Los primeros aprendizajes algebraicos.
El fracaso del éxito (1996)
Mabel Panizza(*), Patricia Sadovsky(**) y Carmen Sessa(**) (*) Ciclo Básico Común - (**) Fac. de Ciencias Exactas y Naturales
Universidad de Buenos Aires
La presente investigación busca desentrañar la relación existente entre una propuesta de enseñanza -usual en nuestro país- relativa a los primeros aprendizajes del álgebra, y los sentidos que los alumnos construyen. El estudio se basa en las observaciones de clase realizadas en un curso de primer año de escuela secundaria, donde se introduce el álgebra mediante ecuaciones de primer grado con una incógnita. Nuestro análisis muestra que la propuesta didáctica, por un lado pone énfasis en la continuidad con la aritmética y por otro provoca una fractura con el conocimiento anterior de los alumnos. Se formulan hipótesis acerca de los sentidos que los alumnos construyen mediante esta aproximación, y se identifican algunos sentidos relevantes que estarían fuera o se verían inhibidos por dichas concepciones, a pesar del éxito de la propuesta en relación con los objetivos del docente. Se señala además que el sistema observado no reconoce como objetivo introducir al álgebra a través de problemas para los cuales la misma resulte necesaria.
1. Introducción
Nuestra investigación busca identificar las condiciones de apropiación del álgebra elemental en alumnos de la escuela media. Habiendo puesto nuestra mira en los primeros aprendizajes, estamos pensando fundamentalmente en la utilización de letras como variables e incógnitas.
Tomando el marco teórico y metodológico de la Teoría de Situaciones (Brousseau,G; 1987), de la Ingeniería Didáctica (Artigue,M; 1988) y de la Dialéctica instrumento-objeto
(Douady,R; 1986), definimos como prioritario para poder avanzar en nuestra investigación, conocer mejor las relaciones entre las propuestas de enseñanza existentes y los sentidos que adquieren los alumnos acerca de los objetos algebraicos. Sólo tomando cierta distancia, y definiendo a la enseñanza del álgebra en nuestra escuela hoy, como un objeto a conocer, podríamos trascender la posición de crítica extrema que se limita a señalar los magros logros de los alumnos.
Como lo han señalado numerosos investigadores (Cortés,A Vergnaud, G -Kavafian,N ;1990, Chevallard, I; 1984), el aprendizaje del álgebra supone una ruptura epistemológica significativa. Desde esta perspectiva, nos propusimos realizar un conjunto de observaciones de clases introductorias de álgebra y analizar las propuestas de los libros de texto que funcionan como referencias importantes para los profesores.
El objetivo de este reporte es desentrañar en parte cuáles son las ofertas y las demandas
del sistema en los primeros aprendizajes de las herramientas algebraicas, cúales son las
aproximaciones al objeto que se proponen, cuáles son las tareas que se deben aprender a realizar para tener éxito en este tema. Nos proponemos fundamentalmente identificar cuáles son los sentidos que quedan afuera aún aprendiendo bien todo lo que el sistema exige
en los cursos y entre los profesores mejor que el habitual. La profesora observada -que ofreció colaborar con nuestra investigación- es una docente con buena reputación, que supo mantener la atención de los chicos, que demostró un buen trabajo con los errores de ellos y que, a juzgar por los resultados de una evaluación final, logró en gran medida los objetivos que se había propuesto. A estas observaciones agregaremos cuando sea necesario: menciones al libro de texto utilizado; datos extraídos de una encuesta exploratoria realizada a una muestra de más de 100 chicos de 12 a 17 años de otra escuela; una entrevistas realizadas varios meses después a la docente del curso y una entrevista clínica realizada a un par de alumnas,consideradas por la profesora entre las mejores de la clase.
2. Los objetivos del sistema.
El sistema observado plantea el inicio de lo algebraico a través del estudio de ecuaciones de primer grado con una incógnita, al cuál se le dedican 7 clases.
Todas las tareas que los estudiantes debieron realizar tanto durante las clases como en una evaluación posterior- tuvieron que ver con el logro de estos dos objetivos:
- Traducir del lenguaje coloquial al simbólico (esto es, poner en ecuación un problema o relación expresada en palabras).
- Resolver ecuaciones.
El artículo intenta mostrar algunos puntos que quedan oscuros a pesar del logro de estos objetivos y que podrían obstaculizar en el futuro la comprensión de los diferentes objetos algebraicos.
