Instituto Politécnico Nacional ESIQIE Examen a Título de Suficiencia (EXTRA) de Ecuaciones Diferenciales Aplicadas 9-Febrero-2017 de 9:00 a 11:00 hs Academia de Matemáticas

10  68  Descargar (0)

Texto completo

(1)

Instituto Politécnico Nacional

ESIQIE

Examen a Título de Suficiencia (EXTRA) de Ecuaciones Diferenciales Aplicadas

9-Febrero-2017 de 9:00 a 11:00 hs

Academia de Matemáticas

Instrucciones: Tolerancia 15 minutos. Duración del examen 2 horas. DESACTIVAR CELULAR. PRESENTAR IDENTIFICACION. Se permite utilizar el formulario autorizado por la Academia y calculadora científica no graficadora. CONTESTAR PARA 10 PUNTOS. Indicar los resultados con los procedimientos correspondientes en forma clara y ordenada. Al finalizar el examen entregue esta hoja con el cuadernillo.

Examen tipo A

Nombre:_____________________________________________________________Grupo_______________ Problema 1.- (2 puntos) Resuelva la siguiente E.D.O. de primer orden reducible a exacta.

REDUCIBLE A EXACTA TIPO A

(1−x2

y)dx+x2

(yx)dy=0

M

y = −x 2 ∂N

x =2xy−3x 2 µ(x)= 1

x2 1

x2(1−x 2

y)dx+ 1 x2(x

2

yx3)dy=0 (1

x2−y)dx+(yx)dy=0

M

y = −1

N

x = −1 f(x,y)= (1

x2−y)dx= − 1

xxy+g(y)

f

y= −x+g(y)'

x+g(y)' = −x+y g(y)= y

2 2 +c

−1

xxy+ y2

2 =c o bien: xy2−2x2y−2=xc

(2)

dy dx+

5 2xy

3= 5y dy

dx−5y= − 5 2xy

3

y−3dy dx−5y

−2= −5

2x u= y−2 −1

2 du dx =

1 y3

dy dx

du

dx+10u=5x µ(x)=e10x

e10x(du

dx+10u=5x) ue10x=5

xe10xdx

1 y2=

x 2−

1 20+e

−10x

c1

Problema 3.- (2 puntos) Halle la solución de la ecuación diferencial + = 0 como una serie de potencias. Sólo hasta .

Respuesta: LIRZ Ecuación de Airy

+ = 0

=

= ( − 1)

+ = ( − 1) + = ( − 1) +

+ = 2 + ( + 1)( + 2) + = 0

2 = 0 es el coeficiente de y

( + 1)( + 2) + = 0, = 1,2,3, ⋯

= 0

= − ( + 1)( + 2), = 1,2,3,⋯ = 1, = − 2 ∙ 3

(3)

=3, $ 4 ∙ 5 0

4, & 5 ∙ 6 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 61

5, 6 ∙ 7" 3 ∙ 4 ∙ 6 ∙ 71

6, ) 7 ∙ 8 0$

7, + 8 ∙ 9& 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 8 ∙ 91

0 2 ∙ 3 3 ∙ 4 " 0 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 6 & 3 ∙ 4 ∙ 6 ∙ 7

Problema 4.- Resuelva la ecuación en derivadas parciales, por el método de separación de variables, -.

- -.

-Respuesta: LIRZ

-.

- -.

-. /0

01/1 /101 ; /11/1 10101

1

/1/1 →1/1 / 0

/ 4 56

Por simetría se tiene

0 4 56

Finalmente

(4)

Problema 5.- (4 puntos) En el diagrama se ilustra una batería de dos tanques interconectados, los tanques operan perfectamente mezclados y contienen una sustancia disuelta en agua. Inicialmente, el tanque (1) de 100L contiene 1g/L de sustancia y el tanque (2) de 100L contiene 4g/L de sustancia. Se ilustran los flujos de las corrientes de salida y alimentación para cada tanque. Determinar:

a) La expresión del sistema de ecuaciones diferenciales del balance en cada tanque b) La solución del sistema de ecuaciones diferenciales

c) La concentración y masa de sustancia en cada tanque a los 10 min de operación.

Respuestas: a)

b)

c)

Desarrollo de la solución:

100 7 ′

′9 :

5 1

2 4; : ; :

0

0; → < 5 =

1

2 4 =< 0

4 = 5 = 2 0 → 20 4= 5= = 2 0

→ = 9= 18 0 → = 3 = 6 0 → = 3, = 6

(5)

= = −6 → >1 12 2? → >1 10 0? → 0 → @ > 11?

: ; 4 :1

2; A B 3C/100 4 :

1

1; A B 6C/100 :

0

0;

C 0 → :1

4; 4 :

1

2; 4 :

1

1; → 4

4 1

24 4 4 →

4 53

4 23

∴→ : ; 53 :1

2; A B 3C/100

2 3 :

1

1; A B 6C/100 :

0

0;

: ; 53 :1

2; A B 3 10 /100

2 3 :

1

1; A B 6 10 /100 :

0.8688

(6)

.

