Cálculo Diferencial e Integral I

Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de junio de 2009. Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México

La edición consta de 2,915 ejemplares. COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA Director General

Lic. Bulmaro Pacheco Moreno

Director Académico

Lic. Jorge Alberto Ponce Salazar

Director de Administración y Finanzas

Lic. Oscar Rascón Acuña

Director de Planeación

Dr. Jorge Ángel Gastélum Islas

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

Módulo de Aprendizaje.

Copyright ©, 2008 por Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora

Todos los derechos reservados.

Segunda edición 2009. Impreso en México.

DIRECCIÓN ACADÉMICA

Departamento de Desarrollo Curricular Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280

Registro ISBN, en trámite.

COMISIÓN ELABORADORA: Elaboración:

Librada Cárdenas Esquer Lourdes Torres Delgado

Revisión de Contenidos:

María Elena Conde Hernández Hermenegildo Rivera Martínez

Corrección de Estilo:

Alejandro Ernesto Rivas Santoyo

Supervisión Académica:

Nancy Vianey Morales Luna

Diseño de Portada:

María Jesús Jiménez Duarte

Edición:

Bernardino Huerta Valdez Francisco Peralta Varela

Coordinación Técnica:

Martha Elizabeth García Pérez

Coordinación General:

COMPONENTE:

FORMACIÓN

PROPEDÉUTICA

GRUPO:

FÍSICO-MATEMÁTICO Y

ECONÓMICO-ADMINISTRATIVO

Esta asignatura se imparte en el V Semestre; tiene como antecedente las asignaturas de Matemáticas, la asignatura consecuente es Cálculo Diferencial e Integral II, y se relaciona con todas las asignaturas del Grupo

Físico-Matemático y del Económico-Administrativo.

HORAS SEMANALES: 03

CRÉDITOS: 06

DATOS DEL ALUMNO

Nombre: ______________________________________________________ Plantel: _________________________________________________________ Grupo: ____________ Turno: _____________ Teléfono:_______________ Domicilio: _____________________________________________________ ______________________________________________________________

Reglas de derivación CÁLCULO DIFERENCIAL

E INTEGRAL I

Aplicaciones

Valores máximos y

mínimos Optimización en las ciencias naturales y sociales

Graficado de curvas complejas Límites y continuidad

Derivadas

Funciones

elementales trascendentes Funciones

A problemas de Inician con el conocimiento de

Conforman las

Se aplican

Para derivar se usan

Recomendaciones para el alumno ... 7

Presentación ...8

RIEMS ...9

UNIDAD 1. LÍMITES ... 11

1.1. Límites. ...13

1.1.1. Noción intuitiva de límite y límites laterales. ...13

1.1.2. Teorema de propiedades de los límites ...20

1.1.3. Límites de funciones polinomiales, racionales, trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. ...22

1.1.4. Límites infinitos y límites en el infinito ...26

1.2. Teorema de continuidad de una función ...33

1.2.1. Condiciones de continuidad ...34

Sección de tareas ...39

Autoevaluación ...49

Ejercicio de reforzamiento ...51

UNIDAD 2. LAS RAZONES DE CAMBIO Y LA DERIVADA ... 53

2.1. La derivada ... 55

2.1.1. Interpretación geométrica de la derivada ... 55

2.1.2. Razón de cambio promedio... 64

2.1.3. La razón de cambio instantánea ... 68

2.2. Reglas de derivación ... 68

2.2.1. Reglas para calcular derivadas ... 68

2.2.2. Regla de la cadena ... 75

2.2.3. Derivadas de funciones trigonométricas ... 78

2.2.4. Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas ... 81

Sección de tareas ...85

Autoevaluación ...103

UNIDAD 3. VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS Y SUS

APLICACIONES ... 107

3.1.Aplicaciones de la primera derivada ... 109

3.1.1. Cálculo de valores máximos y mínimos relativos con el criterio de primera derivada ... 109

3.1.2. Cálculos de valores máximos y mínimos con el criterio de la segunda derivada ... 115

3.2.Aplicaciones de la derivada ... 118

3.2.1. Problemas prácticos de máximos y mínimos ... 118

3.2.2. Aplicaciones en las ciencias naturales, económico – administrativas y sociales ... 122

Sección de tareas ... 127

Autoevaluación ... 133

Ejercicio de reforzamiento ... 135

Glosario ... 135

Bibliografía ... 137

El presente Módulo de Aprendizaje constituye un importante apoyo para ti; en él se manejan los contenidos mínimos de la asignatura Cálculo Diferencial e Integral I.

No debes perder de vista que el Modelo Académico del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora propone un aprendizaje activo, mediante la investigación, el análisis y la discusión, así como el aprovechamiento de materiales de lectura complementarios; de ahí la importancia de atender las siguientes recomendaciones:

• Maneja el Módulo de Aprendizaje como texto orientador de los contenidos temáticos a revisar en clase.

• Utiliza el Módulo de Aprendizaje como lectura previa a cada sesión de clase.

• Al término de cada Unidad, resuelve la autoevaluación, consulta la escala de medición del aprendizaje y realiza las actividades que en ésta se indican.

• Realiza los ejercicios de reforzamiento del aprendizaje para estimular y/o reafirmar los conocimientos sobre los temas ahí tratados.

• Utiliza la bibliografía recomendada para apoyar los temas desarrollados en cada unidad.

• Para comprender algunos términos o conceptos nuevos, consulta el glosario que aparece al final del módulo.

El programa de estudio de Cálculo Diferencial e Integral, se ubica en el grupo disciplinario Físico- Matemático y Económico-Administrativo, del componente de formación propedéutica del plan de estudios acordado para la reforma curricular de bachillerato general, su enfoque metodológico está centrado en el aprendizaje, pues promueve las estrategias de aprendizaje basadas en la solución de problemas relacionados con las ciencias naturales y sociales.

