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Diseño en Bloques Completos al Azar (DBCA)

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Academic year: 2019

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(1)

Diseño en Bloques Completos al Azar

(DBCA)

1. Características

 Las unidades experimentales presentan un gradiente de variación que no se puede controlar, pero que se puede identificar.

 El gradiente se descompone en bloques transversales a éste. Las unidades experimentales son homogéneas dentro de cada bloque, pero existe variación entre bloques.

 Existen dos factores: bloques (no controlados) y tratamientos (controlados) (Figura 1).

 No hay interacción entre bloques y tratamientos, esta forma parte del error experimental cuando hay una repetición por bloque.

 La aleatorización es restringida, es decir, dentro de cada bloque se asignan al azar los t tratamientos a las unidades experimentales.

 El número de repeticiones por tratamiento es igual al número de bloques.

Gr

ad

ien

te

Bloque 1 A D B C

Bloque 2 B C A D

Bloque 3 D C B A

Bloque 4 C D A B

Figura 1. Estructura del diseño en bloques completos al azar. Existe un gradiente de variación (señalado por la flecha), de alguna variable que no interviene en los tratamientos. Cada bloque es perpendicular a este gradiente. Los tratamientos A,..., D se repiten una vez dentro de cada bloque y se asignan en forma aleatoria a cada unidad experimental dentro de cada bloque. La aleatorización se aplica de nuevo a cada bloque. Es decir, no es válido emplear la aleatorización de un bloque y usarla para otro bloque.

2. Modelo Aditivo Lineal

El modelo aditivo lineal para el DBCA es:

ij j i ij

Y   

ij

Y Observación en el tratamiento i, repetición j

 Media poblacional j

 Efecto del j-ésimo bloque i

 Efecto del i-ésimo tratamiento ij

(2)

En este modelo, como en el DCA, la restricción es que la suma del efecto de los tratamientos es cero; lo mismo ocurre con el efecto de bloques, es decir, la suma del efecto de bloques es cero.

3. Análisis de la varianza

Hipótesis nula: El efecto de todos los tratamientos es el mismo.

Hipótesis alternativa: Al menos uno de los tratamientos difiere.

Fuente de variación

GL Suma de Cuadrados SC (Alternativo) Cuadrado medio (CM)

Fc Tratamientos t-1

t

i

i Y

Y

r . ..2

rt Y r Y

i i

2 .. 2 . 

SC(tmt)/GL(tmt) CM(tmt)/CM(error)

Bloque r-1

r

j

j Y

Y

t . .. 2

rt Y t Y

r

j j

2 .. 2 .

Error (t-1)(r-1)

SC(total)-SC(tmt)-SC(bloque)

Diferencia SC(error)/GL(error) Total rt



t

i r

j

ij Y

Y .. 2

rt Y Y

tr

ij ij

2 .. 2

Este cuadro del ANVA prueba si existe efecto de al menos unos de los tratamientos. Es posible realizar la prueba de bloques, es decir, probar si existe efecto de bloques. Para esto, se tendría que calcular el valor de F como el cociente del CM(bloques)/ CM(error), con los grados de libertad de bloques y error respectivamente. Esta prueba NO se recomienda

EFECTUARLA. La remoción del efecto de bloques es la razón fundamental de emplear este diseño y no determinar si existe efecto de los mismos.

Como en el caso del DCA, las SC son aditivas. Asimismo, la hipótesis general (todos los tratamientos son iguales) tiene poco valor per se, pero se recomienda tomarla en cuenta para proceder a realizar pruebas de hipótesis posteriores. Lo importante de este cuadro es el CM(error). Hipótesis pertinentes pueden establecerse de antemano de acuerdo a la

estructura de los tratamientos y conduce a la elaboración de contrastes o bien a la realización de comparaciones múltiples.

