Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida
1.
MATRICES
Selectividad - Extremadura Junio 1996
:RESOLUCIÓN::
2X – A·B = A2
Se trata de una ecuación matricial de primer grado que resolvemos despejando X, para lo cual: Primero sumamos A·B a los dos miembros:
2X = A2 + A·B Y a continuación los multiplicamos por
2 1
:
X = 2 1
(A2 + A·B)
Sustituyendo A y B por las matrices que representan y efectuando las operaciones indicadas obtenemos el valor de X:
=
=
+
=
=
−
+
=
3 2 3
3 2 15 6
3 6 15 2 1 3 1
0 8 3 2
6 7 2 1
2 2
3 1 · 0 1
3 2 0 1
3 2 · 0 1
3 2 2 1 X
Conocimientos específicos:
- Operaciones con matrices: · Suma de matrices.
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida Comprobamos que, efectivamente, se cumple que 2X – A·B = A2
2
3 2
6 7 3 1
0 8 6 3
6 15 3 1
0 8 3 2 3
3 2 15 · 2 ·
2X AB =A
=
−
=
−
=
− . Verrificado.
Respuesta:
=
3 2 3
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2.
MATRICES
Selectividad - Extremadura Septiembre 1996
:RESOLUCIÓN::
− = −
4 1
2 3 2B
A
− = +
2 3
1 0 2A B
Se trata de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que resolveremos por el método de reducción, para lo cual:
A la primera ecuación le sumamos el doble de la segunda. Esta combinación lineal de las dos ecuaciones tiene A como única incógnita.
En efecto:
− = −
4 1
2 3 2B A
− = +
4 6
2 0 2 4A B
____________________
= 0 5
4 3
5A ⇒
=
0 1
5 4 5 3 A
Conocimientos específicos:
- Operaciones con matrices: · Suma de matrices.
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida Sustituyendo este resultado en la segunda ecuación y despejando B obtenemos:
−
− =
0 1
5 4 5 3 2 2 3
1 0
B ⇒ B
− − −
=
2 1
5 3 5 6
Comprobamos que estos resultados verifican las dos ecuaciones propuestas:
− =
+ − +
=
− − −
−
= −
4 1
2 3 4 2
5 6 5 12 0
1 5 4 5 3 2
1
5 3 5 6 2 0 1
5 4 5 3 2B
A se cumple la 1ª
− =
− − −
+
= +
2 3
1 0 2
1
5 3 5 6 0
1 5 4 5 3 2
2A B y, también, se cumple la 2ª
Respuesta:
=
A
0 1
5 4 5 3
y B=
− − −
2 1
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3.
MATRICES
Selectividad - Extremadura Junio 1997
:RESOLUCIÓN::
A·B – 2X = A + 3B
Se trata de una ecuación matricial de primer grado que resolvemos despejando X, para lo cual: Primero restamos A·B a los dos miembros:
–2X = A + 3B – AB Y, a continuación, los multiplicamos por
2 1 −
X = – 2 1
( A + 3B – AB)
Sustituyendo A y B por las matrices que representan y efectuando las operaciones indicadas obtenemos el valor de X:
Conocimientos específicos:
- Operaciones con matrices: · Suma de matrices.
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida
−
− −
− +
− − =
3 1
1 2 · 0 2
1 3 3 1
1 2 3 0 2
1 3 2 1
X =
−
− −
=
− − −
− +
− − =
11 1
2 4 2 1 2
4 6 5 9 3
3 6 0 2
1 3 2 1
⇒
− − =
2 11 2 1
1 2 X
Comprobamos que, efectivamente, se cumple que A·B – 2X = A + 3B
A·B – 2X =
− =
− − −
−
− 5 9
4 9 2
11 2 1
1 2 2 2 4
6 5
A + 3B=
− =
− +
− 5 9
4 9 9
3 3 6 0 2
1 3
Verificado. Respuesta:
− − =
2 11 2 1
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4.
MATRICES
Selectividad - Extremadura Septiemebre 1997
:RESOLUCIÓN::
A2– X = A·B ⇒ –X = –A2 + AB ⇒ X = A2– A·B ⇒ X = A·(A – B)
Sustituyendo A y B por las matrices que representan y efectuando las operaciones indicadas obtenemos el valor de X:
− − − − =
− −
−
− =
− −
−
− =
2 4 1
5 0 2
0 2 1
1 2 0
2 1 1
2 1 0 · 2 1 1
1 2 0
0 1 1
1 1 1
1 1 1
2 0 1
2 1 1
1 2 0
0 1 1 · 2 1 1
1 2 0
0 1 1 X
Conocimientos específicos:
- Operaciones con matrices: · Suma de matrices.
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida Comprobamos que se cumple A2– X = A·B
− =
− − − − −
− =
− −
− −
−
− = −
5 1 2
1 3 3
1 1 2
2 4 1
5 0 2
0 2 1
3 3 3
4 3 1
1 3 1
2 4 1
5 0 2
0 2 1
2 1 1
1 2 0
0 1 1 · 2 1 1
1 2 0
0 1 1
2 X A
− =
−
− =
5 1 2
1 3 3
1 1 2
1 1 1
1 1 1
2 0 1 · 2 1 1
1 2 0
0 1 1 ·B
A . Verificado.
