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Gu´ıa 1 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Facultad de Ingenier´

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Gu´ıa 1

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Facultad de Ingenier´ıa y Ciencias Aplicadas, U. de Los Andes. Semestre 2009-2.

Aclaraci´on: En los problemas dados en los siguientes 4 ´ıtemes y denota la variable dependiente yto x, seg´un corresponda indica la respectiva variable independiente.

Variables Separables.

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

a)y0−9y= 0 h) 2t3y2+t3y2y0 = 0

b) y0= (2−y)(1−y) i)y0 = sen(x)(cos(2y)cos2(y))

c)y0= xyxy+3x2x+4y−y−38 j) y0= x(ln(y)yln(x)+1)

d) y0=y29 k) y0 = 1 +ey−x+5

e)xy4+ (y2+ 2)e−3xy0 = 0 l)y0 = 2 +√y−2x+ 3

f)y0= 1x+yx−y m) xy2y0 =y3−x3

g)xyy0= 3y2+x2, n) y0= (5x+y)24

Ecuaciones lineales de primer orden.

Encontrar la soluci´on de las siguientes ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales:

a) y0+ 4y=e−x, y(0) = 4/3;

b) y0sen(x) =x−cos(x)y, y(π/2) = 1;

c) y0+yctg(x) = 2 cos(x), y(π/2) = 2;

d) xy0−4y=x6ex, y(1) = 2;

e) xy0+y= 2x,y(1) = 0;

f) y0+ysec(x) = cos(x), y(3π) =π.

Ecuaciones de Bernoulli y Ricatti.

Encuentre la soluci´on general de las siguientes ecuaciones diferenciales, indicando intervalo de definici´on:

a) xy0+y=x2y2,

(2)

c) y0+xy2(x2+x+ 1)y+x2+x−1 = 0,

d) y0=−xy+xy2,

e) y0+ ctg(x)y+sen(x)y2 = 0,

f) y0=x42

y x +y

2,

Indicaci´on : una soluci´on es y1(x) = 2x.

Ecuaciones exactas y factores integrantes.

Verifique si las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas o si existe un factor integrante. En cualesquiera de estos casos, encuentre la soluci´on general:

a) (ye−x−sen(x))dx−(e−x+ 2y)dy= 0

b) (2xy2−ysen(x) + 2x−1)dx+ (2x2y+ cos(x) +1y)dy= 0

c) Determinar el valor de la constantek tal que la ecuaci´on sea exacta:

(2x−ysen(xy) +ky4)dx−(20xy3+xsen(xy))dy= 0

d) Resolver:

(cos(x)sen(x)−xy2)dx+y(1−x2)dy= 0

Resolver cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales, hallando previamente un factor integrante:

e) (3x2−y2)dy−2xydx= 0

f) (xy−1)dx+ (x2−xy)dy= 0

g) xdy+ydx+ 3x3y4dy= 0

h) exdx+ (exctg(y) + 2ycosec(y))dy= 0

i) (x+ 2)sen(y)dx+xcos(y)dy= 0

j) (x3+xy3)dx+ 3y2dy= 0

Problemas generales y de Modelamiento.

P1.- Un tanque de 1500 litros de capacidad contiene inicialmente 300 litros de agua pura. En el tiempo t = 0 fluye agua en el tanque con un contenido de 50 % de contaminantes a una tasa de 6 litros/min. La mezcla homog´enea sale del tanque a una tasa de 3 litros/min. Calcule la concentraci´on de contaminantes en funci´on del tiempo.

P2.- Determine las curvas y(x) cuyo radio de curvatura ρ(x) en el punto x es pro-porcional a la longitud del segmento que define la recta normal a la curva en x al intersectar el eje x.

(3)

P3.- Resolver la siguiente ecuaci´on diferencial:

dx dt =

1 +x2 1 +t2.

P4.- Un is´otopo radiactivo se desintegra a una tasa que es proporcional a la masa de is´otopo presente.

(a) Si x(t) representa la masa del is´otopo en el instante t, demostrar que se tiene que x(t) =x(0)e−λt para alguna constante λ >0 llamada constante de desintegraci´on.

