DISEÑO EXPERIMENTAL Y OPTIMIZACIÓN DE SISTEMAS CON MÚLTIPLES RESPUESTAS

3 - METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA (RSM)

M.S Cámara – M.M. De Zan – L. Vera Candioti – H. Goicoechea

2016

DISEÑO EXPERIMENTAL Y



Conocer el funcionamiento de un sistema o

proceso.



Encontrar las condiciones óptimas

de

funcionamiento.



Mejoras en costo, tiempo, eficiencia,

productividad y /o calidad.

Conocimiento del

sistema

Mejora de la

calidad



Desarrollo teórico y primeras aplicaciones (década

1990)

o Box y Draper (1987) o Cornell (1991)

o Montgomery y Myers (1996) o Araujo y Brereton (1996)



Aplicaciones en expansión

(softwares comerciales)

o Procesos de fabricación industrial oQuímica oFarmacéutica oBiotecnologica JMP-IN MINITAB STATISTICA STATGRAPHICS

DESIGN-EXPERT



Originada por el trabajo de Box y Wilson (1951)

Box, G. E. P., Wilson, K. G. (1951),“On the experimental attainment of optimum conditions”, Journal of the Royal Statistical Society, B 13, 1-45

)

,

(

x

x

f

y



RESPUESTA

Analizar el comportamiento de una

x

x

Conjunto de técnicas

matemáticas y estadísticas

MODELO

Construir un

Datos experimentales

niveles

OPTIMIZAR

DISE

Ñ

O DE

EXPERIMENTOS

Encontrar el

ÓPTIMO

Representación Gráfica del Modelo

)

,

(

x

x

f

y



Graficas de Contorno y Superficie de Respuesta

Pr

od

u

cc

ió

n

d

e

alme

n

d

ra

s Respuesta en el _espacio

tridimensional para la producción de

almendras en función de los fertilizantes

utilizados

Pr od u cc ió n d e alme n d ra s

Gráficas de Contorno y Superficie de Respuesta

Cada línea de

contorno está

formada por

todas las

combinaciones

de los factores

que producen

una misma

respuesta

Design-Expert® Software Rendimiento

Design Points 55.1

20.6

X1 = A: Temperatura X2 = B: Tiempo

20.00 27.50 35.00 42.50 50.00 24.00

30.00 36.00 42.00

48.00 Rendimiento

A: Tem peratura

B : T ie m p o 26.6 32.5 38.4 44.3 44.3 50.2 54.6 56.1

Gráfica de Contorno

Gráfica de contornos

Superficie de Respuesta

Líneas de Isorespuesta

Óptimo de la Respuesta

Niveles óptimos

de las variables

Producción

Surfactante

Factores Significativos

1

Temperatura

20- 60 ºC

2

Tiempo de incubación

24-48 hs

¡Optimizar el rendimiento!

Rangos

Experimentos exploratorios

Selección de factores

T (°C) Tpo (Hs) R (g/L)

20 24 20.6

24 24 26.1

28 24 32.0

32 24 36.3

36 24 39.2

40 24 42.0

44 24 42.9

48 24 43.8

52 24 42.5

56 24 41.2

Variaciones de temperatura

Condiciones óptimas de temperatura

T= 48° R= 43.8 g/L

Temperatura (ºC)

Re

nd

imiento

Grafica de respuesta univariada

Valor óptimo de temperatura

Sección transversal de la superficie de respuesta ESTRATEGIA “OVAT”

T (°C) Tpo (Hs) R (g/L)

48 24 43.8

48 28 47.8

48 32 50.6

48 36 50.8

48 40 49.2

48 44 45.6

Variaciones de tiempo

R= 50.8 g/L

Condiciones óptimas de tiempo a 48ºC

Tpo= 36 hs Tiempo (horas)

R e n d imi e n to

Grafica de respuesta univariada

Valor óptimo de tiempo

ESTRATEGIA “OVAT”

Sección transversal de la superficie de respuesta 16 experimentos sucesivos: varios días de trabajo

(se pueden hacer en simultáneo en bloques)

Variaciones simultáneas de tiempo y temperatura

T (°C) Tpo (Hs) R (g/L)

20 24 20.6

20 36 44.9

20 48 51.0

35 24 39.9

35 36 54.9

35 48 52.1

50 24 43.0

50 36 49.1

50 48 37.0

Predicción del óptimo por modelado:

Rendimiento = 56.2 g/L T= 34°, Tiempo= 40 hs

R e n d imi e n to

Valor óptimo de tiempo y temperatura Grafica de superficie

de respuesta

Design-Expert® Software Rendimiento

Design Points 55.1

20.6

X1 = A: Temperatura X2 = B: Tiempo

20.00 27.50 35.00 42.50 50.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 Rendimiento