La relevancia que tiene esta asignatura para el estudiante es contribuir al desarrollo de su perfil de egreso para desarrollar las capacidades que le permitan incorporarse de manera competente a los estudios de nivel superior. Por lo anterior, la prioridad de este grupo disciplinario es el desarrollo de los procesos lógicos del estudiante orientados al análisis y explicación de diversos fenómenos naturales y sociales, tales como:

ƒ La aplicación en la vida cotidiana de los conocimientos de las diferentes ramas de las matemáticas, al resolver problemas con base en sus principios y leyes.

ƒ El manejo reflexivo y crítico del quehacer científico, y la toma de conciencia de sus impactos social, económico y ambiental.

ƒ La adquisición de principios específicos de las diferentes áreas del conocimiento de las matemáticas, que le faciliten su decisión personal para elegir adecuadamente sus estudios superiores.

En esta sociedad actual, llamada “del conocimiento”, las cogniciones matemáticas deben ser lo suficientemente sólidas para responder con flexibilidad a los vertiginosos cambios y nuevos conocimientos en la ciencia y la tecnología. La herramienta que brinda el cálculo diferencial e integral a través de concepto de derivada es ciertamente poderosa, pues permite generar modelos matemáticos para una gran variedad de fenómenos científicos, que requieren de soluciones para su problemática.

RIEMS

Introducción

El Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora, en atención a los programas de estudio emitidos por la Dirección General de Bachillerato (DGB), ha venido realizando la elaboración del material didáctico de apoyo para nuestros estudiantes, con el fin de establecer en ellos los contenidos académicos a desarrollar día a día en aula, así como el enfoque educativo de nuestra Institución. Es por ello, que actualmente, se cuenta con los módulos y guías de aprendizaje para todos los semestres, basados en los contenidos establecidos en la Reforma Curricular 2005. Sin embargo, de acuerdo a la reciente Reforma Integral de Educación Media Superior, la cual establece un enfoque educativo basado en competencias, es necesario conocer los fines de esta reforma, la cual se dirige a la totalidad del sistema educativo, pero orienta sus esfuerzos a los perfiles del alumno y profesor, siendo entonces el camino a seguir el desarrollo de las competencias listadas a continuación y aunque éstas deberán promoverse en todos los semestres, de manera más precisa entrará a partir de Agosto 2009, en el primer semestre.

Competencias Genéricas

CATEGORIAS COMPETENCIAS GENÉRICAS

I. Se autodetermina y cuida de sí.

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.

3. Elige y practica estilos de vida saludables. II. Se expresa y

comunica 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

III. Piensa crítica y reflexivamente

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

IV. Aprende de forma autónoma

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

V. Trabaja en forma

colaborativa 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

VI. Participa con responsabilidad en la sociedad

9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.

Competencias Disciplinares Básicas

Matemáticas

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Competencias docentes:

1. Organiza su formación continua a lo largo de su trayectoria profesional. 2. Domina y estructura los saberes para facilitar experiencias de aprendizaje

significativo.

3. Planifica los procesos de enseñanza y de aprendizaje atendiendo al enfoque por competencias, y los ubica en contextos disciplinares, curriculares y sociales amplios.

4. Lleva a la práctica procesos de enseñanza y de aprendizaje de manera efectiva, creativa e innovadora a su contexto institucional.

5. Evalúa los procesos de enseñanza y de aprendizaje con un enfoque formativo.

6. Construye ambientes para el aprendizaje autónomo y colaborativo.

7. Contribuye a la generación de un ambiente que facilite el desarrollo sano e integral de los estudiantes.

U

U

n

n

i

i

d

d

a

a

d

d

1

1

L

L

í

í

m

m

i

i

t

t

e

e

s

s

Objetivo:

El alumno:

Resolverá problemas de límites en las ciencias naturales, económicas administrativas y sociales a partir de la aplicación y el empleo de sus teoremas mediante el análisis de su comportamiento gráfico, con una actitud analítica y participativa.

Temario:

¾ Límites.

Mapa Conceptual de Unidad

CÁLCULO DIFERENCIAL E

INTEGRAL

LÍMITES

LÍMITES

TEOREMA DE CONTINUIDAD DE UNA

FUNCIÓN

NOCIÓN INTUITIVA

TEOREMAS Y PROPIEDADES

LÍMITES DE FUNCIONES POLINOMIALES, POR PARTES Y RACIONALES

LÍMITES INFINITOS Y EN EL INFINITO

L

L

Í

Í

M

M

I

I

T

T

E

E

S

S

.

.

1.1.1. Noción intuitiva de límite y límites laterales. ¿Qué es cálculo?

Cálculo es la matemática del cambio: velocidades y aceleraciones. Cálculo es también la matemática de rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arcos, centroides, curvaturas y otros diversos conceptos que han hecho que los científicos, ingenieros y economistas puedan modelar situaciones de la vida real.

Aunque las matemáticas previas al cálculo también versan sobre velocidades, aceleraciones, rectas tangentes, pendientes, etc., aquí se tiene una diferencia fundamental entre las matemáticas previas y el propio cálculo: las matemáticas previas al cálculo son más estáticas, en tanto que el cálculo es más dinámico. Algunos ejemplos son:

• Un objeto que viaja con velocidad constante puede modelarse con matemáticas previas al cálculo. Para modelar la velocidad de un objeto en aceleración es necesario el cálculo.

• La pendiente de una recta puede modelarse con matemáticas previas al cálculo. Para modelar la pendiente de una curva es necesario el cálculo. • Una recta tangente a un círculo puede modelarse con matemáticas previas

al cálculo. Para modelar una recta tangente de una gráfica general es necesario el cálculo.

• El área de un rectángulo puede modelarse con matemáticas previas al cálculo. Para modelar el área debajo de una curva general es necesario el cálculo.

