Instituto Politécnico Nacional
ESIQIE
Examen a Título de Suficiencia (EXTRA) de Ecuaciones Diferenciales Aplicadas
9-Febrero-2017 de 9:00 a 11:00 hs
Academia de Matemáticas
Instrucciones: Tolerancia 15 minutos. Duración del examen 2 horas. DESACTIVAR CELULAR. PRESENTAR IDENTIFICACION. Se permite utilizar el formulario autorizado por la Academia y calculadora científica no graficadora. CONTESTAR PARA 10 PUNTOS. Indicar los resultados con los procedimientos correspondientes en forma clara y ordenada. Al finalizar el examen entregue esta hoja con el cuadernillo.
Examen tipo A
Nombre:_____________________________________________________________Grupo_______________ Problema 1.- (2 puntos) Resuelva la siguiente E.D.O. de primer orden reducible a exacta.
REDUCIBLE A EXACTA TIPO A
(1−x2
y)dx+x2
(y−x)dy=0
∂M
∂y = −x 2 ∂N
∂x =2xy−3x 2 µ(x)= 1
x2 1
x2(1−x 2
y)dx+ 1 x2(x
2
y−x3)dy=0 (1
x2−y)dx+(y−x)dy=0
∂M
∂y = −1
∂N
∂x = −1 f(x,y)= (1
x2−y)dx= − 1
x−xy+g(y)
∫
∂f∂y= −x+g(y)'
−x+g(y)' = −x+y g(y)= y
2 2 +c
−1
x−xy+ y2
2 =c o bien: xy2−2x2y−2=xc
dy dx+
5 2xy
3= 5y dy
dx−5y= − 5 2xy
3
y−3dy dx−5y
−2= −5
2x u= y−2 −1
2 du dx =
1 y3
dy dx
du
dx+10u=5x µ(x)=e10x
e10x(du
dx+10u=5x) ue10x=5
∫
xe10xdx1 y2=
x 2−
1 20+e
−10x
c1
Problema 3.- (2 puntos) Halle la solución de la ecuación diferencial + = 0 como una serie de potencias. Sólo hasta .
Respuesta: LIRZ Ecuación de Airy
+ = 0
=
= ( − 1)
+ = ( − 1) + = ( − 1) +
+ = 2 + ( + 1)( + 2) + = 0
2 = 0 es el coeficiente de y
( + 1)( + 2) + = 0, = 1,2,3, ⋯
= 0
= − ( + 1)( + 2), = 1,2,3,⋯ = 1, = − 2 ∙ 3
=3, $ 4 ∙ 5 0
4, & 5 ∙ 6 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 61
5, 6 ∙ 7" 3 ∙ 4 ∙ 6 ∙ 71
6, ) 7 ∙ 8 0$
7, + 8 ∙ 9& 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 8 ∙ 91
0 2 ∙ 3 3 ∙ 4 " 0 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 6 & 3 ∙ 4 ∙ 6 ∙ 7
Problema 4.- Resuelva la ecuación en derivadas parciales, por el método de separación de variables, -.
- -.
-Respuesta: LIRZ
-.
- -.
-. /0
01/1 /101 ; /11/1 10101
1
/1/1 →1/1 / 0
/ 4 56
Por simetría se tiene
0 4 56
Finalmente
Problema 5.- (4 puntos) En el diagrama se ilustra una batería de dos tanques interconectados, los tanques operan perfectamente mezclados y contienen una sustancia disuelta en agua. Inicialmente, el tanque (1) de 100L contiene 1g/L de sustancia y el tanque (2) de 100L contiene 4g/L de sustancia. Se ilustran los flujos de las corrientes de salida y alimentación para cada tanque. Determinar:
a) La expresión del sistema de ecuaciones diferenciales del balance en cada tanque b) La solución del sistema de ecuaciones diferenciales
c) La concentración y masa de sustancia en cada tanque a los 10 min de operación.
Respuestas: a)
b)
c)
Desarrollo de la solución:
100 7 ′
′9 :
5 1
2 4; : ; :
0
0; → < 5 =
1
2 4 =< 0
4 = 5 = 2 0 → 20 4= 5= = 2 0
→ = 9= 18 0 → = 3 = 6 0 → = 3, = 6
= = −6 → >1 12 2? → >1 10 0? → 0 → @ > 11?
: ; 4 :1
2; A B 3C/100 4 :
1
1; A B 6C/100 :
0
0;
C 0 → :1
4; 4 :
1
2; 4 :
1
1; → 4
4 1
24 4 4 →
4 53
4 23
∴→ : ; 53 :1
2; A B 3C/100
2 3 :
1
1; A B 6C/100 :
0
0;
: ; 53 :1
2; A B 3 10 /100
2 3 :
1
1; A B 6 10 /100 :
0.8688
.
