SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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(1)

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

ECUACIONES LINEALES

Una ecuación lineal con n incógnitas, x1, x2 , ... , xnes toda expresión algebraica de la forma:

donde:

ai son números reales que llamamos coeficientes

b es un número real denominado término independiente.

Si b = 0 decimos que la ecuación es homogénea.

Decimos que un conjunto de valores s1, s2, ..., sn es una solución de la ecuación anterior si sustituidos en

las incógnitas x1, x2 , ... , xn, respectivamente hacen que sea cierta la igualdad. Al conjunto formado por

todas las n-uplas que son solución se le denomina conjunto solución de la ecuación.

Una ecuación homogénea admite siempre como solución la n-upla: (0, 0, ..., 0) que se denomina solución trivial.

Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si admiten el mismo conjunto solución. Si multiplicamos los dos miembros de una ecuación por un mismo número se obtiene una ecuación equivalente.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que deben verificarse simultáneamente. Si todas ellas son lineales diremos que se trata de un sistema de ecuaciones lineales.

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas lo representamos en general de la forma:

Cuando el número de incógnitas es pequeño se suelen utilizar las letras: x, y, z, t,... Ejemplo:

Si todas las ecuaciones son homogéneas diremos que el sistema es homogéneo.

Una n-upla (s1, s2, ..., sn) es solución del sistema de ecuaciones si verifica todas las m ecuaciones. Por

ejemplo la cuaterna (1, 0, 3, –1) es solución del sistema del ejemplo anterior.

Dos sistemas de ecuaciones diremos que son equivalentes si poseen el mismo conjunto solución.

Transformaciones de equivalencia de sistemas: • Cambiar de orden las ecuaciones o las incógnitas

• Multiplicar o dividir los dos miembros de una ecuación por un número distinto de cero

• Si dos ecuaciones son iguales o proporcionales se puede eliminar una de ellas

• Si una ecuación es combinación lineal de las demás se puede eliminar

• Podemos sustituir una ecuación por una combinación lineal de ella misma con el resto de las ecuaciones.

1 1 2 2 n n

a x

+

a x

+

K

+

a x

=

b

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n n n

m m mn mn m

a x

a x

a x

b

a x

a x

a x

b

a x

a x

a x

b

+

+

+

=

ü

ï

+

+

+

=

ï

ý

ï

ï

+

+

+

= þ

K

K

LLL

K

2

2

3

2

5

3

2

3

6

x y z

t

x

y z t

x

z

t

(2)

FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES

Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas de puede expresar de forma matricial del modo siguiente:

donde:

A, de dimensión m x n, es la matriz de coeficientesX, de dimensión n x 1, es la matriz de incógnitas

B, de dimensión m x 1, es la matriz de términos independientes.

Si a la matriz de coeficientes le añadimos como columna a la derecha la matriz de términos independientes tendremos lo que denominamos matriz ampliada, M:

Ejemplo:

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS ATENDIENDO AL NÚMERO DE

SOLUCIONES

Resolver un sistema es encontrar el conjunto solución del sistema. Pueden darse dos situaciones:

El sistema no posee ninguna n-upla que sea solución: decimos que el sistema es

INCOMPATIBLE

El sistema posee solución. Decimos que el sistema es COMPATIBLE

En este situación se pueden dar a su vez dos casos:

La solución es única: sistema compatibleDETERMINADO ◦ Hay infinitas soluciones: sistema compatibleINDETERMINADO

{ {

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

·

;

·

n n

m m mn n m

X B

A

a

a

a

x

b

a

a

a

x

b

A X

B

a

a

a

x

b

æ

ö æ

ö æ ö

ç

÷ ç

÷ ç ÷

ç

÷ ç

÷ ç ÷

=

=

ç

÷ ç

÷ ç ÷

ç

÷ ç

÷ ç ÷

è

ø è

ø è ø

L

L

L L L L

M

M

L

144424443

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

Matriz ampliada :

n n

m m mn m

a

a

a

b

a

a

a

b

M

a

a

a

b

æ

ö

ç

÷

ç

÷

=

ç

÷

ç

÷

è

ø

L

L

L L L L L

L

{

{

3 1 3 4

4 1

El sistema del ejemplo anterior:

2

2

3

2

1

1 2

3

2

5

Se puede escribir: 1

2

1

1 ·

5

3

2

3

6

3

0

2

3

6

y su matriz ampliada es:

2

1

1 2

3

1

x

x y z

t

y

x

y z t

z

x

z

t

t

´ ´

´

æ ö

+ - +

= -

ü

æ

-

ö

ç ÷

æ

-

ö

ï

ç

÷

ç ÷

ç

÷

-

+ - =

ý

ç

-

-

÷

=

ç

÷

ç ÷

ï

ç

÷

ç

÷

+

+ =

þ

è

ø

ç ÷

è

ø

è ø

-

-14442444

3

2

1

1

5

3

0

2

3

6

æ

ö

ç

-

-

÷

ç

÷

ç

÷

(3)

Los sistemas homogéneos son siempre compatibles porque poseen siempre la solución trivial. Una ecuación del tipo: 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = b se dice que es una ecuación degenerada:

Esta ecuación, a su vez, puede ser:

Trivial: si b = 0. Como se cumple para cualquier colección de números, puede ser eliminada si pertenece a un sistema de ecuaciones.