Cada una de estas situaciones comprende la misma estrategia general: el replanteamiento de las matemáticas previas al cálculo a través de la aplicación del proceso de hallar el límite. De este modo, una manera de contestar la pregunta “¿qué es cálculo?” es: cálculo es una “máquina de hallar límites” que comprende tres etapas. La primera la constituye las matemáticas previas al cálculo; la segunda es el proceso de hallar el límite; y la tercera es un nuevo planteamiento del cálculo, como una derivada o una integral.

Como ves la noción de límite es fundamental para el estudio del cálculo. Las breves descripciones de dos problemas clásicos del cálculo -el problema de la recta tangente y el problema del área- el primero, se presentará en este curso y el segundo en tu curso subsecuente de Cálculo II, deben de darte cierta idea de cómo se usan los límites en esta disciplina.

Supongamos que se te pide trazar la gráfica de la función

f

dada por:

;

1

1

)

(

3

−

−

=

x

x

x

f

x

≠

1

.

Para todos los valores diferentes de

x

=

1

, es posible aplicar técnicas estándares

1

1

.

_.

1

₁

.

_.

Matemáticas previas al cálculo.

Proceso de hallar el límite.

comportamiento de la gráfica de

f

cerca de

x

=

1

, se pueden utilizar dos conjuntos de valores de

x

; uno que se aproxime a 1desde la izquierda y otro que se acerque a 1 desde la derecha, como se muestra en las tablas:

x

0.9 0.99 0.999 0.9999 1 1.0001 1.001 1.01 1.1

)

(

x

f

2.710 2.970 2.9970 2.9997 ? 3.0003 3.003 3.030 3.310

Cuando se traza la gráfica de la función, parece que la gráfica de

f

es una parábola que tiene una abertura en el punto

(

1

,

3

)

, como se muestra en la

Fig. 1.1. Aunque x no puede ser igual a 1, puedes moverte arbitrariamente cerca de 1 por la izquierda como por la derecha y, como resultado,

f

(

x

)

se mueve, también de modo arbitrario, cerca de

3

. Si utilizas la notación de límites, se puede escribir

lim

(

)

3

1

=

→

f

x

x . Esto

se lee como “el límite de

f

(

x

)

, cuando

x

tiende a 1, es 3”

Esta explicación conduce a una descripción intuitiva de límite.

Para

x

≠

1

la función puede simplificarse, haciendo una factorización del

numerador primeramente y después una división de la siguiente manera:

Como pudiste observar en la Fig. 1.1, la gráfica de la función es la de

1

)

(

x

=

x

2

+

x

−

f

, excepto que la gráfica de la función dada, tiene un corresponde a

x

=

1

, esto debido a pequeño hueco en el punto que

que el valor de la función

f

(

x

)

no existe para dicho valor de x . Cuando se aproxima cada vez más a 1, los valores correspondientes de

f

(

x

)

se aproximan cada vez más a

3

.

Utilizaremos la notación

x

→

c

−para indicar que x tiende al valor c, por la izquierda, y

x

→

c

+para expresar que

x

tiende al valor

c

por la derecha. De esta manera definiremos los límites unilaterales:

Si

f

(

x

)

se acerca arbitrariamente a un número

L

cuando

x

se aproxima a un número

c

desde cualquiera de los dos lados, el límite de

f

(

x

)

, cuando

x

tiende a

c

, es

L

. Este límite se escribe como

L

x

f

c

x→

(

)

=

lim

.

f

(

x

)

tiende a 3

f

(

x

)

tiende a 3

x

tiende a 1 por la izquierda

x

tiende a 1 por la derecha

.

1

1

)

1

)(

1

(

1

1

)

(

2

2 3

−

+

=

−

−

+

−

=

−

−

=

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

A)

L

, es el límite de

f

por la izquierda cuando

x

tiende a

c

por la izquierda y lo representamos como:

f

x

L

c

x

=

−

→

(

)

lim

.

B)

L

, es el límite de

f

por la derecha cuando

x

tiende a

c

por la derecha y lo representamos como:

f

x

L

c

x

=

+

→

(

)

lim

.

Por tanto, si los límites unilaterales tienen un valor común

L

:

f

x

f

x

L

c x c

x→ −

=

→ +

=

)

(

lim

)

(

lim

;

se dice entonces que

lim

f

(

x

)

c x→

existe y se escribe como ya lo habíamos determinado en la definición intuitiva de límite:

lim

f

(

x

)

c x→

.

En el caso contrario, cuando los límites unilaterales no coinciden al mismo valor, se dice que el límite no existe y se representa de la siguiente manera:

Usualmente haremos referencia al número

L

como el límite de

f

en

c

, sin embargo debes observar lo siguiente:

Como habrás notado, los límites son usados para describir cómo se comporta una función cuando la variable independiente

x

se mueve alrededor de cierto valor.

Ejemplo 1. Dada la función

f

(

x

)

=

x

2

−

2

x

−

2

determina

lim

(

).

3

f

x

x→ La

gráfica de la función dada nos queda de la siguiente manera:

Después de elaborar la gráfica, podemos dibujar una tabla para analizar los valores de

f

(

x

)

cuando

x

se acerca a

3

:

∃

=

→

(

)

lim

f

x

c x

Derecha Izquierda

x

3.1 3.01 3.001 3.0001 3 2.9999 2.999 2.99 2.9

)

(

x

f

1.41 1.04 1.004 1.0004 ? 0.9996 0.996 0.96 0.61 Observando la gráfica y la tabla tenemos que cuando x se acerca a

3

por la izquierda y por la derecha

f

(

x

)

se aproxima a 1, esto es,

1

)

(

lim

3

=

−

→

f

x

x

y

lim

(

)

1

3

=

+

→

f

x

x

; por lo tanto,

1

)

(

lim

3

=

→

f

x

x .

Ejemplo 2

. Elabora la gráfica y obtén el límite para la función

f

(

x

)

cuando

x

tiende a

2

, donde

f

se define como

⎩

⎨

⎧

>

+

−

<

=

2

6

2

)

(

2

x

si

x

x

si

x

x

f

.

