1. Utiliza tu sentido común para asignar valor a los siguientes límites: a) l m - 07 Limite de funciones y continuidad matii

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(1)

1

R

esuelve

Página 205

Piensa y encuentra límites

1. Utiliza tu sentido común para asignar valor a los siguientes límites: a) l mx8í+ x 2; l mí

8

x +∞ x 3; l mx8í+∞ (x 3 – x 2) b) x8l mí–∞ x 2; x8l mí–∞ x 3; x8l mí–∞ (x 3 – x 2)

c) l mxí82 x 2; l mí 8

x 2 x 3; l mxí82 (x 3 – 5x 2 + 3) d) l mx8í+∞ 1 ; l mx x8í+∞ x12; l mx8í+∞ x2x+1

e) x8l mí

x

1 ; x8l mí

x12; x8l mí–∞ x2x+1 f ) l mxí80 x1 ; l mxí80 x12; l mxí80 x2x+1

g) l mx8í+

x2x 1 3

+ ; l mx8í+∞ xx2–51x

3 2

+ h) x8l mí–∞ x2x 1

3

+ ; x8l mí–∞ 3xx 5 2 +

a) l mx8í+ x 2 = + ∞; l mí ∞ 8

x + x 3 = + ∞; x8l mí+∞ (x 3 – x 2) = + ∞

b) l mx8í x 2 = + ∞; l mí 8

x –∞ x 3 = – ∞; x8l mí–∞ (x 3 – x 2) = – ∞

c) l mxí82 x 2 = 4; l mí 8

x 2 x 3 = 8; xl mí82 (x 3 – 5x 2 + 3) = –9

d) l mx8í+ x1 = 0; x8l mí+

x12 = 0; x8l mí+∞ x2x+1 = 0

e) l mx8í 1 = 0; x x8l mí

x12 = 0; x8l mí–∞ x2x+1 = 0

f ) l mxí80 x1 = + ∞; xl mí80

x12 = + ∞; xl mí80 x2x+1 = 0

g) l mx8í+ x2x 1

3

+ = + ∞; x8l mí+∞ xx2–51x

3 2

+ = + ∞

h) l mx8í x2x 1

3

+ = – ∞; x8l mí–∞ 3 5xx 2

+ = – ∞

2. Tanteando con la calculadora, da el valor de estos límites: a) l mí8

x 0 sen xx

b) l mí8

x 3 (x – 3) · ln (x – 3)

c) l mx8í+

x

1 3+ 2x

c m

a) l mí8

x 0 sen x = 1x

b) l mí8

x 3 (x – 3) · ln (x – 3) = 0

(2)

1

Idea gráfica de los límites de funciones

Página 206

1 Describe mediante un límite cada una de las siguientes ramas:

a) b) c) d)

–1

2

–1

2

–1–1

a) x8l mí f (x) = –1; x8l mí+ f (x) = + ∞

b) x8l mí f (x) = – ∞; x8l mí+ f (x) = 2

c) x8l mí f (x) = + ∞; x8l mí+ f (x) = + ∞

d) x8l mí f (x) no existe; x8l mí+ f (x) no existe

2 Asigna x8l mí y l mx8í+ a cada una de las siguientes funciones conocidas (dibuja esquemática-mente su gráfica):

a) f (x) = x 2 b) f (x) = –x 2 c) f (x) = x 3

d) f (x) = –x 3 e) f (x) = sen x f ) f (x) = tg x

a) x8l mí f (x) = + ∞ b) x8l mí f (x) = – ∞

l mí

8

x + f (x) = + ∞ x8l mí+∞ f (x) = – ∞

2 4

–4 –2 2 4 6 8

–2

Y

X

2 4

–4 –2

–6 –4 –2 1

–8

Y

X

c) x8l mí f (x) = – ∞ d) x8l mí f (x) = + ∞

l mí

8

x + f (x) = + ∞ x8l mí+∞ f (x) = – ∞

2 4

–4 –2 –2

4 2 6

–4

Y

X

2 4

–4 –2 –2

4 2 6

–4

Y

(3)

3

e) x8l mí f (x) no existe f ) x8l mí f (x) no existe

l mí

8

x + f (x) = no existe x8l mí+∞ f (x) = no existe

2 4

–4

–6 –2

–2 2

Y

X

2 4

–4 –2 –2

4 2 6

–4

Y

X

–6

3 Dibuja, en cada caso, una función que cumpla: a) x8l mí f (x) = 4, l mx8í+ f (x) = –

b) x8l mí f (x) = 3, l mx8í+ f (x) = 3

c) x8l mí f (x) = +, l mx8í+ f (x) = –

d) x8l mí f (x) = – , l mx8í+ f (x) = +

a) b)

