Realizado por : Miguel Guzmán (magt369gmail.com)

(1)

1.-

_Sea

> 0

_{tal que se define la suma y la multiplicación por un escalar.}

+ =

=

¿Sera un espacio vectorial?

SOLUCION_{. Para demostrar la veracidad de un espacio vectorial, debemos demostrar los 10 axiomas} del teorema. Para ello, se establece las hipótesis

Sea , , ∈ ∈ ⇐“_hipótesis” a.- + = > 0 > 0 > 0

b.- + + = + +

+ + = + =

c.- 0∈ => + 0 =

+ = = => = 1

d.- + − = 0

+ − = + −1 = + = = 1

e.- + = +

+ = = = +

f.- ∈

= > 0

g.- + = +

+ = = = = + = +

h.- + = +

+ = = = + = +

i.- =

= = = =

j.- 1. = _;1. = =

(2)

2.-

_{Sea el conjunto de}

2

_{con la suma y la multiplicación por un escalar definida por;}

demuestre que es un espacio vectorial.

" , + , # =

_,

₌

₊

+ + 1, + # + 1

_{− 1, +}

_{− 1}

SOLUCION. _{Procedemos como el ejercicio anterior. Establecemos las hipótesis del problema}

HIPOTESIS: , = , ; ,, = , # ; ,,, = , . ∈ /_{, , ∈}

a.- , + , # = + + 1, + # + 1

b.- , + , # + , . = , + , # + , .

+ + 1, + # + 1 + , . = + + + 2, + # + . + 2 , + + + 1, # + . + 1 = + + + 2, + # + . + 2

c.- , + 5 = , este axioma establece la existencia del elemento neutro, por lo que basta con determinar cuál es para garantizar así el axioma

, + H, I = + H + 1, + I + 1 = , => H = I = −1 ; Entonces 5 = −1, −1

d.- , + − , = 0J5

, + −1 − − 1, −1 − − 1 = −1, −1 e.- , + , # = , # + ,

+ + 1, + # + 1 = + + 1, # + + 1 = , # + , f.- , ∈

+ − 1, + − 1 ∈ /

g.- , + , # = , + , #

+ + 1, + # + 1 = + + + 1 − 1, + + # + 1 − 1

= 2 + + − 1, 2 + + # − 1

+ − 1, + − 1 + + − 1, + # − 1 =

2 + + − 1, 2 + + # − 1 = 2 + + − 1, 2 + + # − 1

h.- + , = , + ,

(3)

+ −1 1 1, 1 1 1

1, 1 1, 1 , ,

i.- , ,

1, 1 1 1, 1 1

1, 1 ,

j.- 1. , ,

1. , 1 1, 1 1 ,

De i a x queda demostrado que si es un espacio vectorial

3333....---- Sea Q

RS

.

/

_.

T

_{U será W un subespacio de W}

T

SOLUCION: SOLUCION: SOLUCION: SOLUCION:

Demostramos las tres hipótesis de los subespacios

i.- Sea S 1 / ₂ T_; _S _{∈ Q} _{Q ] ∅ “hipótesis de que el conjunto es no vacío}_{no vacío}_{no vacío”}_{no vacío}

Hipótesis: Sea S , ∈ Q ∈

La hipótesis me garantiza que S . / _. T_; _a _a _b / _b T

ii.- S ∈ Q ¿ d a HSefg e a gg b g b e d H ?

. / . T a a b / b T a . a b T . b T

a a . b / _. _b T_{∈ Q}

Luego S ∈ Q

iii.- . S ∈ Q ¿ d a HSefg e a gg b g b e H eifSefa afjI Sjg I da e g?

. / _. T _. / _. T _. / _. T

Entonces . S ∈ Q

Se concluye de i. ii. iii. Que W es un subespacio vectorial de WT

(4)

5.

5. 5.---- = n

/o/

;

p = R

∈ /

det

=

0U

Observemos que significa la condición dada.

Sea r_{a bs cualquier matriz de orden 2 2; det}. b .a ; det 0 b .a

Luego demostramos las hipótesis de un subespacio.

i.- Sea r1 1_{1 1s ; det} 1 1 0 e tj ∈ p p ] ∅ es no vacío.

Hipótesis. Sea r_{a bs u v}. _{t xy ∈ Q ∈}w

ii.- u ∈ p ¿ d a HSefg e a gg b g b e d H ?

r_{a bs v}. _{t xy v}w _{a t b xy ; det}. w u b x . w a t

det u b x b x .a .t wa wt

Ya que ∈ Q ⇒ . ab 0 asi mismo u ∈ Q ⇒ x wt 0 se tiene que

det u x b .t wa ] 0

Luego u ∉ p

C no es un subespacio vectorial. Demuestre que no lo es, dando un contraejemplocontraejemplocontraejemplocontraejemplo.