En esta función, el dominio que tenemos está formado por todos los números reales excepto el 2; es decir, la función no está definida para

x

=

2

(fíjate que las

desigualdades son estrictas, esto es, no contemplan el igual) esto quiere decir que en la gráfica tendremos un pequeño hueco. Para saber exactamente la posición de ese hueco, le daremos ese valor a la variable x. Como no sabemos si las dos partes de la función se juntarán en ese punto, tomaremos el valor

x

=

2

para cada una de las dos partes de la función y así tendremos la gráfica exacta. Para ubicar bien los valores de

x

, podemos auxiliarnos de una recta numérica:

De esta manera la tabla de valores es:

x

<

2

x

>

2

La gráfica correspondiente a la función está dada en la Fig. 1.2. Para obtener el límite, elaboramos una tabla con los valores de la función para valores de x cercanos a

2

, por la izquierda y por la derecha:

x

2

)

(

x

x

f

=

-2 4 -1 1 0 0 1 1

(2) (4)

x

_f

₍

_x

₎

=

−

_x

+

₆

(2) (4)

3 3 4 2 5 1 6 0

Observa que la función dada en el ejemplo 1 está definida para

3

=

x , pero en ningún

momento se sustituye dicho valor en la función para encontrar el valor de

lim

(

)

3

f

x

x→

.

x

2.1 2.01 2.001 2.0001 2 1.9999 1.999 1.99 1.9

)

(

x

f

3.9 3.99 3.999 3.9999 ? 3.9996 3.996 3.96 3.61 En este tipo de funciones que se definen por partes, es cuando resulta conveniente la utilización de los límites unilaterales, ya que tenemos funciones diferentes en ambos lados del valor de

x

. De la tabla anterior obtenemos los límites unilaterales:

lim

(

)

4

2

=

−

→

f

x

x

y

lim

(

)

4

2

=

+

→

f

x

x

, y como son iguales, tenemos que el límite buscado es:

lim

(

)

4

2

=

→

f

x

x

.

Ejemplo 3. Elabora la gráfica y obtén

lim

(

)

3

f

x

x→ para la función:

⎩

⎨

⎧

≥

+

−

<

−

=

3

1

3

3

|

2

|

2

)

(

x

si

x

x

si

x

x

f

.

El dominio de esta función son todos los números reales, como lo viste en el curso de Matemáticas 4. Sabemos que la gráfica de la primera parte de la función nos dará un “trozo” de una línea en forma de “V”, y la otra parte resultará en una porción de una media parábola horizontal, abierta hacia la derecha. Sin embargo no sabemos si esas dos partes se juntarán en un punto como en el ejemplo anterior. Veamos qué es lo que sucede. La recta numérica para estos valores de x nos quedaría de la siguiente forma:

Para este ejemplo, no sustituiremos el valor de

x

=

3

en la función de valor absoluto de manera abierta, es decir, no lo incluiremos en el dominio de esa parte de la función puesto que la desigualdad es estricta. Sin embargo, para la parte de la función con raíz cuadrada, ese mismo valor sí lo incluiremos pues forma parte del dominio de la raíz cuadrada, tal como lo indica la igualdad debajo de la

desigualdad. De esta manera, la tabla de valores nos queda:

x

<

3

x

≥

3

La gráfica correspondiente a la función está dada en la Figura 1.3. Podemos notar que las dos partes de la función quedan separadas. Veamos ahora qué significa este comportamiento en la obtención de límites. Para obtener los límites unilaterales, elaboramos una tabla con los valores de la función, para valores de

x

x

_f

₍

_x

₎

₌

₂

_|

_x

₋

₂

_|

-1 6

0 4 1 2 2 0

(3) (2)

x

_f

₍

_x

₎

₌

_x

₋

₃

₊

₁

3 1 4 2 5 2.41 6 2.73 7 3

Observa que

)

(

lim

2

f

x

x→

existe aún cuando

) 2 (

f no está

definida.

EJERCICIO 1

x

<

3

x

≥

3

_lim

₍

₎

₂

3

=

−

→

f

x

x

y

lim

(

)

1

3

=

+

→

f

x

x

Llegamos a que estos dos límites son diferentes, por lo tanto el límite buscado no existe:

Este resultado lo podemos interpretar gráficamente observando que a ambos lados de

x

=

3

, la función se “dirige” hacia diferentes puntos: por la izquierda, hacia el punto

(

3

,

2

)

y, por la derecha, hacia el punto

(

3

,

1

)

.

x

_f

₍

_x

₎

=

₂

_|

_x

−

₂

_|

2.9 1.8 2.99 1.98 2.999 1.998 2.9999 1.9998 2.99999 1.99998

x

_f

₍

_x

₎

₌

_x

₋

₃

₊

₁

3.1 1.31 3.01 1.1 3.001 1.03 3.0001 1.01 3.00001 1.003

x

₍

₎

=

2

−

₂

+

₃

x

x

x

f

1.9 1.99 1.999 1.9999 1.99999

x

₍

₎

=

2

−

₂

+

₃

x

x

x

f

2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001

∃ =

→ ( ) lim

3

x f x

Observa que

)

(

lim

3

f

x

x→ no existe

aún cuando

) 3 (

f está definida.

1. Dada la función

f

(

x

)

=

x

2

−

2

x

+

3

, completa las tablas y grafica los puntos para

Interpretación de la gráfica:

2.- La función

f

de la Figura 1.4 no está definida para

x

=

−

3

a) ¿Qué observas de los valores de la función conforme

x

se acerca al número

3

−

por la izquierda (x<−3) y por la derecha (x>−3)?

b) ¿Se acercan los valores de la función a algún número en particular (sí o no)?

c) ¿Cómo se representaría el límite de acuerdo a su definición?