3 . El objeto ecuación en la escuela
Ecuación es una noción de definible dentro del campo de la Lógica Matemática. Su definición precisa, como función proposicional, no parece estar dentro de las posibilidades de los alumnos de 12-13 años que hacen su primera aproximación al uso de las letras como variables y como incógnitas. Chevallard (1985) sostiene que se trata de una noción paramatemática , es decir de una noción herramienta de la actividad matemática, que no constituye normalmente objeto de enseñanza en la escuela. Si bien el sistema no se propone que los estudiante aprendan "¿que es una ecuación?", para que ellos puedan adquirir con sentido los distintos objetos algebraicos que el sistema sí se plantea como objetos de enseñanza (ecuaciones de segundo grado, ecuaciones lineales con más de una variable, inecuaciones, funciones) será necesario que los alumnos vayan construyendo distintas aproximaciones al concepto de ecuación. Esto involucra la elaboración de los conceptos de raíz, conjunto solución, variable, ecuaciones equivalentes, etc..
A pesar de naturaleza compleja y de la difícil definición del objeto "ecuación", se comienza el tema de ecuaciones de primer grado con una incógnita con una definición de general de ecuación . Como consecuencia de esto, aparecen superpuestos -y en principio sin posibilidades de diferenciación para el alumno de 12-13 años- dos conceptos de naturaleza diferente: el de ecuación y el de ecuación de primer grado con una variable. La definición que se da para ambos conceptos es la de "igualdad conincógnita".
¿Qué conceptualizaciones hacen los alumnos a partir de toda esta presentación y de las tareas que realizan?
Pareciera ser que los estudiantes manejan simultáneamente dos concepciones de "igualdad con incógnita".
La primera se vincula a la forma de la expresión y estaría ligada a la presencia de un signo o símbolo que no es un numeral.
Según la segunda concepción, los alumnos identifican igualdad con igualdad numérica e incógnita con "número a develar". Ellos parecen sostener que una ecuación es una igualdad entre números en la que la x está "tapando" a un número que interviene en la expresión. La ecuación sería entonces una proposición -la afirmación de una igualdad- y no una función proposicional. Pensamos que esta concepción se opone a la de ecuación como restricción sobre un dominio.
Hemos observado que los alumnos, puestos ante la tarea de identificar ecuaciones frente a una lista de expresiones hacen jugar la primera de estas concepciones, reconociendo una diferencia entre la "especie" número y la "especie" incógnita. Sin embargo, al intentar resolver una ecuación sin solución terminan rechazándola como tal, lo que nos lleva a pensar que actualizan la concepción de igualdad numérica. El siguiente fragmento de la entrevista sostenida con dos alumnas puede interpretarse desde esta caracterización: (Se había propuesto a las alumnas resolver la ecuación 3 x + 2 = 3 x + 8. Las alumnas operan correctamente y llegan a la siguiente expresión 3 x - 3 x = 8 -2 )
(*)
A1: oy, oy, oy, oy... E: ¿qué pasó?
A1: si nosotros agrupamos las incógnitas de un miembro...sería 3x menos 3x, nos quedamos sin x
E: ¿y entonces? A2: cero x
E: ahá, ¿y entonces?
A1: no lo podemos resolver, nos quedamos sin x, sin incógnita. E: ¿y entonces?
A2: casi no es una ecuación. Claro, sería una ecuación... es una ecuación porque tiene incógnita, pero si uno la empieza a resolver, no es una ecuación porque...
A1 (interrumpiendo a A2) no tiene igualdad
E: o sea que puede ser que a mi me parezca que algo es una ecuación pero después me de cuenta de que no es? Eso puede ser?
A2: claro
A1 (primero duda) sí, porque uno cuando ve algo con incógnita dice: "ay!, una ecuación, pero capaz que después cuando resuelve eso no es una ecuación porque no tiene una igualdad, no llega a un resultado final
...
A1: para mí es una ecuación, pero no se puede llegar a un resultado final, no tiene una solución
A2: es una ecuación porque tiene incógnita, pero no tiene igualdad, para mí, no tiene igualdad A1: no, no tiene igualdad
E: entonces, si la ecuación es una igualdad con incógnita, qué pasa con ésta? (A1 y A2 permanecen un rato en silencio)
E: qué duda! ¿no?
A2: para mí es una ecuación porque tiene incógnita, pero no tiene igualdad
E: pero ustedes me dijeron que una ecuación es una igualdad con incógnita, entonces?
