Formación de ondas de choque como solución de la ley de conservación no lineal Ut + f (U) x =0”

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(1)Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. PO. SG. TRABAJO:. RA DO. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA DE POSTGRADO UNIDAD DE POSTGRADO EN CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS. “FORMACION. DE. DE ONDAS DE CHOQUE COMO SOLUCION DE LA LEY DE CONSERVACION NO LINEAL Ut + f (U) x =0”. CA. TESIS PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS FISICAS. Br. CACHAY TORRES ROBERTH. Dr. JOSE ANGEL ROLDAN LOPEZ.. BI. BL. IO. ASESOR:. TE. AUTOR:. Trujillo- Perú 2017 Nº REG: ..……. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(2) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. RA DO. DATOS PERSONALES DEL AUTOR. :. CACHAY TORRES ROBERTH. DIRECCIÓN. :. JIRON UNIÓN 694-700 TRUJILLO. TELEFONO FIJO. :. CELULAR. :. 957479869. CORREO ELECTRONICO. :. [email protected]. BI. BL. IO. TE. CA. DE. PO. SG. APELLIDOS Y NOMBRES. ii Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(3) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. RA DO. JURADO CALIFICADOR. Ms. JULIO CESAR IDROGO CÓRDOVA. DE. PO. SG. PRESIDENTE. CA. Ms. HERNAN ARQUIMEDES CUTI GUTIERREZ. BI. BL. IO. TE. SECRETARIO. Dr. JOSÉ ANGEL ROLDÁN LOPEZ MIEMBRO DEL JURADO. iii Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(4) BI. BL. IO. TE. CA. DE. PO. SG. RA DO. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. iv Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(5) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. A DIOS – EL AMOR Porque en cada instante,. RA DO. DEDICADO. PO. SG. Siempre está allí, en cada rincón, Bendiciéndome.. DE. A MIS PADRES Y HERMANO Aladino y Consuelo. CA. Y mi hermano. A MI ESPOSA RINA CUBA Y A MIS HIJAS Valeria, Almudena Y Noa.. BI. BL. IO. TE. Rimmy Cachay Torres. ii Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(6) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. AGRADECIMIENTO. A Dios, quien siempre de alguna manera ha guiado mis pasos, protegiéndome y. RA DO. Bendiciéndome constantemente en mi vida.. A mis padres por su apoyo constante e incondicional, y no podía olvidar a una persona igual de importante que siempre está allí en mi vida, mi tía o mamá Olguita,. SG. siempre los llevo dentro.. Quiero también darle las gracias a mi familia, a mis hijas y mi esposa por su constante apoyo, quienes han hecho más llevadero el tiempo que he tardado en. PO. completar este trabajo.. A todos mis profesores del departamento de Ciencias físicas de la universidad. DE. Nacional de Trujillo y a los del departamento de física Teórica dirigidos por el Profesor Dr. Antonio Rivasplata Mendoza, donde encontré el ambiente adecuado. CA. para redactar esta tesis.. Y por último sin que esto signifique no menos importante, al profesor Dr. José. TE. Roldan López, por ese apoyo que me ha brindado a lo largo de la elaboración de este muchas gracias señor. El Autor. BI. BL. profesor.. ideas y sugerencias,. IO. trabajo de investigación, por sus. iii Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(7) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Índice I. INTRODUCCION………………………………………………………………………………………………………………………..5 II. BREVE TEORIA MATEMÁTICA DE LAS LEYES DE CONSERVACION……………………………………….……11. RA DO. 2.1 ORIGEN DE LA ECUACION DE LA LEY DE CONSERVACION…………………………………………………11 2.2 ECUACION DE TRANSPORTE LINEAL…………………………………………………………………………………14 2.3 RESOLUCION NUMERICA DE LA ECUACION DE TRANSPORTE LINEAL……………………………….15. SG. 2.4 LEY DE CONSERVACION NO LINEAL Y CURVAS CARACTERISTICAS…………………………………….19 III. ONDAS DE CHOQUE EN FISICA ……………………………………………………………………………………………..30. PO. 3.1 El FACINANTE MUNDO DE LAS ONDAS DE CHOQUE………………………………………………………..30 IV. METODOS NUMERICOS PARA LEYES DE CONSERVACION………………………………………………………36 4.1 MODELACION NUMERICA DE LA LEY DE CONSERVACION NO LINEAL……………………………….36. DE. 4.2 METODOS NUMERICOS POR DIFERENCIAS FINITAS APLICADOS A UNA CONDICION INICIAL DISCONTINUA………………………………………………………………………………………………………………...43. CA. 4.2.1 METODO NUMERICO CONSERVATIVO PARA EL PROBLEMA NO LINEAL…………………….47. TE. 4.2.2 METODO UPWIND CONSERVATIVO APLICADO A UN PROBLEMA QUE TIENE SOLUCION ANALITICA ………………………………………………………………………………………………………………………………..56 V RESULTADOS Y DISCUSIÓN……………………………………………………………………………………………………..62. IO. VI CONCLUSIONES……………………………………………………………………………………………………………………..72. BL. VII PROPUESTA………………………………………………………………………………………………………………………….74 VIII BIBLIOGRAFIA………………………………………………………………………………………………………………………75. BI. IX ANEXOS…………………………………………………………………………………………………………………………………76. iv Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(8) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. RESUMEN En el presente trabajo recogemos los resultados del estudio teórico de la ley de conservación. no. lineal. y. algunos. métodos. numéricos. para. simularlos. cuadrático 𝑓(𝑈) =. 𝑈2 2. RA DO. computacionalmente; hemos considerado la ley de conservación no lineal con flujo , este flujo es habitual en muchas leyes físicas, por eso se ha. tomado en consideración este modelo. Se trata de una ley, según la cual cierta. SG. magnitud (masa, energía) de un sistema se mantiene constante a lo largo del tiempo.. PO. Para ello se ha considerado las siguientes variables de estudio la densidad, velocidad las cuales son a su vez funciones de la posición y el tiempo. Para el caso no lineal la. DE. velocidad en función de la densidad.. Primero se ha realizado un estudio teórico de la ley que define el comportamiento. CA. de la solución para todo tiempo t, la cual nos lleva a la conclusión que la solución. TE. deja de ser válida a partir de cierto tiempo, las solución se rompe (Break), la modelación numérica fue vital para apreciar este suceso. En segundo lugar el. IO. planteamiento de una solución tipo onda de choque, que nos permite encontrar una. BL. solución para todo tiempo.. BI. Con la simulación numérica se pudo trazar el camino de la onda de choque. La aparición de ondas de choque hace que tengamos un especial cuidado a la hora de realizar métodos numéricos, para aproximar las soluciones. Esto nos permitió establecer que los métodos numéricos llamados conservativos, son los que nos brindan mejores resultados. 1 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(9) BI. BL. IO. TE. CA. DE. PO. SG. RA DO. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. 2 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(10) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. ABSTRACT In the present work we collect the results of the theoretical study of the law of. RA DO. nonlinear conservation and some numerical methods to simulate them computationally; we have considered the law of nonlinear conservation with quadratic flow 𝑓(𝑈) =. 