Antonio Lascurain Orive 3 de junio de 2013

Antonio Lascurain Orive

La variable compleja es una rama central de las matem´aticas te´oricas y aplicadas, adem´as de ser un pilar fundamental de la f´ısica. Una formaci´on matem´atica s´olida incluye conocimientos de variable compleja, ya que ´esta proporciona una visi´on unificada del ´algebra, el an´alisis, la geometr´ıa y la to-polog´ıa. M´as a´un, temas estudiados al inicio de la licenciatura que involucran pruebas largas o complicadas, como los c´ırculos coaxiales o algunos aspectos de la geometr´ıa anal´ıtica del plano, se comprenden de manera simple y cla-ra bajo la luz de la variable compleja. Asimismo, muchas integcla-rales reales impropias y algunas trigonom´etricas, solamente pueden resolverse con la va-riable compleja. Hadamard lleg´o a decir que el camino m´as corto entre dos verdades del dominio real pasaba por el dominio complejo.

La variable compleja es tambi´en fuente de dos ramas muy importantes en la actualidad: la geometr´ıa no euclidiana y los sistemas din´amicos. Por una parte, las transformaciones de M¨obius complejas determinan en gran medida lo que sucede en la geometr´ıa hiperb´olica (cf. [3] y [15]); por otra, el estudio de la iteraci´on de las funciones racionales complejas contribuye a entender temas de gran relevancia en din´amica (cf. [4]).

El prop´osito de este texto es exponer en forma clara y sencilla los te-mas del programa vigente, aprobado por el Consejo T´ecnico, de la materia Variable Compleja I que se imparte en la Facultad de Ciencias de la Uni-versidad Nacional Aut´onoma de M´exico (UNAM). Por ello, el libro est´a di-rigido principalmente a los alumnos de las carreras de F´ısica y Matem´aticas que han aprobado los cuatro cursos de c´alculo diferencial e integral. Asimis-mo, puede ser de utilidad para los estudiantes de las carreras de Ingenier´ıa que encuentren dif´ıcil la comprensi´on de esta materia debido a la carencia de pruebas formales en sus cursos; as´ı como para los alumnos de la carrera de Actuar´ıa interesados en obtener una formaci´on matem´atica m´as amplia. Es preciso mencionar que los resultados se prueban rigurosamente, lo cual es

muy formativo para los estudiantes; este enfoque les permite adem´as tener la certeza de que sus c´alculos son correctos.

Cabe se¯nalar que aunque existen muchos libros muy buenos sobre el te-ma, por ejemplo [1], [6], [8] y [12], muy pocos son adecuados para cubrir el temario de la materia Variable Compleja I. Ciertamente, el texto m´as ape-gado al programa vigente es el de Marsden y Hoffman [12], sin embargo ´este tiende a ser enciclop´edico, y dif´ıcil y complicado para un sector importante de alumnos, lo cual incide en el alto ´ındice de reprobaci´on en esta materia.

El presente libro, basado en gran parte en el de Marsden y Hoffman [12], pretende establecer los m´ınimos que el estudiante debe saber para aprobar con la m´axima calificaci´on el curso de Variable Compleja I. El m´etodo es completamente formal y pone ´enfasis en buscar la simplicidad en las pruebas. Por ejemplo, el uso del n´umero de Lebesgue permite simplificar la prueba de la versi´on general del teorema de Cauchy que aparece en [12]. Tambi´en, la prueba del lema de las integrales de tipo Cauchy (que me ense¯n´o Lipman Bers) es m´as simple que la que aparece en [12].

ideas pueden consultarse en los primeros dos cap´ıtulos de [10]. V´ease tambi´en las notas de Santiago L´opez de Medrano [5].

1. Fundamentos y analiticidad 1

1.1. ´Algebra de n´umeros complejos . . . 1

1.1.1. _C es un campo . . . 1

1.1.2. Significado geom´etrico de la multiplicaci´on . . . 4

1.1.3. Ra´ıces n-´esimas de complejos . . . 11

1.1.4. Otras propiedades b´asicas . . . 14

1.2. Plano complejo extendido, continuidad . . . 17

1.2.1. Continuidad . . . 17

1.2.2. Proyecci´on estereogr´afica y m´etrica cordal . . . 19

1.3. Algunas funciones importantes . . . 27

1.3.1. La funci´on exponencial . . . 27

1.3.2. La funci´on logaritmo . . . 31

1.3.3. Potencias complejas . . . 36

1.3.4. Las funciones trigonom´etricas . . . 42

1.4. Funciones anal´ıticas . . . 47

1.4.1. Diferenciabilidad . . . 47

1.4.2. Ecuaciones de Cauchy-Riemann, analiticidad . . . 49

1.4.3. Conformalidad . . . 63

2. Integraci´on 71 2.1. Fundamentos . . . 71

2.2. Versi´on particular del teorema de Cauchy, ideas intuitivas . . . 80

2.3. Teorema de Cauchy . . . 88

2.4. F´ormula integral de Cauchy . . . 111 2.5. Principio del m´aximo, lema de Schwarz y funciones arm´onicas 124

3. Series y aplicaciones 139

3.1. Fundamentos y teorema de Weierstrass . . . 139

3.2. Teorema de Taylor . . . 154

3.3. Series de Laurent, singularidades aisladas . . . 166

3.4. Teorema del residuo, aplicaciones . . . 183

Glosario de simbolog´ıa 201

Bibliograf´ıa 203

Fundamentos y analiticidad

1.1.

Algebra de n´

´

umeros complejos

1.1.1.

_C

es un campo

Definici´on 1 El conjunto de los n´umeros complejos, denotado por _C, con-siste en todos los n´umeros de la forma a+i b, donde a, b_∈R.

Es importante destacar que existe una correspondencia biun´ıvoca de _C con _R2 _{mediante la asociaci´on}

x+i y_7−→(x, y).

Por ende, se pueden identificar los n´umeros complejos con los puntos del plano. La parte real del n´umero complejo a +i b es el n´umero real a, y la parte imaginaria es el n´umero real b. De esta manera, al eje X se le llamar´aeje real y al eje Y se le llamar´aeje imaginario. Si z _∈C, z =x+i y, se escribir´a

Re z = x e Im z = y.

Definici´on 2 Se define una operaci´on de suma y multiplicaci´on escalar en

C como sigue:

(x1+i y1) + (x2+i y2) = (x1+x2) +i(y1+y2),

a(x+i y) = a x+i a y, a_∈R.

z w

z+w

z az

Figura 1.1: Suma de complejos y multiplicaci´on por escalares

El significado geom´etrico de la suma y de la multiplicaci´on escalar es el usual en espacios vectoriales (v´ease la Figura 1.1). Es claro tambi´en que la suma de complejos cumple las propiedades de conmutatividad, asociatividad, y que tambi´en todo n´umero complejo tiene un inverso aditivo, donde el ele-mento neutro es el origen. Obs´ervese tambi´en que Re(z+w) =Re z+Re w

y que Im(z+w) =Im z+Im w. La definici´on del producto en _C conlleva la ecuaci´on i=√₋1.

Definici´on 3 Se define una operaci´on de producto en _C como sigue:

(a+i b)(x+i y) = a x₋b y+i(a y+b x).

Para recordar esta definici´on es ´util notar que queremos i2 _{= −1. El}

significado geom´etrico de la multiplicaci´on se discutir´a en la siguiente sub-secci´on. N´otese que 1 + 0i es un neutro multiplicativo. Esta operaci´on de producto es conmutativa, asociativa y distributiva. Probamos aqu´ı la primera y la ´ultima propiedad, quedando la segunda como ejercicio.

Escribiendo

(a+i b)(c+i d+e+i f) = a c₋b d+a e₋b f +i(a d+b c+a f +b e) = (a+i b)(c+i d) + (a+i b)(e+i f),

se prueba la distributividad. Tambi´en, las ecuaciones

prueban la conmutatividad. Como se ve en estas igualdades, estas leyes del producto son consecuencia de las mismas propiedades de los n´umeros reales. Ahora, dado z = a+i b, z ₆= 0, un inverso multiplicativo de z es un n´umero w=x+i y tal que z w = 1, esto es

a x₋b y = 1

b x+a y = 0.

Este sistema tiene como ´unica soluci´on

x = a

a2_+b2 , y =

−b a2_+b2.