2 4 6

–4 –2 –2

4 2 6

–4 –6

Y

X

–6

2 4 6

–4 –2 –2

4 2

Y

X

–6

c) d)

2 4 6

–4 –2 –2

4 2 6

–4 –6

Y

X

–6

2 4 6

–4 –2 –2

4 2 6

–4 –6

Y

X

(4)

4 Describe con límites las siguientes ramas:

a) b) c)

1 3

–2 –2

3

7 3

4

1 3

–2 –2

3

7 3

4

1 3

–2 –2

3

7 3

4

a) x8l mí f (x) = – ∞; l mí

8

x –2 f (x) = 3; l mx8í2+ f (x) = – ∞

l mí

8

x 4 f (x) = + ∞; l mx8í 4+ f (x) = – ∞; x8l mí+ f (x) = + ∞

b) x8l mí f (x) = – ∞; l mx8í 2 f (x) = 1; l mxí83 f (x) = – ∞; x8l mí+ f (x) = + ∞

c)x8l mí f (x) = – ∞; l m8í

x 0 f (x) = + ∞; l mx8í 0+ f (x) = – ∞; l mx8í 7 f (x) = – ∞; x8l mí+ f (x) = 3

5 Representa una curva que cumpla las seis condiciones siguientes:

l mí

8

x f (x) = 4 x8l mí3 f (x) = – x8l mí3+ f (x) = –

l mí

8

x 5– f (x) = – xl m8í 5+ f (x) = + x8l mí+∞ f (x) no existe

2 4 6 8 10

–4 –6 –8

–10 –2

–2 4 2 6 8

–4 –6 –8

Y

(5)

5

2

Un poco de teoría: aprendamos a definir los límites

Página 208

1 Sabiendo que l mx8í+

xx 100

3 20

–– = 3, aplica lo que acabamos de ver para calcular h en función de ε. Averigua después para qué valor de h se verifica que “si x > h, entonces | f (x) – 3 | < 0,01”.

| ( )f x –3 0 01|< , 8 3xx10020 3 0 01– < , 8 3x–20 3x100x+300 <0 01, 8

, , ,

8 8 8 8

x–280100 <0 01 x280–100 <0 01 0 01280 <x–100 x>28100

(*)

(*) Para valores grandes de x, la fracción es positiva y se puede quitar el valor absoluto. El valor es h = 28 100.

Página 209

2 Define, acompañado de un dibujo, los siguientes límites: a) l mx8í+ f (x) = –

b) x8l mí f (x) = +

c) l mí

8

x c+ f (x) = –

d) l mxí8c f (x) = –

a) xl m8í+ f (x) = –

Dado un número k (arbitrariamente grande), podemos encontrar otro número h (tan grande como sea necesario) tal que si x > h, entonces f (x) < –k.

h

–k O

b) x8l mí f (x) = +

Dado un número k (arbitrariamente grande), podemos encontrar otro número h (tan grande como sea necesario) tal que si x < –h, entonces f (x) > k.

–h

k

(6)

c) l m8í

x c+ f (x) = –

Dado un número k (arbitrariamente grande), podemos encontrar un número δ > 0 tal que si δ <

x < c + δ, entnces f (x) < –k.

–k O c c + δ

δ

d) l mxí8c f (x) = –

Dado un número k (arbitrariamente grande), podemos encontrar un número δ > 0 tal que si

c – δ < x < c + d, entonces f (x) < –k.

–k

(7)

7

3

Sencillas operaciones con límites

Página 210

1 Todas estas propiedades que acabamos de presentar son muy sencillas y razonables. Y se pueden enunciar en los siguientes términos:

1. El límite de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus límites.

Haz otro tanto con las propiedades 2 a 7 y reflexiona sobre las restricciones que se imponen en algunas de ellas, de modo que las veas razonables (por ejemplo: ¿por qué b ≠ 0 en la propiedad 4?, ¿por qué

f (x) > 0 en la propiedad 5?, …).

2. El límite de la diferencia de dos funciones es igual a la diferencia de sus límites. 3. El límite del producto de dos funciones es igual al producto de sus límites.

4. El límite del cociente de dos funciones es igual al cociente de sus límites, siempre que el límite del denominador no sea 0 (para que no se produzca una división entre 0).

5. El límite de la potencia de dos funciones es igual a la potencia de sus límites, siempre que la base de la potencia sea positiva (para que tenga sentido la potencia de exponente real).

6. El límite de la raíz de una función es igual a la raíz de su límite. En el caso de que la potencia sea de índice par, además, la función debe ser no negativa (para que se pueda hallar dicha potencia). 7. El límite del logaritmo de una función es igual al logaritmo de su límite (para que tenga sentido el

límite y el resultado, es necesario que tanto la función como su límite sean positivos).