𝑈2 2. , this flow is habitual in many physical laws, reason why. SG. this model has been taken into consideration. It is a law, according to which a certain magnitude (mass, energy) of a system remains constant over time.. PO. For this purpose we have considered the following variables of study density, velocity which are in turn functions of position and time. For the nonlinear case the. DE. velocity as a function of density.. CA. First a theoretical study of the law that defines the behavior of the solution for all time t has been carried out, which leads us to the conclusion that the solution stops. TE. being valid from a certain time, the solution breaks, The numerical modeling was. IO. vital to appreciate this event. Second is the approach of a solution shock wave type,. BL. which allows us to find a solution for all time. With the numerical simulation the path of the shock wave could be traced. The. BI. appearance of shock waves makes us take special care when performing numerical methods, to approximate the solutions. This allowed us to establish that the numerical methods called conservative are the ones that give us better results.. 3 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(11) BI. BL. IO. TE. CA. DE. PO. SG. RA DO. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. 4 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(12) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. I INTRODUCCION Empezamos esta introducción con una frase dada por uno de los Físicos más celebres. RA DO. de nuestro tiempo el señor Albert Einstein, que dice así: ’’ Las leyes de la naturaleza no pueden ser lineales’.. Existe un vasto y activo campo de estudio en las ecuaciones diferenciales no lineales, y en especial de la ley de conservación no lineal de la masa.. SG. Las leyes de conservación forman una parte muy importante de las ecuaciones en. PO. Derivadas parciales, puesto que, como su nombre indica, incluyen aquellas ecuaciones que modelan las leyes de conservación que surgen en la física. Se trata. DE. de leyes físicas según las cuales ciertas magnitudes de un sistema se mantienen constantes a lo largo del tiempo. Ejemplos clásicos son la ley de conservación de la. otras muchas áreas.. CA. energía, la del momento, la de la masa...aunque cada vez surgen más modelos en. TE. Muchos sistemas físicos del mundo real, que incluyen la dinámica de los gases, la. IO. mecánica de fluidos, elasticidad, relatividad, neurología, termodinámica y muchas más son modelados por este tipo de ecuaciones. poco. BL. Históricamente. fue. conocido. acerca. del. extraordinario. rango. de. BI. comportamiento exhibido por las soluciones de la ley de conservación. Muchos de los fenómenos más fundamentales que ahora guían la investigación. moderna de hoy, que incluyen solitones, caos, estabilidad , rompimiento y formación de singularidades, Etc. Permanecieron indetectados o mejor dicho poco. 5 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(13) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. claros en la época de la pre- computadoras, los últimos sesenta años han sido testigos de un florecimiento notable en nuestro entendimiento, debido en gran parte a la alta. de esquemas de aproximación numérica aceptables.. RA DO. performance de las computadoras acoplados con grandes avances en el desarrollo. Nuevos métodos analíticos, nuevas teorías matemáticas, acoplados con nuevos algoritmos computacionales. han precipitado esta revolución en nuestro. SG. entendimiento y estudio de ecuaciones diferenciales parciales no lineales.. Uno de los más importantes fenómenos no lineales, es el rompimiento de soluciones. PO. en un tiempo finito, resultando en la formación de ondas de choque discontinuas y posteriormente una solución multivaluada.. DE. Un ejemplo sorprendente de onda de choque es el boom supersónico producido por. BI. BL. IO. TE. CA. un aeroplano que rompe la barrera del sonido.. Figura01. Onda de choque que viaja junto al morro de un objeto supersónico. (Fuente: NASA). 6 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(14) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. El trabajo que se presenta en esta tesis se trata del estudio de la ley de conservación no lineal y homogénea 𝒖𝒕 + 𝒇(𝒖)𝒙 = 𝟎 , donde f (u) es función no lineal; de la forma. 𝑈2 2. .. RA DO. La idea es realizar un estudio del comportamiento de las soluciones de la ecuación y diseñar de un método numérico eficiente para el cálculo de dichas soluciones y su evolución en el tiempo.. SG. Esta ley de conservación se origina en muchos modelos en física e ingeniería, como: el diseño de aviones (ecuaciones de Euler), dinámica de fluidos computacional, flujos reactivos. PO. (combustión, detonaciones), flujos multifasicos (petróleo), teoría de la relatividad, mecánica cuántica, etc. esta es una lista parcial de temas que necesitan las leyes de. DE. conservación para describir el fenómeno físico [1].. Muchos de estos modelos necesitan sistemas ecuaciones de leyes de conservación que son. CA. no lineales, y a veces multidimensionales y su solución representa un formidable desafío.. TE. El joven físico húngaro G. Zemplen en 1905 de la universidad de Budapest fue el primero. IO. que dio una definición concisa de onda de choque. De acuerdo a Zemplen una onda de choque es una superficie de discontinuidad que se propaga en un gas para el cual la densidad. BL. y la velocidad experimentan cambios abruptos [1].. BI. Otro ejemplo que podemos citar como onda de choque es cuando tenemos petróleo y agua, se sabe que el petróleo y el agua no se mezclan, y la interfaz entre las regiones con petróleo y con agua constituye lo que se define matemáticamente como un choque (shock).. 7 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(15) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. La dinámica de las ondas de choque también es vital en la explotación de hidrocarburos en yacimientos petrolíferos. Incluso en fenómenos cotidianos como los atascos de tráfico en carreteras fuertemente congestionadas, experimentamos las ondas de choque cuando hay. RA DO. acumulación de vehículos. Los choques no se originan en las colisiones de los coches, sino en las variaciones abruptas de la densidad de distribución de los mismos.. Todo este abanico de ejemplo que hemos citado, quizás explica el mayor esfuerzo que se. SG. viene haciendo en el área de física computacional de las leyes de conservación no lineal.. PO. Para la ley de conservación no lineal 𝒖𝒕 + 𝒇(𝒖)𝒙 = 𝟎 la cual es susceptible de ser estudiada, por ejemplo mediante el método de las características; No obstante en la mayoría de los. DE. casos de interés, la solución no puede ser completada tan solo con la ayuda de las características, esto se debe a la existencia de ondas con perfiles no suaves e incluso. CA. discontinuos (ondas de choque). Tras la apariencia simple de la ley de conservación se esconden varias dificultades, como la aparición de las ondas de choque sobre las que habrá. TE. de tener un cuidado especial.. IO. En muchos problemas físicos donde esta teoría se origina 𝒖(𝒙, 𝒕) es justamente la densidad. BL. de algún medio y es inherentemente simplemente valuada.. BI. Por lo tanto cuando el rompimiento ocurre la solución deja de tener sentido físico y la misma ley de conservación no lineal deja de ser válida como una descripción del problema físico.. 