A w se le denota por z−1 _{o por 1/z. Hemos probado el siguiente resultado.}

Teorema 1.1.1 El conjunto de los n´umeros complejos _C constituye un cam-po.

z = a +ib

|z|

a

b

Figura 1.2: Norma de un complejo

N´otese que el campo de los n´umeros reales est´a incluido de manera natural en los complejos, la asociaci´on

x_∈R7−→x+ 0i_∈C

es un monomorfismo de campos. Bajo esta identificaci´on, se conviene en que los reales son un subconjunto de los complejos. Se escribe simplemente x

para denotar x+ 0i.

EJERCICIOS 1.1.1

θ z

1

z/|z|

sen_θ

cos_θ

Figura 1.3: Argumento de un complejo z

1.1.2.

Significado geom´

etrico de la multiplicaci´

on

Se define la norma o longitud de un n´umero complejo z = a +i b de la manera usual para vectores del plano _R2_{, esto es, |z|=}√_a2_+b2 _{(v´ease la}

Figura 1.2). Evidentemente, se tiene

|Re z_{| ≤ |}z_| y _|Im z_{| ≤ |}z_|.

Ahora, dado z cualquier complejo no nulo, si la longitud del arco en el c´ırculo unitario que va del vector e1 al vector z/|z| (en el sentido contrario

a las manecillas del reloj) es θ y _|z_| = r, es claro que z puede expresarse de la forma

r(cosθ+i senθ) (v´ease la Figura 1.3). Tambi´en,

z = r(cosψ+i senψ),

α

β

α+β

z

w zw

Figura 1.4: El argumento del producto es la suma de los argumentos

arg(−i)(−i) = 3π arg(−1) =π

arg(−i) =

3π

2

Figura 1.5: El argumento del producto de ₋i por ₋i

Teorema 1.1.2 Para cualesquiera z, w_∈C, se tiene (i) _|z w_| = _|z_{| |}w_|,

(ii) arg (z w) = arg (z) + arg (w).

La afirmaci´on de la segunda parte del teorema se debe interpretar de tal manera que si se toman valores arbitrarios de los argumentos de z y w,

se tiene que la suma de ´estos es uno de los argumentos del producto z w

(v´eanse las Figuras 1.4 y 1.5). Demostraci´on. Escribiendo

se tiene

z w = r1r2 [cosθ1cosθ2−senθ1senθ2+i(cosθ1senθ2+ senθ1cosθ2)]

= r1r2 [cos (θ1+θ2) +i sen (θ1+θ2)],

lo cual prueba el teorema.

z w zw

α α

γ γ

1

Figura 1.6: Interpretaci´on geom´etrica del producto con tri´angulos semejantes

El teorema anterior exhibe un hecho fundamental, multiplicar complejos es sumar sus argumentos y multiplicar sus normas. V´eanse las Figuras 1.4 y 1.5. Es importante recalcar que en la segunda parte del Teorema 1.1.2, la su-ma de los argumentos no necesariamente es el argumento del producto, aun si se toman todos los argumentos en cuesti´on, en el rango de [0,2π). Por ejem-plo, ₋i y ₋1 = (₋i)(₋i) tienen argumentos 3π/2 y π, respectivamente. En este caso,

3π

2 + 3π

2 = 3π≡π m´od 2π.

Se sigue tambi´en del Teorema 1.1.2 que dados dos complejos z, w, w₆= 0, se tiene

_wz = |z|

es decir, la norma de un cociente es el cociente de las normas. Este hecho se sigue de la siguiente ecuaci´on

|z_| =

_wz w

=

_wz |w_|.

Otra interpretaci´on geom´etrica del producto de dos n´umeros complejos

z y w se obtiene al dibujar dos tri´angulos semejantes, como se muestra en la Figura 1.6. El Teorema 1.1.2 prueba que en efecto el punto z w es uno de los v´ertices del tri´angulo descrito por w y el origen, ya que se sigue de la proporcionalidad que

|z_|

1 =

|z w_|

|w_| .

ψi(z)

z

Figura 1.7: La funci´on z_7→z i es una rotaci´on de π/2 en el sentido positivo

Estas interpretaciones geom´etricas del producto tambi´en se pueden ver en un contexto de funciones. Dada w _{∈ C} se define ψw : C → C como

ψw(z) =z w, es decir, ψw es multiplicar por w, lo cual es rotar un ´angulo

igual a argw (donde 0 _≤ arg w < 2π) en el sentido contrario al de las manecillas, y aplicar una homotecia: contracci´on si _|w_| < 1, dilataci´on si

|w_| >1 (si _|w_|= 1 la funci´on es solamente una rotaci´on). Por ejemplo, ψi

R2, ya que es la composici´on de una rotaci´on y una homotecia. Esto tambi´en se puede probar directamente: si λ, µ_∈R y z1, z2 ∈C,entonces

ψw(λ z1+µ z2) = λ z1w+µ z2w = λ ψw(z1) +µ ψw(z2).

N´otese que este mismo argumento muestra que esta funci´on ψw tambi´en es

lineal como funci´on de _C en _C.

z

z

Figura 1.8: La conjugaci´on de un complejo

Definici´on 4 Dada z =a+i b _∈C se define el conjugado de z, denotado por z, como a₋i b.

La conjugaci´on es precisamente la reflexi´on sobre el eje real (v´ease la Figura 1.8). Evidentemente, z =z, z+w=z+w y _|z_|=_|z_|. Tambi´en es inmediato que z =z si y s´olo si z _∈R.

El conjugado de un producto es tambi´en el producto de los conjugados, esto es,

z w = z w.

Esto se sigue, ya que si z =a+i b y w=c+i d, se tiene

z w = a c₋(₋b)(₋d) +i[a(₋d) + (₋b)c] = a c₋b d₋i(a d+b c) = z w.

Como en el caso de la norma, esta propiedad tambi´en se extiende al cociente, esto es, dados z, w n´umeros complejos se tiene

_z

w

= z

w.

Las siguientes tres propiedades, cuya prueba es inmediata, se usan fre-cuentemente y son de gran utilidad.

z z = _|z_|2 (1.1)

z+z = 2Re z. z₋z = 2i Im z.

z

z θ

z−1

Figura 1.9: El inverso multiplicativo de un complejo

Cabe destacar algunos aspectos muy importantes de la primera de estas identidades; por una parte exhibe de manera inmediata sin ning´un c´alculo el inverso de un n´umero complejo no nulo.

1

z = z

−1

= z

|z_|2.

Por otra parte, esta descripci´on del inverso multiplicativo de un n´umero z

ilustra nuevamente la geometr´ıa que define la multiplicaci´on de complejos: el inverso es un n´umero cuyo argumento es ₋arg z, esto es, es un n´umero que se encuentra en la semirrecta que va del origen a z. Tambi´en, como al multiplicar complejos se multiplican sus normas, el inverso de z est´a en el c´ırculo de radio 1/_|z_|. En resumen, el inverso de un n´umero complejo no nulo z se obtiene al reflejar dos veces: primero sobre el eje de las abscisas y posteriormente sobre el c´ırculo unitario (o viceversa)

z _7−→z _7−→ z

|z_|2 =

z

|z_|2 =

1

Obs´ervese, que como multiplicar complejos es sumar sus argumentos, esto tambi´en significa que dividir complejos es restar sus argumentos. Por ejemplo, si se tienen tres puntos distintos en una recta z1, z2, z3, apareciendo en ese

orden, entonces necesariamente

z3−z1

z2−z1 ∈R +

.

N´otese que esta condici´on no s´olo es necesaria sino tambi´en suficiente para que tres puntos sean colineales.

Otra aplicaci´on de la identidad (1.1) es que muestra la manera adecuada (en la mayor´ıa de los casos) de dividir n´umeros complejos, esto es,

z w =

z w w w =

z w

|w_|2.

Por ejemplo:

2 + 3i

4₋2i =

(2 + 3i)(4 + 2i)

20 =

1 10 +

7 10i.

EJERCICIOS 1.1.2

1. Demuestre que _wz= _wz.

2. Exprese (2+3₄₊i_i)2 de la forma x+i y.

3. Demuestre que α es ra´ız de un polinomio real si y s´olo si α lo es.

4. Sean z1, z2, z3, z4 complejos en un cuadril´atero que aparecen en orden

c´ıclico y positivo, demuestre que estos complejos son conc´ıclicos (esto es, existe un c´ırculo que los contiene) si y s´olo si z1−z2

z3−z2

z3−z4

z1−z4 <0.