Página 211

2 Si, cuando x +, f (x) +, g (x) 4, h (x)  – , u (x) 0, asigna, siempre que puedas, límite cuando x + a las expresiones siguientes:

a) f (x) – h (x) b) f (x)f (x) c) f (x) + h (x) d) f (x)x e) f (x) · h (x)

f ) u (x)u (x) g) f (x)/h (x) h) [–h (x)]h (x) i) g (x)h (x) j) u (x)/h (x) k) f (x)/u (x) l) h (x)/u (x) m) g (x)/u (x) n) x + f (x) ñ) f (x)h (x) o) x + h (x) p) h (x)h (x) q) x –x r) f 2(x) + h 2(x) s) f 2(x) – h 2(x)

a) x8l mí+ ( f (x) – h (x)) = + ∞ – (– ∞) = + ∞ + ∞ = + ∞

b) x8l mí+ f (x)f (x) = (+ ∞)+ ∞ = + ∞

c) x8l mí+ ( f (x) + h (x)) = (+ ∞) + (– ∞) → Indeterminación.

d) x8l mí+ f (x)x = + ∞+ ∞ = + ∞

e) x8l mí+ ( f (x) · h (x)) = (+ ∞) · (– ∞) = – ∞

f ) x8l mí+ u (x)u (x) = (0)(0) Indeterminación.

g) x8l mí+ h xf x( )( ) = +( ∞)( ∞) → Indeterminación.

h) x8l mí+ [–h (x)]h (x) = [+ ∞]– ∞ = 0

(8)

j) x8l mí+ h xu x( )( )= 0 = 0

k) x8l mí+ u xf x( )( ) = + = ± ∞( )0

l) x8l mí+ u xh( )( )x = –( )0∞ = ± ∞

m) x8l mí+ u xg x( )( )= ( )04 = ± ∞

n) x8l mí+ (x + f (x)) = + ∞ + (+ ∞) = + ∞

ñ) x8l mí+ f (x)h (x) = (+ ∞)–∞ = 0

o) x8l mí+ (x + h (x)) = (+ ∞) + (– ∞) → Indeterminación.

p) x8l mí+ h (x)h (x) = (– ∞)– ∞ No existe.

q) x8l mí+ x –x = (+ ∞)– ∞ =

∞1∞ = 0

r) x8l mí+ ( f 2(x) + h 2(x)) = (+ ∞)2 + (– ∞)2 = + ∞

(9)

9

4

Indeterminaciones

Página 212

1 Para x 4 se dan los siguientes resultados:

f (x) +, g (x) 4, h (x)  – , u (x)  0

¿Cuáles de las siguientes funciones son indeterminaciones cuando x 4? En cada caso, si es inde-terminación, di de qué tipo y, si no lo es, di cuál es el límite:

a) f (x) + h (x) b) f (x)/h (x) c) f (x)–h (x) d) f (x)h (x)

e) f (x)u (x) f ) u (x)h (x) g) [ g (x)/4] f (x) h) g (x) f (x)

a) l mí8

x 4 [ f (x) + h (x)] = (+ ∞) + (– ∞) → Indetermninación.

b) l mí8

x 4 ( )

( ) ∞ ∞

h x f x

= + → Indeterminación.

c) l mí8

x 4 f (x)–h (x) = (+ ∞)(+ ∞) = + ∞

d) l mí

8 x 4 f (x)

h (x) = (+ ∞)(– ∞) = 0

e) l mí8

x 4 f (x)u (x) = (+ ∞)(0) → Indeterminación

f ) l mí8

x 4 u (x)

h (x) = (0)(– ∞) = ± ∞

g) l mí8

x 4

( )

g x

4

( )

f x

= G = (1)(+ ∞) Indeterminación

h) l mí8

(10)

5

Comparación de infinitos. Aplicación a los límites cuando

x

±∞

Página 213

1 Indica cuáles de las siguientes expresiones son infinitos (±) cuando x +:

a) 3x 5 – x + 1 b) 0,5x c) –1,5x

d) log2 x e)

x31+1 f ) x

g) 4x h) 4–x i) – 4x

Son infinitos cuando x → + ∞ las expresiones a), c), d), f), g) e i). No lo son las expresiones b), e) y h).