8 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(16) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Esto naturalmente llama la atención a muchos físicos, matemáticos e ingenieros interesados por las dificultades que se originan.. RA DO. Para desarrollar un estudio eficiente en esta tesis, es necesario observar el comportamiento de las soluciones de la ley de conservación no lineal, por tanto la modelación numérica nos permitirá ver dicho comportamiento y de esta manera entender la estructura analítica de las soluciones [2] [3].. SG. La teoría físico matemática de las leyes de conservación fueron iniciadas por Eberhart Hopf. PO. en 1950, posteriormente James Glimm en 1965 introdujo un numero de sorprendentes nuevas ideas.. DE. La experimentación numérica es vital para ver dicho comportamiento y eso es lo que se pretende hacer en esta investigación. La ley de conservación no lineal es una ecuación. CA. diferencial parcial y al ser no lineal ella exhibe una gran variedad de fenómenos difíciles.. TE. Como podemos ver es importante el estudio de la ley de conservación no lineal, el comportamiento de sus soluciones, así como el estudio y generación de un método. IO. numérico eficiente que nos garantice soluciones adecuadas.. BL. Esto nos invita a plantearnos varias interrogantes como: ¿es posible encontrar una solución. BI. aceptable desde el punto de vista físico y de esta manera evitar que la ley de conservación deje de ser válida a partir del rompimiento? ¿Qué sentido tiene tal discontinuidad? ¿Qué puede significar el rompimiento de una solución suave o regular? ¿Es posible generar métodos numéricos eficientes para tal ley de conservación no lineal?. 9 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(17) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. En el presente trabajo vamos a dar respuesta a estos interrogantes, así como también se resolverá la ley de conservación no lineal, planteando una solución física aceptable a partir de hechos físicos que se dan en la naturaleza, y por ultimo resolveremos es problema. BI. BL. IO. TE. CA. DE. PO. SG. RA DO. haciendo uso de métodos computacionales para su comprobación y modelación.. 10 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(18) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. II BREVE TEORIA MATEMÁTICA DE LAS LEYES DE CONSERVACION 2.1 ORIGEN DE LA ECUACION DE LA LEY DE CONSERVACION. RA DO. Esta sección está dedicada a la introducción a las leyes de conservación escalares. En ella mostraremos los principales resultados respecto a estas y que usaremos más adelante en las aplicaciones. Nos vamos a centrar, sobre todo, en el caso unidimensional.. SG. Una ley de conservación afirma que la razón de cambio de una cantidad total de sustancia. PO. contenida en un dominio fijo G es igual al flujo de esa sustancia a través de la frontera G. Denotando la densidad de esa sustancia por 𝑢 y el flujo por 𝑓 , la ley de conservación es: ∫𝐺 𝑢𝑑𝑥 = − ∫𝜕𝐺 𝑓 . 𝑛 𝑑𝑆. (2.1). DE. 𝑑 𝑑𝑡. CA. Aquí 𝑛 denota la normal hacia afuera de G y 𝑑𝑆 el elemento de superficie sobre 𝜕𝐺 la frontera de G, de modo que la integral de la derecha en (2.1) mide el flujo hacia afuera en 𝑑. TE. consecuencia el signo menos. Aplicando el teorema de la divergencia y tomando 𝑑𝑡 bajo el. BL. IO. símbolo de la integral, obtenemos ∫𝐺 (𝑢𝑡 + 𝑑𝑖𝑣 𝑓) 𝑑𝑥 = 0. (2.2). BI. Dividiendo por el volumen G y reduciendo G a un punto donde todas las derivadas de 𝑢 y 𝑓son continúas nosotros obtenemos la ley de conservación diferencial 𝑢𝑡 + 𝑑𝑖𝑣 𝑓 = 0. (2.3). 11 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(19) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, como nuestro campo vectorial 𝑓 esta expresado en coordenadas cartesiana, tomaremos el operador gradiente en la dirección x, para la componente x de 𝑓 es decir. RA DO. 𝜕𝑓. ∇𝑓 = 𝜕𝑥 = 𝑓𝑥. (2.4). Tomamos en una dirección, porque del estudio y análisis hecho en una dirección se. PO. 𝑢𝑡 + 𝑓𝑥 = 0. SG. generalizara para las otras direcciones, de esta manera mi ecuación (2.3) quedaría como: (2.5). Donde 𝑓 es función no lineal de 𝑢, así tenemos 𝑑𝑓. DE. 𝑢𝑡 + 𝑑𝑢 𝑢𝑥 = 0 𝑑𝑓. (2.6). CA. Si 𝑑𝑢 = 𝑎(𝑢), entonces (2.6) queda así. (2.7). TE. 𝑢𝑡 + 𝑎(𝑢)𝑢𝑥 = 0. Ahora buscamos una solución de la forma 𝑢 = 𝑢(𝑥(𝑡), 𝑡), encontrando la derivada respecto. BL. IO. al tiempo de esta solución. 𝑑𝑢 𝑑𝑡. =. 𝜕𝑢 𝜕𝑡. 𝑑𝑥 𝜕𝑢. + 𝑑𝑡 𝜕𝑥. (2.8). BI. 𝑑𝑥. Haciendo 𝑑𝑡 = 𝑎(𝑢); que llamamos ecuación de las trayectorias o velocidad de la señal; de. esta manera comparando (4.8) y (4.9) vemos que: 𝑑𝑢 𝑑𝑡. =0. (2.9). 12 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(20) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Entonces decimos que 𝑢((𝑥, 𝑡), 𝑡) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, ∀ todo tiempo t, a lo largo de las trayectorias 𝑥 = 𝑥(𝑡), la cual se propaga con velocidad. 𝑑𝑥 𝑑𝑡. = 𝑎(𝑢), esto nos informa que. RA DO. 𝑢((𝑥, 𝑡), 𝑡) = 𝑢0 = 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙. Note que como 𝑓 es función no lineal de 𝑢 entonces las características y la velocidad de la señal dependerán de la solución 𝑢. Como 𝑢 es constante para todo tiempo t 𝑑𝑥. = 𝑎(𝑢) = 𝑎(𝑢0 ). (2.10). SG. 𝑑𝑡. PO. Entonces la velocidad de la señal es constante; esta ecuación de las características (2.10) se acostumbra a graficar en un plano 𝑡 𝑣𝑠. 𝑥 e integrando dicha ecuación queda como: 𝑥 𝑎(𝑢0 ). −. 𝑥0. (2.11). 𝑎(𝑢0 ). DE. 𝑡=. 1. BL. IO. 𝑡. TE. CA. La pendiente de la ecuación está dado por 𝑚 = 𝑎 la cual es constante. 𝑢((𝑥, 𝑡), 𝑡). BI. * 𝑥 𝑢0. Figura 02. Línea Característica 13 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(21) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Este tipo de solución se denomina solución geométrica, tendremos varias líneas rectas; la constancia de 𝑢 a lo largo de las características muestra que la característica se propaga con. RA DO. velocidad constante.. 2.2 ECUACION DE TRANSPORTE LINEAL. Antes de intentar abordar la ecuación diferencial parcial no lineal de la ley de conservación. ecuación diferencial parcial lineal siguiente. PO. 