(b) El tiempo T en el que la masa del is´otopo se reduce a la mitad se deno-mina vida media del is´otopo. Sabiendo que la vida media del carbono 14 radiactivo es de 5600 a˜nos, determine la masa restante de carbono 14 al cabo de t a˜nos, considerando que inicialmente la masa de la muestra era de x0.

(c) Si se sabe que para el a˜no 2000 habr´a decaido el 90 % del carbono 14 presente en un cr´aneo encontrado en el valle central de Chile, determinar el a˜no en que falleci´o el cavern´ıcola a quien perteneci´o ese cr´aneo.

P5.- Si el 20 % de una sustancia radiactiva se desintegra en 50 a˜nos, hallar la vida media de la sustancia.

Indicaci´on: Use el modelo del problema anterior.

P6.- Una sustancia radiactiva con una vida media de 50 a˜nos se encuentra a la intemperie y se erosiona a una tasa constante dek libras por a˜no.

(a) Hallar la f´ormula para la cantidad de material remanente al cabo deta˜nos en una muestra que originalmente tenia x0 libras.

(b) Cu´anto tardar´a la sustancia en desaparecer por completo?

P7.- Las bacterias de una cierta colonia nacen y mueren a una tasa proporcional al n´umero existente, de forma que la ecuaci´on que gobierna el crecimiento de la colonia es:

dy

dt = (k1−k2)y.

Determinark1yk2 si se conoce que la colonia duplica su tama˜no cada 24 horas,

y que a las 8 horas tendr´ıa tan s´olo la mitad de su tama˜no inicial si no hubiera nacimientos.

P8.- Se est´a formando una sustancia r, por la reacci´on de dos sustancias α y β de forma que a gr. de α, b gr. de β forman a+b gr. de r. Si al principio hay x0

gramos deαey0 gramos deβ y ninguno dery si la velocidad de formaci´on der

es proporcional al producto de las cantidades deαyβque no se han combinado (con constante de proporcionalidad igual ak), expresar en gramos la cantidad de r en un tiempot.

Sol: dr dt =k

(

x0

ar a+b

)(

y0

br a+b

)

.

(4)

P9.- (a) Resolver la ecuaci´on diferencial :

dy dt =

y tf(ty)

para cualquier f continua.

(b) Aplicar lo anterior para resolver la ecuaci´on:

dy dt =

y(ty+ 1) −t(1 +ty+t2y2)

P10.- Resolver la ecuaci´on diferencial :

dy dx =

1−xy+x2y2 x2x3y

.

P11.- Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales

(a) y0= (y−4x)2 (b) y0= tg2(x+y)

(c) y0= sen(x+y)

(d) (x2+ 1)y0−(1−x2)y =xe−x

P12.- Laley de enfriamiento de Newtonestablece que latasa de p´erdida de calor desde la superficie de un objeto es proporcional a la diferencia de temperatura entre el medio que lo rodea y su superficie, con constante de proporcionalidad k >0. SeanS(t) yT0 las temperaturas de la supeficie del objeto y la del medio

respectivamene que se supone constante.

(a) Encontrar una ecuaci´on diferencial para S(t) y resu´elvala con condici´on inicialS(t0) =S0> T0.

(b) Demostrar que si adem´as se sabe queS(t1) =S1 parat1 > t0 entonces la

constante de proporcionalidad est´a dada por:

k= 1 t1−t0

ln

(

S0−T0

S1−T0

)

(c) Un objeto a temperatura de 40oC se coloca en una habitaci´on a 20oC. Si en 10 minutos se enfr´ıa a 30oC, ¿Cu´al es la temperatura del objeto al cabo de 20 minutos?

P13.- Estudie completamente las siguientes ecuaciones diferenciales:

(a) (y−a) +x2y0 = 0 (b) xy0−3y= 0

P14.- Resolver la ecuaci´on

(5)

P15.- Suponga que M y K son constantes positivas, determinar todas las funciones s:I →IR derivables tales que:

M =M s(x) +K

x

0

s(x−t)dt .

