CÁLCULO DE LÍMITES INMEDIATOS
EJERCICIO 8 : Calcula los siguientes límites:
3 2 4
a) 2
3
x x
lim
x b) 9
2
3
x lim
x c)limx0cosx
1 3 d)
2
2
x x
x lim
x
x lim
x
3 6 e)
1
Solución:
9 2 18
4 3 6 9
4 3 2 4
a) 2
3
x x
lim
x b) 9 9 9 0 0
2
3
x
lim
x c)limx0cosx cos01
d)
7 1 1 2 4
1 1 x x
3 x lim
2 2 x
e) lim 6 3x 6 3 9 3
1 x
EJERCICIO 9 :
en 1 yen 3.2 3 función
la de límite el Calcula
4
x x x x
x f
Solución:
6 1 2 1 3
1 2 3
4
1
x x lim x
2 51 2 3 27 2
3 4
3
x x lim x
EJERCICIO 10 : Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:
x x x
x lim
x
3 3 2 2
2 2 a)
x x x
x lim
x
3 2 2 2 2
b)
x x x
x lim
x
1 3 2 2
2 2 c)
Solución:
3 1 12
4 2
2 2
a) 3 2
3
x x x
x lim x
0 2
2 2
b) 3 2
x x x
x lim
x
1
2 1
1 2 2
2 2 c)
1 2 1
2 3
1
x x
lim x
x x lim x x x
x lim
x x
x
Hallemos los límites laterales:
1
2 ;
1 2
1
1 x x
lim x
x lim
x x
2
1 3
EJERCICIO 11 : Resuelve los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos:
18 12 2
3
a) 2
2
1
x x
x x lim x
18 12 2
3
b) 2
2
x x
x x lim x
18 12 2
3
c) 2
2
3
x x
x x lim x
Solución:
8 1 32
4 18 12 2
3
a) 2
2
1
x x
x x lim x
2 1 18 12 2
3
b) 2
2
x x
x x lim x
3
2
3
2 3 18
12 2
3 c)
3 2 3
2 2
3
x
x lim x
x x lim x
x
x x lim
x x
x
Hallamos los límites laterales:
2 3
; 3
2 3
3 x
x lim x
x lim
x x
1
1
2
3
1
EJERCICIO 12 : Halla los límites siguientes y representa gráficamente la información que obtengas:
4 4
4 2
a) 2
3 4
1
x x
x x lim
x 4 4
4 2
b) 2
3 4
x x
x x lim
x 4 4
4 2
c) 2
3 4
2
x x
x x lim x
Solución:
3 2 9 6 4 4
4 2
a) 2
3 4
1
x x
x x lim x
4 4
4 2
b) 2
3 4
x x
x x lim x
22 2
2 2
4 4
4 2 c)
3
2 2
3
2 2
3 4
2
x
x lim x
x x lim x
x
x x lim
x x
x
Hallamos los límites laterales:
2
2 ;
2
2 3
2 3
2 x
x lim x
x lim
x x
1
1
2 1
EJERCICIO 13 : Halla los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:
3 6 3
a) 2
2
2
x x
x x lim
x b) 3 2 6 3
2
x x
x x lim
x c) 3 2 6 3
2
x x
x x lim x 1
Solución:
9 2 27
6 3 6 3
a) 2
2
2
x x
x x lim x
3 1 3 6 3
b) 2
2
x x
x x lim x
1
3
1
3 1 3
6 3 c)
1 2 1
2 2
1
x
x lim x
x x lim x
x x x lim
x x
x
Hallamos los límites laterales:
3 1
; 1
3 1
1 x
x lim x
x lim
x x
EJERCICIO 14 : Calcula los límites siguientes y representa gráficamente los resultados que obtengas:
4 4
2
a) 2
2
0
x x
x x lim
x 4 4
2
b) 2
2
x x
x x lim
x 4 4
2
c) 2
2
x x
x x lim x 2
2 1 4
2 4 4
2
a) 2
2
0
x x
x x lim x
1 4 4
2