𝑢𝑡 + 𝑎𝑢𝑥 = 0. SG. que nos compete en nuestro estudio, debemos cuidadosamente revisar la solución de la. (2.12). DE. Llamada ecuación de transporte o ecuación de advección, esta es llamada así porque modela el transporte por ejemplo de un contaminante en un flujo de fluido uniforme.. CA. La Advección se define como el arrastre de la sustancia contaminante por el agua, si solo existiera este proceso el contaminante viajaría a la misma velocidad que el agua y la. TE. extensión ocupada por el contaminante seria la misma, es decir desde el punto de vista. IO. numérico la condición inicial se mantendría constante, la advección simplemente trasporta. BL. las sustancias contaminantes, corresponde a un caso ideal, que no se da en el contexto real.. BI. Permitamos comenzar asumiendo que la velocidad de la onda 𝑎 es constante. De acuerdo a (2.10) cada solución es constante a lo largo de las líneas características de pendiente 𝑑𝑥 𝑑𝑡. =𝑎. , 𝑥 − 𝑎𝑡 = 𝑥0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. (2.13). 14 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(22) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Como consecuencia, las soluciones son ondas viajeras de la forma 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑢0 (𝑥 − 𝑎𝑡). (2.14). RA DO. Para un observador estacionario la solución (2.14) aparece como una onda que se mueve manteniendo su forma a la velocidad 𝑎 . Cuando 𝑎 > 0 , la onda se traslada a ala derecha y cuando 𝑎 < 0 la onda se mueve a la izquierda, mientras que cuando 𝑎 = 0 corresponde a. SG. una onda que permanece fija en su posición original.. PO. 2.3 RESOLUCION NUMERICA DE LA ECUACION DE TRANSPORTE LINEAL: Ahora que ya disponemos de la base analítica suficiente para la interpretación de las leyes. DE. de conservación escalares lineales, vamos a presentar el método numérico que nos permitirán simular computacionalmente las soluciones de dicha ecuación.. CA. A la hora de tratar con la simulación de las leyes de conservación, lo primero que uno piensa. TE. es recurrir al método de diferencias finitas, sobre todo en una única dimensión. Vamos a usar el método de Lax-Wendroff para el cálculo de la solución numérica de la. IO. ecuación de transporte lineal.. BL. Para obtener el método Lax- Wendroff comencemos con el desarrollo en serie de Taylor. BI. para la variable temporal ∞. 𝑢(𝑥, 𝑡)𝑛 (𝑡 + ∆𝑡 − 𝑡)𝑛 𝑢(𝑥, 𝑡 + ∆𝑡) = ∑ 𝑛! 𝑛=0. 15 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(23) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. 𝑢(𝑥, 𝑡 + ∆𝑡) = 𝑢(𝑥, 𝑡) + 𝑢𝑡 ∆𝑡 + 0.5 ∗ 𝑢𝑡𝑡 (∆𝑡)2 + 𝑂((∆𝑡)3 ). (2.15). RA DO. Ahora haciendo uso de la ecuación (2.12), 𝑢𝑡 = −𝑎𝑢𝑥 y remplazando en la última igualdad, en las derivadas temporales, obtenemos 1. 𝑢(𝑥, 𝑡 + ∆𝑡) = 𝑢(𝑥, 𝑡) − 𝑎(∆𝑡)𝑢𝑥 + 𝑎2 2 (∆𝑡)2 𝑢𝑥𝑥 + 𝑂((∆𝑡)3 ). (2.16). DE. 𝑢(𝑥 + ∆𝑥, 𝑡) − 2𝑢(𝑥, 𝑡) + 𝑢(𝑥 − ∆𝑥, 𝑡) + 𝑂(∆𝑥 2 ) 2(∆𝑥)2. CA. 𝑢𝑥𝑥 =. 𝑢(𝑥 + ∆𝑥, 𝑡) − 𝑢(𝑥 − ∆𝑥, 𝑡) + 𝑂(∆𝑥 2 ) 2(∆𝑥). PO. 𝑢𝑥 =. SG. Usando diferencias centradas de segundo orden para 𝑢𝑥 𝑦 𝑢𝑥𝑥 , las cuales son:. TE. Remplazando estas aproximaciones, para las derivadas espaciales en (2.16) obtenemos. IO. 𝑢(𝑥, 𝑡 + ∆𝑡) = 𝑢(𝑥, 𝑡) −. 𝑎2 ∆𝑡 2 [𝑢(𝑥 + ∆𝑥, 𝑡) − 2𝑢(𝑥, 𝑡) + 𝑢(𝑥 − ∆𝑥, 𝑡)] + 𝑂(∆𝑥 2 ) 2∆𝑥 2. BI. BL. +. 𝑎∆𝑡 [𝑢(𝑥 + ∆𝑥, 𝑡) − 𝑢(𝑥 − ∆𝑥, 𝑡] 2∆𝑥. Vamos a truncar el desarrollo de Taylor para obtener una fórmula de aproximación numérica, el aproximado de 𝑢(𝑗∆𝑥, 𝑛∆𝑡) es denotado por 𝑈𝑗𝑛 , observe que en esto 𝑛 es un. superíndice no es una potencia; empleamos esta notación para establecer una firme y clara. 16 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(24) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. distinción entre espacio y tiempo, esto es de importancia en el análisis numérico de. El esquema numérico obtenido es el de Lax- Wendroff 𝑎∆𝑡. 𝑛 𝑛 𝑈𝑗𝑛+1 = 𝑈𝑗𝑛 − 2∆𝑥 [𝑈𝑗+1 − 𝑈𝑗−1 ]+. 𝑎2 ∆𝑡 2 2∆𝑥 2. RA DO. ecuaciones evolucionarias.. 𝑛 𝑛 [𝑈𝑗+1 − 2𝑈𝑗𝑛 + 𝑈𝑗−1 ]. ∆𝑡. SG. Si hacemos que 𝑣 = ∆𝑥 1. 1. PO. 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑈𝑗𝑛+1 = 𝑈𝑗𝑛 − 2 𝑎𝑣(𝑈𝑗+1 − 𝑈𝑗−1 ) + 2 𝑎2 𝑣 2 (𝑈𝑗+1 − 2𝑈𝑗𝑛 + 𝑈𝑗−1 ). (2.17). (2.18). DE. El error de truncamiento de este esquema numérico es 𝜏 = 𝑂((∆𝑥)2 + ∆𝑡 2 ). CA. ∆𝑡. (2.19). 𝑣 = ∆𝑥 Es denominado número de Courant; nosotros podemos agrupar términos comunes. TE. en (2.1) y obtener una formula del método de Lax- Wendroff más fácil de trabajar, haciendo. IO. esto (2.16) queda como:. 1. 𝑎𝑣 2. 𝑛 (𝑎𝑣 − 1)𝑢𝑗+1. (2.20). BL. 𝑛 𝑢𝑗𝑛+1 = 2 𝑎𝑣(𝑎𝑣 + 1)𝑢𝑗−1 + (1 − 𝑎2 𝑣 2 )𝑢𝑗𝑛 +. BI. Este será la formula a utilizar en nuestro esquema numérico, para obtener una solución de la ecuación (2.13). En forma matricial, la ecuación (2.20) seria de la forma. 17 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(25) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. 𝑎𝑣 2. (𝑎𝑣 − 1) ⋱ ⋱ 0 0. 𝑈1 𝑛 ⋮ ⋮ ⋱ 0 … (2.21) ⋮ 𝑎𝑣 ⋱ (𝑎𝑣 − 1) 𝑈 𝑖 2 1 ⋮ 2 2 𝑎𝑣(𝑎𝑣 + 1) (1 − 𝑎 𝑣 ) ) (𝑈 ) 2 𝑁 0 0 …. RA DO. 𝑈1 𝑛+1 (1 − 𝑎2 𝑣 2 ) ⋮ 1 ⋮ 𝑎𝑣(𝑎𝑣 + 1) = 2 ⋮ 0 𝑈𝑖 0 ⋮ ⋮ ( (𝑈𝑁 ). 1. 0 0. 0.1. 0.2. 0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5 0.6 0.7 0.8 x EVOLUCION DE LA CONDICION INICIAL. 0.9. 1. 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 x CARACTERISTICASS - EC. DE TRANSPORTE LINEAL. 1. 0.5. DE. u(x,t). 1. 0. 0. 0.4. CA. IO. -1 -1. 0.3. TE. 1 tiempo t. SG. 0.5. PO. u(x,t=0). FUNCION O CONDICION INICIAL. -0.6. -0.4. -0.2. 0 0.2 posicion x. 0.4. 0.6. 0.8. 1. BI. BL. -0.8. Figura 05. La figura muestra la evolución de la condición inicial, para la ecuación de transporte. lineal 𝑢𝑡 + 𝑎𝑢𝑥 = 0 , con velocidad a=-1; así como también las líneas características correspondientes a esa ecuación, obsérvese que dichas líneas no se interceptan, manteniendo la información constante a lo largo de cada línea característica. 18 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(26) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Podemos ejecutar el programa 1, que está al final del presente trabajo, para obtener la evolución de la solución y el trazado de las características.. RA DO. 2.4 LEY DE CONSERVACION NO LINEAL Y CURVAS CARACTERISTICAS Teniendo claro cómo se han comportado tanto las soluciones como las características para el caso lineal, ahora analizaremos algunas cuestiones matemáticas del caso no lineal, que. 𝑑𝑓. SG. reescribimos a continuación, la ley de conservación no lineal es de la forma:. Donde 𝑓 es función no lineal de 𝑢, del tipo 𝑑𝑓. (2.22). PO. 𝑢𝑡 + 𝑓𝑥 = 0 ; 𝑢𝑡 + 𝑑𝑢 𝑢𝑥 = 0 𝑢2 2. así tenemos. DE. Si 𝑑𝑢 = 𝑎(𝑢), entonces (2.22) queda así. (2.23). CA. 𝑢𝑡 + 𝑎(𝑢)𝑢𝑥 = 0. TE. Obsérvese que para el caso no lineal la velocidad de la característica es función de la solución 𝑢 de 𝑥 y del tiempo 𝑡; velocidad = 𝑎(𝑢((𝑥), 𝑡)); a lo largo de dicha característica 𝑢. IO. se mantiene constante 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑢0 ( 𝑥0 , 𝑡 = 0); esto confirma que la velocidad de la señal. BL. es constante, la solución se mantiene constante a lo largo de la característica.. BI. Construyamos una forma analítica de solución para la ecuación diferencial parcial no lineal [2]; sea la siguiente figura 06.. 