Gu´ıa 1
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Facultad de Ingenier´ıa y Ciencias Aplicadas, U. de Los Andes. Semestre 2009-2.
Aclaraci´on: En los problemas dados en los siguientes 4 ´ıtemes y denota la variable dependiente yto x, seg´un corresponda indica la respectiva variable independiente.
Variables Separables.
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
a)y0−9y= 0 h) 2t3y2+t3y2y0 = 0
b) y0= (2−y)(1−y) i)y0 = sen(x)(cos(2y)−cos2(y))
c)y0= xyxy+3x−2x+4y−y−−38 j) y0= x(ln(y)−yln(x)+1)
d) y0=y2−9 k) y0 = 1 +ey−x+5
e)xy4+ (y2+ 2)e−3xy0 = 0 l)y0 = 2 +√y−2x+ 3
f)y0= 1−x+yx−y m) xy2y0 =y3−x3
g)xyy0= 3y2+x2, n) y0= (−5x+y)2−4
Ecuaciones lineales de primer orden.
Encontrar la soluci´on de las siguientes ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales:
a) y0+ 4y=e−x, y(0) = 4/3;
b) y0sen(x) =x−cos(x)y, y(π/2) = 1;
c) y0+yctg(x) = 2 cos(x), y(π/2) = 2;
d) xy0−4y=x6ex, y(1) = 2;
e) xy0+y= 2x,y(1) = 0;
f) y0+ysec(x) = cos(x), y(3π) =π.
Ecuaciones de Bernoulli y Ricatti.
Encuentre la soluci´on general de las siguientes ecuaciones diferenciales, indicando intervalo de definici´on:
a) xy0+y=x2y2,
c) y0+xy2−(x2+x+ 1)y+x2+x−1 = 0,
d) y0=−xy+xy2,
e) y0+ ctg(x)y+sen(x)y2 = 0,
f) y0=−x42 −
y x +y
2,
Indicaci´on : una soluci´on es y1(x) = 2x.
Ecuaciones exactas y factores integrantes.
Verifique si las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas o si existe un factor integrante. En cualesquiera de estos casos, encuentre la soluci´on general:
a) (ye−x−sen(x))dx−(e−x+ 2y)dy= 0
b) (2xy2−ysen(x) + 2x−1)dx+ (2x2y+ cos(x) +1y)dy= 0
c) Determinar el valor de la constantek tal que la ecuaci´on sea exacta:
(2x−ysen(xy) +ky4)dx−(20xy3+xsen(xy))dy= 0
d) Resolver:
(cos(x)sen(x)−xy2)dx+y(1−x2)dy= 0
Resolver cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales, hallando previamente un factor integrante:
e) (3x2−y2)dy−2xydx= 0
f) (xy−1)dx+ (x2−xy)dy= 0
g) xdy+ydx+ 3x3y4dy= 0
h) exdx+ (exctg(y) + 2ycosec(y))dy= 0
i) (x+ 2)sen(y)dx+xcos(y)dy= 0
j) (x3+xy3)dx+ 3y2dy= 0
Problemas generales y de Modelamiento.
P1.- Un tanque de 1500 litros de capacidad contiene inicialmente 300 litros de agua pura. En el tiempo t = 0 fluye agua en el tanque con un contenido de 50 % de contaminantes a una tasa de 6 litros/min. La mezcla homog´enea sale del tanque a una tasa de 3 litros/min. Calcule la concentraci´on de contaminantes en funci´on del tiempo.
P2.- Determine las curvas y(x) cuyo radio de curvatura ρ(x) en el punto x es pro-porcional a la longitud del segmento que define la recta normal a la curva en x al intersectar el eje x.
P3.- Resolver la siguiente ecuaci´on diferencial:
dx dt =
1 +x2 1 +t2.
P4.- Un is´otopo radiactivo se desintegra a una tasa que es proporcional a la masa de is´otopo presente.
(a) Si x(t) representa la masa del is´otopo en el instante t, demostrar que se tiene que x(t) =x(0)e−λt para alguna constante λ >0 llamada constante de desintegraci´on.