Indicaci´on:Considere el cambio de variabley=x−ten la integral, se entiende porI como el intervalo maximal de definici´on de las soluciones.

P16.- Resolver la ecuaci´on diferencial dy

dx+x+y+ 1 = (x+y)

2e3x

Indicaci´on: Transforme la ecuaci´on a una de variables separables por medio de dos cambios de variables. Considere primerou=x+y.

P17.- Resuelva

(a) (sec(x)tg(x)y) +y0= 0 (b) xy0+ y

1−x2 = (1 +

1−x2)ex

P18.- Resolver la ecuaci´on diferencial:

(t2−ln(x))dx dt +xt

3 = 0

Indicaci´on:Haga el cambio de variable x=eu,t=√v, para (u, v) adecuados, y resuelva la ecuaci´on en u, v.

P19.- Un esquiador de masambaja por una ladera inclinada con un ´anguloαrespecto a la horizontal, sometiendo adem´as de la fuerza de roce cin´etica con la nieve con constanteµk una fuerza de roce viscosa de la forma2βm−→v. La ecuaci´on

de movimiento del esquiador es:

sen(α)mg−2βmdx

dt −µkmgcos(α) =m d2x

dt2

Si tg(α)> µk :

(a) Determine la rapidez del esquiador en funci´on del tiempo dxdt (b) Determine la rapidez l´ımite, es decir cuando t→+.

(c) Determine la posici´on en funci´on del tiempox(t)

Indicaci´on: Considere la sustituci´on u = x0. Encuentre y resuelva una edo lineal de primer orden asociada au.

P20.- Dada la familia de curvas soluci´on de la ecuaci´on diferencialy0 =f(x, y), donde f satisface las hip´otesis del teorema de existencia y unicidad. Considere una segunda familia con la propiedad que en cada punto (x, y) del plano ambas familias se cortan en un ´angulo α dado. Demostrar que la ecuaci´on diferencial que satisface la segunda familia es:

(6)

P21.- Utilizar el problema anterior para encontrar las curvas que forman un ´angulo π4 con:

(a) Todas las rectas que pasan por el origen. (b) Todas las circunferenciasx2+y2=c2.

P22.- Dada la ecuaci´on diferencial lineal de primer orden:

y0+a(t)y =f(t) , (1)

dondea, f :IR →IR son funciones continuas que satisfacen a(t)≥c >0, para cualquier t ∈IR, y f(t) 0 si t +. Demostrar que cualquier soluci´on de (1) tiende a cero cuandottiende a infinito.

P23.- Resolver el siguiente PVI (problema de valor incicial):

yy0+ (1 +y2)sen(t) = 0 , y(0) = 1

analizando el dominio de definici´on de la soluci´on encontrada.

P24.- (a) Considere la ecuaci´on diferencial de primer orden de la forma:

y0 =F

(y

x

)

x >0, (2)

dondeFes una funci´on continua conocida. Mediante la sustituci´onz=y/x desarrollar un m´etodo general para resolver esta ecuaci´on y aplicarlo para resolver la ecuaci´on y0 = (x+y)/(x−y).

(b) Considere la ecuaci´on diferencial:

y0 =G

(

ax+by+e cx+dy+f

)

, a, b, c, d, e, f ∈IR, (3)

dondeGes una funci´on continua. Demostrar que siad−bc6= 0 entonces la ecuaci´on (3) puede llevarse a la forma (2) mediante un cambio de variables del tipoz=y−α, t=x−β, conαyβconstantes escogidas adecuadamente. Aplicar el m´etodo para resolver la ecuaci´on y0 = (x+y+ 4)/(x−y−6). (c) Analizar el caso ad−bc= 0.

P25.- Resolver la ecuaci´on:

y0− 1

1 +ttg(y) = (1 +t)

2etsec(y).

Indicaci´on: Considere la sutituci´on u= sen(y), se entiende quey=y(t).

P26.- La ecuaci´on diferencial:

y(4xy+ 3)dx+x(3xy+ 2)dy= 0

(7)

P27.- Considere la ecuaci´on diferencial:M(t, x)dt+N(t, x)dx= 0 suponga que M y N son funciones de clase C1.

