RELACIÓN MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
1º Dadas las matrices:
5 4 3 1
A y
0 4 8 7
B . Calcula:
a) A+B b) A-B c) 2.A-3B d) At.B
2º
a) Halla los valores de x e y que verifican: 4 5 3 1 2 3 1 y x x
b) Dado
0 1 a a
A , calcule el valor de a para que A2 sea la matriz nula.
c) Dada la matriz
1 1 2 1
M , calcule la matriz (M-1.Mt)2
3º Sean las matrices
1 1 3 2
A ,
1 5 3 2 B y 0 3 2 0 0 2 C .
a) Calcule las matrices X e Y si X+2Y=2A y X+B=2Y.
b) Analice cuáles de las siguientes operaciones con matrices se pueden realizar, indicando en los casos afirmativos las dimensiones de la matriz D:
A+D=C A.D=Ct D.A=C D.A=Ct
4º a) Dada la matriz
1 0 0 7 1 0 6 5 1
A , calcule (I3-A)3.
b) Dadas las matrices 3 1 b a
B ,
2 1
C ,
10 5
D , determine a y b de manera que B.C-D=O, siendo O la matriz nula.
5º Dadas las matrices 0 1 1 0
M y
1 2 b a
A , calcule los valores de a y b para que se verifique la ecuación M.A=A.
6º Sean las matrices. 0 2 1 a
P ,
b Q 4 8 5 1 1
y
50 10 10 6 d c R .
a) Calcule, si es posible, P.Q y Q.P, razonando la respuesta.
b) ¿Cuánto deben valer las constantes a, b, c y d para que P.2Q=R? 7º Comprueba que las siguientes matrices son ortogonales:
(Se define una matriz ortogonal como una matriz cuadrada cuya matriz inversa coincide con su traspuesta.) 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2 / 1 A 2 2 1 2 1 2 1 2 2 3 1 B
8º Sean las matrices 1 1 1 2
A ,
0 1 x x
B y
2 1 1 0 C .
a) Encuentre el valor o valores de x de forma que B2=A. b) Igualmente para que B+C=A-1.
9º Dada la matriz 1 0 0 1
A , halle A2004.
10º Dada la matriz:
1 0 0 0 1 0 0 0 1
A . Calcula: A2, A3, A4 y A183.
11º Dada la matriz:
1 0 0 0 1 1 0 1 1 n
A calcula An.
12º Sean las matrices 2 1 2 1
A ,
2 1 1 2 2 1 B , 4 8 8 12 4 8 C
a) Calcule A2.
b) Resuelva la ecuación matricial A.X+4B=Ct.
13º Sean las matrices 2 3 1 2
A y
4 1 2 3 B .
a) Determine la matriz X tal que A+2.X=B. b) Calcule la matriz Y, sabiendo que:
9 6 .Y B
14º Sean las matrices
2 0 1 1 1 0 2 1 1
A ,
0 2 1 1 2 1
B , C=(2 1), D=(1 -1 2).
a) Estudie cuáles de los siguientes productos de matrices se pueden realizar, indicando las dimensiones de la matriz resultante:
A.Bt, Ct.D, Bt.D y D.Bt.
b) ¿Es posible despejar la matriz X en la ecuación X.A-1+2B=3Ct.D?.
c) Calcule la matriz A.(Bt-2Dt.C). 15º Se consideran las matrices
1 0 1 a
A y
0 4 / 3 0 2 / 1
B siendo a un número real cualquiera. a) Obtenga la matriz A2014.
b) Para a=2, resuelva la ecuación matricial A3.X-4B=O
16º Sean las matrices 1 2 7 1
A y
2 5 0 1 B .
a) Calcule las matrices X e Y para las que se verifica X+Y=A y 3X+Y=B. b) Halle la matriz Z que verifica B.Z+Bt=2.I2.
17º
a) Despeja la matriz X en al ecuación 2X-B=AX. b) Halla la matriz X sabiendo que:
1 3 1 0 1 2 1 0 1
A y
3 4 3 3 2 1 B .
18º Sean las matrices:
2 1 3 0 1 0 1 4 1 A , 1 0 1 1 2 0 3 1 2
B y
1 0 2 2 3 0 6 2 5
C . Determine
19º Sean las matrices
b a
A 2 1 y
0 3
1 1
B .
a) Obtenga a y b sabiendo que
1 2
2 5
2
A . ¿Es A simétrica?
b) Para los valores a=3 y b=1 calcule la matriz X tal que A.B=2.(X-3I2)
20º Sean las matrices
5 3 5
2 0 5 1
A
5 4 5 4
1 5 3
B
3 1 2
1 0 1
C .
a) Resuelva la ecuación matricial (2A+B).X=3A-B.
b) Determine en cada caso la dimensión de la matriz D para que se puedan realizar las siguientes operaciones: C.D+A, Ct.D.C, D.Ct, C.D.Ct.