19 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(27) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. 2. RA DO. teimpo t. 1.5. 1 (x,t). 0. y 1.5. 2. 2.5. 3 posicion x. 3.5. 4. 4.5. 5. PO. 1. SG. 0.5. DE. Figura 06. Línea característica, arbitraria. El valor de 𝑢 a lo largo de la línea que se origina del punto’ 𝑦 ‘es 𝑢0 (𝑦), sea (𝑥, 𝑡) algún. CA. punto a lo largo de la línea característica,’ 𝑦 ’ la intersección de la característica a través de. TE. 𝑥, 𝑡 con el eje x. Entonces 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡), satisface (2.24). IO. 𝑢 − 𝑢0 (𝑥 − 𝑎(𝑢)𝑡) = 0. Asumo que 𝑢0 es diferenciable, entonces de acuerdo al teorema de la función implícita. BL. (2.24) puede ser resuelto para 𝑢 como una función diferenciable de 𝑥 y de 𝑡, para t. BI. suficientemente pequeño, así encontrando 𝑢𝑡 para la ecuación (2.24) 𝑢𝑡 + 𝑢′ 0 𝑎(𝑢) + 𝑢′0 𝑎𝑢 𝑢𝑡 𝑡 = 0. (2.25). 20 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(28) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Entonces −𝑢0 𝑎(𝑢). (2.26). (1+𝑢′0 𝑎𝑢 𝑡). Ahora encontrando 𝑢𝑥 de (2.24) 𝑢𝑥 − 𝑢′ 0 + 𝑢′0 𝑎𝑢 𝑢𝑥 𝑡 = 0. −𝑢′0 (1+𝑢′0 𝑎𝑢 𝑡). (2.27). (2.28). PO. 𝑢𝑥 =. SG. Despejando 𝑢𝑥 , obtenemos. RA DO. 𝑢𝑡 =. Remplazando 𝑢𝑡 y 𝑢𝑥 en la ley de conservación no lineal (2.23) cumple la ecuación por tanto. DE. queda demostrado que (2.24) es solución de la ecuación no lineal. Tanto 𝑢𝑡 como 𝑢𝑥 permanecen limitados o existen para todo tiempo 𝑡 , si el denominador. CA. tiende a cero a medida que el tiempo 𝑡 avanza o se hace grande; como la ecuación es. TE. genuinamente no lineal nos permitimos asumir 𝑎𝑢 > 0 ∀ 𝑢, entonces si: 𝑦. 𝑢′0 ≥ 0 ∀ 𝑥. (2.29). IO. 𝑎𝑢 > 0. 𝑎𝑢 > 0. 𝑦. 𝑢′0 < 0 Para algún punto x. (2.30). BI. BL. Entonces (2.22) y (2.24) permanecen limitados para todo tiempo t; Pero si:. Entonces (1 + 𝑢′0 𝑎𝑢 𝑡) → 0 en algún tiempo 𝑡, cuando esto sucede, tanto 𝑢𝑡 y 𝑢𝑥 tiende al. ∞, por tanto la derivadas parciales 𝑢𝑡 y 𝑢𝑥 se destruyen, la solución se rompe en un tiempo finito, esto es uno de los más importantes fenómenos no lineales.. 21 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(29) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Analicemos los casos cuando la condición 𝑢0 es función creciente o decreciente, ya que como hemos visto en el párrafo anterior, es la condición inicial la que causa el rompimiento de la solución (BREAK DOWN), vamos analizarlos haciendo uso de las características, ya que. 1° caso: 𝒖𝟎 (𝒙) es función creciente, 𝒂𝒖 > 0. RA DO. como hemos visto a lo largo de ellas la solución se mantiene constante.. Para el caso en que 𝑢0 (𝑥)es creciente, para dos puntos del dominio 𝑥1 < 𝑥2 , entonces se. PO. SG. cumple para funciones creciente 𝑢(𝑥1 ) < 𝑢(𝑥2 ) o 𝑢1 < 𝑢2 .. 8. DE. 7. 4 3 2. IO. 1. BI. BL. 0 -0.5. u2. CA. 5. TE. funcion creciente u0(x). 6. 0. u1 0.5 x 1 1. 1.5. 2 2.5 x 2 3 posicion x. 3.5. 4. 4.5. Figura 07. Función creciente, tramo creciente de la condición. Sabemos que la ecuación de las características está dado por: 𝑑𝑥 𝑑𝑡. = 𝑎(𝑢) = 𝑎(𝑢0 ). (2.31) 22. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(30) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. De (2.31) obtenemos; la característica para graficarlo en el plano 𝑥, 𝑡, dicha ecuación es después de integrar 𝑥 𝑎(𝑢0 ). −. 𝑥0. (2.32). 𝑎(𝑢0 ). RA DO. 𝑡=. Para 𝑢(𝑥1 ) 𝑦 𝑢(𝑥2 ) tendremos una característica para cada valor, debido a que como sabemos a lo largo de la característica la solución permanecerá constante, entonces. 𝑎(𝑢0 (𝑥1 )) 1. 𝑎(𝑢0 (𝑥1 )). Y la otra característica seria. =. 𝑥1 𝑎(𝑢0 (𝑥1 )) 1. 𝑥. −. TE. 𝑎(𝑢0 (𝑥2 )). 𝑥2. 𝑎(𝑢0 (𝑥2 )). (2.33). ; Característica para 𝑢(𝑥2 ) 1. 𝑎(𝑢0 (𝑥2 )). =. (2.34). 1 𝑎(𝑢2 ). 𝑚1 > 𝑚2. BI. BL. IO. La pendiente para esta característica es 𝑚2 =. Como. ; Característica para 𝑢(𝑥1 ). 𝑎(𝑢1 ). CA. 𝑡2 =. −. DE. Cuya pendiente es 𝑚1 =. 𝑥. PO. 𝑡1 =. SG. tendríamos las características. Entonces. 𝑎(𝑢1 ) < 𝑎(𝑢2 ). (2.35). 23 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(31) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Esta relación nos indica que la velocidad de la primera es menor que la segunda característica, por tanto una no alcanzara a la otra. Graficando estas características tendríamos características que a medida que transcurre el tiempo, la distancia entre ellas. CARACTERISTICAS DE UNA FUNCION CRECIENTE. SG. 6. 5. M 1>M 2. PO. 4. 3. PENDIENTE M1. DE. tiempo t). RA DO. aumenta, decimos entonces que la solución es una onda expansiva.. X. 1. 1.5. X 2. 2.5 posicion x. 3. 3.5. 4. 4.5. BL. IO. 0.5. TE. 1. 0. PENDIENTE M2. CA. 2. Figura 08 Características de una función creciente, obsérvese que ellas nunca se interceptaran, la velocidad. < 𝑎(𝑢2 ). BI. de una es menor que la otra 𝑎(𝑢1 ). 24 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(32) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. 2° caso: 𝒖𝟎 (𝒙) es función decreciente, 𝒂𝒖 > 0 Para el caso en que 𝑢0 (𝑥) es función decreciente, para dos puntos del dominio 𝑦1 < 𝑦2 , entonces se cumple para funciones decrecientes 𝑢(𝑦1 ) > 𝑢(𝑦2 ) o 𝑢1 > 𝑢2 entonces. RA DO. 𝑎(𝑢1 ) > 𝑎(𝑢2 ).. SG. FUNCION DECRECIENTE. 0.6. PO. 0.5. 0.4. DE. tiempo t). u(y 1 ) 0.3. CA. 0.2. IO. 0. u(y 2). TE. 0.1. BL. -0.1. 1. y 1 1.5. 2. 2.5 posicion x. 3 y 2. 3.5. 4. 4.5. BI. 0.5. Figura 09. Gráfico de una función decreciente, Tramo decreciente de la condición inicial. Sabemos que la ecuación de las características está dado por:. 25 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(33) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. 𝑑𝑥 𝑑𝑡. = 𝑎(𝑢) = 𝑎(𝑢0 ). (2.36). De esta ecuación obtenemos; la característica para graficarlo en el plano 𝑥, 𝑡, dicha ecuación. 𝑡=. 𝑥 𝑎(𝑢0 ). −. RA DO. es después de integrar 𝑥0. (2.37). 𝑎(𝑢0 ). Para 𝑢(𝑦1 ) 𝑦 𝑢(𝑦2 ) tendremos una característica para cada valor, debido a que como. SG. sabemos a lo largo de la característica la solución permanecerá constante, entonces. 𝑥. 𝑚1 =. 𝑦1. 𝑎(𝑢0 (𝑦1 )). 1. 𝑎(𝑢0 (𝑦1 )). CA. Donde su pendiente es. −. 𝑎(𝑢0 (𝑦1 )). ; Característica para 𝑢(𝑦1 ). (2.38). DE. 𝑡1 =. PO. tendríamos las características. =. 1. 𝑎(𝑢1 ). Y la otra característica seria. 𝑥. IO. TE. 𝑡2 =. 𝑎(𝑢0 (𝑦2 )). −. 𝑦2. 𝑎(𝑢0 (𝑦2 )). BI. BL. La pendiente para esta característica es 𝑚2 =. ; Característica para 𝑢(𝑥2 ) 1. 𝑎(𝑢0 (𝑦2 )). =. (2.39). 1 𝑎(𝑢2 ). 𝑚1 < 𝑚2 𝑎(𝑢1 ) > 𝑎(𝑢2 ). (2.40). Esta relación nos indica que la velocidad de la primera es mayor que la segunda característica, por tanto una si alcanzara a la otra. 26 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(34) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Es en este momento cuando las curvas características se interceptan, que la solución deja de ser válida (BREAK DOWN). El grafico siguiente muestra tal acontecimiento.. RA DO. CARACTERISTICAS DE UNA FUNCION CRECIENTE 1.6. 