(a) Seag:RRuna funci´on continua tal que:

∂M

∂x

∂N ∂t

xN −tM =g(tx). donde xN−tM 6= 0 (t, x)∈IR

2.

demostrar entonces que µ(t, x) = e

tx R s0

g(s)ds

es un factor integrante de la edo, cons0 una constante adecuada para el problema.

(b) Aplicar lo anterior para resolver la edo :

x2tdt+ 2t2xdx= 0.

P28.- Demostrar que la soluci´on general de la ecuaci´on:

(x2y+y3−xy)dx+x2dy= 0

satisface que

l´ım

x→∞

y(x) x = 0

Indicaci´on: Considere un factor integrante de la forma r(x, y) = x−3f(y/x), dondef es una funci´on derivable en alg´un abierto I.

P29.- Demostrar que la sustituci´on v = ln(y) transforma la ecuaci´on diferencial que se indica a continuaci´on, en una ecuaci´on lineal de primer orden:

y0+p(t)y=q(t)yln(y) ,

dondep yq son funciones continuas e y:I →IR+ es derivable en un intervalo

I.

P30.- Considere la ecuaci´on diferencial:

y0 =p(t)f(y) +q(t)g(y) , (4)

dondepyq son funciones continuas,f yg son derivables en un intervaloI yg no se anula en I.

(a) Demostrar que si:

f0(y)g(y)−g0(y)f(y)

g(y) =c0. (5)

donde c0 es una constante real, entonces la sustituci´on u = f(y)/g(y)

permite reducir la ecuaci´on (4) a una ecuaci´on lineal de primer orden en la variableu.

(b) Resolver la ecuaci´ony0 =tg(y) +1tsec(y) aplicando el m´etodo demostrado en la parte (a).

Indicaci´on:Verificar primero que se satisface la condici´on (5), conc0 = 1.

(8)

P31.- Considere la funci´on:

f :IR2 −→IR (t, y)7−→f(t, y)

la cual es continua y tal que ∂f∂y(t, y) tambi´en es continua. Suponga que f es peri´odica de per´ıodo 1 en su primera variable, es decir:

f(t+ 1, y) =f(t, y) (t, y)∈IR2.

Seay=ϕ(t) una soluci´on definida en todoIR de la ecuaci´on:

y0 =f(t, y)

que satisfaceϕ(1) =ϕ(0). Demostrar queϕ(t+ 1) =ϕ(t) para todo t∈IR, es decir, ϕes peri´odica de per´ıodo 1.

Indicaci´on: Defina la funci´on ψ(t) = ϕ(t+ 1)−ϕ(t), encuentre la ecuaci´on diferencial que satisface y luego aplique el Teorema de existencia y unicidad para el problema de valor inicial asociado.

P32.- Considere una curva que pasa por el origen del primer cuadrante en el plano XY. El ´area bajo la curva desde el origen hasta un punto (x, y) es un tercio del ´area del rect´angulo que tiene a estos puntos como v´ertices opuestos. Se pide encontrar tal familia de curvas.

P33.- Considere un estanque cil´ındrico, el cual contiene agua hasta una cierta altura h y cuya secci´on basal es de Ω. Se pide encontrar y resolver la ecuaci´on de movimiento que se obtiene al abrir una llave que posee el estanque es el fondo cuya secci´on esω. Demostrar que el tiempot∗en el cual el estanque queda vac´ıo est´a dado por:

t∗ = Ω ω

2h g

ω y

h (t > 0)

y g

(9)

P34.- Considere una curva en el primer cuadrante del plano tal que cualquier punto P = (x, y) perteneciente a ella, satisface que la recta normal a la curva en el puntoP corta al ejeOX en el puntoN y al ejeOY en el puntoM de manera tal que P N =M N . Encontrar la familia de curvas que satisfacen esta propiedad.

P35.- Considere un puntoP cualquiera de una curva en el plano, de manera tal que el segmento de la tangente a la curva enP comprendido entre los ejes coordenados queda dividido en dos partes iguales por el punto de tangencia. Hallar la familia de curvas que satisface tal propiedad.