b) 2
2
x x
x x lim x
2
1 2
1 2 4
4 2 c)
2 2
2 2
2
x
x lim x
x x lim x
x x x lim
x x
x
Hallamos los límites laterales:
2
1 ;
2 1
2
2 x
x lim x
x lim
x x
1 2
1 1
CÁLCULO DE LÍMITES
EJERCICIO 15 : Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:
3
a) 2
1
x
lim
x 2
2
21 b)
x
lim
x c) 2 1
2
1
x
x x lim
x
4 4
4 d)
2 2
2
x x
x lim
x
x x lim
x
2 3 e)
2
1 3 2 f)
4 4
x
x x lim
x
1 3 2 g)
4 4
x
x x lim
x 1 2
1 2 h)
x x lim
x
1 2
1 2 i)
x x lim
x
3
3j) lim x
x 1
k)
3
x
x lim
x
Solución:
3
1 3 2)
a 2
1
x
lim x
2 2
x x 2
1 lim
b)
2
2 1 2 1 1 x
x lim
1 x 1 x
1 x x lim 1 x
x x lim )
1 x
1 x 2 2
1 x
c
x 2 2 x lim 2x 2 x 2 x lim 4 x 4 x
4 x lim
2 x 2 2
x 2
2 2
x
d)
Hallamos los límites laterales:
2 2 2 2
2 2
x x lim
x x lim
x x
x 2 3 x lim
2
x e)
2 1 x
x 3 x 2 lim
4 4
x
f) 2
1 x
x 3 x 2 lim
4 4
x
g) 0
x 1
1 x 2 lim
2
x
0 x 1
1 x 2 lim
2
x
i)
3 x
x 3 lim
j)
x 1
x lim
3
x k)
EJERCICIO 16:Hallaellímitecuando x delassiguientesfunciones yrepresentagráficamente la información que obtengas:
12 2 a)
3 x x x
f
5 2 3 b)
3 2
x x x
f
Solución:
2 2 1
a)
3 x x lim
x
5
2 3 b)
3 2
x x lim x
EJERCICIO 17 : Calculaellímitecuando x ycuando x delasiguientefunción y representa la información que obtengas:
3 4 2
1 x2 x
x
f
Solución:
3
4 2 1 3
4 2
1 2 x2 x
lim x
x lim
x x
EJERCICIO 18 : Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos:
24
a) lim x
x
2 4
b) lim x
x
Solución:
2 4
a) lim x
x
2 4
b) lim x
x
EJERCICIO 19 : Calcula los siguientes límites y representa el resultado que obtengas:
x
x x lim
x 3 4
a)
2
x
x x lim
x 3 4
b)
4
Solución:
x x x lim
x 3 4
a)
2
x x x lim
x 3 4
b)
CÁLCULO DE LÍMITES EJERCICIO 20 : Calcula:
e x 1
a) x 2
x
lím
2 4
x x
x 3 x b)
log
lím
1 x x 3
c) 2 9
x
lím
1 x
e d)
x
x
lím
x 2 x 3 e)
2
x log
lím
x 2x
1 x
f)
lím
x 2
x 2 x
g)
lím
x 1 x h)
2
x
ln lím
x x
i) 3
x
log
lím
x 1
3 j)
2 x
x
lím
Solución:
1
a) lím ex x2 x
Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una potencia.
2
4
2
4 3 3
b)
x log
x x lím x
log x x lím
x x
Porque una potencia es un infinito de orden superior a un logaritmo.
2 9
x 9
2
x 3x x 1 x
c) lím lím
0 0 1 x e 1
x e )
d
x
x x
x
lím lím
x
2 x 3 e)
2
x log
lím
Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos.
x x x
x 2
1 x 2
1 x
f) lím lím
2 x
x 2 x
g) lím
Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una potencia.