5. Sean z1, z2, z3 ∈C tales que cumplen _zz2_3−z−z1₁ = _zz₂1−z_−z3₃, demuestre que estos

tres puntos determinan un tri´angulo equil´atero. 6. Sea z =x+iy, pruebe que _|x_|+_|y_{| ≤}√2_|z_|.

1.1.3.

Ra´ıces n-´

esimas de complejos

Con la interpretaci´on geom´etrica de la multiplicaci´on, conociendo el argu-mento de un n´umero complejo veremos que se obtienen f´acilmente sus ra´ıces

n-´esimas. Mostramos primero una f´ormula para encontrar las ra´ıces cuadra-das sin usar el argumento.

Proposici´on 1.1.3 Dado z = a+i b _{∈ C}, z ₆= 0, se tiene que z tiene exactamente dos ra´ıces cuadradas dadas por

±

 

s

a+√a2_+b2

2 +i

s

−a+√a2_+b2

2



 si b >0,

y

±



₋

s

a+√a2_+b2

2 +i

s

−a+√a2_+b2

2



 si b <0.

Demostraci´on. Si z =a+i b, z = 0, se busca6 w=x+i y tal que w2 =z, i. e. (x2₋y2) +i(2x y) =a+i b. Esto nos da el sistema

x2₋y2 = a (1.2)

2x y = b. (1.3)

Elevando al cuadrado estas ecuaciones se tiene

x4+y4₋2x2y2 = a2,

4x2y2 = b2,

y por consiguiente

x2+y2 = √a2_+b2_.

Ahora, sumando y restando a esta ´ultima ecuaci´on aquella definida por (1.2) se obtiene

x2 = a+

√

a2_+b2

2 , y

2 ₌ −a+

√

a2_+b2

2 .

Por ejemplo, las ra´ıces cuadradas de 1₋2i son

±



₋

s

1 +√5 2 +i

s

−1 +√5 2

 .

El siguiente resultado se sigue directamente de la interpretaci´on geom´ etri-ca de la multiplietri-caci´on (Teorema 1.1.2).

Corolario 1.1.4 (F´ormula de De Moivre)

Si z = r(cosθ+i senθ), entonces zn = rn(cosnθ+i sennθ).

Esta ´ultima f´ormula nos permite encontrar las ra´ıces n-´esimas de cual-quier complejo no nulo sin mayor dificultad (conociendo el argumento).

Teorema 1.1.5 Sea z = r(cosθ+isenθ) _{∈ C}, z ₆= 0, entonces z tiene exactamente n ra´ıces n-´esimas dadas por la siguiente f´ormula

wk= n √

r

cos

θ+ 2k π n

+isen

θ+ 2k π n

, k = 0,1,2, . . . , n₋1.

Demostraci´on. Se busca w=ρ(cosϕ+i senϕ), tal que wn =z, esto es

wn = ρn(cosnϕ+i sennϕ) = r(cosθ+isenθ),

de donde

ρn = r, y n ϕ = θ+ 2k π, k _∈Z,

por lo cual

ρ = √n_{r y ϕ =} θ+ 2k π

n .

Finalmente, dos argumentos

θ+ 2k1π

n ,

θ+ 2k2π

n

definen la misma soluci´on si y s´olo si

θ+ 2k1π

n −

θ+ 2k2π

Esta ´ultima condici´on se cumple si y s´olo si

k1−k2 = m n, m∈Z,

por lo que tomando k = 0,1,2, . . . , n₋1 se obtienen todas las ra´ıces. Obs´ervese que habiendo obtenido la primera ra´ız, las otras ra´ıces se ob-tienen rotando esta ra´ız por un ´angulo 2π/n, de manera consecutiva, en el sentido positivo. Por lo que las ra´ıces n-´esimas siempre describen un pol´ıgono regular de n lados. Por ejemplo, una de las ra´ıces cuartas de ₋16 es w0 = 2 (cosπ/4 +i senπ/4) = 2(1/

√

2 +i/√2), las otras se obtienen multiplicando por i, i2, y i3. Es decir, ´estas son i w0,−w0,−i w0 = w0

(v´ease la Figura 1.10).

La f´ormula de De Moivre es ´util para expresar cosnθ y sennθ en t´ ermi-nos de cosθ y senθ. Por ejemplo, tomando n= 3, se tiene

(cosθ+i senθ)3 = cos 3θ+i sen 3θ.

El miembro izquierdo de esta expresi´on se puede desarrollar tambi´en usando la f´ormula del binomio de Newton obteni´endose

cos3θ+i3 cos2θ senθ₋3 cosθ sen2θ₋i sen3θ,

y tomando la parte imaginaria se tiene sen 3θ = 3 cos2θ senθ₋sen3θ.

w1 w0

w2 w3

−2

EJERCICIOS 1.1.3

1. Calcule las ra´ıces cuadradas de 3 + 4i y de 1 + 2i.

2. Calcule las ra´ıces sextas de ₋64 y las ra´ıces c´ubicas de 8i.

3. Demuestre que 1 +z+z2_{+· · ·+z}n−1 _{= 0, donde z es una ra´ız n−´esima}

de la unidad, z ₆= 1.

4. Demuestre la identidad ₂nn−1 =

Qn−1

k=1 sen

π k n

. Sugerencia: factorizar la expresi´on 1 +z+z2+_{· · ·}+zn−1 usando las ra´ıces n₋´esimas de la unidad, posteriormente eval´ue en z = 1.

5. Demuestre que 1 + cosθ+_{· · ·}+ cosnθ= 1₂ +

sen

n θ+θ₂

2 sen(θ/2) , donde θ no es

un m´ultiplo par de π. Esta identidad se atribuye a Lagrange. Sugerencia: calcular la parte real de 1 +z+z2_{+· · ·+z}n_{, donde z = cosθ+i senθ.}

1.1.4.

Otras propiedades b´

asicas

Como en el caso real, los complejos tambi´en satisfacen la desigualdad del tri´angulo y la de Cauchy-Schwarz.

Proposici´on 1.1.6 (Desigualdad del tri´angulo) Sean z, w _∈C, enton-ces _|z+w_{| ≤ |}z_|+_|w_|.

Demostraci´on.

|z+w_|2 = (z+w) (z+w) = (z+w) (z+w) = z z+z w+w z+w w

= _|z_|2+ 2Re(w z) +_|w_|2 _{≤ |}z_|2+ 2_|w z_|+_|w_|2 = (_|z_|+_|w_|)2.

De la misma manera que sucede con los n´umeros reales, se cumple la siguiente variante de la desigualdad del tri´angulo

_|z_{| − |}w_{| ≤ |}z₋w_|.

Esto se sigue ya que _|z_|=_|z₋w+w_{| ≤ |}z₋w_|+_|w_|, por lo cual se tiene

|z_{| − |}w_{| ≤ |}z₋w_|, etc´etera.

La desigualdad del tri´angulo y la f´ormula de De Moivre son ´utiles para en-contrar cotas superiores e inferiores. Por ejemplo, el supremo de la expresi´on

|i z4+i_| en el disco _{z _{| |}z_{| ≤}√2_} es 5, ya que

y claramente este valor es tomado en _±√2 y en _±√2i. M´as a´un, este valor no es tomado en ning´un otro punto, ya que si z =r(cosθ+isenθ), se tiene

|z4+ 1_|2 = _|r4(cos 4θ+i sen 4θ) + 1_|2

=_|r4 cos 4θ+ 1 +i r4sen 4θ_|2 = r8+ 2r4 cos 4θ+ 1.

Teorema 1.1.7 Sean z1, z2, . . . , zn y w1, w2, . . . , wn dos n-e´adas de n´ ume-ros complejos, entonces se cumple la desigualdad de Cauchy-Schwarz

|z1w1+· · ·+znwn| ≤

p

|z1|2+· · ·+|zn|2 p

|w1|2+· · ·+|wn|2.

Demostraci´on. Una prueba muy ingeniosa es la siguiente. Se toma

a =

n

X

k= 1

|zk|2, b = n

X

k= 1

|wk|2, u = n

X

k= 1

zkwk, y v =

u b.

Bajo esta notaci´on se tiene

0 _≤

n

X

k= 1

|zk−v wk|2 = n

X

k= 1

(zk−v wk) (zk−v wk)

=

n

X

k= 1

zkzk−v n

X

k= 1

zkwk−v n

X

k= 1

wk zk+v v n

X

k= 1

wkwk

= a₋v u₋v u+_|v_|2b = a₋2Re(v u) +_|v_|2b

= a₋2Re

u u b

+_|v_|2b = a₋2|u|

2

b +|v|

2_b

= a₋2|u|

2

b +

|u_|2

b = a−

|u_|2

b , i. e., a b ≥ |u|

2_.