A: Tem peratura

B : T ie m p o 26.6 32.5 38.4 44.3 44.3 50.2 54.6 56.1 mínimo máximo

Design-Expert® Softw are

Area NAPRO

2.17954E+006

1.18672E+006

X1 = A: pH muestra

X2 = B: Stirring rate

Actual Factor

C: adición sal = 0.94

2.00

3.25

4.50

5.75

7.00

900.00

1000.00

1100.00

1200.00

1300.00

Area NAPRO

1.25639E+006

1.25639E+006

1.5569E+006

1.5569E+006

1.85741E+006

1.85741E+006

2.15791E+006

2.45842E+006

1.62857E+006

1.62857E+006

1.72323E+006

1.72323E+006

1.41702E+006

1.41702E+006

Grafica de contorno

X ₁ X ₃

X ₂

X ₁ constante

X ₁

X ₂ X ₃

X ₂ constante X ₃ constante







f

(

x

,....,

x

)

y

Una misma RESPUESTA puede depender de más de dos factores

Técnicas de optimización

¿Cuál es el óptimo?

Design-Expert® Softw are Area SUL

513107

333539

X1 = B: Stirring rate X2 = C: adición sal Actual Factor A: pH muestra = 7.00

900.00 1000.00 1100.00 1200.00 1300.00 0.18

0.63 1.09 1.55

2.00 Area SUL

320153 369177 418200 467223 516246 10.965 15.847 9.732 7.921 5.396

Design-Expert® Softw are Area CBZ

Design Points 205584

153080

X1 = A: pH muestra X2 = B: Stirring rate Actual Factor C: adición sal = 1.66

1.00 2.75 4.50 6.25 8.00 800.00 950.00 1100.00 1250.00 1400.00 187103 190356 193610 196863 200116 80.61 60.20 45.89 30.94 15.53

Design-Expert® Softw are Area PIR

239736

163579

X1 = A: pH muestra X2 = C: adición sal Actual Factor

B: Stirring rate = 1116.22

2.00 3.25 4.50 5.75 7.00 0.18

0.63 1.09 1.55

2.00 Area PIR

168276 183461 198646 213831 229016 160.09 120.74 89.61 59.75 30.84

El comportamiento óptimo de un SISTEMA puede depender de más de una RESPUESTA.

Respuesta 1 Respuesta 2 Respuesta 3

Técnicas de optimización de respuestas múltiples

Requerimientos y

pasos para la



Creación de un Diseño de Experimentos



Ajuste de un Modelo



Utilización de una Técnica de Optimización

Explorar el modelo para obtener información sobre el óptimo

Diseño Modelo

No se le puede exigir al diseño más información de la que puede brindar

• Para construir un modelo se necesitan como mínimo la misma cantidad de puntos experimentales diferentes que coeficientes a estimar.

• Para evaluar la falta de ajuste se deben incluir repeticiones de un punto del diseño

22





















12 12 2 2 1 1

0

x

x

x

y

22 _{+ p}

central

22 _{+ p}

central + paxiales























x

x

x

curvatura

y





























0

x

x

x

x

x

y

?

o

¿₁₁x₁2 ₂₂x₂2

CONSTRUCCIÓN DE UN MODELO

Experimentos para optimizar la extracción de un alcaloide

pH (X1)

Temperatura (X2)

mg/g (y) 0 -1 43 -1 1 65 1 0 49 0 1 69 -1 -1 21 1 -1 43 1 1 62 -1 0 45 0 0 57 0 0 54 0 0 61 0 0 57

 Lineal

y= 52.2 + 3.8 x1

+ 14.8 x2

 Lineal con Interacción y= 52.2 + 3.8 x1

+ 14.8 x2

- 6.2 x1 x2

 Cuadrático

y= 56.9 + 3.8 x1

+ 14.8 x2

- 6.2 x1 x2

- 9.2 (x1)2

- 0.2 (x2)2

Modelo SC gl MC F₀ p (F_t >F₀) R2 aj

LINEAL 0.70

Regresión 1408 2 704.2 13.6 0.001 significativa Error Residual 465.3 9 51.7

FAj 440.6 6 73.4 8.9 0.039 significativa

INTERACCION 0.77

Regresión 1565 3 521.5 13.5 0.002 significativa Error Residual 309.1 8 38.6

FAj 284.3 5 56.87 6.8 0.070 en el límite

CUADRATICO 0.95

Regresión 1826 5 365.2 46.0 <0.001 significativa Error Residual 47.9 6 7.9

FAj 22.8 3 761 0.91 0.526 no significativa

Error Puro 24.8 3 8.2

Elegir Modelo: mayor F₀ de regresión menor F₀ de Falta Ajuste mayor R2

aj

Pruebas de Hipótesis para los coeficientes del modelo

Modelo Cuadrático Completo y = 56.9 + 3.8 x1

+ 14.8 x2

- 6.2 x1 x2

- 9.2 (x1)2

- 0.2 (x2)2

¿Todos los términos son significativos? ¿Todos son importantes?