1.4. BREAK DOWN. SG. 1.2. 1. 0.8. PO. tiempo t). a(u1 ) > a(u2). 0.6. lo cual es imposible. En el punto de cruce la solucion es requerida a asumir 2 valores diferentes. DE. 0.4. En el punto de interseccion u tiene que tomar ambos valores u1 y u2. 0.2. 0. -0.2 0.5. 1.5. 2. 2.5 posicion x. 3. 3.5. 4. 4.5. TE. 1. y2. CA. y1. IO. Figura 10. Características de una función decreciente, obsérvese que ellas se interceptaran, la velocidad de una es mayor que la otra 𝑎(𝑢1 ) > 𝑎(𝑢2 ), es a partir de este momento que la solución deja de ser válida y carece de sentido. BL. físico.. BI. Este resultado de la intersección de características y por tanto el rompimiento de una solución en un tiempo finito que nos indica la teoría que hemos desarrollado hasta el momento para la ecuación de la ley de conservación no lineal son de gran interés. Si trazáramos varias características obtendríamos una zona multivaluada, este trazado se hará mediante el programa numérico que desarrollemos a continuación. 27 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(35) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. De esto también se deduce que todas las características adyacentes que parten de regiones donde la velocidad es localmente decreciente deben cortarse.. RA DO. Una característica de la ecuación no lineal, es que aun para un dato inicial suave, la solución va desarrollando una discontinuidad en un tiempo finito. Por tanto es esencial trabajar dentro de una clase de funciones discontinuas.. Entonces planteamos una solución tipo discontinua u onda de choque que evoluciona en el. SG. tiempo para salvar la solución, dicha solución tiene sentido físico ya que se da en muchos. PO. fenómenos naturales como vimos en el apartado de onda de choque, como ejemplo adicional en mecánica de fluidos, una onda de choque es una onda de presión abrupta. DE. producida por un objeto que viaja más rápido que la velocidad del sonido en dicho medio, que a través de diversos fenómenos produce diferencias de presión extremas y aumento. CA. de la temperatura, la onda de presión se desplaza como una onda de frente por el medio.. TE. Una de sus características es que el aumento de presión en el medio es percibido (escuchadas) por el oído humano, un ejemplo es el sonido emitido a partir de una explosión. IO. o el trueno que acompaña un rayo.. BL. También se aplica el término para designar a cualquier tipo de propagación ondulatoria, y. BI. que transporta, por tanto energía a través de un medio continuo o el vacío, de tal manera que su frente de onda comporta un cambio abrupto de las propiedades del medio. En medicina han sido ampliamente utilizadas para el tratamiento desintegrador de cálculos renales (técnica denominada litotricia), uretrales vesicales pancreáticos y salivares,. 28 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(36) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. recientemente estas ondas también se utilizan para el tratamiento de ciertos procesos musculo esqueléticos que cursan con inflamación, calcificación de partes blandas etc.. RA DO. Por tanto plantear una solución discontinua, que evolucione en el tiempo, no carecería de. BI. BL. IO. TE. CA. DE. PO. SG. sentido físico.. 29 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(37) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. III ONDAS DE CHOQUE EN LA FISICA 3.1 EL FACINANTE MUNDO DE LAS ONDAS DE CHOQUE. RA DO. El fenómeno de las ondas de choque esta comúnmente asociado con la ingeniería aeroespacial y en particular con vuelos supersónicos. Las ondas de choque aparecen en la naturaleza siempre que los diferentes elementos en un fluido se aproximan uno al otro con. SG. una velocidad más alta que la velocidad local del sonido. Disipación de la energía, rápidos cambios en velocidad, presión, temperatura son algunas de las características asociadas con. PO. las ondas de choque.. DE. Las ondas de choque son esencialmente ondas no lineales que se propagan a velocidades supersónicas. Tales ondas ocurren en flujo supersónicos, durante explosiones, terremotos;. CA. alguna liberación repentina de energía (dentro de pocos 𝜇𝑠 ) resultará en la formación de ondas de choque, además ellas son uno de los mecanismos eficientes de disipación de. TE. energía observada en la naturaleza. La disipación de energía mecánica, Nuclear en una. IO. región limitada del espacio usualmente resulta en la formación de una onda de choque.. BL. A causa de la naturaleza de las ondas de choque ellas necesitan un medio para su generación así como para su propagación; Las ondas de choque no se forman ni se propagan. BI. en el vacío.. Veamos un ejemplo que se da en el campo de la ingeniería aeronáutica, el cual está relacionado a las llamadas ondas de choque oblicuas, el mecanismo básico de una onda de choque oblicua, se muestra en la siguiente figura 03: 30. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(38) SG. RA DO. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. PO. Figura 03: Una representación cualitativa de dos patrones de choque. Sea que la dirección de la corriente es supersónica, este flujo supersónico conforme se. DE. aproxima a un borde con cierto ángulo agudo 𝜃; Una superficie de discontinuidad caracterizada por una onda de choque casi perpendicular se forma; esto es, se construye. CA. en las cercanías del borde.. Un patrón diferente de choque se observa cuando el mismo flujo supersónico se aproxima. TE. a otro borde como se muestra en la figura 03. Una vez formado el patrón de choque las. IO. líneas de corriente en su movimiento pueden atravesar dicho choque y en ese paso reducen. BL. drásticamente su velocidad; pasando de velocidades supersónicas a velocidades subsónicas. Cuando dicho choque se presenta, las ecuaciones que modelan el flujo no se. BI. sostienen en dicha discontinuidad, típicamente el espesor del choque es del orden de 10−8 𝑚 . Por tanto la onda de choque se crea a partir de ciertas condiciones en el medio y. en un tiempo determinado; Este ejemplo nos da cierta claridad en el entendimiento de las ondas de choque.. 