tiempo disreto), tiene lugar, en una sola oasion, el menionado

onito y, para ello, se elige un representante al azar de ada F

j . La

poblaionompleta F, omoen elejemplo estudiado, guardamemoria

de lo que ha ourrido en m periodos, despues del enfrentamiento de

ualquier periodo t (onsideramos siempre que t > m), reuerda la

historia del omportamientode los partiipantes en los periodos t,t

1,...,t m+1. Cuando el onito del periodo t+1 ha transurrido,

lasoiedadolvidalo que paso en t m+1 y agrega asu memorialas

aionesdelperiodot+1.Entones,en adaperiodo,lasoiedadpuede

reordar una historia h quees un elemento de D m

:

Si en un momento dado, la soiedad reuerda una historia h de

tama~nom,losindividuos nosonapaes de asimilartodaesa

informa-ion, sino que solo pueden obtener y manejar una \muestra de h" de

tama~no k m. No es neesario exigir que ada oleion de

elemen-tos de h, de tama~no k, sea igualmente probable de ser tomado omo

muestra,porunmiembrodeF,bastaqueadaunade estasoleiones

(13)

Despues de obtener una muestra de informaionaesible, adai en F i esoge e i en D i que maximie X j i 2D Y j2N j j k ' i i ! ; donde j j

es el numero de vees que losmiembros de F

j esogieron la estrategia j 2D j

en . e i

esuna mejor respuesta de i a .

Si h es una historia de tama~no m, una distribuion P

i

( jh) en

D

i

es de mejor respuesta relativa a h, si P

i (

i

;h) > 0, uniamente

uando existe , una muestra de tama~no k de h, tal que i

es una

mejor respuesta de i a . P

i (

i

;h)es independientedel tiempo.

Dados h y h 0

en D m

, h 0

es un suesor de h, si h 0

t = h

t+1 , para

t =1;:::;m 1.

Para fP

i (jh)g

i2N

de mejor respuesta, denimos P 0

, omo el

pro-eso de Markov siguiente:

P 0 hh 0 = ( Q i2N P i ( i

;h),si h 0

es un suesor de h y h 0

m =

0; si h

0

noes un suesor de h o h 0

m 6=

P 0

es elproeso estoastio queYoung onsidera omo un Proeso

de Adaptaion sobre (N;fD

j g

j2N

;'), on memoria m y tama~no de

muestra k:

SiS es elsimplejo unitariode R jD

m

j

, es deir

S = ( 2R jD m j h 0 y X h2D m h =1 ) ;

entonessepuedeonsideraraP 0

omounafuniondeSenS,esdeir,

una dinamia que, a ada distribuionde probabilidad en el onjunto

de historias de tama~no m, le asigna otra distribuion de probabilidad

en ese mismo onjunto.

Deniion. 0

enS esuna distribuion estaionaria de P 0 ,si 0 P 0 = 0 :

Los onoidos resultados de matries no negativas asoiados a los

nombres de Perron y Frobenius y el heho de que los terminos de

a-da renglon P 0

suman 1 garantizan que siempre existen distribuiones

estaionarias de P 0

:

Paraualquierproesodeadaptaionsobreun juego,hesunestado

(14)

que 0

h

= 1: h es una onvenion de P 0

; si h es un estado absorbente

talque h

k

=,para todak =1;2;:::;m:

Es laro que todos los estados absorbente de P 0

son onveniones

y queh es una onvenion, siy solosi h

k

= es un equilibrio de Nash

estrito.

Notodaslasdistribuionesestaionariasdeunproesodeadaptaion

son vetores anonios, por lo que no siempre orresponden a estados

absorbentes.

En un proeso de adaptaion sobre un juego, dependiendo de las

araterstiasde este y del tama~nodek yde m=k,puedehabervarias

onveniones y,existir, ademasde onveniones, otrossubonjuntos de

historiasenlosque,alllegaraellos,elproesopermaneeramoviendose

de una historia a otra, dentro de diho subonjunto, llegando a una

repetiion lia de tales historias. Es interesante detetar, si existen

patrones de onduta, sean onveniones oilos, que de alguna

man-era dominan a los otros. Para obtener la respuesta, Young vuelve a

introduir ruido estoastio al proeso, onsiderando que errar es de

humanos.

Errores y Experimentos. Consideremos un proeso de adaptaion

P 0

sobre un juego

N;fD

j g

j2N ;'

, on tama~nos de memoria m y k,

respetivamente.Reurramosalasuposiion,pordemasrealista,deque

losmiembrosde lapoblaionexperimentan y, onello,pueden ometer

errores.