Respuesta:
− − −
− =
2 4 1
5 0 2
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5.
MATRICES
Selectividad - Extremadura Junio 1998
:RESOLUCIÓN::
2
·
3X +I = AB−A ⇒ 3X = A·B−A2 −I ⇒ X = ·
(
A·B−A2 −I)
31
por tanto:
=
−
−
−
−
−
−
−
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
2
1
3
3
0
2
2
1
1
·
2
1
3
3
0
2
2
1
1
1
2
3
1
1
2
2
0
1
·
2
1
3
3
0
2
2
1
1
·
3
1
X
=
− − − −
=
− − − −
=
−
−
−
3 0
0
3 0
0
3 8 3 4 3 1
9 0 0
9 0 0
8 4 1 · 3 1 1 0 0
0 1 0
0 0 1
13 5 5
10 5 7
5 1 9
5 5 5
1 6 7
3 5 9 · 3 1
Conocimientos específicos:
- Matriz unidad o identidad. - Operaciones con matrices:
· Suma de matrices.
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida Comprobación de que se cumple 3X +I = A·B−A2
+
− − − −
= +
3 0
0
3 0
0
3 8 3 4 3 1 · 3 3X I
− − − =
+
− − − −
=
8 0 0
9 1 0
8 4 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
9 0 0
9 0 0
8 4 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
− − − =
−
−
= −
8 0 0
9 1 0
8 4 0
13 5 5
10 5 7
5 1 9
5 5 5
1 6 7
3 5 9 ·B A2
A . Comprobado.
Respuesta:
= X
− − − −
3 0
0
3 0
0
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6.
MATRICES
Selectividad - Extremadura Septiembre 1998
:RESOLUCIÓN::
a) Para hallar la matriz (A−3I)2 +Bt efectuamos, ordenadamente, las operaciones:
− − − − =
−
− − − = − ⇒
= ⇒
=
1 3 2
2 4 0
0 1 4
3 0 0
0 3 0
0 0 3
2 3 2
2 1 0
0 1 1 3
3 0 0
0 3 0
0 0 3 3 1 0 0
0 1 0
0 0 1
I A I
I
= − 2
) 3 (A I
− −
− −
1 3 2
2 4 0
0 1 4
·
− −
− −
1 3 2
2 4 0
0 1 4
=
− −
− −
7 17 10
10 22
4
2 8
16
y como
− − − =
3 1 1
2 2 0
1 3 2
t B
Sumando estas dos matrices obtenemos la solución:
− −
− − =
+ −
4 18 9
8 24 4
1 11 14 )
3
(A I 2 Bt
Conocimientos específicos:
- Matriz unidad o identidad. - Matriz traspuesta
- Operaciones con matrices: · Suma de matrices.
· Producto de número por matriz. · Producto de matrices.
- Concepto de matrices inversas.
- Cálculo de la matriz inversa de una dada. · Determinante de una matriz.
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida b) Existirá A , inversa de A, si −1 A ≠0
=
A ( 1)·( 1)·2 0·3·0 2·( 1)·2 0·( 1)·2 2·3·( 1) 2·( 1)·0 4 0 1 2
3 2
2 1 0
0 1 1
−
∃ ⇒ ≠ = − − − − − − − + + − − = −
− −
A
Para hallar A utilizaremos la fórmula −1 1 1·Adj(At) A
A− =
t t
A Adj
A (
2 2 0
3 1 1
2 0 1
⇒
− − −
= ) = =
− − − + −
− − −
+
− − −
+ −
− − + −
− −
+
1 1
0 1 3
1 2 1 3
1 2 0
2 0
0 1 2
0 2 1 2
2 2 0
2 0
1 1 2
0 3 1 2
2 3 1
− − + −
1 1 2
2 2 4
2 2 8
Por lo que · 4 1
1 =
−
A
− − + −
1 1 2
2 2 4
2 2 8
⇒ A–1=
−
− −
4 1 4 1 2 1
2 1 2 1 1
2 1 2 1 2
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida
7.
MATRICES
Selectividad - Extremadura Junio 1999
Se pide “determinar las matrices A y B que son soluciones del sistema matricial dado”
:RESOLUCIÓN::
Lo haremos por el método de reducción:
− − =
− − = ⇒
− − − +
− − =
⇒ +
0 2 5
2 3 1
0 1 2
0 14 35
14 21 7
0 7 14 · 7 1
2 5 10
7 6 6
2 1 7 · 2 4 4 15
0 9 5
4 5 0 ·
7 2 2
1 E A A
E
Sustituyendo la matriz A en E2 y despejando B obtenemos:
· 2 2 5 10
7 6 6
2 1 7
−
− − − = B
− −
0 2 5
2 3 1
0 1 2
− − −
− =
2 1 0
3 0 4
2 1 3
Conocimientos específicos:
- Operaciones con matrices: · Suma de matrices.
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida Comprobamos los resultados obtenidos sustituyéndolos en las ecuaciones originales:
· 3 2 3A− B=
− −
0 2 5
2 3 1
0 1 2
· 2 −
− − −
−
2 1 0
3 0 4
2 1 3
=
− −
4 4 15
0 9 5
4 5 0
⇒Se verifica la primera.