(b) El tiempo T en el que la masa del is´otopo se reduce a la mitad se deno-mina vida media del is´otopo. Sabiendo que la vida media del carbono 14 radiactivo es de 5600 a˜nos, determine la masa restante de carbono 14 al cabo de t a˜nos, considerando que inicialmente la masa de la muestra era de x0.
(c) Si se sabe que para el a˜no 2000 habr´a decaido el 90 % del carbono 14 presente en un cr´aneo encontrado en el valle central de Chile, determinar el a˜no en que falleci´o el cavern´ıcola a quien perteneci´o ese cr´aneo.
P5.- Si el 20 % de una sustancia radiactiva se desintegra en 50 a˜nos, hallar la vida media de la sustancia.
Indicaci´on: Use el modelo del problema anterior.
P6.- Una sustancia radiactiva con una vida media de 50 a˜nos se encuentra a la intemperie y se erosiona a una tasa constante dek libras por a˜no.
(a) Hallar la f´ormula para la cantidad de material remanente al cabo deta˜nos en una muestra que originalmente tenia x0 libras.
(b) Cu´anto tardar´a la sustancia en desaparecer por completo?
P7.- Las bacterias de una cierta colonia nacen y mueren a una tasa proporcional al n´umero existente, de forma que la ecuaci´on que gobierna el crecimiento de la colonia es:
dy
dt = (k1−k2)y.
Determinark1yk2 si se conoce que la colonia duplica su tama˜no cada 24 horas,
y que a las 8 horas tendr´ıa tan s´olo la mitad de su tama˜no inicial si no hubiera nacimientos.
P8.- Se est´a formando una sustancia r, por la reacci´on de dos sustancias α y β de forma que a gr. de α, b gr. de β forman a+b gr. de r. Si al principio hay x0
gramos deαey0 gramos deβ y ninguno dery si la velocidad de formaci´on der
es proporcional al producto de las cantidades deαyβque no se han combinado (con constante de proporcionalidad igual ak), expresar en gramos la cantidad de r en un tiempot.
Sol: dr dt =k
(
x0−
ar a+b
)(
y0−
br a+b
)
.
P9.- (a) Resolver la ecuaci´on diferencial :
dy dt =
y tf(ty)
para cualquier f continua.
(b) Aplicar lo anterior para resolver la ecuaci´on:
dy dt =
y(ty+ 1) −t(1 +ty+t2y2)
P10.- Resolver la ecuaci´on diferencial :
dy dx =
1−xy+x2y2 x2−x3y
.
P11.- Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales
(a) y0= (y−4x)2 (b) y0= tg2(x+y)
(c) y0= sen(x+y)
(d) (x2+ 1)y0−(1−x2)y =xe−x
P12.- Laley de enfriamiento de Newtonestablece que latasa de p´erdida de calor desde la superficie de un objeto es proporcional a la diferencia de temperatura entre el medio que lo rodea y su superficie, con constante de proporcionalidad k >0. SeanS(t) yT0 las temperaturas de la supeficie del objeto y la del medio
respectivamene que se supone constante.
(a) Encontrar una ecuaci´on diferencial para S(t) y resu´elvala con condici´on inicialS(t0) =S0> T0.
(b) Demostrar que si adem´as se sabe queS(t1) =S1 parat1 > t0 entonces la
constante de proporcionalidad est´a dada por:
k= 1 t1−t0
ln
(
S0−T0
S1−T0
)
(c) Un objeto a temperatura de 40oC se coloca en una habitaci´on a 20oC. Si en 10 minutos se enfr´ıa a 30oC, ¿Cu´al es la temperatura del objeto al cabo de 20 minutos?
P13.- Estudie completamente las siguientes ecuaciones diferenciales:
(a) (y−a) +x2y0 = 0 (b) xy0−3y= 0
P14.- Resolver la ecuaci´on
P15.- Suponga que M y K son constantes positivas, determinar todas las funciones s:I →IR derivables tales que:
M =M s(x) +K
x
∫
0
s(x−t)dt .
Indicaci´on:Considere el cambio de variabley=x−ten la integral, se entiende porI como el intervalo maximal de definici´on de las soluciones.