¿Todos aportan información?

Las Hipótesis que hay que probar son:

0 i 1 i

H :

 

0 H :

 

0

i

0 0.05,k,n k 1

E

CM

F

F

CM





Significancia del Coeficiente:

0 0.05,2,n k 1

E

ˆ

t

t

CM







Modelo completo

Utilizar el modelo más simple que describa el comportamiento del

sistema

MODELO CUADRÁTICO

SC gl MC F₀ p (F_t >F₀)

Regresión 1826 5 365.2 46.0 <0.001 x1 88.2 1 88.2 11.1 0.016

x2 1320 1 1320 166 <0.001

x1 x2 156 1 156 19.7 0.004

(x1)2 228 1 228 28.8 0.002

(x2)2 0.17 1 0.17 0.02 0.889

Residual 47.9 6 7.9

LOF 22.8 3 761 0.91 0.526 Error Puro 24.8 3 8.2

Variable no significativa

Eliminar del modelo

Evaluación del los Coeficientes



Manual



_{Eliminación Backward}

Modelo Completo

Modelo Depurado



Adición Forward

Modelo Reducido

Modelo Depurado

y = 56.9 + 3.8 x1

+ 14.8 x2

- 6.2 x1 x2

- 9.2 (x1)2

- 0.2 (x2)2

CATEGORÍA DE LOS MODELOS

Modelo Completo _{Modelo Reducido} Modelo Jerárquico

y = 56.9 + 3.8 x1

+ 14.8 x2

- 6.2 x1 x2

- 9.2 (x1)2

y = 38.9 + 13.3 x1

- 0.3 x2

+ 0.1 x1 x2

- 9.2 (x1)2

- 1.2 (x2)2

y = 38.9 + 13.3 x1

- 9.2 (x1)2

- 1.2 (x2)2

y = 38.9 + 13.3 x1

- 0.3 x2

- 9.2 (x1)2

- 1.2 (x2)2

Un Modelo es Jerárquico cuando contiene todos los términos más simples que componen los términos de mayor orden que están en el modelo. Los modelos

jerárquicos tienen un comportamiento más estable que los no jerárquicos.

Se conserva el término de primer orden

0

0

k

i i i

y





x







 



MODELO LINEAL o de PRIMER ORDEN

coeficiente del modelo que afecta al factor

i

x





0

término constante





Design-Expert® Software T (A)

1.51

0.77

X1 = B: pH X2 = C: Temp Actual Factors A: Apareante = 15.00 D: Acetato = 60.00

3.000 3.250 3.500 3.750 4.000 25.00 28.75 32.50 36.25 40.00 1.090 1.123 1.155 1.188 1.220 R e s p u e s ta X2 X1

Para dos factores este modelo tiene 3 términos

Para k> 2 es un hiperplano

0

0

k

i i ij i j

i i j

y





x



x x







 

 



MODELO LINEAL CON INTERACCIÓN

coeficiente de interacción entre el factor y el factor

ij

x

x





Para dos factores este modelo tiene 4 términos

Design-Expert® Software R (A)

13.232

0.985

X1 = A: Apareante X2 = D: Acetato Actual Factors B: pH = 3.500 C: Temp = 32.50

12.00 16.50 21.00 25.50 30.00 20.00 52.50 85.00 117.5 150.0 0.0000 6.250 12.50 18.75 25.00 R e s p u e s ta X2 X1

Puede verse como X2 tiene distinto comportamiento

según X1

2 0

0 1

k k

i i ii i ij i j

i i i j

y





x



x



x x



 



 

 

 



MODELO CUADRATICO o de SEGUNDO ORDEN

2

coeficiente que explica la curvatura del factor

ii

x





Para dos factores este modelo tiene 6 términos

Design-Expert® Software Dureza

5.56

2.09

X1 = A: % Manitol X2 = B: %Camphor

-1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 2 2.925 3.85 4.775 5.7 D u re za

A : % Manitol

B: %Camphor

MODELO CÚBICO o de TERCER ORDEN

Para dos factores este modelo tiene 10 términos

Design-Expert® Software

R3

82

1.33

X1 = A: A X2 = B: B

Actual Factor C: C = 0.00

-1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 -8 10.75 29.5 48.25 67 R 3 A: A B: B















































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

1

Definir los objetivos de la optimización

2

Seleccionar los factores que resultan significativos

Plantear adecuadamente el PROBLEMA a resolver y seleccionar la RESPUESTA a evaluar

3

Establecer la Región de Operabilidad

Considerar las posibilidades instrumentales y la información sobre el sistema

4

Seleccionar un Entorno Experimental

Definir la región del espacio de los factores en donde vamos a planear los experimentos

6

Elaborar un Modelo Matemático

Graficar la SUPERFICIE DE RESPUESTA y evaluar resultados

7

Localizar el Óptimo buscado para la Respuesta

Utilizar herramientas gráficas y/o matemáticas para predecirlo.