2 a) Ordena de menor a mayor los órdenes de los siguientes infinitos: log2 x x x 2 3x 5 1,5x 4x

b) Teniendo en cuenta el resultado anterior, calcula:

l mí

8

x +∞

log x

x

2 l mí 8

x +∞ 3xx2 5

l mx8í+ ,

x

1 5x

a) 4x; 1,5x; 3x 5; x 2; x ; log 2x

b) x8l mí+ log x

x 2 = 0

l mí

8 x + 3xx2

5

= + ∞

l mí

8

(11)

11

6

Cálculo de límites cuando

x

+ ∞

Página 215

1 Sin operar, di el límite, cuando x +, de las siguientes expresiones:

a) x` 2–32x+1j b) (x 2 – 2x)

c) x2+1 – x d) 3x – 2x

e) 5x – x3 82 f ) x – log

5 x 4 a) x8l mí+ x` 2–32 1x+ j = + ∞ b)

l mí

8

x + (x 2 – 2x) = – ∞

c) x8l mí+ x` 2+1 – xj = + ∞ d) l mí

8

x + (3x – 2x) = + ∞

e) x8l mí+ (5x – x3 82) = + ∞ f ) l mí

8

x + ( x – log5 x 4) = + ∞

2 Calcula el límite, cuando x +, de las siguientes expresiones:

a)

xx 2 xx x

3 5

2 4

3 3

++ b) 2xx2 1 2x

3 +

c) x

x x

2

3 +5 2–2

d) x2+x x2+1

e) 2x – x2+ x f ) x+1– x+2

a) x8l mí+ e3xx3++25 – 4xx32xo = x8l mí+ (3x3+5)(x(x– –+22) ()(x4x32)x x)( +2) =

= x8l mí+

x

x x x x x x x

4

3 6 5 10 4 8 2

– – – –

2

4 3+ 4 3+ 2+

=

= x8l mí+

x

x x x x

4

14 7 10

– – –

2 4 3+ 2+

=

b) x8l mí+

xx x

2 2 1 – 2

3

+

e o = x8l mí+

( )

( )

x x x x

2 2 1

2 – 2 1

2

3 2

+

+ =

l mí

8

x + 2x4x22x2x

3 3

+ = x8l mí+∞ 4x–2x+2 =0

c) x8l mí+ xd3 52+ – x2x–2n = x8l mí+ 3x2+5x2x2x2+ = 4 x8l mí+ x2+25xx+ =+4 ∞

d) x8l mí+ x` 2+xx 12+ j = l mí

8

x + x x

x x

x

x x x x

1 1 1 – 2 2 2

2 2 2

+ +

+ +

+ + + +

a ka k

=

= x8l mí+

x x x x x

x 1 1 – – 2 2 2 2 + +

+ + = x8l mí+∞ x x x

x

1

1 11 21 1

2+ + 2+ = + =

e) x8l mí+ x`2 – x2+xj = l mí

8

x + x x x

x x x x x x

2

2 – 2

2

2 2

+ +

+ + +

a ka k

=

= x8l mí+

x x x

x x x

2

4 – –

2 2 2

+ + = x8l mí+∞ x x x x x 2 3 – 2 2 + + = + ∞

f ) x8l mí+ x` +1– x+2j = x8l mí+

x x

x

x x x

1 1

2

2 1 2

– + +

+ +

+ + + +

` j` j

=

= x8l mí+

x x x x 1 1 2 2 – – + +

(12)

3 Halla los siguientes límites cuando x +:

a) c1+51xmx b) c5+51xm5x c) c5+51xm–5x

d)

x

1 51

5 +

c m e)

x

1 5+ x

c m f )

x

1 5+ x

c m

g)

x

5 5+ 5x

c m h)

x

1 1– 5x

c m i)

x

1 1– –5x

c m

a) x8l mí+d1+ 51xnx = x8l mí+ 1 51x e /

/

x

5 1 5 1 5

+ =

d n

>

H

b) x8l mí+d5+ 51xn5x = (5)(+ ∞) = + ∞

c) x8l mí+d5+ 51xn–5x = (5)(– ∞) = 0

d) x8l mí+d1+ 51xn5 = 15 = 1

e) x8l mí+d1 5+ xnx = e 5

f ) x8l mí+d1 5+ xn–x = e –5

g) x8l mí+d5 5+ xn5x = e (+ ∞) = + ∞

h) x8l mí+d1 1– xn5x = e –5

i) x8l mí+d1 1– xn–5x = e 5

4 Calcula estos límites cuando x +:

a)

x

1 1+ 3x–2

c m b)

x

1– 21 4x

c m c)

x

1+51 3x

c m

d)

x

1+23 5

c m e)

x

1– 21 3x

c m f )

x

1+52 5x

c m

a) x8l mí+d1 1+ xn3x–2 = e 3

b) x8l mí+d1– 21xn4x = x8l mí+ 1 21z 2x e 2

2 – –

+ =

d n

>

H

c) x8l mí+d1+ 51xn3x = x8l mí+ 1 51x e /

/

x

5 3 5 3 5

+ =

d n

>

H

d) x8l mí+d1+ 23xn5 = 15 = 1

e) x8l mí+d1– 21xn3x = x8l mí+ 1 21x e /

/

x 3 2

2

3 2 –

+ =

d n

>

H

f ) x8l mí+d1+ 52xn5x = x8l mí+ 1 5 2x1/ 5 2x/ e 2

2

+ =

d n

(13)