P16.- Resolver la ecuaci´on diferencial dy
dx+x+y+ 1 = (x+y)
2e3x
Indicaci´on: Transforme la ecuaci´on a una de variables separables por medio de dos cambios de variables. Considere primerou=x+y.
P17.- Resuelva
(a) (sec(x)−tg(x)y) +y0= 0 (b) xy0+√ y
1−x2 = (1 + √
1−x2)ex
P18.- Resolver la ecuaci´on diferencial:
(t2−ln(x))dx dt +xt
3 = 0
Indicaci´on:Haga el cambio de variable x=eu,t=√v, para (u, v) adecuados, y resuelva la ecuaci´on en u, v.
P19.- Un esquiador de masambaja por una ladera inclinada con un ´anguloαrespecto a la horizontal, sometiendo adem´as de la fuerza de roce cin´etica con la nieve con constanteµk una fuerza de roce viscosa de la forma−2βm−→v. La ecuaci´on
de movimiento del esquiador es:
sen(α)mg−2βmdx
dt −µkmgcos(α) =m d2x
dt2
Si tg(α)> µk :
(a) Determine la rapidez del esquiador en funci´on del tiempo dxdt (b) Determine la rapidez l´ımite, es decir cuando t→+∞.
(c) Determine la posici´on en funci´on del tiempox(t)
Indicaci´on: Considere la sustituci´on u = x0. Encuentre y resuelva una edo lineal de primer orden asociada au.
P20.- Dada la familia de curvas soluci´on de la ecuaci´on diferencialy0 =f(x, y), donde f satisface las hip´otesis del teorema de existencia y unicidad. Considere una segunda familia con la propiedad que en cada punto (x, y) del plano ambas familias se cortan en un ´angulo α dado. Demostrar que la ecuaci´on diferencial que satisface la segunda familia es:
P21.- Utilizar el problema anterior para encontrar las curvas que forman un ´angulo π4 con:
(a) Todas las rectas que pasan por el origen. (b) Todas las circunferenciasx2+y2=c2.
P22.- Dada la ecuaci´on diferencial lineal de primer orden:
y0+a(t)y =f(t) , (1)
dondea, f :IR →IR son funciones continuas que satisfacen a(t)≥c >0, para cualquier t ∈IR, y f(t) → 0 si t → +∞. Demostrar que cualquier soluci´on de (1) tiende a cero cuandottiende a infinito.
P23.- Resolver el siguiente PVI (problema de valor incicial):
yy0+ (1 +y2)sen(t) = 0 , y(0) = 1
analizando el dominio de definici´on de la soluci´on encontrada.
P24.- (a) Considere la ecuaci´on diferencial de primer orden de la forma:
y0 =F
(y
x
)
x >0, (2)
dondeFes una funci´on continua conocida. Mediante la sustituci´onz=y/x desarrollar un m´etodo general para resolver esta ecuaci´on y aplicarlo para resolver la ecuaci´on y0 = (x+y)/(x−y).
(b) Considere la ecuaci´on diferencial:
y0 =G
(
ax+by+e cx+dy+f
)
, a, b, c, d, e, f ∈IR, (3)
dondeGes una funci´on continua. Demostrar que siad−bc6= 0 entonces la ecuaci´on (3) puede llevarse a la forma (2) mediante un cambio de variables del tipoz=y−α, t=x−β, conαyβconstantes escogidas adecuadamente. Aplicar el m´etodo para resolver la ecuaci´on y0 = (x+y+ 4)/(x−y−6). (c) Analizar el caso ad−bc= 0.
P25.- Resolver la ecuaci´on:
y0− 1
1 +ttg(y) = (1 +t)
2etsec(y).
Indicaci´on: Considere la sutituci´on u= sen(y), se entiende quey=y(t).
P26.- La ecuaci´on diferencial:
y(4xy+ 3)dx+x(3xy+ 2)dy= 0
P27.- Considere la ecuaci´on diferencial:M(t, x)dt+N(t, x)dx= 0 suponga que M y N son funciones de clase C1.