8

Verificar experimentalmente

Confirmar el valor de la respuesta utilizando los niveles óptimos de los factores

5

Construir un Diseño Experimental de Optimización

Recabar datos experimentales

Repetir los pasos

4

5

6

Si conocemos poco del sistema, el punto óptimo puede encontrarse fuera del entorno experimental inicial

Región de Operabilidad

Condiciones en donde el proceso o equipo puede ser

operado

Entorno Experimental

Limitado por los niveles seleccionados para los factores X1

X2

X3

El Entorno Experimental debe moverse hacia la localización del óptimo

Diseño Experimental de Optimización

Modelo probable

Conocimiento previo del

sistema

•

•

Primer orden

Segundo orden

SI

NO

Determinación del Óptimo Aproximación al Óptimo

Diseño de Optimización de Primer Orden

Modelo de Primer Orden

Mover el Entorno

Experimental en el sentido del Óptimo

lineal

no lineal

Establecer

Condiciones Óptimas Aproximación al Óptimo

Experimentar

Evaluar curvatura

Localización del Óptimo

Diseño de Optimización de Segundo Orden

Modelo de Segundo Orden

Caracterizar la Superficie Experimentar

Aproximación al

Objetivo: Aplicar experimentos que permitan moverse rápidamente a las proximidades del óptimo buscado para la respuesta.

Diseños Experimentales de Primer Orden

Técnica de

ESCALAMIENTO ASCENDENTE

(o descendente)

Esta técnica opera “paso a paso” , programando el paso siguiente en función de los resultados del anterior

En cada paso se estudia una región relativamente pequeña.

Modelos de Primer Orden

SIMPLEX: Figura geométrica con k + 1 vértices (k: nº de factores)

Diseño SIMPLEX

factor 1

fac

tor 2

factor 1

fac

tor 2

factor 1

fac

tor 2

FACTORIAL EN DOS NIVELES: se estudian todas las combinaciones de los factores en +1 y -1

factor 1

fac

tor 2

Diseño SIMPLEX

Paso 1

Simplex Inicial: experimentos 1, 2 y 3

La peor respuesta es la del experimento 3 Buscar un opuesto

Paso 2

Segundo Simplex : experimentos 1, 2 y 4

La peor respuesta es la del experimento 2

Método de Escalamiento Ascendente sin ajustar

Modelo

DISEÑO SIMPLEX en ESCALAMIENTO ASCENDENTE

Paso 3

Tercer Simplex : experimentos 1, 4 y 5

Paso 4

Cuarto Simplex : experimentos 4, 5 y 6

Paso 5

Quinto Simplex : experimentos 5, 6 y 7

Seleccionar un Entorno Experimental para un Diseño de Segundo Orden que permita

Se recorre

secuencialmente una trayectoria en sentido

de su máxima pendiente, es decir, del mayor incremento

o decremento de la respuesta ascenso descenso 0 0 k i i i

y





x







 



Superficie ajustada con un Modelo de Primer Orden

Normal de la

Superficie de

Respuesta

ajustada

Design-Expert® Software R1

55.1

20.6

X1 = A: A X2 = B: B

-1. 000 -0. 5000 0. 0000 0. 5000 1. 000 -1. 000 -0. 5000 0. 0000 0. 5000 1. 000 Respuesta

F actor 1

F a ct o r 2 54.04 55.58

Paso 1

Paso 2

o Punto Central

(x_i = x_j =…..x_k = 0) coincidente con el

Punto de Origen

o Réplicas en el Punto Central

Paso 3

j

i

Paso 4

1





x

Paso 5

j

i

k

i

x

x











;

,....

2

,

1

ˆ

ˆ





x





ˆ

ˆ





X1 = A: A X2 = B: B

-1. 000 -0. 5000 0.0000 0.5000 1.000 -1. 000 -0. 5000 0.0000 0.5000 1.000

Respuesta

F actor 1

F a ct o r 2 54.04 55.58 j

1





x

i j i i

x





ˆ

ˆ



























x

x

x

y

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

...

...

ˆ

Design-Expert® Software R1

55.1

20.6

X1 = A: A X2 = B: B

-1. 000 -0. 5000 0. 0000 0. 5000 1. 000 -1. 000 -0. 5000 0. 0000 0. 5000 1. 000 Respuesta

F actor 1

F a ct o r 2 54.04 55.58 j i

Pendiente





ˆ

ˆ



Paso 6

Paso 7

experimentando en esta dirección hasta no

Design-Expert® Software R1

55.1

20.6

X1 = A: A X2 = B: B

-1. 000 -0. 5000 0. 0000 0. 5000 1. 000 -1. 000 -0. 5000 0. 0000 0. 5000 1. 000 Respuesta

F actor 1

F a ct o r 2 54.04 55.58

Paso 8

debe coincidir con el último punto experimental de mejor respuesta.