· 2 2A+B=
− −
0 2 5
2 3 1
0 1 2
+
− − −
−
2 1 0
3 0 4
2 1 3
=
− − −
2 5 10
7 6 6
2 1 7
⇒También la segunda.
Respuesta:
= A
− −
0 2 5
2 3 1
0 1 2
y B=
− − −
−
2 1 0
3 0 4
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida 1.- Dada la matriz
− =
2 0 1
2 1 1
0 1 1
A determinar la matriz B que verifica:
8.
MATRICES
Selectividad - Extremadura Septiembre 1999
:RESOLUCIÓN::
I
A
A
B
A
A
I
B
−
=
t·
−1⇒
=
t·
−1+
Siendo
−
=
2 2 0
0 1 1
1 1 1
t
A ; I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
; y A −1 1 ·Adj(At) A
=
−
− − =
− + −
− +
− − +
− −
+ −
+
− = −
2 1 1
2 2 4
2 2 2 · 6 1
1 1
1 1 0 1
1 1 0 1
1 1
2 0
1 1 2 0
1 1 2 2
1 1
2 0
1 1 2 0
0 1 2 2
0 1
·
2 0 1
2 1 1
0 1 1
1
1
A
*
Conocimientos específicos:
- Matriz unidad o identidad. - Matriz traspuesta
- Operaciones con matrices: · Suma de matrices. · Producto de matrices. - Concepto de matrices inversas.
- Cálculo de la matriz inversa de una dada. · Determinante de una matriz.
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida Sustituyendo las matrices en la fórmula obtenemos:
I A A
B= t· −1+ =
− 2 2 0 0 1 1 1 1 1 · − − − 2 1 1 2 2 4 2 2 2 · 6 1 + 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = − = + − − 1 1 1 0 1 1 1 2 1 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 2 1 2 1 Respuesta: = B − 1 1 1 0 1 1 1 2 1 2 1
(*) Comprobamos que A–1 es correcta, es decir, se cumple que A·A−1 = A−1·A=I
= −1 ·A A − 2 0 1 2 1 1 0 1 1 · − − − 2 1 1 2 2 4 2 2 2 · 6 1 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . Bien = − A A ·1
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9.
MATRICES
Selectividad - Extremadura Septiembre 2000
:RESOLUCIÓN::
2A·X = B
Despejamos X multiplicando a los dos miembros por 1/2 y, POR LA IZQUIERDA, por −1
A y teniendo en cuenta la propiedad asociativa:
) · ·( 2 1 ·
2 1 · ·
2 · 2 1 · ·
2AX =B⇒ A−1 AX =A−1 B⇒ X = A−1 B Hallamos A–1:
( )
=
− − + −
− − +
− − − + − − −
− + − − − − +
=
− − −
− − − = =
−
1 0
2 1 1
0 0 1 1
1 0 2
0 1
2 1 3 1
0 1 3 0
0 2
0 1
1 0 3 1
1 0 3 0
1 1
· 1 1 3 0 1
1 1 0
0 2 1 ·
3 1 0
0 1 2
1 0 1
1 ·
1
1
Adj A
Adj A
A t
Conocimientos específicos:
- Operaciones con matrices:
· Producto de número por matriz. · Producto de matrices.
· Propiedades.
- Concepto de matrices inversas.
- Cálculo de la matriz inversa de una dada. · Determinante de una matriz.
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida
− − −
− − − =
1 1 2
2 3 6
1 1 3
Por tanto
· 2 1 ) · ·( 2
1 · 1 =
= A− B
X
− − −
− − −
1 1 2
2 3 6
1 1 3
· ·
2 1
2 1 0
1 1 0
0 1 2
=
−
− − −
− −
− =
− − −
− − −
2 3 1 2
2 7 2 5 6
2 3 2 3 3
3 2 4
7 5 12
3 3 6
Comprobamos que se cumple 2A·X = B:
· 6 2 0
0 2 4
2 0 2 ·
2
− − − = X A
− − −
− −
−
2 3 1 2
2 7 2 5 6
2 3 2 3 3
=
−
2 1 0
1 1 0
0 1 2
=B. Comprobado.
Respuesta:
= X
− − −
− −
−
2 3 1 2
2 7 2 5 6
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida
10.
MATRICES
Selectividad - Extremadura Septiembre 2001
:RESOLUCIÓN:: Se tiene que cumplir A·X = X·A
Como A tiene tres columnas, X debe tener tres filas para que exista la matriz A·X y como A tiene tres filas, X ha de tener tres columnas para que exista la matriz X·A. Por tanto X es una matriz cuadrada de orden 3.
Sea
=
33 32 31
23 22 21
13 12 11
x x x
x x x
x x x X
· 0 1 0
0 1 0
0 0 1 ·
·
− ⇒ = X A X
A
33 32 31
23 22 21
13 12 11
x x x
x x x
x x x
=
33 32 31
23 22 21
13 12 11
x x x
x x x
x x x
·
−
0 1 0
0 1 0
0 0 1
⇒
+ −
+ −
+ − =
− −
− ⇒
0 0 0
33 32 31
23 22 21
13 12 11
23 22
21
23 22
21
13 12
11
x x x
x x x
x x x
x x
x
x x
x
x x
x
El criterio de igualdad entre matrices obliga a que se cumpla:
Conocimientos específicos:
- Producto de matrices.