(a) Seag:R→Runa funci´on continua tal que:
∂M
∂x −
∂N ∂t
xN −tM =g(tx). donde xN−tM 6= 0 ∀(t, x)∈IR
2.
demostrar entonces que µ(t, x) = e
tx R s0
g(s)ds
es un factor integrante de la edo, cons0 una constante adecuada para el problema.
(b) Aplicar lo anterior para resolver la edo :
x2tdt+ 2t2xdx= 0.
P28.- Demostrar que la soluci´on general de la ecuaci´on:
(x2y+y3−xy)dx+x2dy= 0
satisface que
l´ım
x→∞
y(x) x = 0
Indicaci´on: Considere un factor integrante de la forma r(x, y) = x−3f(y/x), dondef es una funci´on derivable en alg´un abierto I.
P29.- Demostrar que la sustituci´on v = ln(y) transforma la ecuaci´on diferencial que se indica a continuaci´on, en una ecuaci´on lineal de primer orden:
y0+p(t)y=q(t)yln(y) ,
dondep yq son funciones continuas e y:I →IR+ es derivable en un intervalo
I.
P30.- Considere la ecuaci´on diferencial:
y0 =p(t)f(y) +q(t)g(y) , (4)
dondepyq son funciones continuas,f yg son derivables en un intervaloI yg no se anula en I.
(a) Demostrar que si:
f0(y)g(y)−g0(y)f(y)
g(y) =c0. (5)
donde c0 es una constante real, entonces la sustituci´on u = f(y)/g(y)
permite reducir la ecuaci´on (4) a una ecuaci´on lineal de primer orden en la variableu.
(b) Resolver la ecuaci´ony0 =tg(y) +1tsec(y) aplicando el m´etodo demostrado en la parte (a).
Indicaci´on:Verificar primero que se satisface la condici´on (5), conc0 = 1.
P31.- Considere la funci´on:
f :IR2 −→IR (t, y)7−→f(t, y)
la cual es continua y tal que ∂f∂y(t, y) tambi´en es continua. Suponga que f es peri´odica de per´ıodo 1 en su primera variable, es decir:
f(t+ 1, y) =f(t, y) ∀(t, y)∈IR2.
Seay=ϕ(t) una soluci´on definida en todoIR de la ecuaci´on:
y0 =f(t, y)
que satisfaceϕ(1) =ϕ(0). Demostrar queϕ(t+ 1) =ϕ(t) para todo t∈IR, es decir, ϕes peri´odica de per´ıodo 1.
Indicaci´on: Defina la funci´on ψ(t) = ϕ(t+ 1)−ϕ(t), encuentre la ecuaci´on diferencial que satisface y luego aplique el Teorema de existencia y unicidad para el problema de valor inicial asociado.
P32.- Considere una curva que pasa por el origen del primer cuadrante en el plano XY. El ´area bajo la curva desde el origen hasta un punto (x, y) es un tercio del ´area del rect´angulo que tiene a estos puntos como v´ertices opuestos. Se pide encontrar tal familia de curvas.
P33.- Considere un estanque cil´ındrico, el cual contiene agua hasta una cierta altura h y cuya secci´on basal es de Ω. Se pide encontrar y resolver la ecuaci´on de movimiento que se obtiene al abrir una llave que posee el estanque es el fondo cuya secci´on esω. Demostrar que el tiempot∗en el cual el estanque queda vac´ıo est´a dado por:
t∗ = Ω ω
√
2h g
Ω
ω y
h (t > 0)
y g
P34.- Considere una curva en el primer cuadrante del plano tal que cualquier punto P = (x, y) perteneciente a ella, satisface que la recta normal a la curva en el puntoP corta al ejeOX en el puntoN y al ejeOY en el puntoM de manera tal que P N =M N . Encontrar la familia de curvas que satisfacen esta propiedad.
P35.- Considere un puntoP cualquiera de una curva en el plano, de manera tal que el segmento de la tangente a la curva enP comprendido entre los ejes coordenados queda dividido en dos partes iguales por el punto de tangencia. Hallar la familia de curvas que satisface tal propiedad.