Una manera m´as natural de probar la desigualdad de Cauchy-Schwarz es usar la siguiente igualdad atribuida a Lagrange,

n X

k= 1

zkwk

2 = n X

k= 1

|z_k|2

! _n

X

k= 1

|w_k|2

!

− X

1≤j<k≤n

|zjwk−zkwj|2.

Proposici´on 1.1.8 Sea K un campo que contiene a los reales y para el cual toda ecuaci´on cuadr´atica tiene soluci´on, entonces K contiene a _C.

Demostraci´on. Sea j ∈K soluci´on a x2+ 1 = 0. Afirmamos que

F = _{x+j y_|x, y _{∈R} ⊂}K

es isomorfo a _C.

Sea φ : _{C →} K dada por φ(x+i y) = x+j y. Claramente φ es un homomorfismo de_C en F y φ(_C) =F, por lo que basta mostrar que φ es inyectiva.

Si φ(x1+i y1) =φ(x2+i y2), entonces x1+j y1 =x2+j y2, y

necesa-riamente (x1−x2) +j(y1−y2) = 0. Finalmente, si y1 6=y2, se tiene

j = x1−x2

y1−y2

y x2 + 1 = 0 tiene soluci´on real, lo cual es absurdo, de donde y1 = y2,

x1 =x2 y K contiene un subcampo F isomorfo a C.

Otro resultado que describe tambi´en la unicidad de los complejos es el teorema de Fr¨obenius, que dice que si K es un campo tal que _{R ⊆} K y dim_RK < _∞, entonces K = _R o K = _C. La prueba de este resultado es tema de un curso m´as avanzado, por lo que no se incluye en este texto.

Terminamos esta subsecci´on describiendo las rectas y algunas de las c´ oni-cas en el lenguaje de los n´umeros complejos. Por ejemplo, la recta que pasa por z1 y con la direcci´on del complejo z2 se expresa f´acilmente en forma

param´etrica

{z _∈C z =z1+t z2, t∈R}.

V´ease la Figura 1.11. Por otra parte, el c´ırculo de radio r con centro en a

est´a dado por

{z _{∈C |}z₋a_|=r_}.

Asimismo, una elipse con focos en w1 y w2, y semiejemayor l, se determina

por la siguiente expresi´on

{z _{∈C |}z₋w1|+|z−w2| = 2l}.

z₁ z₂

Figura 1.11: Recta descrita por dos n´umeros complejos

EJERCICIOS 1.1.4

1. Demuestre la identidad de Lagrange.

2. Sean z1, z2, . . . , zn n´umeros complejos, ¿bajo qu´e condiciones se tiene que |z1+z2+· · ·+zn|=|z1|+|z2|+· · ·+|zn|?

3. Encuentre el ´ınfimo de _|z3+ 2i_| en la regi´on _{z_{| |}z_{| ≥}2_}, y describa en qu´e puntos se alcanza.

1.2.

Plano complejo extendido, continuidad

1.2.1.

Continuidad

Definici´on 5 Sea A_{⊂ C}, se dice que A es abierto en _C si _∀z _∈A existe

>0, tal que D(z, ) = _{w_{∈C| |}w₋z_|< _{} ⊂}A.

De los cursos de c´alculo recordamos que los discos D(z, ) son abiertos. Estudiaremos las funciones con dominio un subconjunto del plano complejo (generalmente abierto) y con codominio _C. A ´estas se les llama funciones complejas de variable compleja. Obs´ervese que tambi´en se pueden pensar como funciones de _R2 en _R2. Usualmente denotaremos a estas funciones como

donde u y v son funciones reales. Algunas veces escribiremos tambi´en f(x, y), u(x, y), etc´etera.

Definici´on 6 Sea f : A _{⊂ C → C} y a _{∈ C} punto de acumulaci´on de A. Se dice que l´ım

z→af(z) =L si

∀ >0 _∃δ >0, tal que si 0<_|z₋a_|< δ, se tiene que _|f(z)₋L_|< .

Siendo esta definici´on id´entica a la equivalente para funciones de _R2 en R2, todas las propiedades demostradas para dichas funciones son v´alidas en nuestro caso, por ejemplo, la unicidad y el hecho de que el l´ımite de la suma es la suma de los l´ımites. M´as a´un, las mismas demostraciones hechas en c´alculo real de una variable tambi´en sirven para probar lo siguiente:

(i) Si l´ım

z→a f(z) = L1 y l´ımz→ag(z) = L2, entonces

l´ım

z→a f(z)g(z) = L1L2.

(ii) Si l´ım

z→a f(z) =L1 y l´ımz→a g(z) =L2, L2 6= 0 y g(z)6= 0 ∀z, entonces

l´ım

z→a

f(z)

g(z) =

L1

L2

.

La continuidad se define igual que en los cursos de c´alculo.

Definici´on 7 Sean A_⊂C y f :A_→C, se dice que f es continua en z0,

si

∀ >0 _∃δ >0, tal que si _|z₋z0|< δ, se tiene que |f(z)−f(z0)|< .

De nuevo como en c´alculo, la suma, producto, cociente y composici´on de funciones continuas son funciones continuas. Asimismo, la convergencia de sucesiones de n´umeros complejos se define de manera id´entica al caso de _Rn.

Definici´on 8 Se dice que la sucesi´on de n´umeros complejos zn, n ∈ N, converge a z0, si ∀ >0 existe N ∈N, tal que si n > N, se tiene entonces

que _|zn−z0|< .

Por supuesto, el l´ımite es ´unico, y dadas dos sucesiones wn, zn, n ∈ N, se

(i) wn+zn →z+w, cuando n → ∞;

(ii) wnzn→w z, cuando n → ∞;

(iii) si w₆= 0, zn wn →

z

w, cuando n → ∞.

Obs´ervese que para una sucesi´on zn, n∈N, se tiene que zn →z, cuando

n _{→ ∞}, si y s´olo si Re(zn) → Re z e Im(zn) → Im z, cuando n → ∞.

Esto se sigue ya que

|z₋zn| =

q

Re z₋Re(zn)

2

+ Im z₋Im(zn)

2

.

Como en _Rn, se dice que una sucesi´on zn, n ∈ N, es de Cauchy, si dada

> 0 _∃N _{∈ N}, tal que si n, m > N, entonces _|zn−zm| < . Se sigue

tambi´en como en los cursos de c´alculo que una sucesi´on en _C es convergente si y s´olo si es de Cauchy.

Usaremos con frecuencia para probar continuidad el siguiente hecho (v´ ali-do en cualquier espacio m´etrico): una funci´on f :A_⊂C→C es continua en

z0 ∈A si y s´olo si para toda sucesi´on zn, n ∈N, tal que zn →z0, cuando

n _{→ ∞}, se tienef(zn)→f(z0), cuando n→ ∞.

EJERCICIOS 1.2.1

1. Demuestre la ´ultima afirmaci´on de esta subsecci´on.

2. Demuestre que una sucesi´on en _Rn es de Cauchy si y s´olo si es convergente. Sugerencia: probar primero que un subconjunto infinito de un compacto tiene un punto de acumulaci´on.

1.2.2.

Proyecci´

on estereogr´

afica y m´

etrica cordal

La proyecci´on central descrita en la Figura 1.12 sugiere que el plano complejo se puede pensar como la esfera unitaria en _R3 _{sin el polo norte. Resulta}

natu-ral entonces que el polo norte corresponda a un punto ideal que representa al infinito.

e3

z

(x1, x2, x3)

|z|

1 x3

p x21+x

2 2

Figura 1.12: La proyecci´on estereogr´afica

El incluir el s´ımbolo _∞ es particularmente ´util en el contexto de las transformaciones de M¨obius complejas

z _7−→ a z+b

c z+d, a d−b c6= 0, a, b, c, d∈C. (1.4)

´

Estas son las ´unicas biyecciones meromorfas de _Cb en _Cb (cf. [10]). La esfera unitaria

S2 = {x∈R3 |x|= 1},

llamada esfera de Riemann, es el modelo requerido para incluir el punto al infinito. Para asociar cada punto en el plano con uno en _S2 _{usamos la}

siguiente idea geom´etrica: se toma el plano x3 = 0 como el plano complejo

C, y la l´ınea que proyecta el polo norte e3 = (0,0,1) de la esfera de Riemann

a cualquier otro punto x= (x1, x2, x3) en dicha esfera.