Absurda: si b ≠ 0. Como no puede ser satisfecha por ningún conjunto de números reales, si pertenece a un sistema hará que el sistema sea incompatible.

TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS

El teorema de Rouché-Frobenius afirma que es condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n incógnitas sea compatible, que el rango de la matriz de coeficientes sea igual al rango de la matriz ampliada.

Supuesto que esta condición se cumple, el sistema es determinado si el rango es igual al número de incógnitas y es indeterminado en caso contrario.

CLASIFICACIÓN y RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE GAUSS

El método de Gauss consiste en aplicar transformaciones equivalentes al sistema hasta dejarlo escalonado. Podemos trabajar escribiendo las ecuaciones, o lo que es más cómodo aplicar las transformaciones elementales por filas a la matriz ampliada hasta dejarla escalonada. Veamos el proceso con un ejemplo:

Aplicando el método de Gauss se nos pueden presentar tres situaciones que nos permiten clasificar los sistemas según sus soluciones según lo establecido por el Teorema de Rouché-Frobenius.

Recordemos que si operando con filas aparece una fila con todos los elementos nulos, puede eliminarse. Esta situación se correspondería con la ecuación trivial:

0x1 + 0x2 + ... + 0xn = 0

que se cumple para cualquier valor que tomen las incógnitas y por lo tanto es irrelevante para la resolución del sistema. En consecuencia puede eliminarse la fila donde ha aparecido y continuar con las transformaciones del método.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Sistema INCOMPATIBLE:

DETERMINADO

Sistema COMPATIBLE

:

INDETERMINADO

rg A

rg M

rg A

n

rg A

rg M

rg A

n

¹

ì

= Þ

ï

Û

=

í

< Þ

ïî

2 2 1

3 3 3 3 1

2 3 3

1 2

3 4

2

3

9

1

2

3

9

1

2

3

9

2

2

3

;

2

1

2

3

0

3

4

15

3

2

1

3

2

1

1

0

4

8

28

1

2

3

9

1

2

3

9

0

3

4

15

0

1

2

7

0

1

2

7

0

3

4

15

F F F F F

F F F

F F F

x

y

z

x y

z

M

x

y z

® - ®

® +

«

+

-

= -

ü

æ

-

-

ö

æ

-

-

ö

ï

ç

÷

ç

÷

+ -

= -

ý

=

ç

-

- ¾¾¾¾®

÷

ç

-

÷

¾¾¾¾

®

ï

ç

÷

ç

÷

- -

+ = -

þ

è

-

-

-

ø

è

-

-

ø

-

-

-

ö

æ

ö

ç

÷

ç

÷

®

ç

-

÷

¾¾¾®

ç

-

-

÷

ç

-

-

÷

ç

-

÷

è

ø

è

ø

3 3 2

1 2

3

9

0 1

2

7

0 0

2

6

que corresponde al sistema equivalente:

2

3

9

2

7 que en esta forma es fácil hallar sus soluciones:

2

6

3 ;

7 2

1

;

9 2

3

2

F F

x

y

z

y

z

z

z

y

z

x

y

z

® +

-

ö

ç

÷

¾¾¾¾®

ç

-

-

÷

ç

-

-

÷

è

ø

+

-

= - ü

ï

-

= - ý

ï

-

= - þ

(4)

Podemos llegar a:

Sistema incompatible

:

aparece una fila con todos sus elementos nulos excepto el correspondiente al término independiente. Esto se corresponde con una ecuación absurda imposible de ser satisfecha.

Ejemplo:

Sistema compatible determinado:

se llega a una matriz ampliada escalonada con igual número de ecuaciones que de incógnitas. Sería el caso del primer ejemplo de esta pregunta, es decir:

2 1

2

3

4

2

3

1

2

3 1

4

2

2

1

2 1

;

1

2 1

2

8

5

5

1

8

5

5

8

5 5

1

Apliquemos el método de Gauss para dejar el sistema escalonado:

2

3 1

4

1

2 1

2

1

2 1

2

2

3 1

4

8

5 5

1

8

5 5

1

F F

x

y z

x

y z

A

M

x

y

z

«

+

+ = ü

æ

ö

æ

ö

ï

ç

÷

ç

÷

-

+ = -

ý

Þ

=

ç

-

÷

=

ç

-

-

÷

ï

ç

÷

ç

÷

+

+

= þ

è

ø

è

ø

-

ö

æ

ö

ç

-

- ¾¾¾®

÷

ç

ç

÷

ç

ç

÷

ç

è

ø

è

ø

2 2 1 3 3 2

3 3 1

2 3

8

1

2

1

2

0

7

1

8

0 21

3 17

1

2

1

2

0

7

1

8

;

0

0

0

7 Ecuación absurda

Sist. INCOMPATIBLE

0

0

0

7

La matriz escalonada de M tiene rango 3 pues tiene 3 f

F F F F F F

F F F

x

y

z

® - ®

®

--

ö

÷

¾¾¾¾®

ç

-

÷

¾¾¾¾®

÷

ç

÷

÷

ç

-

÷

è

ø

-

ö

ç

÷

®

ç

-

÷

+

+

= -

Þ

ç

-

÷

è

ø

ilas linealmente independientes

La matriz escalonada de A tiene rango 2 ya que tiene 2 filas linealmente independientes.

Según el Teorema de R-F rango(A)

¹

rango (M)

Þ

Sistema INCOMPATIBLE

( )

( )

2

3

9

1

2

3

9

1 2

3

9

2

2

3

;

2

1

2

3

0 1

2

7

3

2

1

3

2

1

1

0 0

2

6

M tiene 3 filas linealmente independientes

3 nº

A tiene 3 filas linealmente independientes

x

y

z

x y

z

M

x

y z

rg A

rg M

+

-

= -

ü

æ

-

-

ö

æ

-

-

ö

ï

ç

÷

ç

÷

+ -

= -

ý

=

ç

-

- ®

÷

®

ç

-

-

÷

ï

ç

÷

ç

÷

- -

+ = -

þ

è

-

-

-

ø

è

-

-

ø

ü

Þ

=

= =

ý

þ

L

de incógnitas

9 2

3

2

Sist. COMPATIBLE DETERMINADO

solución única:

7 2

1

3

x

y

z

y

z

z

Þ

= - -

+

=

ì

ï

Þ

Þ

í

= - +

=

(5)

Sistema compatible indeterminado

: se llega a una matriz ampliada con más incógnitas que ecuaciones:

En los sistemas compatibles indeterminados tendremos que tomar un número de parámetros igual a la diferencia entre el número de incógnitas y el rango del sistema. En este último ejemplo el número de incógnitas era 3 y el rango del sistema era 2, por eso hemos tomado (3 – 2) parámetros.

Se llama grado de indeterminación de un sistema a la diferencia entre el número de incógnitas y el rango del sistema; indica el número de parámetros necesarios para expresar sus soluciones:

nº de parámetros = nº de incógnitas – rango(A)

2 2 1 suprimimos 2

4

8

9

4

1

8

4

1 8 9

4

2

5

6

;

4

2 5 ;

4

2 5 6

1

0

1

1

0

1 1 1

Apliquemos el método de Gauss:

4

1 8 9

4

1

8

9

4 1 8 9

4

2 5 6

0

3

3

3

0

1 1 1

0

1

1

1

F F F F

x y

z

x

y

z

A

M

y z

®

-+ -+

= ü

æ

ö

æ

ö

ï

ç

÷

ç

÷

-

+

=

ý

=

ç

-

÷

=

ç

-

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ï

ç

÷

ç

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+ = þ

è

ø

è

ø

æ

ö

æ

ö

ç

-

÷

¾¾¾¾®

ç

-

-

- ¾¾¾¾¾

÷

®

ç

÷

ç

÷

ç

÷

ç

÷

è

ø

è

ø

( )

( )

0 1 1 1

Tenemos la matriz escalonada de coeficientes y la escalonada de la ampliada con dos filas

linealmente independientes, por tanto:

2 3 nº de incógnitas

Sist. COMPATIBLE INDETERMINADO

Para

rg A

rg M

æ

ö

ç

÷

è

ø

=

= < =

Þ

expresar el conjunto solución tendremos en cuenta que el sistema equivalente obtenido es:

4

8

9

Podemos elegir tanto la variable o la variable para que actuen como

1

un parámetro que p

x y

z

y

z

y z

+ +

= ü

ý

+ = þ

uede tomar cualquier valor. Las demás variables se obtienen a partir de él:

7

2

4

8

9

4

9 8

4

1

9 8

4

1

1

1

1

x

x y

x y

x

y

y

y

y

z

z

z

z

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

ü

= -

ï

+ +

=

ü

+ = -

ü

+ - = -

ü

ï

ï

ï

ï

+ =

ý

Þ

= -

ý

Þ

= -

ý

Þ

= -

ý

Î

ï

ï

ï

ï

=

þ

=

þ

=

þ

=

ï

þ

Figure

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