P36.- Hallar la familia de curvas para las cuales la longitud del tramo definido por la recta tangente entre el punto de contacto (x, y) y el eje de las ordenadas OY es igual al segmento que se origina entre el origen y el punto que nace en la intersecci´on del eje de las ordenadas con la recta tangente.
P37.- Seana, b:IR →IR dos funciones continuas de per´ıodo T, es decir se tiene que a(t+T) =a(t) , ∀t∈IR, lo mismo parab.
(a) Demostrar que u : IR → IR es una soluci´on T- peri´odica de la ecuaci´on diferencial:
x0 =a(t)x+b(t)
si y s´olo si x(0) =x(T).
Indicaci´on: Defina la funci´on ϕ(t) =u(t+T)−u(t) y luego use adecua-damente el Teorema de existencia y unicidad.
(b) Utilice este hecho para demostrar que la ecuaci´on tiene una soluci´on T
-peri´odica si se tiene la condici´on
T
∫
0
a(s)ds6= 0.
Indicaci´on: Encuentre la soluci´on general de la edo y use (a).
P38.- La siguiente ecuaci´on diferencial es un modelo para la venta esperada de un nuevo tel´efono celular:
y0 = (P0−y) (f(t) +σ(t)y)
(a) Identificar en el modelo qu´e representa:
(a.1) La poblaci´on total de compradores potenciales. (a.2) El n´umero de personas que compra el nuevo tel´efono. (a.3) El coeficiente de compra por imitaci´on.
(a.4) Los est´ımulos publicitarios.
(b) Encontrar una soluci´on constante evidente de la ecuaci´on. Reducir la ecuaci´on a una m´as simple mediante un cambio de variable adecuado. (c) Encontrar la forma general de la soluci´on.
(d) Calcular expl´ıcitamente la soluci´on sif(t) =at,σ(t) =bt dondea, b >0. (e) En el caso anterior si adem´asy(0) = 0,evaluar la constante indeterminada y calcular el tiempo para que la mitad de la poblaci´on potencial haya comprado el nuevo tel´efono.
P40.- Seanf, g:I →IR dos funciones derivables y tales quef 6=g enI. Considere la ecuaci´on diferencial:
yf(xy)dx+xg(xy)dy= 0. (6)
(a) Demostrar queu(x, y) = xy(f(xy)1−g(xy)) es un factor integrante para (6)
(b) Usar la parte anterior para encontrar la soluci´on general impl´ıcita de:
(xy2+ 2y)dx+ (3x2y−4x)dy= 0.
Y analizar el intervalo maximal de definici´on de la soluci´on.
P41.- En este problema estudiaremos el comportamiento de las soluciones de una EDO lineal de primer ordenrespecto a su lado derecho, en un caso particular. Para ello, sea a una constante real no nula y b1, b2 funciones continuas en [0,+∞[
tales que |b1(t)−b2(t)| ≤K, t∈[0,∞[,conK una constante positiva.
Seanφ1 yφ2 soluciones de:
y0+ay=b1 ,
y0+ay=b2 ,
respectivamente, y supongamos queφ1(0) =φ2(0).
(a) Demostrar que:
|φ1(t)−φ2(t)| ≤
K a(1−e
−at), ∀t∈[0,+∞[. (7)
Sia >0, estudiar (7) en el l´ımite. Comente.
(b) Sea z(t) la soluci´on de la ecuaci´on y0 +y = 1 + 14sen(t3) que satisface z(0) = 0. Demostrar que:
3 4(1−e
−t)≤z(t)≤ 5
4(1−e
−t), ∀t∈[0,+∞[.
P42.- Considere la ecuaci´on de variables separables:
y0 =y2cos(t).
Encontrar las soluciones constantes de la ecuaci´on. Luego demostrar que la soluci´on general, distinta a las constantes, est´a dada pory(t) = c−sen(t)1 . Analizar el comportamiento de las soluciones en funci´on del par´ametro c y hacer un bosquejo de ellas.