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida
= +
− = =
= − +
− = − =
−
= +
− = =
0 0 0
23 33
32 22
31 21
23 23
22 22
21 21
13 13
12 12
11 11
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x
x
⇒
ℜ ∈ −
= =
= ℜ
∈ =
= =
ℜ ∈
33 22 33 32 31
23 22
21
13 12
11
0
0 0
0 0
x x x x x
x x
x
x x
x
Es decir, las matrices X que cumplen A·X = X·A, son de la forma:
− =
c b c
b a X
0
0 0
0 0
∀a,b,c∈ℜ
Comprobación:
· 0 1 0
0 1 0
0 0 1 ·
− = X A
−b c c
b a
0
0 0
0 0
− =
0 0
0 0
0 0
b b a
· 0
0 0
0 0 ·
− =
c b c
b a A X
−
0 1 0
0 1 0
0 0 1
− =
0 0
0 0
0 0
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida
11.
MATRICES
Selectividad - Extremadura Junio 2002
:RESOLUCIÓN::
Para resolver la ecuación A+BX = I, restamos A a los dos miembros, los multiplicamos porB , necesariamente POR LA IZQUIERDA ya que no se cumple la propiedad conmutativa y, por −1 cumplir el producto de matrices la propiedad asociativa, quedará despejada X…
) ·( *
) ·( )
· ·( ·
·X I BX I A B 1 BX B 1 I A X B 1 I A
B
A+ = ⇒ = − ⇒ − = − − ⇒ ⇒ = − −
* B−1·(B·X)=(B−1·B)·X =I·X = X Calcularemos B por el método de Gauss: −1
(B | I
)
=
−
−
2 3 1
1 0 1
0 2 1
| | |
1 0 0
0 1 0
0 0 1
− −
→
→
→
+ −
2 5 0
1 2 0
0 2 1
1 3
1 2
1
F F
F F
F
| | |
→
→
→
−
+ −
+
2 3
2 2 1
2 5 2 1
1 0 1
0 1 1
0 0 1
F F
F F F
Conocimientos específicos:
- Matriz unidad o identidad. - Matriz traspuesta
- Operaciones con matrices: · Suma de matrices.
· Producto de número por matriz. · Producto de matrices.
- Concepto de matrices inversas.
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida − − 2 1 0 0 2 1 1 0 1 0 1 | | | → → → − − − + − 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 5 2 3 0 2 1 2 1 0 1 0 3 3 2 3 1 2 2 F F F F F | | | − − − − − 2 5 3 1 2 1 2 4 3
(
I= | B−1
)
Por lo tanto:
) ·( 1 A I B
X = − − =
− − − = − − − − − − − − − 1 4 14 1 2 5 1 4 12 2 2 1 0 0 2 1 0 2 · 2 5 3 1 2 1 2 4 3 Respuesta: = X − − − 1 4 14 1 2 5 1 4 12
Comprobación de que A + B·X = I
A + B·X = ·
2 3 1 1 0 1 0 2 1 3 2 1 0 1 2 1 0 1 − − + − − − − − 1 4 14 1 2 5 1 4 12 = = − − 3 2 1 0 1 2 1 0 1
+ = I
= − − − − 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 2 1 0 0 2 1 0 2
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida
12.
MATRICES
Selectividad - Extremadura Septiembre 2002
:RESOLUCIÓN::
(
A B)
X(
A B)
X B
A X
B X
A− = ⇒ − =− + ⇒ =− − + ⇒ = · 2 −
3 1 2
· 3 1 2
3 3
2
=
X ·
3 1
− −
4 0 2
2 4 6
0 2 4
−
− − − − =
−
− + − − =
− −
− −
1 3 1
2 1 0
2 1 3
3 9 3
6 3 0
6 3 9 · 3 1
1 9 5
8 7 6
6 5 5
Respuesta:
= X
−
− − − −
1 3 1
2 1 0
2 1 3
Conocimientos específicos:
- Operaciones lineales con matrices: · Suma de matrices.
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida Comprobación:
= − X A 3 2
− −
4 0 2
2 4 6
0 2 4
=
−
− + − − −
3 9 3
6 3 0
6 3 9
− −
−
1 9 5
8 7 6
6 5 5
B
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida
13.
MATRICES
Selectividad - Extremadura Junio 2003
:RESOLUCIÓN::
Para determinar la matriz X =(A−1·Bt)2 necesitamos realizar cuatro pasos para obtener: 1º) A ; 2º) −1 B ; 3º) t A ·−1 Bt; 4º) (A−1·Bt)2
1º) (A | I) =
→
→
→
− −
−
→
→
→
− −
+ −
− 3 2
2 1
2 3
1 2
1 1 0 | 1 1 0
0 0 1 | 0 1 0
0 1 0 | 1 0 1
1 0 0 | 0 1 1
0 1 0 | 1 0 1
0 0 1 | 0 1 0
F F
F F
F F
F F
(
| 1)
1 1 1 | 1 0 0
0 0 1 | 0 1 0
1 0 1 | 0 0 1
1 1 1 | 1 0 0
0 0 1 | 0 1 0
0 1 0 | 1 0 1
3 2 3 1
− +
=
− − →
→
→
− − −
A I F
F F F
2º)
− − =
⇒
− − =
0 1 1
3 1 0
1 0 1
0 3 1
1 1 0
1 0 1
t B B
Conocimientos específicos:
- Matriz unidad o identidad. - Matriz traspuesta.