0x 1 x x
1 x h)
2
x 2
x
ln lím ln
lím
Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos.
x x
i) 3
x
log lím
Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos. 0
0 1 x
3 1
x 3 j)
2 x
x 2
x
x
lím lím
EJERCICIO 21 : Halla los límites:
5x 2x 3x
a) 2
x lím
x 2 x
1 x 3 x b)
6 2
x
lím 2x 1
1 x 2 3 c)
4 4
x
lím
x 1
x 2 x
1 x d)
2 3 2
x lím
1 x 3 x 5
2 x 3 e)
2
x
lím
x 2 x 3 x
f) 2
x
lím
x 2 1 x 3
g) 2
x lím
2 x
1 x 2 h)
4
3 5
x
lím
x 1
x 1 x
x 3 i)
2 3 2
x lím
1 x 3
3 x 2 j)
2
x
lím
x x x
x x x x x x lím x x x lím x
x 5 2 3
3 2 5 3 2 5 3 2 5 a) 2 2 2 2 x x x x x lím x x x x x x lím x x 3 2 5 2 4 3 2 5 9 2 5 2 2 2 2 2 0 2 1 3 2 1 3 b) 6 2 6 2 x x x x lím x x x x lím x x 2 2 2 1 x 2 1 x 2 3 1 x 2 1 x 2 3 c) 4 4 x 4 4 x lím lím
x x 2x 2
x 2 x 1 x ) 1 x ( ) 2 x ( ) 2 x ( x ) 1 x ( ) 1 x ( 1 x x 2 x 1 x d) 2 3 3 4 4 x 2 3 2 2 x 2 3 2 x lím lím lím 2 2 2 1 2 2 3 3
x x x
x lím x 5 5 3 5 3 1 x 3 x 5 2 x 3 e) 2
x
lím
x 3x 2x
x 2 x 3 x x 2 x 3 x x 2 x 3 x x 2 x 3 x f) 2 2 2 x 2 x 2 x lím lím lím x x x x x lím x x x x x x lím x x 2 3 3 3 2 3 4 3 2 2 2 2 2
3x 1 2x
x 4 1 x 3 x 2 1 x 3 x 2 1 x 3 x 2 1 x 3 x 2 1 x 3 g) 2 2 2 x 2 2 2 x 2 x lím lím lím x x x lím x 2 1 3 1 2 2 0 2 x 1 x 2 2 x 1 x 2 h) 4 3 5 x 4 3 5 x lím lím
x x x 1
x x x 3 x 3 ) 1 x ( ) 1 x ( ) 1 x ( x ) 1 x ( x 3 1 x x 1 x x 3 i) 2 3 3 4 2 4 x 2 3 2 2 x 2 3 2 x lím lím lím 1 3 2 2 3 2 3 4 x x x x x x lím x 3 3 2 3 2 1 x 3 3 x 2 1 x 3 3 x 2 j) 2 x 2 x lím lím
EJERCICIO 22 : Calcula:
a) 3
2 3
2 3
1
x 3x 8x 7x 2
1 x 3 x 2 lím b) 1 1 x 2 4 x 2 0
x
lím c) 1 x x x 2 x x 3 2 3 2 1
x
lím
d)
x 3
1 x 9 x x 2 2 3 x
lím e)
4 x 3 x 10 x x 2 2 3 2 2
x
lím
Solución:
a)
3 3 1 x 3 2 2 1 x 3 2 3 2 3 1 x 3 2 x 3 1 x 2 1 x 2 x 3 1 x 1 x 2 2 x 7 x 8 x 3 1 x 3 x 2 lím lím límb)
(x 1 1) ( 2x 4 2)
1 4 4 2 4 x 2 ) 1 1 x ( 2 ) 2 4 x 2 ( x ) 1 1 x ( x 2 0 x 0 x lím lím
c)
(0)5 1 x 1 x 2 x 3 1 x 1 x 2 x 3 1 x 1 x x x 2 x x 3 1 x 2 1 x 2 3 2 1 x lím lím lím
Hallamos los límites laterales:
x 1 x 1
2 x 3 ; 1 x 1 x 2 x 3 1 x 1 x lím
lím No existe