Instituto Politécnico Nacional

ESIQIE-IPN

Examen a Título de Suficiencia (ESPECIAL) de Ecuaciones Diferenciales Aplicadas

9-Febrero-2017 de 9:00 a 11:00 hs

Academia de Matemáticas

Instrucciones: Tolerancia 15 minutos. Duración del examen 2 horas. DESACTIVAR CELULAR. PRESENTAR IDENTIFICACION. Se permite utilizar el formulario autorizado por LA ACADEMIA y calculadora científica no graficadora. CONTESTAR PARA 10 PUNTOS. Indicar los resultados con los procedimientos correspondientes en forma clara y ordenada. Al finalizar el examen entregue esta hoja con el cuadernillo.

Examen tipo B

Nombre:_____________________________________________________________Grupo_______________ Problema 1.- (2 puntos) Resuelva la siguiente E.D.O. de primer orden reducible a exacta.

REDUCIBLE A EXACTA TIPO B

(x2+y2+1)dx−(2xy)dy=0

M

y =2y

N

x = −2y µ(x)= 1

x2 1

x2(x 2+

y2+1)dx+ 1

x2(−2xy)dy=0 (1+ y

2 x2+

1

x2)dx+(− 2y

x )dy=0

M

y = 2y

x2

N

x = 2y

x2 f(x,y)= (1+ y

2 x2+

1

x2)dx=xy 2

x−1− x−1+

g(y)

f

y= −2yx

−1+ g(y)'

−2yx−1+g(y)' = −2y x +1 g(y)'=1

xy 2 x

1 x+c

(7)

y(6y2−x−1)dx+2xdy=0 dy

dx− 1 2(1+

1

x)y= −3x

−1 y3 y−3dy

dx− 1 2(1+

1 x)y

−2= −

3x−1 u=y−2 −1

2 du dx = 1 y3 dy dx −1 2 du dx− 1 2(1+

1

x)u= −3x

−1 µ(x)=xex

xex(du dx+(1+

1 x)u=6x

−1 ) uxex=6

exdx

uxex=6ex+c 1

y2= 6 x+x

−1 ex

c

Problema 3.- (2 puntos) Halle la solución de la ecuación diferencial +3 3 0 como una serie de potencias. Solo hasta .

Respuesta: LIRZ

G

2 1 G 3 GH 3 G 0

I 2 1 G 3 1 G J 0

Se obtiene la fórmula de recursión

G 3 2 G , 0,1,2, ⋯

Los coeficientes de índice par son

(8)

G" = −34 G 4 ∙ 2 G3

G& 36 G" 6 ∙ 4 ∙ 2 G3

Los coeficientes de índice impar son

G G

G$ 35 G 35 G

G 37 G$ 7 ∙ 5 G3 7 ∙ 5 ∙ 3 G3

G G 32 G G 98 G " 3

5 G $ 2748 G & 35 G9

Problema 4.- (2 puntos) Resuelva la ecuación en derivadas parciales, por el método de separación de variables,

-.

- -.- 0

Respuesta: LIRZ

-.

- -.- 0

. /0 → / 0 /0 0

1 /′

/ 1 0′0 0 → 1 /′/ 1 0′0

1 /′

/ → 1/1 / 0

1/

/ 1 0 ∴ / A56HK

Por simetría

(9)

. = /0 = 4A56(HK LK)

Problema 5.- (4 puntos) En el diagrama se ilustra una batería de dos tanques interconectados, los tanques operan perfectamente mezclados y contienen una sustancia disuelta en agua. Inicialmente, el tanque (1) de 100L contiene 5g/L de sustancia y el tanque (2) de 100L contiene 3g/L de sustancia. Se ilustran los flujos de las corrientes de salida y alimentación para cada tanque. Determinar:

a) La expresión del sistema de ecuaciones diferenciales del balance en cada tanque b) La solución del sistema de ecuaciones diferenciales

c) La concentración y masa de sustancia en cada tanque a los 10 min de operación.

Respuestas: a)

b)

c)

Desarrollo de la solución:

100 7 ′

′9 :

4 2

1 5; : ; :

0

0; → < 4 =

2

(10)

(−4 − =)(−5 − =) − 2 = 0 → 20 + 4= + 5= + = − 2 = 0

→ = + 9= + 18 = 0 → (= + 3)(= +6 = 0 → = = −3, = = −6

= = −3 → >−1 21 −2? → >−1 20 0? → − + 2 = 0 → @ = >21?

= = −6 → >2 21 1? → >1 10 0? → + = 0 → @ = > 1−1?

: ; = 4 :2

1; A B −3C/100 + 4 : 1

−1; A B −6C/100 + : 0

0;

C = 0 → :5

3; = 4 : 2

1; + 4 : 1

−1; → 24 + 4 = 54 − 4 = 3 →

4 =83

4 = −13

∴→ : ; =83 :2

1; A B −3C/100 − 1 3 :

1

−1; A B −6C/100 + : 0

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects : Calculadora Científica