Reordemos que una persona, situada en una historia h, que toma

una muestra y elige j

esta experimentando si j

no es una mejor

respuesta a , pero existe 0

para la que j

es una mejor respuesta.

Diha persona esta ometiendo un error, si j

no es mejor repuesta

para ninguna muestra posible de tama~no k de h. En otras palabras,

para equivoarse hay que experimentar, pero no todo experimento es

un error.

Cada miembrode lalase F

j

experimenta,desviandose del proeso

de adaptaion on probabilidad "

j

> 0. Todos los miembros de F

j

experimentaranon lamisma probabilidad,pero no tendranla misma

propensiona haerlolosde unalase quelosde otra,ese eselpapelde

las

j

. La probabilidad on que experimenta ada individuo, en ada

periodo, esindependiente del periodoy de losdemasindividuos.

Ademas, si un personaje de F

j

se propone experimentar y si, en

(15)

a su disposiion. Denotemos omo q

j

( jh) a la distribuion en D

j

on que los de F

j

experimentan haia sus diversas estrategias, uando

parten de la historia h. Supondremos que q

j (

j

jh) > 0, para toda j,

j

y h.

A este proeso que se obtiene al perturbar P 0

, on " 2 (0;1) y las

distribuiones f j g j2N y fq j g j2N

, se le llama el proeso de adaptaion

on errores o proeso perturbado y se denota omo P "

. Preisemos en

que onsiste.

Consideremos J N, entones la probabilidad de que estando en

h, en el periodo t, experimenten exlusivamente los miembros de J es

igual a " j Y j2J j ! 0 Y

j2J=

(1 " j ) 1 A :

La probabilidadde que nadieexperimentees

n Y i=1 (1 " i ) :

Ademas,la probabilidad de transiion de h a h 0

en t, bajo el supuesto

de que solo losmiembros de J experimentan y =h 0 m ,es Q hh 0 = ( Q j2J q j ( j jh) Q

j2J= P

j (

j

jh) sih 0

essuesor de h

0 de otra manera.

Si ninguna persona se desva del proeso de adaptaion, la

proba-bilidad de pasar de h ah 0 es P 0 hh 0 . Entones P " hh 0 = n Q i=1 (1 " i ) P 0 hh 0 + P JN;J6=; " jJj Q j2J j ! Q

j2 J=

(1 " j ) ! Q hh 0 ( A)

Eneste proesode adaptaiononerrores,para ualesquiera hy h 0

hay una probabilidad positiva de que en un numero nito de periodos

se llegue de h a h 0

, pues el representante de ualquier F

j

, en ada

periodo, puede experimentar haia ualquiera de sus estrategias, on

probabilidad positiva. Es deir, P "

es irreduible. Mas aun, se puede

llegar de h a h 0

en ualquier numero de periodos mayoro igual quem.

Es deir, P "

es primitiva.Porello, tenemos,

Proposiion 1. Existe "

2 S unia, tal que " P " = " , " > 0.

Ademas,paraada2S,existel(),enteropositivo,talque(P "

) l ( )

=

(16)

"

h

representa la probabilidadde que la historia o estado h sea

ob-servado duranteel proeso perturbado, en ualquiertiempot.

>Que ourre uando la propension a que la gente experimente es

muy peque~na?

Porlopronto,delaexpresionAsedesprendelaarmaionsiguiente.

Proposiion 2. lm

"!0 P

"

hh 0

=P 0

hh 0

, para toda pareja de historias h y h 0

.

Ademas, si P "

hh 0

> 0 y r(h;h 0

) es el n umero menor de personas que

tienen que experimentar, para pasar de h a h 0

, en un solo periodo,

en-tonesr(h;h 0

)eselmenorentero nonegativotal queellm

"!0 "

r(h;h 0

)

P "

hh 0

existey es positivo.

Tambien nos importa el omportamiento de "

>Existe el lmite de

"

uando" tiendea ero? Y siesto es as, >uales de sus oordenadas

siguensiendo positivas en diholmite?

Dejando a un lado, por un momento, estas preguntas, proedamos

omoenlaprimeraseion.Esdeir,asoiemosaP "

ladigraa

V; !

A

,

on V = D m

(el onjunto de historias on memoria de tama~no m), y

!