d)
x 3 x 3
3 x 4 x x 2 3 x 3 x 3 x 1 x x 2 3 x 1 x 9 x x 2 2 3 x 3 x 2 3
xlím lím lím
(0)18 3 x 3 x 3 x 2 x2 3 x lím
Hallamos los límites laterales:
x 3 x 3
3 x 2 x ; 3 x 3 x 3 x 2 x 2 3 x 2 3
xlím lím No existe
e)
(0)9 2 x 1 x 5 x 2 2 x 1 x 2 x 5 x 2 4 x 3 x 10 x x 2 2 x 2 2 x 2 3 2 2
x
lím lím lím
Hallamos los límites laterales:
x 1 x 2
5 x 2 ; 2 x 1 x 5 x 2 2 x 2
xlím lím
No existe
EJERCICIO 23 : Calcula los límites:
a) x 1
x 3
2 1
x x x 6
4 x 2
lím b) x 2
x
2 2
x x 2x 4
2 x 3
lím c) x 3
x 2 2
3
x 4x 4
1 x x 2 lím
d) x
3 2
0
x 5x 1
1 x 3 x
lím e) x 1
1 2
1
x x 1
3 x 2 x lím Solución:
a)
(x x 6)(x 1)
) x 3 ( ) 2 x 3 x ( 1 x x 3 · 6 x x 6 x x 4 x 2 1 x x 3 · 1 6 x x 4 x 2 1 x x 3 2 1 x 2 2 1 x 2 2 1 x 2 1 x e e e 6 x x 4 x
2 lím lím lím
lím 2 1 6 3 6 x x ) 2 x ( x 3 ) 1 x ( ) 6 x x ( ) 1 x ( ) 2 x ( x 3
e
e
e
e
x 1 2 x 1 2
lím límb)
(x 2x 4)(x 2)
x ) 6 x 5 x ( 2 x x · 4 x 2 x 4 x 2 x 2 x 3 2 x x · 1 4 x 2 x 2 x 3 2 x x 2 2 x 2 2 2 x 2 2 2 x 2 2 x e e e 4 x 2 x 2 x
3 lím lím lím
lím 2 1 4 2 ) 4 x 2 x ( ) 3 x ( x ) 2 x ( ) 4 x 2 x ( ) 2 x ( ) 3 x ( x
e
e
e
e
x 2 2
x 2 2
lím límc)
3 x x 2 · 4 x 4 3 x 5 x 2 3 x x 2 · 4 x 4 4 x 4 1 x x 2 3 x x 2 · 1 4 x 4 1 x x 2 3 x x 2 2 3 x 2 3 x 2 3 x 2 3 x e e e 4 x 4 1 x x
2 lím lím lím
lím
821 16 42 4 x 4 x 2 1 x 2 3 x 4 x 4 x 2 3 x 1 x 2 e e e
ex 3 x 3
lím lím d)
x5x 1
8 x x 3 x 3 · 1 x 5 x 8 x x 3 · 1 x 5 1 x 5 1 x 3 x x 3 · 1 1 x 5 1 x 3 x x 3 2 0 x 0 x 2 0 x 2 0 x 2 0 x e e e e 1 x 5 1 x 3
x lím lím lím lím
lím
24 1 x 5 8 x 3 e ex 0 lím
e)
1 x 1 · 1 x 2 x 3 x 1 x 1 · 1 x 1 x 3 x 2 x 1 x 1 · 1 1 x 3 x 2 x 1 x 1 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x e e e 1 x 3 x 2
x lím lím lím
lím
2 1 1 x 2 x 1 x · 1 x 1 x · 2 x e eex 1 x 1
lím
EJERCICIO 24 : Calcula estos límites: 2
x
x 2x 1
x 3 2 a) lím 1 x 2 x 2 5 x 2 x 2 1 b) lím 3 x 2
x 4 5x
2 x 5 c) lím 1 x x 2 5 x 3 2 x 4 d) lím 3 x 2 x x 1 2 e) lím 2 1 x 2 2
x 2 3x
x 3 f) lím x 2 2 2
x x 2
1 x g) lím x 2 2
x 3x 9x
7 x 4 h) lím 2 x
x 3x 2
1 x 2 i) lím 1 x
x 3 2x