3.- Relaciona las siguientes columnas con su representación correcta. a)

f

x

L

c

x→

(

)

=

lim

( ) Límite por la derecha

b)

f

x

L

c

x→ −

=

)

(

lim

( ) Límite de una función

c)

f

x

L

c

x→ +

=

)

(

lim

( ) Límite por la izquierda

Para saber más y enriquecer el tema, visita el sitio

www.límitesmatem áticos.com

TAREA 1

Página 39

1.1.2. Teorema de propiedades de los límites.

En la sección anterior, te presentamos la noción intuitiva de límite, con el in de introducirte al tema de una manera más o menos sencilla e informal. Sin embargo, como te habrás dado cuenta, no es práctico utilizar una gráfica o una tabla de valores para obtener el límite, pues resulta un poco tardado y tedioso. Por esta razón, formalizaremos la obtención de los límites mediante la utilización de algunos teoremas que nos ayudarán a agilizar el procedimiento, para obtener de manera rápida el límite de una función.

Ejemplo 4. Usando los teoremas básicos determinaremos los siguientes límites.

Límites de una función constante.

a)

lim

10

10

.

3

=

→

x

b)

lim

3 3

.

2

−

π

=

−

π

− →

x

En otras palabras, el teorema del límite de una función constante, nos indica que el límite de una función constante es la misma constante. Recuerda que

identificas una función constante si en ella no aparece la variable independiente

x

.

Límites de la función identidad. c)

lim

1

.

1

=

→

x

x

d)

lim

5

.

5

=

−

−

→

x

x

e)

lim

6

.

6

=

→

x

x

Aquí el teorema nos dice que el límite de la función identidad se acerca siempre al mismo valor hacia donde tiende la variable independiente

x

.

Límites de una función potencia. f)

lim

3

8

.

2

=

→

x

x

g)

lim

5

1

.

1

=

−

−

→

x

x

Algunos teoremas básicos:

Sean

k

y

c

números reales y

n

un entero positivo.

1. Límite de una función constante. Si

f

(

x

)

=

k

, donde

k

es una constante, entonces:

lim

k

k

.

c x→

=

2. límite de la función identidad. Si

f

(

x

)

=

x

, entonces:

lim

x

c

.

c x→

=

3. Límite de una función potencia. Si n

x

x

f

(

)

=

, entonces:

lim

n n

.

Ejemplo 5

. Haciendo uso de las propiedades de límites determina. Límite de un polinomio.

a)

lim

(

5

2

)

lim

5

lim

2

5

lim

lim

2

5

(

3

)

2

17

.

3

3 3

3

3

+

=

→

+

→

=

→

+

→

=

+

=

→ x x x x

x

x

x

x

b)

lim

(

7

3

)

lim

7

lim

3

lim

7

3

lim

7

3

(

2

)

13

.

2

2 2

2

2

−

=

→−

−

→−

=

→−

−

→−

=

−

−

=

−

→

x

x x

x

x x

x

x

c)

lim

(

4

3

)

lim

lim

4

lim

3

(

5

)

2

4

(

5

)

3

42

.

5 5

2 5 2

5

+

−

=

→

+

→

−

→

=

+

−

=

→ x x x

x

x

x

x

x

Límite de una potencia.

d)

lim

[

lim

]

3

[

7

]

3

343

.

7 3

7

=

→

=

=

→

x

x

x

x

Límite de un cociente.

e)

?

.

2

1

lim

₂

1

+

−

=

−

→

_x

_x

x

x

En este caso, el límite del cociente no puede escribirse inmediatamente como el cociente de límites porque

lim

(

2

2

)

0

1

+

−

=

→

x

x

x ; sin embargo, podemos

simplificar primero la función para poder obtenerlo:

Del tema factorización, debes recordar lo siguiente: 1. Factor común.

2. La diferencia de cuadrados perfectos. 3. Trinomios cuadrados perfectos.

4. Trinomios cuadrados imperfectos.

5. Racionalización y graficación de funciones.

Teorema: propiedades de los límites:

Sean

k

y

c

números reales y

n

un entero positivo, y

f

y

g

funciones con los límites siguientes:

f

x

L

c

x→

(

)

=

lim

y

g

x

K

c

x→

(

)

=

lim

.

1. Límite de una constante por una función o múltiplo escalar:

lim

kf

(

x

)

kL

.

c

x→

=

2. Suma o diferencia:

lim

[

f

(

x

)

g

(

x

)]

L

K

.

c

x→

±

=

±

3. Producto:

lim

[

f

(

x

)

g

(

x

)]

L

K

.

c

x→

⋅

=

⋅

4. Cociente:

K

L

x

g

x

f

c

x→

₍

₎

=

)

(

lim

, siempre que

K

≠

0

.

5. Raíz: n c x n

c

x

f

(

x

)

lim

f

(

x

)

lim

→

→

=

, siempre y cuando

n

sea

un entero positivo impar, o bien,

n

sea un entero positivo par y

lim

(

)

>

0

.

.

3

1

2

1

1

2

lim

lim

1

lim

2

1

lim

)

2

)(

1

(

1

lim

2

1

lim

1 1 1 1 1 2

1

−

+

=

+

=

+

=

+

=

−

=

−

+

−

→ → → → → → x x x x x

x

_x

_x

_x

_x

x

x

x

x

f)

2

.

7

14

1

8

2

16

1

)

4

(

2

4

)

4

(

4

1

lim

lim

2

lim

lim

4

1

2

4

lim

4 4 4 4

4

−

=

=

−

=

−

−

=

−

−

=

−

−

→ → → → → x x x x x

_x

x

x

x

x

Límite de un radical.

g)

lim

3

2

lim

(

3

2

)

3

lim

lim

2

₅

3

(

1

)

2

5

1

1

.

5 1 1 5 1 5

1

−

=

→

−

=

→

−

→

=

−

=

=

→ x x x

x

x

x

x

Si el límite de la función radical de orden par es igual a cero, tenemos que por la izquierda o por la derecha, los valores de la raíz no existen por ser negativo el valor; en este caso, el límite de la raíz no existe, pues no podemos decir que algo inexistente (la función) se acerque a algún valor.