A2 (se ríe) O sea, no sé, así de vista, parece una ecuación, pero cuando te ponés a mirar bien, no tiene igualdad
A1: no, cuando la empezás a resolver, no podés llegar a un resultado final E: ¿y entonces?
A1: deja de ser una ecuación
E: o sea, nosotras dijimos que todas estas (una lista de expresiones que se les había dado para seleccionar cuáles eran ecuaciones) sí son, podría ser que después cambiemos de opinión? A1: ¿mientras uno lo va resolviendo? Sí
E: ¿En qué caso cambiarías de opinión? A1: en que sea ecuación?
E: sí
A1: si yo llego a un resultado final y es una igualdad, entonces, sí es una ecuación. Pero si no puedo llegar a un resultado final como en este caso, para mí, no es más una ecuación.
En distintos momentos de la entrevista, estas dos alumnas parecen poner en juego las dos concepciones antes señaladas. Analicemos, por ejemplo, la frase de A2: "de vista parece una ecuación pero cuando te ponés a mirar bien, no tiene igualdad". En la primera parte de la oración, el énfasis parece puesto en la forma de la expresión, en tanto que al final, ella prioriza la concepción de igualdad numérica. Otro tanto ocurre con la siguiente oración "si yo llego a un resultado final y es una igualdad, entonces, sí es una ecuación, pero si no puedo llegar a un resultado final como en este caso, para mí, no es más una ecuación", enunciada por A1. En síntesis, el cambio de status de la expresión (de ser ecuación pasa a no serlo) parece monitoreado por un cambio en la concepción que se pone en juego y ésta a su vez depende del tipo de tarea que se enfrenta (clasificar o resolver).
En la medida en que las tareas centrales propuestas por el docente son las de traducir y resolver ecuaciones, la concepción que más ponen en juego los alumnos -y por lo tanto la que más se consolida- sería la de ecuación como igualdad numérica con número a develar.
Hemos analizado hasta aquí la interpretación de la definición "igualdad con incógnita" por parte de los alumnos. ¿Cuál es la perspectiva del docente a propósito de esta cuestión? ¿Tiene conciencia de la distancia que existe entre la ecuación como función proposicional y las concepciones que manejan los alumnos? ¿Cuál es su representación interna del objeto ecuación? ¿Es diferente de la noción que pone en juego en el momento de la enseñanza? ¿Tiene conciencia de esas diferencias? En caso afirmativo, ¿pudo prever alguna manera de "negociar" esas diferencias?
Nuestras observaciones no nos permiten responder acabadamente las preguntas anteriores. Sin embargo, podemos sostener que aunque el docente tenga una representación interna de la ecuación como objeto formal, tanto el lenguaje que utiliza en la clase como las actividades que propone, apuntan a consolidar la concepción de la ecuación como igualdad numérica. Veamos algunos ejemplos que fundamentan nuestra afirmación.
En primer lugar, el recurso de la balanza, que es utilizada como referente de las ecuaciones, es solidario de la noción de incógnita como número a develar. Efectivamente, el equilibrio de la balanza se aproxima mucho más a la idea de igualdad ya dada, que a una igualdad formal acerca de la cual no se puede afirmar verdad o falsedad. En todo caso, el modelo de la balanza es interpretado por los alumnos con comodidad desde la concepción de ecuación como igualdad numérica.
miembros el mismo número" -dice el docente- "se conserva la igualdad". Insistir en "conservar la igualdad" y omitir decir que las operaciones que se realizan mantienen la igualdad para los mismos valores de la incógnita, nutre la idea de que, desde el vamos, la ecuación representa una igualdad entre números.
Todo este análisis pone en evidencia que el sistema observado intenta presentar el álgebra como una continuidad natural con la aritmética, ocultando la verdadera naturaleza de los nuevos objetos. Es fácil prever entonces dificultades futuras de los alumnos para la elaboración de nuevas nociones algebraicas.
4. La ausencia de la noción de variable
Decíamos antes que la concepción de ecuación como igualdad entre números se opone a la de ecuación como restriccion sobre un dominio, la cual necesita de la noción de variable. Esta observación nos lleva a formularnos las siguientes preguntas:
- ¿la conceptualización de las letras como incógnitas provoca obstáculos (en el sentido de Brousseau) para la concepción de la noción de variable?