(3)

El siguiente cuadro muestra la estructura de las observaciones en un DBCA:

T1 T2 T3 T4 Total SC Media B1 3 6 9 12 30 45 7.5

B2 5 9 9 12 35 24.75 8.75

B3 6 7 8 16 37 62.75 9.25

B4 3 5 17 17 42 171.0 10.5

B5 5 12 13 19 49 98.75 12.25

Total 22 39 56 76 193 402.25

Media 4.4 7.8 11.2 15.2 9.65

SC 7.2 30.8 56.8 38.8 133.6

SC(Tmt) = (222 +...+ 762)/5 - 1932/20= 2183.40 - 1862.45 = 320.95

SC(Bloque) = (302 +...+ 492)/ 4 - 1862.45= 1914.75 - 1862.45 = 52.30

SC(Total Corregido) = (32 + ... + 192) - 1862.45 = 454.55

SC(Error) = 454.55 - 320.95 - 52.30 = 81.30

El cuadro del ANVA es:

Fuente de variación GL SC CM Fc

Tratamientos 3 320.95 106.98 15.8

Bloques 4 52.13 13.07

Error 12 81.3 6.77

Total corregido 19 454.55

Como en el caso del DCA, la prueba general del ANVA, Ho: todos los tratamientos son iguales, es de poca importancia, el valor de P para este ejemplo es de 0.002, lo cual conduce a rechazar Ho. Contrastes o Pruebas de Comparaciones Múltiples pueden ejecutarse usando el CM(error).

5. Componentes del Modelo Lineal

Los estimadores de los componentes del modelo lineal: Yij = µ +ti + j + ij son:

Parámetro Estimador

µ Media general, Y

i Diferencia: Yi.Y

j Diferencia: Y.jY

ij Diferencia: Y

Yi Y j Y

ij  . . 

(4)

                                                                                                                    2 . 1 8 . 0 6 . 1 2 95 . 0 95 . 4 65 . 3 25 . 2 2 . 1 8 . 2 4 . 0 2 3 . 2 3 . 1 1 . 2 5 . 1 05 . 1 05 . 0 35 . 0 75 . 0 6 . 2 6 . 2 6 . 2 6 . 2 85 . 0 85 . 0 85 . 0 85 . 0 4 . 0 4 . 0 4 . 0 4 . 0 9 . 0 9 . 0 9 . 0 9 . 0 15 . 2 15 . 2 15 . 2 15 . 2 55 . 5 55 . 1 85 . 1 25 . 5 55 . 5 55 . 1 85 . 1 25 . 5 55 . 5 55 . 1 85 . 1 25 . 5 55 . 5 55 . 1 85 . 1 25 . 5 55 . 5 55 . 1 85 . 1 25 . 5 65 . 9 65 . 9 65 . 9 65 . 9 65 . 9 65 . 9 65 . 9 65 . 9 65 . 9 65 . 9 65 . 9 65 . 9 65 . 9 65 . 9 65 . 9 65 . 9 65 .. 9 65 . 9 65 . 9 65 . 9 19 13 12 5 17 17 5 3 16 8 7 6 12 9 9 5 12 9 6 3

De las matrices anteriores es fácil visualizar las sumas de cuadrados: La suma de cuadrados total es: 32 + 52...172 + 192 = 2317

La suma de cuadrados de la media es: 20(9.652)= 1862.45

La suma de cuadrados totales, corregida por la media es: 2317.0 - 1862.45 = 454.55 La suma de cuadrados de los tratamientos es: 5(-5.25)2 + ... + 5(5.55)2 = 320.95 La suma de cuadrados de los bloques es: 4(-2.15)2 + ... + 4(2.6)2 = 52.3

La suma de cuadrados del error es: 0.752 + ... + 1.22 = 81.3

Los grados de libertad son:

Grados de libertad totales, no corregido: 20

Grados de libertad totales, corregido por la media: 19 (El total debe dar cero). Grados de libertad para los tratamientos son t-1 = 4-1 = 3 (el total suma cero). Grados de libertad para los bloques son r-1 = 5-1 = 4 (el total suma cero).

Grados de libertad para los residuales, debe ser cero horizontal (r-1) = 4 y vertical (t-1) = 3, por lo tanto son (r-1)(t-1) = 12.

6. Pruebas de Hipótesis

La formulación de hipótesis o combinaciones lineales de tratamientos depende de la estructura y naturaleza de los tratamientos y de las preguntas de investigación planteadas previamente a la ejecución del experimento. En esta sección veremos tres modelos lineales que resuelven tres enfoques sobre qué preguntas de investigación son relevantes.

Comparación de los tratamientos contra un testigo

(5)

Tratamiento Significado

1 Testigo

2 Plaguicida A

3 Plaguicida B

4 Plaguicida A + Plaguicida B

Se pueden formular las siguientes hipótesis:

Hipótesis nula Coeficientes

Tmt 1 Tmt 2 Tmt 3 Tmt 4

2 1 

  1 -1 0 0

3 1 

  1 0 -1 0

4 1 

  1 0 0 -1

Es decir, se comparan tres tipos de plaguicidas contra un testigo, que puede ser no aplicar ningún plaguicida. La variable respuesta se puede considerar el número de frutos por planta, por ejemplo.