13

Página 217

5 Resuelve estos límites aplicando la regla anterior. Después, resuelve también uno de ellos dando todos los pasos:

a) l mx8í+c33xx+15m5x–3 b) x8l mí+ x x

x –3x 2 x 3 2

3 2 –1

+ +

e o

a) Sea l = x8l mí+d33 5xx+1n5x–3

Como x8l mí+ 33xx+ = 1 y 51 x8l mí+ (5x – 3) = + ∞, l es del tipo (1)(+ ∞).

Aplicando la regla:

l = exl m8í+∞d33xx+15 1 5 3– n·( x– )

= ex8l mí+∞d3x61n·(5x–3)= e 10

b) Sea l = x8l mí+

x x x –3x 2 x

3 2

3 2 –4

+ +

e o

Como x8l mí+

x x x –3x 2

3 2 3

+ + = 1 y x8l mí+∞ (2x – 4) = + ∞, l es del tipo (1)(+ ∞).

Aplicando la regla:

l = ex8l mí+∞ ·( ) x

x x x

2

3 2 1 2 4

2 3 2 + + f p

= ex8l mí+∞ – –xx33xx22 ·(2x–4) 2

+ +

f p

= e –2

Resolución de los límites dando todos los pasos:

a) x8l mí+d33 5xx+1n5x–3 = (1)(+ ∞) = l mí

8

x + 1 3x61

x

5 –3

+

d n = x8l mí+ 1 x

6 3 1–1

x

5 –3

+

f

p

=

= x8l mí+ 1 x 6 3 1–1

· ·( )

x

x x

6 3 1

3 6 1 5 3 –

– –

+

f

p

= x8l mí+∞ 1 x

6 3 1–1

·( )

x x x

6

3 –1 36–1 5 –3

+

f

p

>

H

= e 10

b) x8l mí+

x x x –3x 2 x

3 2

3 2 –1

+ +

e o = (1)(+ ∞) =

l mí

8

x + 1 – –xx 3xx 2

x

3 2

2 2 –1

+

+ +

f p =

= x8l mí+

xx xx

1 3 2 1 – – x 2 3 2

2 –1

+

+ +

f

p

= x8l mí+∞

xx xx

1

3 2

1

– –

· ·( )

xx xx x x

x x x

2

3 2 3 2

3 2 2 1 – – – – 2 2 2 2 3 3 + + + + + + +

f

p

=

= x8l mí+

xx xx

1 3 2 1 – – ·( ) x x

x x x

xx xx

2 3 2

3 2 2 1

3 2

– –

– –2

2 2 2 3 3 + + + + + + +

f

p

(14)

7

Cálculo de límites cuando

x

– ∞

Página 219

1 Sin operar, di el límite cuando x de las siguientes expresiones:

a) x 232x+ b) 1 x 2 + 2x

c) x 2 – 2x d) x 2 – 2–x

e) 2–x – 3–x f ) x51 – 5x

g) 2x – x 2 h) x 2 – x41

i) x 23 + – x 2 j) 3–x – 2–x

a) x8l mí (x 2 – x32 1+ ) = + ∞ – (– ∞) = + ∞ + ∞ = + ∞ b) l mí

8

x (x 2 + 2x) = + ∞

c) x8l mí (x 2 – 2x) = + ∞ d)

l mí

8

x (x 2 – 2–x) = – ∞

e) x8l mí (2–x – 3–x) = – ∞ f ) l mí

8

x ( x5–1 – 5x) no existe

g) x8l mí (2x – x 2) = – ∞ h) l mí

8

x (x 2 – x4–1) = – ∞

i) x8l mí ( x 23 + – x 2) = – ∞ j) l mí

8

x – (3–x – 2–x) = + ∞

2 Calcula el límite cuando x de las siguientes expresiones:

a)

xx 2 xx x

3 5

2 4

––

3 3

++ b) 2xx2 1 2x

3 +

c) x2+x x2+ 1 d) 2x + x2+x

e) x2+2x + x f ) c1 3+ xm2x

g)

x

1 1– 5x+3

c m h)

x x x

2–1

x

2

2 3 –1

+ +

e o

a) x8l mí e3xx3++25 – 4xx32xo = x8l mí+ e–3xx3++25 – –– –4xx3–2xo =

= x8l mí+

x

x x x x x x x

4

3 5 6 10 4 8 2

– – – –

2

4 + 3 4+ 2+ 3

= x8l mí+

x

x x x x

4

14 7 10

– – –

2 4+ 3+ 2

=

b) x8l mí

xx x

2 2 1 – 2

3

+

e o = x8l mí+

xx x

2–2 1 2

3

+ +

f p = x8l mí+

x

x x x

4 2

2 2

2

3 3

+

+ + =

l mí

8

x + 4x2x+2 =0

c) x8l mí ( x2+xx 12+ ) = l mí

8

x + ( x2– –x x 12+ = ) x8l mí+∞ ( x – –x xx2x2)( xx2–1x x 1)