Esta l´ınea cruza el plano complejo en un ´unico punto, para encontrarlo se parametriza

e3+t(x−e3), t ∈R,

y se debe cumplir

[e3+t(x−e3)]·e3 = 0,

1 +t(x₋e3)·e3 = 0,

t = 1 1₋x3

De donde el punto asociado a x es

e3 +

1 1₋x3

(x₋e3)

= e3 +

x1

1₋x3

, x2

1₋x3

, x3−1

1₋x3

=

x1

1₋x3

, x2

1₋x3

, 0

.

Una prueba geom´etrica de este hecho se obtiene observando que la pro-yecci´on de x debe tener la direcci´on de (x1, x2), y por semejanza se obtiene

que

|z_|

1 =

p

x2 1 +x22

1₋x3

(v´ease la Figura 1.12). Con base en estas ideas, se define la funci´on

ψ :_S2_{− {}e3} 7−→C, dada por (x1, x2, x3)7−→

x1+i x2

1₋x3

.

Se afirma que ψ es una biyecci´on de _S2_{− {e}

3} al plano complejo C. 1. ψ es inyectiva. Para demostrar esto se construye la inversa. Obs´ervese

que si z =ψ(x1, x2, x3), como (x1, x2, x3)∈S2, se tiene que

|z_|2 =

x₁1+i x2

−x3

2 = x

2 1 +x22

(1₋x3)2

= 1−x

2 3

(1₋x3)2

= 1 +x3 1₋x3

y despejando

x3 = |

z_|2₋₁

|z_|2 _{+ 1}. (1.5)

Tambi´en

z+z = 2x1 1₋x3

,

y

x1 =

(z+z) (1₋x3)

2 =

z+z

2

1₋ |z|

2₋₁

|z_|2_{+ 1}

= z+z 2

2

|z_|2_{+ 1}

,

esto es, x1 =

z+z

Finalmente, como

z₋z = 2i x2 1₋x3

,

se sigue que

x2 =

z₋z

i(_|z_|2_{+ 1)}. (1.7)

Por consiguiente, ψ es inyectiva, ya que z determina (x1, x2, x3).

Obs´ervese tambi´en que la funci´on

π(z) =

z+z

|z_|2_{+ 1},

z₋z i(_|z_|2_{+ 1)},

|z_|2₋1

|z_|2 _{+ 1}

es inversa por la izquierda deψ.

2. ψ es sobre. Un c´alculo sencillo muestra que π es tambi´en una inversa derecha de ψ (ejercicio).

Haciendo corresponder _∞ con el polo norte e3, se obtiene una biyecci´on

de _S2 _en b

C y el modelo buscado. A esta biyecci´on se le llamala proyecci´on

estereogr´afica. Geom´etricamente es evidente que el hemisferio sur (x3 < 0)

corresponde al disco unitario

∆ = _{z _∈C|z_|<1_}

y el hemisferio norte (x3 > 0) al exterior de este disco; la f´ormula (1.5)

tambi´en muestra este hecho de manera anal´ıtica.

En esta representaci´on esf´erica del plano complejo no hay una interpre-taci´on f´acil de la suma y el producto, su ventaja radica en que _∞ no es un punto distinguido. Convendremos en que toda recta incluye al punto _∞. El siguiente resultado exhibe una propiedad fundamental de la proyecci´on estereogr´afica.

Proposici´on 1.2.1 Bajo la proyecci´on estereogr´afica, rectas en _Cb y c´ırculos en _C se transforman en c´ırculos en _S2 _{y viceversa.}

Demostraci´on.Probamos primero que un c´ırculo en la esfera se transforma en una recta o un c´ırculo en el plano. Un c´ırculo en _S2 _{es la intersecci´on de}

un plano con la esfera, por lo que sus puntos satisfacen una ecuaci´on de la forma

Por lo tanto, este c´ırculo es la imagen bajo la proyecci´on estereogr´afica de un conjunto cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuaci´on en el plano

a z+z

|z_|2_{+ 1}

+b z−z i(_|z_|2_{+ 1)}

+c|z|

2₋₁

|z_|2_{+ 1}

= d.

Escribiendo z =x+i y, se obtiene

2a x+ 2b y+c(x2+y2₋1) = d(x2+y2+ 1),

que es la ecuaci´on de una recta o un c´ırculo en el plano, dependiendo sid=c

o si d ₆=c (al completar cuadrados no se puede obtener un radio negativo, puesto que se trata de la imagen de un conjunto no vac´ıo).

Probamos ahora que una recta en el plano se transforma en un c´ırculo en la esfera. Una recta est´a definida por la ecuaci´on

a x+b y = c.

Estos puntos, bajo la proyecci´on estereogr´afica, son llevados al conjunto de puntos en la esfera definidos por la ecuaci´on

a x1

1₋x3

+b x2

1₋x3

= c,

a x1 +b x2 = c(1−x3),

los cuales est´an contenidos en la intersecci´on de un plano y la esfera, es decir, se trata de un c´ırculo. Como π(_∞) = (0,0,1) satisface dicha ecuaci´on, este c´ırculo pasa por el polo norte, lo cual tambi´en es evidente a partir de la construcci´on geom´etrica.

Finalmente, un c´ırculo en el plano est´a definido por las siguientes ecua-ciones

|z₋a _|2 = r2,

(z₋a) (z₋a) = r2,

|z_|2₋a z₋a z+_|a_|2 = r2,

por lo que usando (1.5), se tiene

1 +x3

1₋x3 −

Si a = a1 +i a2, z = x+i y, entonces Re(a z) = a1x+a2y y la

imagen del c´ırculo en la esfera est´a definida por las siguientes ecuaciones 1 +x3

1₋x3 −

2 (a1x+a2y) = r2− |a|2,

1 +x3

1₋x3 −

2a1

x1

1₋x3 −

2a2

x2

1₋x3

= r2_{− |}a_|2,

1 +x3 − 2a1x1 − 2a2x2 = (r2− |a|2) (1−x3).

Se sigue entonces que estos puntos est´an contenidos en un plano y por lo tanto constituyen un c´ırculo en la esfera. Es ´util obtener en t´erminos de z y z0, puntos del plano complejo, una f´ormula de la distancia entre sus proyecciones en la esfera. Si denotamos ´estas por (x1, x2, x3) y (x10, x20, x30), se tiene

(x1−x10)2+ (x2−x20)2+ (x3 −x30)2 = 2−2(x1x10+x2x20+x3x30).

Ahora, usando (1.5), (1.6) y (1.7), se sigue que

x1x10+x2x20+x3x30

=

z+z

|z_|2_{+ 1}

z0+z0 |z0_|2_{+ 1}

−

z₋z

|z_|2_{+ 1}

z0₋z0 |z0_|2_{+ 1}

+

|z_|2₋₁

|z_|2_{+ 1}

|z0_|2₋₁

|z0_|2_{+ 1}

= 2z z

0_{+ 2z z}0_{+|z z}0_|2_{− |z|}2_{− |z}0_|2_{+ 1}

(1 +_|z_|2_{) (1 +|z}0_|2₎

= −2(z−z

0_)(z−z0_{) + (1 +|z|}2_{) (1 +|z}0_|2₎

(1 +_|z_|2_{) (1 +|z}0_|2₎

(el ´ultimo paso equipara numerador y denominador). Por consiguiente,

(x1−x10)2+ (x2−x20)2+ (x3−x30)2 = 2−2

1₋ 2|z−z

0_|2

(1 +_|z_|2_{) (1 +|z}0_|2₎

= 4|z−z

0_|2

(1 +_|z_|2_{) (1 +|z}0_|2₎.

Esta nueva f´ormula de distancia en _Cb es particularmente novedosa y ´util porque incluye el punto al infinito. En este caso, si z0 =_∞, se tiene

x1x10+x2x20 +x3x30 = |

z_|2₋1

por lo que

(x1−x10)2 + (x2−x20)2+ (x3−x30)2 = 2−2

|z_|2₋₁

|z_|2_{+ 1}

= 4

1 +_|z_|2.

Estos c´alculos inducen la m´etrica buscada en _Cb.

Definici´on 10 Se define la m´etrica cordal en el plano complejo extendido de la siguiente manera

dC(z1, z2) =           

2_|z1−z2| p

1 +_|z1|2 p

1 +_|z2|2

, si z1, z2 6=∞.

2

p

1 +_|z1|2

, si z2 =∞.