P36.- Hallar la familia de curvas para las cuales la longitud del tramo definido por la recta tangente entre el punto de contacto (x, y) y el eje de las ordenadas OY es igual al segmento que se origina entre el origen y el punto que nace en la intersecci´on del eje de las ordenadas con la recta tangente.

P37.- Seana, b:IR →IR dos funciones continuas de per´ıodo T, es decir se tiene que a(t+T) =a(t) , ∀t∈IR, lo mismo parab.

(a) Demostrar que u : IR IR es una soluci´on T- peri´odica de la ecuaci´on diferencial:

x0 =a(t)x+b(t)

si y s´olo si x(0) =x(T).

Indicaci´on: Defina la funci´on ϕ(t) =u(t+T)−u(t) y luego use adecua-damente el Teorema de existencia y unicidad.

(b) Utilice este hecho para demostrar que la ecuaci´on tiene una soluci´on T

-peri´odica si se tiene la condici´on

T

0

a(s)ds6= 0.

Indicaci´on: Encuentre la soluci´on general de la edo y use (a).

P38.- La siguiente ecuaci´on diferencial es un modelo para la venta esperada de un nuevo tel´efono celular:

y0 = (P0−y) (f(t) +σ(t)y)

(a) Identificar en el modelo qu´e representa:

(a.1) La poblaci´on total de compradores potenciales. (a.2) El n´umero de personas que compra el nuevo tel´efono. (a.3) El coeficiente de compra por imitaci´on.

(a.4) Los est´ımulos publicitarios.

(b) Encontrar una soluci´on constante evidente de la ecuaci´on. Reducir la ecuaci´on a una m´as simple mediante un cambio de variable adecuado. (c) Encontrar la forma general de la soluci´on.

(d) Calcular expl´ıcitamente la soluci´on sif(t) =at,σ(t) =bt dondea, b >0. (e) En el caso anterior si adem´asy(0) = 0,evaluar la constante indeterminada y calcular el tiempo para que la mitad de la poblaci´on potencial haya comprado el nuevo tel´efono.

(10)

P40.- Seanf, g:I →IR dos funciones derivables y tales quef 6=g enI. Considere la ecuaci´on diferencial:

yf(xy)dx+xg(xy)dy= 0. (6)

(a) Demostrar queu(x, y) = xy(f(xy)1g(xy)) es un factor integrante para (6)

(b) Usar la parte anterior para encontrar la soluci´on general impl´ıcita de:

(xy2+ 2y)dx+ (3x2y−4x)dy= 0.

Y analizar el intervalo maximal de definici´on de la soluci´on.

P41.- En este problema estudiaremos el comportamiento de las soluciones de una EDO lineal de primer ordenrespecto a su lado derecho, en un caso particular. Para ello, sea a una constante real no nula y b1, b2 funciones continuas en [0,+[

tales que |b1(t)−b2(t)| ≤K, t∈[0,∞[,conK una constante positiva.

Seanφ1 yφ2 soluciones de:

y0+ay=b1 ,

y0+ay=b2 ,

respectivamente, y supongamos queφ1(0) =φ2(0).

(a) Demostrar que:

1(t)−φ2(t)| ≤

K a(1−e

−at), t[0,+[. (7)

Sia >0, estudiar (7) en el l´ımite. Comente.

(b) Sea z(t) la soluci´on de la ecuaci´on y0 +y = 1 + 14sen(t3) que satisface z(0) = 0. Demostrar que:

3 4(1−e

−t)z(t) 5

4(1−e

−t), t[0,+[.

P42.- Considere la ecuaci´on de variables separables:

y0 =y2cos(t).

Encontrar las soluciones constantes de la ecuaci´on. Luego demostrar que la soluci´on general, distinta a las constantes, est´a dada pory(t) = csen(t)1 . Analizar el comportamiento de las soluciones en funci´on del par´ametro c y hacer un bosquejo de ellas.