Paso 9

Paso 10

obtener más incrementos.

Repetir Paso 8 y Paso 9 hasta encontrar curvatura

significativa, o la respuesta óptima

Optimización del rendimiento de una reacción de síntesis de un polímero

Primer entorno experimental: 30-40 minutos y 150-160ºC

Diseño factorial a dos nieles con cinco repeticiones del punto central

Variables Naturales Variables codificadas Respuesta

min ºC x₁ X₂ Rendimiento (%) 30 150 -1 -1 39.3

30 160 -1 1 40.0 40 150 1 -1 40.9 40 160 1 1 41.5 35 155 0 0 40.3 35 155 0 0 40.5 35 155 0 0 40.7 35 155 0 0 40.2 35 155 0 0 40.6

Punto de base u origen: 35 min a155 ºC

Modelo Ajustado

1 2

ˆ



40.44



0.775



0.325

y

x

x

Pruebas de Adecuación del Modelo Lineal

 Modelo Significativo

 Falta de Ajuste No Significativa

 Interacción No Significativa

 Curvatura No Significativa

Trayectoria de Máximo Ascenso

o

o

j i

Pendiente





ˆ

ˆ

Selección de un incremento base para una de las variables

1

1 5min

  

x

Selección del incremento de la otra variable en función de la máxima pendiente en ascenso

2

(0.325/ 0.775)

0.42 2º

 

x

 

x



C

Incrementos Variables Naturales Variables codificadas Respuesta

min ºC x₁ X₂ Rendimiento (%) Origen 35 155 0 0 40.5

O+Δ 40 157 1.00 0.42 49.5 O+2Δ 45 159 2.00 0.84 59.8 O+3Δ 50 161 3.00 1.26 70.4 O+4Δ 55 163 4.00 1.68 80.9 O+5Δ 60 165 5.00 2.10 75.1

Se crea un nuevo diseño alrededor del punto (55, 163)

Variables Naturales Variables codificadas Respuesta

min ºC x₁ X₂ Rendimiento (%)

Modelo Lineal

Pruebas de Adecuación del Modelo Lineal

 Modelo No Significativo

 Falta de Ajuste Significativa

 Interacción No Significativa

 Curvatura Significativa

Modelo Cuadrático

Pruebas de Adecuación del Modelo Cuadrático

 Modelo Significativo

 Falta de Ajuste No Significativa

 Interacción No Significativa

 Curvatura Significativa

Proximidad del óptimo

Diseños de

1

Proporcionar una distribución razonable de puntos de

datos en el Entorno Experimental

N

_min

= 1 + 2

k

+

k

(

k-

1)/2

2

Generar datos que permitan el ajuste de un modelo

matemático de segundo orden



Estudiar cada factor en al menos tres niveles análisis de

curvatura.



Tener una cantidad de puntos que permitan estimar

todos los términos del modelo cuadrático.

Diseños experimentales de

k = 3

X1

X2

X3

X1x2 x1x3 x2x3

X1x2x3

X1

_X2

_X3

3

Posibilitar el estudio de la Idoneidad del Modelo y la

Falta de Ajuste.

Repeticiones del punto central o de otro punto (4-6).

N = N

_min

+ C

_o

4

Ser Eficiente para el cumplir con el objetivo propuesto

6

Posibilitar la realización de experimentos en Bloques:

5

Minimizar la Varianza de los Coeficientes de Regresión

del Modelo:

Ortogonalidad



Cuando es necesario bloquear el diseño, es importante

mantener la ortogonalidad de los bloques.



El punto central debe distribuirse por igual entre los

bloques.

A B A x B 1 1 1 -1 1 -1

1 -1 -1 -1 -1 1

A con B:

0.437

0.437

Error Estándar del Modelo

7

Proporcionar un error de predicción estable en el

entorno experimental:

8

Permitir la creación secuencial a partir de diseños de

primer orden

9

Posibilitar la obtención de diseños aumentados

2

₃

Dos factores Tres factores

Punto central

• Se investigan todas las posibles combinaciones de los niveles de los factores

• Número de experimentos (N= 3k ₎

• El número de experimentos crece rápidamente con el número de factores

3 niveles por factor (-1, 0 , +1)

Diseño cúbico

2

Punto central

Diseño estrella

,



•Compuesto por:

5 niveles por factor (-α, -1, 0, +1, +α)

•

Número de experimentos

(N = 2

_{+2k + C}

0

)

Puede generarse a partir de un diseño factorial de primer

orden anterior cuando se observa curvatura y quiere

estudiarse mejor esta región del espacio experimental

Diseño inicial

Aumento del Diseño

curvatura

Factorial en dos niveles

_Estrella

Bloque 2

Bloque 1

2

_{+ C}

o

•

•

o Rotable

o Esférico

o Práctico

Los puntos estrella o puntos axiales pueden tomar

distintas ubicaciones en el entorno experimental, a una

distancia α del centro del diseño

Diseño Central Compuesto centrado en las caras

α = 1.0

diseño de tres niveles

El entorno experimental es más acotado

Es útil cuando en la práctica no se pueden modificar fácilmente los niveles de los

Diseño Esférico

Diseño Rotable

Diseño Práctico

k Valor de alfa

2 1.414 1.414 1.189

3 1.732 1.682 1.316

4 2.000 2.000 1.414

Punto central

• Compuestos por la combinación de

diseños factoriales

bloques incompletos

• Número de experimentos (

N

• Puede aplicarse para k ≥ 3

Tres factores

3 niveles por factor (-1, 0 , +1)

• El dominio experimental es muestreado de manera uniforme, los puntos experimentales son equidistantes entre si.