Como _S2 _{es un subespacio m´etrico de}

R3, esta distancia define en efecto una m´etrica en _Cb. El t´ermino cordal proviene de que se miden cuerdas en la esfera

dC(z1, z2) = |π(z1)−π(z2)|.

Proposici´on 1.2.2 Las m´etricas cordal y euclidiana inducen la misma topo-log´ıa en _C, es decir, definen los mismos abiertos en _C. Adem´as

dC(zn, ∞)7−→0 si y s´olo si |zn| 7−→ ∞.

Demostraci´on. Para la primera parte hay que probar que la funci´on iden-tidad

Id :_CE 7−→CC

es bicontinua, donde _CE es el plano complejo provisto con la m´etrica

eucli-diana, y _CC con la m´etrica cordal.

Si _|zn−z| → 0 cuando n → ∞, entonces |π(zn)−π(z)| → 0 cuando

n _{→ ∞}, ya que la funci´on π es continua, lo cual prueba que la funci´on Id es tambi´en continua. Ahora, por la continuidad de ψ, sidC(zn, z)→0 cuando

n _{→ ∞}, entonces _|π(zn)−π(z)| → 0 y |ψ π(zn)−ψ π(z)| =|zn−z| →0

cuando n_{→ ∞}.

Para la segunda parte, sea zn, n ∈ N, una sucesi´on en C, tal que |zn| → ∞ cuando n → ∞, como

dC(zn,∞) =

2

p

1 +_|zn|2

se sigue que dC(zn, ∞)→0 (ejercicio).

Por otra parte, si dC(zn, ∞) → 0 cuando n → ∞, dado > 0 existe

N, tal que si n > N, se tiene

2

p

1 +_|z_n|2 < y por lo tanto |zn| > r

4

2 −1

(ya que se puede tomar <2). Por lo que, dado M >0, tomando tal que

M =

r

4

2 −1,

se obtiene _|z_n|> M, si n > N. Esto es, |zn| → ∞.

Una de las virtudes de haber introducido la m´etrica cordal y el modelo de la esfera de Riemann es que nos permite de manera casi inmediata pro-bar muchas de las propiedades b´asicas de las transformaciones de M¨obius. El estudio de estas funciones, que son importantes en muchas ramas de las matem´aticas, permite al lector profundizar en los aspectos geom´etricos de la variable compleja. Los ejercicios siguientes fueron planeados con ese prop´ osi-to, m´as informaci´on sobre el tema aparece en [10].

EJERCICIOS 1.2.2

1. Demuestre que la funci´on estereogr´afica (x1, x2, x3) → x₁1−x+i x32 de la

esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.

2. Demuestre que si zn → ∞ cuando n → ∞, entonces dC(zn,∞) → 0,

cuando n _{→ ∞}.

3. Las transformaciones de M¨obius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann _Cb como sigue: si c= 0, T(_∞) = _∞, y sic₆= 0, T(_∞) = a/c y

T(₋d/c) =_∞. Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la m´etrica cordal.

4. Demuestre que si A, B son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de M¨obius f, g, respectivamente, entonces la matriz

5. Demuestre que las transformaciones de M¨obius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una funci´on de M¨obius que la mande en 1,0, e _∞.

6. Pruebe que las transformaciones de M¨obius son composici´on de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, homotecias, traslaciones y z _→ 1/z.

Concluya mostrando que las transformaciones de M¨obius preservan la familia de c´ırculos y rectas.

7. Demuestre que las transformaciones de M¨obius son transitivas en la familia de c´ırculos y rectas.

8. Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumple la ecua-ci´on _|z−a_z−b|= k, k _{∈ R}+_{, a, b ∈}

C, a 6=b, constituye una recta o un c´ırculo (llamado de Apolonio).

9. Sean a, c complejos, tal que no son ambos nulos, probar que _|a z_{c z+}+_a|c = 1,

si _|z_|= 1. Interpretar geom´etricamente.

10. Probar que la funci´on z _→1/z es una rotaci´on de π radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.

11. Probar de manera anal´ıtica y geom´etrica que dados dos puntos z, w_∈C,

se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son ant´ıpodas si y s´olo si z w =₋1.

12. ¿Cu´al es la imagen de una recta por el origen bajo la funci´on z _→1/z?

1.3.

Algunas funciones importantes

Antes de proceder a estudiar las funciones de variable compleja de mane-ra genemane-ral, exhibimos algunos ejemplos. Comenzamos extendiendo al plano complejo algunas funciones muy importantes del c´alculo real.

1.3.1.

La funci´

on exponencial

Recordamos de los cursos de c´alculo que la funci´on exponencial se puede desarrollar en series de potencias, esto es, si x_∈R, entonces

ex = 1 +x+x

2

2 ! +

x3

3 ! +

x4

Pensando de manera intuitiva se puede sustituir en esta identidad x por

i y, y_∈R, y obtener

ei y = 1 +i y+ (i y)

2

2 ! + (i y)3

3 ! + (i y)4

4 ! +· · ·, reordenando los sumandos se tiene

ei y =

1₋ y

2

2 ! +

y4

4 ! − · · ·

+i

y₋ y

3

3 ! +

y5

5 ! − · · ·

,

lo cual sugiere

ei y = cosy+i seny.

Estas observaciones, junto con la propiedad del c´alculo real es+t _{= e}s_et_,

motivan la definici´on de la exponencial compleja.

iy

eiy

1 ez

Figura 1.13: La exponencial manda rectas horizontales en semirrectas por el origen

Definici´on 11 Dado z _∈C, z =x+i y, se define ez _como

ex(cosy+i seny).

Es inmediato de esta definici´on que esta funci´on es una extensi´on de la exponencial real y que

|ez_| = ex,

por lo que esta funci´on no se anula. Tambi´en es evidente que si n _{∈ Z},

entonces

Obs´ervese adem´as que

arg (ez) = y.

En cierto sentido la geometr´ıa de la funci´on exponencial es simple, por ejemplo, la imagen de la recta horizontal Im z = y bajo esta funci´on es la semil´ınea que surge del origen con argumento y, esto es, la que pasa por el punto ei y _{= cosy+i seny. N´otese que dicha recta, Im z =y, se transforma}

biyectivamente en la semil´ınea abierta. Por otra parte, dada x_∈R, la l´ınea vertical Re z =x se transforma en el c´ırculo de radio ex, recorri´endolo un n´umero infinito de veces (v´eanse las Figuras 1.13 y 1.14).

Geom´etricamente tambi´en es claro que la funci´on exponencial restringida al rect´angulo infinito

R0 = {z ∈C | 0≤Im z <2π}

es inyectiva y cubre todo el plano complejo menos el origen (ve´ase la Figura 1.15). Es f´acil visualizar el punto ei y_{, ´este es el ´unico punto en el c´ırculo}

unitario con argumento y, dicho de otra manera, _∀w_∈C, w ₆= 0,

ei arg w = w

|w_|.

Por ejemplo, eiπ2 _{=i, e}π i ₌−_{1 y e}i 3π

2 ₌−_{i, v´ease la Figura 1.15. Como}

en el caso real, la exponencial compleja distribuye la suma en producto.

ez

x

ex

π

2i

π i

3π

2 i _ez

eπ2i = i

e32πi = −i

e34πi

eπ4i

eπ i _{= −1}

1

e54πi e

7π

4 i

Figura 1.15: La exponencial manda el rect´angulo infinito 0 _≤ Im z < 2π

biyectivamente en_{C− {}0_}

Proposici´on 1.3.1 Dadas z, w_∈C se tiene

ez+w = ezew.

Demostraci´on. Si z =x+i y y w=s+i t, tenemos

ez+w = e(x+s)+i(y+t) = ex+s [cos(y+t) +i sen(y+t)]

= ex+s [cosy cost₋seny sent+i(seny cost+ sent cosy)] =exes (cosy+i seny)(cost+i sent) = ezew,

como consecuencia del mismo hecho para variable real. Esta proposici´on exhibe una segunda prueba de que la exponencial com-pleja no se anula, ya que _∀w_∈C se tiene que ew_e−w _=e0 _{= 1. Como ya se}

mencion´o, los complejos de la forma 2k π i, k _{∈ Z}, son enviados al 1 bajo la exponencial, de hecho estos puntos constituyen la preimagen de 1: si

ex(cosy+i seny) = 1,

Proposici´on 1.3.2 La funci´on exponencial compleja es peri´odica, todos los periodos son de la forma 2k π i, k _∈Z.