- ¿la conceptualización de las letras como variables, favorece el proceso de ruptura entre la aritmética y el álgebra, ruptura que aparece como indispensable para que el álgebra cobre sentido? - ¿es posible apuntar a la conceptualización de las letras como variables, antes de que los alumnos elaboren la noción de incógnita? ¿A través de qué situaciones?
Si bien no estamos en condiciones de responder las preguntas planteadas, algunos resultados recogidos a través de la encuesta exploratoria nos permiten hacer algún avance.
Efectivamente, casi ningún sujeto pudo responder un item que solicitaba escribir una solución de la ecuación 3 x + 2 y = 7. Algunos estudiantes "agregaron" otra ecuación lineal y resolvieron el sistema y otros respondieron "que eso no tiene solución". Este resultado puede interpretarse a partir de algo ya notado por muchos investigadores , que es el fuerte arraigo a los algoritmos que desarrollan los estudiantes en el aprendizaje de la Matemática. Sin embargo, pensamos también que la concepción de ecuación como igualdad numérica podría bloquear el acceso a la comprensión de la naturaleza de las ecuaciones con dos variables, ya que en las mismas es imposible interpretar cada una de las variables como número desconocido.
Un problema similar podría plantearse con las ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
¿Cuál es la aproximación que hace el sistema observado a la noción de variable? Se comienza el tema "definiendo" variable. Para ello se apela a un ejemplo en el que se solicita traducir a símbolos la expresión "el perímetro de un cuadrado de lado x". A partir de allí se "muestra" que en la fórmula p= 4x, "x no tiene un significado fijo y es, por lo tanto, una variable". Por contraposición se define que "una letra es constante si en un cierto contexto tiene siempre el mismo significado". Como resultado de esto y desde la concepción de ecuación como igualdad numérica con número a develar , el símbolo x en una ecuación representaría una constante!!
5. Una pobre noción de equivalencia
Los alumnos manejan una concepción restringida de la equivalencia de ecuaciones, solidaria de la concepción de la ecuación como igualdad con incógnita, Efectivamente, las operaciones permitidas en la resolución de una ecuación (sumar o restar a ambos miembros, multiplicar o dividir) lo son porque se conserva la igualdad numérica subyacente y no porque se obtienen ecuaciones con el mismo conjunto solución.
Como ya lo hemos notado en el punto anterior, el discurso del docente que habla "de conservar la igualdad" sin indicar que lo que en realidad se conserva es el conjunto solución, refuerza las concepciones de los alumnos. Si bien el docente parecería manejar una idea implícita de ecuación como igualdad formal con un conjunto solución asociado, su lenguaje no diferencia las alusiones a igualdad formal de las alusiones a igualdad numérica.
¿Qué problemas podría traer a posteriori esta concepción tan restringida de operaciones permitidas?
Por ejemplo, estaría "permitido pasar" de la ecuación x + 1 = 2 a la ecuación
x 2 + x = 2 x, ya que, en la medida en que x es un número, se ha "conservado la igualdad" al multiplicar ambos miembros por él. Desde esta perspectiva ser'ia muy dificil entender la aparición de una solución extraña.
Otro problema que podemos prever y que parece relacionado con el reemplazo de la noción de "ecuaciones equivalentes" por la de "conservar la igualdad" aparece en los sistemas de ecuaciones lineales cuando los alumnos suman o restan dos ecuaciones y quedan con esta nueva ecuación en reemplazo de las dos anteriores. Sin duda han "conservado la igualdad" con esta operación.
6- Ruptura versus continuidad y fractura
Hasta aquí, hemos formulado algunas hipótesis acerca de los posibles efectos de las aproximaciones que ponen énfasis en la continuidad con la aritmética, sobre los aprendizajes posteriores relativos a ecuaciones de orden superior, o a sistemas lineales.
Este planteo por "continuidad" coexiste en el sistema observado con un tratamiento que provoca una fractura con el conocimiento anterior de los alumnos.
Esta problemática se inserta en el hecho de que en nuestro país, los primeros aprendizajes del álgebra corresponden al comienzo de la escuela media. Es así que, a diferencia de otras rupturas conceptuales que se producen dentro del mismo marco institucional, la ruptura que supone el aprendizaje del álgebra se inserta en otra, la institucional. (Y. Chevallard,(1984))
En particular, los alumnos se ven expuestos a cambios originados en las diferencias entre las representaciones internas que maestros y profesores poseen de los saberes a enseñar, en tanto objetos matematicos y en tanto objetos didacticos.