A = f(h;h 0

)2VxV jP "

hh 0

>0g, ademas a ada eha (h;h 0

) le

asig-namos r(h;h 0

) omo osto. Esta es una idea de Freidlin y Wentzell [2℄

quepermitetransformarunproblemaplanteadoatravesde unproeso

deMarkov quesufreperturbaionesen un problemade teorade redes.

Sepuedemedirlaatraiondeadahistoriahdentrodelproesode

adaptaionperturbado,alulandoelostodellegarahdesdeualquier

otra historia, a la manera de la seion 2. Para ada h, se onsideran

losh-arboles, esdeir las subdigraas de

V; !

A

que ontienen,para

ada h 0

, una trayetoria dirigida unia que oneta a h 0

on h. Las

ehas onservan el osto que tenan, el osto de , un h-arbol, es

r() = P

( b

h; e

h)2 r

b

h; e

h

. El potenial estoastio de h es el mnimo de

losostos de los h-arboles.

El siguiente teorema de Young es un aso espeial de un teorema

de Freidliny Wentzell [2℄sobre proesos de Markov perturbados y

jus-tia el proedimiento que seguimosen la seion anterior para

dete-tar la historia que ourrira tan freuentemente, en el onito de los

hombres ontra las mujeres, que se onvertira en una onvenion. La

demostraiondelteoremasepuedeonsultarenelapendiedelartulo

(17)

Teorema 3. Sea P "

un proeso de adaptaion perturbado sobre un

juego retangular nito on tama~nos de memoria y de muestra m y

k, tales que k y m

k

son suientemente grandes. Entones existe

, el

lmitede "

uando "tiende aero.

esuna distribuionestaionaria

de P 0

y es independiente de P

i

( jh), f

j g

j2N y fq

j g

j2N .

h

> 0 si y

solo si h es una historia de mnimo potenial estoastio.

Llamamos a

la distribuion lmite y a h, tal que

h

> 0, un

equilibrioestoastiamente estable.

nos die on que probabilidadse presentara ada historiaa lolargo

del tiempo.Eneljuegode loshombres ylasmujeres, sim yk son

ade-uadaselequilibrioestoastiamenteestableeslarepetiionde(P;Ch)

Las historias de mnimo potenial estoastio orresponden a las

oordenadas positivasde distribuiones estaionariasde P 0

espeiales.

Paraenontrarlasseonsideraunagraadirigida,talqueadavertie

es una onvenion o un ilo del proeso y hay una eha para ada

pareja ordenada de verties. Los ostos asignados a las ehas son los

mnimos ostos para pasar, dentro de la digraa asoiada a P "

, de la

onvenion o ilo representado por el vertie iniial, a la onvenion

o ilo representado por el vertie nal. Por ultimo se enuentran los

verties de mnimo potenial estoastio dentro de esta nueva graa

dirigida.

Veamos, para nalizar, la distribuion lmite y los equilibrios

es-toastiamente establesen elproeso de adaptaionsobre un juego de

mas de dos jugadores.

4 Nostalgia por el dinosaurio.

No hablaremos del uento de Monterroso (>o era novela?), sino de

un tipo de situaion muy familiar a todos. Nos referimos a los

pro-esos eletorales mexianos, tan llenos de onveniones on nombres

pintoresos quemaranellenguajedel pas.Dejandoaun ladolas

ele-ionesmismas,tanrias enestas,y reduiendonosalosproesosdonde

senombrabanandidatosdentro delpartidoalquesevinulala

forma-iondeasi todas estasonveniones, tenemos, pormenionaralgunas,

al\Dedazo", al\Tapado",ala\Cargada",a aquellode que\Elque se

mueve nosale en lafoto".

Sentimos queelfenomeno del\Dedazo" esanalogo alde las

(18)

los andidatos eran otros. Como suede en todo el mundo y en

to-das lasepoas, dihos eletores eran fuertes grupos de poder eon

omi-o, poltio y militar, entre los que, en oasiones, podan ontarse las

grandesentralessindialesyorganizaionessemejantes.Laorrelaion

entre estas fuerzas y la relaion de los diversos aspirantes a \tapado"

onellas, dabanlaapaidad alospreandidatosde otorgarprebendas

a los que los apoyaran para onseguir ser el \bueno". Y tambien les

daban el poder de propinar diversos astigos, al que apoyara a otros,

desdedesapareerlosde laesenapoltiapor6a~nos,enviarlosaalguna

embajada o a una larga estania en la arel, despues de \desubrir"

algun ilitoometido. No todos losandidatos podandar los mismos

premiosy astigos.