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida
3º) ·
1 1 1
0 0 1
1 0 1 ·
1
− − =
− t B A
− −
0 1 1
3 1 0
1 0 1
− −
− =
4 2 2
1 0 1
1 1 2
4º) (A−1·Bt)2 =
− −
−
4 2 2
1 0 1
1 1 2
·
− −
−
4 2 2
1 0 1
1 1 2
− −
− =
16 6 6
3 1 0
3 0 1
Respuesta:
X =
− −
−
16 6 6
3 1 0
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida
14.
MATRICES
Selectividad - Extremadura Septiembre 2003
:RESOLUCIÓN::
Para despejar X de la ecuación Bt – A·X = A, hacemos lo siguiente a los dos miembros:
- Restamos Bt : –A·X = –Bt + A
- Multiplicamos por –1: A·X = Bt – A
- Multiplicamos por A–1 POR LA IZQUIERDA (el producto de matrices no es conmutativo aunque si es asociativo): A–1·(A·X) = A–1·(Bt – A)
(A–1·A)·X = “ “ I · X = “ “
X = A–1·(Bt – A)
Conocimientos específicos:
- Matriz unidad o identidad. - Matriz traspuesta
- Operaciones con matrices: · Suma de matrices.
· Producto de número por matriz. · Producto de matrices.
- Concepto de matrices inversas.
- Cálculo de la matriz inversa de una dada. · Determinante de una matriz.
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida = = − ) ( · 1 1 t A Adj A A = − + − − + − − − + − − − + − − − + − = − − − − 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 · 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 · 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Adj − − = − 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1
A y como
= 1 1 0 3 1 1 1 0 2 t
B sustituimos en X = A–1·(Bt – A) resultando:
= X − − 1 1 1 0 1 0 1 1 0 · = − − − 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 3 1 1 1 0 2 − − 1 1 1 0 1 0 1 1 0 · =
−1 0 1 3 2 1 2 0 1 − − − − 2 2 1 3 2 1 4 2 0 Respuesta: = X − − − − 2 2 1 3 2 1 4 2 0
Comprobación de que se cumple Bt – A·X = A
1 1 0 3 1 1 1 0 2 – − − 0 1 1 0 1 0 1 0 1 · − − − − 2 2 1 3 2 1 4 2 0 = 1 1 0 3 1 1 1 0 2 – =
−1 0 1 3 2 1 2 0 1 − − 0 1 1 0 1 0 1 0 1
Cálculo de A-1 por el método de Gauss:
(
)
→ → → − − = − 1 3 2 1 1 0 0 | 0 1 1 0 1 0 | 0 1 0 0 0 1 | 1 0 1 | F F F F I A → → → − − − + − 2 3 2 1 1 0 1 | 1 1 0 0 1 0 | 0 1 0 0 0 1 | 1 0 1 F F F F → → → − − − + 3 2 3 1 1 1 1 | 1 0 0 0 1 0 | 0 1 0 0 0 1 | 1 0 1 F F F F(
1)
| 1 1 1 | 1 0 0 0 1 0 | 0 1 0 1 1 0 | 0 0 1 − = −
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida
15.
MATRICES
Selectividad - Extremadura Septiembre 2004
:RESOLUCIÓN::
Para resolver el sistema:
− −
= +
− −
= −
1 5 3
4 2 3 2
3 0 6
7 1 4 2
B A
B A
Emplearemos el método de doble reducción:
Eliminamos B haciendo 2E1+E2,
− −
=
⇒
− −
=
1 1 3
2 0 1 5
5 15
10 0 5
5A A
Para eliminar A hacemos –E1+2E2,
− −
=
⇒
− −
=
1 2 0
3 1 2 5
10 0
15 5 10
5B B
Comprobamos estos resultados en el sistema inicial:
Conocimientos específicos:
- Operaciones lineales con matrices: · Suma de matrices.
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida
− −
=
− −
+
− −
− −
=
− −
−
− −
1 5 3
4 2 3 1
2 0
3 1 2 2 1 1 3
2 0 1
3 0 6
7 1 4 1
2 0
3 1 2 1 1 3
2 0 1 2
Se cumplen ambas igualdades.
Respuesta: =
A
− −
=
− −
1 2 0
3 1 2 1
1 3
2 0 1
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida
16.
MATRICES
Selectividad - Extremadura Junio 2005
:RESOLUCIÓN::
La matriz
− − =
2 1
3 3 0
1 2 1
m
A no tiene inversa si su rango es menor que su orden (3 en este
caso) es decir si su filas no son linealmente independientes entre sí, en cuyo caso A =0
0 2 1
3 3 0
1 2 1
= −
−
m
⇒ –6 + 6m + 3m – 3 = 0 ⇒ 9m – 9 = 0 ⇒ m = 1
Respuesta a):
A no tiene inversa, únicamente, para m = 1
1
1⇒ ∃ − ≠
∀m A . En concreto, para m = 2:
Conocimientos específicos:
- Concepto de matrices inversas.