Lo anterior se puede representar con el modelo siguiente:

 

 

 

 

i

  

 

 

   

 

 

 

  

 

 

   

7 1 5 6 1 4 5 1 3

4 1 2 3 1 4 2 1 3 1 1 2 1 1 i

X X

X

X X

X X

Y

Las X son variables de engaño que corresponden a los tratamientos y toman valores de 0 ó 1, según el caso.

(6)

                                                                                                                                                                                                                               20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 5 1 4 1 3 1 2 1 4 1 3 1 2 1 1 5 4 4 4 3 4 2 4 1 4 5 3 4 3 3 3 2 3 1 3 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 19 17 16 12 12 13 17 8 9 9 12 5 7 9 6 5 3 6 5 3                                                                             

Las dos primeras columnas sirven únicamente para indicar la posición de los tratamientos y bloques en las hileras respectivas y no intervienen directamente en el modelo. Los valores distintos de cero en el cuerpo de la matriz principal o matriz-diseño corresponden a las hileras donde se encuentre el respectivo tratamiento.

(7)

El análisis de varianza muestra que los componentes del modelo, ignorando los residuales, son significativamente distintos de cero (P = 0.00108), lo cual es una hipótesis demasiado general y no se toma en cuenta.

Los resultados posteriores indican con mayor particularidad la significancia de los estimadores del modelo, que corresponden a pruebas de hipótesis específicas. Para este diseño, es conveniente recordar que las pruebas entre bloques no se toman en cuenta. Los resultados muestran que los tratamientos 3 y 4 son significativamente distintos del

tratamiento uno (P = 0.0014 y P = 0.0000 respectivamente), mientras que el tratamiento 2 se encuentra en el borde, aunque se puede rechazar la igualdad entre ambos tratamientos con un nivel de error tipo I de 0.0612. Por lo tanto, en el contexto de este problema, como fue definido, se puede concluir que las tres combinaciones de plaguicidas difieren

significativamente del testigo. La Fig. 2 muestra el promedio de frutos/planta en función de los tratamientos.

(8)

Contrastes Ortogonales-1

Para el ejemplo previo, se pueden establecer las siguientes hipótesis alternativas:

Hipótesis nula Coeficientes

Tmt 1 Tmt 2 Tmt 3 Tmt 4

2 3 4

/3

1   

    -3 1 1 1

2 3

/24 0 1 1 -2 3

2 

  0 -1 1 0

El primer contraste prueba si existe efecto del promedio de los tratamientos con insecticida, en relación con el testigo. El segundo contraste prueba si los plaguicidas A y B son igual de efectivos juntos que separados, mientras que el tercer contraste prueba el plaguicida A contra el B.

La representación con matrices es:

(9)

El lector puede reconocer que el intercepto del modelo lineal es (µ + 1), es decir, la media

del primer bloque o la media general más el efecto del primer bloque.

La solución de este modelo se presenta a continuación, aplicando regresión lineal múltiple. En este caso, el cuadro del análisis de la varianza se omite pues los resultados son idénticos al modelo previo:

Los resultados indican que, en promedio, los tratamientos con plaguicidas difieren del testigo (P = 0.0002), los productos aplicados por separado difieren de la mezcla (P = 0.0018) y los productos A y B difieren ligeramente (P = 0.0612).

Observe que el valor de 1.75 corresponde a (t2 + t3 + t4) -3t1= 7 en unidades de tratamiento,

es decir, 1.75 = 7/ 4. Por su parte -1.9 corresponde a (t2 + t3) - 2t4 = -5.7, otra vez por

tratamiento, i.e., -5.7/ 3 = -1.9. Finalmente -1.7 corresponde a (t3 - t2) = -3.4, expresada en

unidades de tratamiento: -3.4/ 2 = -1.7.

Contrastes Ortogonales-2

Ahora considere que los tratamientos corresponden a la combinación de dos factores: A, especies de coccinélidos (a1 = Hippodamia, a2 = Coccinella), y B estado de desarrollo (b1,

larva, b2 adulto). Se puede considerar que la variable respuesta es consumo de pulgones.