Instituto Politécnico Nacional
ESIQIE-IPN
Examen a Título de Suficiencia (ESPECIAL) de Ecuaciones Diferenciales Aplicadas
9-Febrero-2017 de 9:00 a 11:00 hs
Academia de Matemáticas
Instrucciones: Tolerancia 15 minutos. Duración del examen 2 horas. DESACTIVAR CELULAR. PRESENTAR IDENTIFICACION. Se permite utilizar el formulario autorizado por LA ACADEMIA y calculadora científica no graficadora. CONTESTAR PARA 10 PUNTOS. Indicar los resultados con los procedimientos correspondientes en forma clara y ordenada. Al finalizar el examen entregue esta hoja con el cuadernillo.
Examen tipo B
Nombre:_____________________________________________________________Grupo_______________ Problema 1.- (2 puntos) Resuelva la siguiente E.D.O. de primer orden reducible a exacta.
REDUCIBLE A EXACTA TIPO B
(x2+y2+1)dx−(2xy)dy=0
∂M
∂y =2y
∂N
∂x = −2y µ(x)= 1
x2 1
x2(x 2+
y2+1)dx+ 1
x2(−2xy)dy=0 (1+ y
2 x2+
1
x2)dx+(− 2y
x )dy=0
∂M
∂y = 2y
x2
∂N
∂x = 2y
x2 f(x,y)= (1+ y
2 x2+
1
x2)dx=x−y 2
x−1− x−1+
g(y)
∫
∂f∂y= −2yx
−1+ g(y)'
−2yx−1+g(y)' = −2y x +1 g(y)'=1
x− y 2 x −
1 x+c
y(6y2−x−1)dx+2xdy=0 dy
dx− 1 2(1+
1
x)y= −3x
−1 y3 y−3dy
dx− 1 2(1+
1 x)y
−2= −
3x−1 u=y−2 −1
2 du dx = 1 y3 dy dx −1 2 du dx− 1 2(1+
1
x)u= −3x
−1 µ(x)=xex
xex(du dx+(1+
1 x)u=6x
−1 ) uxex=6
∫
exdxuxex=6ex+c 1
y2= 6 x+x
−1 e−x
c
Problema 3.- (2 puntos) Halle la solución de la ecuación diferencial +3 3 0 como una serie de potencias. Solo hasta .
Respuesta: LIRZ
G
2 1 G 3 GH 3 G 0
I 2 1 G 3 1 G J 0
Se obtiene la fórmula de recursión
G 3 2 G , 0,1,2, ⋯
Los coeficientes de índice par son
G" = −34 G 4 ∙ 2 G3
G& 36 G" 6 ∙ 4 ∙ 2 G3
Los coeficientes de índice impar son
G G
G$ 35 G 35 G
G 37 G$ 7 ∙ 5 G3 7 ∙ 5 ∙ 3 G3
G G 32 G G 98 G " 3
5 G $ 2748 G & 35 G9
Problema 4.- (2 puntos) Resuelva la ecuación en derivadas parciales, por el método de separación de variables,
-.
- -.- 0
Respuesta: LIRZ
-.
- -.- 0
. /0 → / 0 /0 0
1 /′
/ 1 0′0 0 → 1 /′/ 1 0′0
1 /′
/ → 1/1 / 0
1/
/ 1 0 ∴ / A56HK
Por simetría
. = /0 = 4A56(HK LK)
Problema 5.- (4 puntos) En el diagrama se ilustra una batería de dos tanques interconectados, los tanques operan perfectamente mezclados y contienen una sustancia disuelta en agua. Inicialmente, el tanque (1) de 100L contiene 5g/L de sustancia y el tanque (2) de 100L contiene 3g/L de sustancia. Se ilustran los flujos de las corrientes de salida y alimentación para cada tanque. Determinar:
a) La expresión del sistema de ecuaciones diferenciales del balance en cada tanque b) La solución del sistema de ecuaciones diferenciales
c) La concentración y masa de sustancia en cada tanque a los 10 min de operación.
Respuestas: a)
b)
c)
Desarrollo de la solución:
100 7 ′
′9 :
4 2
1 5; : ; :
0
0; → < 4 =
2
(−4 − =)(−5 − =) − 2 = 0 → 20 + 4= + 5= + = − 2 = 0
→ = + 9= + 18 = 0 → (= + 3)(= +6 = 0 → = = −3, = = −6
= = −3 → >−1 21 −2? → >−1 20 0? → − + 2 = 0 → @ = >21?
= = −6 → >2 21 1? → >1 10 0? → + = 0 → @ = > 1−1?
: ; = 4 :2
1; A B −3C/100 + 4 : 1
−1; A B −6C/100 + : 0
0;
C = 0 → :5
3; = 4 : 2
1; + 4 : 1
−1; → 24 + 4 = 54 − 4 = 3 →
4 =83
4 = −13
∴→ : ; =83 :2
1; A B −3C/100 − 1 3 :
1
−1; A B −6C/100 + : 0