Esquematizandoal extremoeste ompliadoonito, supongamos

quelos eletores eran simetrios.Es deir, on igual poder todos ellos,

porloual, obtenanlosmismos beneios y astigos,para lasmismas

eneadas de aiones.Ademas,partede ese mismosupuesto de simetra

de los eletores es que ada uno de ellos areade ataduras o

enemis-tades on uno u otro de los andidatos. Podemos, entones, onstruir

un juego,en dondelosjugadoresson n eletores, on elmismo

onjun-tode estrategias.Estas onsisten enapoyara unode lospreandidatos

posibles C

1 , C

2

, ..., C

r

o bien abstenerse. La utilidad que reibe un

eletorj ualquiera, para ada eneada de estrategias, esta dada por la

funion siguiente:

'

j (

1

; 2

;:::; n

)= 8

<

:

0 si

j

= absteniono no hay mayora,

p

k

>0 si j

=C

k y C

k

tiene mayora,

q

k

<0si j

=C

k y C

s 6=C

k

tiene mayora.

Losequilibriosde estejuegoson ryson delaforma(C

k ;C

k ;:::;C

k ),

para k=1;2;:::;r,es deir,ada equilibrio de Nash es una \Cargada"

haiauno de lospreandidatos.

Podemos observar que, si hubieramos exigido que para que un C

k

ganara laandidatura neesitaba tener el apoyo de al menos dos

ele-tores, entones tambien (abstenio n, abstenio n, ..., abstenio n) , \El

quese mueve nosale en la foto",sera un equilibrio de Nash.

Para onstruir un proeso de adaptaionsobre este juego, se puede

onsiderar,por un lado,larepetiionde este en losmomentos de

nom-brar andidatos a presidente, gobernadores, presidentes muniipales,

senadores, diputados federales y loales. Pero, por otro lado, tambien

podemos onsiderar repetiiones del juego a los reaomodos entre las

(19)

sepa-partidaen lasdiversasfuerzas queson loseletores yquepueden tener

distintos representantes, en ada periodode repetiiondel juego.

Para onretar, supongamos que los preandidatos eran los

ou-pantes de 5 puestos laves, en relaional puesto de eleion. Digamos

que SG;ST;SD;SH y SC; y ademas, p

SG

= 3, q

SG

= 1, p

ST = 5,

q

ST

= 3, p

SD

= 8, q

SD

= 10, p

SH

= 4, q

SH

= 2 y p

SC = 6,

q

SC

= 5.

Las 5 onveniones del proeso, para ualquier m y k; son de la

forma h

C

k

, on h

C

k = (C

k ;C

k ;:::;C

k

), para C

k

= SG, ST, SD, SH,

SC.

Si k y m=k son suientementemente grandes, para que los pasos

tengan sentido, sabemos que entre las historias h

C

k

estan los posibles

vertiesdemenorpotenialestoastio,esdeirlosequilibriosesto

asti-amente estables. Para enontrarlos, se puede onsiderar la digraa

uyosvertiesson las5onveniones yuyasehassontodaslas

pare-jas h

C

j ;h

Cs

.Ademaselostodelaeha h

Cj ;h

Cs

esigualalmnimo

osto entre losde todas lastrayetorias queunenun vertiede h

C

j on

otro de h

Cs

. Dihadigraaaparee en la gura3.

Resolviendoun problemade arboresenia,se enuentra quela

his-toria de mnimo potenial es aquella en la que todos apoyan a SG,

durantelosmperiodosquereuerdalasoiedad,esteeselequilibrio

es-toastiamenteestable.NotesequeSGnoeselpreandidatoqueofree

un premio mayor. En la seleion pesan tambien los astigos. Hay un

problema deriesgoinvolurado. Elequilibriode Nash(SG;SG;:::;SG)

que se repite en el equilibrio estoastiamente estable es el unio que

es dominanteporriesgo del juego.

Referenias

[1℄ K.Binmore (1993),Teora de Juegos, MGraw-Hill

[2℄ M. Freidlin y A. Wentzell (1984), Random Perturbations of

Dy-namial Systems, Springer-Verlag.

[3℄ J Maynard Smith (1982), Evolution and the Theory of Games,

Cambridge University Press.

(20)

Figura 3

[6℄ F. Vega Redondo (1997), Evolution, Games and Eonomi

Be-haviour, OxfordUniversity Press.

[7℄ H.P. Young (1993),The Evolution of Conventions,Eonometria

Referencias

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