• Los factores varían en diferente número de niveles cada uno. Para un diseño de 3 factores el primero toma tres niveles, el segundo cinco y el

tercero siete

x

•

(N= k

+k+C

)

0 0.5

-0.5 1.0 -1.0

0 1.0

-1.0

x

Central compuesto (CC) N = 2k _{+2k + C}

0

Factorial completo (FC) N = 3k

2 3 4 5 6 7 Box-Behnken (BB) N = 2k (k−1) + C₀

más eficiente

Factores Coeficientes Puntos Experimentales(N) Eficiencia (E)

(modelo cuadrático) (1 punto central)

6 10 15 21 28 36 9 15 25 43 77 143 9 27 81 243 729 2187 - 13 25 41 49 57 0.67 0.67 0.60 0.49 0.36 0.25 - 0.77 0.60 0.51 0.57 0.63

BB CC FC BB CC FC 0.67 0.37 0.18 0.08 0.04 0.02

La Eficiencia de un diseño está dada por el cociente entre el

número de coeficientes estimados por el modelo y el numero

total de puntos experimentales

Son Diseños NO Simétricos, logrados mediante

algoritmos computacionales cuyo fin es

satisfacer condiciones establecidas por el

operador, tales como:



Cantidad de puntos experimentales



Tipo de modelo a ajustar



Rangos de las variables



Regiones no posibles de ensayo

1

Región Experimental Irregular.

2

Falta de Ajuste de Modelo Cuadrático.

3

Necesidad de reducir la cantidad de puntos

experimentales.

•

Se dividen en distintos tipos, nombrados por las

letras del alfabeto.

•

El tipo de Diseño Óptimo se refiere a la propiedad o

criterio que se pondera en el diseño.

Es un diseño basado en el criterio de proporcionar

una buena estimación de los parámetros de

regresión para el modelo seleccionado.

11 Puntos Experimentales distintos

Se pierde Rotabilidad

Se crean ecuaciones para

restringir el área donde el

sistema genera combinaciones

no favorables

Región de alta presión

1.0 2.0 20.0

40.0

Flujo (mL/min)

%

Me

tO

H

Región

favorable

Se seleccionan puntos

experimentales con una

Distribución óptima desde el

punto de vista estadístico.

Puntos Seleccionados

Determinante de

X

_{X máximo}

Selección de puntos experimentales en

dominio asimétrico

Buena estimación de coeficientes y error de predicción más o menos

Error estándar en un diseño central

Error estándar en un diseño central

D-optimal con restricciones para evitar

Diseños Experimentales de Segundo Orden

Análisis canónico

Candidato al Óptimo

Modelo de Segundo Orden

Localización del Punto Estacionario

Análisis de cordillera

Buen ajuste y R2

aj mayor a 70%

Es el punto del espacio de los factores en el cual el plano

tangente a la superficie tiene pendiente igual a cero y es un

“candidato al óptimo”

Punto Estacionario

Punto de Respuesta Máxima

Punto de Respuesta Mínima

Punto Silla

Cuando hay un punto silla la superficie sube o baja a partir

del punto estacionario dependiendo de la dirección en la

que nos movemos

0

ˆ

...

ˆ

ˆ



₁







₂













y

x

y

x

y

x

_k

2 0

0 1

 



 

 

 



i i i j

y





x



x



x x



Paso 1

Ajustar un Modelo de Segundo Orden con niveles

codificados

Paso 2

Verificar el tipo de Superficie de Respuesta

obtenida



Análisis gráfico



Análisis canónico

Bx

x'

b

x'







ˆ

₀

ˆ



y

En donde:

ˆ

ˆ

ˆ

 

 

 



 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

b

x

x

x

x

β

β

β











































ˆ

sim

2

ˆ

ˆ

2

ˆ

...

2

ˆ

ˆ

B

1 12

11

Es el vector de

los factores

Es el vector de los

coeficientes de

regresión de primer

orden

Es una matriz simétrica cuya

diagonal principal está

formada por los coeficientes

La derivada de la función respecto al vector x

igualada a 0 es:

0

Bx

b

x











2

ˆ

y

b

B

x

₀

-1

2

1

-

de donde puede calcularse el punto estacionario:

La respuesta predicha para el punto estacionario estará dada por:

0 o

1

ˆ

ˆy

2



  

x b

¿Qué tipo de punto estacionario es?