6.

6. 6.---- Sea

p′•0,1€, definimos • Rw ∈ p′•0,1€: w

‚

₀

_0U

SOLUCION. SOLUCION. SOLUCION. SOLUCION.

i.- Sea w /_{; w}‚ _{2 ; w}‚ ₀ _{0, e tj w} _{∈ •} _{• ] ∅ el conjunto es no vacio.}

Hipótesis, sea w , t ∈ • ∈

ii.- w t ∈ • ¿ d a HSefg e a gg b g b e d H ?

w t ‚ w‚ _t‚ _{; w}‚ ₀ _t‚ ₀ _{0 0 0}

Luego w t ∈ •

iii.- w ∈ • ¿ d a HSefg e a gg b g b H eifSefa afjI Sjg I da e g?

(5)

Luego w ∈ •

Se concluye de i. ii. iii. H es un subespacio vectorial de V.

7.

7. 7.---- Sea = p• , .€ definimos • = w ∈ p• , .€; … w b

_‡†

= 1ˆ

i.- Sea w =_{† ‡}

‰†_{. − b =}1 . −_{. −}

‡ = 1 => w ∈ • => • ≠ ∅ luego el subconjunto es no vacio

Hipótesis, sea w , t ∈ • ∈

ii.- w + t ∈ • ¿ d a HSefg e a gg b g b e d H ?

w + t ; ‰ w† + t

‡ b = ‰ w b

†

‡ + ‰ t b

†

‡ = 1 + 1 = 2 ≠ 1

Luego w + t ∉ •

H no es un subespacio vectorial.

8.

8. 8.---- Se define

• = R ∈ n

/

;

= 0U ; •

/

=

∈ n

/

; = r−. .sˆ

a.

Es • , •

/

subespacio vectoriales.

b.

Describa • ∩ •

/

c.

Es • ∩ •

/

subespacio vectorial

a. Si son subespacios vectoriales, demuéstrelo.

b. • ∩ •/ •

= 0

= r−. .s ⇒ • ∩ •/ ; = r0 0s la intersección viene dada por aquel

(6)

Hipótesis, = r0 0s,u = r0 .. 0s ∈ • ∩ •/ , ∈

ii.- + u ∈ • ∩ •/ ¿ d a HSefg e a gg b g b e d H ?

r0 0s + r0 .. 0s = r + .0 + .0 s Luego; + u ∈ • ∩ •/

iii.- ∈ • ∩ •_/ ¿ d a HSefg e a gg b g b e H eifSefa afjI Sjg I da e g ?

r0 0s = r 0 0 s Luego, ∈ • ∩ •/

Se concluye de i. ii. iii. Que • ∩ •/ es un subespacio vectorial.

9.

9. 9.---- Sea • = R , , , # ∈

•

_{: + . + a + b# = 0U ¿Sera un subespacio vectorial?}

Nota

: Se conoce como hiperplano.

i.- Sea −., − , −b, −a ;

−. + . − + a −b + b −a = 0 e tj ∈ • => • ≠ ∅ Luego el subconjunto es no vacío. Hipótesis, sea , , , # , u /, /, /, #/ ∈ • ∈

ii.- + u ∈ • ¿ d a HSefg e a gg b g b e d H ?

+ u = + /, + /, + /, # + #/

=> + / + . + / + a + / + b # + #/

= + . + a + b# + /+ . /+ a /+ b#/ = 0 + 0 = 0

Luego + u ∈ •.

iii.- ∈ • ¿ d a HSefg e a gg b g b e H eifSefa afjI Sjg I da e g?

= , , , # => + . . + a + b # = + . + a + b#

= 0 = 0 Luego, ∈ •

(7)

Nota: Nota: Nota: Nota:

1.- Debe darse cuenta sobre la condición que se debe cumplir para que un elemento pertenezca o no a un subespacio vectorial, este viene dado por ejemplo

• ∩ •/ ; = r0 0s

Se describe como el conjunto de matrices cuyos elementos = //= 0

Mientras que

/= /

Por lo que

r0 1_{2 0s ∉ • ∩ •}/ ; r 0 −3_{−3 0 s ∈ • ∩ •}/

2.- Para los espacios vectoriales debe demostrar uno a uno los 10 axiomas. Si logra demostrar la falsedad de uno, entonces establezca un contraejemplo para asi concluir que no es un espacio vectorial