2 x 2 j) lím Solución: 2 3 1 2 3 2 1 2 3 2
a) 2 2
x x x x x x lím x x lím
0 5 2 2 1b) 2 5
4 8 1 2 · 5 2 5 2 2 1 1 2 · 1 5 2 2 1 1
2 2 2 2 2
e e e
e x x lím x x lím x x x x lím x x x lím x x x x x 5 4 15 12 x 15 12 x 12 3 x 2 · x 5 4 x 5 4 2 x 5 3 x 2 · 1 x 5 4 2 x 5 3 x 2 x e e e e e x 5 4 2 x 5
c) x x x
lím
lím lím lím 3 4 5 x 3 2 x 4 5 x 3 2 x 4 d) 1 x x 1 x x 2 2 lím lím 0 2 x 1 2 x 1 2 e) 3 x 2 x 3 x 2 x lím lím 1 e e e e x 3 2 x 3
f) 4 6x 0
2 x 2 2 1 x · x 3 2 x 3 2 x 3 2 1 x · 1 x 3 2 x 3 2 1 x 2 2 x 2 x 2 2 2 x 2 2 x
lím lím
lím lím 1 e e e e 2 x 1 x
g) x 2 0
x 6 x 2 · 2 x 2 x 1 x x 2 · 1 2 x 1 x x 2 2 2 x 2 x 2 2 2 x 2 2 x
lím lím
lím lím 0 4 3 3 4 x 9 x 3 7 x 4 x 9 x 3 7 x 4 h) x 2 2 x x 2 2
x
lím lím 0 3 2 2 x 3 1 x 2 2 x 3 1 x 2 i) 2 2 x x x x lím lím
2 5 x 2 3 5 x 5 1 x · x 2 3 x 2 3 2 x 2 1 x · 1 x 2 3 2 x 2 1 x x e e e e x 2 3 2 x 2j) x x x
lím
lím lím
lím
EJERCICIO 25 : Halla los límites:
1 x x 3 x
lím 2 2
x a) 9 x 3 x 5 x 3 x lím 2 3 3
x
b) 1 x 2 x x x lím 2 3 1
x
c)
1 x
x 4 3x
2 x 3 lím d) 2 x x 3 x lím 2 5 3 x
e)
x 2
1 x 4 x x 3 lím 2 2 x f) 2 x x 6 x x lím 2 2 2
x
g) x x lím x 2 x h)
x 1
x 3 1 x x 3 lím 2 3 2 x
i) x 1
1
1
x 2x 2
3 1
1 3
1 3
1 3
a)
2 2
2 2
2 2
2 2
x x x
x x x x
x x lím x
x x lím
x x
1 3
1 3 1
3
1 3
1 3
1 3
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
x x x
x lím
x x x
x x x lím x
x x
x x x lím
x x
x
2 3
3
x x
x lím
x
) 0 (
1 ) 1 ( ) 3 (
1 )
1 ( ) 3 (
3 9
3 5
3 b)
3 2
3 2
3
3
x x lím x x
x lím x
x x
x lím
x x
x
Hallamos los límites laterales:
(x 3)(x 1)
1 lím
; ) 1 x ( ) 3 x (
1 lím
3 x 3
x
Como son distintos No existe el límite
) 0 (
2 1 x
1 x x lím )
1 x (
1 x 1 x x lím 1 x 2 x
x x lím
1 x 2 1
x 2
3
1 x
c)
Hallamos los límites laterales:
1
1 ;
1 1
1
1 x
x x lím x
x x lím
x
x Como son distintos No existe el límite
3x 4
6 x 6 lím 1 x · x 3 4
x 3 4 2 x 3 lím 1 x · 1 x 3 4
2 x 3 lím 1
x
x
x x
x
e e
e 1 x
3 4
2 x 3 lím
d) 2
2 1
e e
0 x x lím 2
x x 3 x lím 2 x
x 3 x
lím 5
3
x 2
5 3
x 2
5 3
x
e)
x 4
2 x 3 x x 3 lím 4
x
2 x 1 x x 3 lím 2 x
1 x