2 2 2

0 1 1 2 2 k k

ˆ

ˆ

y



y

 

w

 

w



...

 

w

0

ˆy

i

w

i



Forma Canónica del Modelo

Transformaciones de las variables codificadas

x₁ x₂

w

w

Punto estacionario

Origen del Diseño

Ecuación canónica: rotación y traslación de los ejes

coordenados

Entorno Experimental

i



Positivo para todas las

i

: Punto MÍNIMO VALLE

Negativo para toda

i:

Punto MÁXIMO LOMA

Ambos signos: Punto SILLA DE MONTAR

Formas

clásicas

Punto Estacionario DENTRO del Entorno Experimental

Otras formas

Punto Estacionario FUERA del Entorno Experimental

i



Positivo para todas las

i

: CRESTA DESCENDENTE

Negativo para toda

i:

CRESTA ASCENDENTE

Design-Expert® Software R1

55.1

20.6

X1 = A: A X2 = B: B

-0.50 0.13 0.75 1.38 2.00

-1.50 -1.13 -0.75 -0.38 0.00 R1 A: A B : B 22.2

28.8 35.4 _28.8

42 48.6 Design-Expert® Software R1 55.1 20.6

X1 = A: A X2 = B: B

-0.50 0.13 0.75 1.38 2.00 -1.50 -1.13 -0.75 -0.38 0.00 0 14 28 42 56 R 1 A: A B: B

LOMA ASCENDENTE

¿Qué hacemos en este caso?

Seguimos experimentando en el sentido del óptimo, siempre que lo permitan las condiciones de operación del sistema.

Design-Expert® Software R1

10

3

X1 = A: A X2 = B: B

-1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00

-1.50 -0.75 0.00 0.75 1.50 R1 A: A B : B 2.42 2.42 3.94 3.94 5.45 5.45 6.97 6.97 8.48 8.48 Design-Expert® Software R1 10 3

X1 = A: A X2 = B: B

-1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 -1.50 -0.75 0.00 0.75 1.50 0 2.5 5 7.5 10 R 1

A : A B: B

CORDILLERA ESTACIONARIA

¿Qué hacemos en este caso?

Podemos seleccionar el mejor punto desde el punto de vista operacional que de una respuesta satisfactoria.

¿Qué hacemos cuando el punto estacionario no es el óptimo buscado?

Objetivo: MAXIMIZAR la Respuesta

Punto Estacionario

En este caso deberemos encontrar el mejor punto posible dentro del Entorno Experimental. Este punto se ubica en la cordillera de mayor crecimiento de la superficie y se encuentra por el método conocido como

“análisis de cordilleras”

Construir esferas (o círculos) concéntricas al centro del diseño

Objetivo: MAXIMIZAR la Respuesta

Centro del Diseño

Punto Óptimo en el Entorno Experimental

Puntos alternativos

Los softwares de optimización emplean ecuaciones matemáticas para resolver este tipo de situaciones

El error de predicción de la respuesta es función del

modelo postulado, el diseño y ubicación del punto

Está dado por el producto del

Leverage

Error Experimental

exp

ˆ

L

x

V

y

V



El

Intervalo de Confianza

calcularse a partir de su desviación estándar

y

S

x

t

y

IC

ˆ





ˆ

Para estar seguros de haber encontrado un óptimo confiable para nuestro sistema debemos tener en cuenta el error en la predicción

De una manera similar a cuando se obtiene la varianza en la predicción en una curva de calibrado univariado

Design-Expert® Software StdErr of Design

1.5 0.5 X1 = A: A X2 = B: B Actual Factor C: C = 0.00

-1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 0.000 0.250 0.500 0.750 1.000 S td E rr o f D e si g n

A : A B: B

Leverage: función del diseño y del modelo ajustado

Design-Expert® Software R1

Color points by value of R1:

795.8

1

Run Num ber

L e v e ra g e

Leverage vs. Run

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

1 3 5 7 9 11 13 15 17

Design-Expert® Software R1

Color points by value of R1:

795.8

1

R un N um ber

L e ve ra g e

Leverage vs . Run

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

1 3 5 7 9 11 13 15 17

DCC

Modelo Lineal Modelo Cuadrático

puntos centrales puntos axiales

En los casos estudiados hasta

ahora (

deseños experimentales

para variables independientes

),

cada variable podía tomar

cualquier valor dentro de su

rango, independientemente del

Euna mezcla tenemos la restricción

de que la suma de todos los

componentes sea 1 (o 100%). Es

decir no pueden ser variados

independientemente, ya que al

hacerlo se puede pasar el porcentaje

de 100.

1 1

0 0 S = 0

S = 1

S = 1 S = 2

Como consecuancia, no es

posible aplicar a los

¿Cuando es necesario realizar diseños de mezclas?