- Cálculo de la matriz inversa de una dada. · Determinante de una matriz.
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida − − = 2 1 2 3 3 0 1 2 1
A y se nos pide hallar 1 1·Adj(At) A
A− =
|A| = 9·2 – 9 = 9
− − − = + − + − − − − + − − − + − − − − + = ⇒ − − = 3 3 6 3 0 6 9 3 9 3 2 0 1 1 2 2 1 1 3 2 0 3 1 0 1 2 1 2 1 2 3 2 0 3 1 3 2 2 1 1 2 2 3 1 3 ) ( 2 3 1 1 3 2 2 0 1 t t A Adj A
Por lo que: ·
9 1 1 = − A − − − 3 3 6 3 0 6 9 3 9 = − − − 3 1 3 1 3 2 3 1 0 3 2 1 3 1 1
Comprobamos que A·A−1 = A−1·A=I
Respuesta b): = −1 ·A A − − 2 1 2 3 3 0 1 2 1 · − − − 3 1 3 1 3 2 3 1 0 3 2 1 3 1 1
= =I
1 0 0 0 1 0 0 0 1 = − A
A ·1
− − − 3 1 3 1 3 2 3 1 0 3 2 1 3 1 1 · − − 2 1 2 3 3 0 1 2 1
= =I
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida
17.
MATRICES
Selectividad - Extremadura Septiembre 2005
:RESOLUCIÓN::
Podríamos resolver la ecuación despejando X –multiplicaríamos a los dos miembros (por la izquierda) por A–1 que, obviamente, tendríamos que calcular previamente– pero, como la matriz X es pequeña, hallaremos los cuatro números que la componen efectuando los productos de ambos miembros de la ecuación e igualando entre sí los elementos de igual posición:
Consideremos
=
22 21
12 11
x x
x x
X ; sustituyendo A, B, C y X por las matrices que representan y efectuando las multiplicaciones:
· 1 1
1 2
− −
22 21
12 11
x x
x x
=
+ +
− − −
− ⇒
− =
1 1
2 5 2
2 1
3 2 5 · 3 2
0 1
22 12 21
11
22 12 21
11
x x x
x
x x x
x
El criterio de igualdad entre matrices obliga a que:
1 1
2 2
5 2
22 12 21
11
22 12 21
11
= + =
+
= − − = − −
x x x
x
x x x
x
sistema de ecuaciones cuya solución es:
4 7
3 6
22 21
12 11
= =
− = −
=
x x
x x
Conocimientos específicos:
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida Por lo tanto:
Respuesta:
− −
=
4 7
3 6 X
Comprobación:
A·X = ·
1 1
1 2
− −
− −
4 7
3 6
=
1 1
2 5
B·C =
− 3 1 2 5 · 3 2
0 1
=
1 1
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida Dadas las matrices: A=
− −
2 1 1
3 0 1
0 1 2
, B=
− z
y x
2 3
0 1
1 0
y C=
−
− − −
1 4 6
1 6 11
2 0 2
determinar
los valores de x, y, z que hacen posible la igualdad matricial A·B = A+C. Justificar la respuesta
18.
MATRICES
Selectividad - Extremadura Junio 2006
:RESOLUCIÓN::
Para encontrar los valores de x, y, z que aparecen en la matriz B y que hacen que se cumpla la igualdad A·B = A+C todo lo que hay que hacer es, 1, efectuar las operaciones que aparecen en los dos miembros, 2, igualar entre sí los elementos que ocupan la misma posición en las matrices obtenidas y, 3, resolver el sistema resultante.
A·B = A+C Es decir:
− −
2 1 1
3 0 1
0 1 2
·
− z
y x
2 3
0 1
1 0
=
− −
2 1 1
3 0 1
0 1 2
+
−
− − −
1 4 6
1 6 11
2 0 2
Efectuamos las operaciones:
− −
− =
− −
+
+ − − + −
+
1 5 5
2 6 10
2 1 0
2 1 5 6
3 1 6 9
2 1
2
z y
x
z x
y x
Conocimientos específicos:
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida Que las matrices de ambos miembros sean iguales obliga a que:
− = −
− = − +
= + −
= + −
= +
1 2 1
5 6
2 3 1
10 9
0 2
z y x
z x
y x
Sistema cuya solución es:
= = − =
1 2 1
z y x
Comprobación:
x=–1, y=2, z=1 ⇒ B =
− −
1 2 3
0 1 2
1 0 1
⇒
A·B =
− −
2 1 1
3 0 1
0 1 2
·
− −
1 2 3
0 1 2
1 0 1
=
− −
−
1 5 5
2 6 10
2 1 0
= A+C
Respuesta:
1 2 1
= = − =
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida Determinar la matriz X que verifica la ecuación matricial A·X + B = C donde:
A =
− −1 2
5 3
, B =
−
0 1 2
1 0 1
y C =
−
3 1 0
2 1 1
Justificar la respuesta.
19.
MATRICES
Selectividad - Extremadura Septiembre 2006
:RESOLUCIÓN::
La matriz X tiene que tener dimensión 2x3 para que se puedan realizar las operaciones del primer miembro de la igualdad.