Demostraci´on. Se sigue de la Proposici´on 1.3.1 que 2k π i, k ∈Z, es un periodo. Ahora, si w es un periodo, por definici´on

ew+z = ez _∀z _∈C.

En particular, tomando z = 0 se tiene ew = 1, y w= 2k π i, k _∈Z.

Obs´ervese que el m´ınimo periodo es 2π i.

EJERCICIOS 1.3.1

1. Sea A=_{z _∈C|0< Re z <2,₋π/2< Im z < π/2_}. ¿Cu´al es la imagen de A bajo la exponencial?

2. Exprese e(4+iπ6) en la forma _{x+i y.}

3. Demuestre que la funci´on exponencial compleja no est´a acotada en ninguna semirrecta por el origen (salvo en el eje imaginario). Describa la imagen. 4. Demuestre que bajo la acci´on de la funci´on exponencial, dos l´ıneas hori-zontales, sim´etricas con respecto al eje x, se transforman en dos semirrectas por el origen que son conjugadas una de otra.

5. ¿Qu´e puntos del plano complejo cumplen ei w_=ei w_?

1.3.2.

La funci´

on logaritmo

Como en el caso real, el logaritmo es una inversa derecha de la exponencial, sin embargo, dada la periodicidad de esta ´ultima funci´on, se debe restringir el codominio de logaritmo (para que tambi´en sea inversa izquierda). La afir-maci´on de que la exponencial restringida al rect´angulo horizontal infinito R0

es inyectiva se puede generalizar (v´ease la Figura 1.16).

Proposici´on 1.3.3 La funci´on exponencial restringida al rect´angulo infinito

Ry0 = {z ∈C | y0 ≤Im z < y0 + 2π}

(y0+ 2π)i

y0i

ey0i

Figura 1.16: La exponencial manda el rect´angulo infinitoy0 ≤Im z < y0+2π

biyectivamente en _{C− {}0_}

Demostraci´on. Si ez =ew, z, w ∈Ry0, entonces

ez−w = 1 y w₋z = 2π n i, n_∈Z.

Por lo cual z = w, ya que la distancia entre las partes imaginarias de dos puntos cualesquiera en Ry0 es menor que 2π. Por lo tanto e

z_|R y0 es

inyectiva. Ahora, dado u_∈C, u₆= 0

u = _|u_| u

|u_| = e

x_ei y

si y s´olo si

log_|u_|=x y eiargu = ei y.

La segunda ecuaci´on tiene un n´umero infinito de soluciones, una de las cuales satisface y0 ≤y < y0+ 2π. Por consiguiente, ez|Ry0 es suprayectiva.

N´otese que en la prueba de la proposici´on anterior la asociaci´on

u_7−→log_|u_|+i arg u

Definici´on 12 La funci´on con dominio _{C− {}0_}, codominio Ry0 y regla de

correspondencia

logz = log_|z_|+i argz, argz _∈[y0, y0+ 2π)

se llama rama de logaritmo.

Obs´ervese que hay una infinidad de estas funciones; el problema es que un mismo s´ımbolo denota a todas ellas, por lo que se debe manejar con cuidado la terminolog´ıa. Reemplazando el dominio por una superficie de Riemann, que tiene la forma de una espiral infinita, se puede definir de manera ´unica esta funci´on (cf. [12] cap´ıtulo 6); sin embargo, en este texto s´olo discutiremos las funciones con dominios que son subconjuntos de _{C− {}0_}.

N´otese que para que el logaritmo sea funci´on, es necesario restringir el codominio; por el momento ´este ser´a tomado de la forma

x+i y_∈C y0 < y ≤y0+ 2π , y0 ∈R,

o

x+i y_∈C y0 ≤y < y0+ 2π , y0 ∈R.

logz ei y0

y0i

(y0 + 2π)i

Figura 1.17: Las ramas de logaritmo mandan c´ırculos conc´entricos al origen en intervalos verticales

La geometr´ıa de la funci´on logaritmo es la inversa de la exponencial: c´ırculos conc´entricos al origen se desarrollan en segmentos de l´ıneas verticales, y semirrectas que parten del origen se transforman en rectas horizontales. Estas afirmaciones son evidentes al escribir la funci´on en forma polar

(v´eanse las Figuras 1.17 y 1.18).

Un ejemplo de estas funciones se obtiene tomando y0 = 0, y como

inter-valo para el argumento (0,2π], en este caso

log (1₋i) = log _|1₋i_|+i arg (1₋i) = log √2 +i7π

4 . Sin embargo, si y0 =−π, y se toma el intervalo (−π, π],

log(1₋i) = log√2₋iπ

4.

eiy0

ei(y0+t)

(y0+t)i logz

y0i

Figura 1.18: Las ramas de logaritmo mandan semirrectas por el origen en l´ıneas horizontales

Teorema 1.3.4 El logaritmo es la inversa de la exponencial en el siguiente sentido: si logz representa una rama de logaritmo, entonces

elogz = z _∀z _{∈C− {}0_};

tambi´en, si se elige la rama y0 ≤y < y0 + 2π, entonces

log (ez) = z _∀z _∈ Ry0.

Demostraci´on. Como logz = log|z|+iargz,

elogz = elog|z|eiargz = _|z_| z

|z_| = z.

Rec´ıprocamente, si z =x+i y, donde y0 ≤y < y0+ 2π, se tiene

Esto se sigue ya que arg (ez) = arg (ei y) = y, por la forma en la que se eligi´o la rama de logaritmo.

N´otese que en la proposici´on anterior si z /_∈ Ry0, entonces no

nece-sariamente log (ez_{) = z, por ejemplo, si y}

0 = 0, y z = 2π i, se tiene

log (e2π i_{) = 0. Posteriormente, se restringir´a el dominio del logaritmo a}

con-juntos de la forma _C−By0, donde y0 es un real fijo y

By0 = {z ∈C|z =t e

i y0_{, t≥0}.}

El objeto de esta restricci´on ser´a lograr que el logaritmo sea una funci´on continua.

Proposici´on 1.3.5 Sea logz la rama de logaritmo cuyo argumento toma valores en [y0, y0+ 2π), y z, w ∈C− {0}, entonces

log (z w) = logz+ logw m´od 2π i.

Demostraci´on. Por una parte,

log_|z w_| = log_|z_|+ log_|w_|,

y tambi´en

arg (z w) = arg z + arg w m´od 2π.

Este ´ultimo resultado se entiende mejor a la luz de un ejemplo: tomando la rama cuyo argumento toma valores en [0, 2π), multiplicamos los complejos

−√2i _√1

2 −

i

√

2

= ₋1₋i, ahora

log (₋√2i) + log

1

√

2 −

i

√

2

= log √2 + log 1 +i

3π

2 + 7π

4

= log √2 +i13π

4 , por otra parte log (₋1₋i) = log √2 +i5π

4 , y 13π

4 − 5π

4 = 2π.

EJERCICIOS 1.3.2

1. Calcule log (3₋3i) con las ramas [₋π, π), [0, 2π) y [₋π₂, 3₂π).

2. Calcule todos los valores que toman las distintas ramas de logaritmo de

1 2 +i

√

1.3.3.

Potencias complejas

Se prob´o que dado un n´umero complejo no nulo se cumple que

elogz = z,

para cualquier rama de logaritmo que se tome. Si n _{∈ N}, se tiene entonces que

zn = elogzn = elogz elogz_{· · ·} elogz

| {z }

nveces

= enlogz.

Estas consideraciones sugieren c´omo deben definirse las potencias complejas.

Definici´on 13 Sean z, w _{∈ C}, z ₆= 0, y log una rama de logaritmo, se define

zw =ewlogz.

Por ejemplo, si

z = _√1 2−

i

√

2 y w = i se sigue, tomando la rama con valores en [₋π, π), que

zw = ei

log 1−i π

4

= eπ4_.

Obs´ervese que, en general, es necesario elegir una rama de logaritmo para que la asociaci´on z _→zw sea una funci´on. Por ejemplo, como se vio en la secci´on de las ra´ıces n-´esimas, la asociaci´on z _→z1/n _{toma n valores. En contraste,}

la asociaci´on w _→ zw _{es m´as simple, puesto que en este caso logz es una}

constante. Es muy importante enfatizar que al tomar las distintas ramas de logaritmo, los valores obtenidos difieren por factores de la forma

ew( 2π n i), n_∈Z.