Dos aspectos importantes observados provocan -desde nuestro punto de vista- una fractura con el conocimiento anterior.
a) El primero de ellos se refiere al status que el sistema observado confiere al tratamiento simbolico (en el sentido algebraico) al identificarlo con el tratamiento matematico.
De esta manera, toda la actividad realizada anteriormente por los alumnos queda fuera de la matematica, al no ser considerada simbólica.
status superior, una mayor complejidad. Las letras aparecen asociadas a la dificultad, al punto donde el trabajo en la clase de matemática se torna icomprensible y ajeno. Algunas respuestas tipicas fueron:
-"Para razonar más".
-"Para hacer más dificil, y por lo tanto, pensar más". -"Para entender más, pero es complicado" .
b) El otro aspecto se refiere a la resolución de ecuaciones. Hemos señalado ya que dentro del curriculum las ecuaciones aparecen por primera vez en el primer año de la escuela media. Ahora bien, algunos maestros, "con el ánimo de preparar mejor para la "nueva institución", enseñan ecuaciones en el séptimo ( y último ) grado de la escuela primaria.
Adquiere aqui relevancia la diferencia entre maestros y profesores en relación a este saber. El maestro considera como procedimiento válido el de "pasar de miembro". El saber oficial en la escuela media, en cambio, reconoce como procedimiento válido aquél que proviene de aplicar a ambos miembros de una ecuación las propiedades uniformes (de la suma o el producto).
Esto, sin duda, constituye un problema, que se complica por el hecho de que el viejo procedimiento no es conocido por todos los alumnos.
¿ De qué manera lo encara el sistema? Segun las observaciones realizadas, se intenta ignorar el conocimiento anterior de los alumnos, inhibiendo su uso con el afan de que se adquiera "el nuevo" procedimiento. Dicho intento supone vencer una inercia muy fuerte, dado que los alumnos no entienden por que no pueden apelar al procedimiento conocido.
A esto se agrega que, una vez enseñado el procedimiento de cancelar, no se gestan las acciones pertinentes para que los alumnos encuentren que ambos procedimientos coinciden tanto en los fundamentos que los hacen correctos, como en los efectos que producen.
De esta manera, no solo se provoca una fractura inicial con el conociemiento anterior, sino que el procedimiento de cancelar no llega a constituirse en un elemento de control para los alumnos en relación a sus habituales errores o hesitaciones en el procedimiento de "pasar".
Estos tipos de aproximaciones que por un lado ponen enfasis en la continuidad con la aritmetica y por otro provocan una fractura con el conocimiento anterior, dejan afuera una cuestion que consideramos esencial para la negociacion de la ruptura que supone el pasaje de la aritmetica al algebra: el juego dialéctico entre el conocimiento nuevo y el conocimiento anterior (Douady, Vergnaud, Chevallard ).
7. La necesidad como necesidad
Desde el marco teórico de la Dialéctica instrumento-objeto y de la Teoría de Situaciones, es claro que para provocar una ruptura con la aritmética, el álgebra debe presentarse como necesaria.
Encontrar propuestas didácticas que resuelvan satisfactoriamente la compleja articulación entre necesidad y dificultad es motivo de investigación en el orden internacional, y es también un objetivo futuro de nuestro trabajo.
Por el contrario, según las observaciones realizadas, la enseñanza usual en nuestro país, no tendría por objetivo introducir al algebra como herramienta que hace posible resolver problemas nuevos.
Cortes, Vergnaud y Kafakian ,(1990 ) advierten que en tanto las tareas que realizan los alumnos es de entrada una respuesta a la demanda del enseñante, sus aprendizajes reposan sobre la
aceptación del contrato.
La docente observada, para sostener esta aceptación del contrato, explicita en las clases diversas "razones":
" más adelante aparecerán problemas difíciles, para los cuales necesitarán saber ecuaciones"; " cuando tengan que resolver problemas con números mas grandes van a necesitar las ecuaciones"
" si los hacen mentalmente y les dá mal yo no podré ver donde se equivocaron" (expresión que además deja a cargo del docente el recurso de control).
El otro gran aspecto alrededor del cual el sistema negocia el problema de la necesidad parece basarse en razones de "orden superior" : el algebra aparece como una forma de progresar dentro de la matemática, pero este progreso obedece a criterios externos a la necesidad del alumno.
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