3

)

1

(

3

3

lim

1

=

−

=

−

→

x

x

lim

x→c

x

=

c

.

5

5

lim

2 1

=

→ x

lim

n n

.

c x→

x

=

c

8

)

2

(

lim

3 3

2

=

−

=

−

−

→

x

x

₍

₎

.

)

(

lim

K

L

x

g

x

f

c

x→

=

4

13

)

1

(

3

)

13

3

(

lim

13

3

lim

2 2

1 2

1

+

=

→

+

=

+

=

→

x

x

x

x

lim

x→c

k

=

k

.

1.1.3. Límites de funciones definidas por partes y funciones racionales.

Como te habrás dado cuenta, en las funciones ejemplificadas en la sección anterior, pudimos obtener el límite de la función simplemente sustituyendo el valor de

c

en la variable independiente x, siempre y cuando se pueda obtener ese valor, es decir, que al hacerlo, no resulte en una raíz de un número negativo o en una división entre cero, por ejemplo. Esto excluye, además aquellas funciones radicales que nos de como resultado n

₀

_cuando

_n

_{es par.}

En la primera sección de esta unidad, vimos cómo graficar aquellas funciones que están definidas por partes, es decir, donde el dominio se divide en partes y cada una de ellas tiene una función diferente. También obtuvimos los límites de manera intuitiva, y observamos que este tipo de funciones se comportan de manera

EJERCICIO 2 1. Obtén los siguientes límites y entrégalos a tu profesor:

1.

12

4

lim

₂

4

−

−

−

−

→

_x

_x

x

x 3.

₄

4

lim

₂ 2 2

+

−

− →

_x

x

x 5.

2

4

25

lim

x

x→

−

2.

4

4

lim

2 2

+

−

−

− →

_x

x

x

x 4.

lim

(

4

1

)

2

2

−

+

→

x

x

x 6.

₂

2

lim

3

−

+

→

_x

x

x

extraña, precisamente en aquel valor de x donde se divide el dominio. Debido a esto, tendremos dos maneras de obtener el límite, dependiendo de cual sea el valor de

c

, hacia donde tiende la

x

, es decir, si ccoincide o no con el valor donde se divide el dominio. Al desarrollar este tema, encontraremos que existen funciones que se indefinen o indeterminan en el valor c, esto es, que no se pueden evaluar y que nos indican que su límite no existe o que su valor es infinito. Sabemos que el resultado del límite de una función es un valor real. De aquí que la intención de este tema sea utilizar técnicas que nos convertirán dichas funciones en funciones determinadas.

Ejemplo 6. Consideremos la función:

⎩

⎨

⎧

>

−

+

−

≤

+

−

=

2

8

6

2

2

|

1

|

)

(

₂

x

si

x

x

x

si

x

x

f

Solución:

Gráficamente tenemos:

En este ejemplo, si

x

→

2

necesitaremos los límites unilaterales para ver si son iguales o diferentes, pero si x tiende a cualquier otro valor, no será necesario obtenerlos, pues sabemos que por cualquiera de los dos lados cercanos a c, la función es la misma y no presentará problema el límite.

Obtendremos los siguientes límites para entender, cómo se obtienen dependiendo del valor de

c

:

1.

lim

(

)

0

f

x

x→

Como

x

no se acerca a 2 , que es el valor donde se divide el dominio, obtendremos el valor del límite utilizando el procedimiento visto en la sección anterior; esto lo haremos debido a que cerca de

0

, le corresponde la función

2

|

1

|

x

−

+

y la parte cuadrática no interviene.

.

3

2

1

2

|

1

|

2

|

1

0

|

2

|

1

0

|

)

(

lim

0

=

−

+

=

−

+

=

−

+

=

+

=

→

f

x

x

2.

lim

(

)

3

f

x

x→

En este límite sucede lo mismo que en el anterior, x tiende a

3

, y como no se acerca

2

, sólo sustituimos en la parte cuadrática que es donde corresponde:

Observa en la gráfica que cerca de x=0, la función

se acerca a y=3y

que la parte cuadrática no interviene.

En la gráfica puedes observar que cerca de

3

=

x , la función se

acerca a y=1y

que la parte del valor absoluto no

TAREAS 2

3.

lim

(

)

2

f

x

x→

En este límite, x tiende a

2

, que es el valor donde se divide el dominio de la función. Es en estos casos cuando estamos obligados a obtener los límites unilaterales, pues por cada lado de

x

=

2

, hay funciones diferentes y no sabemos

con certeza qué es lo que sucederá cuando la x se acerque a

2

por lados diferentes. Para ubicarnos en qué parte sustituiremos, podemos elaborar una recta numérica como lo hicimos en la primera sección:

a)

lim

(

)

|

2

1

|

2

|

1

|

2

1

2

3

.

2

=

+

=

+

=

+

−

=

−

→

f

x

x

b)

lim

(

)

(

2

)

2

6

(

2

)

8

4

12

8

0

.

2+

=

−

+

−

=

−

+

−

=

→

f

x

x

Como estos dos límites son diferentes, tenemos que:

Observa que si el límite no existe, tenemos que las dos partes de la función quedan separadas en la gráfica.

Ejemplo 7. Tenemos la función

⎩

⎨

⎧

>

−

≤

−

=

.

0

2

0

2

)

(

₂

x

si

x

x

si

x

f

Obtener:

lim

(

)

1

f

x

x→− ,

lim

x→2

f

(

x

)

y

lim

x→0

f

(

x

)

. Solución:

.

2

)

(

lim

1

=

−

−

→

f

x

x

.

2

2

4

2

)

2

(

)

(

lim

2

2

=

−

=

−

=

→

f

x

x

Como

0

es el valor donde se divide el dominio, obtendremos los límites unilaterales:

a)

lim

(

)

2

.

0−

=

−

→

f

x

x

b)

lim

(

)

(

0

)

2

2

0

2

2

.