Sea X=
23 22 21
13 12 11
x x x
x x x
Se tiene que cumplir:
A·X + B = C Es decir:
− −1 2
5 3
·
23 22 21
13 12 11
x x x
x x x
+
−
0 1 2
1 0 1
=
−
3 1 0
2 1 1
Efectuando las operaciones del primer miembro:
−
=
− − + − − + − −
+ + +
− +
3 1 0
2 1 1 2
1 2 2
2
1 5 3 5
3 1 5 3
23 13 22
12 21
11
23 13 22
12 21
11
x x x
x x
x
x x x
x x
x
Para que estas dos matrices sean iguales se tiene que verificar:
Conocimientos específicos:
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida )
( 3 2 )
( 1 1 2 )
( 0 2 2
) ( 2 1 5 3 ) ( 1 5
3 ) ( 1 1 5 3
6 23
13 4
22 12 2
21 11
5 23
13 3
22 12 1
21 11
E x
x E
x x E
x x
E x
x E
x x E
x x
= − − =
+ − − =
+ − −
= + + −
= + =
− +
Sistema de tres pares de ecuaciones con dos incógnitas que resolvemos por reducción:
(3E2 + E1): −x21 +5=1⇒x21 =4 ⇒ Sustituyendo en (E2): −x11 −8+2=0⇒ x11 =−6
(3E4 + E3): −x22 +3=2⇒x22 =1 ⇒ Sustituyendo en (E4): −x12 −2+1=1⇒ x12 =−2
(3E6 + E5): −x23 +1=11⇒x23 =−10 ⇒ Sustituyendo en (E6): −x13 +20=3⇒ x13 =17
La matriz X es, por lo tanto, X =
− − −
10 1
4
17 2 6
Comprobamos si se cumple que A·X + B = C
A·X + B =
− −1 2
5 3
·
− − −
10 1
4
17 2 6
+
−
0 1 2
1 0 1
=
+
− −
3 0 2
1 1 2
−
0 1 2
1 0 1
=
−
3 1 0
2 1 1
= C. Se cumple.
Respuesta:
X =
− − −
10 1
4
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida Determinar la matriz X que verifica la ecuación A2·X – B = A·X donde:
A =
−
−
1 1 1
0 1 2
1 0 1
y B =
− − −
1 1 0
1 3 1
0 1 2
Justificar la respuesta
20.
MATRICES
Selectividad - Extremadura Junio 2007
:RESOLUCIÓN::
Para despejar X en la ecuación A2·X – B = A·X, tendremos en cuenta que el producto de matrices cumple la propiedad asociativa y la distributiva respecto a la suma, pero que no cumple la propiedad conmutativa:
A2·X – B A2·X – A·X (A2 – A)·X (A2 – A)–1·[(A2 – A)·X] [(A2 – A)–1· (A2 – A)]·X I·X X
= = = = = = =
A·X B B
(A2 – A)–1· B (A2 – A)–1· B (A2 – A)–1· B (A2 – A)–1· B
Hallaremos (A2 – A) para luego obtener su inversa y multiplicarla por B:
A2 =
−
−
1 1 1
0 1 2
1 0 1
·
−
−
1 1 1
0 1 2
1 0 1
=
− − −
2 2 0
2 1 4
2 1 2
Conocimientos específicos:
- Operaciones con matrices: · Suma de matrices.
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida A2 – A =
− − − 2 2 0 2 1 4 2 1 2 – − − 1 1 1 0 1 2 1 0 1 = − − − 1 1 1 2 0 2 1 1 1
Su inversa la calcularemos por el método de Gauss (las trasformaciones elementales que convierten una matriz en la matriz unidad, convierten a ésta, en la inversa de aquella):
→ → → − − − − → → → − − − − + − − 2 3 2 2 1 1 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 1 | 2 2 0 0 1 2 | 0 2 0 0 0 1 | 1 1 1 1 0 0 | 1 1 1 0 1 0 | 2 0 2 0 0 1 | 1 1 1 F F F F F F F F F F − − → → → − − − + 2 1 2 1 2 1 | 1 0 0 0 2 1 1 | 0 1 0 2 1 0 2 1 | 0 0 1 1 1 1 | 2 0 0 0 2 1 1 | 0 1 0 0 2 1 0 | 1 0 1 3 2 3 1 2 1 2 1 F F F F .
Por lo tanto:
X = (A2 – A)–1· B= ·
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida
21.