Los tratamientos se encuentran en el siguiente cuadro:

Tratamiento Significado

1 a1b1 Larva de Hippodamia

2 a1b2 Adulto de Hippodamia

3 a2b1 Larva de Coccinella

4 a2b2 Adulto de Coccinella

Con base en la estructura de estos tratamientos, es posible formular las siguientes hipótesis independientes (contrastes ortogonales):

Hipótesis nula Coeficientes

Tmt 1 Tmt 2 Tmt 3 Tmt 4

12

/2

34

/2 1 1 -1 -1

13

/2

2 4

/2 1 -1 1 -1

(10)

La primera prueba compara el consumo de áfidos entre Hippodamia y Coccinella, el segundo contraste prueba el consumo entre larvas y adultos mientras que la tercera prueba determina si la diferencia en el consumo entre larva y adulto de Hippodamia es similar para Coccinella.

La matriz-diseño que corresponde a las pruebas anteriores es:

                                                                                                                                                                                                                                                                  20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 5 1 4 1 3 1 2 4 3 2 1 4 2 3 1 4 3 2 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 19 17 16 12 12 13 17 8 9 9 12 5 7 9 6 5 3 6 5 3                                          

(11)

Los resultados indican que, la diferencia en consumo entre estados para ambas especies es similar (P = 0.80) y existen diferencias en el consumo entre estados de desarrollo (P =0.0079) y entre especies (P = 0.0001). Los valores promedios, presentados en la Fig. 2 y ahora suponiendo consumo, indican que Coccinella tiene un consumo mayor que

Hippodamia y los adultos consumen más que las larvas. Observe que, al igual que con los contrastes previos, los valores de los contrastes se presentan con base en unidades de tratamientos.

Es importante notar que los dos últimos ejemplos presentan contrastes ortogonales; el lector debe reconocer que el arreglo de estas hipótesis depende del contexto del problema y por lo tanto difieren.

7. Otros Aspectos del Uso de Bloques

Existen variaciones en cuanto a los efectos que se estiman, tanto de bloques como de tratamientos. Los casos son los siguientes:

Tanto los tratamientos como los bloques presentan efectos fijos. En este caso, los valores particulares, tanto de bloques como de tratamientos, se pueden repetir de experimento a experimento. El objetivo es realizar inferencias sobre estos parámetros en particular y no sobre tratamientos o bloques no incluidos en el experimento.

Los tratamientos y los bloques presentan efectos aleatorios. Esto ocurre cuando bloques y tratamientos son extraídos al azar de sus respectivas poblaciones. Las inferencias se realizan sobre estas poblaciones y no sobre los niveles particulares de bloques o

tratamientos. Es común emplear este modelo si los bloques se consideran representativos de la población cuando se desea realizar generalizaciones de los tratamientos sobre distintas condiciones. La variabilidad en los tratamientos ocurre cuando no existe control de ellos, por ejemplo, en las variaciones de camadas de animales o la variación diaria de niveles de producción.

El modelo mixto ocurre cuando se tienen tratamientos fijos y bloques variables, o al revés. Este modelo es común, por ejemplo, en la evaluación de variedades de trigo en distintos tipos de suelos, es posible que en cada experimento los tipos de suelo sean distintos. La variabilidad en bloques ayuda a ampliar las inferencias de los tratamientos.

(12)

un modelo híbrido que combina ANVA y Regresión lineal. En este caso (análisis de covarianza), se pierde un grado de libertad por la covariable.

8. Temas Relacionados

Introducción al Análisis de la Varianza Análisis de Covarianza

9. Bibliografía

Box, G.E.P., W.G. Hunter, and J.S. Hunter. 1978. Statistics for experimenters. Wiley. New York.

Infante G., S. y G.P. Zarate de Lara. 1984. Métodos Estadísticos. Trillas. México. Sokal, R.R., and F.J. Rohlf. 1995. Biometry. Freeman. New York.

Steel, R.G.D., J.H. Torrie, and D.A. Dickey. 1997. Principles and procedures of statistics. A Biometric approach. McGraw-Hill Co. New York.

Figure

Figura 1. Estructura del diseño en bloques completos al azar. Existe un gradiente de variación  (señalado por la flecha), de alguna variable que no interviene en los tratamientos
Figura 2. Valores promedio de los cuatro tratamientos del ejemplo. Se supone que la variable  respuesta representa el número de frutos por planta

Referencias

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