2 2 2 2

+ +

+ + +

= x8l mí+

x x x x x

x

1 1 –

– – –

2

2 2

2

+ + = x8l mí+∞ x x x

x

1

1 11 21 1

– – –

2 + 2+ = + =

d) x8l mí (2x+ x2+ = x)

l mí

8

x + (–2x+ x2–x) = x8l mí+∞ (–2x x– –2x x)(– –x22xx xx)

2 2

+ =

= x8l mí+

x x x

x x x

2 4

– – –

2 2 2+

= x8l mí+

x x x

x x

2 3

– – 2– –

2+

(15)

15

e) x8l mí ( x2+ + x) = 2xl mí

8

x + ( x2–2x x– ) = x8l mí+∞ ( x –2xx–2x x)(2x x–2x x)

2 2

+

+ =

= x8l mí+

x x

x x x

x

2 2 –

– –

2

2 2

+ = x8l mí+∞ x x x

x

2 2

1 12 22 1

– – –

2 + = + = =

f ) x8l mí d1 3+ x n2x= x8l mí+ d1 3+ xn–2x = x8l mí+ 1 x1/3 x 3/

6 –

+

d n

>

H

= e 6

g) x8l mí d1 1– x n5x+3= x8l mí+ d1 1+ xn–5x+3= e –5

h) x8l mí x x x

2–1 x

2

2 3 –1

+ +

e o = x8l mí+

x x x

21

– – x

2

2 – –3 1

+

f p = e x8l mí+∞

·( )

x

x x x

21 1 3 1 – – –2 – –

2

+

f p

> H

=

= e x8l mí+∞ ·( )

x x

x

23 – –3 1 – –

2+

e o = e x8l mí+∞ 3x x210x2 3 2

+ + +

(16)

9

Cálculo de límites cuando

x

c

Página 221

1 Halla los siguientes límites:

a) l mí8

x 2 x

x

3 3 2

+ b) l mí

8

x 5 x –5x 4

2 +

c) l mí8

x 0 (3 – sen 2x) d) xl m8í –1 e

3x + 4

a) ílmx82 3 2x+3x = –7 b) l mxí85 x2–5x+ = 24

c) l mí8

x 0 (3 – sen 2x) = 3 d) l mx8í –1 e 3x + 4 = e

2 Halla el límite cuando x 5 de las siguientes funciones:

a) f (x) = *xx245,x+1, xx>55 b) g (x) = (x, ) , x

x 2 21 5 5 < x 2

*

a) ( )

( )

l m x x l m x

5 1 1 4 1 – – í í 8 8 x x 5 2 5 + = = + _ ` a bb

b → Los límites laterales coinciden y l mxí85 f (x) = 1.

b) ( )

( )

l m

l m x

2 32

21 8

í í 8 8 x x x 5 5 2 = = + _ ` a bb

bb → Los límites laterales no coinciden y no existe l mxí85 f (x).

Página 222

3 Calcula los límites siguientes:

a) l mx8í 1

x x x x x

6 7

2 2 5

2

3 2+ + b)

l mí8

x 4 x x x

x x 2 3 5 1 3 2 3 + +

a) ílmx81

x x

x x x

6 7

2 2 5

– –

2

3 2+ + = ílm

8

x –1 ( )( )

( )( )

x x

x x x

1 7

1 3 5

– –

2

+

+ + = ílm

8

x –1 x x––3x7 5 –98 –89 2

+ = =

b) l mí8

x 4 xx3 –2x5 12x3x 3

+ + = 8445= 2815

4 Calcula los límites siguientes:

a) l mx8í 3

x x x x

3 2 –3

3 2

3 2

+

+ b) l mí

8

x 1 x x

x x 2 2 3 4 +

a) l mx8í 3

x x

x x

3 2 –3

3 2 3

2

+

+ = l mí

8

x –3 ( )

( ) ( ) x x x x 3 1 3 – 4 2 3 3 6 +

+ = l mí

8 x –3 (

) ( )

x

x–1 x 3 0

4 3

6 + =

b) l mí8

x 1 x x

x x 2 – – 2 3 4

+ = l mxí81 ( ) ( )