21º a) Se consideran las matrices
2 5
1 3
A y
2 3
1 2
B . Determine la matriz X que verifica: B.X=3A+At.
b) Calcule la matriz Y que verifica
6 12 6 . 1 2
5 1
5 2
Y
22º Una fábrica produce dos tipos de productos, A y B, que distribuye a tres clientes. En el mes de enero el primer cliente compró 9 unidades de A y 5 de B, el segundo cliente 3 de A y 7 de B, y el tercer cliente 4 de A y 6 de B. En el mes de febrero el primer cliente y el segundo duplicaron las compras del mes anterior, y el tercer cliente compró de cada producto una unidad más de las que compró en enero. En marzo el primer cliente no compró nada, y el segundo y el tercero compraron lo mismo que en febrero.
a) Para cada mes construya la matriz de dimensión 3x2 correspondiente a las compras de ese mes.
b) Calcule la matriz de compras del trimestre.
c) Si los precios de los productos A y B son, respectivamente, 80 y 100 euros, calcule lo que factura la fábrica en el primer trimestre, por cada cliente y en total.
23º Los alumnos de 2º de Bachillerato organizan una venta de pasteles para el viaje de fin de curso. Venden pasteles grandes, que necesitan 2 huevos, 5 terrones de azúcar y 100 g de harina cada uno, y pasteles pequeños, que necesitan 1 huevo, 3 terrones de azúcar y 80 g de harina cada uno.
a) Presente en una matriz M, de dimensión 3x2, las cantidades de los elementos necesarios para la elaboración de un pastel grande y uno pequeño.
b) Si desean fabricar 20 pasteles de una clase y 30 de otra, escriba las dos matrices columna, A (20 grandes y 30 pequeños) y B (30 grandes y 20 pequeños) que representa este reparto.
c) Calcule los productos M.A y M.B e indique si con 8 docenas de huevos, 200 terrones de azúcar y 5 kg de harina se pueden elaborar 20 pasteles grades y 30 pequeños. ¿Y 30 grandes y 20 pequeños?
24º Una empresa vende tres artículos diferentes A, B y C, cada uno de ellos en dos formatos, grandes y normal. En la matriz F se indican las cantidades de los tres artículos, en cada uno de los dos formatos, que ha vendido la empresa en un mes. En la matriz G se indican las ganancias, en euros, que obtiene la empresa por cada unidad que ha vendido de cada artículo en cada formato.
normal grande C
B A F
140 250 200
80 150 100
normal grande C
B A G
3 5 4
a) Efectúa los productos Ft.G y F.Gt
b) Indique en qué matriz se pueden encontrar las ganancias que ha recibido la empresa en ese mes por el total de las unidades vendidas de cada uno de los tres artículos y especifique cuáles son esas ganancias.
c) Indique en qué matriz se pueden encontrar las ganancias que ha recibido la empresa en ese mes por el total de las unidades vendidas en cada uno de los dos formatos, especifique cuáles son esas ganancias y halle la ganancia total.
25º Sean A, B y C matrices con 2, 3 y 2 filas respectivamente. Sabiendo que el producto de matrices A.B.C es posible y que el resultado es una matriz con 4 columnas, halle las dimensiones de dichas matrices.
26º Calcular las matrices A y B tales que:
15
4
0
2
3
5
A
B
y
9
2
1
1
2
3
A
B
27º Resuelva la ecuación matricial: A.X-I2=2B2. Con
2 0
1 1
A y
1 1
1 3 B
28º En un comercio de bricolaje se venden listones de madera de tres longitudes: 0,90 m, 1,5 m y 2,4 m, cuyos precios respectivos son 4 euros, 6 euros y 10 euros. Un cliente ha comprado 19 listones, con una longitud total de 30 m, que le han costado 126 euros en total. ¿Cuántos listones de cada longitud ha comprado este cliente?
29º Una tienda dispone de latas de conserva de tomate de tres fabricantes: A, B y C. El fabricante A envasa el tomate en latas de 250 g, el fabricante B lo envasa en latas de 500 g y el fabricante C en latas de 1 kg. Esas latas de tomate se venden a 1, 1.8 y 3.3 euros, respectivamente. Compramos en total 20 latas, que pesan un total de 10 kg y nos cuestan 35.6 euros. Queremos saber cuántas latas de cada fabricante hemos comprado.
30º Un taller de carpintería ha vendido 15 muebles, entre sillas, sillones y butacas, por un total de 1600 euros. Se sabe que cobra 50 euros por cada silla, 150 euros por cada sillón y 200 euros por cada butaca, y que el número de butacas es la cuarta para del número de suman los demás muebles.
Calcula cuántos muebles de cada clase ha vendido ese taller.
31º El cajero de un banco sólo dispone de billetes de 10, 20 y 50 euros. Hemos sacado 290 euros del banco y el cajero nos ha entregado exactamente 8 billetes. El número de billetes de 10 euros que nos ha dado es el doble del de 20 euros. Obtener el número de billetes de cada tipo que nos ha entregado el cajero.
32º De una matriz cuadrada, A, de orden 3 se conocen los siguientes elementos: a12=a21=-2,
a13=a31=0, a23=a32=1. Determine los demás elementos de la matriz A sabiendo que debe cumplirse
la ecuación A.B=Ct, donde Bt=(1 -1 1) y C=(-4 2 -1).
33º De una matriz A se sabe que su segunda fila es (-1 2) y su segunda columna
3 2 1
. Halle los
restantes elementos de A sabiendo que
1 0
0 0 . 1 0 2
1 1 1
A
34º Sea la matriz
1 1
3 m m
m A
a) Calcule los valores de m para que dicha matriz tenga inversa. b) Haciendo m=0, resuelva la ecuación matricial A.X.A=I2
35º Si las matrices
0 1 0
1 0 1
0 1 0
C y
0 1 1
1 0 1
1 1 0