Esto se sigue ya que dada una rama de logaritmo denotada por z _→ logz,

cualquier otra es de la forma z _→ logz+ 2π n i, n _{∈ Z}, por lo cual todas las posibles ramas de zw son de la forma

ew(logz+2π n i) = ewlogz ew(2π n i), n _∈Z.

En el ejemplo que acabamos de mencionar los otros valores de zw _son

e π4 ei(2π n i) = e

π

N´otese tambi´en que para z _{∈ C} fija (z ₆= 0), zw est´a un´ıvocamente deter-minada, es decir, no depende de la rama de logaritmo que se elija, si y s´olo si w es un entero. Esto se cumple dado que

ew( 2π n i) = 1 _∀n _{∈Z ⇐⇒} w n_{∈Z ∀}n_{∈Z ⇐⇒} w_∈Z.

En consecuencia, si w no es un entero, para que la asociaci´on z _→zw sea funci´on, hay que elegir una rama espec´ıfica de logaritmo.

Proposici´on 1.3.6 Sean z _{∈ C}, z = 0₆ , y p/q _{∈ Q} fijos, donde p, q son primos relativos y q es positivo, entonces zp/q _{toma exactamente q valores} que son las ra´ıces q-´esimas de zp.

Demostraci´on. Basta analizar cu´antos n´umeros distintos hay de la forma

e

p

q( 2π n i)_{, n ∈Z.}

Se tiene

e

p

q( 2π n i) _{= e} p

q( 2π m i)_{, n, m∈Z,}

⇐⇒ p_q (n₋m)_{∈Z ⇐⇒} n_≡m (m´od q),

puesto que (p, q) = 1, por lo que zp/q _{toma exactamente q valores.}

Tam-bi´en, para cualquier rama z _→logz se tiene

e

_p

q

logzq

= eplogz = zp.

Proposici´on 1.3.7 Sean z _{∈ C}, z ₆= 0 y w _{∈ C−Q} fijos , entonces zw toma un n´umero infinito de valores.

Demostraci´on. Si w∈C−Q, entonces

ew2π n i = ew2π m i, n, m_∈Z,

Una segunda prueba, para el caso w=x+i y_∈C−R, se obtiene al escribir

ew2π n i = e−2π n y e2π n i x.

Por lo que si ew2π n i_=ew2π m i_{, al tomar normas se tiene que}

e−2π n y = e−2π m y y n =m.

Con base en el concepto de potencias complejas se pueden definir las funciones que son ra´ıces n-´esimas.

Definici´on 14 La funci´on ra´ız n-´esima, denotada por √n_{z o z}1/n_{, se define} como

e

logz n _,

donde logz es una rama de logaritmo.

Aunque existen una infinidad de estas funciones, se sigue de la Proposici´on 1.3.6 que para un complejo fijo no nulo existen exactamente n ra´ıces n -´esimas. M´as a´un, ´estas son las mismas que las descritas en la Proposici´on 1.1.5. Para mostrar esto se puede tomar la rama del logaritmo cuya parte imaginaria toma valores en (0, 2π], la ra´ız n-´esima est´a dada entonces por

e

logz n _{= e}

logr n +

i θ n

= √nr ei θn_,

donde z = r ei θ_{, θ ∈(0, 2π]. Como en las demostraciones de las}

Proposi-ciones 1.1.5 y 1.3.6, las otras n₋1 soluciones se obtienen rotando consecu-tivamente esta soluci´on en el sentido positivo, por un ´angulo de 2π/n, esto es, multiplicando la soluci´on por

e

2π k i n

, k = 1,2, . . . , n₋1.

Analizamos ahora la geometr´ıa de algunas de estas funciones. La funci´on elevar al cuadrado

z _7−→z2

que transforma el primer cuadrante en la cerradura del semiplano superior H2, y ´esta a su vez la transforma en todo el plano (v´ease la Figura 1.19).

z

z2

2θ θ

z2

1

Figura 1.19: La funci´on z _→z2 _{duplica el argumento}

z2

√_z

Figura 1.20: La funci´on z _→√z, usando la rama [₋π, π), es la inversa de

z _→ z2, restringiendo el dominio de esta ´ultima a la uni´on del semiplano derecho abierto con el eje imaginario inferior (abierto)

La funci´on z _→ √z, definida al tomar la rama de logaritmo [0, 2π), est´a dada por

z _7−→√z = √r ei θ2,

Por otra parte, si se toma la ra´ız cuadrada √z definida por la rama de logaritmo [₋π, π), se tiene que √z toma valores en el conjunto formado por la uni´on del semiplano derecho y el eje imaginario inferior abierto (v´eanse las Figuras 1.20 y 1.21). En general (a semejanza del logaritmo), cualquier rama de la ra´ız cuadrada definida en _{C− {}0_} es una inversa derecha de la funci´on elevar al cuadrado. El siguiente resultado describe algunos aspectos de la geometr´ıa de la funci´on elevar al cuadrado.

z

√_z

θ

θ

2 1

Figura 1.21: La funci´on z _→√z usando la rama [₋π, π)

Proposici´on 1.3.8 La funci´on z _→ z2 transforma las l´ıneas verticales y horizontales (excluyendo los ejes) en par´abolas.

Demostraci´on. Si z =x+i y, entonces

z2 = x2₋y2+ 2x y i.

Para analizar la recta Im z=c, c₆= 0, hacemos un cambio de variable 2x c = t.

Con esta notaci´on, la imagen de dicha recta consiste en los puntos de la

forma

t2

4c2 −c 2

, t

, t _∈R,

lo cual define una par´abola. El mismo an´alisis, aplicado ahora a las rectas verticales Re z =c, c₆= 0, muestra que sus im´agenes constituyen el lugar de los puntos de la forma

c2 ₋ t

2

4c2, t

que de nuevo definen una par´abola. N´otese que la segunda familia de par´ abo-las se obtiene al reflejar la primera familia por el eje imaginario. En la Figura 1.22 se ilustra la prueba de la proposici´on anterior: la imagen de la recta Im z = 1 es la par´abola definida por

t _7−→ t

2

4 −1

que cruza al eje imaginario en _±2i y al eje real en ₋1. Asimismo, la imagen de la recta Im z = 2 cruza a los ejes en _±8i y en ₋4. Si se toman ahora las im´agenes correspondientes a las rectas dadas por Re z = 1,2, se obtienen las otras par´abolas que pasan por 1 y 4, respectivamente. En la secci´on de conformalidad al final de este cap´ıtulo se entender´a por qu´e estas par´abolas se intersecan ortogonalmente.

8i

−8i

2i

−2i

4 1

-1 -4

Figura 1.22: La funci´on z _→ z2 _{transforma rectas verticales y horizontales}

EJERCICIOS 1.3.3

1. Calcule todos los valores de (1₋i)4−2i_{, z}i _{y i}w_.

2. Describa la imagen del conjunto _{C− {}0_} bajo la funci´on √3_{z definida por}

la rama de logaritmo [₋π, π). ¿Cu´al es la imagen de dicho conjunto bajo la ra´ız c´ubica definida por la rama de logaritmo [0, 2π)?

3. Demuestre que si w_∈R, entonces _|zw_|=|z|w_.

4. Exhiba z, w _∈C, para las cuales no se cumpla _|zw_|=_|z_||w|.

5. Demuestre que la funci´on ra´ız cuadrada definida por la rama de logaritmo [0, 2π) transforma las l´ıneas verticales y horizontales de _{C− {R}+_{∪ {0}} en}

ramas de hip´erbolas.

6. Sea w_{∈C− {}0_} y √ una rama de la ra´ız ¿Se cumple p1/w = 1/√w?

1.3.4.

Las funciones trigonom´

etricas

Como ei y_{= cosy+i seny, se tiene que}

cosy = e

i y_+e−i y

2 y seny =

ei y₋e−i y

2i .

Esto sugiere la siguiente definici´on.

Definici´on 15 _∀z _∈C, se definen las funciones trigonom´etricas

cosz = e

i z_+e−i z

2 , senz =

ei z₋e−i z

2i .

Claramente estas funciones son extensiones de las correspondientes fun-ciones reales. Es evidente tambi´en que estas funciones complejas cumplen las identidades: cosz = cos(₋z) y sen(₋z) = ₋senz. Adem´as, heredan otras de sus propiedades como funciones reales, como se muestra en el siguiente resultado.

Proposici´on 1.3.9 Dados z, w_∈C, se cumplen las siguientes igualdades

(i) sen2_{z+ cos}2_{z = 1,}

(ii) sen(z+w) = senz cosw+ senw cosz,