( )( )

x x

x x x

2 1 1 1 – – 2 2 4 +

+ = l mí

8

x 1 ( ) ( )

( ) x x x x 2 1 1 – 2 4 + + ( ) ( ) ∞

ílm f x l m f x

(17)

17

Página 223

5 Calcula: l mxí80

x x x x

x x x x

2

5 2 2 1

2 2

3 3

+ + + + +

e o

l mí8

x 0 xx–25x2x2 – x x 2 1xx 2

3 3

+ + + + +

e o = l mí8

x 0 xx x(–5x2)2 – xx x( 2x1)1 2

2 3

+ + + ++

f

p

=

= l mí8

x 0 ( )( )

( )( ) ( )( )

x x x

x x x x x x

2 1

1 –5 2 – 2 2 1

2

2 2 3

+ +

+ + + + + =

= l mí8

x 0 x –5x 2x xx x5(x 22)(xx2–12)x – –x 2x –4x–2

4 3 2 2 4 2 3

+ +

+ + + =

= l mxí80

( )( )

x x x

x x x

2 1

7 –10

2 3 2

+ +

+ = l mí

8

x 0 ( )( )

( )

x x x x x x

2 1

7 10

– –

2 2

+ +

+ = l mí

8

x 0 (x7x2)(xx2–101) 2 1–10· –5 2

+ +

+ = =

6 Calcula: l mí8

x 7 x

x x

3

7 4

x

x

2 + –+17

e o

l mí8

x 7 x x–7x3 4

xx

2 + –+17

e o = e xílm87 xx–7x3 4 1– ·xx–17

2 + +

e o

> H

=

= e l m x ·

x x

xx

3 8 7

7 1 –

í

8

x 7

2 + +

e o

= e ( )( )

( )( )( )

l mí8 xx7x3x1x7 1

x 7

+

=

= e ( )

( )( )

l mí8 xx1x3 1

x 7

+

(18)

10

Una potente herramienta para el cálculo de límites

Página 225

1 Hallar los siguientes límites aplicando la regla de L'Hôpital:

a) l m8í

x –1 xx3 x22x– –x x1

3 2

++ + b) xl mí80 e xx–1

x

2 +

c) l mí8

x 0

( )

coscos x x

sen x 1+ x d) l mí

8

x 0 esen xe

x x

e) l mxí80 (cos x + sen x)1/x f ) l mí 8

x +∞ (1 – 21/x )x

g) l mxí82 (3 –x)2/(x2–4)

h) xl mí85 x2x– –9 45

a) l mx8í 1

xx3 x22x– –x x1

3 2

++ + = d n00 = l mx8í –1 33xx2 24xx11 00 2

+

+ + =d n = l mí

8

x –1 66xx+ =+24 ––24 = 12

b) l mí8

x 0 e xx 1

x

2 – +

= d n00 = l mí8

x 0 –e2x 1 00

x

+ =d n = l mí8

x 0 e2 21

x

=

c) l mxí80 sen xx(cos1+cosx x) = d n00 = l mx8í 0 cosx(1cos+cosx x sen x+x sen x sen x)+( ()– ) =2

d) l mxí80 exsen xex = d n00 = l mxí80 excos x+ex =2

e) Para poner l mxí80 (cos x + sen x)1/x en forma de cociente, tomamos logaritmos en f (x) = (cos x + sen x)1/x.

l mxí80 (ln [ f (x)]) = l mxí80 dx1 ln cos( x sen x+ )n = l mxí80 (ln cosx sen xx+ ) =d n00 =

= lmí8

x 0 (

)/( )

cos cos

sen x x x sen x

1 1

– + + = l mí

8

x 0 f (x) = e 1 = e

f ) l mx8í+ (1 – 21/x )x = l mí 8

x +∞ 1 2–1/x 00 /x 1

=d n = l mx8í+

( / ) ·( / )· ln

x x

1

2 1 2

– – /x

2

1 2

=

= l mx8í + (–21/x ) · ln 2) = –ln 2 = ln

2 1

g) Para poner l mí8

x 2 (3 –x)2/(x –4) 2

en forma de cociente, tomamos logaritmos en f (x) = (3 – x)2/(x 2 – 4).

l mxí82 (ln [ f (x)]) = l mxí82 ln( ) x

x

4

2 3

0 0 –

2 =d n = l mxí82 32xx

2

21 –

– – =

h) l mx8í 5 x2x– –9 45 = d n00 = l mxí85 x x

1

2 9

2

2 25 910 45 –

2

(19)

19

11

Continuidad en un intervalo

Página 227

1 Encuentra cuatro intervalos distintos en cada uno de los cuales tenga una raíz la ecuación siguiente: 2x 4 – 14x 2 + 14x – 1 = 0

Busca los intervalos entre – 4 y 3. Comprueba que f (1,5) < 0 y tenlo en cuenta. Consideramos la función f (x) = 2x 4 – 14x 2 + 14x – 1.