31 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(39) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. En lo referente a aplicaciones de las ondas de choque podemos citar muchas, pero una aplicación que se da hoy en día podemos destacar, el de la interacción de ondas de choque. RA DO. con burbujas para el tratamiento de aguas de lastre. Las aguas de lastre son empleadas en navegación marítima para procurar la estabilidad de un buque. La técnica consiste en la admisión o toma directa de agua del entorno en el que se encuentra el buque en ese momento, para la inundación total o parcial de unos depósitos. SG. o tanques especialmente diseñados en el interior del casco. El proceso puede invertirse y el agua es expulsada del navío, en un lugar que en general, suele estar alejado del punto. PO. original de toma.. DE. Akihisa Abe de la Universidad de Kobe en Japón propuso un nuevo sistema de tratamiento de estas aguas, usando la interacción entre micro burbujas y ondas de choque. Las ondas. CA. de choque inducen movimiento y la pared celular de la bacteria marina es dañada por la. efectivamente.. TE. onda de choque, esta reacción esteriliza el plancton y los virus ecológicamente y. IO. Para el caso que estamos analizando que es la ley de conservación no lineal, el. BL. comportamiento de las características, dada por la ecuación (2.10), que reescribimos a. BI. continuación:. 𝑑𝑥 𝑑𝑡. = 𝑎(𝑢) = 𝑎(𝑢0 ). (2.41). La ecuación (2.15) nos produce una familia de características (frentes de onda), la cual dará información, del comportamiento de la onda, ya sea esta una onda de expansión o una onda. 32 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(40) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. de comprensión, las características en una onda de expansión como veremos divergen, mientras que las características en una onda de compresión, convergen. Aunque la. RA DO. divergencia puede continuar por siempre la convergencia no puede. Una intersección o convergencia entre 2 o más características de la misma familia crea una onda de choque, que es un salto discontinuo, en las variables de estado (densidad, velocidad, energía) y está gobernado por la condición de Rankine – Hugionot, la cual puede. 𝑓(𝑢𝑙 )−𝑓(𝑢𝑟 ) 𝑢𝑙 −𝑢𝑟. [𝑓]. = [𝑢]. (2.42). PO. 𝑠=. SG. ser determinada por conservación, esta condición es:. Donde 𝑆, es la velocidad con que se desplaza el choque, una onda que se propaga señalando. DE. el camino por el cual las densidades y velocidades varían de forma abrupta; las función 𝑓(𝑢𝑙 ) 𝑦 𝑓(𝑢𝑟 ) son los flujos tanto a la izquierda como a la derecha del choque, estos flujos. BI. BL. IO. TE. CA. de obtienen de la propia ley de conservación no lineal.. 33 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(41) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Tiempo Vs. Posición 2. Zona de Alta Presion. 1. RA DO. tiempo. 1.5. 0.5. 0. Zona de Baja Presion. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. posicion Tiempo Vs. Posición 1.2 1. SG. Zona de Alta Presion tiempo. 0.8 0.6. PO. 0.4 0.2 0. 8. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 9. Onda de choque: dx=Sdt. Zona de Baja Presion. 7. DE. posicion. Figura 04: Diagrama de onda para una onda de choque. CA. La velocidad de la onda a la izquierda del choque, es más grande que la velocidad del. TE. choque, la entropía es discontinua en una onda de choque y esta se incrementa, es decir la entropía 𝑠2 de un flujo que ha pasado atreves del choque, debe exceder su entropía inicial. IO. 𝑠1 , el incremento en la entropía significa que el movimiento es irreversible, la energía se. BL. disipa a través del choque.. BI. Las ondas de choque son los huecos negros de las ondas, ellos absorben algunas ondas que ellas encuentran, destruyendo estas y la señal que ellas llevan. Es por esto que si interpretamos las velocidades de las ondas como pendientes en el plano ¨x¨ y ¨t¨, las ondas. 34 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(42) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. (características) terminaran en las ondas de choque, las ondas (características), nunca se. BI. BL. IO. TE. CA. DE. PO. SG. RA DO. originan en choques, las ondas de choque solo absorbe ondas nunca emiten ondas.. 35 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(43) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. IV METODOS NUMERICOS PARA LEYES DE CONSERVACION 4.1 MODELACION NUMERICA DE LA LEY DE CONSERVACION NO LINEAL 𝑢2. RA DO. Tomamos la ley de conservación no lineal con flujo cuadrático 𝑓(𝑢) =. 2. , como dato. podemos decir que tomamos este tipo de flujo debido a que en muchos problemas de física. Así la ecuación (2.3) quedaría como:. PO. 𝑢𝑡 + 𝑢 𝑢𝑥 = 0. SG. e ingeniería, el flujo es cuadrático.. (2.43). DE. Usaremos diferencias finitas el método de Lax, para modelar la ley de conservación no lineal, nosotros resolveremos (2.43), aproximado tanto la derivada temporal, como la. CA. derivada espacial en la ecuación tenemos. 𝜕𝑈𝑗𝑘. 𝑘 𝑘 +𝑈𝑗+1 ) 𝑈𝑗𝑘+1 −0.5(𝑈𝑗−1. ∆𝑡. TE. 𝜕𝑡. =. 𝜕𝑈𝑗𝑘. 𝑘 𝑘 𝑈𝑗+1 −𝑈𝑗−1. 2∆𝑥. (2.44). (2.45). BL. IO. 𝜕𝑥. =. (Metodo de Lax para 𝑈𝑡 ). BI. Colocando las diferencias dentro de la ecuación diferencial parcial (2.43), obtenemos: 𝑘 𝑘 (1 − 𝑠𝑈𝑗𝑘 ) + 𝑈𝑗−1 (1 + 𝑠𝑈𝑗𝑘 )} 𝑈𝑗𝑘+1 = 0.5 {𝑈𝑗+1. (2.46). ∆𝑡. Donde 𝑠 = ∆𝑥 ;. 36 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(44) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Usamos condiciones de frontera 𝑈(0, 𝑡) = 𝑈(1, 𝑡) = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑎𝑙 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.. SG. DE. 𝑛. (2.47). TE. CA. (1 + 𝑠𝑈1𝑛 )𝑈0𝑛 ⋮ 0 1 ⋮ 2 0 ⋮ 𝑛 ((1 − 𝑠𝑈𝑁𝑛 )𝑈𝑁+1 ). 𝑈1 𝑛 0 ……. … ⋮ ⋮ ⋱ 0 … + ⋮ 𝑛 0 (1 − 𝑠𝑈𝑁−1 ) 𝑈 𝑖 (1 + 𝑠𝑈𝑁𝑛 ) 0 ) ⋮ (𝑈𝑁 ). PO. 𝑈1 𝑛+1 ⋮ 0 (1 − 𝑠𝑈2𝑛 ) ⋮ 0 (1 + 𝑠𝑈2𝑛 ) 1 =2 ⋮ ⋱ 0 𝑈𝑖 0 0 ⋮ 0 ⋮ ( (𝑈𝑁 ). RA DO. En forma matricial, la ecuación (2.46) seria de la forma. IO. Nosotros podemos reescribir la ecuación (2.46), como un sistema matricial de ecuaciones. BL. en notación matricial así: 𝑈 𝑘+1 = 0.5 𝐴𝑈 𝑘. (2.48). BI. Donde la matriz A varía con el tiempo porque contiene términos 𝑈𝑗𝑘 . Para implementar el método de Lax hicimos el programas 2 que adjuntamos al final del trabajo y obtenemos la siguiente figura:. 37 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(45) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. FUNCION O CONDICION INICIAL 1.5 t=0. RA DO. u(x,t=0). 1. 0.5. 0. 0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5 x. 0.6. 0.7. 0.8. 0.9. 1. SG. -0.5. EVOLUCION DE LA CONDICION INICIAL. PO. 1.5. 0.5. DE. u(x,t). 1. rarefaccion. shock. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5 x. 0.6. 0.7. 0.8. 0.9. 1. TE. 0. CA. 0. -0.5. t>0 t=0. BI. BL. IO. Figura 11. En el grafico vemos la condición inicial y luego la evolución de dicha condición. Vemos como el frente de onda desarrolla poco a poco una discontinuidad esta es la llamada onda de choque, y la parte posterior de la onda se va expandiendo con el tiempo, esta zona expansiva se denomina onda de rarefacción. Este fenómeno en donde una solución suave se degenera en una discontinua, es muy característico de la ley de conservación hiperbólica no lineal.. 