0+

=

−

=

−

=

−

→

f

x

x

Tenemos que los dos límites unilaterales son iguales, por lo tanto:

lim

(

)

2

.

0

=

−

→

f

x

x

Ahora observa la Figura 1.5, y relaciona el hecho de que el límite sea

−

2

y la forma que ésta presenta a pesar de ser por partes.

∃ =

→ ( )

lim 2

x f x

Cuando

x

→

2

+,

y

se acerca a 0, pero no llega a ser igual a 0; esto lo puedes observar en la gráfica con el punto hueco que aparece en (2,0).

Estrategias para calcular límites.

1. Aprende a reconocer los límites calculables por sustitución directa.

2. Si el límite de

f

(

x

)

cuando

x

→

c

no puede evaluarse por sustitución directa, intenta, por medio de álgebra, hallar una función

g

que coincida con

f

en

x

=

c

(es decir, encuentra una función

g

de modo que su límite sea calculable por sustitución directa)

Ejemplo 8. Encuentra el límite de

1

2

)

(

2

+

+

+

=

x

x

x

x

f

cuando

x

→

1

.

Solución:

Debido a que el denominador no es cero para

x

=

1

, se puede evaluar

directamente quedando:

.

2

2

4

1

)

1

(

2

)

1

(

)

1

(

1

2

lim

2 2

1

+

=

=

+

+

=

+

+

+

→

_x

x

x

x

Ejemplo 9. Hallar

.

3

6

lim

2 3

+

−

+

− →

_x

x

x

x Solución:

Puesto que el denominador es cero para

x

=

−

3

, no se puede hacer la sustitución directa, entonces se factoriza 2

+

−

6

x

x

:

)

2

)(

3

(

6

2

+

−

=

+

−

x

x

x

x

y hacemos la sustitución en el límite,

3 ) 2 )( 3 ( lim 3 6 lim 3 2 3 + − + = + − + − → − → _x x x x x x x x

lim

(

2

)

(

3

)

2

5

.

3

−

=

−

−

=

−

=

−

→

x

x

En la Figura 1.6 se muestra gráficamente este resultado. Observa que la gráfica de la función

f

coincide con la de la función

g

(

x

)

=

x

−

2

, excepto que la de

f

tiene una abertura o hueco en el punto

(

−

3

,

−

5

)

.

En el ejemplo 9, la sustitución directa produjo la forma fraccionaria sin significado

0

0 . Una expresión de este tipo se le conoce como “forma

indeterminada o indefinida”, porque no se puede (a partir sólo de la forma) determinar el límite. Cuando intentes evaluar un límite y te encuentres esta forma, recuerda que debes volver a escribir la fracción de modo que el nuevo

denominador no sea

0

cuando

x

=

c

. Una manera de llevar a cabo esto es cancelar los factores iguales, como se mostró en este ejemplo. Una segunda manera es racionalizar el numerador, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 10. Hallar

lim

1

1

.

0

_x

x

x

−

+

→

Técnica de cancelación

Dado que el denominador es cero en

x

=

0

, no se puede hacer la sustitución

directa, entonces se racionaliza el numerador, es decir, se multiplica y divide por el binomio conjugado del numerador. (Recuerda que una diferencia de cuadrados se factoriza como un producto de binomios conjugados).

;

)

1

1

(

1

)

1

(

)

1

1

(

)

1

1

)(

1

1

(

lim

1

1

lim

2 0

0

+

+

−

+

=

+

+

+

+

−

+

=

−

+

→

→

_x

_x

x

x

x

x

x

x

x

x x

Se cancela la raíz cuadrada con el cuadrado, al igual que ,

+

1

−

1

en consecuencia:

.

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

lim

)

1

1

(

lim

1

1

lim

0 0

0

=

+

+

=

+

+

=

+

=

+

=

−

+

→ →

→

_x

_x

_x

x

x

x

x x x 5.

5

2

15

2

lim

2 2 5

+

−

−

− →

_x

x

x

x 6.

8

14

3

2

3

lim

₂ 3

2

−

+

−

→

_x

_x

x

x 7.

24

5

27

lim

₂ 3

3

+

−

−

→

_x

_x

x

x 8.

₅

₂₄

27

lim

₂

3

3

+

−

−

→

_x

_x

x

x 9.

25

5

lim

5

−

−

→

_x

x

x 10.

₄₉

3

2

lim

₂ 7

−

+

+

→

_x

x

x

1.1.4. Límites infinitos.

Consideremos la función

f

dada por:

.

2

3

)

(

−

=

x

x

f

EJERCICIO 3 En cada una de las siguientes funciones, obtén el límite indicado, si es _{que existe. Entrégalo a tu profesor:}

1. ⎩ ⎨ ⎧ > − ≤ = 1 3 1 ) ( 3 x si x x si x x

f 2.

⎩ ⎨ ⎧ ≥ < − = 2 2 2 4 ) ( x si x si x x f

a)

lim

(

)

0

f

x

x→ b)

lim

x→1

f

(

x

)

a) x

lim

→−3

f

(

x

)

b)

lim

x→2

f

(

x

)

3. ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ − − = 2 3 2 2 4 ) ( 2 x si x si x x x f 4. ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − ≥ − − < ≤ − − − < − − = 1 3 1 4 2 4 4 ) ( 2 x si x x si x si x x f

a)

lim

(

)

3

f

x

x→− b)

lim

x→2

f

(

x

)

a) x

lim

→−4

f

(

x

)

b)

lim

x→0

f

(

x

)

c)

lim

(

)

1

f

x

Con base en la gráfica y la tabla, es posible ver que

f

(

x

)

decrece sin cota cuando

x

tiende a

2

desde la izquierda, es decir, para valores de

x

menores que

2

,

)

(

x

f

se va haciendo más y más pequeña indefinidamente; y

f

(

x

)

crece sin cota cuando

x

tiende a

2

desde la derecha, esto es, para valores de

x

mayores que

2

,

f

(

x

)

se va haciendo más y más grande indefinidamente . Este comportamiento se denota como:

−∞

=

−

−

→

₂

3

lim

2

x

x

y

∞

=

−

+

→

₂

3

lim

2

_x

x

x

1.5 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1 2.5

)

(

x

f

-6 -30 -300 -3000 ? 3000 300 30 6

Explicaremos de una manera sencilla lo que acabamos de decir a través de los límites unilaterales, del párrafo anterior. Los límites anteriores significan que podemos hacer a

f

(

x

)

suficientemente tan grande como se desee, haciendo a

x

suficientemente cercana a 2. Esto es, que el valor absoluto de la diferencia entre

x

y

2

(

|

x

−

2

|

) sea tan pequeña como se desee. En términos matemáticos esto se puede expresar como sigue:

|

x

−

2

|

<

δ

, donde

δ

es un valor positivo muy

x

tiende a 2 desde la izquierda

x

tiende a 2 desde la derecha

)

(

x

f

decrece sin cota

f

(

x

)

crece sin cota

)

(

x

f

decrece sin cota cuando

x

→

2

desde la izquierda

)

(

x

f

crece sin cota cuando

x

→

2

desde la derecha

entre

x

y

2

es cada vez más pequeña tanto por la izquierda como por la derecha, el valor que toma

f

(

x

)

se va haciendo cada vez más pequeño o más grande, es decir, se va a

−

∞

ó

+

∞

respectivamente. En otras palabras va decreciendo y creciendo sin cota alguna. En términos matemáticos, se dice, que el valor de

f

(

x

)

es menor que algún número positivo

M

(ó

M

>

0

) si el acercamiento es por la

izquierda, por otro lado decimos que

f

(

x

)

es mayor que un número

N

>

0

, si el

acercamiento es por la derecha. El razonamiento anterior nos lleva a una definición formal de límites infinitos, definición un tanto compleja que omitiremos en este curso y que seguramente verás en el nivel superior.

Un límite en el que

f

(

x

)

crece o decrece sin cota cuando

x

tiende a un número

c

se llama límite infinito.

En la proposición

=

∞

→

(

)

lim

f

x

c

x , el signo igual no significa que el límite existe. Por

el contrario expresa cómo el límite deja de existir al denotar un comportamiento no acotado de

f

(

x

)

, cuando

x

tiende a

c

. Esto último lo podemos visualizar en la gráfica de la función. Observa el comportamiento de la función: cuando hacemos que

x

se aproxime al valor

2

tanto por la izquierda como por la derecha, la función se curvea sin tocar una recta vertical imaginaria en

x

=

2

; esta recta recibe el nombre de asíntota. Ahora fíjate en el denominador de la función

x

−

2

; no es casualidad que en

x

=

2

pase la asíntota. Esto se debe a que el valor

2

es el que hace cero al denominador, es decir,

2

es la raíz del polinomio

x

−

2

.

Mas allá de la definición tan compleja de los límites infinitos, lo que nos interesa es saber identificar lo que es un límite infinito. De manera sencilla podemos decir que un límite infinito es cuando el resultado del límite es infinito, es decir no está determinado.

Ejemplo11. Encontrar

2

2

2

lim

₂

4

−

+

−

→

_x

_x

x

x .

Solución: Si intentas hacer el cálculo del límite por simple sustitución como en los casos anteriores, cuando

x

se aproxima a 4 el denominador de la función se hace cero. Esto se debe a que el polinomio se puede descomponer en factores como sigue:

x

2

−

2

x

−

8

=

(

x

−

4

)(

x

+

2

)

, de esta manera el 4 hace cero a uno de los factores haciendo que todo el polinomio se haga cero, es decir, el

4

es una raíz del polinomio; además el valor de

−

2

también hace que el denominador de la función se haga cero. Esto quiere decir que la función se indefine en dos valores, en

x

=

−

2

y en

x

=

4

, resulta lógico puesto que la función es de segundo grado, significando esto que cuenta con dos raíces. Considerando entonces la aproximación por la izquierda y por la derecha, tenemos que los límites unilaterales de acuerdo a la tabla son:

∞

=

+

−

−

−

→

₂

₂

2

lim

₂

4

x

x

x

x

; y

=

−∞

+

−

−

+

→

₂

₂

2

lim

₂

4

x

x

x

x

.

x

3.9 3.99 3.999 3.9999 4 4.0001 4.001 4.01 4.1

)

(

x

f

3.2203 33.22203 333.2 3333.2 ? -3333. -333. -33. -3.4

La gráfica de la función te dará una idea del comportamiento de una función que tiene dos valores donde ésta se indefine. A estos valores se les llama singularidades, pasando justamente por esos valores las asíntotas.

Ejemplo12. Resolución de límites infinitos.

Encuentra qué signo debe tener

∞

en las siguientes funciones con límites cuando

x

tienda a la izquierda o a la derecha.

1.

2

3

lim

2−

−

→

_x

x

x

.

Se toma un valor muy cercano a 2por la izquierda, consideremos 1.999 y los sustituimos en la función

5997

001

.

0

997

.

5

2

999

.

1

)

999

.

1

(

3

2

3

−

=

−

=

−

=

−

x

x

.

Como el resultado es un valor negativo muy alejado del cero, entonces:

−∞

=

−

−

→

₂

3

lim

2

x

x

x

.

2.

x

x

x

lim

→ +

₄

−

2 4

;

Consideramos un valor muy cercano a 4por la derecha, 4.001 por ejemplo y sustituimos:

001

.

16008

001

.

0

008001

.

16

001

.

4

4

)

001

.

4

(

4

2 2

−

=

−

=

−

=

−

x

x

.

Entonces:

−∞

=

−

+

→

_x

x

x

lim

₄

2 4

.

3.

1

5

3

2

lim

5

1

+

−

+ −

→

x

x

x

;

−

−

−