Tenemos que f (x) es continua en y que: ( )

( )

f f

4 231 0

3 7 0

– –

> < =

=

4

Hay una raíz en (– 4, –3).

( ) ( )

f f

0 1 0

1 1 0 – < > =

=

4

Hay una raíz en (0, 1).

( )

( , ) ,

f f

1 1 0

1 5 –1 375 0 >

< =

=

4

Hay una raíz en (1; 1,5).

( , ) ,

( )

f f

1 5 1 375 0

2 3 0 – < >

=

=

4

Hay una raíz en (1,5; 2).

2 Comprueba que las funciones e x + e –x – 1 y e x – e –x se cortan en algún punto. Consideramos la función diferencia:

F (x) = e x + e –x – 1 – (e x – e –x) = e x + e –x – 1 – e x + e –x = 2e –x – 1 F (x) es una función continua. Además:

( )

( ) ,

f f

0 1 0 1 –0 26 0

> < =

=

4

signo de F (0) ≠ signo de F (1).

Por el teorema de Bolzano, existe c (0, 1) tal que F (c ) = 0; es decir, existe c ∈ (0, 1) tal que las dos funciones se cortan en ese punto.

3 Justifica cuáles de las siguientes funciones tienen máximo y mínimo absoluto en el intervalo co-rrespondiente:

a) x 2 – 1 en [–1, 1] b) x 2 en [–3, 4] c)

x1–1 en [2, 5]

d) x11 en [0, 2] e)

x

1+1 2 en [–5, 10] f ) e –x en [0, 1] a) f (x) = x 2 – 1 es continua en [–1, 1]. Por el teorema de Weierstrass, podemos asegurar que tiene un

máximo y un mínimo absolutos en ese intervalo.

b) f (x) = x 2 es continua en [–3, 4]. Por tanto, también tiene un máximo y un mínimo absolutos en ese

intervalo.

c) f (x) = x 11 es continua en [2, 5]. Por tanto, tiene un máximo y un mínimo absolutos en ese inter-valo.

d) f (x) = x 11 no es continua en [0, 2], pues es discontinua en x = 1. No podemos asegurar que tenga máximo y mínimo absolutos en ese intervalo. De hecho, no tiene ni máximo ni míminimo absolutos puesto que:

ílm

8

x 1 f (x) = – ∞ y l mx8í 1+ f (x) = + ∞

e) f (x) =

x

1+1 2 es continua en [–5, 10]. Por tanto, tiene máximo y mínimo absolutos en ese intervalo. f) La función f (x) = e –x es continua en , luego lo es en el intervalo [0, 1]. Por tanto, por el teorema

(20)

E

jercicios y problemas resueltos

Página 228

1.

Operaciones con límites

Hazlo tú. Siendo f, g, h, u y v las funciones anteriores, calcula el límite de estas funciones cuando

x + :

a) v (x)u (x) b) u (x)g (x) c) g (x) · u (x)

a) x8l mí+ v (x)u (x) = (0,4)(+ ∞) = 0

b) x8l mí+ u (x)g (x) = (+ ∞)(– ∞) = 0

c) x8l mí+ [ g (x) · u (x)] = (– ∞) · (+ ∞) = – ∞

3.

Comparación de infinitos

Hazlo tú. Comparando los órdenes de infinito, asigna límite a estas expresiones:

a) l mx8í+

x

102 –5

x

2 b) xl m8í+∞ 10xx2–15 5

a) x8l mí+ x

102 –5 x

2 = + ∞ porque cualquier función exponencial de base mayor que 1 es un infinito de

orden superior a cualquier potencia.

b) x8l mí+ x x

10 2––15

5

= + ∞ porque el numerador tiene mayor grado que el denominador.

Página 229

4.

Cálculo de límites

Hazlo tú. Calcula los límites siguientes:

a) l mx8í+ c4x3x2m2x–1 b) xl m8í+ (log x)1 – 3x c) xl mí82 x x

2 3 1

2 2 – –

+

d) l mí

8

x 4 x6 2 x1–4 +

c m e) x8l mí

|xx––11| 2

f) x8l mí+

eexee x x x

+

a) x8l mí+ d4x3x–2n2x–1= d n34 ( ∞)+ = +∞

b) x8l mí+ (log x)1 – 3x = (+ ∞)(– ∞) = 0

c) ( )( )00 Indeterminación.

l mxí82 x x

2 3

2 1 2 – –

+ = l mí

8 x 2

·

x x

21 3 2 1

2 1

4 1

Figure

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Referencias

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