38 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(46) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. El método de Lax usado en la simulación numérica introduce mucha dispersión y falla al darnos una onda de choque bien definida.. RA DO. Las aproximaciones en diferencias finitas pueden trabajar bien para soluciones suaves, pero empiezan a fallar cuando la discontinuidad empieza a formarse, de todas maneras nos permite ver como la condición inicial suave va distorsionándose, hasta desarrollar una discontinuidad o pendiente infinita.. SG. La discretización en diferencias finitas de la ley de conservación no lineal, es inapropiado. PO. cerca de discontinuidades, donde la EDP no se sostiene.. Realmente si calculamos soluciones discontinuas, para la ley de conservación no lineal. DE. usando métodos estándar, obtenemos resultados que son muy pobres, pero aun así ya nos informan algo sobre la evolución de la solución y confirman lo que el análisis de la ecuación. BI. BL. IO. TE. CA. nos adelantaba.. 39 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(47) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. FUNCION O CONDICION INICIAL 1.5. u(x,t=0). 1 0.5. -0.5. 0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5 0.6 x EVOLUCION DE LA CONDICION INICIAL. RA DO. 0 0.7. 1.5. RAREFACCION. SHOCK. SG. u(x,t). 0.5 0 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5 0.6 x CARACTERISTICASS - EC. DE TRANSPORTE NO LINEAL. 0.2. DE. 0.3 tiempo t. 1. 0.7. 0.8. 0.9. 1. 0.8. 0.9. 1. PO. 0. 0.4. REGION MULTIVALUADA. MOMENTO DEL SHOCK. 0.1 0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5 posicion x. 0.6. 0.7. TE. CA. 0. 0.9. t=0.3 t=0. 1. -0.5. 0.8. BL. IO. Figura 12. En el siguiente grafico hemos añadido el trazado de las características, observamos como para un tiempo t=0.1, el choque ha ocurrido, Podemos también observar la zona multivaluada.. En el grafico anterior titulado CARACTERISTICAS EC. DE TRANSPORTE NOLINEAL, nos. BI. muestra el instante para la cual la solución ha dejado de ser válida, sin el trazado de estas sería imposible seguir la información que transporta cada característica, y por tanto creeríamos que la solución que evoluciona en el tiempo es correcta.. 40 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(48) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. De nuestro estudio teórico, una solución correcta sería una discontinuidad que evolucione en el tiempo, eh allí el desafío en construir un método numérico adecuado que genere una. RA DO. buena discontinuidad u onda de choque. De la gráfica podemos ver como a partir de un tiempo el instante en que las características convergen por primera vez, es el instante en que la solución se rompe, es decir deja de ser univaluada, a partir de ese instante la región de trazado de las características se aprecia una. SG. superposición de ellas, generando una REGION MULTIVALUADA, que carece de sentido físico, en cada punto de intersección de las características en dicha región la solución toma. PO. diferentes valores, esto es erróneo ya que cada características transporta una información concreta, por ejemplo a lo largo de cierta característica el valor de la solución es u1, cuando. DE. esta se intersecta con otra que transporta una información u2 en ese instante u1 no puede ser igual a u2, y en la región multivaluada la información puede tomar diferentes valores, lo. CA. cual es una imposibilidad física.. TE. Esto sucede cuando las características se cruzan, como eventualmente sucede, En el tiempo. IO. donde las características se intersecan, la función 𝑢(𝑥, 𝑡) tiene una pendiente infinita, la onda se rompe y forma un choque (SHOCK), más allá de este tiempo no hay una solución. BL. clásica de la ley de conservación no lineal y la solución que queremos determinar llega a ser. BI. discontinua. En este punto la onda es llamada a romperse (BREAK) por analogía con las ondas del mar. Haciendo uso de la condición de Rankine – Hugoniot, y conociendo el instante que los frentes de onda se intersecta, podemos dar solución a la región multivaluada, la condición. 41 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(49) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. me permite hacer el trazo de la onda de choque, que señala el camino, por donde la. RA DO. densidad y la velocidad del flujo experimenta un cambio brusco.. Caracteristicas y Trazado de Onda de Choque. SG. 0.25. 0.15. PO. tiempo t. 0.2. DE. 0.1. CA. 0.05. 0. 0.1. 0.2. 0.3 posicion x. 0.4. 0.5. 0.6. TE. 0. Trazo de la Onda de Choque, Onda de discontinuidad. S=dx/dt. BL. IO. Figura 13. Trazo de características (frentes de onda) (rojo), trazado de la Onda de choque (azul) A partir de la condición de Ranquine - Hugoniot. En el grafico podemos apreciar el trazo de la onda de choque, todos los frentes que vienen,. BI. desde la izquierda terminarían en la onda de choque, y los frentes que vienes de la derecha también terminaría en la onda de choque que se ha trazado, de esta manera en la región. multivaluada evitamos que las características se superpongan. Es decir una solución tipo. 42 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(50) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. onda de choque permitiría resolver, la ley de conservación no lineal, en dicha discontinuidad la ley de conservación no se sostiene, solo es válida la condición de Ranquine – Hugoniot.. RA DO. Cuando intentamos resolver las leyes de conservación no lineal, nos encontramos con dificultades no vistas en la ecuación lineal. La no linealidad hace los casos más difíciles de analizar. A pesar de esto grandes progresos se han hecho en los años recientes.. Vemos por tanto que nuestro interés está en generar soluciones discontinuas, Para lo cual. SG. el método de diferencias finitas de Lax da un resultado que es incorrecto parcialmente.. PO. Vemos por tanto que nuestro interés es generar una solución discontinua, lo mejor posible, para lo cual el método de diferencias finitas de Lax arroja un resultado que es incorrecto. DE. parcialmente.. En la teoría presente hemos asumido una solución suave la cual gracias a la modelación. CA. numérica vemos que se distorsiona generando una discontinuidad u onda de choque, la. TE. idea es que esta onda de choque se desplace en el tiempo.. IO. 4.2 METODOS NUMERICOS POR DIFERENCIAS FINITAS APLICADOS A UNA. BL. CONDICION INICIAL DISCONTINUA. BI. Nuestro objetivo es por tanto buscar un método numérico eficiente que trabaje bien en la discontinuidad; Para esto vamos a experimentar mediante una simulación que sucedería cuando aplicamos el método numérico en diferencias finitas a la ley de conservación lineal haciendo uso de una condición inicial discontinua o choque instantáneo; Esto nos permitirá observar cómo se comporta el método en la discontinuidad. 43 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.