P43.- Suponga que la din´amica de poblaci´on de cierta regi´on obedece a la siguiente ley log´ıstica:

p0 =ap−bp2 . (8)

Por las condiciones geogr´aficas del lugar, una epidemia ataca a la poblaci´on cuando esta alcanza un valor de Q personas, con Q < a/b. A partir de ese instante, el modelo de poblaci´on cambia a la ecuaci´on diferencial:

(11)

donde Q > A/B (A < a, B < b). M´as a´un, la poblaci´on comienza a decrecer hasta que cede cuando la poblaci´on llega a un nivel q > A/B, q < Q. En ese punto, la poblaci´on vuelve a regirse por el modelo (8), hasta que en el futuro se alcance una nueva epidemia, generando una fluctuaci´on peri´odica de epidemias. Demostrar que el per´ıodoT de este ciclo (tomandoT como el tiempo que fluct´ua entre 2 fines de temporada consecutivos de la epidemia) est´a dado por:

T = 1 aln

[Q

q

(abq

a−Qb

)]

+ 1 Aln

[q

Q

(ABQ

A−qB

)]

Verficar adem´as que T >0 seg´un los datos del problema.

P44.- Resolver el problema a valores iniciales:

dy dx =

x+y2

2y , y(0) = 1.

y determinar el intervalo maximal de definici´on de la soluci´on.

Indicaci´on: Ver que la ecuaci´on admite un factor integrante que s´olo depende de x.

P45.- Encontrar la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial:

(yln(y)2xy)dx+ (x+y3ey)dy= 0.

Indicaci´on: Ver que la ecuaci´on admite un factor integrante que s´olo depende de y.

P46.- Considere la ecuaci´on diferencialno exacta: M(x, y)dx+N(x, y)dy= 0, donde M, N :IR2 →IR son funciones de claseC1, tales que M 6=N (x, y)∈IR2.

(a) Seaz=x+y, demostrar que la condici´on para que la ecuaci´on admita un factor integrante de la formau(z) es que:

∂M

∂y

∂N ∂x

N −M =f(z). (10)

Para f :IR→IR una funci´on continua. Determine tal factor. (b) Considere la ecuaci´on diferencial:

(7x3+ 3x2y+ 4y)dx+ (4x3+x+ 5y)dy= 0.

Verificar que se cumple la condici´on (10) , con lo cual se tiene un factor integrante de la formau(x, y) =g(x+y), dondeg:IR→IRes una funci´on derivable. Determinar tal factor y resolver la ecuaci´on.

P47.- Considere la ecuaci´on diferencial:

y0+ 2(1−x)y−y2=x(x−2)

(a) Encontrar una soluci´on particular de la formayp =ax+b.

(12)

(c) Obtener la soluci´on que satsiface y(2) = 2 y el intervalo maximal donde este definida.

P48.- Para t >0 considere la ecuaci´on de Ricatti:

y0+e−2ty21

t(1 + 4t+ 2t

2)y=e2t

t (1 +t+ 2t

2+t3)

(a) Encontrar una soluci´on particular de la formayp =e2t(at+b).

(b) Determinar la soluci´on general de la ecuaci´on.

P49.- Resolver la ecuaci´on diferencial:y0 = yx+x−xy2y2.

Indicaci´on: Considere al cambio y = zxn, encontrar el valor del entero n de manera que la ecuaci´on se reduzca al caso de variables separables.

P50.- Considere la ecuaci´on diferencial:

dy dx =

y(1 + 2y) x+ 1

(a) Encontrar el conjunto donde la ecuaci´on este bien definida y lassoluciones constantes de la ecuaci´on.

(b) Demostrar que la soluci´on general de la ecuaci´on est´a dada implicitamente por 1+2yy =c(x+ 1), c∈IR.

(c) Considerando accomo par´ametro, discutir las correspondientes soluciones y sus respectivos intervalos de definici´on como tales. Encontrar la soluci´on que satisface y(3) = 2.

TAREA 1:Preguntas P4, P9, P15, P18, P22, P23, P24, P27, P28, P30, P33, P36, P38, P41, P43, P46, P48, P50.

FECHA DE ENTREGA: INICIO de la Prueba 1.

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