Composición de azúcares (u otro nutriente) de un

medio de cultivo que exige que se cumpla cierto

valor de osmolaridad.



Mezcla de solventes en un proceso extractivo

(diferentes polaridades para diferentes compuestos

a extraer).



Composición de fases en cromatografía.



Diferentes ligandos de un comprimido

farmacéutico.



Constituyentes de un alimento.



Cuando los factores analizados son componentes

de una mezcla, sus niveles

no son

independientes

entres si.



El espacio experimental es una figura que tiene

tantos vértices como componentes, en un espacio

cuya dimensionalidad es igual al número de

componentes menos uno.

•

Tres componentes (3)

•

Espacio experimental: triángulo

(cada vértice corresponde a un

componente puro)

•

Dimensionalidad: 2

0 x1 1 0 x2 1

X1+x2 = 1

•

Dos componentes (2)

•

Espacio experimental:

segmento de recta (cada extremo

corresponde a 100 % un

componente)

1

0.5

0.33

•

Cuatro componentes (4)

•

Espacio experimental:

pirámide (cada vértice

corresponde a un

componente)

Modelo clásico para un sistema lineal de 2

componentes:

y = b

+ b

x

+ b

x

y

=

X

b

+

e = y

_pred

+

e

=

(

X

T

X

)

-1

X

T

y

= (

X

T

X

)

-1

X

T

X

b

b =

(

X

T

X

)

-1

X

T

y

b

= [b

₀

; b

₁

; b

₂

]

y

_pred

=

X

(

X

T

X

)

-1

X

T

y



y

_pred

=

H

y

(

H

es conocida como matriz “

hat

” por sombrero

)

X

b

= X

(

X

T

X

)

-1

X

T

y

Pero

X

T

X

es singular en un diseño de

mezclas

y = b

+ b

x

+ b

x

+ e

Si (x

+ x

= 1), podemos hacer:

y

= b

(x

+ x

)+ b

x

+ b

x

(la suma no se altera)

y

= (b

+ b

) x

+ (b

+ b

) x

y

= b

* x

+ b

* x

Si x

= 1, x

= 0, entonces

y = b

*

Si x

= 1, x

= 0, entonces

y = b

*

Reemplazando x

_{= x}

1

(1- x

) y x

= x

(1- x

), se llega a :

y

= b

* x

+ b

* x

+ b

* x

x

Modelo cuadrático para dos componentes

De manera similar se puede llegar a:

y

= b

* x

+ b

* x

+ b

* x

+ b

* x

x

+ b

* x

x

+

+ b

* x

x

Modelo cuadrático para tres componentes

y

= b

* x

+ b

* x

+ b

* x

+ b

* x

x

+ b

* x

x

+

+ b

* x

x

+ + b

* x

x

x

Modelo cuadrático cásico:

Y

=



+



X

+



X

+



X

X

+



X

₊



22

X

+







 







i

x

x

x

x

x

x

y

1







Modelo de Scheffé:

Simplex Lattice

_{Simplex Centroid}

D-Optimal

Ejemplo 1

Formulación del un comprimido

en que se busca la mejor mezcla de los tres

ligandos (90.8% del total):

alfa-lactosa monohidratada

(X1), beta-lactosa anhidra (X2) y almidón de arroz

modificado (X3).

Respuestas: fuerza que hay que hacer para romper la

tableta (

Y

1), y la velocidad de disolución (

Y

2).

•

Los coeficientes de los términos lineales

corresponden a la respuesta obtenida

con el componente puro.

•

Los coeficientes de las interacciones dobles

indican el

efecto sinérgico

.

En el ejemplo, si no

hubiera interacción, el valor debería ser el promedio de los

coeficientes para X1 y X2, es decir 72 [(31+113)/2]. Pero

es 120/

4

(así se calcula el efecto en las interacciones

dobles, dividiendo por cuatro), es decir 30, o sea 42

unidades menos.b

•

En la figura puede verse que X2 tiene el mayor efecto sobre Y1 y

éste es positivo.

•

X1 tiene menor efecto, pero negativo (pasa de 70 a 31).

•

X3 es el componente con menor efecto (pasa de 42 a 38).

•

Observar que estos efectos no se corresponden con los

valores de los coeficientes!

Y1 = 39 (X2 = 0)

Y1 = 113

(X2 = 100%) Y1 = 70 (X1 = 0)

Y1 = 31 (X1 = 100%)

Y1 = 42 (X3 = 0)

Modelo obtenido para la segunda respuesta:

Mayor

respuesta para

la combinación

Ejemplo 2

Formulación de un comprimido

en el cual hay 20% de droga y el resto

corresponde a una mezcla de 3

excipientes:

1- Lactosa

2- Avicel PH 101 (una celulosa microcristalina)

3- Hidroximetilpropilcelulosa (HMPC)