4 x
x 3 lím
2 2
2 x 2
2 x 2
2 x
f) (0)
6 4
2 2
2
2
x
x lím
x
Hallamos los límites laterales:
4
2 ;
4 2
2 2
2 2
2
2 x
x lím x
x lím
x
x No existe el límite
3 5 1 x
3 x lím ) 1 x ( ) 2 x (
) 3 x ( ) 2 x ( lím 2 x x
6 x x lím
2 x 2
x 2
2
2 x
g)
x x x
x x x x . x x lím x
x x lím x
x x lím
2 2 2
x 2
x 2
x h)
2 1 2 2
2 2 2
x
x lím x x
x lím x x x
x lím
x x x
x x x lím
x x
x x
3 1 x
x 3 lím 1
x
x 3 x 3 x 3 lím 1
x
x 3 1 x x 3 lím 1
x x 3 1 x
x 3 lím
2 2
x 2
3 2 3
x 2
3 2
x 2
3 2
x
i)
41 2 x 2
1 lím ) 1 x ( ) 2 x 2 (
1 x lím 1 x
1 · 2 x 2
2 x 2 3 x lím 1 x
1 · 1 2 x 2
3 x lím 1
x 1
1 x
e e
e e
e 1 2
x 2
3 x
lím x 1 x 1 x 1 x 1
Tema 11 – Límites, continuidad y asíntotas – Matemáticas I – 1º Bachillerato
11
CONTINUIDAD
EJERCICIO 26 : Lasiguientegráficacorrespondealafunciónf
x :4 6 8
Y
X
2
6 8 2
4 2
8 6
2
4
6 4
Di si es continua o no en x 1 y en x 2. Si en alguno de los puntos no es continua, indica cuál es la causa de la discontinuidad.
Solución:
En x 1 no es continua porque presenta un salto en ese punto. Observamos que limf
x limf
xx
x
1 1
. En x 2 sí es continua.
EJERCICIO 27 : A partir de la gráfica de f(x ) señala si es continua o no en x 0 y en x 3. En el caso de no ser continua, indica la causa de la discontinuidad.
4 6 8
2
2
6 8 2 4 4 2
8 6
4 6 Y
X
Solución:
En x = 0, sí es continua.
En x = 3 es discontinua porque no está definida, ni tiene límite finito. Tiene una rama infinita en ese punto (una asíntota vertical).
EJERCICIO 28 : Dadalagráficade f
x :4 6 8
2
6 8 2 4
42
8 6
2
4
6 Y
X
a)¿Es continua en x 1? b) ¿Y en x 2?
Si no es continua en alguno de los puntos, indica cuál es la razón de la discontinuidad.
Solución:
a) Sí es continua en x 1.
b) No, en x 2 es discontinua porque no está definida en ese punto. Como sí tiene límite en ese punto, es una discontinuidad evitable.
EJERCICIO 29 : Averigua si la siguiente función es continua en x 2:
2 si
2
2 si
2
x x
x x
x f
Solución:
x f
. flim x
f
x lim x f lim
x lim x f lim
x x
x
x x
2 porque
2 en continua Es
4 2
4 2
4 2
2 2
2
2 2