MATRICES
Selectividad - Extremadura Septiembre 2008
:RESOLUCIÓN:: I
B X
A· · = ⇒ A−1·(A·X·B)·B−1 = A−1·I·B−1 →* X = A−1·B−1
(*) Por la propiedad asociativa del producto: A−1·(A·X·B)·B−1=(A−1·A)·X·(B·B−1)= I·X·I =X (el producto de dos matrices inversas entre sí es igual a la matrizI, elemento neutro del producto). Cálculo de A−1 por el método de Gauss-Jordan:
(
A|I)
→(
I|A−1)
−
1 0 | 1 1
0 1 | 2 1
+ − →
1 2
1
F F
F
− −
1 1 | 3 0
0 1 | 2 1
→
2 1
3 1
F F
− −
3 / 1 3 / 1 | 1 0
0 1 | 2 1
→
+
→
2 2
1 2
F F F
−
3 / 1 3 / 1 | 1 0
3 / 2 3 / 1 | 0 1
⇒ −1
A =
−
1 1
2 1 · 3 1
Cálculo de −1
B :
(
)
(
1)
| |I → I B− B
−1 2 | 0 1 0 1 | 1 0
− →
1 2
F F
− −
0 1 | 1 0
1 0 | 2 1
+
→
2 2
1 2
F F F
−
0 1 | 1 0
1 2 | 0 1
⇒
⇒ B =−1
−
0 1
1 2
Conocimientos específicos:
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida
1 1
· − − = A B
X =
−
1 1
2 1 · 3 1
·
−
0 1
1 2
=
−1 3
1 0 · 3 1
=
−1/3 1
3 / 1 0
Comprobación de que A·X·B= I: B
X
A· · =(A·X)·B=
−
1 1
2 1
·
−1/3 1
3 / 1 0
·
−1 2 1 0
=
−
0 1
1 2
·
−1 2 1 0
=
1 0
0 1
= I
Solución:
X=
−1/3 1
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida 1. Determinar las matrices A y B que son soluciones del siguiente sistema matricial:
3A – 2B =
− − 4 4 15 0 9 5 4 5 0
, 2A + B =
− − − 2 5 10 7 6 6 2 1 7
Justificar la respuesta.
22.
MATRICES
CONTROL 1 (Curso 07-08) 27 SEP 07
Lo resolveremos por el método de reducción:
Si llamamos
E
1 a la primera ecuación yE
2 a la segunda, tenemos que: − − = − − = ⇒ − − − + − − = ⇒ + 0 2 5 2 3 1 0 1 2 0 14 35 14 21 7 0 7 14 · 7 1 2 5 10 7 6 6 2 1 7 · 2 4 4 15 0 9 5 4 5 0 · 7 2 2
1 E A A
E
Sustituyendo la matriz
A
enE
2 y despejandoB
obtenemos:· 2 2 5 10 7 6 6 2 1 7 − − − − = B − − 0 2 5 2 3 1 0 1 2 − − − − = 2 1 0 3 0 4 2 1 3
Comprobamos los resultados obtenidos sustituyéndolos en las ecuaciones originales:
· 3 2 3A− B=
− − 0 2 5 2 3 1 0 1 2 · 2 − − − − − 2 1 0 3 0 4 2 1 3 = − − 4 4 15 0 9 5 4 5 0
⇒Se verifica la primera.
Conocimientos específicos:
- Operaciones con matrices: · Suma de matrices.
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida ·
2 2A+B=
− −
0 2 5
2 3 1
0 1 2
+
− − −
−
2 1 0
3 0 4
2 1 3
=
− − −
2 5 10
7 6 6
2 1 7
⇒También la segunda.
Respuesta:
= A
− −
0 2 5
2 3 1
0 1 2
y B=
− − −
−
2 1 0
3 0 4
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida 2. Halla razonadamente el rango de la matriz A =
− −
−
11 11 3
5 3 1
2 1 3
e indica lo que significa dicho valor.
23.
MATRICES
CONTROL 1 (Curso 07-08) 27 SEP 07
Hallaremos el rango de la matriz por el método de Gauss, para ello obtendremos una matriz escalonada equivalente a A haciendo en ésta trasformaciones elementales. El número de filas no nulas de la matriz escalonada será el rango de A.
− −
−
11 11 3
5 3 1
2 1 3
→ F1↔F2
− − −
11 11 3
2 1 3
5 3 1
→
→
− →
− →
1 3 3
1 2 2
3 3
F F F
F F F
− −
26 20 0
13 10 0
5 3 1
→
F3→F3−2 F2
− −
0 0 0
13 10 0
5 3 1
Por lo tanto:
Rang (A) = 2
Respuesta:
El rango de la matriz A es 2 lo que significa que tiene dos filas linealmente independientes entre sí y la otra es una combinación lineal de ellas.
Conocimientos específicos:
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida
24.
MATRICES
CONTROL 2 (Curso 07-08) 04 OCT 07
:RESOLUCIÓN::
a) Para hallar la matriz (A−3I)2 +Bt efectuamos, ordenadamente, las operaciones:
− − − − =
−
− − − = − ⇒
= ⇒
=
1 3 2
2 4 0
0 1 4
3 0 0
0 3 0
0 0 3
2 3 2
2 1 0
0 1 1 3
3 0 0
0 3 0
0 0 3 3 1 0 0
0 1 0
0 0 1
I A I
I
= − 2
) 3 (A I
− −
− −
1 3 2
2 4 0
0 1 4
·
− −
− −
1 3 2
2 4 0
0 1 4
=
− −
− −
7 17 10
10 22
4
2 8
16
y como
− − − =
3 1 1
2 2 0
1 3 2
t B
Sumando estas dos matrices obtenemos la solución:
− −
− − =
+ −
4 18 9
8 24 4
1 11 14 )
3
(A I 2 Bt
Conocimientos específicos:
- Matiz identidad. - Matriz traspuesta.
- Operaciones con matrices: · Suma de matrices.