P43.- Suponga que la din´amica de poblaci´on de cierta regi´on obedece a la siguiente ley log´ıstica:
p0 =ap−bp2 . (8)
Por las condiciones geogr´aficas del lugar, una epidemia ataca a la poblaci´on cuando esta alcanza un valor de Q personas, con Q < a/b. A partir de ese instante, el modelo de poblaci´on cambia a la ecuaci´on diferencial:
donde Q > A/B (A < a, B < b). M´as a´un, la poblaci´on comienza a decrecer hasta que cede cuando la poblaci´on llega a un nivel q > A/B, q < Q. En ese punto, la poblaci´on vuelve a regirse por el modelo (8), hasta que en el futuro se alcance una nueva epidemia, generando una fluctuaci´on peri´odica de epidemias. Demostrar que el per´ıodoT de este ciclo (tomandoT como el tiempo que fluct´ua entre 2 fines de temporada consecutivos de la epidemia) est´a dado por:
T = 1 aln
[Q
q
(a−bq
a−Qb
)]
+ 1 Aln
[q
Q
(A−BQ
A−qB
)]
Verficar adem´as que T >0 seg´un los datos del problema.
P44.- Resolver el problema a valores iniciales:
dy dx =
x+y2
2y , y(0) = 1.
y determinar el intervalo maximal de definici´on de la soluci´on.
Indicaci´on: Ver que la ecuaci´on admite un factor integrante que s´olo depende de x.
P45.- Encontrar la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial:
(yln(y)−2xy)dx+ (x+y3ey)dy= 0.
Indicaci´on: Ver que la ecuaci´on admite un factor integrante que s´olo depende de y.
P46.- Considere la ecuaci´on diferencialno exacta: M(x, y)dx+N(x, y)dy= 0, donde M, N :IR2 →IR son funciones de claseC1, tales que M 6=N ∀(x, y)∈IR2.
(a) Seaz=x+y, demostrar que la condici´on para que la ecuaci´on admita un factor integrante de la formau(z) es que:
∂M
∂y −
∂N ∂x
N −M =f(z). (10)
Para f :IR→IR una funci´on continua. Determine tal factor. (b) Considere la ecuaci´on diferencial:
(7x3+ 3x2y+ 4y)dx+ (4x3+x+ 5y)dy= 0.
Verificar que se cumple la condici´on (10) , con lo cual se tiene un factor integrante de la formau(x, y) =g(x+y), dondeg:IR→IRes una funci´on derivable. Determinar tal factor y resolver la ecuaci´on.
P47.- Considere la ecuaci´on diferencial:
y0+ 2(1−x)y−y2=x(x−2)
(a) Encontrar una soluci´on particular de la formayp =ax+b.
(c) Obtener la soluci´on que satsiface y(2) = 2 y el intervalo maximal donde este definida.
P48.- Para t >0 considere la ecuaci´on de Ricatti:
y0+e−2ty2−1
t(1 + 4t+ 2t
2)y=−e2t
t (1 +t+ 2t
2+t3)
(a) Encontrar una soluci´on particular de la formayp =e2t(at+b).
(b) Determinar la soluci´on general de la ecuaci´on.
P49.- Resolver la ecuaci´on diferencial:y0 = yx+x−xy2y2.
Indicaci´on: Considere al cambio y = zxn, encontrar el valor del entero n de manera que la ecuaci´on se reduzca al caso de variables separables.
P50.- Considere la ecuaci´on diferencial:
dy dx =
y(1 + 2y) x+ 1
(a) Encontrar el conjunto donde la ecuaci´on este bien definida y lassoluciones constantes de la ecuaci´on.
(b) Demostrar que la soluci´on general de la ecuaci´on est´a dada implicitamente por 1+2yy =c(x+ 1), c∈IR.
(c) Considerando accomo par´ametro, discutir las correspondientes soluciones y sus respectivos intervalos de definici´on como tales. Encontrar la soluci´on que satisface y(−3) = 2.
TAREA 1:Preguntas P4, P9, P15, P18, P22, P23, P24, P27, P28, P30, P33, P36, P38, P41, P43, P46, P48, P50.
FECHA DE ENTREGA: INICIO de la Prueba 1.